Tingkat masuk

Perkembangan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa menentukan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita punya urutan nomor, yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami secara lebih luas. dalam arti luas, seperti barisan bilangan tak terhingga. Nama "aritmatika" ditransfer dari teori proporsi kontinu, yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing anggotanya sama dengan anggota sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Angka ini disebut selisihnya perkembangan aritmatika dan ditunjuk.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk "depersonalisasi" rumus ini- Mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Sejak itu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar sekali. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

• suku perkembangan sebelumnya adalah:
• suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan yang diketahui sebelumnya dan nilai berturut-turut, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan sendiri oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menanyakan soal berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.


Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah total sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan yang paling banyak konstruksi skala besar waktu itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.


Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

DI DALAM dalam hal ini Perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
3. Saat menyimpan log, penebang menumpuknya sedemikian rupa sehingga masing-masing log dapat disimpan lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Dalam hal ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.

2. Pertama angka ganjil, nomor terakhir.
   Perbedaan perkembangan aritmatika.
   Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:

   Angka memang mengandung angka ganjil.
   Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
   Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

1. - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
2. Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
3. Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
4. Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. TINGKAT MENENGAH

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi, rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika yang hebat Karl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah yang pertama dan tanggal terakhir sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir sama, dan seterusnya. Berapa total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semuanya angka dua digit, kelipatan.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan ia tempuh dalam seminggu, jika pada hari pertama ia berlari km m?
2. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh jarak km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga sebuah lemari es setiap tahunnya jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian lemari es tersebut dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan: , harus ditemukan.
   Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Gantikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Ini sangat sederhana:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Dimana jumlah nilainya.

Apa poin utama rumus?

Rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap DENGAN NOMORNYA" N" .

Tentunya Anda juga perlu mengetahui istilah pertamanya sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Menghafal (atau menuliskan) rumus ini saja tidak cukup. Anda perlu memahami esensinya dan menerapkan rumusnya dalam berbagai permasalahan. Dan jangan lupa masuk saat yang tepat, ya...) Bagaimana jangan lupa- Aku tidak tahu. Tetapi bagaimana cara mengingatnya Jika perlu, saya pasti akan menyarankan Anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita lihat rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum? Ngomong-ngomong, lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.

Kemajuan dalam pandangan umum dapat ditulis sebagai rangkaian angka:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama suatu barisan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga, sebuah 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita sedang mengerjakannya sebuah 5, jika seratus dua puluh - s sebuah 120.

Bagaimana kita bisa mendefinisikannya secara umum? setiap suku suatu barisan aritmatika, dengan setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Ini dia suku ke-n suatu barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang dapat kita peroleh dari catatan tersebut? Bayangkan saja, alih-alih menggunakan angka, mereka menulis surat...

Entri ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukannya setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan menyelesaikan banyak masalah perkembangan lainnya. Anda akan melihat sendiri lebih jauh.

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:

sebuah 1- suku pertama suatu barisan aritmatika;

N- nomor anggota.

Rumusnya menghubungkan parameter utama dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis suatu barisan tertentu. Misalnya, soal mungkin mengatakan bahwa kemajuan ditentukan oleh kondisi:

sebuah = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bisa jadi jalan buntu... Tidak ada deret atau perbedaan... Namun, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah dipahami bahwa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.

Dan itu bisa lebih buruk lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: sebuah = 5 + (n-1) 2, Ya, buka tanda kurung dan berikan yang serupa? Kami mengerti rumus baru:

sebuah = 3 + 2n.

Ini Bukan secara umum, tetapi untuk perkembangan yang spesifik. Di sinilah jebakannya mengintai. Beberapa orang mengira suku pertama adalah angka tiga. Padahal kenyataannya suku pertama adalah lima... Sedikit lebih rendah kita akan bekerja dengan rumus yang dimodifikasi.

