એક અભિવ્યક્તિ છે: "જૂઠાણાના ત્રણ પ્રકાર છે - ફક્ત જૂઠ, સ્પષ્ટ જૂઠ અને આંકડા."
ખરેખર, આંકડાઓને સુરક્ષિત રાખવાની જરૂર નથી. આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો સફળતાપૂર્વક અને તે પણ વિજયી રીતે તમામ પ્રકારની બુદ્ધિશાળી માનવ પ્રવૃત્તિમાં ઉપયોગ થાય છે - જાહેર ઉપયોગિતાઓના સંગઠનથી લઈને પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર સુધી. અને તેમ છતાં તે ચોક્કસ રીતે આંકડાઓની આ ઉત્કૃષ્ટ અસરકારકતા છે જે તેને સંપૂર્ણ રીતે અમાનવીય હેતુઓ માટે ઉપયોગમાં લેવાની એક મોટી લાલચ બનાવે છે.
એપીલેપ્સી નામનો રોગ છે, જે મગજના નુકસાન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, વારંવાર (ક્યારેક ખૂબ વારંવાર નહીં) હુમલામાં વ્યક્ત થાય છે, ગંભીર સ્વરૂપમાં આંચકીના હુમલામાં વ્યક્ત થાય છે. હળવા (અને વધુ સામાન્ય) સ્વરૂપોમાં, તે ઘણી સેકન્ડો અથવા મિનિટો માટે ચેતના ગુમાવે છે, આંચકી વિના અથવા તો પડી જાય છે.
માનસિક હોસ્પિટલમાં મારી એક જેલવાસ દરમિયાન, મેં, થોડી ફી: સિગારેટના થોડા પેક, મને લાગે છે કે, એક ડોકટર માટે અંગ્રેજીમાંથી એક નાનકડા પુસ્તકનો અનુવાદ કર્યો. પુસ્તક વાસ્તવમાં એપિલેપ્સીથી પીડિત બાળકોના આંકડાકીય અભ્યાસમાંથી ડેટા રજૂ કરે છે. મેં ક્યારેય વાંચેલું તે સૌથી ભવ્ય વૈજ્ઞાનિક કાર્ય હતું. ઇન્ટેલિજન્સ ઇન્ડેક્સ બીમાર શાળા વયના બાળકોના વિવિધ જૂથોમાં નક્કી કરવામાં આવ્યો હતો. જૂથો વિવિધ લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવ્યા હતા - માંદગીની ડિગ્રી, કુટુંબની નાણાકીય સહાય, વગેરે. એપિલેપ્ટીક્સ માટેની વિશેષ શાળાઓમાં અને સામાન્ય સામાન્ય શાળાઓમાં અભ્યાસ કરતા બાળકોની સરખામણી એ સૌથી વધુ રસપ્રદ બાબત હતી. અપેક્ષા મુજબ, વિશેષ શાળાઓમાં બાળકોનો વિકાસ સૂચકાંક (બુદ્ધિ) તંદુરસ્ત બાળકો કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછો હોવાનું બહાર આવ્યું છે. જ્યારે નિયમિત શાળાઓમાં બાળકો માટે ઇન્ડેક્સ નક્કી કરવામાં આવ્યો ત્યારે આશ્ચર્ય સર્જાયું. તે માત્ર વિશેષ શાળાઓમાં સમાન દર્દીઓના અનુક્રમણિકા કરતાં ઘણું ઊંચું હોવાનું બહાર આવ્યું છે, પણ તે જ શાળાઓમાં અભ્યાસ કરતા તંદુરસ્ત બાળકો કરતાં પણ વધારે છે! એપીલેપ્ટિક્સ તેમના વર્ગમાં પ્રથમ વિદ્યાર્થીઓ અને ઉત્તમ વિદ્યાર્થીઓમાં હતા! માર્ગ દ્વારા, આ અગ્રણી લોકોમાં અપ્રમાણસર મોટી સંખ્યામાં વાઈના લાંબા સમયથી જાણીતી હકીકત સાથે સંપૂર્ણ રીતે સુસંગત છે. ઉદાહરણ તરીકે પીટર ધ ગ્રેટ અને દોસ્તોવ્સ્કી લઈએ. રસ ધરાવતા લોકો અન્ય ઉદાહરણો આપી શકે છે.
અણધાર્યા પરિણામ માટે સમજૂતી સમજાવવા માટે સરળ છે. એક "અવરોધ અસર" ઊભી થઈ. બીમાર બાળકો, તેમના હુમલાને કારણે, સ્પર્ધાની બાલિશ ઇચ્છાને કારણે, થોડીક હીનતા અનુભવતા, સઘન અભ્યાસ દ્વારા તેની ભરપાઈ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો અને તે એટલી સફળતાપૂર્વક કર્યું કે તેઓ પ્રથમ વિદ્યાર્થીઓ બન્યા! ખાસ શાળાઓમાં આવું ન હતું - તેમની આસપાસના દરેક તેમના જેવા જ હતા અને તેમની સાથે સ્પર્ધા કરવા માટે કોઈ નહોતું. અલબત્ત, ગંભીર રીતે બીમાર દર્દીઓ માટે વિશેષ શાળાઓ જરૂરી હતી જેમને સતત મદદ અને દેખરેખની જરૂર હોય છે, પરંતુ હળવા કેસો માટે તેઓ માત્ર નકામી જ નહીં, પણ હાનિકારક પણ હતા. અને અમેરિકાએ ધીમે ધીમે વિશેષ શાળાઓના તેના ઉત્તમ નેટવર્કને ઘટાડવાનું શરૂ કર્યું.
પરંતુ પ્રશ્ન એ છે કે તેણીએ તેને કેમ બનાવ્યું? કલ્પના કરો, આંકડાકીય સંશોધનના આધારે પણ. તબીબી નિષ્ણાતો, વાલીઓ અને વિદ્યાર્થીઓ સાથે વ્યાપક અને અસંખ્ય સર્વેક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. તે બધાએ આવી સંસ્થાઓની રચનાની તરફેણમાં વાત કરી. જો કે, આ બધું માત્ર એક નાના અભ્યાસ દ્વારા ઉથલાવી દેવામાં આવ્યું હતું - 500 કેસ જેવા કંઈક.
