સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો સ્થિર બિંદુ શોધો. સૌથી ઊભો ઉતરવાની પદ્ધતિ

સેવાનો હેતુ. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર શોધવા માટે વપરાય છે ન્યૂનતમ કાર્યસૌથી ઊંચો ઉતરવાની પદ્ધતિ અથવા કોચી પદ્ધતિ(ઉદાહરણ જુઓ). ઉકેલ વર્ડ ફોર્મેટમાં દોરવામાં આવે છે.

ફંક્શન દાખલ કરવા માટેના નિયમો

IN સૌથી ઊંચું ઉતરવાની પદ્ધતિએક વેક્ટર જેની દિશા ફંક્શન ▽f(x) ના ઢાળ વેક્ટરની દિશાની વિરુદ્ધ છે તે શોધ દિશા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણ પરથી તે જાણીતું છે કે વેક્ટર ગ્રેડ f(x)=▽f(x) કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા દર્શાવે છે (ફંક્શનનો ઢાળ જુઓ). તેથી, વેક્ટર - ગ્રેડ f(X) = -▽f(X) કહેવાય છે વિરોધી ઢાળઅને તેના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા છે. પુનરાવૃત્તિ સંબંધ કે જેની સાથે સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ અમલમાં મૂકવામાં આવે છે તેનું સ્વરૂપ X k +1 =X k - λ k ▽f(x k), k = 0,1,...,
જ્યાં λ k >0 એ સ્ટેપ સાઇઝ છે. પગલાના કદની પસંદગીના આધારે, તમે ઢાળ પદ્ધતિ માટે વિવિધ વિકલ્પો મેળવી શકો છો. જો ઑપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ટેપ સાઈઝ λ નિશ્ચિત હોય, તો પદ્ધતિને એક અલગ સ્ટેપ સાથેની ઢાળ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. જો λ k ને λ k =min f(X k + λS k) શરતમાંથી પસંદ કરવામાં આવે તો પ્રથમ પુનરાવર્તનોમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બની શકે છે.
λ k નક્કી કરવા માટે, કોઈપણ એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિને સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, સામાન્ય કિસ્સામાં, કાર્યના લઘુત્તમ હાંસલ કરવા માટે એક પગલું પૂરતું નથી જ્યાં સુધી અનુગામી ગણતરીઓ પરિણામમાં સુધારો ન કરે ત્યાં સુધી પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે.
જો કેટલાક ચલોમાં જગ્યા ખૂબ જ વિસ્તરેલ હોય, તો પછી "કોતર" રચાય છે. શોધ ધીમી પડી શકે છે અને "કોતર" ના તળિયે ઝિગઝેગ થઈ શકે છે. કેટલીકવાર સ્વીકાર્ય સમયમર્યાદામાં ઉકેલ મેળવી શકાતો નથી.
પદ્ધતિનો બીજો ગેરલાભ એ બંધ થવાનો માપદંડ હોઈ શકે છે ||▽f(X k)||<ε k , так как этому условию удовлетворяет и седловая точка, а не только оптимум.

ઉદાહરણ. બિંદુ x k =(-2, 3) થી શરૂ કરીને, કાર્યને ન્યૂનતમ કરવા માટે સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ x k +1 નક્કી કરો.
શોધ દિશા તરીકે, વર્તમાન બિંદુ પર ઢાળ વેક્ટર પસંદ કરો

ચાલો સ્ટોપિંગ માપદંડ તપાસીએ. અમારી પાસે છે
ચાલો પ્રારંભિક બિંદુ f(X 1) = 35 પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ. ચાલો કરીએ
એન્ટિગ્રેડિયન્ટ દિશા સાથે પગલું

ચાલો નવા બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ
f(X 2) = 3(-2 + 19λ 1) 2 + (3-8λ 1) 2 - (-2 + 19λ 1)(3-8λ 1) - 4(-2 + 19λ 1)
ચાલો એક પગલું શોધીએ કે જેથી ઉદ્દેશ્ય કાર્ય આ દિશામાં ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે. કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિથી
f’(X 2) = 6(-2 + 19λ 1) 19 + 2(3-8λ 1)(-8) – (73 - 304 λ 1) – 4*19
અથવા f’(X 2) = 2598 λ 1 – 425 = 0.
આપણને પગલું λ 1 = 0.164 મળે છે
આ પગલું પૂર્ણ કરવાથી બિંદુ તરફ દોરી જશે

