2.2.3. Metode untuk memperkenalkan variabel baru.
Alat yang ampuh untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah metode memasukkan variabel baru, atau “metode substitusi”. Metode ini biasanya digunakan ketika ekspresi tertentu yang bergantung pada besaran yang tidak diketahui muncul berulang kali dalam suatu persamaan. Maka masuk akal untuk menunjukkan ekspresi ini dengan beberapa huruf baru dan mencoba menyelesaikan persamaan terlebih dahulu sehubungan dengan hal yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan kemudian menemukan yang tidak diketahui aslinya. Dalam beberapa kasus, keberhasilan memperkenalkan hal-hal baru yang tidak diketahui terkadang memungkinkan diperolehnya solusi dengan lebih cepat dan mudah; terkadang tidak mungkin menyelesaikan masalah tanpa penggantian. ,
Contoh 7. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Dengan kata lain, kita memperoleh persamaan irasional yang jauh lebih sederhana. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan: .
;
;
;
Memeriksa nilai-nilai yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan menunjukkan bahwa itu adalah akar persamaan, dan merupakan akar asing.
Kembali ke variabel awal x, kita memperoleh persamaannya, yaitu persamaan kuadrat 
, penyelesaiannya kita menemukan dua akar: ,. Kedua akar, seperti yang ditunjukkan oleh verifikasi, memenuhi persamaan awal.
Penggantian sangat berguna jika kualitas baru tercapai sebagai hasilnya, misalnya persamaan irasional berubah menjadi persamaan kuadrat.
Contoh 8. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya seperti ini: .
Dapat dilihat jika kita memperkenalkan variabel baru 
, maka persamaannya berbentuk 
, Di mana , .
Sekarang masalahnya adalah menyelesaikan persamaan tersebut 
dan persamaan 
. Solusi pertama tidak ada, tetapi dari solusi kedua kita memperoleh , . Kedua akar, seperti yang ditunjukkan oleh verifikasi, memenuhi persamaan aslinya.
Perhatikan bahwa penerapan metode “isolasi radikal” dalam Contoh 8 dan pengkuadratan yang “tanpa pemikiran” akan menghasilkan persamaan derajat keempat, yang penyelesaiannya, dalam kasus umum, merupakan masalah yang sangat sulit.
Contoh 9. Selesaikan persamaannya 
.
Mari kita perkenalkan variabel baru
Akibatnya, persamaan irasional aslinya berbentuk kuadrat
,
dari mana, dengan mempertimbangkan batasannya, kami memperoleh . Memecahkan persamaan, kita mendapatkan akarnya. Seperti yang ditunjukkan oleh pemeriksaan, persamaan tersebut memenuhi persamaan awal.
Kadang-kadang, melalui substitusi tertentu, persamaan irasional dapat diubah menjadi bentuk rasional, seperti yang dibahas dalam Contoh 8, 9. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa substitusi ini merasionalkan persamaan irasional yang sedang dipertimbangkan, dan mereka menyebutnya Berbasis rasionalisasi pada penggunaan substitusi rasionalisasi disebut metode rasionalisasi.
Metode penyelesaian persamaan irasional ini tidak perlu didiskusikan dengan semua siswa dalam pembelajaran, tetapi dapat dianggap sebagai bagian dari kelas matematika pilihan atau klub dengan siswa yang menunjukkan peningkatan minat terhadap matematika.
Berdasarkan pengetahuan tentang hubungan antara hasil dan komponen operasi aritmatika (yaitu pengetahuan tentang cara mencari komponen yang tidak diketahui). Persyaratan program ini menentukan metodologi untuk mengerjakan persamaan. 2. Metodologi mempelajari pertidaksamaan di sekolah menengah 2.1 Isi dan peranan garis persamaan dan pertidaksamaan dalam mata pelajaran matematika sekolah modern Karena pentingnya dan luasnya materi, ...
