જરૂરી વેક્ટર 
જો , તો સિસ્ટમ (1) ને ખરાબ કન્ડિશન્ડ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ ગુણાંક અને જમણી બાજુની ભૂલો અથવા ગણતરીમાં ગોળાકાર ભૂલો ઉકેલને મોટા પ્રમાણમાં વિકૃત કરી શકે છે.
ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, સિસ્ટમની જમણી બાજુ (1) અને મેટ્રિક્સ A ના ગુણાંકો લગભગ જાણીતા છે. આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ સિસ્ટમ (1) ને બદલે અમારી પાસે બીજી કોઈ સિસ્ટમ છે
આવા કે
અમે ધારીએ છીએ કે અને d ના મૂલ્યો જાણીતા છે.
સિસ્ટમ (1) ને બદલે અમારી પાસે સિસ્ટમ (2) હોવાથી, અમે ફક્ત સિસ્ટમ (1) માટે અંદાજિત ઉકેલ શોધી શકીએ છીએ. સિસ્ટમ (1) ના અંદાજિત સોલ્યુશન બનાવવા માટેની પદ્ધતિ પ્રારંભિક ડેટામાં નાના ફેરફારો માટે સ્થિર હોવી જોઈએ.
સિસ્ટમનું સ્યુડોસોલ્યુશન (1) એક વેક્ટર છે જે સમગ્ર જગ્યા પરની વિસંગતતાને ઘટાડે છે.
ચાલો x 1 એ માંથી અમુક નિશ્ચિત વેક્ટર છે, જે સામાન્ય રીતે સમસ્યા નિવેદન દ્વારા નક્કી થાય છે.
વેક્ટર x 1 ના સંદર્ભમાં સિસ્ટમ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ એ ન્યૂનતમ ધોરણ સાથે સ્યુડો-સોલ્યુશન x 0 છે, એટલે કે
જ્યાં F એ સિસ્ટમના તમામ સ્યુડો-સોલ્યુશનનો સમૂહ છે (1).
તદુપરાંત 
જ્યાં ¾ વેક્ટર x ના ઘટકો છે.
કોઈપણ પ્રકારની સિસ્ટમ (1) માટે, એક સામાન્ય ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે. ખરાબ કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ (1) માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા અસ્વસ્થ છે.
સિસ્ટમ (1) માટે અંદાજિત સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, અમે નિયમિતકરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ પદ્ધતિ અનુસાર, અમે ફોર્મનું સ્મૂથિંગ ફંક્શનલ બનાવીએ છીએ
અને વેક્ટર શોધો જે આ કાર્યાત્મકને ઓછું કરે છે. તદુપરાંત, રેગ્યુલરાઇઝેશન પેરામીટર a એ શરત પરથી વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે
જ્યાં 
.
ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સ આપેલ ચોકસાઈમાં અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે. પરંતુ જો સિસ્ટમ (1) ની દ્રાવ્યતા વિશે માહિતી હોય, તો શરત (5) ને બદલે નીચેની શરતનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ:
ઘટકો 
વેક્ટર્સ એ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે, જે લઘુત્તમ કાર્યાત્મક (4) માટેની સ્થિતિમાંથી મેળવવામાં આવે છે.
અને જેવો દેખાય છે
જ્યાં E એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે,
¾ હર્મિટિયન કન્જુગેટ મેટ્રિક્સ.
વ્યવહારમાં, વેક્ટર પસંદ કરવા માટે વધારાની વિચારણાઓ જરૂરી છે. જો તેઓ હાજર ન હોય, તો પછી =0 ધારો.
=0 માટે, આપણે ફોર્મમાં સિસ્ટમ (7) લખીએ છીએ
જ્યાં 
મળેલ વેક્ટર સિસ્ટમનું અંદાજિત સામાન્ય ઉકેલ હશે (1).
ચાલો પરિમાણ a પસંદ કરવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. જો a=0, તો સિસ્ટમ (7) ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમમાં ફેરવાય છે. જો a મોટો હોય, તો સિસ્ટમ (7) સારી રીતે કન્ડિશન્ડ હશે, પરંતુ નિયમિત સોલ્યુશન સિસ્ટમ (1) ના ઇચ્છિત ઉકેલની નજીક નહીં હોય. તેથી, ખૂબ મોટી અથવા ખૂબ નાની a યોગ્ય નથી.
સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં, પરિમાણ a ના સંખ્યાબંધ મૂલ્યો સાથે ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવે છે. દાખ્લા તરીકે,
a ની દરેક કિંમત માટે, તે તત્વ શોધો જે કાર્યાત્મક (4) ને ઓછું કરે છે. નિયમિતકરણ પરિમાણનું ઇચ્છિત મૂલ્ય એ નંબર a તરીકે લેવામાં આવે છે જેના માટે સમાનતા (5) અથવા (6) જરૂરી ચોકસાઈથી સંતુષ્ટ છે.
III. કસરત
1. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવો, જેમાં ત્રણ અજ્ઞાત સમીકરણો હોય, જેમાં નિર્ણાયક હોય જેની કિંમત 10 -6 ના ક્રમમાં હોય.
2. બીજી સિસ્ટમની રચના કરો, જે પ્રથમની જેમ જ છે, પરંતુ અન્ય મફત શરતો ધરાવે છે જે 0.00006 દ્વારા પ્રથમ સિસ્ટમની મફત શરતોથી અલગ છે.
3. રેગ્યુલરાઈઝેશન મેથડ (=0 અને d=10 -4 ધારીને) અને કેટલીક અન્ય પદ્ધતિ (ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવેલી સિસ્ટમોને ઉકેલો.
4. મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરો અને ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓની પ્રયોજ્યતા વિશે તારણો કાઢો.
IV. અહેવાલની રચના
અહેવાલ રજૂ કરવો આવશ્યક છે:
1. કાર્યનું શીર્ષક.
2. સમસ્યાનું નિવેદન.
3. સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ (પદ્ધતિ) નું વર્ણન.
4. વર્ણન સાથે પ્રોગ્રામનો ટેક્સ્ટ.
5. કાર્યક્રમના પરિણામો.
ગ્રંથસૂચિ
1. ટીખોનોવ એ.એન., આર્સેનિન વી.યા. અસ્વસ્થ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. - એમ.: નૌકા, 1979. 286 પૃષ્ઠ.
2. બખ્વાલોવ એન.એસ., ઝિડકોવ એન.પી., કોબેલકોવ જી.એમ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. - એમ.: બીનોમ. જ્ઞાનની પ્રયોગશાળા, 2007 636 પૃષ્ઠ.
લેબોરેટરી વર્ક નંબર 23
ટ્રાન્સક્રિપ્ટ
1 6. ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE 1 6. ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAEs ચાલો હવે MxM ના ચોરસ મેટ્રિક્સ A સાથે બે પ્રકારના SLAE (27) ને ધ્યાનમાં લઈએ: ડિજનરેટ સિસ્ટમ (શૂન્ય નિર્ણાયક A =0 સાથે); ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ (નિર્ધારક A શૂન્યની બરાબર નથી, પરંતુ સ્થિતિ સંખ્યા ખૂબ મોટી છે). હકીકત એ છે કે આ પ્રકારની સમીકરણોની સિસ્ટમો એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવા છતાં (પ્રથમ માટે ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી, પરંતુ બીજા માટે ફક્ત એક જ છે), કમ્પ્યુટરના વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, બંને વચ્ચે ઘણું સામ્ય છે. તેમને ડીજનરેટ સિસ્ટમ એ શૂન્ય નિર્ણાયક A =0 (એકવચન મેટ્રિક્સ) સાથે મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમ છે. આવી સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ કેટલાક સમીકરણો અન્ય સમીકરણોના રેખીય સંયોજન દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા હોવાથી, વાસ્તવમાં, સિસ્ટમ પોતે જ ઓછી નિર્ધારિત છે. તે સમજવું સરળ છે કે, જમણી બાજુના વેક્ટર b ના ચોક્કસ પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ત્યાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો છે અથવા કોઈ નથી. ચાલો પ્રથમ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ A સાથે SLAE A x=b પાસે એક પણ ઉકેલ નથી. આ વિકલ્પ સામાન્ય સ્યુડો-સોલ્યુશન બનાવવા માટે નીચે આવે છે (એટલે કે, ઉકેલોના અનંત સમૂહમાંથી તે પસંદ કરવું જે ચોક્કસની સૌથી નજીક હોય, ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય, વેક્ટર). ચાલો આવી સમસ્યાનું ઉદાહરણ આપીએ (બે સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે) A= , b= (37) SLAE (37) ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 19, જે દર્શાવે છે કે સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરતા બે સમીકરણો પ્લેન (x 1, x 2) પર બે સમાંતર રેખાઓ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ છેદતી નથી
2 2 6. કોઓર્ડિનેટ પ્લેનના એક બિંદુ પર ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE, અને તે મુજબ, સિસ્ટમ માટે કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી. નોંધ કરો કે SLAE, 2x2 કદના અવિભાજ્ય ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, પ્લેન પર છેદતી રેખાઓની જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (નીચેની આકૃતિ જુઓ). તે કહેવું પણ યોગ્ય છે કે જો સિસ્ટમ સુસંગત હોત, તો સમીકરણોની ભૌમિતિક રજૂઆત બે એકરૂપ રેખાઓ હશે જે અસંખ્ય ઉકેલોનું વર્ણન કરે છે. ચોખા. 19. અસંગત SLAE ફિગનું ગ્રાફિકલ રજૂઆત. 20. શેષ f(x) = A x b ના વિભાગોનો આલેખ x 1 પર આધાર રાખીને અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે વિચારણા હેઠળના એકવચન કિસ્સામાં સિસ્ટમના અનંતપણે ઘણા સ્યુડો-સોલ્યુશન્સ હશે (37) શેષ A x b ને ઘટાડીને, અને તેઓ ફિગમાં બતાવેલ બેની સમાંતર ત્રીજી સીધી રેખા પર સૂશે. 19 અને તેમની વચ્ચે મધ્યમાં સ્થિત છે. આ ફિગ માં સચિત્ર છે. 20, જે શેષ કાર્ય f(x) = A x b ના કેટલાક વિભાગો દર્શાવે છે, જે સમાન ઊંડાઈના મિનિમા પરિવારની હાજરી સૂચવે છે. અનન્ય ઉકેલ નક્કી કરવા માટે, વ્યક્તિએ સ્યુડો-સોલ્યુશનના સંપૂર્ણ સેટમાંથી એક પસંદ કરવો જોઈએ