જેમાં ઢાળ મૂલ્ય , કાર્ય મૂલ્ય f(X 2) = 0.23. ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થઈ નથી, બિંદુથી આપણે એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં એક પગલું લઈએ છીએ.

f(X 2) = 3(1.116 – 1.008λ 1) 2 + (1.688-2.26λ 1) 2 - (1.116 – 1.008λ 1)(1.688-2.26λ 1) - 4(1.116 – 1.008λ)
f’(X 2) = 11.76 – 6.12λ 1 = 0
આપણને λ 1 = 0.52 મળે છે

ઉદાહરણ 6.8.3-1. GDS પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને Q(x,y) ફંક્શનનું ન્યૂનતમ શોધો.

ચાલો Q(x,y) = x 2 +2y 2 ; x 0 = 2;y 0 = 1.

ચાલો ન્યૂનતમ અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો તપાસીએ:

ચાલો અલ્ગોરિધમ મુજબ એક પુનરાવર્તન કરીએ.

1. Q(x 0 ,y 0) = 6.

2. x = x 0 અને y = y 0 માટે,

3. પગલું l k = l 0 = 0.5

તેથી 4< 8, следовательно, условие сходимости не выполняется и требуется, уменьшив шаг (l=l /2), повторять п.п.3-4 до выполнения условия сходимости. То есть, полученный шаг используется для нахождения следующей точки траектории спуска.

પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે. પસંદ કરેલ બિંદુ (x 0 ,y 0) થી કિરણ સાથેના ઉદ્દેશ્ય કાર્ય Q(x, y) ના લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી ન જાય ત્યાં સુધી એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં ઉતરાણ કરવામાં આવે છે (ફિગ. 6.8.4-1) . મળેલા બિંદુ પર, બીમ સ્તર રેખાને સ્પર્શે છે. પછી, આ બિંદુથી, ઉતરાણ એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે (લેવલ લાઇન પર લંબરૂપ) જ્યાં સુધી અનુરૂપ કિરણ નવા બિંદુ પર તેમાંથી પસાર થતી સ્તર રેખાને સ્પર્શે નહીં, વગેરે.

ચાલો ઉદ્દેશ્ય કાર્ય Q(x, y) ને સ્ટેપ l ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ. આ કિસ્સામાં, અમે એક ચલના કાર્ય તરીકે ચોક્કસ પગલા પર લક્ષ્ય કાર્ય રજૂ કરીએ છીએ, એટલે કે. પગલું કદ

દરેક પુનરાવૃત્તિ પર પગલાનું કદ ન્યૂનતમ સ્થિતિ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે:

ન્યૂનતમ((l)) l k = l*(x k , y k), l >0.

આમ, દરેક પુનરાવૃત્તિ પર, પગલું l k ની પસંદગીમાં એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે. આ સમસ્યાને હલ કરવાની પદ્ધતિ અનુસાર, તેઓને અલગ પાડવામાં આવે છે:

· વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ (NAA);

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ (NMS).

NSA પદ્ધતિમાં, સ્ટેપ વેલ્યુ શરતમાંથી મેળવવામાં આવે છે, અને NSF પદ્ધતિમાં, મૂલ્ય l k એક એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપેલ ચોકસાઈ સાથે સેગમેન્ટ પર જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ 6.8.4-1. પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાં, e=0.1 ની ચોકસાઈ સાથે Q(x,y)=x 2 + 2y 2 ફંક્શનનું ન્યૂનતમ શોધો: x 0 =2; y 0 =1.

ચાલો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એક પુનરાવર્તન કરીએ NSA.

=(x-2lx) 2 +2(y-4ly) 2 = x 2 -4lx 2 +4l 2 x 2 +2y 2 -16ly 2 +32l 2 y 2 .

¢(l)=0 સ્થિતિ પરથી આપણે l* નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

પરિણામી કાર્ય l=l(x,y) તમને l ની કિંમત શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. x=2 અને y=1 માટે આપણી પાસે l=0.3333 છે.

ચાલો આગળના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ:

ચાલો k=1 પર પુનરાવૃત્તિઓ સમાપ્ત કરવા માટેના માપદંડની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ:

ત્યારથી |2*0.6666|>0.1 અને |-0.3333*4|>0.1, પછી પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવાની શરતો પૂરી થતી નથી, એટલે કે. ન્યૂનતમ મળ્યું નથી. તેથી, તમારે x=x 1 અને y=y 1 માટે l ની નવી કિંમતની ગણતરી કરવી જોઈએ અને આગલા વંશ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવા જોઈએ. વંશ સમાપ્તિની શરતો પૂરી ન થાય ત્યાં સુધી ગણતરીઓ ચાલુ રહે છે.

