Rumus probabilitas total: teori dan contoh pemecahan masalah Rumah Dalam penerapan praktis teori probabilitas, sering kali kita menemui masalah di mana eksperimen yang sama atau eksperimen serupa diulangi berulang kali. Sebagai hasil dari setiap percobaan, suatu peristiwa mungkin muncul atau tidak, dan kami tidak tertarik pada hasil masing-masing percobaan, tetapi pada jumlah total kemunculan peristiwa tersebut sebagai hasil dari serangkaian percobaan. Misalnya, jika sekelompok tembakan ditembakkan ke sasaran yang sama, kita biasanya tidak tertarik pada hasil setiap tembakan, namun pada jumlah total tembakan. DI DALAM
tugas serupa membutuhkan kemampuan untuk menentukan probabilitas sejumlah kejadian tertentu sebagai hasil serangkaian eksperimen. Tugas-tugas tersebut akan dibahas dalam bab ini. Mereka dapat diselesaikan dengan cukup sederhana jika eksperimennya independen. Beberapa percobaan disebut bebas jika peluang suatu hasil dari setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan yang lain. Misalnya, beberapa pelemparan koin berturut-turut merupakan eksperimen independen. Beberapa pengambilan kartu secara berturut-turut dari tumpukan kartu merupakan percobaan independen, dengan ketentuan bahwa kartu yang dikeluarkan dikembalikan ke tumpukan kartu setiap kali dan kartu-kartu tersebut dikocok; jika tidak, ini adalah pengalaman yang bergantung. Beberapa tembakan merupakan eksperimen independen hanya jika penargetan dilakukan lagi sebelum setiap tembakan; dalam hal pembidikan dilakukan satu kali sebelum keseluruhan penembakan atau dilakukan terus menerus selama proses penembakan (menembak secara beruntun, melakukan pengeboman secara berurutan), tembakan tersebut merupakan eksperimen yang bergantung. Eksperimen independen dapat dilakukan di tempat yang sama atau kondisi yang berbeda. Dalam kasus pertama, probabilitas suatu peristiwa berubah dari pengalaman ke pengalaman. Teorema tertentu berlaku untuk kasus pertama, dan untuk kasus kedua -
teorema umum
Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ketika tepat dua proyektil mengenai sasaran. Peristiwa ini dapat terjadi dalam tiga cara:
1) mengenai tembakan pertama, mengenai tembakan kedua, meleset pada tembakan ketiga;
2) mengenai pukulan pertama, meleset pada tembakan kedua, mengenai tembakan ketiga;
3) meleset pada tembakan pertama, mengenai tembakan kedua, mengenai tembakan ketiga.
Oleh karena itu, suatu peristiwa dapat direpresentasikan sebagai jumlah produk dari peristiwa:
di mana - masing-masing mengenai tembakan pertama, kedua, ketiga, - meleset pada tembakan pertama, kedua, ketiga.
Mengingat ketiga varian kejadian yang terdaftar tidak kompatibel, dan kejadian-kejadian yang termasuk dalam hasil perkalian bersifat independen, maka dengan menggunakan teorema penjumlahan dan perkalian kita memperoleh:
atau, yang menunjukkan ,
Demikian pula, daftar semuanya pilihan yang memungkinkan, di mana peristiwa yang menarik bagi kami mungkin muncul nomor yang diberikan kali, kita dapat menyelesaikan masalah umum berikut.
Eksperimen independen dilakukan, di mana masing-masing peristiwa mungkin muncul atau tidak; peluang terjadinya suatu peristiwa pada setiap percobaan sama dengan , dan peluang tidak terjadinya adalah . Kita perlu mencari peluang bahwa suatu peristiwa akan muncul tepat satu kali dalam percobaan ini.
Mari kita perhatikan kejadian dimana kejadian tersebut akan muncul tepat satu kali dalam percobaan. Peristiwa ini bisa menjadi kenyataan dalam berbagai cara. Mari kita menguraikan suatu peristiwa menjadi jumlah produk dari peristiwa-peristiwa yang terdiri dari kemunculan atau ketidakmunculan suatu peristiwa dalam suatu pengalaman terpisah. Kami akan menyatakan terjadinya suatu peristiwa dalam percobaan ke-i; - tidak terjadinya suatu peristiwa pada percobaan ke-i.