Dalam masalah perkembangan ada notasi lain - sebuah n+1. Ini, seperti yang Anda duga, adalah suku “n plus pertama” dari perkembangan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota barisan yang jumlahnya lebih besar dari bilangan n per satu. Misalnya saja jika dalam suatu permasalahan kita ambil sebuah semester kelima kalau begitu sebuah n+1 akan menjadi anggota keenam. Dan sejenisnya.

Paling sering sebutannya sebuah n+1 ditemukan dalam rumus perulangan. Jangan takut dengan ini kata yang buruk!) Ini hanyalah cara untuk menyatakan anggota barisan aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan suatu perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

sebuah+1 = sebuah+3

sebuah 2 = sebuah 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat sampai yang ketiga, yang kelima sampai yang keempat, dan seterusnya. Bagaimana kita bisa langsung menghitung, katakanlah, suku kedua puluh? sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai kita mengetahui suku ke-19, kita tidak dapat menghitung suku ke-20. Ini dia perbedaan mendasar rumus berulang dari rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah lewat Pertama dan memungkinkan lurus temukan anggota mana pun berdasarkan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam perkembangan aritmatika, mudah untuk mengubah rumus berulang menjadi rumus biasa. Hitunglah sepasang suku yang berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumusnya di dalam bentuk biasa, dan bekerja dengannya. Di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri, tugas seperti itu sering dijumpai.

Penerapan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung rumus. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, hanya berdasarkan arti barisan aritmatika. Tambahkan dan tambahkan... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, penyelesaiannya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Mari kita putuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: sebuah 1 =3, d=1/6. Masih mencari tahu apa yang setara N. Tidak ada pertanyaan! Kita perlu menemukannya sebuah 121. Jadi kami menulis:

Mohon perhatiannya! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah artinya N= 121 kita substitusikan lebih jauh ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka ke dalam rumus dan menghitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu saja. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku kelima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, suku mana saja. Kami menempatkannya sebagai gantinya N nomor yang diinginkan di indeks huruf " A" dan dalam tanda kurung, dan kami menghitungnya.

Izinkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap istilah perkembangan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .

Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang lebih licik. Mari kita hadapi masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 17 =-2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Ya ya. Tuliskan dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf rumusnya, kita memahami data apa yang kita miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas... Begitukah? Kalau kamu berpikir hanya itu, maka kamu tidak akan menyelesaikan masalah ya...

Kami masih memiliki nomornya N! Dalam kondisi sebuah 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n=17.“Hal sepele” ini sering kali luput dari perhatian, dan tanpanya, (tanpa “hal sepele”, bukan kepala!) masalah tidak dapat diselesaikan. Meskipun... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh ya, sebuah 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Pada dasarnya itu saja. Tetap menyatakan suku pertama barisan aritmatika dari rumus dan menghitungnya. Jawabannya adalah: sebuah 1 = 6.

Teknik ini adalah penulisan rumus dan substitusi sederhana data yang diketahui - banyak membantu tugas-tugas sederhana. Ya, tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan suatu variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak mungkin dipelajari sama sekali...

Teka-teki populer lainnya:

Tentukan selisih barisan aritmatika (an), jika a 1 =2; sebuah 15 =12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)

Mari pertimbangkan apa yang kita ketahui: sebuah 1 =2; sebuah 15 =12; dan (saya akan menyoroti secara khusus!) n=15. Jangan ragu untuk menggantinya ke dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Kami melakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas untuk sebuah, sebuah 1 Dan D diputuskan. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menemukan nomor tersebut:

Bilangan 99 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kita substitusikan besaran-besaran yang kita ketahui ke dalam rumus suku ke-n:

dan = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah- ini adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor N...Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Angkanya 99. Kami tidak tahu nomornya. N, Jadi nomor inilah yang perlu Anda temukan. Suku deret 99 kita substitusikan ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus N, menurut kami. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang soal dengan topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 termasuk anggota barisan aritmatika (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada parameternya? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Apakah kita melihat suku pertama dari perkembangannya? Kami mengerti. Ini -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: sebuah 1 = -3,6. Perbedaan D Bisakah Anda mengetahuinya dari serialnya? Mudahnya jika Anda mengetahui apa perbedaan barisan aritmatika:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor tak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui istilah perkembangan yang diberikan. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu... Apa yang harus dilakukan!? Nah, apa yang harus dilakukan, apa yang harus dilakukan... Nyalakan kreativitas!)