3 6. સૌથી નાના ધોરણ દ્વારા ડિજનરેટ અને ખરાબ સ્થિતિવાળા SLAEs 3. આમ, એકવચન કિસ્સામાં, વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવવા માટે, સંખ્યાત્મક રીતે બહુપરીમાણીય લઘુત્તમીકરણ સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે. જો કે, જેમ આપણે પછી જોઈશું, વધુ કાર્યક્ષમ રીત એ છે કે નિયમિતીકરણ અથવા ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ વિઘટનનો ઉપયોગ કરવો (અનુક્રમે 7 અને 10 જુઓ). ચાલો હવે ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સ તરફ વળીએ, એટલે કે. મેટ્રિક્સ A સાથે SLAE, જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર નથી, પરંતુ શરત નંબર A -1 A મોટો છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, વ્યવહારમાં તે ઘણીવાર આ ઉકેલ શોધવાનો કોઈ અર્થ નથી. ચાલો એક જ જમણી બાજુએ b અને સહેજ અલગ મેટ્રિસિસ A અને B સાથે ખૂબ જ નજીકના ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE ના બે વિશિષ્ટ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE ના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ: A= B=, b=, 3 5. (38 ) આ સિસ્ટમોની નિકટતા હોવા છતાં, તેમના ચોક્કસ ઉકેલો એકબીજાથી ખૂબ દૂર છે, એટલે કે: y A = , y B = (39) જો આપણે અવાજની હાજરી યાદ રાખીએ, એટલે કે. ઇનપુટ ડેટામાં હંમેશા હાજર ભૂલ વિશે, તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સને હલ કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. યાદ કરો કે જે સમસ્યાઓ માટે નાની મોડેલ ભૂલો (મેટ્રિક્સ A અને વેક્ટર b) મોટી સોલ્યુશન ભૂલો તરફ દોરી જાય છે તેને ખોટી કહેવામાં આવે છે. આમ, ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE એ અસ્વસ્થ સમસ્યાઓનું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ છે. વધુમાં, એ નોંધવું જોઇએ કે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવો સરળ છે, પરંતુ જ્યારે ઉચ્ચ-પરિમાણીય SLAE ("ચોક્કસ" અલ્ગોરિધમનો સમાવેશ થાય છે)
4 4 6. ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ ગૌસિયન SLAE) પણ નાની ગોળાકાર ભૂલો કે જે ગણતરી દરમિયાન અનિવાર્યપણે એકઠા થાય છે તે પરિણામોમાં મોટી ભૂલો તરફ દોરી જાય છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: જો તે અગાઉથી જાણીતું હોય કે, સમસ્યાની અસ્થિરતાને લીધે, તે સંપૂર્ણપણે ખોટું હોઈ શકે છે, તો શું સંખ્યાત્મક ઉકેલ શોધવાનો અર્થ છે? અયોગ્યતાના કારણને વધુ સમજવા માટે, કૂવા (ફિગ. 21) અને નબળી (ફિગ. 22) બે સમીકરણોની કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમના ગ્રાફિકલ અર્થઘટનની તુલના કરવી ઉપયોગી છે. દરેક સમીકરણોને રજૂ કરતી બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા સિસ્ટમના ઉકેલની કલ્પના કરવામાં આવે છે. ચોખા. 21. સારી કન્ડિશન્ડ SLAE ફિગનો ગ્રાફ. 22. ફિગમાંથી ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE નો ગ્રાફ. 22 તે જોઈ શકાય છે કે ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE ને અનુરૂપ સીધી રેખાઓ એકબીજાની નજીક (લગભગ સમાંતર) સ્થિત છે. આ સંદર્ભમાં, દરેક લાઇનના સ્થાનમાં નાની ભૂલો તેમના આંતરછેદના બિંદુ (SLAE ના ઉકેલો) ના સ્થાનિકીકરણમાં નોંધપાત્ર ભૂલો તરફ દોરી શકે છે, જ્યારે સારી કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમના કિસ્સામાં, જ્યારે નાની ભૂલો હોય છે. રેખાઓનો ઢોળાવ તેમના આંતરછેદ બિંદુના સ્થાન પર ઓછી અસર કરે છે (ફિગ. 21) .
5 6. ડિજનરેટ અને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ SLAE 5 નોંધ કરો કે વધુ નિર્ધારિત (અસંગત) SLAE (ઉદાહરણ તરીકે, ટોમોગ્રાફી સમસ્યાઓમાં) દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રાયોગિક ડેટાનું પુનર્નિર્માણ કરતી વખતે ખરાબ-કન્ડિશન્ડ મેટ્રિક્સ પણ લાક્ષણિક છે. ખરાબ ઉભી થયેલી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે, ખાસ કરીને, અધોગતિગ્રસ્ત અને ખરાબ કન્ડિશન્ડ SLAE, નિયમિતકરણ તરીકે ઓળખાતી ખૂબ જ અસરકારક પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવી છે. તે સોલ્યુશનની રચના વિશે વધારાની પ્રાથમિક માહિતીને ધ્યાનમાં લેવા પર આધારિત છે, જે ઘણી વાર વ્યવહારુ કેસોમાં ઉપલબ્ધ હોય છે.
10. QR- અને SVD-વિઘટન: "ખરાબ" SLAEs 1 10. QR- અને SVD-વિઘટન: "ખરાબ" SLAEs મેટ્રિક્સ વિઘટનમાં, ઓર્થોગોનલ લોકો દ્વારા એક વિશેષ ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે, જેમાં ધોરણને જાળવી રાખવાની મિલકત હોય છે. વેક્ટર ચાલો તમને યાદ અપાવીએ
7. નિયમન 1 7. નિયમિતકરણ ખરાબ સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે, સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રી ટીખોનોવે એક સરળ પણ અત્યંત અસરકારક પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો જેને નિયમિતકરણ કહેવાય છે અને તેને સામેલ કરવા પર આધારિત છે.
ઉદાહરણ: વજન 1 ઉદાહરણ: વજન ચાલો પ્રયોગના પરિણામોની પ્રક્રિયા સાથે સંકળાયેલ વિપરીત સમસ્યાનું વધુ સરળ અર્થઘટન આપીએ, ઉદાહરણ તરીકે, બે પ્રકારની વસ્તુઓનું વજન
રેખીય બીજગણિતની વિષય સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ - - રેખીય બીજગણિત વર્ગીકરણની વિષય સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ રેખીય બીજગણિતના ચાર મુખ્ય વિભાગો છે: રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની નિરાકરણ પ્રણાલીઓ
UDC 55 Isabekov KA મદનબેકોવા EE YSU નું નામ KTynystanov ના નામ પર રાખવામાં આવ્યું છે જે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ખરાબ-શરતી પ્રણાલીઓના અંદાજિત ઉકેલ વિશે છે આ લેખ ખરાબ રીતે ઉકેલવા માટેની બે પદ્ધતિઓ માટે અલ્ગોરિધમ્સ રજૂ કરે છે.
વૈજ્ઞાનિક સંશોધન સાથે વિશેષ કમ્પ્યુટિંગ વર્કશોપ નિકોલાઈ માત્વેવિચ એન્ડ્રુશેવસ્કી, કોમ્પ્યુટર સાયન્સ ફેકલ્ટી, મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી એબ્સ્ટ્રેક્ટ વર્કશોપ મેટ્રિસીસના એકવચન મૂલ્યના વિઘટનની પદ્ધતિ અને તેના ઉપયોગના વિગતવાર અભ્યાસ પર આધારિત છે.
રેખીય સમીકરણોની ઓવરડેટર્માઈન્ડ સિસ્ટમ્સ સ્કેલ્કો યુરી ઈવાનોવિચ ત્સિબ્યુલિન ઈવાન શેવચેન્કો એલેક્ઝાન્ડર ઓવરડિટરમાઇન્ડ SLAEs ઓવરડિટરમાઇન્ડ SLAEs SLAE Ax = b ને ધ્યાનમાં લો, પરંતુ જ્યારે વધુ સમીકરણો હોય ત્યારે,
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓ મૂળભૂત વિભાવનાઓ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (SLAE) એ a, a a, a a સ્વરૂપની સિસ્ટમ છે તેને મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
04-0 શૈક્ષણિક વર્ષમાં અર્થશાસ્ત્રના સ્નાતક માટે Ne LA પરીક્ષા, વેક્ટર Ne (6 4; 6 8) અને Ne DEMO વિકલ્પ 0 (x; y) શોધો (જેના માટે Ne અને x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
અવકાશમાં રેખાનું સમીકરણ 1 એ રેખા એ બે વિમાનોનું આંતરછેદ છે. ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ. અવકાશમાં એક સીધી રેખાને બે વિમાનોના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. દો
લેક્ચર 6 સ્પેક્ટરલ કાર્યો. વંશની પદ્ધતિઓ છેલ્લા લેક્ચરમાં, વિવિધ પ્રકારની પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. સિસ્ટમ Au = f માટે, જેના માટે A = A, કાર્યાત્મક Φ(u, u) રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું
11. લીનિયર રિડક્શન 1 11. લીનિયર રિડક્શન ચાલો રિડક્શન નામનો બીજો અભિગમ રજૂ કરીને રેખીય વ્યસ્ત સમસ્યાઓ વિશેની અમારી વાતચીત સમાપ્ત કરીએ. હકીકતમાં, તે નિયમિતકરણની ખૂબ નજીક છે (કેટલાકમાં
01 1. સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય અને મૂળભૂત ઉકેલો શોધો: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, x અને xને મૂળભૂત ચલ તરીકે પસંદ કરીને. જવાબ: જો આપણે મૂળભૂત ચલો તરીકે પસંદ કરીએ
ડેમો 01 1. સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય અને મૂળભૂત ઉકેલો શોધો: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, x અને xને મૂળભૂત ચલો તરીકે પસંદ કરીને. 2. સિસ્ટમનો આધાર શોધો
મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ NE બૌમન ફેકલ્ટી ઓફ ફંડામેન્ટલ સાયન્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિકલ મોડેલિંગ ÀÍ કાસીકોવના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.
યુડીસી 57.9 ઇગ્રુનોવા એસ.વી., સમાજશાસ્ત્રીય વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર, એસોસિયેટ પ્રોફેસર, ઇન્ફોર્મેશન સિસ્ટમ્સ રશિયાના વિભાગના એસોસિયેટ પ્રોફેસર, બેલ્ગોરોડ કિચિગીના એ.કે. 4થા વર્ષનો વિદ્યાર્થી, ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ એન્જિનિયરિંગ ટેક્નોલોજીસ એન્ડ નેચરલ સાયન્સ
6 કાર્યની અંદાજિત પદ્ધતિઓ. શ્રેષ્ઠ અંદાજ. છેલ્લા પ્રકરણમાં ચર્ચા કરાયેલ અંદાજિત પદ્ધતિઓ માટે જરૂરી છે કે ગ્રીડ ફંક્શન નોડ્સ સખત રીતે પરિણામી ઇન્ટરપોલન્ટ સાથે સંબંધિત હોય. જો તમે માંગ ન કરો
મેટ્રિક્સના રેખીય બીજગણિત વર્ગીકરણના તત્વો અને તેના પરની કામગીરી મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યાયિત કરો માપ દ્વારા મેટ્રિસિસનું વર્ગીકરણ શૂન્ય અને ઓળખ મેટ્રિક્સ શું છે? કઈ શરતો હેઠળ મેટ્રિક્સ સમાન ગણવામાં આવે છે?