Jelasnya, setiap varian terjadinya suatu peristiwa (setiap anggota penjumlahan) harus terdiri dari m kejadian suatu peristiwa dan bukan kejadian, yaitu. dari peristiwa dan peristiwa dengan indeks berbeda. Dengan demikian,
Apalagi dalam setiap karya peristiwa itu harus muncul satu kali, tapi harus muncul satu kali.
Banyaknya semua kombinasi semacam ini adalah sama, yaitu. banyaknya cara yang dapat dipilih seseorang dari eksperimen di mana peristiwa itu terjadi. Peluang setiap kombinasi tersebut, menurut teorema perkalian untuk kejadian-kejadian bebas, adalah sama dengan . Karena kombinasi tidak cocok satu sama lain, maka menurut teorema penjumlahan, peluang suatu kejadian sama dengan
Rumus kemungkinan penuh memungkinkan Anda menemukan kemungkinan suatu peristiwa A, yang hanya dapat terjadi pada masing-masing N kejadian-kejadian saling lepas yang membentuk suatu sistem utuh, jika probabilitasnya diketahui, dan probabilitas bersyarat acara A relatif terhadap masing-masing kejadian sistem adalah sama.
Peristiwa juga disebut hipotesis; peristiwa tersebut saling eksklusif. Oleh karena itu, dalam literatur Anda juga dapat menemukan sebutannya bukan secara tertulis B, dan surat itu H(hipotesa).
Untuk menyelesaikan masalah dengan kondisi seperti itu, perlu diperhatikan 3, 4, 5 atau kasus umum N kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A- dengan setiap acara.
Dengan menggunakan teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas, kita memperoleh jumlah produk dari probabilitas setiap kejadian dalam sistem dengan probabilitas bersyarat acara A mengenai masing-masing peristiwa sistem. Artinya, kemungkinan suatu kejadian A dapat dihitung dengan menggunakan rumus
atau secara umum
,
yang disebut rumus probabilitas total .
Rumus probabilitas total: contoh pemecahan masalah
Contoh 1. Ada tiga guci yang tampak identik: guci pertama berisi 2 bola putih dan 3 guci hitam, guci kedua berisi 4 bola putih dan satu hitam, guci ketiga berisi tiga bola putih. Seseorang mendekati salah satu guci secara acak dan mengeluarkan satu bola darinya. Mengambil keuntungan rumus probabilitas total, tentukan peluang terambilnya bola berwarna putih.
Larutan. Peristiwa A- penampakan bola berwarna putih. Kami mengajukan tiga hipotesis:
Guci pertama dipilih;
Guci kedua dipilih;
Guci ketiga dipilih.
Probabilitas bersyarat suatu kejadian A mengenai masing-masing hipotesis:
,
,
.
Kami menerapkan rumus probabilitas total, sehingga menghasilkan probabilitas yang diperlukan:
.
Contoh 2. Di pabrik pertama, dari setiap 100 bola lampu, rata-rata 90 bola lampu standar diproduksi, di pabrik kedua - 95, di pabrik ketiga - 85, dan produk dari pabrik-pabrik ini masing-masing menyumbang 50%, 30% dan 20% dari seluruh bola lampu dipasok ke toko-toko di area tertentu. Temukan probabilitas membeli bola lampu standar.
Larutan. Mari kita nyatakan kemungkinan membeli bola lampu standar dengan A, dan kejadian dimana bola lampu yang dibeli masing-masing diproduksi di pabrik pertama, kedua dan ketiga, melalui . Berdasarkan kondisi, probabilitas kejadian-kejadian ini diketahui: , , dan probabilitas bersyarat dari kejadian tersebut A mengenai masing-masingnya: 
,
,
. Ini adalah kemungkinan membeli bola lampu standar, asalkan bola lampu tersebut diproduksi di pabrik pertama, kedua, dan ketiga.