Kami memperkirakan bahwa 117 adalah bagian dari kemajuan kita. Dengan nomor tak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumusnya (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kita ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam perkembangannya tidak terjadi. Kesimpulan apa yang bisa kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kita. Itu berada di antara suku keseratus pertama dan keseratus kedua. Jika bilangan tersebut ternyata natural, mis. adalah bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut merupakan anggota barisan dengan bilangan yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban atas masalahnya adalah: TIDAK.

Berbasis tugas pilihan nyata GIA:

Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:

sebuah = -4 + 6,8n

Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Di sini kemajuannya belum sepenuhnya tercapai dengan cara biasa. Semacam rumus... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan mana pun berdasarkan nomornya.

Kami sedang mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal telah diubah. Suku pertama barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak apa-apa, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada soal sebelumnya, kita melakukan substitusi n=1 ke dalam rumus ini:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Kami mencari suku kesepuluh dengan cara yang sama:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Itu saja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertarungan yang sulit dalam Ujian Negara atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna untuk suku ke-n suatu perkembangan aritmatika. Saya ingat sesuatu, tapi entah kenapa ragu-ragu... Atau N di sana, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi untuk percaya diri dan keputusan yang tepat cukup pasti!) Untuk menarik kesimpulan, cukup mengingat arti dasar dari perkembangan aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Ayo menggambar sumbu angka dan tandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota. Dan kami mencatat perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:

Kita melihat gambarnya dan berpikir: apa persamaan suku kedua? Kedua satu D:

A 2 =a 1 + 1 D

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.

A 3 =a 1 + 2 D

Apakah kamu mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyorot beberapa kata dengan huruf tebal. Oke, satu langkah lagi).

Apa suku keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.

A 4 =a 1 + 3 D

Saatnya untuk menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. D, Selalu kurang satu dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, ke nomor tersebut n, jumlah spasi akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tanpa variasi!):

Secara umum gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak permasalahan dalam matematika. Jangan abaikan gambarnya. Tetapi jika menggambarnya sulit, maka... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh persenjataan matematika yang kuat ke solusinya - persamaan, pertidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...

Tugas untuk solusi mandiri.

Untuk pemanasan:

1. Dalam perkembangan aritmatika (an) a 2 =3; sebuah 5 =5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai gambar, soal dapat diselesaikan dalam waktu 20 detik... Menurut rumusnya ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumusnya lebih bermanfaat.) Di Bagian 555, soal ini diselesaikan dengan menggunakan gambar dan rumus. Rasakan perbedaannya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam barisan aritmatika (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .

Apa, kamu tidak ingin menggambar?) Tentu saja! Lebih baik sesuai rumusnya ya..

3. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:sebuah 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini.

Dalam tugas ini, perkembangannya ditentukan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku keseratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diketahui barisan aritmatika (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan bilangan suku positif terkecil dari barisan tersebut.

5. Berdasarkan ketentuan tugas 4, tentukan jumlah suku positif terkecil dan suku negatif terbesar dari barisan tersebut.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas suatu barisan aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .

Bukan tugas yang termudah, ya...) Metode “ujung jari” tidak akan berfungsi di sini. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Apakah itu berhasil? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Diperlukan kehati-hatian saat membaca soal. Dan logika.

