Vektor yang diperlukan 
Jika , maka sistem (1) disebut berkondisi buruk. Dalam hal ini, kesalahan dalam koefisien matriks dan sisi kanan atau kesalahan pembulatan dalam perhitungan dapat sangat mendistorsi solusi.
Saat menyelesaikan banyak masalah, ruas kanan sistem (1) dan koefisien matriks A diketahui kira-kira. Dalam hal ini, selain sistem persisnya (1), kami memiliki sistem lain
seperti yang
Kita asumsikan besaran dan d diketahui.
Karena selain sistem (1) kita mempunyai sistem (2), kita hanya dapat menemukan solusi perkiraan untuk sistem (1). Metode untuk membangun solusi perkiraan sistem (1) harus stabil terhadap perubahan kecil pada data awal.
Solusi semu dari sistem (1) adalah vektor yang meminimalkan selisih seluruh ruang.
Misalkan x 1 adalah suatu vektor tetap dari , biasanya ditentukan oleh rumusan masalah.
Solusi sistem (1) normal terhadap vektor x 1 adalah solusi semu x 0 dengan norma minimum, yaitu
dimana F adalah himpunan semua solusi semu dari sistem (1).
Lebih-lebih lagi 
dimana ¾ adalah komponen vektor x.
Untuk sistem apa pun tipe (1), solusi normal ada dan unik. Masalah dalam menemukan solusi normal terhadap sistem yang kondisinya buruk (1) adalah masalah yang tidak masuk akal.
Untuk mencari perkiraan solusi normal sistem (1), kita menggunakan metode regularisasi.
Menurut metode ini, kami membangun fungsi penghalusan formulir
dan temukan vektor yang meminimalkan fungsi ini. Selain itu, parameter regularisasi a ditentukan secara unik dari kondisi
Di mana 
.
Sistem yang mengalami kemunduran dan sistem yang kondisinya buruk mungkin tidak dapat dibedakan dalam akurasi tertentu. Namun jika terdapat informasi tentang solvabilitas sistem (1), maka kondisi berikut harus digunakan sebagai pengganti kondisi (5):
Komponen 
vektor merupakan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang diperoleh dari kondisi minimum fungsional (4)
dan sepertinya
dimana E adalah matriks identitas,
¾Matriks konjugat Hermitian.
Dalam prakteknya, pemilihan vektor memerlukan pertimbangan tambahan. Jika tidak ada, asumsikan =0.
Untuk =0, kita tulis sistem (7) dalam bentuk
Di mana 
Vektor yang ditemukan akan menjadi perkiraan solusi normal sistem (1).
Mari kita fokus memilih parameter a. Jika a=0, maka sistem (7) berubah menjadi sistem berkondisi buruk. Jika a besar, maka sistem (7) akan terkondisi baik, namun solusi yang terregulasi tidak akan mendekati solusi yang diinginkan untuk sistem (1). Oleh karena itu, ukuran yang terlalu besar atau terlalu kecil tidak cocok.
Biasanya dalam prakteknya perhitungan dilakukan dengan sejumlah nilai parameter a. Misalnya,
Untuk setiap nilai a, carilah elemen yang meminimalkan fungsi (4). Nilai yang diinginkan dari parameter regularisasi diambil sebagai angka a yang persamaan (5) atau (6) dipenuhi dengan akurasi yang diperlukan.
AKU AKU AKU. LATIHAN
1. Bangunlah sistem persamaan aljabar linier yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui, dengan determinan yang nilainya orde 10 -6.
2. Bangunlah sistem kedua, mirip dengan sistem pertama, tetapi mempunyai suku bebas lain yang berbeda dengan suku bebas sistem pertama sebesar 0,00006.
3. Selesaikan sistem yang dibangun menggunakan metode regularisasi (dengan asumsi =0 dan d=10 -4) dan beberapa metode lain (misalnya metode Gaussian).
4. Bandingkan hasil yang diperoleh dan menarik kesimpulan tentang penerapan metode yang digunakan.
IV. FORMULASI LAPORAN
Laporan harus menyajikan:
1. Judul karya.
2. Pernyataan masalah.
3. Deskripsi algoritma solusi (metode).
4. Teks program beserta deskripsinya.
5. Hasil program.
DAFTAR BIBLIOGRAFI
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metode untuk memecahkan masalah yang tidak disengaja. - M.: Nauka, 1979.286 hal.