Peristiwa A akan terjadi jika suatu peristiwa terjadi K- Bola lampu diproduksi di pabrik pertama dan bersifat standar, atau acara L- Bola lampu diproduksi di pabrik kedua dan merupakan standar, atau acara M- bola lampu diproduksi di pabrik ketiga dan merupakan standar. Kemungkinan lain terjadinya peristiwa tersebut A TIDAK. Oleh karena itu, acara tersebut A adalah jumlah kejadian K, L Dan M, yang tidak kompatibel. Dengan menggunakan teorema penjumlahan probabilitas, kita membayangkan probabilitas suatu kejadian A dalam bentuk
dan dengan teorema perkalian probabilitas kita peroleh
yaitu, kasus khusus rumus probabilitas total.
Menggantikan sisi kiri rumus nilai probabilitas, kita mendapatkan probabilitas suatu kejadian A :
Contoh 3. Pesawat mendarat di lapangan terbang. Jika cuaca memungkinkan, pilot mendaratkan pesawat, selain menggunakan instrumen, juga observasi visual. Dalam hal ini, peluang pendaratan yang aman adalah . Jika lapangan terbang tertutup awan rendah, maka pilot mendaratkan pesawat hanya dengan dipandu oleh instrumen. Dalam hal ini, kemungkinan pendaratan yang aman adalah; . Perangkat yang menyediakan pendaratan buta dapat diandalkan (kemungkinan pengoperasian bebas kegagalan) P. Jika terdapat awan rendah dan instrumen pendaratan buta yang gagal, kemungkinan pendaratan berhasil adalah; . Statistik menunjukkan bahwa di k% pendaratan lapangan terbang ditutupi awan rendah. Menemukan probabilitas total suatu kejadian A- pendaratan pesawat yang aman.
Larutan. Hipotesis:
Tidak ada awan rendah;
Ada awan rendah.
Probabilitas hipotesis (peristiwa) ini:
;
Probabilitas bersyarat.
Kita akan mencari kembali probabilitas bersyarat menggunakan rumus probabilitas total dengan hipotesis
Perangkat pendaratan buta berfungsi;
Instrumen pendaratan buta gagal.
Kemungkinan hipotesis ini:
Menurut rumus probabilitas total
Contoh 4. Perangkat dapat beroperasi dalam dua mode: normal dan tidak normal. Mode normal diamati pada 80% dari semua kasus pengoperasian perangkat, dan mode abnormal - pada 20% kasus. Kemungkinan kegagalan perangkat dalam waktu tertentu T sama dengan 0,1; dalam keadaan tidak normal 0,7. Menemukan kemungkinan penuh kegagalan perangkat seiring waktu T.
Larutan. Kami sekali lagi menunjukkan kemungkinan kegagalan perangkat A. Jadi, mengenai pengoperasian perangkat di setiap mode (peristiwa), probabilitasnya diketahui sesuai dengan kondisi: untuk mode normal adalah 80% (), untuk mode abnormal - 20% (). Kemungkinan kejadian A(yaitu, kegagalan perangkat) tergantung pada kejadian pertama (mode normal) sama dengan 0,1(); tergantung pada kejadian kedua (mode abnormal) - 0,7 ( 
). Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus probabilitas total (yaitu, jumlah produk dari probabilitas setiap kejadian dalam sistem dengan probabilitas bersyarat dari kejadian tersebut. A mengenai setiap peristiwa sistem) dan di hadapan kita adalah hasil yang diperlukan.