Pemecahan semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan unsur fantasi untuk yang keempat, dan poin halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan masalah apa pun yang melibatkan rumus suku ke-n - semuanya sudah tertulis. Saya merekomendasikannya.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Suku umum barisan tersebut adalah $u_n=n^2$. Mengganti $n=1$, kita mendapatkan:

$$u_1=1^2=1. $$

Ini adalah suku pertama barisan tersebut. Mengganti $n=2$ menjadi $u_n=n^2$, kita mendapatkan suku kedua dari barisan tersebut:

$$u_2=2^2=4. $$

Jika kita substitusikan $n=3$, kita peroleh suku ketiga barisan tersebut:

$$u_3=3^2=9. $$

Dengan cara yang sama kita mencari suku keempat, kelima, keenam dan suku-suku lain dari barisan tersebut. Beginilah cara kami mendapatkan nomor yang sesuai:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ltitik $$

Perlu juga diingat suku-suku barisan $u_n=n^3$. Berikut adalah beberapa anggota pertamanya:

\begin(persamaan)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(persamaan)

Selain itu, untuk membentuk suku umum suatu deret sering digunakan barisan $u_n=n!$, beberapa suku pertamanya adalah sebagai berikut:

\begin(persamaan)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(persamaan)

Merekam "n!" (baca "en faktorial") menunjukkan hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n, yaitu.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Menurut definisi, diasumsikan bahwa $0!=1!=1$. Misalnya, cari 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Perkembangan aritmatika dan geometri juga sering digunakan. Jika suku pertama suatu barisan aritmatika sama dengan $a_1$ dan selisihnya sama dengan $d$, maka anggota biasa barisan aritmatika ditulis dengan menggunakan rumus berikut:

\begin(persamaan)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(persamaan)

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika? tampilkan\sembunyikan

Perkembangan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya adalah tetap. Perbedaan konstan ini disebut perbedaan perkembangan

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ltitik $$

Harap dicatat bahwa pasangan elemen tetangga mana pun yang kita ambil, selisih antara anggota berikutnya dan sebelumnya akan selalu konstan dan sama dengan 7:

\begin(sejajar) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(sejajar)

Nomor ini, mis. 7, dan ada perbedaan perkembangan. Biasanya dilambangkan dengan huruf $d$, yaitu. $d=7$. Elemen pertama dari perkembangannya adalah $a_1=3$. Kami menulis suku umum perkembangan ini menggunakan rumus. Mengganti $a_1=3$ dan $d=7$ ke dalamnya, kita akan mendapatkan:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Agar lebih jelas, mari gunakan rumus $a_n=7n-4$ untuk mencari beberapa suku pertama barisan aritmatika:

\begin(sejajar) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(sejajar)

Dengan mensubstitusi nilai apa pun dari bilangan $n$ ke dalam rumus $a_n=7n-4$, Anda bisa mendapatkan anggota barisan aritmatika mana pun.

Perlu juga diperhatikan perkembangan geometrinya. Jika suku pertama barisan tersebut sama dengan $b_1$, dan penyebutnya sama dengan $q$, maka suku umum barisan geometri tersebut diberikan dengan rumus berikut:

\begin(persamaan)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(persamaan)

Apa yang terjadi perkembangan geometri? tampilkan\sembunyikan

Perkembangan geometri adalah suatu barisan bilangan yang hubungan antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya adalah tetap. Hubungan tetap ini disebut penyebut kemajuan. Misalnya, perhatikan urutan berikut:

$$6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ltitik $$

Harap dicatat bahwa tidak peduli pasangan elemen tetangga mana yang kita ambil, rasio elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya akan selalu konstan dan sama dengan 3:

\begin(sejajar) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(sejajar)

Nomor ini, mis. 3 adalah penyebut perkembangannya. Biasanya dilambangkan dengan huruf $q$, yaitu. $q=3$. Elemen pertama dari perkembangannya adalah $b_1=6$. Kami menulis suku umum perkembangan ini menggunakan rumus. Mengganti $b_1=6$ dan $q=3$ ke dalamnya, kita akan mendapatkan:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Agar lebih jelas, mari gunakan rumus $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ untuk mencari beberapa suku pertama barisan geometri:

\begin(sejajar) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(sejajar)

Dengan mensubstitusi nilai apa pun dari bilangan $n$ ke dalam rumus $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, Anda bisa mendapatkan suku apa pun dari barisan geometri tersebut.