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Metode numerik. - M. : BINOM. Laboratorium Pengetahuan, 2007 636 hal.
Pekerjaan laboratorium No.23
Salinan
1 6. SLAE yang terdegenerasi dan terkondisi buruk 1 6. SLAE yang terdegenerasi dan terkondisi buruk Sekarang mari kita perhatikan dua jenis SLAE (27) dengan matriks persegi A berukuran MxM: sistem terdegenerasi (dengan determinan nol A =0); sistem berkondisi buruk (determinan A tidak sama dengan nol, tetapi bilangan kondisinya sangat besar). Terlepas dari kenyataan bahwa jenis sistem persamaan ini berbeda secara signifikan satu sama lain (untuk yang pertama tidak ada solusi, dan untuk yang kedua hanya ada satu), dari sudut pandang praktis komputer, ada banyak kesamaan antara keduanya. mereka. Sistem yang mengalami degenerasi adalah sistem yang dijelaskan oleh matriks dengan determinan nol A =0 (matriks tunggal). Karena beberapa persamaan yang termasuk dalam sistem seperti itu diwakili oleh kombinasi linier dari persamaan lain, maka sebenarnya sistem itu sendiri tidak dapat ditentukan. Sangat mudah untuk menyadari bahwa, bergantung pada tipe spesifik dari vektor ruas kanan b, terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga atau tidak ada sama sekali. Mari kita perhatikan kasus pertama, ketika SLAE A x=b dengan matriks persegi tunggal A tidak mempunyai solusi tunggal. Opsi ini bermuara pada membangun solusi semu normal (yaitu, memilih dari himpunan solusi tak terbatas solusi yang paling dekat dengan vektor tertentu, misalnya nol). Mari kita beri contoh masalah seperti itu (untuk sistem dua persamaan) A= , b= (37) SLAE (37) diilustrasikan pada Gambar. 19, yang menunjukkan bahwa dua persamaan yang mendefinisikan sistem menentukan dua garis sejajar pada bidang (x 1, x 2). Garis tidak berpotongan di titik mana pun
2 2 6. SLAE yang mengalami degenerasi dan kondisi buruk pada satu titik pada bidang koordinat, dan oleh karena itu, tidak ada solusi untuk sistem tersebut. Perhatikan bahwa SLAE, yang didefinisikan oleh matriks persegi nonsingular berukuran 2x2, mendefinisikan sepasang garis yang berpotongan pada bidang tersebut (lihat gambar di bawah). Perlu juga dikatakan bahwa jika sistemnya konsisten, maka representasi geometri persamaannya akan berupa dua garis berhimpitan yang menggambarkan solusi dalam jumlah tak terhingga. Beras. 19. Representasi grafis dari SLAE yang tidak kompatibel Gambar. 20. Grafik penampang sisa f(x)= A x b bergantung pada x 1 Mudah untuk menebak bahwa dalam kasus tunggal yang dipertimbangkan akan terdapat banyak sekali solusi semu sistem (37) yang meminimalkan sisa A x b, dan mereka akan terletak pada garis lurus ketiga yang sejajar dengan dua yang ditunjukkan pada Gambar. 19 dan terletak di tengah-tengah di antara keduanya. Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 20, yang menunjukkan beberapa bagian dari fungsi sisa f(x) = A x b, yang menunjukkan adanya keluarga minimum dengan kedalaman yang sama. Untuk menentukan suatu solusi yang unik, seseorang harus memilih dari seluruh rangkaian solusi semu yang dimilikinya
