4 Persamaan Maxwell mengatakan demikian. persamaan Maxwell

Pengenalan Maxwell tentang konsep arus perpindahan menyebabkan selesainya teori makroskopis yang ia ciptakan medan elektromagnetik, yang memungkinkan kami menjelaskan dari sudut pandang terpadu tidak hanya kelistrikan dan fenomena magnetik, tetapi juga untuk memprediksi hal-hal baru, yang keberadaannya kemudian dikonfirmasi.

Teori Maxwell didasarkan pada 4 persamaan:

1. Medan listrik dapat berupa potensial atau pusaran, sehingga kuat medan yang dihasilkan sama dengan:

Persamaan ini menunjukkan bahwa medan magnet dapat tereksitasi baik dengan menggerakkan muatan (arus listrik) atau dengan medan listrik bolak-balik.

3. Teorema Gauss untuk bidang:

Kami mengerti

Jadi, sistem persamaan Maxwell lengkap dalam bentuk integral:

	1),
	2),

Besaran-besaran yang termasuk dalam persamaan Maxwell tidak berdiri sendiri dan ada hubungan di antara keduanya.

Untuk media isotropik, non-feroelektrik, dan non-feromagnetik, kami menulis rumus koneksi:


	B) ,
	DI DALAM) ,

dimana adalah konstanta listrik, adalah konstanta magnet,

Konstanta dielektrik medium, m - permeabilitas magnetik medium,

r - spesifik hambatan listrik, - konduktivitas listrik spesifik.

Dari persamaan Maxwell berikut ini Apa:

sumber medan listrik bisa juga muatan listrik, atau medan magnet yang berubah terhadap waktu, yang dapat tereksitasi baik dengan menggerakkan muatan listrik (arus) atau dengan medan listrik bolak-balik.

Persamaan Maxwell tidak simetris terhadap medan listrik dan magnet. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa muatan magnet tidak ada di alam.

Jika dan (bidang stasioner), maka persamaan Maxwell berbentuk sebagai berikut:

Sumber listrik bidang stasioner hanyalah muatan listrik, sumber medan magnet stasioner hanyalah arus konduksi .

Medan listrik dan magnet di dalam hal ini independen satu sama lain, yang memungkinkan untuk mempelajari medan listrik dan magnet konstan secara terpisah.

Bentuk diferensial penulisan persamaan Maxwell:



	3) ,

Bentuk integral penulisan persamaan Maxwell lebih umum jika terdapat permukaan diskontinuitas. Bentuk diferensial penulisan persamaan Maxwell mengasumsikan bahwa semua besaran dalam ruang dan waktu berubah secara terus menerus.

Persamaan Maxwell adalah yang paling banyak persamaan umum untuk medan listrik dan magnet dalam media diam. Mereka memainkan peran yang sama dalam doktrin elektromagnetisme. peran penting, seperti hukum Newton dalam mekanika. Dari persamaan Maxwell dapat disimpulkan bahwa medan magnet bolak-balik selalu berhubungan dengan medan listrik bolak-balik, dan medan listrik bolak-balik selalu berhubungan dengan medan magnet yang dihasilkannya, yaitu. Medan listrik dan magnet saling terkait erat - keduanya membentuk satu medan elektromagnetik.

Sifat persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell linier. Mereka hanya berisi turunan pertama dari bidang E dan B terhadap waktu dan koordinat spasial serta derajat pertama kerapatan muatan listrik dan arus j. Sifat linearitas persamaan Maxwell dikaitkan dengan prinsip superposisi; jika ada dua bidang yang memenuhi persamaan Maxwell, maka ini juga berlaku untuk jumlah bidang tersebut.