સંખ્યાત્મક NN પદ્ધતિ અને વિશ્લેષણાત્મક વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે દરેક પુનરાવૃત્તિ પર l ના મૂલ્યની શોધ એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશનની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિભાષી પદ્ધતિ અથવા સુવર્ણ વિભાગ પદ્ધતિ). આ કિસ્સામાં, અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી l - અનિશ્ચિતતા અંતરાલ તરીકે સેવા આપે છે.

બિંદુ પર વિભેદક કાર્ય f(x) નો ઢાળ એક્સકહેવાય છે n-પરિમાણીય વેક્ટર f(x) , જેના ઘટકો ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે f(x),બિંદુ પર ગણતરી એક્સ, એટલે કે

f"(x ) = (df(x)/ડીએચ 1 , …, df(x)/ડીએક્સ એન) ટી.

આ વેક્ટર બિંદુ દ્વારા પ્લેન પર લંબ છે એક્સ, અને ફંક્શનની લેવલ સપાટીની સ્પર્શક f(x),એક બિંદુમાંથી પસાર થવું એક્સ.આવી સપાટીના દરેક બિંદુ પર કાર્ય f(x)સમાન મૂલ્ય લે છે. ફંક્શનને વિવિધ સ્થિર મૂલ્યો C 0 , C 1 , ... સાથે સમાન કરીને, અમે તેની ટોપોલોજી (ફિગ. 2.8) ને દર્શાવતી સપાટીઓની શ્રેણી મેળવીએ છીએ.

ચોખા. 2.8. ઢાળ

ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર આપેલ બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વધારો તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ગ્રેડિયન્ટની વિરુદ્ધ વેક્ટર (-f'(x)) , કહેવાય છે વિરોધી ઢાળઅને કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડા તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ન્યૂનતમ બિંદુ પર, કાર્યનો ઢાળ શૂન્ય છે. પ્રથમ ક્રમની પદ્ધતિઓ, જેને ઢાળ અને લઘુત્તમ પદ્ધતિઓ પણ કહેવાય છે, તે ઢાળના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. સામાન્ય કિસ્સામાં આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાથી તમે કાર્યનો સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ નક્કી કરી શકો છો.

દેખીતી રીતે, જો ત્યાં કોઈ વધારાની માહિતી નથી, તો પછી પ્રારંભિક બિંદુથી એક્સમુદ્દા પર જવાનું શાણપણ છે એક્સ, એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં પડેલો - કાર્યનો સૌથી ઝડપી ઘટાડો. વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ[આર k ] વિરોધી ઢાળ - f'(x ) [કે] એક્સ[આરબિંદુ પર

], અમે ફોર્મની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા મેળવીએ છીએ X[ 1] = k+[આર]-x f'(x ) , a k f"(x > 0; આર=0, 1, 2, ...

અને k

સંકલન સ્વરૂપમાં, આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ લખાયેલ છે: આર+1]=x i [[આર] - x if(x f'(x ) a k

/x i n; આર= 0, 1, 2,...

i = 1, ..., k+[આરપુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેના માપદંડ તરીકે, કાં તો દલીલના નાના વધારાની શરતની પરિપૂર્ણતા || +l][આર] || <= e , либо выполнение условия малости градиента

|| - એક્સ[આર f'(x ) || <= g ,

+l]

એક સંયુક્ત માપદંડ પણ શક્ય છે, જેમાં ઉલ્લેખિત શરતોની એક સાથે પરિપૂર્ણતાનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ જે રીતે સ્ટેપનું કદ પસંદ કરે છે તે રીતે ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ એકબીજાથી અલગ પડે છે a k f"(x.

સતત પગલા સાથેની પદ્ધતિમાં, તમામ પુનરાવર્તનો માટે ચોક્કસ સ્થિર પગલું મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે. એકદમ નાનું પગલું a k f"(xખાતરી કરશે કે કાર્ય ઘટે છે, એટલે કે, અસમાનતા

f(x[ આર+1]) = f(x[કે] - a k f’(x f'(x )) < f(x f'(x ) .