Menentukan probabilitas peristiwa dan distribusi statistik
Tugas 1
Bola lampu tercampur di dalam kotak ukuran yang sama dan bentuk : 150 W - 8 buah dan 100 W - 13. Tiga buah lampu dikeluarkan dari kotak secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka:
a) hanya satu lampu 150 W; b) dua lampu 150 W;
c) paling sedikit dua lampu dengan daya masing-masing 150 W; d) paling sedikit satu lampu dengan daya 150 W;
f) semua lampu mempunyai daya yang sama.
a) kejadian F1 - dari tiga lampu yang diambil secara acak, hanya satu yang berkekuatan 150 W:
b) kejadian F2 - dari tiga lampu yang diambil secara acak, dua lampu masing-masing berkekuatan 150 W:
c) kejadian F3 - dari tiga lampu yang diambil secara acak, paling sedikit 2 lampu masing-masing berkekuatan 150 W:
d) kejadian F4 - dari tiga bagian yang diambil secara acak setidaknya akan ada satu lampu 150 W:
e) kejadian F5 - dari tiga lampu yang diambil secara acak, ketiganya akan mempunyai daya yang sama
Tugas 2
Tiga tembakan independen ditembakkan ke pesawat. Peluang mengenai tembakan pertama adalah 0,4, pada tembakan kedua - 0,5, pada tembakan ketiga - 0,6. Tiga pukulan sudah cukup untuk melumpuhkan sebuah pesawat. Dengan dua pukulan, ia gagal dengan probabilitas 0,7, dengan satu pukulan - dengan probabilitas 0,4.
1. Tentukan peluang pesawat tersebut menjadi cacat akibat tiga tembakan.
2. Akibat tiga tembakan, pesawat tidak cacat. Berapa banyak kemungkinan terjadinya tabrakan di pesawat?
1) Pertimbangkan hipotesisnya:
H1 - dari tiga tembakan tidak akan ada pukulan
H2 - dari tiga tembakan akan ada tepat satu pukulan
H3 - dari tiga tembakan akan ada dua pukulan
H4 - dari tiga tembakan akan ada tiga pukulan
dan acara
F - pesawat akan dinonaktifkan.
Karena pesawat tidak dinonaktifkan, mis. peristiwa F telah terjadi, maka probabilitas hipotesis ditentukan dengan menggunakan rumus Bayes
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Jadi, kemungkinan besar pesawat itu ditabrak satu kali.
Tugas 3
Menurut statistik di kota N, rata-rata 18% bisnis baru yang dibuka menghentikan aktivitasnya dalam waktu satu tahun.
1. Berapa peluang bahwa dari 6 perusahaan baru yang dipilih secara acak di kota N, pada akhir tahun kegiatannya akan tersisa:
a) tepat 4; b) 4; c) kurang dari 4; d) setidaknya satu perusahaan?
2. Hitung peluang bahwa dari seratus perusahaan yang baru dibuka di kota N akan berhenti beroperasi pada akhir tahun:
a) 15; b) paling sedikit 15; c) tidak lebih dari 21; d) paling sedikit 13, tetapi tidak lebih dari 23 perusahaan.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
n nilai<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) akan tersisa tepat 4 perusahaan:
b) lebih dari 4 perusahaan akan tetap ada:
P(lebih dari 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
P(lebih dari 4)=0,4004+0,304=0,7044
c) kurang dari 4 perusahaan yang tersisa:
P(kurang dari 4)=1-P(minimal 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) paling sedikit satu perusahaan akan tetap ada
P(setidaknya 1)=1-P(tidak ada)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
n=100p=0,18q=0,82
Nilai n=100 cukup besar, sehingga untuk perhitungannya kita akan menggunakan rumus Laplace lokal dan integral:
a) tepat 15 perusahaan akan menghentikan kegiatannya:
dimana, dan (x) adalah fungsi Laplace lokal
Dari tabel kami menemukan itu
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) paling sedikit 15 perusahaan akan menghentikan kegiatannya, yaitu. dari 15 hingga 100:
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
dimana u, dan Ф(x) adalah fungsi integral Laplace
Dari tabel nilai fungsi Ф(x) kita menemukan bahwa Ф(-0.78)=-Ф(0.78)=-0.2823, dan Ф(21.34)=0.5, P100(15;100) 0.5+0.2823=0.7823
c) tidak lebih dari 21 perusahaan akan menghentikan kegiatannya: mis. dari 0 hingga 21:
Dari tabel nilai fungsi Ф(x) kita menemukan bahwa Ф(-4.69)=-Ф(4.69)=-0.499999, dan Ф(0.78)=0.2823, P100(0;21) 0.2823+0.499999=0.782299
d) paling sedikit 13, tetapi tidak lebih dari 23 perusahaan akan menghentikan kegiatannya:
Dari tabel nilai fungsi Ф(x) kita menemukan bahwa Ф(1,3)=0,4032,
P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064
Tugas 4
Dua akuntan secara mandiri mengisi pernyataan yang identik. Akuntan pertama membuat kesalahan rata-rata 8%, yang kedua - 12% dari seluruh dokumen. Banyaknya pernyataan yang diisi oleh akuntan pertama adalah 1, yang kedua - 2. Variabel acak (r.v.) dianggap - jumlah pernyataan yang diisi oleh dua akuntan tanpa kesalahan.