) SLAE નો ખ્યાલ) SLAE ઉકેલવા માટે ક્રેમરનો નિયમ) ગૌસિયન પદ્ધતિ 4) મેટ્રિક્સનો ક્રમ, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય 5) મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ દ્વારા SLAE ઉકેલવા, મેટ્રિસિસના કન્ડીશનીંગનો ખ્યાલ) SLAE O. SLAE સિસ્ટમનો ખ્યાલ
ટોમોગ્રાફીમાં સમાંતર ગણતરીઓ કોમ્પ્યુટેશનલ ટોમોગ્રાફીની બીજગણિત પદ્ધતિઓ. અલગ સ્વરૂપમાં કોમ્પ્યુટેશનલ ટોમોગ્રાફી સમસ્યા અલગ સ્વરૂપમાં કોમ્પ્યુટેશનલ ટોમોગ્રાફી સમસ્યા. વિપરીત
લેક્ચર 2 SLAE નો સંખ્યાત્મક ઉકેલ એક નિયમ તરીકે, મોટાભાગની વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે, રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમો ઉકેલવાની સમસ્યા કેટલાક સહાયક પેટા કાર્યના સ્વરૂપમાં થાય છે.
LA ગૌસિયન પદ્ધતિમાં મૂળભૂત સમસ્યાઓના નમૂનાઓ રેખીય સમીકરણોની ચોક્કસ સિસ્ટમો ગૌસીયન પદ્ધતિ x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો
ઓપરેશન્સ રિસર્ચ ડેફિનેશન ઓપરેશન એ ચોક્કસ ધ્યેય હાંસલ કરવાના હેતુથી બનેલી ઘટના છે, જે ઘણી શક્યતાઓ અને તેના સંચાલનને મંજૂરી આપે છે ડેફિનેશન ઓપરેશન્સ રિસર્ચ ગાણિતિકનો સમૂહ
વ્યાખ્યાન 3. 3. ન્યૂટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શકો. ચાલો કેટલાક પ્રારંભિક અંદાજ [,b] સેટ કરીએ અને ટેલર શ્રેણી f(= f(+ f"((-. 5 સમીકરણને બદલે (અમે હલ કરીએ છીએ
લીટી અને પ્લેનનાં સમીકરણો પ્લેન પરની લીટીનું સમીકરણ.. લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ. રેખાઓની સમાંતરતા અને લંબરૂપતાની નિશાની. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ઓક્સી પ્લેન પરની દરેક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ N.E. બૌમન ફેકલ્ટી ઓફ ફંડામેન્ટલ સાયન્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિકલ મોડેલિંગ એ.એન. કાસીકોવ,
ડિસ્ટન્સ લર્નિંગ દરમિયાન ટેસ્ટ પેપર પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો ટેસ્ટ પેપર 1 (CR-1) વિષય 1. રેખીય બીજગણિત કાર્ય 1 કાર્યમાં પ્રસ્તુત સમીકરણોની સિસ્ટમને કોન્સ્ટન્ટ પેરામીટર્સના સ્વરૂપમાં હલ કરવી જરૂરી છે.
મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી નામ આપવામાં આવ્યું છે. એન.ઇ. બૌમન ફેકલ્ટી ફંડામેન્ટલ સાયન્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઉચ્ચ ગણિત વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ મોડ્યુલ 1. મેટ્રિક્સ બીજગણિત. વેક્ટર બીજગણિત વ્યાખ્યાન
ટિકિટ. મેટ્રિસિસ, તેમના પરની ક્રિયાઓ.. કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પેરાબોલાના સમીકરણ. ટિકિટ. મેટ્રિક્સ કામગીરીના ગુણધર્મો રેખા અને વિમાનની સંબંધિત સ્થિતિ. તેમની વચ્ચેનો કોણ, સમાંતર સ્થિતિ
3 વિષયવસ્તુ 1. શિસ્તના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો 4. BOP ની રચનામાં શિસ્તનું સ્થાન 4 3. શિસ્તનું માળખું અને સામગ્રી 5 3.1. શિસ્તનું માળખું 5 3. શિસ્તની સામગ્રી 6 4. શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની સામગ્રીની સૂચિ
વ્યાવહારિક પાઠ એક બિનશરતી અતિરેક માટે પાઠ જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો સમસ્યાનું નિવેદન બે વાર સતત વિભેદક કાર્ય f (), X R સેટ પર વ્યાખ્યાયિત તપાસ માટે જરૂરી છે
બીજા સેમેસ્ટર D.V. માટે બીજગણિતમાં સમસ્યાઓના ઉકેલો. ગોર્કોવેટ્સ, એફ.જી. કોરાબલેવ, વી.વી. કોરાબલેવા 1 લીનિયર વેક્ટર સ્પેસ સમસ્યા 1. શું R4 માં વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત છે? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
ઉચ્ચ વ્યવસાયિક શિક્ષણની ફેડરલ રાજ્ય શૈક્ષણિક અંદાજપત્રીય સંસ્થા "રશિયન ફેડરેશનની સરકાર હેઠળની નાણાકીય યુનિવર્સિટી" (નાણાકીય યુનિવર્સિટી) "ગણિત" વિભાગ
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı બતાવો કે વેક્ટર;;) ;;) ; ;) વેક્ટરનો આધાર બનાવો અને વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન લખો જો;;) આ વેક્ટર પર સમીકરણમાંથી X શોધો બતાવો કે વેક્ટર;)
ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલવા. મેટ્રિક્સ રેન્ક. m પંક્તિઓ અને કૉલમ સાથે લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો: A. m m m ચાલો આ મેટ્રિક્સમાં મનસ્વી પંક્તિઓ અને કૉલમ પસંદ કરીએ. તત્વો
બે ચલ સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમને બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે. બે ચલોમાં સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી છે
રેખીય બીજગણિત વ્યાખ્યાન રેખા અને અવકાશમાં વિમાન
ST. પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ યુનિવર્સીટી ફેકલ્ટી ઓફ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ ઓફ કંટ્રોલ પ્રોસેસીસ
0 g 6 કાર્યવાહી ફોરઆ શરત ક્રમાંક એક મેટ્રિક્સની શરત નંબર લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સ્થિરતાના સૂચક તરીકે
મેટ્રિક્સ, નિર્ધારકો, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો મેટ્રિક્સ A = m m m માઇનોર મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ k નો માઇનોર k એ આ મેટ્રિક્સના kth ક્રમનો કોઈપણ નિર્ણાયક છે,
લેક્ચર 4 SLAE ઉકેલવા માટેની પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ રાઉન્ડિંગ સાથે સંકળાયેલી ભૂલને ઘટાડવા માટે, નીચેના અલ્ગોરિધમનો આશરો લો ચાલો તમે સિસ્ટમનું ચોક્કસ સોલ્યુશન બનીએ, એક સંખ્યાત્મક ઉકેલ પછી અમે રજૂ કરીએ છીએ.
1. લીનિયર સિસ્ટમ્સ અને મેટ્રિસિસ 1. મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત કરો. શું આ ઓપરેશન વિનિમયાત્મક છે? જવાબ સમજાવો. મેટ્રિસિસ A અને B ના ઉત્પાદન C ને m p m p A B ij = A ik B kj તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઓપરેશન વિનિમયાત્મક નથી.
રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ટોમસ્ક સ્ટેટ યુનિવર્સીટી ઓફ કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સ એન્ડ રેડિયો ઈલેક્ટ્રોનિક્સ (તુસુર) યુ.ઈ. વોસ્કોબોયનિકોવ એ.એ. મિત્ઝલ ખોટી ગાણિતિક સમસ્યાઓ
રેખીય બીજગણિતની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ વિભાગ "રેખીય બીજગણિતની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ" રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે.
વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ 3 સ્ટ્રીમ લેક્ચરર પી. વી. ગોલુબત્સોવ 1.1. વેક્ટર્સ. પરીક્ષાના પ્રથમ ભાગ માટેના પ્રશ્નોની યાદી 1. વેક્ટર્સ પર રેખીય કામગીરીની વ્યાખ્યા બનાવો. રેખીય કામગીરીના ગુણધર્મોની સૂચિ બનાવો
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓ અજ્ઞાત સાથે m રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો b b () m m m bm સિસ્ટમ () એકરૂપ કહેવાય છે જો તેના તમામ મુક્ત પદ b b b m સમાન હોય
4. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. મૂળભૂત વિભાવનાઓ સમીકરણને રેખીય કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ફક્ત પ્રથમ ડિગ્રી સુધી અજાણ્યા હોય અને તેમાં અજ્ઞાતના ઉત્પાદનો ન હોય, એટલે કે. જો તેનું સ્વરૂપ + + + હોય
રેખીય બીજગણિત વ્યાખ્યાન 7 વેક્ટર પરિચય ગણિતમાં બે પ્રકારની માત્રા હોય છે: સ્કેલર અને વેક્ટર એ એક સંખ્યા છે અને વેક્ટરને સાહજિક રીતે એક પદાર્થ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેનું પરિમાણ અને દિશા વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ હોય છે.
સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ પર પરીક્ષા માટેના પ્રશ્નોની સૂચિ (મે 28, 2018) 0.1 સંખ્યાત્મક સંકલન 1. અયોગ્ય પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવા માટેની પદ્ધતિઓની સૂચિ બનાવો. અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે ચતુર્થાંશ સૂત્ર બનાવો
ટોમોગ્રાફીમાં સમાંતર ગણતરીઓ સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ. સૌથી ઊભો ઉતરવાની પદ્ધતિ. એઆરટી પદ્ધતિ. SIRT પદ્ધતિ. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિમાં, છૂટછાટના પરિબળો τ k અને મેટ્રિસિસ H k સંખ્યા પર આધાર રાખતા નથી
લીનિયર મેટ્રિક્સ બીજગણિતનો પરિચય. વ્યાખ્યા. m પંક્તિઓ અને n કૉલમ ધરાવતા m m n n mn સ્વરૂપના m n સંખ્યાઓના કોષ્ટકને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સના તત્વો નિર્ણાયકના ઘટકોની સમાન રીતે ક્રમાંકિત છે
લેક્ચર 7 ઇન્ટરપોલેશન છેલ્લા લેક્ચરમાં, ઓવરડિટરાઈન્ડ સિસ્ટમને ઉકેલવાની સમસ્યા પર વિચાર કરવામાં આવ્યો હતો. આવી સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
થિયરી પ્રશ્નો I. મેટ્રિસેસ, નિર્ધારકો 1) મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા આપો. શૂન્ય અને ઓળખ મેટ્રિસિસ શું છે? કઈ શરતો હેઠળ મેટ્રિક્સ સમાન ગણવામાં આવે છે? ટ્રાન્સપોઝિશન ઓપરેશન કેવી રીતે કરવામાં આવે છે? ક્યારે
લેક્ચર 7 સેકન્ડ ઓર્ડર કર્વને કેનોનિકલ ફોર્મમાં ઘટાડી રહ્યું છે. પ્લેન પર બેઝ અને કોઓર્ડિનેટ્સનું રૂપાંતરણ પ્લેન પર બે લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને સામાન્ય મૂળ સાથે આપવામાં આવે છે:
રેખીય બીજગણિત મોડ્યુલ 1. લીનિયર અને યુક્લિડિયન જગ્યાઓ. લીનિયર સ્પેસમાં લીનિયર ઓપરેટર્સ લેક્ચર 1.4 એબ્સ્ટ્રેક્ટ આઈજેનવેક્ટર અને લીનિયર ઓપરેટરના ઈજેનવેલ્યુ, તેમની પ્રોપર્ટીઝ.