Persamaan Maxwell memuat persamaan kontinuitas yang menyatakan hukum kekekalan muatan listrik. Untuk memperoleh persamaan kontinuitas, perlu diambil divergensi kedua ruas persamaan Maxwell pertama dalam bentuk diferensial:

Persamaan Maxwell dipenuhi di semua kerangka acuan inersia. Mereka invarian secara relativistik. Hal ini merupakan konsekuensi dari prinsip relativitas, yang menyatakan bahwa semua kerangka acuan inersia secara fisik setara satu sama lain. Bentuk persamaan Maxwell jika diturunkan dari satu sistem inersia referensi ke yang lain tidak berubah, tetapi besaran yang termasuk di dalamnya diubah menurut aturan tertentu. Itu. Persamaan Maxwell adalah persamaan relativistik yang benar, tidak seperti persamaan mekanika Newton, misalnya.

Persamaan Maxwell asimetris terhadap medan listrik dan magnet. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa muatan listrik ada di alam, dan muatan magnetik TIDAK.

Dari persamaan Maxwell berikut ini kesimpulan penting tentang adanya fenomena baru yang fundamental: medan elektromagnetik mampu eksis secara mandiri - tanpa muatan dan arus listrik. Apalagi perubahannya tentu bersifat gelombang. Medan seperti ini disebut gelombang elektromagnetik. Dalam ruang hampa, mereka selalu merambat dengan kecepatan tertentu kecepatan yang sama cahaya. Teori Maxwell meramalkan keberadaan gelombang elektromagnetik dan memungkinkan untuk menetapkan semua sifat dasarnya.

Dalam kasus medan listrik dan magnet stasioner (yaitu, invarian waktu), yang asal usulnya dikaitkan dengan muatan stasioner untuk medan listrik dan dengan arus stasioner untuk medan magnet, medan-medan ini tidak bergantung satu sama lain, yang memungkinkan kita untuk mempertimbangkannya secara terpisah satu sama lain.

persamaan Maxwell adalah sistem persamaan yang menggambarkan sifat asal usul dan sifat medan listrik dan magnet.

Persamaan Maxwell untuk medan stasioner:

Dengan demikian, Persamaan Maxwell untuk medan stasioner:

SAYA.; II. ;

AKU AKU AKU.; IV. .

Karakteristik vektor medan elektrostatis Dan saling berhubungan melalui hubungan berikut:

Di mana – konstanta listrik,  – konstanta dielektrik medium.

Karakteristik vektor medan magnet Dan saling berhubungan melalui hubungan berikut:

Di mana – konstanta magnet, – permeabilitas magnetik medium.

Topik 8. Persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetik

Menurut Teori Maxwell untuk medan elektromagnetik dalam kasus medan listrik dan magnet yang tidak stasioner (yaitu, berubah terhadap waktu), sumber medan listrik dapat berupa muatan listrik atau medan magnet yang berubah terhadap waktu, dan sumber medan magnet dapat berupa bergerak muatan listrik (arus listrik) atau medan listrik bolak-balik.

Berbeda dengan medan stasioner, medan listrik dan magnet bolak-balik tidak independen satu sama lain dan dianggap sebagai medan elektromagnetik.

persamaan Maxwell, sebagai sistem persamaan yang menggambarkan sifat asal usul dan sifat medan listrik dan magnet jika medan elektromagnetik memiliki bentuk:

SAYA.
, yaitu peredaran vektor kuat medan listrik ditentukan oleh laju perubahan vektor induksi medan magnet ( laju perubahan vektor induksi ).

Persamaan ini menunjukkan bahwa sumber medan listrik tidak hanya berupa muatan listrik, tetapi juga medan magnet yang berubah terhadap waktu.

II.
, yaitu aliran vektor perpindahan listrik melalui permukaan tertutup yang sewenang-wenang S, sama jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam volume V, dibatasi oleh permukaan tertutup tertentu S ( - kerapatan muatan volumetrik).

AKU AKU AKU.
, yaitu sirkulasi vektor tegangan sepanjang kontur tertutup yang sewenang-wenang L ditentukan oleh total arus SAYA penuh menembus permukaan S, dibatasi oleh kontur ini L.

 arus total SAYA penuh, terdiri dari arus konduksi SAYA Dan arus bias SAYA cm., itu SAYA penuh = SAYA + SAYA cm. .

Total arus konduksi SAYA didefinisikan dalam kasus umum melalui kepadatan arus permukaan J (
) integrasi, yaitu

Bias saat ini SAYA cm menembus permukaan S, didefinisikan secara umum

kasus melalui kepadatan arus bias permukaan
(
) integrasi, yaitu:
.

Konsep “arus perpindahan” diperkenalkan oleh Maxwell, yang besarnya ditentukan oleh laju perubahan vektor perpindahan listrik , yaitu nilainya , menunjukkan bahwa medan magnet dapat tereksitasi tidak hanya dengan memindahkan muatan (arus konduksi listrik), tetapi juga dengan bolak-balik medan listrik.

IV.
, yaitu fluks vektor induksi medan magnet melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah S sama dengan nol.

Teori Maxwell didasarkan pada empat persamaan yang dibahas di atas:

1. Medan listrik dapat berupa potensial ( EQ), dan pusaran ( EB), oleh karena itu kekuatan medan total E=EQ +EB. Sejak peredaran vektor EQ sama dengan nol (lihat (137.3)), dan sirkulasi vektor EB ditentukan oleh ekspresi (137.2), maka sirkulasi vektor kuat medan total

Persamaan ini menunjukkan bahwa sumber medan listrik tidak hanya berupa muatan listrik, tetapi juga medan magnet yang berubah terhadap waktu.

2. Teorema sirkulasi vektor umum N(lihat (138.4)):

Persamaan ini menunjukkan bahwa medan magnet dapat tereksitasi baik dengan menggerakkan muatan (arus listrik) atau dengan medan listrik bolak-balik.

3. Teorema Gauss untuk lapangan D(lihat (89.3)):

Jika muatan didistribusikan di dalam permukaan tertutup secara terus menerus dengan kepadatan massal R, maka rumus (139.1) akan dituliskan dalam bentuk

4. Teorema Gauss untuk lapangan DI DALAM(lihat (120.3)):

Jadi, sistem persamaan Maxwell lengkap dalam bentuk integral:

Kuantitas yang termasuk dalam persamaan Maxwell tidak independen dan terdapat hubungan berikut di antara keduanya (media non-feroelektrik isotropik dan non-feromagnetik):

Di mana e 0 dan M 0 - konstanta listrik dan magnet, masing-masing, e Dan M- permeabilitas dielektrik dan magnetik, masing-masing, G - daya konduksi zat.

Dari persamaan Maxwell dapat disimpulkan bahwa sumber medan listrik dapat berupa muatan listrik atau medan magnet yang berubah terhadap waktu, dan medan magnet dapat tereksitasi baik dengan menggerakkan muatan listrik (arus listrik) atau dengan medan listrik bolak-balik. Persamaan Maxwell tidak simetris terhadap medan listrik dan magnet. Hal ini disebabkan karena di alam terdapat muatan listrik, tetapi tidak ada muatan magnet.

Untuk bidang stasioner (E= konstanta dan B= konstanta ) Persamaan Maxwell akan mengambil formulir tersebut

itu. Dalam hal ini sumber medan listrik hanya muatan listrik, sumber medan magnet hanya arus konduksi. Dalam hal ini, medan listrik dan magnet tidak bergantung satu sama lain, sehingga memungkinkan untuk dipelajari secara terpisah permanen medan listrik dan magnet.

Menggunakan teorema Stokes dan Gauss yang diketahui dari analisis vektor

bisa dibayangkan sistem persamaan Maxwell yang lengkap dalam bentuk diferensial(mencirikan bidang di setiap titik dalam ruang):

Jika muatan dan arus didistribusikan secara terus menerus dalam ruang, maka kedua bentuk persamaan Maxwell - integral dan diferensial - adalah ekuivalen. Namun, jika terdapat permukaan diskontinuitas – permukaan yang sifat medium atau medannya berubah secara tiba-tiba, maka bentuk persamaan integralnya lebih umum.

Persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial mengasumsikan bahwa semua besaran dalam ruang dan waktu berubah secara terus menerus. Untuk mencapai kesetaraan matematis dari kedua bentuk persamaan Maxwell, bentuk diferensial ditambah kondisi batas, yang harus dipenuhi oleh medan elektromagnetik pada antarmuka antara dua media. Bentuk integral persamaan Maxwell memuat kondisi berikut. Ini telah dibahas sebelumnya:

(persamaan pertama dan terakhir sesuai dengan kasus di mana tidak ada biaya gratis, tidak ada arus konduksi).

Persamaan Maxwell merupakan persamaan paling umum untuk medan listrik dan magnet lingkungan yang tenang. Mereka memainkan peran yang sama dalam doktrin elektromagnetisme seperti hukum Newton dalam mekanika. Dari persamaan Maxwell dapat disimpulkan bahwa medan magnet bolak-balik selalu berhubungan dengan medan listrik yang dihasilkannya, dan medan listrik bolak-balik selalu berhubungan dengan medan magnet yang dihasilkannya, yaitu medan listrik dan medan magnet saling terkait erat satu sama lain. - mereka membentuk satu medan elektromagnetik.

Bias saat ini atau arus penyerapan- nilai berbanding lurus dengan laju perubahan induksi listrik. Konsep ini digunakan dalam elektrodinamika klasik

Diperkenalkan oleh J.C. Maxwell ketika membangun teori medan elektromagnetik.

Pengenalan arus perpindahan memungkinkan untuk menghilangkan kontradiksi dalam rumus Ampere untuk sirkulasi medan magnet, yang, setelah menambahkan arus perpindahan, menjadi konsisten dan membentuk persamaan terakhir, yang memungkinkan untuk menutup sistem dengan benar. persamaan elektrodinamika (klasik).

Sebenarnya, arus bias tidak sengatan listrik, tetapi diukur dalam satuan yang sama dengan arus listrik.

koefisien) disebut aliran vektor kecepatan perubahan medan listrik melalui suatu permukaan tertentu:

(SI)

Bias saat ini. Untuk menggeneralisasi persamaan medan elektromagnetik dalam ruang hampa menjadi bidang variabel perlu mengubah hanya satu persamaan yang ditulis sebelumnya (lihat bagian 3.4, 3.12); tiga persamaan ternyata benar dalam kasus umum. Namun, hukum arus total untuk medan magnet dalam kasus medan dan arus bolak-balik ternyata salah. Sesuai dengan hukum ini, arus harus sama untuk dua permukaan yang direntangkan sepanjang kontur; jika muatan dalam volume antara permukaan tertentu berubah, maka pernyataan ini bertentangan dengan hukum kekekalan muatan. Misalnya, saat mengisi kapasitor (Gbr. 45), arus yang melalui salah satu permukaan yang ditunjukkan adalah sama dan melalui permukaan lainnya (melewati antar pelat) - nol. Untuk menghilangkan kontradiksi ini, Maxwell memasukkan arus perpindahan ke dalam persamaan ini, sebanding dengan kecepatan perubahan medan listrik:

Dalam media dielektrik, persamaan arus perpindahan berbentuk:

Suku pertama mewakili rapat arus perpindahan dalam ruang hampa, suku kedua - arus nyata, disebabkan oleh pergerakan muatan terikat ketika polarisasi berubah. Arus perpindahan yang melalui permukaan sama dengan dimana Ф adalah fluks vektor yang melalui permukaan. Pengenalan arus bias menghilangkan kontradiksi dengan hukum kekekalan muatan. Misalnya saat mengisi daya kapasitor datar arus perpindahan melalui permukaan yang melewati antara pelat, sama dengan arus sepanjang kabel pasokan.

Sistem persamaan Maxwell dalam ruang hampa. Setelah memasukkan arus perpindahan, sistem persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial berbentuk:

Sistem persamaan Maxwell dalam bentuk integral:

Kami juga menyajikan representasi persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial pada sistem CGS:

Muatan dan kepadatan arus dihubungkan oleh hubungan tersebut

menyatakan hukum kekekalan muatan (persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan Maxwell).

Persamaan Maxwell dalam suatu medium mempunyai bentuk: bentuk diferensial bentuk integral

dan berfungsi untuk menentukan empat besaran. Pada persamaan Maxwell, dalam medium perlu ditambahkan persamaan material hubungan antara sifat kelistrikan dan sifat magnetik lingkungan. Untuk media linier isotropik, persamaan berikut berbentuk:

Dari persamaan Maxwell dapat diperoleh kondisi batas untuk (lihat bagian 3.6, 3.13).

Hukum kekekalan energi untuk medan elektromagnetik.

Dari persamaan Maxwell kita dapat memperolehnya persamaan berikut untuk setiap volume V yang dibatasi oleh suatu permukaan

Istilah pertama menggambarkan perubahan energi medan elektromagnetik dalam volume yang dipertimbangkan. Dapat dilihat bahwa, secara umum, kepadatan energi medan elektromagnetik adalah rumus yang benar, diperoleh sebelumnya untuk medan listrik dan magnet konstan. Suku kedua mewakili kerja medan pada partikel dalam volume yang ditinjau. Terakhir, istilah ketiga menggambarkan aliran energi elektromagnetik melalui permukaan tertutup yang melingkupi volume. Kerapatan fluks energi pada suatu titik tertentu dalam ruang (vektor Poynting) ditentukan oleh vektor E dan B pada titik yang sama:

Ekspresi terakhir juga berlaku untuk kerapatan fluks energi elektromagnetik dalam materi. Kerapatan energi dalam medium berbentuk:

Contoh 1. Pertimbangkan pengisian kapasitor datar dengan pelat bundar yang terletak agak jauh. Laju perubahan energi dalam silinder berjari-jari ( ukuran yang lebih kecil piring) adalah sama

Kita mencari kuat medan magnet dari persamaan kedua Maxwell: (di sebelah kanan adalah arus perpindahan). Kami menemukan bahwa laju aliran energi permukaan lateral silinder: sama dengan laju perubahan energi dalam volume.

Sifat relativistik medan. Ketika berpindah dari satu sistem referensi inersia ke sistem referensi inersia lainnya, baik sumber medan elektromagnetik (massa muatan dan arus) maupun medan itu sendiri berubah, tetapi persamaan Maxwell tetap mempertahankan bentuknya. Rumus konversi paling sederhana untuk sumber adalah massa jenis muatan yang bergerak). Jika kita menyatakan kepadatan muatan dalam ISO, yang kemudian, dengan mempertimbangkan pengurangan dimensi longitudinal (lihat Bagian 1.11), kita memperoleh

Dibandingkan dengan -vektor momentum energi, kita melihat bahwa mereka membentuk -vektor, yaitu. ditransformasikan satu sama lain dengan cara yang sama seperti menurut rumus transformasi Lorentz. Mengetahui bagaimana sumber bidang dikonversi, Anda dapat menemukan rumus untuk mengonversi E, B. Bentuknya seperti ini:

Berikut adalah kecepatan kerangka acuan K relatif terhadap kerangka K, transformasi ditulis untuk komponen medan yang sejajar dan tegak lurus. Invarian dari transformasi tersebut adalah besaran skalar

Jika digunakan, rumus konversi bidang mengambil bentuk sederhana berikut:

Contoh 2. Medan magnet partikel nonrelativistik. Mari kita perhatikan sebuah partikel yang bergerak relatif terhadap ISO K dengan konstanta kecepatan relativistik V. Dalam ISO yang diasosiasikan dengan partikel bergerak, yang ada hanya medan listrik. Untuk menuju ke ISO K, Anda perlu menulis rumusnya

transformasi Dengan mempertimbangkan bahwa dalam batas nonrelativistik panjang segmen tidak berubah, kita memperoleh (untuk saat partikel melewati titik asal koordinat di K):

Saat menurunkan rumus ini, kami menggunakan persamaan

Contoh 3. Polarisasi suatu dielektrik ketika bergerak dalam medan magnet. Ketika dielektrik bergerak dengan kecepatan nonrelativistik yang tegak lurus terhadap garis induksi medan magnet, terjadi polarisasi. Dalam IFR yang diasosiasikan dengan dielektrik, terdapat medan listrik transversal. Sifat polarisasi dielektrik bergantung pada bentuknya.

Contoh 4. Medan listrik suatu partikel relativistik. Mari kita perhatikan sebuah partikel yang bergerak relatif terhadap ISO K dengan kecepatan relativistik konstan V. Dalam ISO K yang terkait dengan partikel yang bergerak, hanya ada medan listrik. Untuk berpindah ke ISO K, kita harus menggunakan rumus transformasi (92 ) dengan Kita tuliskan jawaban momen waktu ketika partikel dalam ISO K melewati titik asal koordinat, untuk suatu titik yang terletak pada bidang. koordinat titik diukur dalam K bersamaan dengan lewatnya partikel melalui titik asal koordinat). Hasilnya kita dapatkan

Terlihat bahwa vektor E segaris terhadap vektor. Namun, pada jarak yang sama dari muatan, medan di suatu titik yang terletak pada garis geraknya lebih kecil daripada di titik yang tegak lurus kecepatan. Medan magnet pada suatu titik ditentukan oleh persamaan:

Perhatikan bahwa medan listrik yang dianggap tidak potensial.

Sistem persamaan Maxwell mencakup empat persamaan dasar

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Sistem ini dilengkapi dengan tiga persamaan materi, mendefinisikan hubungan antara besaran fisis, termasuk dalam persamaan Maxwell:

(3.5)

Mari kita ingat arti fisik frasa matematika ini.

Persamaan pertama (3.1) menyatakan bahwa elektrostatis medan hanya dapat diciptakan oleh muatan listrik adalah vektor perpindahan listrik, ρ adalah massa jenis muatan listrik.

Fluks vektor perpindahan listrik yang melalui suatu permukaan tertutup sama dengan muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut.

Seperti yang ditunjukkan oleh percobaan, fluks vektor induksi magnet melalui permukaan tertutup selalu nol (3.2)

Perbandingan persamaan (3.2) dan (3.1) memungkinkan kita menyimpulkan bahwa tidak ada muatan magnet di alam.

Persamaan (3.3) dan (3.4) sangat menarik dan penting. Di sini kita memperhatikan sirkulasi vektor tegangan listrik ( ) dan magnetis ( ) bidang sepanjang kontur tertutup.

Persamaan (3.3) menyatakan bahwa medan magnet bolak-balik ( ) adalah sumber medan listrik pusaran ( ).Ini tidak lebih dari representasi matematis dari fenomena induksi elektromagnetik Faraday.

Persamaan (3.4) menetapkan hubungan antara medan magnet dan medan listrik bolak-balik. Menurut persamaan ini, medan magnet dapat diciptakan tidak hanya oleh arus konduksi ( ), tetapi juga oleh medan listrik bolak-balik .

Dalam persamaan ini:

- vektor perpindahan listrik,

H- kekuatan medan magnet,

E- kuat medan listrik,

J- rapat arus konduksi,

μ - permeabilitas magnetik medium,

ε adalah konstanta dielektrik medium.

Gelombang elektromagnetik. Sifat gelombang elektromagnetik

Semester lalu, setelah menyelesaikan pembahasan kami tentang sistem persamaan elektrodinamika klasik Maxwell, kami menetapkan hal itu keputusan bersama dua persamaan terakhir (tentang sirkulasi vektor Dan ) mengarah ke persamaan gelombang diferensial.

Jadi kita dapat persamaan gelombang Gelombang "Y":

. (3.6)

Komponen listrik y - gelombang merambat ke arah positif sumbu X dengan kecepatan fasa

(3.7)

Persamaan serupa menggambarkan perubahan ruang dan waktu medan magnet gelombang y:

. (3.8)

Menganalisis hasil yang diperoleh, kita dapat merumuskan sejumlah sifat yang melekat pada gelombang elektromagnetik.

1. Gelombang bidang “y” adalah gelombang transversal terpolarisasi linier. Vektor tegangan listrik ( ), magnetis ( ) kecepatan medan dan fase gelombang ( ) saling tegak lurus dan membentuk sistem “tangan kanan” (Gbr. 3.1).