જો કે, આ લઘુત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે અસ્વીકાર્ય રીતે મોટી સંખ્યામાં પુનરાવર્તનો હાથ ધરવાની જરૂરિયાત તરફ દોરી શકે છે. બીજી બાજુ, એક પગલું જે ખૂબ મોટું છે તે કાર્યમાં અણધારી વધારો કરી શકે છે અથવા લઘુત્તમ બિંદુ (સાયકલિંગ) ની આસપાસ ઓસિલેશન તરફ દોરી શકે છે. પગલાના કદને પસંદ કરવા માટે જરૂરી માહિતી મેળવવાની મુશ્કેલીને લીધે, સતત પગલાં સાથેની પદ્ધતિઓનો વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

પુનરાવર્તનોની સંખ્યા અને વિશ્વસનીયતાના સંદર્ભમાં ગ્રેડિયન્ટ વધુ આર્થિક છે ચલ પગલાં પદ્ધતિઓ,જ્યારે, ગણતરીના પરિણામોના આધારે, પગલાનું કદ અમુક રીતે બદલાય છે. ચાલો વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાતી આવી પદ્ધતિઓના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ.

દરેક પુનરાવૃત્તિ પર સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પગલાનું કદ a k f"(xફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે f(x)વંશની દિશામાં, એટલે કે.
f(x[આર]-a k f'(x[આર])) = f(x f'(x - af"(x[આર])) .

આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથેની હિલચાલ જ્યાં સુધી કાર્યની કિંમત હોય ત્યાં સુધી થાય છે f(x)ઘટે છે. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, દરેક પુનરાવૃત્તિ પર તે મુજબ એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે. એકાર્યો
j (a) = f(x[આર]-af"(x[આર])) .

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.

1. પ્રારંભિક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સેટ કરો એક્સ.

2. બિંદુ પર એક્સ[આર], k = 0, 1, 2, ... ગ્રેડિયન્ટ મૂલ્યની ગણતરી કરે છે - એક્સ[આર]) .

3. પગલાનું કદ નક્કી કરવામાં આવે છે a k, એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ દ્વારા એકાર્યો જે (a) = f(x[આર]-af"(x[આર])).

4. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ[X[ 1]:

x i [ X[ 1]= x i[આર]- a k f' i (x[આર]), i = 1,..., p.

5. સ્ટીરેશન પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની શરતો તપાસવામાં આવે છે. જો તેઓ પૂરા થાય, તો ગણતરીઓ અટકી જાય છે. નહિંતર, પગલું 1 પર જાઓ.

જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કર્યા પછી, અમે પડોશી બિંદુઓ પર વંશ દિશાઓના વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ: ડીજે[X[ 1]- એક્સ[આર]) = 0.

(a)/da = -f’(x

ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ સરળ બહિર્મુખ કાર્યો માટે ઉચ્ચ ઝડપે (ભૌમિતિક પ્રગતિની ઝડપ) પર ન્યૂનતમ એકરૂપ થાય છે. આવા કાર્યો સૌથી મહાન છે એમઅને ઓછામાં ઓછું mબીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો (હેસિયન મેટ્રિક્સ)

એકબીજાથી થોડું અલગ છે, એટલે કે મેટ્રિક્સ N(x)સારી રીતે કન્ડિશન્ડ. યાદ કરો કે eigenvalues l i, i =1, …, n, મેટ્રિસીસ એ લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે

જો કે, વ્યવહારમાં, એક નિયમ તરીકે, વિધેયોને ઘટાડી દેવામાં આવે છે તેમાં બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના અયોગ્ય મેટ્રિસિસ હોય છે. (t/m<< 1). કેટલીક દિશાઓ સાથેના આવા કાર્યોના મૂલ્યો અન્ય દિશાઓની તુલનામાં ખૂબ ઝડપથી (ક્યારેક તીવ્રતાના કેટલાક ઓર્ડર દ્વારા) બદલાય છે. સરળ કેસમાં તેમની સ્તરની સપાટીઓ મજબૂત રીતે વિસ્તરેલી હોય છે (ફિગ. 2.10), અને વધુ જટિલ કેસોમાં તેઓ વાંકા અને કોતરો જેવા દેખાય છે. આવા ગુણધર્મો સાથેના કાર્યો કહેવામાં આવે છે ખાડીઆ કાર્યોના એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશા (જુઓ. ફિગ. 2.10) દિશાથી લઘુત્તમ બિંદુ સુધી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે, જે સંપાતની ગતિમાં મંદી તરફ દોરી જાય છે.