યુડીસી. પ્રાથમિક ગાણિતિક કાર્ય દ્વારા નિર્ધારિત ઇમ્પલ્સ લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા પુનરાવર્તિત ડિજિટલ ફિલ્ટર્સનું સંશ્લેષણ નિકિતિન ડી.એ., ખાનવ વી.કે.એચ. પરિચય પુનરાવર્તિત સંશ્લેષણ માટેની પદ્ધતિઓના આધુનિક શસ્ત્રાગારમાં
પ્રકરણ 8 કાર્યો અને આલેખ ચલ અને તેમની વચ્ચેની અવલંબન. બે જથ્થાઓને સીધા પ્રમાણસર કહેવામાં આવે છે જો તેમનો ગુણોત્તર સ્થિર હોય, એટલે કે, જો =, જ્યાં એક સ્થિર સંખ્યા છે જે ફેરફારો સાથે બદલાતી નથી
ગૌસ પદ્ધતિ (અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ) બે પ્રણાલીઓને સમકક્ષ (સમકક્ષ) કહેવામાં આવે છે જો તેમના ઉકેલો એકસરખા હોય. તમે પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ સિસ્ટમ પર જઈ શકો છો
લેબોરેટરી વર્ક નંબર 3
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ખરાબ કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સ ઉકેલવી
નિયમન પદ્ધતિ
ઇનપુટ પરિમાણો: સિસ્ટમના ક્રમ n સમાન n-ધન પૂર્ણાંક; a એ n x n વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો એરે છે જેમાં સિસ્ટમ ગુણાંકનો મેટ્રિક્સ હોય છે; b - સિસ્ટમની મફત શરતોની કૉલમ ધરાવતી n વાસ્તવિક સંખ્યાઓની એરે (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
આઉટપુટ પરિમાણો: x - સિસ્ટમ સોલ્યુશન; p- પુનરાવર્તનોની સંખ્યા.
અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામ આકૃતિ 18 માં દર્શાવેલ છે.
પ્રોગ્રામ ટેક્સ્ટ:
પ્રક્રિયા નિયમન(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:પૂર્ણાંક);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; alpha,s1,s:real; મહત્તમ, ઇપીએસ: વાસ્તવિક; i, j, k, l: પૂર્ણાંક;
Out_Slau_T(n,a,b);
I માટે:=1 To n Do (A T A પ્રાપ્ત કરવું)
K:=1 થી N Do માટે
J માટે:=1 થી N Do S:=S+A*A;
I માટે:=1 To N Do (A T B પ્રાપ્ત કરવું)
J:=1 થી N Do માટે
પ્રારંભ S:=S+A*B[j];
આલ્ફા:=0; (પ્રારંભિક આલ્ફા મૂલ્ય)
k:=0; (પુનરાવર્તનની સંખ્યા)
આલ્ફા:=આલ્ફા+0.01; inc(k); a2:=a1;
i માટે:=1 થી N do a2:=a1+alfa; (A T A+ આલ્ફા મેળવવું)
i માટે:=1 થી N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (A T B+ આલ્ફા મેળવવું)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
i:=2 થી n કરવા માટે
જો abs(b2[i]-X[i])>મહત્તમ તો મહત્તમ:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
આકૃતિ 18 - નિયમિતીકરણ પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમની યોજના
રેગ્યુલરાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ્સને ઉકેલવા માટેના કાર્યોના પ્રકારો કોષ્ટક 3 માં આપવામાં આવ્યા છે.
પરિભ્રમણ પદ્ધતિ (આપેલ)
અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામ આકૃતિ 19 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.
ઉદાહરણ. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો
પ્રોગ્રામ ટેક્સ્ટ:
પ્રક્રિયા વ્રશ;
Var I,J,K: પૂર્ણાંક; M,L,R: વાસ્તવિક; F1:TEXT; લેબલ M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
i:=1 થી Nn માટે
I માટે:=1 થી Nn-1 શરૂ કરો
K માટે:=I+1 થી Nn Do Begin
જો (Aa0.0) તો M1 પર જાઓ; જો (Aa0.0) તો M1 પર જાઓ;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2:J:=1 માટે Nn Do Begin માટે
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
I માટે:=Nn ડાઉન ટુ 1 ડુ બિગીન
K:=0 થી Nn-I-1 માટે M:=M+Aa*Aa; અંત;
Aa:=(Aa-M)/Aa; અંત;
i માટે:=1 થી Nn do x[i]:=Aa;End;
પ્રોગ્રામ અનુસાર ગણતરીઓ નીચેના પરિણામો તરફ દોરી ગઈ:
X1 = 1.981 X2 = 0.4735
આકૃતિ 19 - આપેલ પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનો સ્કીમ (રોટેશન)
કાર્ય વિકલ્પો
કોષ્ટક 3
|
મેટ્રિક્સ એ |
મેટ્રિક્સ એ |
||||||
જ્ઞાન નિયંત્રણ માટે પ્રયોગશાળા કાર્ય નંબર 3 નો વિષય નિયંત્રણ અને તાલીમ કાર્યક્રમ સાથે સચિત્ર છે.
લેબોરેટરી વર્ક નંબર 4
બિનરેખીય સમીકરણો અને બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી
સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ
પ્રયોગશાળા કાર્ય કરવા માટેની પ્રક્રિયા:
ઉકેલની શૂન્ય અંદાજ શોધો;
સિસ્ટમ f(x) = 0 ને x = Ф(x) સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો;
પદ્ધતિની કન્વર્જન્સ સ્થિતિ તપાસો.
અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામ આકૃતિ 20 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
ઉદાહરણ. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો
શૂન્ય અંદાજ તરીકે, આપણે બિંદુ x = 1, y = 2.2, z = 2 પસંદ કરીએ છીએ. ચાલો સિસ્ટમને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ.
પ્રોગ્રામ ટેક્સ્ટ:
પ્રક્રિયા ઇટેરાઝ;
Var I,J,K,J1: પૂર્ણાંક;
X2,X3,Eps: વાસ્તવિક;
Eps:=0.01; X2:=0.0; K:=1;
J માટે:=1 થી Nn Do Begin
I માટે:=1 થી Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; અંત;
J1:=1 માટે Nn Do Begin Xx:=R; અંત; X3:=Xx;
I માટે:=1 થી Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) પછી X3:=Xx[i]; અંત;
I માટે:=1 થી Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; અંત;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
જો (U1>=Eps) તો X2:=X1;
સુધી ((K>=50)અથવા(U1
પ્રોગ્રામ અનુસાર ગણતરીઓ નીચેના પરિણામો તરફ દોરી ગઈ:
X(1)= 1.1132 X(2)= 2.3718 X(3)= 2.1365
પુનરાવર્તનોની સંખ્યા: 5
આકૃતિ 20 - સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામ
ન્યુટનની પદ્ધતિ
પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ દસમા કરતા વધુ ન હોય તેવા ઓર્ડરની સિસ્ટમ્સને ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે.
ઇનપુટ પરિમાણો: n - સિસ્ટમના સમીકરણોની સંખ્યા (અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે), n £ 10; ઉકેલના પ્રારંભિક અનુમાનને સમાવતી n વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો x-એરે; f એ બાહ્ય પ્રક્રિયા f(n, x, y) નું નામ છે, જે એરે x ના ઘટકોમાં સ્થિત આપેલ મૂલ્યો x, ફંક્શન f ના વર્તમાન મૂલ્યોના આધારે ગણતરી કરે છે અને તેમને તેમાં મૂકે છે એરે y ના તત્વો; g - બાહ્ય પ્રક્રિયાનું નામ g(n, x, d), જે એરે xમાંથી આપેલ મૂલ્યો xમાંથી મેટ્રિક્સ ઘટકોની ગણતરી કરે છે 
, જે પરિમાણ n x n ના એરે d માં સ્થિત છે; eps - પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવા માટેની સ્થિતિનું મૂલ્ય.
આઉટપુટ પરિમાણો: x - n વાસ્તવિક સંખ્યાઓની એરે (ઇનપુટ તરીકે પણ ઓળખાય છે) સબરૂટિનમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ઉકેલનું અંદાજિત મૂલ્ય ધરાવે છે; k એ પુનરાવર્તનોની સંખ્યા છે.
UDC 519.61:621.3
વી.પી. VOLOBOEV*, V.P. ક્લિમેન્કો*
ફિઝિકલ ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરતી રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ખરાબ-શરતી પદ્ધતિને ઉકેલવા માટેના એક અભિગમ વિશે
યુક્રેન, કિવ, યુક્રેનની નેશનલ એકેડેમી ઓફ સાયન્સની ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમોની સમસ્યાઓ માટેની સંસ્થા
અમૂર્ત. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ભૌતિક પદાર્થોના મોડેલિંગના પરિણામોની સંભાવના, જેનું એક અલગ મોડેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAR) ની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે, તે મેટ્રિક્સની નબળી ડિઝાઇનના પરિણામે નથી, પરંતુ તેના પરિણામે છે. નોડ પોટેન્શિયલ અથવા તેના એનાલોગની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ફોલ્ડ લેવલના તબક્કે અયોગ્ય પસંદગી બદલી શકાય તેવી SLAR, અને પદ્ધતિ પોતે જ કાર્યને યોગ્ય રીતે સેટ કરવાની પદ્ધતિમાંથી આ એક મુખ્ય પ્રસ્થાન છે, જે SLAR ની શુદ્ધતા તપાસે છે નોડ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ, જે અખંડ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ ધરાવે છે, પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, અને તેને યોગ્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.
મુખ્ય શબ્દો: સિસ્ટમ, મોડેલિંગ, અયોગ્ય સેટિંગ, ખરાબ તર્ક, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, નોડ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ, કાર્યના યોગ્ય સેટિંગની પદ્ધતિ, શુદ્ધતા માટે તપાસ.
ટીકા. તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ભૌતિક પદાર્થોના મોડેલિંગના પરિણામોની વિશ્વસનીયતા, જેનું અલગ મોડેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે, તે મેટ્રિક્સની નબળી સ્થિતિ પર આધારિત નથી, પરંતુ SLAE ચલોની ખોટી પસંદગી પર આધારિત છે. નોડલ પોટેન્શિયલ અથવા તેના એનાલોગની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોનું સંકલન કરવાના તબક્કે, અને પદ્ધતિ પોતે સમસ્યાના યોગ્ય રચનાની પદ્ધતિનો એક ચોક્કસ કેસ છે. નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ દ્વારા સંકલિત SLAE ની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે એક તકનીક પ્રસ્તાવિત છે, જેમાં બિન-અધોગતિ અને સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ હોય છે, અને જો જરૂરી હોય તો, તેને યોગ્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
મુખ્ય શબ્દો: સિસ્ટમ, મોડેલિંગ, ઇલ-પોઝ્ડ પ્રોબ્લેમ, ઇલ-કન્ડિશનિંગ, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ, યોગ્ય સમસ્યા ફોર્મ્યુલેશનની પદ્ધતિ, શુદ્ધતા તપાસ.