Dalam semua contoh di bawah, kita akan menyatakan anggota deret dengan huruf $u_1$ (anggota pertama deret), $u_2$ (anggota deret kedua), dan seterusnya. Notasi $u_n$ akan menunjukkan suku umum deret tersebut.

Contoh No.1

Cari suku persekutuan dari deret $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Inti dari tugas tersebut adalah memperhatikan pola yang melekat pada anggota pertama rangkaian tersebut. Dan berdasarkan pola tersebut, ditariklah kesimpulan tentang jenis anggota biasa. Apa arti ungkapan "temukan istilah umum"? Artinya, kita perlu mencari ekspresi seperti itu, dengan mensubstitusikan $n=1$ ke dalam suku pertama deret tersebut, yaitu. $\frac(1)(7)$; Mengganti $n=2$ kita mendapatkan suku kedua dari deret tersebut, yaitu. $\frac(2)(9)$; Mengganti $n=3$ kita mendapatkan suku ketiga dari deret tersebut, yaitu $\frac(3)(11)$ dan seterusnya. Kita mengetahui empat suku pertama deret tersebut:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Mari bergerak secara bertahap. Semua anggota deret yang kita kenal adalah pecahan, jadi masuk akal untuk berasumsi bahwa anggota deret yang sama juga diwakili oleh pecahan:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Tugas kita adalah mencari tahu apa yang tersembunyi di bawah tanda tanya pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita lihat pembilangnya terlebih dahulu. Pembilang anggota deret yang kita kenal adalah bilangan 1, 2, 3 dan 4. Perhatikan bahwa banyaknya anggota deret tersebut sama dengan pembilangnya. Suku pertama mempunyai pembilang satu, suku kedua bernilai dua, suku ketiga bernilai tiga, dan suku keempat bernilai empat.

Masuk akal untuk berasumsi bahwa suku ke-n akan memiliki $n$ di pembilangnya:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Omong-omong, kita bisa sampai pada kesimpulan ini dengan cara lain, lebih formal. Berapakah barisan 1, 2, 3, 4? Perhatikan bahwa setiap anggota berikutnya dari barisan ini lebih besar 1 dari yang sebelumnya. Kita berurusan dengan empat suku suatu barisan aritmatika, suku pertama adalah $a_1=1$, dan selisihnya adalah $d=1$. Dengan menggunakan rumus tersebut, kita memperoleh ekspresi untuk suku umum perkembangan:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Jadi, menebak atau menghitung secara formal adalah soal selera. Hal utama adalah kami menuliskan pembilang suku umum deret tersebut. Mari beralih ke penyebutnya.

Pada penyebutnya kita mempunyai barisan 7, 9, 11, 13. Ini adalah empat suku suatu barisan aritmatika, suku pertamanya sama dengan $b_1=7$, dan selisihnya adalah $d=2$. Kami menemukan suku umum perkembangan menggunakan rumus:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Ekspresi yang dihasilkan, mis. $2n+5$, dan akan menjadi penyebut suku umum deret tersebut. Jadi:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Suku umum deret tersebut diperoleh. Mari kita periksa apakah rumus yang kita temukan $u_n=\frac(n)(2n+5)$ cocok untuk menghitung suku-suku deret yang sudah diketahui. Mari kita cari suku $u_1$, $u_2$, $u_3$ dan $u_4$ menggunakan rumus $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Hasilnya, tentu saja, harus sesuai dengan empat suku pertama dari deret yang diberikan kepada kita berdasarkan syarat.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Betul, hasilnya sama saja. Deret yang ditentukan dalam kondisi sekarang dapat ditulis dalam bentuk berikut: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Suku umum deret tersebut berbentuk $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ltitik $$

