10 ગ્રામ મુક્ત સ્પંદનો સાથે આડી વસંત લોલકનું વિસ્થાપન

સ્પ્રિંગ લોલક એ એક ઓસીલેટરી સિસ્ટમ છે જેમાં દળ m અને સ્પ્રિંગના ભૌતિક બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો આડી વસંત લોલકને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 1, એ). તે એક વિશાળ શરીર ધરાવે છે, જે મધ્યમાં ડ્રિલ કરવામાં આવે છે અને આડી સળિયા પર મૂકવામાં આવે છે, જેની સાથે તે ઘર્ષણ વિના સરકી શકે છે (એક આદર્શ ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમ). સળિયા બે વર્ટિકલ સપોર્ટ વચ્ચે નિશ્ચિત છે.

શરીર સાથે એક છેડે વજનહીન ઝરણું જોડાયેલું છે. તેનો બીજો છેડો આધાર પર નિશ્ચિત છે, જે સરળ કિસ્સામાં જડતા સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં આરામ કરે છે જેમાં લોલક ઓસીલેટ થાય છે. શરૂઆતમાં, સ્પ્રિંગ વિકૃત નથી, અને શરીર સમતુલા સ્થિતિમાં છે C. જો, સ્પ્રિંગને ખેંચીને અથવા સંકુચિત કરીને, શરીરને સંતુલન સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે, તો પછી એક સ્થિતિસ્થાપક બળ તેના પર કાર્ય કરવાનું શરૂ કરશે. વિકૃત વસંતની બાજુ, હંમેશા સંતુલન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત.

ચાલો સ્પ્રિંગને સંકુચિત કરીએ, શરીરને A સ્થિતિમાં ખસેડીએ અને તેને છોડી દઈએ. સ્થિતિસ્થાપક બળના પ્રભાવ હેઠળ, તે ઝડપથી આગળ વધશે. આ કિસ્સામાં, સ્થિતિ A માં શરીર પર મહત્તમ સ્થિતિસ્થાપક બળ કાર્ય કરે છે, કારણ કે અહીં વસંતનું સંપૂર્ણ વિસ્તરણ x m સૌથી વધુ છે. તેથી, આ સ્થિતિમાં પ્રવેગક મહત્તમ છે. જેમ જેમ શરીર સંતુલન સ્થિતિ તરફ આગળ વધે છે તેમ, સ્પ્રિંગનું સંપૂર્ણ વિસ્તરણ ઘટતું જાય છે, અને પરિણામે, સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા અપાયેલ પ્રવેગ ઘટે છે. પરંતુ આપેલ ચળવળ દરમિયાન પ્રવેગક ગતિ સાથે સહ-નિર્દેશિત હોવાથી, લોલકની ઝડપ વધે છે અને સંતુલન સ્થિતિમાં તે મહત્તમ હશે.

સંતુલન સ્થિતિ C પર પહોંચ્યા પછી, શરીર અટકશે નહીં (જોકે આ સ્થિતિમાં વસંત વિકૃત નથી અને સ્થિતિસ્થાપક બળ શૂન્ય છે), પરંતુ ઝડપ સાથે, તે વસંતને ખેંચીને જડતા દ્વારા વધુ આગળ વધશે. સ્થિતિસ્થાપક બળ જે ઉદભવે છે તે હવે શરીરની હિલચાલ સામે નિર્દેશિત થાય છે અને તેને ધીમું કરે છે. બિંદુ D પર, શરીરની ગતિ શૂન્ય જેટલી હશે, અને પ્રવેગક મહત્તમ હશે, શરીર એક ક્ષણ માટે બંધ થઈ જશે, તે પછી, સ્થિતિસ્થાપક બળના પ્રભાવ હેઠળ, તે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધવાનું શરૂ કરશે. , સમતુલા સ્થિતિ માટે. તેને જડતા દ્વારા ફરીથી પસાર કર્યા પછી, શરીર, વસંતને સંકુચિત કરીને અને ચળવળને ધીમું કરીને, બિંદુ A પર પહોંચશે (કારણ કે ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી), એટલે કે. સંપૂર્ણ સ્વિંગ પૂર્ણ કરશે. આ પછી, શરીરની હિલચાલ વર્ણવેલ ક્રમમાં પુનરાવર્તિત થશે. તેથી, વસંત લોલકના મુક્ત ઓસિલેશનના કારણો એ સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા છે જે જ્યારે વસંત વિકૃત થાય છે અને શરીરની જડતા ઊભી થાય છે.

હૂકના નિયમ અનુસાર, F x = -kx. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, F x = ma x. તેથી, ma x = -kx. અહીંથી

સ્પ્રિંગ લોલકની ગતિનું ગતિશીલ સમીકરણ.