Ke tingkat penguasaan konten matematika sekolah yang baru secara kualitatif. Bab II. Prinsip metodologis dan pedagogis penggunaan kerja mandiri sebagai sarana pengajaran pemecahan persamaan di kelas 5 - 9. § 1. Organisasi kerja mandiri dalam pengajaran pemecahan persamaan di kelas 5 - 9. Dalam cara mengajar tradisional, guru sering kali menempatkan siswa pada posisi objek...
Kita dapat menyimpulkan bahwa cakupan masalah yang diteliti dalam literatur metodologi modern kurang memadai. Objek penelitian kerja: proses pengajaran matematika. Pokok Bahasan: mengembangkan kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat pada siswa kelas VIII. Kontingen: siswa kelas 8. Bab 1. Aspek Teoritis Pembelajaran Menyelesaikan Persamaan di Kelas 8 1.1. Dari sejarah munculnya persegi...
Oleh karena itu, argumen numerik dengan pendekatan ini terdapat redundansi tertentu dalam pembentukan fungsi sebagai konsep umum. 2. Arahan utama pengenalan konsep fungsi dalam mata kuliah matematika sekolah. Dalam mata kuliah matematika sekolah modern, pendekatan unggulan adalah pendekatan genetik dengan penambahan unsur logika. Pembentukan konsep dan gagasan, metode dan teknik sebagai bagian dari...
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Persamaan yang berbentuk ax4 + bx2 + c = 0 disebut persamaan bikuadrat. Benar-benar semua persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan memasukkan variabel baru dan kemudian menyelesaikan persamaannya. Kemudian substitusi terbalik dilakukan dan x yang diperlukan ditemukan.
Mari kita lihat bagaimana menerapkan metode ini untuk menyelesaikan persamaan rasional.
Persamaannya diberikan: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Larutan
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, perlu dimasukkan variabel baru yang berbentuk y = x2. Persamaan berikut juga benar: x4 = (x2)2 = y2. Kita tulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut: y2 - 4y + 4 =0. Ini adalah persamaan kuadrat biasa, penyelesaiannya Anda akan mendapatkan akar-akar y1 = y2 = 2. Karena y = x2, maka penyelesaian soal ini direduksi menjadi penyelesaian persamaan lain, yaitu: x2 = 2. Kita cari jawabannya: +- √2.
Dalam situasi ini, cara memasukkan suatu variabel “sesuai dengan keadaan”, yaitu terlihat jelas ekspresi mana yang harus diganti dengan variabel baru, namun hal ini tidak selalu terjadi. Pada dasarnya suatu ekspresi yang dapat diganti hanya muncul melalui proses transformasi dan penyederhanaan ekspresi aslinya. Anda dapat menonton contoh serupa di video tutorial.
Sifat-sifat fungsi y = k/x, untuk k >0
Dalam video tutorial Anda akan mengenal sifat-sifat dasar hiperbola berdasarkan model geometrinya.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - domain definisi fungsi terdiri dari semua bilangan kecuali 0.
2. Untuk x > 0 => y > 0, dan untuk x< 0 =>kamu< 0.
3. Untuk k > 0, fungsinya mengecil pada sinar terbuka (-∞;0) dan pada sinar terbuka (0; ∞).
4. Fungsi y = k/x tidak mempunyai batasan atas dan bawah.
5. Fungsi y = k/x tidak memiliki nilai maksimum dan minimum.
6. Kontinu pada interval (-∞;0) dan (0; ∞), mengalami diskontinuitas di x = 0.
Pelajaran tentang topik: Memecahkan persamaan
Disusun oleh: Vera Viktorovna Volkova - guru matematika
Topik pelajaran: Menyelesaikan persamaan dengan memasukkan variabel baru.
Tujuan pelajaran:1. Perkenalkan siswa pada metode baru dalam menyelesaikan persamaan;
2. Memperkuat keterampilan menyelesaikan persamaan kuadrat dan memilih metode penyelesaiannya;
3. Melakukan konsolidasi awal terhadap topik baru;
4. Mengembangkan kemampuan mempertahankan sudut pandang dan melakukan dialog yang masuk akal dengan teman sekelas;
Kembangkan perhatian, ingatan dan pemikiran logis, keterampilan observasi
Menanamkan keterampilan komunikasi dan budaya komunikasi
Menanamkan keterampilan kerja mandiri
Kemajuan pelajaran
1. Momen pengorganisasian
Komunikasi topik pelajaran dan penetapan tujuan.