1. Buatlah rangkaian distribusi r.v. dan menyajikannya secara grafis.
3. Hitung harapan matematis(berarti) M, varians
D dan deviasi kuadrat rata-rata (standar) ().
4. Tentukan peluang: a) P; b) P; c) hal
1) Mari kita tentukan nilai yang mungkin dari variabel acak X dan probabilitasnya:
X=0: 0,920,882=0,712448
X=1: 0.080.882+0.92(0.120.88+0.880.12)=0.256256
X=2: 0.920.122+0.08(0.120.88+0.880.12)=0.030144
X=3: 0,080.122=0,001152
Penyelidikan:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Mari kita tuliskan seri distribusinya
Mari kita gambarkan deret distribusi secara grafis dalam bentuk poligon
2) Mari kita buat fungsi distribusi:
Mari kita gambarkan fungsi distribusinya
3) Ekspektasi dan varians matematis dicari dengan rumus:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Temukan probabilitas yang diperlukan:
P(X P(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P(-0,2137 Tugas 5 Antara dua pemukiman yang terletak pada jarak L = 9 km satu sama lain, sebuah bus beroperasi dengan pemberhentian sesuai permintaan dimana saja. Jarak (dalam km) yang ditempuh penumpang tertentu yang menaiki bus pada awal perjalanan bersifat acak dengan kepadatan distribusi 1. Tetapkan konstanta C yang tidak diketahui dan plot fungsinya p(x). 2. Temukan fungsi distribusi r.v. dan buat grafiknya. 3. Hitung ekspektasi matematis (nilai rata-rata) M, varians D dan simpangan baku (). 4. Berapa kali jumlah turun dari awal jalur ke tengah perjalanan penumpang lebih besar daripada jumlah turun dari tempat ini hingga akhir jalur bus? 1) Untuk mencari konstanta C, kita menggunakan sifat kepadatan distribusi: Mari kita gambarkan kepadatan distribusinya 2) Temukan fungsi distribusi a) jika x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) jika 0x<9, то c) jika x>3, maka karena sifat kepadatan distribusi Akhirnya kita mendapatkan: Mari kita plot F(x): 3) ekspektasi matematis dihitung dengan menggunakan rumus Varians dihitung menggunakan rumus: DX=24,3-4,52=4,05 Rata-rata deviasi standar sama dengan: P(X P(XMX)=1-P(X Itu. jumlah turun dari awal jalur sampai ke tengah perjalanan penumpang dan jumlah turun dari tempat ini sampai akhir jalur bus adalah sama. Tugas 6 Saat mengangkut kargo dengan helikopter, digunakan kabel yang terbuat dari bahan sintetis berdasarkan teknologi kimia baru. Dari hasil uji tarik kabel sebanyak 25 kali, diperoleh data sebagai berikut (dalam ton): 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 Diperlukan: 1. Menentukan sifat yang diteliti dan jenisnya (diskrit atau kontinu). 2. Bergantung pada jenis atribut, buatlah poligon atau histogram frekuensi relatif. 3. Berdasarkan analisis visual poligon (histogram), merumuskan hipotesis tentang hukum distribusi sifat yang diteliti. 4. Hitung karakteristik sampel dari karakteristik: mean, dispersi dan standar deviasi. 5. Dengan menggunakan uji kesesuaian chi-kuadrat Pearson, periksa kesesuaian data sampel dengan hukum distribusi yang dikemukakan di paragraf 3 pada tingkat signifikansi 0,01. 6. Untuk mean dan varians umum, buatlah interval kepercayaan yang sesuai dengan probabilitas kepercayaan sebesar 0,99. 