ચોખા. 2.10. ગલી કાર્ય

ઢાળ પદ્ધતિઓનો કન્વર્જન્સ રેટ પણ ગ્રેડિયન્ટ ગણતરીઓની ચોકસાઈ પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે. ચોકસાઈની ખોટ, જે સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ બિંદુઓની નજીકમાં અથવા ગલીની પરિસ્થિતિમાં થાય છે, તે સામાન્ય રીતે ગ્રેડિએન્ટ ડિસેન્ટ પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સને વિક્ષેપિત કરી શકે છે. એક્સઉપરોક્ત કારણોને લીધે, સમસ્યાને ઉકેલવાના પ્રારંભિક તબક્કે ઢાળ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અન્ય, વધુ અસરકારક પદ્ધતિઓ સાથે સંયોજનમાં થાય છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ

લઘુત્તમ બિંદુથી દૂર છે, અને એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં પગલાઓ કાર્યમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઉપર ચર્ચા કરાયેલી ઢાળ પદ્ધતિઓ સામાન્ય કિસ્સામાં ફંકશનનો ન્યૂનતમ બિંદુ ફક્ત અનંત સંખ્યામાં પુનરાવર્તનોમાં જ શોધે છે. સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ શોધ દિશાઓ જનરેટ કરે છે જે કાર્યની ભૂમિતિને ઘટાડવામાં આવે છે તેની સાથે વધુ સુસંગત છે. આ તેમના કન્વર્જન્સની ઝડપમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે અને ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

f(x) = (x, Hx) + (b, x) + a સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથેએન પગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં p,

ફંક્શન ચલોની સંખ્યા જેટલી. nન્યૂનતમ બિંદુની નજીકમાં કોઈપણ સરળ કાર્યને ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે, તેથી બિન-ક્વાડ્રેટિક કાર્યોને ઘટાડવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિઓનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ મર્યાદિત થવાનું બંધ કરે છે અને પુનરાવર્તિત બને છે. એક્સવ્યાખ્યા દ્વારા, બે -પરિમાણીય વેક્ટરઅને ખાતેમેટ્રિક્સ સંબંધિત એચ(અથવા એચ-સંયુક્ત), જો સ્કેલર ઉત્પાદન (x, સારું) = 0.અહીં એન -કદનું સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ nએક્સ પી.

કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓમાં સૌથી નોંધપાત્ર સમસ્યાઓ પૈકીની એક કાર્યક્ષમ રીતે દિશાઓ બાંધવાની સમસ્યા છે. ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ દરેક પગલા પર એન્ટિગ્રેડિયન્ટને રૂપાંતરિત કરીને આ સમસ્યાને હલ કરે છે -f(x[આર]) દિશામાં પી[આર], એચ-અગાઉ મળેલ દિશાઓ સાથે જોડાણ વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ, વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ, ..., વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ[આર-1].

ચાલો પ્રથમ ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાના સંબંધમાં આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ. વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ[આરદિશાઓ

] ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે: આર] = -- એક્સ[આર]) p[ પી[આર+b k-1 આર>= 1;

-l], p = -’(x) .

f આર b મૂલ્યો પી[આર], વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ[આર-1 પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી દિશાઓ એચ-1] હતા :

(પી[આર], -સંયુક્ત[એચપી 1])= 0.

પરિણામે, ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે

પુનરાવર્તિત લઘુત્તમ પ્રક્રિયા ફોર્મ ધરાવે છે આર f'(x x[[આર]=x[આર],

+a k પી વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ[આર] - જ્યાં એચપીમાટે વંશની દિશા m પગલું;અને k - પગલું કદ.બાદમાં ફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે એ f(x)

f(x[ આર] + દ્વારા[આર]) = f(x[આર] + ચળવળની દિશામાં, એટલે કે એક-પરિમાણીય લઘુત્તમ સમસ્યાને હલ કરવાના પરિણામે: [આર]) .

a k આર

ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે એક્સફ્લેચર-રીવ્સ કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે. પી = -- એક્સ) .

1. બિંદુ પર એચપીગણતરી કરેલ એ 2. ચાલુ . m પગલું, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, પગલું નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ[X[ 1].

k f(x[આર+1]) અને સમયગાળો - એક્સ[આર+1]) .

3. મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે - એક્સ) અને એક્સ[આર 4. જો = 0, પછી બિંદુ+1] એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે પી[આર f(x).