અમૂર્ત. પેપર બતાવે છે કે ભૌતિક પદાર્થોના અનુકરણના પરિણામોની વિશ્વસનીયતા, જે અલગ મોડેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે તે નબળી-કન્ડિશન્ડ મેટ્રિક્સ પર નહીં પરંતુ સમીકરણોના તબક્કામાં ચલ SLAE ની ખોટી પસંદગી પર આધારિત છે. નોડ સંભવિત પદ્ધતિ અથવા તેના એનાલોગ દ્વારા, અને પદ્ધતિ એ સમસ્યાના સાચા નિવેદનની પદ્ધતિનો વિશિષ્ટ કેસ છે. તે SLAE ની શુદ્ધતા પર ચેક-આઉટ પદ્ધતિ સૂચવવામાં આવી હતી, જે નોડ સંભવિત પદ્ધતિ દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી, જેમાં બિનસિંગ્યુલર અને સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ હોય છે અને જો તે જરૂરી હોય તો તેનું યોગ્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થાય છે.
કીવર્ડ્સ: સિસ્ટમ, સિમ્યુલેશન, ખોટી સમસ્યા, નબળી-કન્ડિશન્ડ, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, નોડ સંભવિત પદ્ધતિ, સમસ્યાના સાચા નિવેદનની પદ્ધતિ, શુદ્ધતા પર ચેક-આઉટ.
1. પરિચય
ભૌતિક (તકનીકી) વસ્તુઓના મોડેલિંગની ઘણી સમસ્યાઓ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. આવી સિસ્ટમોને હલ કરતી વખતે તમામ ગણતરીઓ મર્યાદિત સંખ્યામાં નોંધપાત્ર આંકડાઓ સાથે કરવામાં આવતી હોવાથી, રાઉન્ડિંગ ભૂલોને કારણે ચોકસાઈ નોંધપાત્ર રીતે ગુમાવી શકાય છે. નબળી કન્ડિશન્ડ (અસ્થિર) સિસ્ટમ અથવા, વધુ સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશનમાં, ખોટી રીતે ઊભી થયેલી સમસ્યાને એવી સમસ્યા ગણવામાં આવે છે કે, ઇનપુટ ડેટાની ભૂલો અને ગણતરીની ચોકસાઈના નિશ્ચિત સ્તરને જોતાં, ઉકેલમાં કોઈ ચોકસાઈની ખાતરી આપતી નથી. શરત નંબરનો ઉપયોગ SLAE ઉકેલવામાં સંભવિત ભૂલોના સૌથી ખરાબ અંદાજ તરીકે થાય છે. સાહિત્યમાંથી નીચે મુજબ, અસ્વસ્થ સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટેની પદ્ધતિઓના વિકાસને સંપૂર્ણ ગાણિતિક સમસ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેમાં ભૌતિક (તકનીકી) વસ્તુઓની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી, તે હકીકત હોવા છતાં કે ઘણી સમસ્યાઓનું સંખ્યાત્મક ઉકેલ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જટિલ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓનું ગાણિતિક મોડેલિંગ
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
ઘુવડ અને તકનીકી પ્રણાલીઓ રેખીય બીજગણિત સમસ્યાઓનો અખૂટ સ્ત્રોત છે. સમસ્યાઓના સૂચિબદ્ધ વર્ગ માટે, ઉકેલની પદ્ધતિઓ વિકસાવતી વખતે, SLAE કમ્પાઇલ કરવાના તબક્કાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી, જેમાં એક અથવા બીજી રીતે ચોક્કસ સમસ્યાના લક્ષણોને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય છે. હકીકત એ છે કે આ તબક્કાને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે તે નીચેના કાર્યોના પરિણામો દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે.
સૌ પ્રથમ, તે કાર્યને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે, જે મેટ્રિસિસના ઉદાહરણો પ્રદાન કરે છે જેના માટે SLAE ને હલ કરતી વખતે ચોકસાઈની ખોટ ઓછી હોય છે, અને શરત નંબરનું મૂલ્ય વિશાળ છે, એટલે કે, તે બતાવવામાં આવે છે કે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત માપદંડ શરત નંબરના આધારે SLAE ઉકેલવાની ચોકસાઈનું પ્રાથમિક મૂલ્યાંકન જરૂરી છે, પરંતુ તે પૂરતું નથી. કામમાં ખરાબ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે એક સંપૂર્ણપણે નવો અભિગમ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો. તે એ હકીકતમાં રહેલું છે કે SLAE ને ઉકેલવાની ચોકસાઈ વધારવા માટે, શરત નંબરના મોટા મૂલ્ય સાથે પણ, ભૌતિક પદાર્થના અલગ મોડેલનું વર્ણન કરવાના તબક્કે, SLAE ને યોગ્ય રીતે કંપોઝ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે. આનો અર્થ એ નથી કે આવા મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે કાર્યમાં નોંધવામાં આવ્યું છે, પરંતુ એ પણ છે કે SLAE મેટ્રિક્સને યોગ્ય રીતે કમ્પાઇલ કરવા માટે એક પદ્ધતિ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે જે ઑબ્જેક્ટના અલગ મોડેલનું વર્ણન કરે છે. SLAEs ના મેટ્રિક્સનું સંકલન કરવાની પદ્ધતિ ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ, પાવર સિસ્ટમ્સ, મિકેનિક્સની રોડ સિસ્ટમ્સ અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના લંબગોળ સમીકરણોના મોડેલિંગની સમસ્યાઓના સંબંધમાં ગણવામાં આવે છે.
આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે, હાલની પદ્ધતિઓથી વિપરીત, SLAE બનાવતી વખતે, ભૌતિક ઑબ્જેક્ટના અલગ મોડેલના પરિમાણોને ચલોની લક્ષિત પસંદગી દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે પદ્ધતિ ફક્ત તે ઑબ્જેક્ટ્સને જ લાગુ પડે છે જેમની સ્વતંત્ર મોડેલ ટોપોલોજી ગ્રાફ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ જરૂરિયાત ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ અને પાવર સિસ્ટમના ડિઝાઇન મોડેલ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. જટિલ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ, તકનીકી પ્રણાલીઓ અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના ગાણિતિક મોડેલિંગની ઘણી સમસ્યાઓ માટે, ગ્રાફના સ્વરૂપમાં એક અલગ મોડેલના ટોપોલોજીની રજૂઆતનો ઉપયોગ થતો નથી. કૃતિઓ દર્શાવે છે કે ઉપરોક્ત મર્યાદા ગ્રાફના રૂપમાં ભૌતિક પદાર્થના અલગ મોડેલની ડિઝાઇન યોજનાઓના તત્વોના ટોપોલોજીને રજૂ કરીને દૂર કરવામાં આવે છે. આલેખના રૂપમાં તત્વોની ટોપોલોજીને રજૂ કરવાની એક પદ્ધતિ પણ છે.
આ પેપરમાં, અમે જ્યારે અલગ મોડેલની ટોપોલોજી ગ્રાફના રૂપમાં દર્શાવવામાં આવતી નથી ત્યારે કેસ માટે ખોટી રીતે ઉભી થયેલી સમસ્યાને સુધારવા માટેની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ આપીશું. પદ્ધતિ વિકસાવતી વખતે, અમે એ હકીકતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જટિલ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ અને તકનીકી સિસ્ટમો (નોડલ સંભવિત પદ્ધતિ) માં સમસ્યાઓના અલગ મોડલનું વર્ણન કરવા માટેની સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત પદ્ધતિ એ SLAE મેટ્રિક્સને યોગ્ય રીતે સંકલન કરવા માટેની પદ્ધતિનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. .
2. ઑબ્જેક્ટના અલગ મોડેલનું વર્ણન કરતા SLAE ના ઉકેલની ચોકસાઈ અને સમીકરણો બનાવવાની પદ્ધતિ વચ્ચેનો સંબંધ
શિક્ષણશાસ્ત્રી વોએવોડિન વી.વી. તેમના કાર્યમાં બતાવ્યું કે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને ઉકેલવાના પરિણામોની ઉચ્ચતમ ચોકસાઈ મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે પ્રાપ્ત થાય છે. આ વિચારના આધારે મોટી સંખ્યામાં કૃતિઓ પ્રકાશિત થઈ છે. જો કે, વ્યવહારુ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ દર્શાવે છે કે SLAE ને ઉકેલવાની ચોકસાઈ, ખાસ કરીને ખરાબ-કન્ડિશન્ડ મેટ્રિસિસના કિસ્સામાં, રાઉન્ડિંગ ભૂલોને કારણે નોંધપાત્ર રીતે ખોવાઈ જાય છે, એટલે કે, ઉકેલના તબક્કે પરિણામોની ચોકસાઈ વધારવા માટે, તે પૂરતું નથી. મુખ્ય ઘટકોની પસંદગી સાથે માત્ર ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે.
આ વિચારનો વધુ વિકાસ એ કાર્યમાં પ્રસ્તાવિત પદ્ધતિ છે, જ્યાં તે ઑબ્જેક્ટના અલગ મોડેલના વર્ણનને સંકલિત કરવાના તબક્કે, મેટ્રિક્સના વિકર્ણ તત્વોને મુખ્ય તરીકે બનાવવા માટે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, વર્ણનનું સંકલન કરતી વખતે, વધારાની માહિતીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, અલગ મોડેલના પરિમાણો. આ અભિગમની અસરકારકતા, એટલે કે, અલગનું વર્ણન કરતા SLAE ના ઉકેલની ચોકસાઈની અવલંબન
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
ઑબ્જેક્ટનું નવું મોડેલ, સમીકરણો કંપોઝ કરવાની પદ્ધતિમાંથી, એક મોડેલ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવશે. નીચે આપણે મુખ્ય તત્વ અને તેના ઉકેલને પસંદ કર્યા વિના અને તેમાં વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ ઉદાહરણના વર્ણનનું સંકલન કરવાનું વિચારીશું.
ફિગ. 1 માં બતાવેલ વિદ્યુત સર્કિટને મોડેલ ઉદાહરણ તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું. 1.
ચોખા. 1. ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટ
તે જાણીતું છે કે વિદ્યુત સર્કિટનું વર્ણન કરતી SLAE ની શરત સર્કિટ ઘટકોના વાહકતા (પ્રતિરોધક) મૂલ્યોના ફેલાવાની શ્રેણી પર આધારિત છે. વિદ્યુત સર્કિટના ઘટકોની વાહકતામાં ફેરફારોની પસંદ કરેલ શ્રેણી, 15 ઓર્ડરની બરાબર, SLAE ની નબળી સ્થિતિની ખાતરી કરે છે અને આમ, સામાન્ય રીતે માનવામાં આવે છે, સમસ્યાની અયોગ્યતા. નોડ 2 (ઘટક G2 પર વોલ્ટેજ) ની સંભવિત ગણતરીના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યુત સર્કિટના વર્ણનનું સંકલન કરતી વખતે વિકર્ણ તત્વ બનાવવાની પદ્ધતિ પર ગણતરીના પરિણામોની વિશ્વસનીયતાની અવલંબનનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવશે.