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રવેગક મિશ્રણના સીધા પ્રમાણસર છે અને તેની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે. હાર્મોનિક સ્પંદનોના સમીકરણ સાથે પરિણામી સમીકરણની સરખામણી , આપણે જોઈએ છીએ કે વસંત લોલક ચક્રીય આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે

કોઈપણ સમયાંતરે પુનરાવર્તિત ચળવળને ઓસીલેટરી કહેવામાં આવે છે. તેથી, ઓસિલેશન દરમિયાન સમયસર શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ગતિની અવલંબન સમયના સામયિક કાર્યો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. શાળાના ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમમાં, સ્પંદનોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જેમાં શરીરની અવલંબન અને વેગ ત્રિકોણમિતિના કાર્યો છે. , અથવા તેનું સંયોજન, જ્યાં ચોક્કસ સંખ્યા છે. આવા ઓસિલેશનને હાર્મોનિક (કાર્યો અને ઘણીવાર હાર્મોનિક ફંક્શન તરીકે ઓળખાય છે). ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના કાર્યક્રમમાં સમાવિષ્ટ ઓસિલેશન પરની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, તમારે ઓસીલેટરી ગતિની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓની વ્યાખ્યાઓ જાણવાની જરૂર છે: કંપનવિસ્તાર, અવધિ, આવર્તન, પરિપત્ર (અથવા ચક્રીય) આવર્તન અને ઓસિલેશનનો તબક્કો. ચાલો આપણે આ વ્યાખ્યાઓ આપીએ અને સૂચિબદ્ધ જથ્થાઓને સમયસર શરીરના સંકલનની અવલંબનના પરિમાણો સાથે જોડીએ, જે હાર્મોનિક ઓસિલેશનના કિસ્સામાં હંમેશા સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

જ્યાં, અને કેટલાક નંબરો છે.

ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર એ ઓસીલેટીંગ બોડીનું તેની સંતુલન સ્થિતિથી મહત્તમ વિચલન છે. (11.1) માં કોસાઇનના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો ±1 ની બરાબર હોવાથી, શરીરના ઓસીલેટીંગ (11.1) ના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર બરાબર છે. ઓસિલેશનનો સમયગાળો એ ન્યૂનતમ સમય છે જેના પછી શરીરની હિલચાલનું પુનરાવર્તન થાય છે. અવલંબન (11.1) માટે, અવધિ નીચેની વિચારણાઓથી સેટ કરી શકાય છે. કોસાઇન એ સમયગાળા સાથેનું સામયિક કાર્ય છે. તેથી, ચળવળ સંપૂર્ણપણે આવા મૂલ્ય દ્વારા પુનરાવર્તિત થાય છે કે . અહીંથી આપણને મળે છે

ઓસિલેશનની ગોળાકાર (અથવા ચક્રીય) આવર્તન એ સમયના એકમ દીઠ કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા છે. સૂત્ર (11.3) પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે પરિપત્ર આવર્તન એ સૂત્ર (11.1) માંથી જથ્થો છે.

ઓસિલેશન તબક્કો એ ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલ છે જે સમય પર સંકલનની અવલંબનનું વર્ણન કરે છે. સૂત્ર (11.1) થી આપણે જોઈએ છીએ કે શરીરના ઓસિલેશનનો તબક્કો, જેની હિલચાલ અવલંબન (11.1) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તે સમાન છે . સમયે ઓસિલેશન તબક્કાનું મૂલ્ય = 0 પ્રારંભિક તબક્કો કહેવાય છે. અવલંબન માટે (11.1), ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો બરાબર છે. દેખીતી રીતે, ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો સમય સંદર્ભ બિંદુ (ક્ષણ = 0) ની પસંદગી પર આધાર રાખે છે, જે હંમેશા શરતી હોય છે. સમયના મૂળમાં ફેરફાર કરીને, ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો હંમેશા શૂન્યની બરાબર "બનાવ્યો" હોઈ શકે છે, અને સૂત્ર (11.1) માં સાઈનને કોસાઈનમાં અથવા તેનાથી ઊલટું "બદલ" કરી શકાય છે.

એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના કાર્યક્રમમાં વસંત અને ગાણિતિક લોલકની આવર્તનની આવર્તન માટેના સૂત્રોના જ્ઞાનનો પણ સમાવેશ થાય છે. સ્પ્રિંગ લોલકને સામાન્ય રીતે બોડી કહેવામાં આવે છે જે સ્પ્રિંગની ક્રિયા હેઠળ સરળ આડી સપાટી પર ઓસીલેટ કરી શકે છે, જેનો બીજો છેડો નિશ્ચિત છે (ડાબી આકૃતિ). ગાણિતિક લોલક એ એક વિશાળ શરીર છે, જેના પરિમાણોને અવગણવામાં આવી શકે છે, લાંબા, વજન વિનાના અને અક્ષમ થ્રેડ (જમણી આકૃતિ) પર ઓસીલેટીંગ કરી શકાય છે. આ સિસ્ટમનું નામ - "ગાણિતિક લોલક" - એ હકીકતને કારણે છે કે તે અમૂર્તનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે ગાણિતિકવાસ્તવિક મોડેલ ( ભૌતિક) લોલક. વસંત અને ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનના સમયગાળા (અથવા આવર્તન) માટેના સૂત્રો યાદ રાખવા જરૂરી છે. વસંત લોલક માટે

થ્રેડની લંબાઈ ક્યાં છે, ગુરુત્વાકર્ષણનું પ્રવેગક છે. ચાલો સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ વ્યાખ્યાઓ અને કાયદાઓના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

માં લોડના ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન શોધવા માટે કાર્ય 11.1.1ચાલો પહેલા ઓસિલેશનનો સમયગાળો શોધીએ, અને પછી સૂત્ર (11.2) નો ઉપયોગ કરીએ. 10 m 28 s એ 628 s છે, અને આ સમય દરમિયાન લોડ 100 વખત ઓસીલેટ થાય છે, લોડના ઓસિલેશનનો સમયગાળો 6.28 s છે. તેથી, ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન 1 s -1 છે (જવાબ 2 ). IN સમસ્યા 11.1.2લોડ 600 સેકન્ડમાં 60 ઓસિલેશન કરે છે, તેથી ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી 0.1 સે -1 છે (જવાબ 1 ).