નહિંતર, નવી દિશા નક્કી થાય છે n+l] સંબંધમાંથી અને આગામી પુનરાવર્તન માટે સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા લઘુત્તમ ક્વાડ્રેટિક ફંક્શનને વધુમાં શોધી શકશે નહીંપગલાં એક્સજ્યારે બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડી રહ્યા હોય, ત્યારે ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ મર્યાદિતમાંથી પુનરાવર્તિત બને છે. આ કિસ્સામાં, પછી એક્સ[n(p+

પુનરાવર્તિત લઘુત્તમ પ્રક્રિયા ફોર્મ ધરાવે છે આર f'(x 1) પ્રક્રિયા 1-4 ની પુનરાવૃત્તિ ચક્રીય રીતે રિપ્લેસમેન્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે[આર]=x[આર],

] ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે: આર] ચાલુ[આર])+ +1] , અને ગણતરીઓ પર સમાપ્ત થાય છે, જ્યાં આપેલ સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિમાં નીચેના ફેરફારનો ઉપયોગ થાય છે: એચપી 1 પી[આર+b k-1 આર>= 1;

= x k+);

f(x[ આર] + = -f'(x[આર]) = f(x[આર] b[આર];

p = -f’( a k p+ap a k pઅહીં આઈ- ઘણા સૂચકાંકો: n= (0, n, 2

p, પગાર, ...) એક્સ, એટલે કે પદ્ધતિ દર વખતે અપડેટ થાય છે વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ = પગલાંકન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે (ફિગ. 2.11). આપેલ પ્રારંભિક બિંદુથી એક્સવંશ દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે -f"(x). એક્સબિંદુએ વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ, ઢાળ વેક્ટર નક્કી થાય છે ] વિરોધી ઢાળ -) f"(x વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ). ત્યારથી વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ , એચદિશામાં કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએતે વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએઓર્થોગોનલ થી વેક્ટર

. પછી વેક્ટર મળે છે . - સાથે જોડવું

લઘુત્તમ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંયુક્ત દિશા પદ્ધતિઓ સૌથી અસરકારક છે. જો કે, એ નોંધવું જોઇએ કે તેઓ ગણતરી પ્રક્રિયા દરમિયાન થતી ભૂલો પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે. મોટી સંખ્યામાં ચલો સાથે, ભૂલ એટલી વધી શકે છે કે ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે પણ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવી પડશે, એટલે કે તેના માટેની પ્રક્રિયા હંમેશા તેમાં બંધબેસતી નથી. n= (0, n, 2

દરેક પુનરાવૃત્તિ પર સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પગલાનું કદ એ આર ફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે f(x)વંશની દિશામાં, એટલે કે.

f(x[આર] -a આર -f"(x[આર])) = f(x f'(x -af"(x[આર])) .

આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથેની હિલચાલ ફંક્શનના મૂલ્ય સુધી થાય છે f(x)ઘટે છે. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, દરેક પુનરાવૃત્તિ પર એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે એકાર્યો

j (a) = f(x[આર]-af"(x[આર])) .

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.

1. પ્રારંભિક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સેટ કરો એક્સ.
2. બિંદુ પર એક્સ[આર], k = 0, 1, 2, ... ગ્રેડિયન્ટ મૂલ્યની ગણતરી કરે છે -f"(x[આર]) .
3. પગલાનું કદ નક્કી કરવામાં આવે છે a k, એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ દ્વારા એકાર્યો જે (a) = f(x[આર]-af"(x[આર])).
4. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ[X[ 1]:

એક્સ i [X[ 1]1) પ્રક્રિયા 1-4 ની પુનરાવૃત્તિ ચક્રીય રીતે રિપ્લેસમેન્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે i [આર] -એ આર f" i (એક્સ[આર]), i = 1,..., p.

વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિમાં, બિંદુથી ચળવળની દિશા એક્સ[આર] બિંદુ પર સ્તર રેખાને સ્પર્શે છે k+[X[ 1] (ફિગ. 2.9). વંશનો માર્ગ વાંકોચૂંકો છે, અડીને ઝિગઝેગ એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ લિંક્સ સાથે. ખરેખર, એક પગલું a k ને નાનું કરીને પસંદ કરવામાં આવે છે એકાર્યો? (a) = f(x f'(x -af"(x[આર])) . કાર્યના ન્યૂનતમ માટે જરૂરી શરત કાર્યના ન્યૂનતમ માટે જરૂરી શરત j ડીજટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કર્યા પછી, અમે પડોશી બિંદુઓ પર વંશ દિશાઓના વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ:

કાર્યના ન્યૂનતમ માટે જરૂરી શરત j (a)/da = -f"(x[X[ 1]-f"(x[આર]) = 0.