3 6. SLAE yang merosot dan terkondisi buruk 3 dengan norma terkecil. Jadi, dalam kasus tunggal, untuk mendapatkan solusi khusus, perlu menyelesaikan masalah minimalisasi multidimensi secara numerik. Namun, seperti yang akan kita lihat nanti, cara yang lebih efisien adalah dengan menggunakan regularisasi atau dekomposisi matriks ortogonal (lihat 7 dan 10). Sekarang mari kita beralih ke sistem yang terkondisi buruk, yaitu. SLAE dengan matriks A yang determinannya tidak sama dengan nol, tetapi syarat bilangan A -1 A besar. Terlepas dari kenyataan bahwa sistem yang terkondisi buruk mempunyai solusi unik, dalam praktiknya seringkali tidak masuk akal untuk mencari solusi ini. Mari kita pertimbangkan sifat-sifat SLAE berkondisi buruk menggunakan dua contoh spesifik dari SLAE berkondisi buruk yang sangat dekat dengan sisi kanan yang sama b dan matriks A dan B yang sedikit berbeda: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Meskipun sistem-sistem tersebut berdekatan, namun solusi eksaknya ternyata sangat berjauhan satu sama lain, yaitu: y A = , y B = (39) Jika kita mengingat adanya derau, mis. tentang kesalahan yang selalu ada dalam data masukan, menjadi jelas bahwa menyelesaikan sistem yang tidak berkondisi dengan menggunakan metode standar sama sekali tidak masuk akal. Ingatlah bahwa masalah yang kesalahan modelnya kecil (matriks A dan vektor b) menyebabkan kesalahan solusi yang besar disebut salah. Dengan demikian, SLAE yang tidak terkondisikan dengan baik adalah contoh khas dari masalah yang tidak terkondisikan. Selain itu, perlu dicatat bahwa untuk sistem dua persamaan, mudah untuk mendapatkan solusi eksak, tetapi ketika menyelesaikan SLAE berdimensi tinggi (termasuk dengan algoritma “eksak”
4 4 6. Gaussian SLAE yang mengalami degenerasi dan tidak terkondisi) bahkan kesalahan pembulatan kecil yang pasti terakumulasi selama penghitungan akan menyebabkan kesalahan besar pada hasil. Timbul pertanyaan: apakah masuk akal untuk mencari solusi numerik jika diketahui sebelumnya bahwa, karena ketidakstabilan masalah itu sendiri, solusi tersebut mungkin sepenuhnya salah? Untuk lebih memahami alasan kesalahan tersebut, ada baiknya untuk membandingkan interpretasi grafis dari sistem dua persamaan yang terkondisi baik (Gbr. 21) dan buruk (Gbr. 22). Penyelesaian sistem divisualisasikan dengan titik potong dua garis lurus yang mewakili masing-masing persamaan. Beras. 21. Grafik SLAE terkondisi baik Gambar. 22. Grafik SLAE yang dikondisikan buruk Dari Gambar. 22 terlihat bahwa garis lurus yang bersesuaian dengan SLAE berkondisi buruk terletak berdekatan satu sama lain (hampir sejajar). Dalam hal ini, kesalahan kecil pada lokasi masing-masing garis dapat menyebabkan kesalahan yang signifikan dalam melokalisasi titik perpotongannya (solusi SLAE), dibandingkan dengan kasus sistem yang terkondisi baik, ketika kesalahan kecil dalam kemiringan garis mempunyai pengaruh yang kecil terhadap lokasi titik perpotongannya (Gbr. 21) .
5 6. SLAE yang mengalami degenerasi dan kondisi buruk 5 Perhatikan bahwa matriks kondisi buruk juga umum terjadi ketika merekonstruksi data eksperimen yang diberikan oleh SLAE yang ditentukan secara berlebihan (tidak kompatibel) (misalnya, dalam masalah tomografi). Untuk mengatasi permasalahan yang tidak diinginkan, khususnya SLAE yang mengalami degenerasi dan kondisi buruk, sebuah metode yang sangat efektif yang disebut regularisasi telah dikembangkan. Hal ini didasarkan pada pertimbangan informasi apriori tambahan tentang struktur solusi, yang sering kali tersedia dalam kasus-kasus praktis.