2.5 સમયગાળામાં લોડ કેટલો દૂર જશે તે સમજવા માટે ( સમસ્યા 11.1.3), ચાલો તેની હિલચાલને અનુસરીએ. સમયગાળા પછી, લોડ સંપૂર્ણ ઓસિલેશનને પૂર્ણ કરીને, મહત્તમ વિચલનના બિંદુ પર પાછો આવશે. તેથી, આ સમય દરમિયાન, ભાર ચાર કંપનવિસ્તારના સમાન અંતરની મુસાફરી કરશે: સંતુલન સ્થિતિ સુધી - એક કંપનવિસ્તાર, સંતુલન સ્થિતિથી બીજી દિશામાં મહત્તમ વિચલનના બિંદુ સુધી - બીજું, સંતુલન સ્થિતિ પર પાછા ફરશે - ત્રીજું, સંતુલન સ્થિતિથી પ્રારંભિક બિંદુ સુધી - ચોથું. બીજા સમયગાળા દરમિયાન, ભાર ફરીથી ચાર કંપનવિસ્તારમાંથી પસાર થશે, અને બાકીના અડધા સમયગાળા દરમિયાન - બે કંપનવિસ્તાર. તેથી, મુસાફરી કરેલ અંતર દસ કંપનવિસ્તાર સમાન છે (જવાબ 4 ).

શરીરની હિલચાલની માત્રા એ પ્રારંભિક બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. માં 2.5 થી વધુ સમયગાળા કાર્ય 11.1.4શરીર પાસે બે સંપૂર્ણ અને અડધા સંપૂર્ણ ઓસિલેશન પૂર્ણ કરવા માટે સમય હશે, એટલે કે. મહત્તમ વિચલન પર હશે, પરંતુ સંતુલન સ્થિતિની બીજી બાજુ. તેથી, વિસ્થાપનની તીવ્રતા બે કંપનવિસ્તાર સમાન છે (જવાબ 3 ).

વ્યાખ્યા મુજબ, ઓસિલેશન તબક્કો એ ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલ છે જે સમયસર ઓસીલેટીંગ બોડીના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનનું વર્ણન કરે છે. તેથી સાચો જવાબ છે સમસ્યા 11.1.5 - 3 .

સમયગાળો એ સંપૂર્ણ ઓસિલેશનનો સમય છે. આનો અર્થ એ છે કે શરીરના તે જ બિંદુ પર પાછા ફરવું જ્યાંથી શરીર ખસેડવાનું શરૂ કરે છે તેનો અર્થ એ નથી કે સમયગાળો પસાર થઈ ગયો છે: શરીરએ સમાન ગતિ સાથે તે જ બિંદુ પર પાછા આવવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, એક શરીર, સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસિલેશન શરૂ કર્યા પછી, તેની પાસે એક દિશામાં મહત્તમ રકમથી વિચલિત થવાનો, પાછા ફરવાનો, બીજી દિશામાં મહત્તમથી વિચલિત થવાનો અને ફરીથી પાછા ફરવાનો સમય હશે. તેથી, સમયગાળા દરમિયાન શરીરને બે વાર સંતુલન સ્થિતિમાંથી મહત્તમ રકમથી વિચલિત થવા અને પાછા ફરવાનો સમય હશે. પરિણામે, સંતુલન સ્થિતિથી મહત્તમ વિચલનના બિંદુ સુધીનો માર્ગ ( સમસ્યા 11.1.6) શરીર સમયગાળાનો એક ક્વાર્ટર વિતાવે છે (જવાબ 3 ).

હાર્મોનિક ઓસિલેશન્સ તે છે જેમાં સમય પર ઓસીલેટીંગ બોડીના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન સમયના ત્રિકોણમિતિ (સાઇન અથવા કોસાઇન) કાર્ય દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. IN કાર્ય 11.1.7આ ફંક્શન્સ છે અને , એ હકીકત હોવા છતાં કે તેમાં સમાવિષ્ટ પરિમાણોને 2 અને 2 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે. કાર્ય એ સમયના વર્ગનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે. તેથી, માત્ર માત્રાના સ્પંદનો અને હાર્મોનિક છે (જવાબ 4 ).

હાર્મોનિક વાઇબ્રેશન દરમિયાન, શરીરની ગતિ નિયમ અનુસાર બદલાય છે , સ્પીડ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ક્યાં છે (સમય સંદર્ભ બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી ઓસિલેશનનો પ્રારંભિક તબક્કો શૂન્યની બરાબર હોય). અહીંથી આપણે સમયસર શરીરની ગતિ ઊર્જાની અવલંબન શોધીએ છીએ
(સમસ્યા 11.1.8). વધુ જાણીતા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

આ સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે હાર્મોનિક વાઇબ્રેશન દરમિયાન શરીરની ગતિ ઊર્જા પણ હાર્મોનિક નિયમ અનુસાર બદલાય છે, પરંતુ બમણી આવર્તન સાથે (જવાબ 2 ).