ચોખા. 2.9.

ચોખા. 2.10.

ઢાળ પદ્ધતિઓનો કન્વર્જન્સ રેટ પણ ગ્રેડિયન્ટ ગણતરીઓની ચોકસાઈ પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે. ચોકસાઈની ખોટ, જે સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ બિંદુઓની નજીકમાં અથવા ગલીની પરિસ્થિતિમાં થાય છે, તે સામાન્ય રીતે ગ્રેડિએન્ટ ડિસેન્ટ પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સને વિક્ષેપિત કરી શકે છે. ઉપરોક્ત કારણોને લીધે, સમસ્યાને ઉકેલવાના પ્રારંભિક તબક્કે ઢાળ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અન્ય, વધુ અસરકારક પદ્ધતિઓ સાથે સંયોજનમાં થાય છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ એક્સલઘુત્તમ બિંદુથી દૂર છે, અને એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં પગલાઓ કાર્યમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ (અંગ્રેજી સાહિત્યમાં "બેહદ વંશની પદ્ધતિ") એ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પુનરાવર્તિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ (પ્રથમ ક્રમ) છે, જે તમને ઉદ્દેશ્ય કાર્યની સીમા (ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ) નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે:

વાસ્તવિક ડોમેન પર ફંક્શન દલીલ (નિયંત્રિત પરિમાણો) ના મૂલ્યો છે.

વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિ અનુસાર, ઉદ્દેશ્ય કાર્યની સીમા (મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ) કાર્યના સૌથી ઝડપી વધારો (ઘટાડા) ની દિશામાં નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. કાર્યના ઢાળ (એન્ટિ-ગ્રેડિયન્ટ) ની દિશામાં. એક બિંદુ પર ગ્રેડિયન્ટ ફંક્શન એક વેક્ટર છે જેના કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પરના અંદાજો કોઓર્ડિનેટના સંદર્ભમાં ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે:

જ્યાં i, j,…, n એ સંકલન અક્ષોની સમાંતર એકમ વેક્ટર છે.

આધાર બિંદુ પર ઢાળ સપાટી પર સખત રીતે ઓર્થોગોનલ છે, અને તેની દિશા કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા બતાવે છે, અને વિરુદ્ધ દિશા (એન્ટિગ્રેડિયન્ટ), અનુક્રમે, કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા દર્શાવે છે.

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ એ ઢાળવાળી વંશ પદ્ધતિનો વધુ વિકાસ છે. સામાન્ય રીતે, ફંક્શનની સીમા શોધવાની પ્રક્રિયા એ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા છે, જે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

જ્યાં "+" ચિહ્નનો ઉપયોગ મહત્તમ કાર્ય શોધવા માટે થાય છે, અને "-" ચિહ્નનો ઉપયોગ લઘુત્તમ કાર્ય શોધવા માટે થાય છે;

એકમ દિશા વેક્ટર, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

- ગ્રેડિયન્ટ મોડ્યુલ ગ્રેડિયન્ટ અથવા એન્ટી-ગ્રેડિયન્ટની દિશામાં ફંક્શનના વધારા અથવા ઘટાડાનો દર નક્કી કરે છે:

એક સ્થિરાંક જે પગલાનું કદ નક્કી કરે છે અને તે તમામ i-th દિશાઓ માટે સમાન છે.

ચળવળની દિશામાં લઘુત્તમ ઉદ્દેશ્ય ફંક્શન f(x) ની સ્થિતિમાંથી સ્ટેપનું કદ પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, ઢાળ અથવા એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને ઉકેલવાના પરિણામે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પગલાનું કદ આ સમીકરણને હલ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:

આમ, ગણતરીનું પગલું એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જ્યાં સુધી કાર્ય સુધરે નહીં ત્યાં સુધી ચળવળ હાથ ધરવામાં આવે છે, આમ અમુક બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ સુધી પહોંચે છે. આ બિંદુએ, શોધ દિશા ફરીથી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે (ગ્રેડિયન્ટનો ઉપયોગ કરીને) અને ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો એક નવો શ્રેષ્ઠ બિંદુ માંગવામાં આવે છે, વગેરે. આમ, આ પદ્ધતિમાં, શોધ મોટા પગલાઓમાં થાય છે, અને કાર્યના ઢાળની ગણતરી પોઈન્ટની નાની સંખ્યામાં થાય છે.