Bukankah serial seperti itu berhak untuk ada? Masih ada. Dan untuk seri ini kita bisa menulis itu

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Anda dapat menulis kelanjutan lainnya. Misalnya, ini:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ltitik $$

Dan kelanjutan seperti itu tidak bertentangan dengan apa pun. Dalam hal ini, kita dapat menulisnya

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Jika dua opsi pertama tampak terlalu formal bagi Anda, saya akan menyarankan opsi ketiga. Mari kita tuliskan istilah umumnya sebagai berikut:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Mari kita hitung empat suku pertama deret tersebut menggunakan rumus suku umum yang diusulkan:

\begin(sejajar) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(sejajar)

Seperti yang Anda lihat, rumus yang diusulkan untuk istilah umum cukup tepat. Dan Anda dapat menemukan variasi seperti itu dalam jumlah tak terbatas, jumlahnya tidak terbatas. DI DALAM contoh standar tentu saja digunakan ditetapkan standar urutan tertentu yang diketahui (perkembangan, pangkat, faktorial, dll.). Namun, dalam tugas seperti itu selalu ada ketidakpastian, dan disarankan untuk mengingat hal ini.

Dalam semua contoh berikutnya, ambiguitas ini tidak akan dijelaskan. Kami akan memutuskan menggunakan metode standar, yang diterima di sebagian besar buku soal.

Menjawab: suku umum deret tersebut: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Contoh No.2

Tuliskan suku umum deret tersebut $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Kita mengetahui lima suku pertama deret tersebut:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Semua suku deret yang kita ketahui adalah pecahan, artinya kita akan mencari suku persekutuan deret tersebut dalam bentuk pecahan:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Yuk segera perhatikan pembilangnya. Semua pembilangnya mengandung satuan, oleh karena itu pembilang suku umum deret tersebut juga akan mengandung satu, yaitu.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Sekarang mari kita lihat penyebutnya. Penyebut suku pertama deret yang kita ketahui mengandung hasil kali bilangan: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Bilangan pertama adalah: 1, 3, 5, 7, 9. Barisan ini mempunyai suku pertama $a_1=1$, dan suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menjumlahkan bilangan $d=2$. Dengan kata lain, berikut adalah lima suku pertama suatu barisan aritmatika, yang suku umumnya dapat ditulis dengan rumus:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

Pada hasil kali $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ bilangan kedua adalah: 5, 8, 11, 14, 17. Berikut adalah unsur barisan aritmatika yang suku pertamanya $b_1=5$ dan penyebutnya $d=3$. Kami menulis suku umum perkembangan ini menggunakan rumus yang sama:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Mari kita gabungkan hasilnya. Hasil kali penyebut suku persekutuan deret tersebut adalah: $(2n-1)(3n+2)$. Dan suku umum deretnya sendiri memiliki bentuk sebagai berikut:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Untuk memeriksa hasil yang diperoleh, mari kita gunakan rumus $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ untuk mencari empat suku pertama deret yang kita ketahui:

\begin(sejajar) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(sejajar)

Jadi, rumus $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ memungkinkan Anda menghitung suku-suku deret secara akurat, yang diketahui dari kondisi. Jika diinginkan seri yang diberikan dapat ditulis seperti ini:

$$ \jumlah\batas_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Menjawab: suku umum deret tersebut: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Kami akan melanjutkan topik ini di bagian kedua dan ketiga.

Banyak orang telah mendengar tentang perkembangan aritmatika, tetapi tidak semua orang memahaminya dengan baik. Pada artikel ini kami akan memberikan definisi yang sesuai, dan juga mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana mencari perbedaan suatu barisan aritmatika, dan memberikan sejumlah contoh.