ભારની ગતિ ઊર્જા અને વસંતની સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેના સંબંધની પાછળ ( સમસ્યા 11.1.9) નીચેના વિચારણાઓમાંથી અનુસરવા માટે સરળ છે. જ્યારે શરીરને સંતુલન સ્થિતિથી મહત્તમ રકમ દ્વારા વિચલિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે શરીરની ગતિ શૂન્ય હોય છે, અને તેથી, વસંતની સંભવિત ઊર્જા ભારની ગતિ ઊર્જા કરતાં વધુ હોય છે. તેનાથી વિપરિત, જ્યારે શરીર સંતુલન સ્થિતિને પસાર કરે છે, ત્યારે વસંતની સંભવિત ઊર્જા શૂન્ય હોય છે, અને તેથી ગતિ ઊર્જા સંભવિત ઊર્જા કરતાં વધુ હોય છે. તેથી, સંતુલન સ્થિતિ અને મહત્તમ વિચલન વચ્ચે, ગતિ અને સંભવિત ઉર્જાની સરખામણી એકવાર કરવામાં આવે છે. અને કારણ કે સમયગાળા દરમિયાન શરીર સંતુલન સ્થિતિથી મહત્તમ વિચલન અથવા પાછળ તરફ ચાર વખત પસાર થાય છે, પછી સમયગાળા દરમિયાન લોડની ગતિ ઊર્જા અને વસંતની સંભવિત ઊર્જા એકબીજા સાથે ચાર વખત સરખાવવામાં આવે છે (જવાબ 2 ).

ઝડપ વધઘટનું કંપનવિસ્તાર ( કાર્ય 11.1.10) ઊર્જા સંરક્ષણના કાયદાનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું સૌથી સરળ છે. મહત્તમ વિચલનના બિંદુએ, ઓસીલેટરી સિસ્ટમની ઊર્જા વસંતની સંભવિત ઊર્જા જેટલી હોય છે. , સ્પ્રિંગ જડતા ગુણાંક ક્યાં છે, કંપન કંપનવિસ્તાર છે. સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે, શરીરની ઊર્જા ગતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે , શરીરનું દળ ક્યાં છે, સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે શરીરની ગતિ છે, જે ઓસિલેશન પ્રક્રિયા દરમિયાન શરીરની મહત્તમ ગતિ છે અને તેથી, ગતિના કંપનવિસ્તારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ શક્તિઓની સમાનતા, આપણે શોધીએ છીએ

(જવાબ 4 ).

સૂત્ર (11.5) થી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ ( સમસ્યા 11.2.2), કે તેનો સમયગાળો ગાણિતિક લોલકના સમૂહ પર આધાર રાખતો નથી, અને લંબાઈમાં 4 ગણા વધારા સાથે, ઓસિલેશનનો સમયગાળો 2 ગણો વધે છે (જવાબ 1 ).

ઘડિયાળ એ એક ઓસીલેટરી પ્રક્રિયા છે જેનો ઉપયોગ સમયના અંતરાલોને માપવા માટે થાય છે ( સમસ્યા 11.2.3). "ઘડિયાળ ઉતાવળમાં છે" શબ્દોનો અર્થ એ છે કે આ પ્રક્રિયાનો સમયગાળો જે હોવો જોઈએ તેના કરતા ઓછો છે. તેથી, આ ઘડિયાળોની પ્રગતિને સ્પષ્ટ કરવા માટે, પ્રક્રિયાની અવધિ વધારવી જરૂરી છે. સૂત્ર (11.5) મુજબ, ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો વધારવા માટે, તેની લંબાઈ વધારવી જરૂરી છે (જવાબ 3 ).

માં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર શોધવા માટે સમસ્યા 11.2.4, એક ત્રિકોણમિતિ કાર્યના સ્વરૂપમાં સમયસર શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું જરૂરી છે. શરતમાં આપેલ કાર્ય માટે, આ એક વધારાનો કોણ રજૂ કરીને કરી શકાય છે. આ ફંક્શનને વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવો અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ઉમેરવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

કોણ એવો ક્યાં છે . આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે શરીરના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર છે (જવાબ 4 ).

સ્પ્રિંગ પેન્ડુલમ એ એક મટીરીયલ પોઈન્ટ છે જેમાં દળ એક જડતા સાથે એકદમ સ્થિતિસ્થાપક વજનહીન સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે. . બે સૌથી સરળ કિસ્સાઓ છે: આડી (ફિગ. 15, એ) અને વર્ટિકલ (ફિગ. 15, b) લોલક.

અ) આડું લોલક(ફિગ. 15,a). જ્યારે ભાર ખસે છે
સંતુલન સ્થિતિમાંથી રકમ દ્વારા તેના પર આડી દિશામાં કાર્ય કરે છે સ્થિતિસ્થાપક બળ પુનઃસ્થાપિત
(હૂકનો કાયદો).

એવું માનવામાં આવે છે કે આડી આધાર જેની સાથે લોડ સ્લાઇડ થાય છે
તેના સ્પંદનો દરમિયાન, તે એકદમ સરળ છે (કોઈ ઘર્ષણ નથી).

b) વર્ટિકલ લોલક(ફિગ. 15, b). આ કિસ્સામાં સંતુલન સ્થિતિ શરત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે:

જ્યાં - લોડ પર કામ કરતા સ્થિતિસ્થાપક બળની તીવ્રતા
જ્યારે વસંત સ્થિર રીતે ખેંચાય છે ભારના ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ
.

ફિગ. 15. વસંત લોલક: એ- આડી અને b- ઊભી

જો તમે સ્પ્રિંગને ખેંચો છો અને લોડ છોડો છો, તો તે ઊભી રીતે ઓસીલેટ થવાનું શરૂ કરશે. જો કોઈ સમયે વિસ્થાપન થાય છે
, પછી સ્થિતિસ્થાપક બળ હવે આ રીતે લખવામાં આવશે
.

બંને કિસ્સાઓમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, વસંત લોલક સમયગાળા સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે

(27)

અને ચક્રીય આવર્તન

. (28)

સ્પ્રિંગ લોલકના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે હાર્મોનિક ઓસિલેશન એ બળને કારણે થતી ગતિ છે જે વિસ્થાપનના પ્રમાણમાં વધે છે. . આમ, જો પુનઃસ્થાપિત બળ હૂકના કાયદા જેવું લાગે છે
(તેણીને નામ મળ્યુંઅર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ ), પછી સિસ્ટમે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરવું આવશ્યક છે.સંતુલન સ્થિતિ પસાર કરતી વખતે, શરીર પર કોઈ પુનઃસ્થાપિત બળ કાર્ય કરતું નથી; જો કે, શરીર, જડતા દ્વારા, સંતુલન સ્થિતિને પસાર કરે છે અને પુનઃસ્થાપિત બળ વિરુદ્ધ દિશામાં બદલાય છે.

ગણિતનું લોલક

ફિગ. 16.

ડિફ્લેક્શનના નાના ખૂણા પર આવા લોલકના ઓસિલેશન
(5º થી વધુ નહીં) ને હાર્મોનિક ગણી શકાય, અને ગાણિતિક લોલકની ચક્રીય આવર્તન:

, (29)

અને સમયગાળો:

. (30)

2.3. હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન શારીરિક ઊર્જા

પ્રારંભિક દબાણ દરમિયાન ઓસીલેટરી સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ઉર્જા સમયાંતરે રૂપાંતરિત થશે: વિકૃત સ્પ્રિંગની સંભવિત ઊર્જા મૂવિંગ લોડ અને બેકની ગતિ ઊર્જામાં પરિવર્તિત થશે.

વસંત લોલકને પ્રારંભિક તબક્કા સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરવા દો
, એટલે કે
(ફિગ. 17).

ફિગ. 17. યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો કાયદો

જ્યારે વસંત લોલક ઓસીલેટ થાય છે

સંતુલન સ્થિતિમાંથી લોડના મહત્તમ વિચલન પર, લોલકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા (એક જડતા સાથે વિકૃત ઝરણાની ઊર્જા ) બરાબર છે
.
સંતુલન સ્થિતિ પસાર કરતી વખતે (
.

) વસંતની સંભવિત ઉર્જા શૂન્યની બરાબર થઈ જશે, અને ઓસીલેટરી સિસ્ટમની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા આ રીતે નક્કી કરવામાં આવશે

આકૃતિ 18 ગતિ, સંભવિત અને કુલ ઊર્જાની અવલંબનનો આલેખ બતાવે છે જ્યાં હાર્મોનિક સ્પંદનો સાઈન (ડૅશ લાઇન) અથવા કોસાઇન (સોલિડ લાઇન) ના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

ફિગ. 18. ગતિની સમય અવલંબનનો આલેખ

અને હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન સંભવિત ઊર્જા

આલેખ (ફિગ. 18) પરથી તે અનુસરે છે કે ગતિ અને સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફારની આવર્તન હાર્મોનિક ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન કરતાં બમણી છે.

જ્યારે શાળામાં ઓસિલેશન થાય છે, ત્યારે તેને બે સરળ ઉદાહરણો સાથે સચિત્ર કરવામાં આવે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં સ્પ્રિંગ પરનું વજન અને ગાણિતિક લોલક (એટલે ​​​​કે, અક્ષમ થ્રેડ પર એક બિંદુનું વજન). બંને કિસ્સાઓમાં, ઓસિલેશનમાં એક મહત્વપૂર્ણ નિયમિતતા જોવા મળે છે: તેમનો સમયગાળો કંપનવિસ્તાર પર આધાર રાખતો નથી - ઓછામાં ઓછા જ્યાં સુધી આ કંપનવિસ્તાર નાનું રહે ત્યાં સુધી - પરંતુ તે ફક્ત સિસ્ટમના યાંત્રિક ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સરળતા માટે, અમે ત્રીજા પરિમાણની અવગણના કરીએ છીએ અને ધારીએ છીએ કે આ વસંત લોલક આકૃતિના સમતલમાં સખત રીતે ઓસીલેટ કરે છે. આ કિસ્સામાં, વજન (જેને પોઈન્ટ વેઈટ પણ ગણવામાં આવે છે) કોઈ પણ દિશામાં વર્ટિકલ પ્લેનમાં જઈ શકે છે, અને માત્ર ઉપર-નીચે કે ડાબે-જમણે નહીં, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 2. પરંતુ જો આપણે ફરીથી સંતુલન સ્થિતિમાંથી માત્ર નાના વિચલનો સુધી જ મર્યાદિત રાખીએ, તો પછી આડી અને ઊભી ઓસિલેશન લગભગ સ્વતંત્ર રીતે થાય છે, તેમના પોતાના સમયગાળા સાથે. Txઅને ટી વાય.

એવું લાગે છે કે આ ઓસિલેશન સંપૂર્ણપણે અલગ અલગ દળો અને સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તો પછી તેમના સમયગાળા સંપૂર્ણપણે મનસ્વી હોઈ શકે છે, કોઈ પણ રીતે એકબીજા સાથે સંબંધિત નથી. તે તારણ આપે છે - ના!

કાર્ય

સાબિત કરોકે આવા લોલકમાં હોરીઝોન્ટલ ઓસિલેશનનો સમયગાળો હંમેશા વર્ટિકલ ઓસિલેશનના સમયગાળા કરતા વધારે હોય છે: T x > T y.

ચાવી

સમસ્યા તમને પ્રથમ તો આશ્ચર્યમાં મૂકી શકે છે કે એવું લાગે છે કે કંઈ આપવામાં આવ્યું નથી, પરંતુ કંઈક સાબિત કરવાની જરૂર છે. પરંતુ તેમાં કંઈ ખોટું નથી. જ્યારે કોઈ સમસ્યા આ રીતે ઘડવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે તમે તમારા માટે જરૂરી કેટલાક સંકેતો રજૂ કરી શકો છો, તેની સાથે શું જરૂરી છે તેની ગણતરી કરી શકો છો અને પછી એવા નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો જે પહેલાથી જ છે. આધાર રાખતો નથીઆ મૂલ્યોમાંથી. આ કાર્ય માટે આ કરો. ઓસિલેશનના સમયગાળા માટેના સૂત્રો લો, તેમાં કયા જથ્થાનો સમાવેશ થાય છે તે વિશે વિચારો અને બે અવધિની એકબીજા સાથે તુલના કરો, એકને બીજાથી વિભાજીત કરો.

ઉકેલ

માસ બોબના ઓસિલેશનનો સમયગાળો mસખત વસંત પર kઅને લંબાઈ એલ 0 છે

.

મુક્ત પતન પ્રવેગક સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં વજન સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે તો પણ આ સૂત્ર બદલાતું નથી. g. અલબત્ત, વજનની સંતુલન સ્થિતિ ઊંચાઈ Δ દ્વારા નીચે તરફ જશે L = mg/k- વસંતના આ વિસ્તરણ સાથે જ સ્થિતિસ્થાપક બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને વળતર આપે છે. પરંતુ ખેંચાયેલા સ્પ્રિંગ સાથેની આ નવી સંતુલન સ્થિતિને લગતા વર્ટિકલ ઓસિલેશનનો સમયગાળો એ જ રહેશે.

ખેંચાયેલા લોલકના આડા ઓસિલેશનનો સમયગાળો ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે. gઅને તેને સંપૂર્ણલંબાઈ L = L 0 +Δ એલ:

.

તે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં વધારાના ખેંચાણને આભારી છે કે આપણે તે શોધીએ છીએ

તે ઉકેલ છે.

આફ્ટરવર્ડ

તેની સ્પષ્ટ સરળતા હોવા છતાં, ઝરણા પરનું લોલક એ અસાધારણ પ્રણાલી છે. આ એક સરસ ઘટનાનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે - ફર્મી રેઝોનન્સ. આ તે છે જે તે ઉકળે છે: સામાન્ય રીતે કહીએ તો, જો વજન કોઈક રીતે પાછું ખેંચવામાં આવે અને છોડવામાં આવે, તો તે ઊભી અને આડી બંને રીતે ઓસીલેટ થશે. આ બે પ્રકારના સ્પંદનો ફક્ત ઓવરલેપ થશે અને એકબીજા સાથે દખલ કરશે નહીં. પરંતુ જો વર્ટિકલ અને હોરીઝોન્ટલ ઓસિલેશનનો સમયગાળો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે Tx = 2ટી વાય, પછી આડી અને ઊભી સ્પંદનો, જાણે કે તેમની ઇચ્છા વિરુદ્ધ, ધીમે ધીમે એકબીજામાં રૂપાંતરિત થવાનું શરૂ કરશે, જેમ કે જમણી બાજુના એનિમેશનમાં. સ્પંદનોની ઊર્જા ઊભી સ્પંદનોથી આડી સ્પંદનો સુધી અને ઊલટું પમ્પ કરવામાં આવશે.

તે આના જેવું લાગે છે: તમે વજન નીચે ખેંચો અને તેને છોડો. શરૂઆતમાં તે ફક્ત ઉપર અને નીચે જ ઓસીલેટ કરે છે, પછી તે તેની જાતે જ બાજુમાં ડોલવાનું શરૂ કરે છે, એક ક્ષણ માટે ઓસિલેશન લગભગ સંપૂર્ણપણે આડી બની જાય છે, અને પછી ફરીથી વર્ટિકલ પર પાછા ફરે છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, સખત રીતે વર્ટિકલ ઓસિલેશન અસ્થિર હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

આ નોંધપાત્ર અસરની સમજૂતી, તેમજ જાદુઈ ગુણોત્તર Tx:ટી વાય= 2:1, બસ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ xઅને yસંતુલન સ્થિતિ (અક્ષ.) થી વજનનું વિચલન yઉપર તરફ નિર્દેશ કરે છે). આવા વિચલન સાથે, સંભવિત ઊર્જા રકમ દ્વારા વધે છે

આ એક સચોટ સૂત્ર છે, તે મોટા અથવા નાના કોઈપણ વિચલનો માટે યોગ્ય છે. પરંતુ જો xઅને yનાનું, નોંધપાત્ર રીતે ઓછું એલ, પછી અભિવ્યક્તિ લગભગ સમાન છે

વત્તા અન્ય શબ્દો જેમાં વિચલનની પણ ઉચ્ચ ડિગ્રી હોય છે. જથ્થો U yઅને યુ એક્સ- આ સામાન્ય સંભવિત ઊર્જા છે જેમાંથી ઊભી અને આડી સ્પંદનો મેળવવામાં આવે છે. અને અહીં મૂલ્ય વાદળીમાં પ્રકાશિત થયેલ છે યુ xyએક ખાસ ઉમેરણ છે જે પેદા કરે છે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઆ વધઘટ વચ્ચે. આ નાની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે આભાર, વર્ટિકલ સ્પંદનો આડી સ્પંદનોને અસર કરે છે અને ઊલટું. જો તમે આગળ ગણતરીઓ કરો અને સ્પંદનોનું સમીકરણ આડા અને ઊભી રીતે લખો તો આ સંપૂર્ણ પારદર્શક બની જાય છે:

જ્યાં નોટેશન રજૂ કરવામાં આવ્યું છે

વાદળી ઉમેરણ વિના, આપણી પાસે ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સામાન્ય સ્વતંત્ર વર્ટિકલ અને હોરીઝોન્ટલ ઓસિલેશન હશે. ωyઅને ωx. આ પૂરક ભૂમિકા ભજવે છે બળજબરી, વધુમાં સ્પંદનો રોકે છે. જો ફ્રીક્વન્સીઝ ωyઅને ωxમનસ્વી છે, તો પછી આ નાનું બળ કોઈ નોંધપાત્ર અસર તરફ દોરી જતું નથી. પરંતુ જો સંબંધ ધરાવે છે ωy = 2ωx, રેઝોનન્સ થાય છે: બંને પ્રકારના ઓસિલેશન માટે ચાલક બળમાં એક ઘટક હોય છે ઓસિલેશનની જ આવર્તન સાથે. પરિણામે, આ બળ ધીમે ધીમે પરંતુ સતત એક પ્રકારનું સ્પંદન કરે છે અને બીજાને દબાવી દે છે. આ રીતે આડા અને વર્ટિકલ સ્પંદનો એકબીજામાં વહે છે.

જો આપણે આ ઉદાહરણમાં ત્રીજા પરિમાણને પ્રામાણિકપણે ધ્યાનમાં લઈએ તો વધારાની સુંદરતા ઊભી થાય છે. અમે ધારીશું કે વજન સ્પ્રિંગને ઊભી રીતે સંકુચિત અને ડિકમ્પ્રેસ કરી શકે છે અને બે આડી દિશામાં લોલકની જેમ સ્વિંગ કરી શકે છે. પછી, જ્યારે રેઝોનન્સ સ્થિતિ પૂરી થાય છે, જ્યારે ઉપરથી જોવામાં આવે છે, ત્યારે વજન તારા આકારના માર્ગને લખે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં. 3. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ઓસિલેશનનું પ્લેન સ્થિર રહેતું નથી, પરંતુ ફરે છે - પરંતુ સરળ રીતે નહીં, પરંતુ જાણે કૂદકામાં હોય છે. જ્યારે ઓસિલેશન એક બાજુથી બીજી બાજુ જાય છે, ત્યારે આ પ્લેન વધુ કે ઓછું પકડી રાખે છે, અને પરિભ્રમણ તે ટૂંકા સમયગાળા દરમિયાન થાય છે જ્યારે ઓસિલેશન લગભગ ઊભી હોય છે. અમે વાચકોને આ વર્તણૂકના કારણો શું છે અને પ્લેનના પરિભ્રમણના કોણને નિર્ધારિત કરે છે તે વિચારવા માટે આમંત્રિત કરીએ છીએ. અને જેઓ આ ખૂબ જ ઊંડી સમસ્યામાં ડૂબકી મારવા માગે છે તેઓ સ્ટેપવાઇઝ પ્રિસેશન ઑફ ધ રેઝોનન્ટ સ્વિંગિંગ સ્પ્રિંગ લેખ દ્વારા જોઈ શકે છે, જે માત્ર સમસ્યાનું વિગતવાર વિશ્લેષણ જ નથી કરતું, પરંતુ તેના ઇતિહાસ અને અન્ય લોકો સાથે આ સમસ્યાના જોડાણ વિશે પણ વાત કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રની શાખાઓ, ખાસ કરીને અણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે.