બે ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં, આ પદ્ધતિમાં નીચેની ભૌમિતિક અર્થઘટન છે: બિંદુ પરથી ચળવળની દિશા બિંદુ પરની સ્તર રેખાને સ્પર્શે છે. વંશનો માર્ગ વાંકોચૂંકો છે, અડીને ઝિગઝેગ એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ લિંક્સ સાથે. પડોશી બિંદુઓ પર વંશ દિશાઓના વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ નીચેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા લખાયેલ છે:

ફંક્શન f(x) ના સમાન સ્તરની રેખાના ગ્રાફ પર દર્શાવવામાં આવેલ સૌથી ઊભો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને છેડાના બિંદુ સુધીની હિલચાલનો માર્ગ

પુનરાવર્તિત ગણતરીના પગલા (કેટલાક માપદંડો) પર શ્રેષ્ઠ ઉકેલની શોધ સમાપ્ત થાય છે:

શોધ માર્ગ વર્તમાન શોધ બિંદુના નાના પડોશમાં રહે છે:

ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો વધારો બદલાતો નથી:

સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ પર ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો ઢાળ શૂન્ય બને છે:

એ નોંધવું જોઈએ કે કોતર સાથે આગળ વધતી વખતે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિ ખૂબ જ ધીમી હોય છે, અને ઉદ્દેશ્ય કાર્યમાં ચલોની સંખ્યા વધે છે, પદ્ધતિની આ વર્તણૂક લાક્ષણિક બની જાય છે. કોતર એ ડિપ્રેશન છે, જેની સ્તર રેખાઓ લગભગ અર્ધ-અક્ષો સાથે લંબગોળ આકાર ધરાવે છે જે ઘણી વખત અલગ પડે છે. કોતરની હાજરીમાં, ઉતરતા માર્ગ નાના પગલા સાથે ઝિગઝેગ લાઇનનું સ્વરૂપ લે છે, જેના પરિણામે લઘુત્તમ સુધી ઉતરવાની પરિણામી ગતિ ઘણી ધીમી થઈ જાય છે. આ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે આ કાર્યોના એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશા દિશાથી લઘુત્તમ બિંદુ તરફ નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે, જે ગણતરીમાં વધારાના વિલંબ તરફ દોરી જાય છે. પરિણામે, અલ્ગોરિધમ કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યક્ષમતા ગુમાવે છે.

ગલી કાર્ય

ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ, તેના અસંખ્ય ફેરફારો સાથે, અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ્સની શ્રેષ્ઠતાને શોધવા માટેની એક સામાન્ય અને અસરકારક પદ્ધતિ છે. ગ્રેડિયન્ટ શોધનો ગેરલાભ (તેમજ ઉપર ચર્ચા કરેલી પદ્ધતિઓ) એ છે કે તેનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ફંક્શનની માત્ર સ્થાનિક સીમા શોધી શકાય છે. અન્ય સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમા શોધવા માટે, અન્ય પ્રારંભિક બિંદુઓથી શોધ કરવી જરૂરી છે. ઉપરાંત, ઢાળ પદ્ધતિઓના સંપાતની ઝડપ પણ નોંધપાત્ર રીતે ઢાળની ગણતરીઓની ચોકસાઈ પર આધાર રાખે છે. ચોકસાઈની ખોટ, જે સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ બિંદુઓની નજીકમાં અથવા ગલીની પરિસ્થિતિમાં થાય છે, તે સામાન્ય રીતે ગ્રેડિએન્ટ ડિસેન્ટ પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સને વિક્ષેપિત કરી શકે છે.

ગણતરી પદ્ધતિ

પગલું 1:કાર્યના ઢાળની ગણતરી કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ (પ્રતિકાત્મક સ્વરૂપમાં) ની વ્યાખ્યા

પગલું 2: પ્રારંભિક અંદાજ સેટ કરો

પગલું 3:છેલ્લી શોધ દિશાને ફરીથી સેટ કરવા માટે અલ્ગોરિધમિક પ્રક્રિયાને પુનઃપ્રારંભ કરવાની જરૂરિયાત નક્કી કરવામાં આવે છે. પુનઃપ્રારંભના પરિણામે, શોધ ફરીથી ઝડપી વંશની દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે.