Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda tiga dari elemen sebelumnya (dapat diperoleh dari elemen sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.

Notasi perkembangan aritmatika

Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Memecahkan masalah perkembangan aritmatika

Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus penting untuk perkembangan aritmatika

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana memutuskan “langsung” sangatlah merepotkan. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Haruskah kita menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).

Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.

Contoh. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kami mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah total elemen.

Contoh. Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)

Contoh (OGE). Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.

Tingkat masuk

Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" berasal dari teori proporsi kontinu yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing sukunya sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Sejak itu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar sekali. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

• suku perkembangan sebelumnya adalah:
• suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berurutan yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan sendiri oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru, yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menugaskan tugas berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.


Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar pada masa itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.


Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
3. Saat menyimpan log, logger menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Dalam hal ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.

2. Angka ganjil pertama, angka terakhir.
   Perbedaan perkembangan aritmatika.
   Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:

   Angka memang mengandung angka ganjil.
   Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
   Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

1. - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
2. Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
3. Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
4. Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. TINGKAT MENENGAH

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan tersebut disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam suatu barisan jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan ia tempuh dalam seminggu, jika pada hari pertama ia berlari km m?
2. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh perjalanan km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan: , harus ditemukan.
   Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Gantikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Ini sangat sederhana:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda untuk dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Dimana jumlah nilainya.

Jika untuk setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon suku pertama barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan sebagainya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (relatif terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (relatif terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.

Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh suku pertama barisan bilangan tersebut ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir , jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.

Misalnya,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Barisan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.

Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .

Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.

Kemajuan aritmatika

Kemajuan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - nomor tertentu.

Jadi, selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya dari suatu perkembangan aritmatika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.

Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + dan,

maka jelas

Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:

sebuah = 2N- 7,

sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat dituliskan

sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,

sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄

sebuah = sebuah nk + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika yang berjarak sama.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:

am + an = a k + a l,

m + n = k + aku.

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,

sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:

Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka besarannya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang bersesuaian dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Dalam hal ini:

• Jika D > 0 , kemudian meningkat;
• Jika D < 0 , maka menurun;
• Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

bn +1 = bn · Q,

Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.

Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:

bn = B 1 · qn -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

maka jelas

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku berurutan suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satu bilangan tersebut sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dua bilangan lainnya.

Misalnya,

Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri dapat dicari tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja

bn = bk · qn - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat dituliskan

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · pertanyaan 3,

b 5 = b 3 · pertanyaan 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

maka jelas

bn 2 = bn - k· bn + k

kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku barisan tersebut yang berjarak sama dari suku tersebut.

Selain itu, untuk setiap barisan geometri persamaannya benar:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ aku.

Misalnya,

dalam deret geometri

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus

S n= catatan 1

Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya

bk, bk +1 , . . . , bn,

maka rumus yang digunakan adalah:

Misalnya,

dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu barisan geometri diberikan, maka besarannya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :

• kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

• Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk yang pertama N suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu kemajuan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus

Misalnya,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara barisan aritmatika dan geometri

Perkembangan aritmatika dan geometri berkaitan erat. Mari kita lihat dua contoh saja.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misalnya,

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - barisan geometri dengan penyebut Q , Itu

catatan ab 1, catatan ab 2, catatan ab 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan catatan aQ .

Misalnya,

2, 12, 72, . . . - barisan geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Atau aritmatika adalah jenis barisan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika.

Kemajuan macam apa ini?

Sebelum melanjutkan ke pertanyaan (bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika), ada baiknya memahami apa yang sedang kita bicarakan.

Setiap barisan bilangan real yang diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangi) suatu nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut barisan aljabar (aritmatika). Definisi ini jika diterjemahkan ke dalam bahasa matematika berbentuk:

Disini i adalah nomor urut elemen baris a i. Jadi, dengan mengetahui hanya satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut selisih perkembangan.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk rangkaian bilangan yang dipertimbangkan, persamaan berikut berlaku:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Artinya, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, selisih d harus dijumlahkan dengan elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.

Berapa jumlah barisan aritmatika: rumus

Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan kasus khusus sederhana. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena hanya ada sedikit suku dalam barisan (10), maka masalah dapat diselesaikan secara langsung, yaitu dengan menjumlahkan semua elemen secara berurutan.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Satu hal yang menarik perlu dipertimbangkan: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan suku pertama dengan suku kesepuluh, suku kedua dengan suku kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. Benar-benar:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, yaitu tepat dua kali lebih kecil dari jumlah elemen deret tersebut. Kemudian mengalikan banyaknya penjumlahan (5) dengan hasil setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.

Jika kita menggeneralisasi argumen ini, kita dapat menulis ekspresi berikut:

S n = n * (a 1 + an) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahwa sama sekali tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris; cukup mengetahui nilai a 1 pertama dan n terakhir, serta jumlah suku n.

Dipercaya bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang diberikan oleh guru sekolahnya: jumlahkan 100 bilangan bulat pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: rumus

Rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika (elemen pertama), namun seringkali dalam soal perlu menjumlahkan serangkaian angka di tengah barisan tersebut. Bagaimana cara melakukan ini?

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan memperhatikan contoh berikut: misalkan kita perlu mencari jumlah suku dari ke-m sampai ke-n. Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda harus menyajikan segmen tertentu dari m ke n perkembangannya dalam bentuk deret bilangan baru. Dalam representasi ini, suku ke-m a m akan menjadi suku pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, dengan menerapkan rumus standar untuk penjumlahan, diperoleh ekspresi berikut:

S m n = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Contoh penggunaan rumus

Mengetahui cara mencari jumlah suatu barisan aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.

Di bawah ini adalah barisan numerik, Anda harus mencari jumlah suku-sukunya, dimulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:

Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi elemen ke-n, Anda dapat mencari nilai suku ke-5 dan ke-12 dari perkembangan tersebut. Ternyata:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Mengetahui nilai-nilai bilangan pada ujung-ujung barisan aljabar yang ditinjau, serta mengetahui bilangan-bilangan dalam deret yang ditempatinya, Anda dapat menggunakan rumus jumlah yang diperoleh pada paragraf sebelumnya. Ternyata:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Perlu diperhatikan bahwa nilai ini dapat diperoleh dengan cara yang berbeda: pertama carilah jumlah 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah kedua dari jumlah pertama.