2. Pengulangan
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai cara dan persamaan. Yang bisa direduksi menjadi persegi.
Persamaan manakah yang disebut kuadrat?
Cara apa yang Anda ketahui untuk menyelesaikannya?
Persamaan apa yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat?
a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20
b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2
c) x 2 + x + 9 = 3x-7,
G) x+1 + x = 2,5
Xx+1
D) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?
3. Mempelajari materi baru.
Sekarang kita akan bekerja dalam kelompok (mengingatkan tentang tata cara kerja dan tata tertib saat bekerja dalam kelompok). Tugas Anda adalah menyelesaikan persamaan yang diusulkan (kartu dengan tugas dibagikan, poster digantung di papan tulis).
A) x+1 + x = 2,5
Xx+1
B) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10
Guru mengamati kemajuan pekerjaan dan memilih bentuk untuk memeriksa persamaan pertama:
Secara lisan atau di papan tulis tergantung pada keberhasilan kelas.
Mari kita periksa apa yang Anda punya.
Persamaan pertama direduksi menjadi persamaan kuadrat x 2 + x -2 = 0.
Penyelesaiannya adalah bilangan -2 dan 1.
Sekarang mari kita lanjutkan menyelesaikan persamaan kedua. Semua kelompok mendapatkan persamaan derajat keempat, yang Anda tidak tahu cara menyelesaikannya.
Mari kita coba mencari tahu dengannya.
Seperti menyelesaikan masalah apa pun, menyelesaikan persamaan terdiri dari beberapa tahap:
- Analisis Persamaan
- Menyusun rencana solusi.
- Implementasi rencana ini.
- Memeriksa solusinya.
- Analisis metode solusi, sistematisasi pengalaman.
- - Bagaimana persamaan biasanya dianalisis?
Pertama-tama, kita jawab pertanyaannya, pernahkah kita menemukan persamaan jenis ini sebelumnya?
Ya, benar, ini adalah persamaan rasional pecahan.
Anda dapat mencoba menyelesaikan persamaan “sulit” ini, atau Anda dapat kembali ke persamaan tersebut
persamaan asli dan menganalisisnya lagi.
Untuk melakukan ini:
- Mari kita soroti beberapa elemen persamaan,
- Mari kita tentukan sifat umumnya,
- Mari kita pelajari hubungan antara berbagai elemen persamaan,
- Mari gunakan informasi ini.
Mari bekerja selama 5 menit dalam kelompok sesuai rencana ini.
Sebagian besar mengidentifikasi unsur yang termasuk dalam pembilang dan penyebut pecahan dalam persamaan. Untuk mempermudah persamaannya, mari kita ganti ekspresi ini dengan satu huruf, misalnya Z:
X 2 + 2x = Z
Z +2 + Z +3 = 9
Z +5 Z +6 10
Ini dapat dianggap sebagai persamaan baru untuk Z baru yang tidak diketahui. Di dalamnya, variabel x tidak ada secara eksplisit.
Mereka mengatakan bahwa suatu variabel telah diganti.
Apakah penggantian seperti itu disarankan? Untuk menjawab pertanyaan ini cukup dengan mengetahui:
Apakah mungkin menyelesaikan persamaan baru dan menemukan nilai Z,
Apakah mungkin menggunakan Z untuk mencari nilai variabel x untuk persamaan aslinya.
Cobalah, bekerja dalam kelompok, untuk menjawab pertanyaan bagian pertama.
Guru mengamati kemajuan pekerjaan. Kemudian hasil pencarian nilai variabel Z diperiksa.
Jadi, kita menemukan nilai variabel Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11
Tapi kami tertarik pada semua nilai variabel x yang memenuhi persamaan awal. Mari temukan nilai-nilai ini. Hubungan antara akar-akar persamaan awal dan persamaan baru terdapat pada rumus x 2 + 2x = Z. Kita telah menemukan nilai variabel Z. Oleh karena itu, setiap akar persamaan rasional pecahan asli adalah akar dari salah satu persamaan: x 2 + 2x =Z 1 atau x 2 + 2x =Z 2
Selesaikan sendiri persamaan ini menggunakan opsi.