યોગ્ય સમસ્યાની રચનાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાના ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે જરૂરી મુખ્ય જોગવાઈઓ નીચે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુત સર્કિટના ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ વિદ્યુત સર્કિટના સમીકરણોની મૂળભૂત સિસ્ટમ પર આધારિત છે, જેમાં કિર્ચહોફના કાયદાના આધારે સંકલિત ઘટકોના સમીકરણો અને સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે. મોડેલ ઉદાહરણ માટે, ઘટક સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે
જ્યાં U i એ સમગ્ર ઘટકમાં ડ્રોપ થયેલો વોલ્ટેજ છે, I એ ઘટકમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે, Gt એ ઘટકની વાહકતા છે.
વિદ્યુત સર્કિટના ગ્રાફનું વર્ણન કરવા અને તે મુજબ, કિર્ચહોફના નિયમો પર આધારિત સમીકરણો, રૂપરેખા અને વિભાગોના ટોપોલોજીકલ મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સર્કિટ ગ્રાફ ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ સાથે એકરુપ છે. રૂપરેખા અને વિભાગોના ટોપોલોજીકલ મેટ્રિસીસનું સંકલન કરવા માટે સર્કિટ ગ્રાફ ટ્રી પસંદ કરવાનું અને પસંદ કરેલા વૃક્ષ માટે રૂપરેખા દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. વિદ્યુત સર્કિટ ગ્રાફના વૃક્ષને એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે તમામ વોલ્ટેજ સ્ત્રોતો વૃક્ષમાં સમાવવામાં આવેલ છે, અને તમામ વર્તમાન સ્ત્રોતો તારોમાં સમાવવામાં આવેલ છે. સર્કિટ ઘટકોના વોલ્ટેજ વેક્ટર U અને પ્રવાહ I માંના તત્વોને વૃક્ષ (ઇન્ડેક્સ ડી) માં સમાવિષ્ટ તત્વોમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, શાખાઓ અને તાર (ઇન્ડેક્સ X), આમ:
સર્કિટ ગ્રાફ ટ્રી સાથે તારોને જોડીને રૂપરેખા બનાવવામાં આવે છે. આ બાબતે
રૂપરેખાના ટોપોલોજીકલ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે
જ્યાં 1 એ તારોનું એકમ સબમેટ્રિક્સ છે, t
મેટ્રિક્સના સ્થાનાંતરણને સૂચવે છે, અને વિભાગોનું ટોપોલોજીકલ મેટ્રિક્સ |1 -F સ્વરૂપનું છે, જ્યાં 1 એ શાખાઓનું એકમ સબમેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સની વિકર્ણ શરતો માંથી નીચે મુજબ છે
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
જ્યારે સર્કિટમાં વૃક્ષના ઘટકોની વાહકતા મહત્તમ વાહકતા ધરાવે છે ત્યારે તે કિસ્સામાં મુખ્ય હશે. ટોપોલોજીકલ મેટ્રિસિસના પ્રકારને ધ્યાનમાં લેતા, કિર્ચહોફના કાયદાના આધારે સંકલિત સર્કિટ સમીકરણો મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
તેમના =-ґid, (3)
સમીકરણોની સંકલિત સિસ્ટમના ચલો મુખ્ય સમીકરણોની સિસ્ટમના વિશ્લેષણના પરિણામે ઘટકોના વોલ્ટેજ અને/અથવા પ્રવાહોમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે. જો વૃક્ષની શાખાઓમાં સમાવિષ્ટ ઘટકોને ચલ વોલ્ટેજ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે, તો ઘટક સમીકરણો (1) અને સમીકરણો (3), (4) નીચેના સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થઈ શકે છે:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
નીચે આપણે મોડેલના ઉદાહરણ માટે સમીકરણોનું સંકલન રજૂ કરીશું. પ્રથમ, વિદ્યુત સર્કિટનું વર્ણન દોરવામાં આવે છે જેથી મેટ્રિક્સની વિકર્ણ શરતો મુખ્ય હોય. આ જરૂરિયાત વૃક્ષમાં સમાવિષ્ટ ઘટકો E1, G6, G3, G2 ના સમૂહ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે (ફિગ. 1 માં, ઝાડની શાખાઓ બોલ્ડ લાઇન સાથે પ્રકાશિત થાય છે). વોલ્ટેજના નીચેના વેક્ટર અને ઘટકોના પ્રવાહો પસંદ કરેલ વૃક્ષને અનુરૂપ છે:
અને ટોપોલોજીકલ મેટ્રિસિસ
સમીકરણ (5), રૂપાંતરણ પછી (6), (7) અને ઘટક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) અયોગ્ય છે, કારણ કે મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. સિસ્ટમને ઉકેલવાના પરિણામોની ચોકસાઈ કેવી રીતે સમીકરણો બનાવવા માટેના વિકલ્પની પસંદગી પર આધાર રાખે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, નોડ 2 ના સંભવિત Uq ની ગણતરી સામાન્ય સ્વરૂપમાં કરવામાં આવશે:
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા (9-11) ના પૃથ્થકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે, વાહકતા મૂલ્યોમાં મોટી શ્રેણીના ફેરફારો (તીવ્રતાના 15 ઓર્ડર) હોવા છતાં, બંને જ્યારે સમીકરણો કંપોઝ કરો અને જ્યારે તેમને હલ કરો. વિશ્વસનીય પરિણામ મેળવવા માટે, બે નોંધપાત્ર આંકડાઓમાં સંખ્યાઓ રજૂ કરવાની ચોકસાઈ સાથે SLAE ને સંકલિત કરવા અને ઉકેલવાની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા કરવા માટે તે પૂરતું છે.
એ નોંધવું જોઈએ કે SLAE (8) માં મેટ્રિક્સ G+G4+G5I ની બીજી પંક્તિ (કૉલમ) નું વિકર્ણ તત્વ બાકીના શબ્દોના સરવાળા કરતાં નોંધપાત્ર રીતે મોટું છે (તીવ્રતાના 15 ઓર્ડર દ્વારા)
પંક્તિઓ (સ્તંભો) | G4 + 2G51. આનો અર્થ એ થયો કે UG = 0 લઈને, આપણે SLAE ને સરળ બનાવી શકીએ છીએ
(8), પરિણામોની વિશ્વસનીયતા જાળવી રાખવી. મેન્યુઅલ ગણતરીના યુગમાં, આ તકનીક નોડ 2 ને 3 (ફિગ. 1) સાથે જોડવા માટે અનુરૂપ છે.
બીજા કિસ્સામાં (મુખ્ય એક તરીકે વિકર્ણ તત્વ પસંદ કર્યા વિના), તે વૃક્ષમાં ઘટકો Ex, G6, G4, G2 પસંદ કરવા માટે પૂરતું છે (ફિગ. 1 માં, વૃક્ષની શાખાઓ ડેશેડ રેખાઓ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે.
રેખા). આ ઘટકો પરના વોલ્ટેજના ટીપાં શૂન્ય નોડમાંથી ગણવામાં આવતા નોડ પોટેન્શિયલ 1, 4, 3, 2ને અનુરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે વૃક્ષમાં ઘટકોની આવી પસંદગી સાથે, SLAE મેટ્રિક્સને યોગ્ય રીતે કંપોઝ કરવાની પદ્ધતિ નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ સાથે એકરુપ છે. વોલ્ટેજના નીચેના વેક્ટર અને ઘટકોના પ્રવાહો પસંદ કરેલા વૃક્ષ અને તારોને અનુરૂપ છે:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
અને ટોપોલોજીકલ મેટ્રિસિસ
સમીકરણ (5), (12), (13) અને ઘટક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, નીચેના લેશે
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
સમીકરણોની સિસ્ટમ (14) અયોગ્ય છે, કારણ કે તેમાં મેટ્રિક્સના નીચેના ઇજેન મૂલ્યો છે: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. ઉદાહરણના પ્રથમ સંસ્કરણની જેમ, નોડ 2 ના સંભવિત UG ની ગણતરી સામાન્ય સ્વરૂપમાં કરવામાં આવશે:
(G + G + G) ----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
સમીકરણોની પ્રણાલી (15-17) ઉકેલવાની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયાના વિશ્લેષણ પરથી તે અનુસરે છે કે પરિણામોની વિશ્વસનીયતા સંખ્યાઓની રજૂઆતની અંતિમ ચોકસાઈ પર સમીકરણો કંપોઝ કરતી વખતે અને ઉકેલતી વખતે બંને પર આધાર રાખે છે. તેથી, જો સિસ્ટમ (15-17) ઉકેલવાની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા 15 કરતાં ઓછા નોંધપાત્ર અંકોની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે, તો પરિણામ આવશે
1015 +1015 ~ o,
અને તે કિસ્સામાં જ્યાં ચોકસાઈ 15 થી વધુ નોંધપાત્ર આંકડાઓ છે, તે હશે
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
મેટ્રિસીસ (8) અને (14), તેમજ સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયાઓની સરખામણી પરથી, નીચેના તારણો આવે છે.
નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ એ સૂચિત પદ્ધતિનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, એટલે કે, નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિમાં, ગ્રાફની કિનારીઓ જે બેઝ નોડને બાકીના સાથે જોડે છે તે હંમેશા વૃક્ષમાં પસંદ કરવામાં આવે છે.
મેટ્રિક્સના ત્રાંસા તત્વો અન્ય તત્વો કરતાં મોડ્યુલસમાં મોટા હોય છે, પંક્તિઓ અને કૉલમ બંનેમાં, મેટ્રિક્સ મહત્તમ કર્ણ પસંદ કર્યા વિના કે પછી બનેલું હોય તે ધ્યાનમાં લીધા વિના. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે વિકર્ણ તત્વો બિન-કર્ણ તત્વો કરતાં કેટલા મોટા છે. આનો અર્થ એ છે કે મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારના SLAE ને ઉકેલવાથી આ વર્ગની સમસ્યાઓના પરિણામોની ચોકસાઈમાં વધારો થતો નથી.
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
ગૌસીયન સોલ્યુશનમાં વપરાતા નોંધપાત્ર આંકડાઓની અંતિમ સંખ્યા તેના પર નોંધપાત્ર રીતે નિર્ભર કરે છે કે મેટ્રિક્સ મહત્તમ ત્રાંસા તત્વો પસંદ કર્યા વિના કે પછી બાંધવામાં આવે છે. સમસ્યાના એક સંસ્કરણ અને બીજા સંસ્કરણ વચ્ચેનો તફાવત માત્ર એટલો જ છે કે સમીકરણો કંપોઝ કરવાના તબક્કે, એક કિસ્સામાં મહત્તમ વાહકતા ધરાવતા ઘટકને વૃક્ષમાં પસંદ કરવામાં આવે છે અને આમ આ ઘટકનું વોલ્ટેજ SLAE માં ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ ઘટકની વાહકતા માત્ર મેટ્રિક્સના કર્ણ તત્વની રચનામાં સામેલ છે. અન્ય કિસ્સામાં, આ ઘટક તારોમાં આવે છે. સમીકરણ (3) માંથી નીચે મુજબ, ઘટક તણાવ વૃક્ષ ઘટકોના તણાવ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સમીકરણ (4) થી તે અનુસરે છે કે ઘટકની વાહકતા પંક્તિઓ અને કૉલમના ઘટકોની રચનામાં સામેલ છે, અને આમ તારની વાહકતા આ મેટ્રિક્સ તત્વોનું કદ નક્કી કરે છે.