સ્પ્રિંગ લોલક એ એક ઓસીલેટરી સિસ્ટમ છે જેમાં દળ m અને સ્પ્રિંગના ભૌતિક બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. આડા સ્પ્રિંગ લોલકને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 13.12, એ). તે એક વિશાળ શરીર ધરાવે છે, જે મધ્યમાં ડ્રિલ કરવામાં આવે છે અને આડી સળિયા પર મૂકવામાં આવે છે, જેની સાથે તે ઘર્ષણ વિના સરકી શકે છે (એક આદર્શ ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમ). સળિયા બે વર્ટિકલ સપોર્ટ વચ્ચે નિશ્ચિત છે. શરીર સાથે એક છેડે વજનહીન ઝરણું જોડાયેલું છે. તેનો બીજો છેડો આધાર પર નિશ્ચિત છે, જે સરળ કિસ્સામાં જડતા સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં આરામ કરે છે જેમાં લોલક ઓસીલેટ થાય છે. શરૂઆતમાં, સ્પ્રિંગ વિકૃત નથી, અને શરીર સમતુલા સ્થિતિમાં છે C. જો, સ્પ્રિંગને ખેંચીને અથવા સંકુચિત કરીને, શરીરને સંતુલન સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે, તો પછી એક સ્થિતિસ્થાપક બળ તેના પર કાર્ય કરવાનું શરૂ કરશે. વિકૃત વસંતની બાજુ, હંમેશા સંતુલન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત. ચાલો સ્પ્રિંગને સંકુચિત કરીએ, શરીરને A ની સ્થિતિમાં ખસેડીએ અને \((\upsilon_0=0).\) સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ, તે પ્રવેગક રીતે ખસેડવાનું શરૂ કરશે. આ કિસ્સામાં, સ્થિતિ A માં શરીર પર મહત્તમ સ્થિતિસ્થાપક બળ કાર્ય કરે છે, કારણ કે અહીં વસંતનું સંપૂર્ણ વિસ્તરણ x m સૌથી વધુ છે. તેથી, આ સ્થિતિમાં પ્રવેગક મહત્તમ છે. જેમ જેમ શરીર સંતુલન સ્થિતિ તરફ આગળ વધે છે તેમ, સ્પ્રિંગનું સંપૂર્ણ વિસ્તરણ ઘટતું જાય છે, અને પરિણામે, સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા અપાયેલ પ્રવેગ ઘટે છે. પરંતુ આપેલ ચળવળ દરમિયાન પ્રવેગક ગતિ સાથે સહ-નિર્દેશિત હોવાથી, લોલકની ઝડપ વધે છે અને સંતુલન સ્થિતિમાં તે મહત્તમ હશે. સંતુલન સ્થિતિ C પર પહોંચ્યા પછી, શરીર અટકશે નહીં (જોકે આ સ્થિતિમાં વસંત વિકૃત નથી અને સ્થિતિસ્થાપક બળ શૂન્ય છે), પરંતુ ઝડપ સાથે, તે વસંતને ખેંચીને જડતા દ્વારા વધુ આગળ વધશે. સ્થિતિસ્થાપક બળ જે ઉદભવે છે તે હવે શરીરની હિલચાલ સામે નિર્દેશિત થાય છે અને તેને ધીમું કરે છે. બિંદુ D પર, શરીરની ગતિ શૂન્ય જેટલી હશે, અને પ્રવેગક મહત્તમ હશે, શરીર એક ક્ષણ માટે બંધ થઈ જશે, તે પછી, સ્થિતિસ્થાપક બળના પ્રભાવ હેઠળ, તે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધવાનું શરૂ કરશે. , સમતુલા સ્થિતિ માટે. તેને જડતા દ્વારા ફરીથી પસાર કર્યા પછી, શરીર, વસંતને સંકુચિત કરીને અને ચળવળને ધીમું કરીને, બિંદુ A પર પહોંચશે (કારણ કે ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી), એટલે કે. સંપૂર્ણ સ્વિંગ પૂર્ણ કરશે. આ પછી, શરીરની હિલચાલ વર્ણવેલ ક્રમમાં પુનરાવર્તિત થશે. તેથી, વસંત લોલકના મુક્ત ઓસિલેશનના કારણો એ સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા છે જે જ્યારે વસંત વિકૃત થાય છે અને શરીરની જડતા ઊભી થાય છે.

હૂકના કાયદા દ્વારા \(~F_x=-kx.\) ન્યૂટનના બીજા કાયદા દ્વારા \(~F_x = ma_x.\) તેથી, \(~ma_x = -kx.\) તેથી

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) અથવા \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - સ્પ્રિંગ લોલકની ગતિનું ગતિશીલ સમીકરણ.

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રવેગક મિશ્રણના સીધા પ્રમાણસર છે અને તેની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે. પરિણામી સમીકરણને હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સમીકરણ સાથે સરખાવતા \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) આપણે જોઈએ છીએ કે સ્પ્રિંગ લોલક ચક્રીય આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) ત્યારથી \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) પછી

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) એ સ્પ્રિંગ લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો છે.

સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ લોલક (ફિગ. 13.12. b) ના ઓસિલેશનના સમયગાળાની ગણતરી કરી શકો છો. ખરેખર, સંતુલન સ્થિતિમાં, ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયાને લીધે, સ્પ્રિંગ પહેલેથી જ ચોક્કસ રકમ x 0 દ્વારા ખેંચાય છે, જે સંબંધ દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે \(~mg=kx_0.\) જ્યારે લોલક સમતુલા સ્થિતિથી વિસ્થાપિત થાય છે ઓપર એક્સસ્થિતિસ્થાપક બળનું પ્રક્ષેપણ \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) અને ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) અહીં મૂલ્યની અવેજીમાં \(~kx_0 =mg,\) અમે લોલકની ગતિનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) આડા લોલકની ગતિના સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.

સાહિત્ય

અક્સેનોવિચ એલ.એ. માધ્યમિક શાળામાં ભૌતિકશાસ્ત્ર: થિયરી. સોંપણીઓ. પરીક્ષણો: પાઠયપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ આપતી સંસ્થાઓ માટે ભથ્થું. પર્યાવરણ, શિક્ષણ / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; એડ. કે.એસ. ફારિનો. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 377-378.