આંકડાઓ દોષિત નથી, તે માત્ર એટલું જ છે કે નાના અભ્યાસમાં તે બાબતોની વાસ્તવિક સ્થિતિ દર્શાવે છે, જ્યારે અગાઉના અભ્યાસોમાં - ભ્રમણા, વ્યાવસાયિક અને અન્ય, માતાપિતાના પ્રેમની ડિગ્રી, સામાન્ય રીતે, વાસ્તવિક સિવાય બીજું કંઈપણ બાબતોની સ્થિતિ
મેં તાજેતરમાં એક આદરણીય પ્રોફેસરને ટીવી પર "હિંસા અને હત્યાના દ્રશ્યો" બતાવવા પર પ્રતિબંધ મૂકવાની જરૂરિયાત માટે દલીલ કરતા સાંભળ્યા, અને વાસ્તવિક ગુનાઓનું વર્ણન કરતા માત્ર સંદેશાઓ પણ, હકીકત એ છે કે આંકડાકીય અભ્યાસોના 80% આવા પ્રતિબંધની જરૂરિયાત સાબિત કરે છે. તેથી, તે ફક્ત તમારી સાથે જૂઠું બોલી રહ્યો હતો, અને તેનો "સાબિતી" ખોટો છે. વ્યક્તિગત કિસ્સાઓ જ્યારે મૂવીના દૃશ્યોની છબી અને સમાનતામાં ગુનો આચરવામાં આવે છે, તો આ બિલકુલ પુરાવા હોઈ શકે નહીં - કદાચ એક સંભવિત ગુનેગાર માટે કે જે પોતાને મૂવી હીરો-ગુનેગાર તરીકે ઓળખાવે છે, ત્યાં દસ લોકો છે જેઓ પોતાની ભૂમિકામાં કલ્પના કરે છે. પીડિત, જેણે તેમનામાં હત્યા પ્રત્યે અણગમો પેદા કર્યો, અને વધુ દસ જેમણે વધુ પડતી બેદરકારીથી છૂટકારો મેળવ્યો અને તેમની સલામતી અને સંરક્ષણને મજબૂત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.
પરંતુ જ્યારે સર્વેક્ષણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ચોક્કસપણે આ 20 લોકો છે જેમણે દુશ્મનાવટનો અનુભવ કર્યો હતો જે મોટે ભાગે પ્રતિબંધની તરફેણમાં બોલશે.
પણ તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.
શાળાના બાળકોનું સર્વેક્ષણ કરો કે તેઓ શાળાએ ન જવાની શક્યતા વિશે કેવું અનુભવશે. મને ડર છે કે તેઓ ખુશ થશે.
પરંતુ શું આ શિક્ષણ બંધ કરવાની તરફેણમાં દલીલ છે?
સમીક્ષાઓ
અલબત્ત, આ કોઈ દલીલ નથી, મને લાગે છે કે આંકડા એ લોકો માટે એક પ્રકારનું લાલચ છે જેમને ખબર નથી: રશિયામાં 35% લોકો પાસે પહેલેથી જ તેમના ઘરમાં ડીશવોશર છે, 50% નથી. ટી, બાકીના લોકો જાણતા નથી કે તે શું છે તેથી આ 50% વિચારે છે: "અને આપણે ખરાબ છીએ." અને જેમની પાસે આ "ટેક્નોલોજીનો ચમત્કાર" છે તેમની ટકાવારી વધી રહી છે તે બધા આંકડા છે
"ત્યાં ત્રણ પ્રકારના જૂઠાણાં છે: જૂઠાણું, તિરસ્કૃત અસત્ય અને આંકડા." આ વાક્ય, માર્ક ટ્વેઇન દ્વારા બ્રિટિશ વડા પ્રધાન બેન્જામિન ડિઝરાયલીને આભારી છે, જે ગાણિતિક કાયદાઓ પ્રત્યે બહુમતીના વલણને યોગ્ય રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે. ખરેખર, સંભાવનાનો સિદ્ધાંત કેટલીકવાર આશ્ચર્યજનક તથ્યો ફેંકે છે જે પ્રથમ નજરમાં માનવું મુશ્કેલ છે - અને જે, તેમ છતાં, વિજ્ઞાન દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે.
⚠ મોન્ટી હોલ સમસ્યા
આ બરાબર એ જ સમસ્યા છે જે એમઆઈટીના એક કુશળ પ્રોફેસરે ટ્વેન્ટી-વન ફિલ્મમાં વિદ્યાર્થીઓ સમક્ષ રજૂ કરી હતી. સાચો જવાબ આપ્યા પછી, મુખ્ય પાત્ર તેજસ્વી યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીઓની ટીમ પર સમાપ્ત થાય છે જેણે લાસ વેગાસમાં કેસિનોને હરાવ્યું હતું.
ક્લાસિક ફોર્મ્યુલેશન આના જેવું છે: "ચાલો કહીએ કે કોઈ ચોક્કસ ખેલાડીને પ્રખ્યાત અમેરિકન ટીવી શો લેટ્સ મેક અ ડીલમાં ભાગ લેવાની ઓફર કરવામાં આવે છે, જેનું આયોજન મોન્ટી હોલ દ્વારા કરવામાં આવે છે, અને તેણે ત્રણમાંથી એક દરવાજા પસંદ કરવાની જરૂર છે. બે દરવાજાની પાછળ બકરીઓ છે, એકની પાછળ મુખ્ય ઇનામ છે, એક કાર છે, પ્રસ્તુતકર્તા ઇનામોનું સ્થાન જાણે છે. ખેલાડી તેની પસંદગી કરે તે પછી, યજમાન બાકીના દરવાજામાંથી એક ખોલે છે, જેની પાછળ એક બકરી હોય છે, અને ખેલાડીને તેનો નિર્ણય બદલવા માટે આમંત્રણ આપે છે. શું ખેલાડીએ સંમત થવું જોઈએ કે તેની મૂળ પસંદગી રાખવી વધુ સારું છે?
અહીં તર્કની એક લાક્ષણિક લાઇન છે: યજમાન દ્વારા એક દરવાજો ખોલ્યા પછી અને બકરીને બતાવ્યા પછી, ખેલાડીએ બે દરવાજામાંથી એક પસંદ કરવાનું રહેશે. કાર તેમાંથી એકની પાછળ સ્થિત છે, જેનો અર્થ છે કે તેનો અનુમાન લગાવવાની સંભાવના ½ છે. તેથી તમારી પસંદગી બદલવી કે નહીં તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. અને તેમ છતાં, સંભાવના સિદ્ધાંત કહે છે કે તમે તમારો નિર્ણય બદલીને જીતવાની તકો વધારી શકો છો. ચાલો જાણીએ કે આવું કેમ છે.
આ કરવા માટે, ચાલો એક પગલું પાછળ લઈએ. અમે અમારી પ્રારંભિક પસંદગીની ક્ષણે, અમે દરવાજાને બે ભાગોમાં વિભાજિત કર્યા: એક અમે પસંદ કર્યો અને બીજો બે. દેખીતી રીતે, કાર "અમારા" દરવાજા પાછળ છુપાયેલી હોવાની સંભાવના ⅓ છે - તે મુજબ, કાર ⅔ ની સંભાવના સાથે બાકીના બે દરવાજામાંથી એકની પાછળ છે. જ્યારે પ્રસ્તુતકર્તા બતાવે છે કે આમાંના એક દરવાજાની પાછળ એક બકરી છે, ત્યારે તે તારણ આપે છે કે આ ⅔ તક બીજા દરવાજા પર પડે છે. અને આ ખેલાડીની પસંદગીને બે દરવાજા સુધી ઘટાડે છે, જેમાંથી એકની પાછળ (પ્રારંભિક રીતે પસંદ કરેલ) કાર ⅓ ની સંભાવના સાથે અને બીજી પાછળ - ⅔ ની સંભાવના સાથે સ્થિત છે. પસંદગી સ્પષ્ટ બને છે. જે, અલબત્ત, એ હકીકતને બદલતું નથી કે શરૂઆતથી જ ખેલાડી કાર સાથેનો દરવાજો પસંદ કરી શકે છે.
⚠ ત્રણ કેદીઓની સમસ્યા
ધ થ્રી પ્રિઝનર્સ પેરાડોક્સ મોન્ટી હોલની સમસ્યા સમાન છે, જો કે તે વધુ નાટકીય સેટિંગમાં થાય છે. ત્રણ કેદીઓ (A, B અને C) ને મૃત્યુદંડની સજા આપવામાં આવે છે અને તેમને એકાંત કેદમાં રાખવામાં આવે છે. ગવર્નર રેન્ડમલી તેમાંથી એકને પસંદ કરે છે અને તેને માફી આપે છે. વોર્ડન જાણે છે કે ત્રણમાંથી કોને માફ કરવામાં આવ્યા છે, પરંતુ તેને તેને ગુપ્ત રાખવાનો આદેશ આપવામાં આવ્યો છે. કેદી A તેને બીજા કેદીનું નામ જણાવવા કહે છે (પોતાના સિવાય) જેને ચોક્કસપણે ફાંસી આપવામાં આવશે: “જો B ને માફ કરવામાં આવે, તો મને કહો કે C ને ફાંસી આપવામાં આવશે, જો B ને ફાંસી આપવામાં આવશે જો તેઓ બંનેને ફાંસી આપવામાં આવી હોય, અને મને માફ કરવામાં આવ્યો હોય, તો એક સિક્કો ફેંકો અને આ બેમાંથી કોઈ એક નામ બોલો. વોર્ડન કહે છે કે કેદી Bને ફાંસી આપવામાં આવશે શું કેદી A ખુશ હોવો જોઈએ?
એવું લાગશે. છેવટે, આ માહિતી પ્રાપ્ત કરતા પહેલા, કેદી A ના મૃત્યુની સંભાવના ⅔ હતી, અને હવે તે જાણે છે કે અન્ય બે કેદીઓમાંથી એકને ફાંસી આપવામાં આવશે - જેનો અર્થ છે કે તેની ફાંસીની સંભાવના ઘટીને ½ થઈ ગઈ છે. પરંતુ વાસ્તવમાં, કેદી એ કંઈ નવું શીખ્યો ન હતો: જો તેને માફ કરવામાં ન આવે, તો તેને બીજા કેદીનું નામ કહેવામાં આવશે, અને તે પહેલેથી જ જાણતો હતો કે બાકીના બેમાંથી એકને ફાંસી આપવામાં આવશે. જો તે નસીબદાર છે અને ફાંસી રદ કરવામાં આવે છે, તો તે રેન્ડમ નામ B અથવા C સાંભળશે. તેથી, તેની મુક્તિની તકો કોઈપણ રીતે બદલાઈ નથી.
હવે કલ્પના કરો કે બાકીના કેદીઓમાંથી એક કેદી A ના પ્રશ્ન અને પ્રાપ્ત જવાબ વિશે શોધે છે. આ માફીની સંભાવના અંગેના તેના વિચારોને બદલશે.
જો કેદી B વાતચીત સાંભળશે, તો તે જાણશે કે તેને ચોક્કસપણે ફાંસી આપવામાં આવશે. અને જો કેદી B હોય, તો તેની માફીની સંભાવના ⅔ હશે. આવું કેમ થયું? કેદી A ને કોઈ માહિતી મળી નથી અને હજુ પણ તેને માફી મળવાની ⅓ તક છે. કેદી બીને ચોક્કસપણે માફ કરવામાં આવશે નહીં, અને તેની શક્યતા શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ થયો કે ત્રીજા કેદીને મુક્ત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના ⅔ છે.
⚠ બે પરબિડીયાઓનો વિરોધાભાસ
આ વિરોધાભાસ ગણિતશાસ્ત્રી માર્ટિન ગાર્ડનરના આભાર માટે જાણીતો બન્યો, અને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યો છે: “ધારો કે તમને અને એક મિત્રને બે પરબિડીયાઓ ઓફર કરવામાં આવ્યા હતા, જેમાંના એકમાં ચોક્કસ રકમ X હોય છે, અને બીજામાં બમણી રકમ હોય છે. તમે સ્વતંત્ર રીતે પરબિડીયાઓને ખોલો, પૈસાની ગણતરી કરો અને પછી તમે તેને બદલી શકો છો. પરબિડીયાઓ સમાન છે, તેથી તમને ઓછી રકમ સાથે પરબિડીયું પ્રાપ્ત થવાની સંભાવના ½ છે. ચાલો કહીએ કે તમે એક પરબિડીયું ખોલો અને તેમાં $10 શોધો. તેથી, તમારા મિત્રના પરબિડીયુંમાં $5 અથવા $20 હોય તેવી સમાન સંભાવના છે. જો તમે વિનિમય કરવાનું નક્કી કરો છો, તો પછી તમે અંતિમ રકમની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરી શકો છો - એટલે કે, તેનું સરેરાશ મૂલ્ય. તે 1/2x$5+1/2x20=$12.5 છે. આમ, વિનિમય તમારા માટે ફાયદાકારક છે. અને, મોટે ભાગે, તમારો મિત્ર પણ એ જ રીતે વિચારશે. પરંતુ તે સ્પષ્ટ છે કે આ વિનિમય તમારા બંને માટે ફાયદાકારક ન હોઈ શકે. ભૂલ શું છે?
વિરોધાભાસ એ છે કે જ્યાં સુધી તમે તમારું પરબિડીયું ખોલો નહીં, ત્યાં સુધી સંભાવનાઓ સારી રીતે વર્તે છે: તમારી પાસે ખરેખર તમારા પરબિડીયુંમાં X રકમ શોધવાની 50% અને 2X રકમ શોધવાની 50% તક છે. અને સામાન્ય જ્ઞાન સૂચવે છે કે તમારી પાસે રહેલી રકમ વિશેની માહિતી બીજા પરબિડીયુંની સામગ્રીને અસર કરી શકતી નથી.
જો કે, જલદી તમે પરબિડીયું ખોલો છો, પરિસ્થિતિ નાટકીય રીતે બદલાઈ જાય છે (આ વિરોધાભાસ કંઈક અંશે શ્રોડિન્જરની બિલાડીની વાર્તા જેવો છે, જ્યાં નિરીક્ષકની હાજરી બાબતોની સ્થિતિને અસર કરે છે). હકીકત એ છે કે વિરોધાભાસની શરતોનું પાલન કરવા માટે, બીજા પરબિડીયુંમાં તમારા કરતાં મોટી અથવા નાની રકમ શોધવાની સંભાવના સમાન હોવી જોઈએ. પરંતુ પછી શૂન્યથી અનંત સુધીની આ રકમનું કોઈપણ મૂલ્ય સમાન સંભવિત છે. અને જો ત્યાં શક્યતાઓની સમાન સંભવિત અનંત સંખ્યા હોય, તો તેઓ અનંત સુધી ઉમેરે છે. અને આ અશક્ય છે.
સ્પષ્ટતા માટે, તમે કલ્પના કરી શકો છો કે તમને તમારા પરબિડીયુંમાં એક સેન્ટ મળે છે. દેખીતી રીતે, બીજા પરબિડીયુંમાં અડધી રકમ ન હોઈ શકે.
તે વિચિત્ર છે કે વિરોધાભાસના નિરાકરણ અંગેની ચર્ચાઓ આજ સુધી ચાલુ છે. તે જ સમયે, અંદરથી વિરોધાભાસ સમજાવવા અને આવી પરિસ્થિતિમાં વર્તન માટે શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના વિકસાવવા બંને પ્રયાસો કરવામાં આવી રહ્યા છે. ખાસ કરીને, પ્રોફેસર થોમસ કવરે વ્યૂહરચના નિર્માણ માટે મૂળ અભિગમનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો - પરબિડીયું બદલવું કે ન બદલવું, કેટલીક સાહજિક અપેક્ષાઓ દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવ્યું. ચાલો કહીએ કે, જો તમે એક પરબિડીયું ખોલો અને તેમાં $10 મળે - તમારા અંદાજમાં નાની રકમ - તો તેની આપલે કરવી યોગ્ય છે. અને જો, કહો કે, પરબિડીયુંમાં $1,000 છે, જે તમારી અપેક્ષાઓ કરતાં વધી જાય છે, તો તેમાં કોઈ ફેરફાર કરવાની જરૂર નથી. આ સાહજિક વ્યૂહરચના, જો તમને નિયમિતપણે બે પરબિડીયાઓ પસંદ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તમે સતત પરબિડીયાઓમાં ફેરફાર કરવાની વ્યૂહરચના કરતાં તમારી કુલ જીતને વધુ વધારી શકો છો.
⚠ છોકરો અને છોકરી વિરોધાભાસ
આ વિરોધાભાસ માર્ટિન ગાર્ડનર દ્વારા પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો અને તે નીચે મુજબ છે: “શ્રીમાન સ્મિથને બે બાળકો છે. ઓછામાં ઓછું એક બાળક એક છોકરો છે. બીજો પણ છોકરો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
એવું લાગે છે કે કાર્ય સરળ છે. જો કે, જો તમે તેને જોવાનું શરૂ કરો છો, તો એક વિચિત્ર સંજોગો ઉદ્ભવે છે: સાચો જવાબ આપણે બીજા બાળકના લિંગની સંભાવનાની ગણતરી કેવી રીતે કરીએ છીએ તેના આધારે અલગ હશે.
💬 વિકલ્પ 1
ચાલો બે બાળકોવાળા પરિવારોમાં તમામ સંભવિત સંયોજનોને ધ્યાનમાં લઈએ:
1. છોકરી/છોકરી
2. છોકરી/છોકરો
3. છોકરો/છોકરી
4. છોકરો/છોકરો
કાર્યની શરતો અનુસાર છોકરી/છોકરી વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નથી. તેથી, શ્રી. સ્મિથના પરિવાર માટે, ત્રણ સમાન સંભવિત વિકલ્પો છે - જેનો અર્થ છે કે અન્ય બાળક પણ છોકરો હશે તેવી સંભાવના ⅓ છે. આ બરાબર જવાબ છે જે ગાર્ડનરે પોતે શરૂઆતમાં આપ્યો હતો.
💬 વિકલ્પ 2
ચાલો કલ્પના કરીએ કે અમે શ્રી સ્મિથને શેરીમાં મળીએ છીએ જ્યારે તેઓ તેમના પુત્ર સાથે ચાલતા હોય છે. બીજું બાળક પણ છોકરો હોવાની સંભાવના કેટલી છે? બીજા બાળકના લિંગનો પ્રથમના લિંગ પર કોઈ પ્રભાવ ન હોવાથી, સ્પષ્ટ (અને સાચો) જવાબ ½ છે.
આ કેમ થઈ રહ્યું છે, કારણ કે એવું લાગે છે કે કંઈ બદલાયું નથી?
તે બધું તેના પર નિર્ભર છે કે આપણે સંભવિતતાની ગણતરીના મુદ્દા પર કેવી રીતે સંપર્ક કરીએ છીએ. પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે સ્મિથ પરિવાર માટેના તમામ સંભવિત વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લીધા. બીજામાં, અમે ફરજિયાત શરત હેઠળ આવતા તમામ પરિવારોને "એક છોકરો હોવો જોઈએ" ધ્યાનમાં લીધો. બીજા બાળકના જાતિની સંભાવનાની ગણતરી આ સ્થિતિ સાથે હાથ ધરવામાં આવી હતી (સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તેને "શરતી સંભાવના" કહેવામાં આવે છે), જે પરિણામ પ્રથમ કરતા અલગ તરફ દોરી ગયું.
આ લેખ સમુદાયમાંથી આપમેળે ઉમેરવામાં આવ્યો હતો
"જૂઠાણાના ત્રણ પ્રકાર છે: જૂઠાણું, તિરસ્કૃત અસત્ય અને આંકડા."- એક અંગ્રેજી કહેવત કહે છે. મને તે સ્થાનિક મીડિયામાં વિચિત્ર સામાજિક સર્વેક્ષણોના સંદર્ભમાં યાદ આવ્યું.
શું તમને યાદ છે કે તાજેતરમાં સગાંઓ સામે ફોજદારી સંહિતાની કલમ 116 (આરોગ્યને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના માર મારવા)ને કડક બનાવતા કિશોર કાયદાને અપનાવવા સામે દેશભરમાં વિરોધ કેવી રીતે થયો હતો? હવે, બાળકને તળિયે થપ્પડ મારવા બદલ, માતાપિતાને બે વર્ષ સુધીની જેલની સજાનો સામનો કરવો પડે છે, અને પક્ષકારોના સમાધાન પછી કેસ પોતે જ બંધ કરી શકાતો નથી. મીડિયાએ આ કાયદાની નોંધ લેતાં એક મહિના કરતાં પણ ઓછો સમય વીતી ગયો. પોતાને નહીં, અલબત્ત, પરંતુ મિઝુલિનાને આભાર, જેમણે પરિવારના સભ્યોના સંબંધમાં કલમ 116 હેઠળ ફોજદારી દંડ નાબૂદ કરવાની દરખાસ્ત કરી, અને રાજ્ય ડુમાને અનુરૂપ દરખાસ્ત સબમિટ કરી.
તે તારણ આપે છે કે આ બીજી વખત છે જ્યારે મિઝુલિનાએ દત્તક લીધેલા કિશોર કાયદાની વિરુદ્ધ વાત કરી છે - પ્રથમ વખત જ્યારે તેણીએ ફેડરેશન કાઉન્સિલમાં તેને દત્તક લેતા અટકાવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો, હવે બીજી વખત. હું મિઝુલિનાને ટેકો આપવા માંગુ છું, કારણ કે તે જે કાયદા સામે લડી રહી છે તે રશિયનોની બહુમતી દ્વારા સમર્થિત નથી જેઓ તેના વિશે જાણે છે.
જો કે, આપણું સ્થાનિક મીડિયા શું કરી રહ્યું છે? તેઓ કહે છે: "ચાલો લોકોને પૂછીએ," અને સર્વેક્ષણો બનાવો. હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું કે જ્યારે કાયદો ઉતાવળમાં અપનાવવામાં આવ્યો હતો, ત્યારે કોઈએ લોકોના મંતવ્યો પૂછ્યા ન હતા. અને પછી તેઓ અચાનક સર્વે સાથે ચિંતિત બન્યા. અને જુઓ કે પત્રકારોએ સર્વેનું લખાણ કેવી રીતે ઘડ્યું.
"મારવો એટલે પ્રેમ કરવો? શું આપણે ઘરેલું મારપીટ માટે ફોજદારી દંડ નાબૂદ કરવો જોઈએ"
- "હું મિઝુલિનાને સમર્થન આપું છું વહીવટી સજા એક પર્યાપ્ત માપ છે"
- "આપણે બધું જેમ છે તેમ છોડી દેવું જોઈએ"
- "મારવાની સજા કડક થવી જોઈએ"
- "કોઈપણ સજા નાબૂદ થવી જોઈએ, મારવાનો અર્થ પ્રેમ કરવો."
આવી મૂર્ખામીભરી રીતે સર્વેની રચના કરવા માટે મહેનત કરવી પડી.
સૌ પ્રથમ, શા માટે આ મૂર્ખ વાક્ય "જો તે તમને ફટકારે છે, તો તેનો અર્થ એ કે તે તમને પ્રેમ કરે છે?" સર્વેક્ષણની શરૂઆતમાં? શું આ કંઈક તમે લોકોને પૂછવા માગો છો? બીજું, માર મારવો અને માર મારવો એ અલગ છે. ક્રિમિનલ કોડમાં માર મારવા માટે સંખ્યાબંધ લેખો છે - કુટુંબ અથવા બિન-કુટુંબ. પરંતુ મિઝુલિના ક્રિમિનલ કોડના માત્ર એક લેખ વિશે વાત કરી રહી છે - કલમ 116: આરોગ્યને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના માર મારવો. મિઝુલિના, ફક્ત આ લેખના આધારે, વહીવટી સજા સાથે પરિવારો માટે ફોજદારી સજાને બદલવાની દરખાસ્ત કરે છે. કોઈપણ ગંભીરતાના સ્વાસ્થ્યને નુકસાન પહોંચાડતી પદ્ધતિસરની મારપીટ માટે, આ ફોજદારી સંહિતાના સંપૂર્ણપણે અલગ લેખો છે, જેમાં કોઈ સુધારો કરવામાં આવતો નથી.
RT લોકોને ગેરમાર્ગે દોરે છે. આ ફોર્મ્યુલેશનમાં, ઘણા લોકો મિઝુલિનાના સુધારાઓ વિરુદ્ધ આ અભિપ્રાય મતદાનમાં મત આપશે, આ સુધારાઓને મૂર્ખતાપૂર્ણ ગણીને અને તેઓ શું વાત કરી રહ્યા છે તે સંપૂર્ણપણે સમજી શકતા નથી. તેઓ ભૂલથી વિચારશે કે અમે ગંભીર હિંસા અને ઘરેલું જુલમીઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, અને તે માતાઓ વિશે નહીં કે જેઓ તેમના બાળકોને તળિયે ફટકારે છે, અથવા પિતા જેઓ આજ્ઞાકારી બાળકને માથા પર થપ્પડ મારે છે.
જૂઠાણું, નિર્દોષ જૂઠાણું, આંકડા... મારો એક પ્રશ્ન છે: લોકોને ગેરમાર્ગે દોરતા સર્વેક્ષણમાંથી આંકડા કોને અને શા માટે જરૂરી છે?
"શું ઘરેલું હિંસાને અપરાધ ગણાવવી જોઈએ?"
- "હા"
- "ના"
- "મને જવાબ આપવો મુશ્કેલ લાગે છે"
તે થોડી વધુ યોગ્ય રીતે ઘડવામાં આવ્યું છે, પરંતુ મેનીપ્યુલેશન સમાન છે.
અમે જૂથમાં સમાન હેરાફેરી જોઈએ છીએ
માર્ક ટ્વેઈન
સંભાવના સિદ્ધાંતના નિયમો અમૂર્ત નથી, પરંતુ સામૂહિક અવ્યવસ્થિત કુદરતી ઘટનાની વાસ્તવિક પેટર્નને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરે છે.
સામૂહિક અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓનું અવલોકન કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત આંકડાકીય પ્રાયોગિક ડેટા રેકોર્ડિંગ, વર્ણન અને વિશ્લેષણ માટેની પદ્ધતિઓનો વિકાસ એ વિષય છે. ગાણિતિક આંકડા.
1
આંકડાકીય માહિતીમાંથી રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાનું નિર્ધારણ.
વ્યવહારમાં અમારે મર્યાદિત માત્રામાં પ્રાયોગિક ડેટા સાથે કામ કરવું પડતું હોવાથી, અવલોકનોના પરિણામોમાં હંમેશા તકનું તત્વ હશે.
તેથી, કાર્ય આંકડાકીય માહિતીને સરળ બનાવવાનું અને સરળ વિશ્લેષણાત્મક અવલંબનનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કરવાનું છે.
2
પૂર્વધારણાઓની વાજબીતાનું પરીક્ષણ.
આ કાર્ય પાછલા એક સાથે સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકે છે: શું પ્રયોગના પરિણામો એ પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત છે કે રેન્ડમ ચલ આપેલ વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે?
3
અજ્ઞાત પરિમાણો વિતરણનું નિર્ધારણ
ઘણીવાર પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે SW વિતરણના કાયદાને નિર્ધારિત કરવું જરૂરી નથી, પરંતુ કેટલીક સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ઓછી સંખ્યામાં પ્રયોગોમાં, આ પરિમાણોના ફક્ત "અંદાજિત" મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. આવા અંદાજિત મૂલ્યો જે સરેરાશ કરતાં નાની ભૂલો તરફ દોરી જાય છે
કપડાની ફેક્ટરીના માર્કેટિંગ વિભાગે 100 ગ્રાહકોનો સર્વે કર્યો હતો. સર્વેક્ષણના પ્રશ્નોમાં પુરુષોના પોશાકો વિશેના પ્રશ્નો હતા. પ્રશ્નાવલિની પ્રક્રિયા પસંદગીઓ વિશે નીચેના પરિણામો આપે છે:
ઉત્પાદન સ્થળ દ્વારા: 40% - સ્થાનિક, 60% - આયાત.
2. યુએસ ડોલરમાં કિંમત દ્વારા:
ગયા અઠવાડિયે, અમારા રાષ્ટ્રપતિએ તેમની ભારત મુલાકાત દરમિયાન જણાવ્યું હતું કે રશિયામાં વાસ્તવિક વેતન વૃદ્ધિ 2012 થી રેકોર્ડ સ્તરે પહોંચી છે અને તે 8.7% છે.
અલબત્ત, આ નિવેદનને કારણે ઓનલાઈન દૂષિત ટિપ્પણીઓનો ધસારો થયો. "વાસ્તવિક છોકરાઓના વાસ્તવિક વેતનમાં વધારો થયો છે," "હું રશિયામાં રહેવા માંગુ છું જેના વિશે પુટિન અમને કહે છે," "હજુ પણ, અમારી પાસે હજી પણ નિષ્કપટ લોકો છે જેઓ રોસ્ટેટને માને છે."
હકીકતમાં, રાષ્ટ્રપતિએ પોતે ઉનાળાની સીધી લાઇન દરમિયાન સમજાવ્યું હતું કે આંકડાકીય માહિતી શાબ્દિક અને વ્યક્તિગત અનુભવથી લઈ શકાતી નથી. જેમ કે, જો તમે જાતે સકારાત્મક ફેરફારો અનુભવ્યા નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે આંકડા જૂઠું બોલે છે.
આ દલીલોને પડકારવી મુશ્કેલ છે. ખરેખર, આંકડા એક જટિલ અને વિચક્ષણ વિજ્ઞાન છે. વાસ્તવિક તથ્યોને એક યા બીજી રીતે રજૂ કરવાની ઘણી બધી રીતો છે. આ જ તથ્યોનો ઉપયોગ કરીને, સત્તાવાળાઓ એ સાબિત કરવામાં સક્ષમ છે કે અહીં બધું જ સમૃદ્ધ અને વિકાસશીલ છે, જ્યારે અમારો વિરોધ જાહેર કરી શકે છે કે ટૂંક સમયમાં આપણે બધા કબ્રસ્તાનમાં જઈશું.
જો કે, સરેરાશ વ્યક્તિ બ્રેડ પર સંખ્યા ફેલાવતી નથી. તે તેની દૈનિક વાસ્તવિકતામાં વર્તમાન સ્થિતિનું મૂલ્યાંકન કરે છે. અને આ વાસ્તવિકતા, કમનસીબે, તેને તાજેતરમાં ખુશ કરી શકી નથી. જ્યારે તે પ્રદેશોમાં પગારના સ્તરની વાત આવે છે, ત્યારે તેઓ સામાન્ય રીતે શ્રેણીને 15,000 -25,000 રુબેલ્સ કહે છે, અને આ શ્રેણી 2012 થી બદલાઈ નથી. તે જ સમયે, અલબત્ત, આંકડા દર્શાવે છે કે પ્રદેશોમાં સરેરાશ પગાર વીસ હજાર વધુ છે. અને આ સરેરાશ પગાર નિયમિતપણે વધી રહ્યો છે, જ્યારે લોકો જે પૈસા ભૌતિક રીતે તેમના હાથમાં મેળવે છે તે જ રહે છે. અને અન્ય કિસ્સાઓમાં તેઓ ઘટે છે. આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? આના અનેક કારણો છે.
જો પ્રાદેશિક નેતાઓ વિવિધ હુકમો અને ઠરાવોના અમલીકરણ અંગે ટોચને જાણ કરવા માંગતા હોય, તો તેમની પાસે ઘણા અનુકૂળ સાધનો છે. તમે, ઉદાહરણ તરીકે, એક અલગ વિભાગમાં લાભોનું મુદ્રીકરણ કરી શકો છો. એટલે કે, સામાજિક પેકેજ ઘટાડવું, દૂર કરો, ઉદાહરણ તરીકે, મફત મુસાફરી અથવા બીજું કંઈક, અને તેના બદલે કેટલાક ટકા પગાર વધારો. ઔપચારિક રીતે, વ્યક્તિને થોડી વધુ પ્રાપ્ત થશે, પરંતુ વાસ્તવમાં, તેના જીવનની ગુણવત્તામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થશે. તમે દર વધારી શકો છો, પરંતુ કર્મચારીઓને અડધા દર અથવા તેના ત્રીજા ભાગ પર ટ્રાન્સફર કરી શકો છો. તમે કર્મચારીઓની સંખ્યામાં તીવ્ર ઘટાડો કરીને વેતન વધારી શકો છો. બાકીના, કહો, દસ ટકા વધુ પ્રાપ્ત કરશે, પરંતુ તે જ સમયે બમણું કામ કરો. આ વધારો ફુગાવા દ્વારા ઝડપથી ઉઠાવી લેવામાં આવશે, જ્યારે ઉચ્ચ ભાર રહેશે. મનોવૈજ્ઞાનિક રીતે, વ્યક્તિ સમજશે કે તે આપત્તિજનક રીતે ઓછો પગાર મેળવે છે.
તેથી, ઉપરથી મળેલા વિજયી અહેવાલો અને વર્તમાન સ્થિતિ વચ્ચેનું અંતર આપણા નાગરિકોની વધતી જતી સંખ્યા માટે દરરોજ વધુને વધુ સ્પષ્ટ થતું જાય છે. જ્યારે આંકડા અમને વાસ્તવિક વેતનમાં વધારા વિશે જણાવે છે, વાસ્તવિકતા અમને જણાવે છે કે અસરકારક માંગ ઘટી રહી છે, વિશાળ શોપિંગ સેન્ટરો ખાલી થઈ રહ્યા છે, લોન પર વસ્તીનું દેવું વધી રહ્યું છે, અને પાર્ટ-ટાઈમ જોબ્સ અને હેક જોબ્સ શોધવાની તક પહેલેથી જ ખતમ થઈ ગઈ છે. .
છેલ્લા છ વર્ષમાં સરકારના નાણાકીય અને આર્થિક બ્લોકની પ્રવૃત્તિઓનું આ પરિણામ છે. ઉદારવાદી રાજકીય વૈજ્ઞાનિકો આશ્ચર્યચકિત છે કે લોકોને રાષ્ટ્રપતિની ચૂંટણી પછી આર્થિક નીતિમાં ફેરફારની અપેક્ષા હતી. પણ આપણે શા માટે આશ્ચર્ય પામવું જોઈએ? સૌ પ્રથમ, લોકોએ જરાય રાહ જોઈ ન હતી. તેઓએ સીધું કહ્યું કે વર્તમાન અભ્યાસક્રમ તેમને અનુકૂળ નથી અને તેઓ સરકારમાં પરિવર્તનની રાહ જોઈ રહ્યા છે. બીજું, આ વર્ષના ઉનાળા સુધી તમામ કહેવાતા "ક્રેમલિન પ્રચાર" સમાજ સાથે સંપૂર્ણપણે એકતામાં હતા. વારંવાર, ક્રેમલિનની નજીકના સૌથી પ્રતિષ્ઠિત પત્રકારો, જેમ કે શ્રી સોલોવ્યોવ, નિર્દયતાથી સરકારની ક્રિયાઓની ટીકા કરતા હતા અને દલીલ કરતા હતા કે પશ્ચિમ સાથેના મુકાબલો દરમિયાન આ ક્રિયાઓ આખરે સૌથી દુ: ખદ બાબતો તરફ દોરી શકે છે. ત્રીજે સ્થાને, ફેડરલ એસેમ્બલીમાં તેમના માર્ચના સંબોધન દરમિયાન, અમારા રાષ્ટ્રપતિએ ઘરેલું આર્થિક નીતિ વિશે, પ્રગતિ વિશે, ગરીબી સામેની લડાઈ વિશે અને અન્ય સુખદ અને ઉપયોગી વસ્તુઓ વિશે પણ ઘણું કહ્યું. શા માટે કેટલાક નોંધપાત્ર ફેરફારોની અપેક્ષા નથી?
અને આ ફેરફારો ખરેખર આવ્યા. માત્ર સમાજની અપેક્ષા જ નહીં. ધીમે ધીમે સ્થિરતા અને હળવી ગરીબીનો કોર્સ એકસરખો રહ્યો નથી. જૂના ચહેરાઓ સાથેના મંત્રીઓની નવી કેબિનેટ તેની રચનાની ક્ષણથી જ તેની પહેલથી સમાજને ખુશ કરી રહી છે. એવું લાગે છે કે કોઈપણ બ્રેક સંપૂર્ણપણે નિષ્ફળ ગઈ છે. દરરોજ સમાચાર આવે છે. નિયમિત વસૂલાત, દંડ, કર - અને આ બધું પેન્શન સુધારાની પૃષ્ઠભૂમિ સામે.
જે થઈ રહ્યું છે તે પહેલાથી જ ઘણી બધી અજીબોગરીબ પરિસ્થિતિઓમાં પરિણમી રહ્યું છે જે પહેલાં બન્યું ન હતું. એન્ટરપ્રાઇઝની મુલાકાતો દરમિયાન, પ્રમુખ એવા આંકડાઓને અવાજ આપે છે કે જે સલાહકારો તેમને રજૂ કરે છે, અને આનાથી શ્રોતાઓ તરફથી નર્વસ પ્રતિક્રિયા થાય છે, જેમ કે પ્રિમોર્સ્કી ટેરિટરીમાં ઝવેઝદા શિપબિલ્ડિંગ સંકુલની મુલાકાત દરમિયાન થયું હતું. પુતિનની સામે ઉભેલી મહિલાએ કહ્યું કે તે "બોસ છે અને તેનો પગાર એક લાખ રુબેલ્સ છે." રાષ્ટ્રપતિએ પૂછ્યું: સરેરાશ, કદાચ નેવું શું છે? જેના પર કામદારોએ જવાબ આપ્યો કે તેઓને ત્રીસથી ચાલીસ હજાર મળ્યા, જે વ્લાદિમીર વ્લાદિમીરોવિચ વિશ્વાસ કરી શક્યા નહીં.
તે જ રીતે, તમે કેટલાક સલાહકારને નીચે ઝૂકીને અને પ્રમુખના કાનમાં ગરમાગરમ અવાજ કરતા જોશો: "તેઓ પોતાને ગરીબ બનાવી રહ્યા છે, તેઓ આંસુ નિચોવી રહ્યા છે." Primorye માં તેઓ સંમત થયા કે HR વિભાગ વધુ સારી રીતે જાણે છે. રસીદો અને પૈસા મેળવનારા લોકો નહીં, પરંતુ HR વિભાગ. વ્યક્તિ નહીં, પરંતુ આંકડા.
આ સ્થિતિ શું તરફ દોરી જાય છે? એટલું જ નહીં, લોકો ટીવી પરના ચળકતા ચિત્રો અને તેમની આસપાસના અવલોકન વચ્ચેના વધતા જતા અંતરથી સતત ચિડાઈ જાય છે. લોકો પ્રશ્નો પૂછવા લાગે છે. આટલા લાંબા સમયથી અમને વિશ્વાસ હતો કે અમે રાજકારણ, અર્થશાસ્ત્ર અને અન્ય ઉચ્ચ ક્ષેત્રોમાં કશું જ સમજી શકતા નથી. અમને ઘણા સમયથી ખાતરી છે કે ટોચના લોકો પાસે તમામ માહિતી છે, અને તેથી તેઓ સમગ્ર દેશના હિતમાં સૌથી સંતુલિત અને સાચા નિર્ણયો લેવામાં સક્ષમ છે. પરંતુ જ્યારે સામાન્ય નાગરિકોને સમજાવવામાં આવે છે કે તેઓ સરેરાશ ચાલીસ હજાર મેળવે છે, અને તેઓએ આ પ્રકારના પૈસા ક્યારેય જોયા નથી, તો પછી ક્રેમલિન બોસના ટેબલ પર મૂકવામાં આવેલી માહિતીમાં શંકા ઊભી થાય છે. માત્ર પગાર પર જ નહીં, પરંતુ સમસ્યાઓની સમગ્ર શ્રેણી પર.
એવું લાગે છે કે અમારા રાષ્ટ્રપતિ પહેલા ક્યારેય સામાજિક મુદ્દાઓ અને પડકારોનો જવાબ આપવામાં ડર્યા નથી. અને આજે એવી લાગણી છે કે તેઓ તેમના ઉદાર સલાહકારો પર સામાન્ય નાગરિકો કરતાં વધુ વિશ્વાસ કરે છે જ્યારે તેઓ તેમની સાથે સીધા વાતચીત કરે છે. તે જ સીધી રેખા પર, ગવર્નર ઓર્લોવા ડી ફેક્ટો એ લોકો પર આરોપ મૂક્યો જેઓ જૂઠું બોલવાની મદદ માટે રાષ્ટ્રપતિ તરફ વળ્યા. અને પ્રમુખે આ લાઇન પછી કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢ્યો ન હતો. મતદાન મથકો પર મતદારોએ તારણ કાઢવું પડ્યું.
માહિતી આજે વિશ્વ પર રાજ કરે છે. અમારા ટીવી પ્રસ્તુતકર્તાઓ ટેક્સી ડ્રાઇવરો પર હસે છે, જેમાંથી દરેક રાજ્ય ચલાવી શકે છે. પરંતુ જો ટેક્સી ડ્રાઇવરો પાસે વિશ્વસનીય માહિતી છે, પરંતુ ક્રેમલિન કચેરીઓ પાસે નથી, તો ટેક્સી ડ્રાઇવરો પ્રાધાન્યક્ષમ બનવાનું શરૂ કરે છે.