3. યોગ્ય ફોર્મ્યુલેશનને અનુરૂપ ફોર્મમાં નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ દ્વારા સંકલિત SLAE મેટ્રિક્સનું રૂપાંતરણ
જ્યારે આ સમસ્યાઓના અલગ મોડલનું વર્ણન કરતા SLAE ને સંકલિત કરવા માટે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ અને જટિલ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ અને તકનીકી સિસ્ટમોના ગાણિતિક મોડેલિંગની સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલવામાં આવે ત્યારે, નોડલ પોટેન્શિયલ અથવા તેના એનાલોગની પદ્ધતિનો મુખ્યત્વે ઉપયોગ થાય છે. આ પદ્ધતિની એક વિશિષ્ટ વિશેષતા એ છે કે સ્વતંત્ર મોડેલની ડિઝાઇન યોજનાની સંભવિતતાઓ, આધાર નોડથી બાકીના ગાંઠો સુધી ગણવામાં આવે છે, સમીકરણો કંપોઝ કરવા માટે એક સરળ અલ્ગોરિધમ અને SLAE ના નબળા ભરેલા મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ SLAE ચલ તરીકે થાય છે. આવી કાર્યક્ષમતા માટેની કિંમત કાર્યની અયોગ્યતા હોઈ શકે છે. નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ એ સમસ્યાને યોગ્ય રીતે રજૂ કરવાની પદ્ધતિના માત્ર એક પ્રકાર છે તે ધ્યાનમાં લેતા, મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન લાગુ કરીને ખોટી રીતે ઊભી થયેલી સમસ્યાને સુધારી શકાય છે. નીચે આપણે નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ દ્વારા ખોટી રીતે બનેલી સમસ્યાને રૂપાંતરિત કરવા માટે અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીશું.
ભૌતિક વસ્તુઓની સમગ્ર વિવિધતામાંથી, ફક્ત તે જ વસ્તુઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે જેનું રેખીય અલગ મોડેલ SLAE દ્વારા બિન-ડિજનરેટ અને સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ સાથે વર્ણવવામાં આવ્યું છે.
3.1. મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન અલ્ગોરિધમ
મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન અલ્ગોરિધમનો વિકાસ કરતી વખતે, હકીકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કે મેટ્રિક્સની i-મી પંક્તિના j-th બિન-વિકર્ણ તત્વને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે મેટ્રિક્સમાં શામેલ કરવામાં આવે છે અને તેમાં એક અલગ મોડેલ પરિમાણ હોય છે જે જોડાણનું વર્ણન કરે છે. અલગ મોડેલના i-th અને j-th નોડ્સ વચ્ચે. વિકર્ણ તત્વ મેટ્રિક્સમાં સકારાત્મક ચિન્હ સાથે સમાવવામાં આવેલ છે, જેમાં બિન-વિકર્ણ તત્વોનો સરવાળો અને એક અલગ મોડેલ પરિમાણ છે જે i-th નોડ અને આધાર એક વચ્ચેના જોડાણનું વર્ણન કરે છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે અલગ મોડેલના નોડ્સને નંબર આપવામાં આવે છે, ત્યારે મૂળભૂત નોડને શૂન્ય ગણવામાં આવે છે.
ઉપર કરવામાં આવેલા અભ્યાસમાંથી નીચે મુજબ, સંકલિત SLAE ના સ્તરે સમસ્યાની અયોગ્યતા ત્યારે જ થાય છે જ્યારે રેખાના બિન-ત્રાંસા તત્વોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અલગ મોડેલના પરિમાણ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધારે હોય, જેનો સમાવેશ થાય છે. કર્ણ તત્વમાં. નીચે સંકલિત SLAE ની શુદ્ધતા ચકાસવા માટેની પદ્ધતિ છે.
SLAE પાસે ફોર્મ રાખવા દો
જ્યાં x નોડલ પોટેન્શિયલનો વેક્ટર છે (નોડલ પ્રભાવો), y એ બાહ્ય પ્રવાહનો વેક્ટર છે, A એ ફોર્મનું મેટ્રિક્સ છે
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і અજ અિન , (21)
aJ1 an1 аі aJJ એન
જ્યાં n એ મેટ્રિક્સનું કદ છે. મેટ્રિક્સ તત્વો નીચેની આવશ્યકતાઓને સંતોષે છે:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
નીચે આપણે મેટ્રિક્સની i-th પંક્તિની શુદ્ધતા તપાસવાનું અને જો જરૂરી હોય તો, તેના સુધારણા વિશે વિચારણા કરીશું.
સૌ પ્રથમ, અલગ મોડેલ પેરામીટર ait નક્કી કરવામાં આવે છે, જે ફક્ત મેટ્રિક્સની i-th પંક્તિના ત્રાંસા તત્વમાં સમાવવામાં આવેલ છે,
જો પરિમાણ એ શરતને સંતોષે તો મેટ્રિક્સની th પંક્તિ યોગ્ય રીતે બનેલી હોવાનું માનવામાં આવે છે
1 < j < n, при j Ф і.
જો શરત (24) પૂરી ન થાય, તો ith પંક્તિ ગોઠવવામાં આવે છે. પ્રથમ, બિન-વિકર્ણ તત્વોમાંથી સૌથી મોટું પસંદ થયેલ છે. આ i -th પંક્તિનું j -th તત્વ બનવા દો. તે ચકાસવું સરળ છે કે, મેટ્રિક્સ કમ્પોઝિશન (સ્થિતિ (22)) ની વિશિષ્ટતાઓને લીધે, અલગ મોડેલનું પરિમાણ, જે તત્વોની રચનામાં સામેલ છે. અને i-th અને j-th રેખાઓનો a.^, તત્વો aii અને a માં અભિન્ન ભાગ તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે. . i-th પંક્તિને સમાયોજિત કરવાનો સાર એ છે કે મેટ્રિક્સની i-th અને j-th પંક્તિઓનું રૂપાંતર કરવું જેથી એલિમેન્ટનું મૂલ્ય a હોય. માત્ર તત્વ aii માં સમાવવામાં આવેલ હતું. તે જોવાનું સરળ છે, ફોર્મમાં વેરીએબલ xiનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
X = xj + xj (25)
અને SLAE મેટ્રિક્સના j-th સ્તંભના તત્વોનું નીચેનું રૂપાંતર કરવું
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
અમે મેટ્રિક્સની નવી j-th કૉલમ મેળવીએ છીએ, જેમાં રૂપાંતરિત તત્વો a છે. અને એ. ઘટકોની રચના કરનાર અલગ મોડેલનું પરિમાણ સમાવતું નથી. અને એ. .
આગળનું પગલું એ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને jth પંક્તિને રૂપાંતરિત કરવાનું છે
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
રૂપાંતરિત j -સ્ટ્રિંગના એલિમેન્ટ્સ a i માં એલિમેન્ટ a i ને અનુરૂપ અલગ મોડલ પેરામીટર હવે સમાવતું નથી.
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
સમગ્ર મેટ્રિક્સ માટે SLAE મેટ્રિક્સની શુદ્ધતા તપાસવી અને ખોટી પંક્તિઓ સુધારવાનું કામ કરવામાં આવે છે. આ કાર્યમાં, માત્ર મેટ્રિક્સને સાચા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે અલ્ગોરિધમ બનાવવાનો અભિગમ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સને યોગ્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમના વિકાસ સાથે સંબંધિત મુદ્દાઓ આ કાર્યમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી. નીચે આપણે નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ દ્વારા સંકલિત SLAE મેટ્રિક્સ (14) ના પરિવર્તનનું ઉદાહરણ આપીશું.
3.2. ડેમો ઉદાહરણ
સૌ પ્રથમ, એ નોંધવું જોઈએ કે મેટ્રિક્સ (14) સપ્રમાણ અને બિન-અધોગતિશીલ છે. મેટ્રિક્સ ગુણાંક સ્થિતિને સંતોષે છે (22). નોડલ પોટેન્શિયલ સમગ્ર ઘટકોમાં વોલ્ટેજ ડ્રોપને અનુરૂપ છે
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
ધ્યાનમાં લેતા (28), SLAE (14) ને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
મેટ્રિક્સની શુદ્ધતા તપાસવામાં નીચેની ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
સ્વતંત્ર મોડેલ પેરામીટર ait ના ફોર્મ્યુલા (23) દ્વારા નિર્ધારણ, ફક્ત શામેલ છે
કર્ણ તત્વમાં. મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિ માટે તે G6 હશે, બીજી પંક્તિ માટે G4 અને ત્રીજા માટે - (Gl + G2).
શુદ્ધતા માટે મેટ્રિક્સ પંક્તિઓ તપાસવાનું સૂત્ર (24) અનુસાર કરવામાં આવે છે. આ તપાસના પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે બીજી લાઇન શુદ્ધતાની જરૂરિયાતને સંતોષતી નથી, કારણ કે (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . પરિમાણ G3 પણ મેટ્રિક્સની ત્રીજી પંક્તિમાં સમાવવામાં આવેલ છે, તેથી, ફોર્મ્યુલા (25) અનુસાર, ચલ U3 ની રજૂઆત ફોર્મમાં પસંદ કરવામાં આવે છે.
U3 = U2 + U23, (30)
3 જી સ્તંભના ઘટકોને રૂપાંતરિત કરવાના પરિણામે, સૂત્ર (26) અનુસાર, અમે નીચેના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ (29) મેળવીએ છીએ:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
અને ત્રીજી પંક્તિને રૂપાંતરિત કર્યા પછી, ફોર્મ્યુલા (27) અનુસાર, મેટ્રિક્સ (31) માં ફોર્મ હશે
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) શુદ્ધતાની જરૂરિયાતને સંતોષે છે, તેથી ગોઠવણ પૂર્ણ માનવામાં આવે છે. SLAE ચલ (32) SLAE ચલ (8) ને અનુરૂપ છે, એટલે કે, માં
ISSN 1028-9763. ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમ્સ, 2014, નંબર 4
વૃક્ષમાં પરિવર્તનના પરિણામે, સમસ્યાના યોગ્ય રચનાની પદ્ધતિમાં સમાન ઘટકો પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. SLAEs (8) અને (32) ની સરખામણી પરથી તે અનુસરે છે કે બીજા કૉલમ અને બીજી પંક્તિના મેટ્રિક્સ (32) ના બિન-વિકર્ણ તત્વો મેટ્રિક્સ (8) થી ચિહ્નમાં અલગ પડે છે. આ એ હકીકતનું પરિણામ છે કે જ્યારે મેટ્રિક્સ (14) ને રૂપાંતરિત કરતી વખતે, G3 ઘટકના વર્તમાનની દિશા પસંદ કરવામાં આવી હતી, SLAE (8) નું સંકલન કરતી વખતે પસંદ કરેલી દિશાની વિરુદ્ધ. ચલ U23 ને U23 = -U23 સાથે બદલીને અને બીજા સમીકરણમાં તત્વોના ચિહ્નોને વિરુદ્ધમાં બદલીને, આપણે મેટ્રિક્સ (8) મેળવીએ છીએ.