Mari kita periksa hasilnya: persamaan pertama mempunyai akar x 1 = 0, x 2 = -2, dan persamaan kedua tidak mempunyai akar.
Yang tersisa hanyalah memeriksa hasil persamaan awal dan menuliskan jawabannya.
Menjawab: x 1 =0, x 2 = -2.
Jadi, kami menyelesaikan persamaan awal dengan metode baru yang disebut dengan memperkenalkan variabel baru.
Buat algoritma untuk menyelesaikan persamaan kita dengan memperkenalkan variabel baru.(bekerja dalam kelompok)
- Pilih ekspresi x 2 + 2x;
- Kami menyatakan ekspresi ini dengan satu huruf x 2 + 2x =Z;
- Kami melakukan substitusi dan mendapatkan persamaan baru;
- Kami menguranginya menjadi persegi dan menyelesaikannya;
- Dengan menggunakan nilai variabel Z, kita mencari nilai variabel x;
- Kami memeriksa hasil yang diperoleh dan menuliskan jawabannya.
3. Amankan bahannya.
Apakah menurut Anda perubahan variabel yang berbeda dapat dilakukan? (Misalnya, x 2 + 2x
2 = Z atau x 2 + 2x +6 = Z.) Bagaimana bentuk persamaan barunya? Bagaimana cara mengatasinya? Bisakah persamaan rumah pertama diselesaikan dengan memasukkan variabel baru? Ekspresi manakah yang dapat diganti dengan variabel baru? Apa persamaannya? Bagaimana cara mengatasinya? Berapa nilai variabel Z? Berapa nilai variabel x?
4. Menyimpulkan.
- Apa yang kita pelajari di kelas hari ini?
- Cara baru apa untuk menyelesaikan persamaan yang telah Anda pelajari?
- Apa metode untuk memperkenalkan variabel baru?
- Apa algoritma untuk metode ini?
- Apakah metode ini terasa sulit atau tidak nyaman bagi Anda?
- Bisakah ini diterapkan pada semua persamaan?
5.Pekerjaan rumah.
- Tuliskan dan pelajari algoritma penerapan metode pengenalan variabel baru;
- Selesaikan dengan menggunakan metode ini No. 2.43 (1; 2) GIA hal.117.
Anda diperkenalkan dengan metode memasukkan variabel baru saat menyelesaikan persamaan rasional dengan satu variabel pada mata pelajaran aljabar kelas 8. Inti dari metode penyelesaian sistem persamaan ini adalah sama, namun dari segi teknis ada beberapa ciri yang akan kita bahas pada contoh berikut.
Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan
Larutan. Mari kita perkenalkan variabel baru. Kemudian persamaan pertama sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: 
Mari selesaikan persamaan berikut untuk variabel t:
Kedua nilai ini memenuhi syarat dan oleh karena itu merupakan akar persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti ketika kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil “mengelompokan” persamaan pertama sistem, yang tampilannya cukup rumit, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:
x = 2 tahun; kamu - 2x.
Apa selanjutnya? Kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya adalah menyelesaikan dua sistem persamaan:
Kita perlu mencari solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan ke dalam jawabannya. Mari selesaikan sistem persamaan pertama:
Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: mari kita substitusikan ekspresi 2y sebagai pengganti x ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti
Karena x = 2y, kita masing-masing mencari x 1 = 2, x 2 = 2. Jadi, diperoleh dua solusi dari sistem yang diberikan: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:
Mari kita gunakan metode substitusi lagi: substitusikan ekspresi 2x sebagai pengganti y ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti
Persamaan ini tidak mempunyai akar, artinya sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang perlu disertakan dalam jawabannya.
Jawaban: (2; 1); (-2;-1).
Metode memasukkan variabel baru ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru dimasukkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Hal ini akan terjadi pada contoh 4.
Contoh 4. Memecahkan sistem persamaan