Definisi matematika

Jadi jika yang sedang kita bicarakan tentang perkembangan aritmatika atau aljabar (konsep-konsep ini mendefinisikan hal yang sama), maka ini berarti ada beberapa seri angka, memuaskan hukum berikutnya: Setiap dua bilangan yang berdekatan dalam suatu deret berbeda dengan nilai yang sama. Secara matematis ditulis seperti ini:

Di sini n berarti banyaknya unsur a n dalam barisan, dan bilangan d adalah selisih barisan (namanya mengikuti rumus yang disajikan).

Apa artinya mengetahui perbedaannya? Tentang seberapa “jauh” nomor-nomor yang bertetangga satu sama lain. Namun, pengetahuan tentang d itu perlu, tapi tidak kondisi cukup untuk menentukan (mengembalikan) seluruh perkembangan. Anda perlu mengetahui satu bilangan lagi, yang dapat berupa elemen apa pun dari deret tersebut, misalnya 4, a10, tetapi biasanya mereka menggunakan bilangan pertama, yaitu 1.

Rumus untuk menentukan elemen perkembangan

Secara umum, informasi di atas sudah cukup untuk melanjutkan ke solusinya tugas-tugas tertentu. Namun demikian, sebelum barisan aritmatika diberikan dan perlu dicari perbedaannya, kami sajikan pasangannya formula yang berguna, sehingga memudahkan proses penyelesaian masalah selanjutnya.

Mudah untuk menunjukkan bahwa setiap elemen barisan dengan nomor n dapat ditemukan sebagai berikut:

sebuah = a 1 + (n - 1) * d

Memang benar, siapa pun dapat memeriksa rumus ini dengan penelusuran sederhana: jika Anda mensubstitusi n = 1, Anda mendapatkan elemen pertama, jika Anda mensubstitusi n = 2, maka ekspresi tersebut memberikan jumlah bilangan pertama dan selisihnya, dan seterusnya.

Kondisi banyak soal disusun sedemikian rupa sehingga, dengan adanya pasangan bilangan yang diketahui, yang bilangan-bilangannya juga diberikan dalam barisan, maka perlu untuk merekonstruksi seluruh rangkaian bilangan (temukan selisih dan elemen pertama). Sekarang kita akan menyelesaikan masalah ini secara umum.

Jadi, misalkan dua elemen berbilangan n dan m diberikan. Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat membuat sistem dua persamaan:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

am = a 1 + (m - 1) * d

Untuk mencari besaran yang tidak diketahui, kita menggunakan besaran yang diketahui trik sederhana solusi untuk sistem seperti itu: kurangi ruas kiri dan kanan secara berpasangan, persamaan akan tetap berlaku. Kami memiliki:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - am = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Jadi, kami telah mengecualikan satu yang tidak diketahui (a 1). Sekarang kita dapat menulis ekspresi akhir untuk menentukan d:

d = (an - am) / (n - m), dimana n > m

Kami sangat rumus sederhana: untuk menghitung selisih d sesuai dengan kondisi soal, Anda hanya perlu mengambil perbandingan selisih antara unsur-unsur itu sendiri dengan unsur-unsurnya nomor seri. Harus memperhatikan satu hal poin penting perhatian: diambil perbedaan antara anggota “senior” dan “junior”, yaitu n > m (“senior” artinya berdiri lebih jauh dari awal barisan, itu nilai absolut mungkin lebih besar atau lebih kecil dari elemen “junior”).

Ekspresi selisih d perkembangan harus disubstitusikan ke salah satu persamaan di awal penyelesaian masalah untuk mendapatkan nilai suku pertama.