7. Dengan reliabilitas 0,99, uji hipotesis kesetaraan: a) nilai rata-rata umum 5C; b) nilai dispersi umum C 2, dimana C = 1,09. Nilai sampel menurut pilihan pekerjaan 1. Tipe atributnya kontinyu, karena variabel acak dapat mengambil nilai apa pun dari interval tertentu. 2. Mari kita buat histogram frekuensi relatif. Mari kita tentukan jumlah intervalnya: dimana n adalah banyaknya nilai dan k adalah banyaknya interval. DI DALAM dalam hal ini ada 25 nilai, jadi banyaknya intervalnya adalah: k=1+1,44ln 25 5.6. Misalkan jumlah intervalnya adalah 5. Mari kita tentukan besarnya satu interval: Mari kita tentukan frekuensi relatif untuk setiap interval. Lebih mudah untuk melakukan perhitungan dalam tabel Mari kita membuat histogram 3. Berdasarkan analisis visual, kita dapat mengajukan hipotesis tentang sebaran sifat menurut hukum normal. 4. Mari kita tentukan ciri-ciri sampel dari sifat yang sedang dipelajari. a) rata-rata sampel: b) varians sampel: c) deviasi standar sampel 5. Mari kita periksa hipotesis bahwa data sampel sesuai dengan distribusi normal Mari kita tentukan ujung interval menggunakan rumus yang akan kita buatkan tabelnya Mari kita cari probabilitas teoritis pi dan frekuensi teoritis. Hasil perhitungannya akan kami tuliskan pada tabel Mari kita hitung nilai observasi dari kriteria Pearson. Untuk melakukan ini, mari buat tabel: Berdasarkan tingkat signifikansi =0,01 dan banyaknya derajat kebebasan k=n-3=5-3=2, kita peroleh dari tabel titik kritis: =9,2 Karena , maka tidak ada alasan untuk menolak hipotesis tentang distribusi normal massa kritis pecah. 6. Buatlah interval kepercayaan untuk mean umum dan varians umum Kesalahan pengambilan sampel maksimum untuk rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus: dimana t adalah koefisien kepercayaan, yang bergantung pada probabilitas pernyataan tersebut dibuat. Koefisien kepercayaan diperoleh dari relasi 2Ф(t)=p, dimana Ф(х) adalah fungsi integral Laplace. Menurut kondisi p=0,99, Batasan di mana rata-rata umum berada ditentukan oleh pertidaksamaan: 5,1225 - 0,7034 dan 5,1225 + 0,7034 Mari kita cari estimasi interval variansnya: Berdasarkan tabel titik kritis distribusi diperoleh =42,98, a =10,86, maka selang kepercayaan variansnya adalah: a) mari kita periksa hipotesis bahwa rata-rata umum adalah 5,45. Kami mengajukan hipotesis: Karena varians populasi tidak diketahui, maka kita menghitung ekspresinya Dengan menggunakan tabel nilai titik kritis Siswa, kita mencari nilai kritisnya tcr(;n-1)=tcr(0,01;24)=2,8 Karena 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Mari kita periksa hipotesis bahwa varian umum sama dengan 1,1881. Kami mengajukan hipotesis: Hitung ekspresinya Dengan menggunakan tabel nilai titik kritis distribusi Chi-kuadrat, kita mencari nilai kritis (;n-1)=(0.01;24)=43 Karena 37.5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Referensi probabilitas varians statistik matematis 1.Gmurman V.E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik matematika: Sebuah buku teks untuk mahasiswa. - M.: Sekolah Tinggi, 2002. 2.Semenov A.T. Teori probabilitas dan statistik matematika: Kompleks pendidikan dan metodologi. - Novosibirsk: NGAEiU, 2003.