4. નિષ્કર્ષ
મોડેલિંગ એ માનવજાતની બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિનો એક અભિન્ન ભાગ બની ગયું છે, અને મોડેલિંગના પરિણામોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે મોડેલિંગ પરિણામોની વિશ્વસનીયતા એ મુખ્ય માપદંડ છે. પરિણામોની વિશ્વસનીયતાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે, જટિલ પદાર્થો અને તેમના ઉકેલોનું વર્ણન કરવા માટેની પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સના વિકાસ માટે નવા અભિગમો જરૂરી છે.
ખરાબ-ઉભી થયેલી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવવા માટેના હાલના અભિગમથી વિપરીત, આ પેપર ખરાબ-ઉભી થયેલી સમસ્યા (બીમારી સ્થિતિવાળી)ને યોગ્ય સ્વરૂપમાં લાવવાની દરખાસ્ત કરે છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ભૌતિક પદાર્થોના અલગ મોડેલનું વર્ણન કરતા SLAE ને ઉકેલતી વખતે ભરોસાપાત્ર પરિણામો મેળવવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે તે મેટ્રિક્સની નબળી શરત નથી, પરંતુ સમીકરણો બનાવવાના તબક્કે SLAE ચલોની ખોટી પસંદગી અને નોડલની પદ્ધતિ. પોટેન્શિયલ અને તેના એનાલોગ્સ, જેનો ઉપયોગ અલગ મોડેલનું વર્ણન કરતા SLAE ને કમ્પાઈલ કરવા માટે થાય છે, તે સમસ્યાના યોગ્ય ફોર્મ્યુલેશનની પદ્ધતિનો એક વિશેષ કેસ છે. જ્યારે SLAE મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન અને સપ્રમાણ હોય ત્યારે કેસ માટે નોડલ પોટેન્શિયલ્સની પદ્ધતિ દ્વારા સંકલિત SLAE ની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે એક તકનીક પ્રસ્તાવિત છે. મેટ્રિક્સને સાચા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ ગણવામાં આવે છે.
ગ્રંથસૂચિ
1. કાલીટકીન એન.એન. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો માટે માત્રાત્મક શરત માપદંડ / N.N. કાલીટકીન, એલ.એફ. યુખ્નો, એલ.વી. કુઝમિના // મેથેમેટિકલ મોડેલિંગ. - 2011. ટી. 23, નંબર 2. - પી. 3 - 26.
2. વોલોબોએવ વી.પી. મોડેલિંગ જટિલ સિસ્ટમો માટે એક અભિગમ પર / વી.પી. વોલોબોએવ, વી.પી. ક્લિમેન્કો // ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમો. - 2008. - નંબર 4. - પૃષ્ઠ 111 - 122.
3. વોલોબોએવ વી.પી. મોડેલિંગ પાવર સિસ્ટમ્સના એક અભિગમ પર / વી.પી. વોલોબોએવ, વી.પી. ક્લિમેન્કો // ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમો. - 2009. - નંબર 4. - પી. 106 - 118.
4. વોલોબોએવ વી.પી. લાકડી પ્રણાલીઓ અને ગ્રાફ થિયરીના મિકેનિક્સ / વી.પી. વોલોબોએવ, વી.પી. ક્લિમેન્કો // ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમો. - 2012. - નંબર 2. - પૃષ્ઠ 81 - 96.
5. વોલોબોએવ વી.પી. મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ અને આલેખ સિદ્ધાંત / વી.પી. વોલોબોએવ, વી.પી. ક્લિમેન્કો // ગાણિતિક મશીનો અને સિસ્ટમો. - 2013. - નંબર 4. - પૃષ્ઠ 114 - 126.
6. પુખોવ જી.ઇ. ગાણિતિક મશીનોના સિદ્ધાંતના પસંદ કરેલા પ્રશ્નો / પુખોવ જી.ઇ. - કિવ: યુક્રેનિયન એસએસઆરની એકેડેમી ઓફ સાયન્સનું પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1964. - 264 પૃષ્ઠ.
7. સેશુ એસ. લીનિયર ગ્રાફ અને ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ / એસ. સેશુ, એમ.બી. રીડ. - એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1971. - 448 પૃષ્ઠ.
8. Zenkevich O. મર્યાદિત તત્વો અને અંદાજ / O. Zenkevich, K. Morgan. - એમ.: મીર, 1986. -318 પૃષ્ઠ.
9. વોએવોડિન વી.વી. રેખીય બીજગણિતના કોમ્પ્યુટેશનલ ફાઉન્ડેશન / વોએવોડિન વી.વી. - એમ.: નૌકા, 1977. -304 પૃષ્ઠ.
10. ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગના સૈદ્ધાંતિક પાયા: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / કે.એસ. ડેમિર્ચયાન, એલ.આર. નેઇમન, એન.વી. કોરોવકિન, વી.એલ. ચેચુરિન. - - પીટર, 2003. - ટી. 2. - 572 પૃ.
ચાલો ફરીથી SLAU પર પાછા ફરીએ Aх=bચોરસ મેટ્રિક્સ A કદ સાથે MхN, જે, ઉપર ગણવામાં આવેલ "સારા" કેસથી વિપરીત (વિભાગ 8.D જુઓ), ખાસ અભિગમની જરૂર છે. ચાલો SLAE ના બે સમાન પ્રકારો પર ધ્યાન આપીએ:
- ડિજનરેટ સિસ્ટમ (શૂન્ય નિર્ણાયક સાથે |A|=0);
- નબળી કન્ડિશન્ડ સિસ્ટમ (નિર્ધારક A શૂન્યની બરાબર નથી, પરંતુ સ્થિતિ સંખ્યા ખૂબ મોટી છે).
હકીકત એ છે કે આ પ્રકારની સમીકરણોની સિસ્ટમો એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવા છતાં (પ્રથમ માટે ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી, પરંતુ બીજા માટે ફક્ત એક જ છે), કમ્પ્યુટરના વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, બંને વચ્ચે ઘણું સામ્ય છે. તેમને
ડિજનરેટ SLAE
ડિજનરેટ સિસ્ટમ એ શૂન્ય નિર્ણાયક સાથે મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમ છે |A|=0(એકવચન મેટ્રિક્સ). આવી સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ કેટલાક સમીકરણો અન્ય સમીકરણોના રેખીય સંયોજન દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા હોવાથી, વાસ્તવમાં સિસ્ટમ પોતે જ ઓછી નિર્ધારિત છે. તે સમજવું સહેલું છે કે, જમણી બાજુના વેક્ટર b ના ચોક્કસ પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ત્યાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો છે અથવા તો કંઈ જ નથી. પ્રથમ વિકલ્પ સામાન્ય સ્યુડો-સોલ્યુશન બનાવવા માટે નીચે આવે છે (એટલે કે, ઉકેલોના અનંત સમૂહમાંથી તે પસંદ કરવું જે ચોક્કસની સૌથી નજીક હોય, ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય, વેક્ટર). વિભાગમાં આ કેસની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. 8.2.2 (સૂચિઓ 8.11-8.13 જુઓ).
ચોખા. 8.7. એકવચન મેટ્રિક્સ સાથે બે સમીકરણોની અસંગત સિસ્ટમનું ગ્રાફિકલ રજૂઆત
ચાલો બીજા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે SLAE Aх=bએકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ સાથે A પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. આવી સમસ્યાનું ઉદાહરણ (બે સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે) ફિગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 8.7, જેની ટોચ પર મેટ્રિક્સ દાખલ થયેલ છે એઅને વેક્ટર b, અને ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવાનો પ્રયાસ પણ કરવામાં આવે છે (અસફળ, કારણ કે મેટ્રિક્સ A એકવચન છે) ઉકેલવું. આકૃતિનો મુખ્ય ભાગ કબજે કરેલો ગ્રાફ બતાવે છે કે સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરતા બે સમીકરણો પ્લેન (x0,x1) પર બે સમાંતર રેખાઓ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં કોઈપણ બિંદુએ રેખાઓ છેદે નથી, અને તે મુજબ, સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
નૉૅધ
પ્રથમ, નોંધ કરો કે SLAE 2x2 ના કદના અવિભાજ્ય ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે પ્લેનમાં છેદતી રેખાઓની જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (નીચે આકૃતિ 8.9 જુઓ). બીજું, તે કહેવું યોગ્ય છે કે જો સિસ્ટમ સુસંગત હોત, તો સમીકરણોની ભૌમિતિક રજૂઆત બે એકરૂપ રેખાઓ હશે જે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલોનું વર્ણન કરશે..
ચોખા. 8.8. શેષ કાર્ય f (x) = |Ax-b| ના વિભાગોનો આલેખ
અનુમાન લગાવવું સહેલું છે કે સિસ્ટમના સ્યુડો-સોલ્યુશનના માનવામાં આવતા એકવચન કિસ્સામાં જે વિસંગતતાને ઘટાડે છે |એક્સ-બી|, ત્યાં અનંતપણે ઘણા હશે, અને તેઓ ફિગમાં બતાવેલ બેની સમાંતર, ત્રીજી સીધી રેખા પર આવેલા હશે. 8.7 અને તેમની વચ્ચે મધ્યમાં સ્થિત છે. આ ફિગ માં સચિત્ર છે. 8.8, જે ફંક્શનના કેટલાક વિભાગો દર્શાવે છે f(x)= | Ax-b |, જે સમાન ઊંડાઈના મિનિમા પરિવારની હાજરી સૂચવે છે. જો તમે તેમને શોધવા માટે બિલ્ટ-ઇન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો છો ઘટાડવા, તેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ હંમેશા ઉલ્લેખિત રેખાના કોઈપણ એક બિંદુને શોધી શકશે (પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખીને). તેથી, અનન્ય ઉકેલ નક્કી કરવા માટે, કોઈએ સ્યુડો-સોલ્યુશનના સંપૂર્ણ સેટમાંથી સૌથી નાનો ધોરણ પસંદ કરવો જોઈએ. તમે બિલ્ટ-ઇન ફંક્શન્સના સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને મેથકેડમાં આ બહુપરીમાણીય લઘુત્તમ સમસ્યાને ઘડવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો ઘટાડવાજો કે, વધુ કાર્યક્ષમ રીત એ છે કે નિયમિતીકરણ (નીચે જુઓ) અથવા ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ વિઘટનનો ઉપયોગ કરવો (વિભાગ 8.3 જુઓ).