Di zaman perkembangan kita teknologi komputer Banyak anak sekolah yang mencoba mencari solusi untuk tugasnya di Internet, sehingga pertanyaan seperti ini sering muncul: temukan perbedaan barisan aritmatika secara online. Untuk permintaan seperti itu, mesin pencari akan mengembalikan sejumlah halaman web, dengan membukanya Anda harus memasukkan data yang diketahui dari kondisi tersebut (ini bisa berupa dua suku perkembangan atau jumlah dari sejumlah suku tersebut. ) dan langsung menerima jawaban. Namun demikian, pendekatan pemecahan masalah ini tidak produktif dalam hal perkembangan dan pemahaman siswa tentang esensi tugas yang diberikan kepadanya.

Solusi tanpa menggunakan rumus

Mari kita selesaikan soal pertama tanpa menggunakan rumus apa pun yang diberikan. Misalkan unsur-unsur deret tersebut diberikan: a6 = 3, a9 = 18. Tentukan selisih barisan aritmatikanya.

Unsur-unsur yang diketahui berdiri berdekatan satu sama lain dalam satu baris. Berapa kali selisih d harus dijumlahkan dengan nilai terkecil untuk mendapatkan nilai terbesar? Tiga kali (pertama kali menambahkan d, kita mendapatkan elemen ke-7, kedua kalinya - kedelapan, terakhir, ketiga kalinya - kesembilan). Bilangan berapa yang harus dijumlahkan tiga kali sebanyak tiga kali untuk mendapatkan 18? Ini adalah nomor lima. Benar-benar:

Jadi, selisih yang tidak diketahui d = 5.

Tentu saja, solusinya dapat dicapai dengan menggunakan rumus yang sesuai, tapi ini tidak dilakukan dengan sengaja. Penjelasan rinci solusi untuk masalah harus menjadi jelas dan contoh cemerlang Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?

Tugas yang mirip dengan yang sebelumnya

Sekarang mari kita selesaikan masalah serupa, tetapi ubah data masukan. Jadi, carilah a3 = 2, a9 = 19.

Tentu saja, Anda dapat kembali menggunakan metode solusi “langsung”. Tetapi karena elemen-elemen deret tersebut diberikan yang jaraknya relatif jauh satu sama lain, metode ini tidak akan sepenuhnya nyaman. Namun menggunakan rumus yang dihasilkan akan segera mengarahkan kita pada jawabannya:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Di sini kita telah membulat nomor akhir. Sejauh mana pembulatan ini menyebabkan kesalahan dapat dinilai dengan memeriksa hasilnya:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Hasil ini hanya berbeda 0,1% dari nilai yang diberikan dalam kondisi. Oleh karena itu, pembulatan yang digunakan ke perseratus terdekat dapat dianggap sebagai pilihan yang berhasil.

Masalah yang melibatkan penerapan rumus untuk suatu suku

Mari kita pertimbangkan contoh klasik tugas menentukan yang belum diketahui d: mencari selisih barisan aritmatika jika a1 = 12, a5 = 40.

Ketika diberikan dua nomor yang tidak diketahui barisan aljabar, dan salah satunya adalah unsur a 1, maka tidak perlu berpikir panjang, melainkan harus segera menerapkan rumus anggota a n tersebut. Dalam hal ini kita memiliki:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Kami menerima angka pastinya saat membagi, jadi tidak ada gunanya memeriksa keakuratan hasil perhitungan, seperti yang dilakukan pada paragraf sebelumnya.

Mari kita selesaikan soal serupa lainnya: kita perlu mencari selisih barisan aritmatika jika a1 = 16, a8 = 37.

Kami menggunakan pendekatan yang mirip dengan yang sebelumnya dan mendapatkan:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang perkembangan aritmatika?

Selain masalah menemukan perbedaan yang tidak diketahui atau elemen individu, sering kali kita perlu menyelesaikan soal jumlah suku pertama suatu barisan. Pertimbangan tugas-tugas ini berada di luar cakupan artikel, namun demi kelengkapan informasi yang kami sajikan rumus umum untuk jumlah n bilangan dalam suatu deret:

∑ n saya = 1 (ai) = n * (a 1 + an) / 2