10. Dekomposisi QR dan SVD: SLAE “buruk” 1 10. Dekomposisi QR dan SVD: SLAE “buruk” Di antara dekomposisi matriks, peran khusus dimainkan oleh dekomposisi ortogonal, yang memiliki sifat mempertahankan norma vektor. Izinkan kami mengingatkan Anda
7. Regularisasi 1 7. Regularisasi Untuk menyelesaikan permasalahan yang tidak tepat, ahli matematika Soviet Tikhonov mengusulkan metode sederhana namun sangat efektif yang disebut regularisasi dan didasarkan pada keterlibatan
Contoh: menimbang 1 Contoh: menimbang Mari kita berikan interpretasi yang lebih sederhana dari masalah invers yang terkait dengan pemrosesan hasil percobaan, misalnya menimbang dua jenis benda
Topik Metode numerik aljabar linier - - Topik Metode numerik aljabar linier Klasifikasi Ada empat bagian utama aljabar linier: Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAEs)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU dinamai Ktynystanov TENTANG PERKIRAAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR BERKONDISI SAKIT Artikel ini menyajikan algoritma untuk dua metode untuk menyelesaikan masalah buruk
Lokakarya komputasi khusus dengan penelitian ilmiah Nikolai Matveevich Andrushevsky, Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Negeri Moskow Abstrak Lokakarya ini didasarkan pada studi rinci tentang metode dekomposisi nilai tunggal matriks dan penerapannya
Sistem persamaan linier yang ditentukan secara berlebihan Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander SLAE yang ditentukan secara berlebihan SLAE yang ditentukan secara berlebihan Pertimbangkan SLAE Ax = b, tetapi jika terdapat lebih banyak persamaan,
Sistem persamaan aljabar linier Konsep dasar Sistem persamaan aljabar linier (SLAE) adalah sistem yang berbentuk a a a, a a a, a a a Dapat direpresentasikan sebagai persamaan matriks
Ujian Ne LA untuk sarjana ekonomi tahun ajaran 04-0, Temukan vektor Ne (6 4; 6 8) dan Ne DEMO pilihan 0 (x; y) (yang Ne dan x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Persamaan garis dalam ruang 1 Garis adalah perpotongan dua bidang. Sistem dua persamaan linear dengan tiga hal yang tidak diketahui. Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai perpotongan dua bidang. Membiarkan
KULIAH 6 TUGAS SPEKRAL. Metode penurunan Dalam kuliah terakhir, metode iteratif tipe variasional dibahas. Untuk sistem Au = f, dimana A = A, fungsi Φ(u, u) diperkenalkan
11. Reduksi Linier 1 11. Reduksi Linier Mari kita selesaikan pembahasan kita tentang permasalahan invers linier dengan menyajikan pendekatan lain yang disebut reduksi. Pada dasarnya, ini sangat dekat dengan regularisasi (dalam beberapa hal
01 1. Carilah penyelesaian umum dan dasar sistem persamaan: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pilih x dan x sebagai variabel dasar. Jawaban: Jika kita memilih sebagai variabel dasar
Demo 01 1. Carilah solusi umum dan dasar sistem persamaan: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pilih x dan x sebagai variabel dasar. 2. Temukan dasar dari sistem tersebut
Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai NE Bauman Fakultas Ilmu Dasar Departemen Pemodelan Matematika ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., Kandidat Ilmu Sosiologi, Associate Professor, Associate Professor Departemen Sistem Informasi Rusia, Belgorod Kichigina A.K. Mahasiswa tahun ke-4, Institut Teknologi Teknik dan Ilmu Pengetahuan Alam
6 Metode perkiraan fungsi. Perkiraan terbaik. Metode perkiraan yang dibahas dalam bab terakhir mensyaratkan bahwa node fungsi grid benar-benar termasuk dalam interpolant yang dihasilkan. Jika Anda tidak menuntut
UNSUR-UNSUR KLASIFIKASI ALJABAR LINEAR MATRIKS DAN OPERASINYA Mendefinisikan matriks Klasifikasi matriks berdasarkan ukurannya Apa yang dimaksud dengan matriks nol dan matriks identitas? Dalam kondisi apa matriks dianggap sama?
) Konsep SLAE) Aturan Cramer untuk menyelesaikan SLAE) Metode Gaussian 4) Pangkat matriks, teorema Kronecker-Capelli 5) Menyelesaikan SLAE dengan inversi matriks, konsep pengkondisian matriks) Konsep SLAE O. Sistem SLAE
Perhitungan paralel dalam tomografi Metode aljabar tomografi komputasi. Masalah tomografi komputasi dalam bentuk diskrit Masalah tomografi komputasi dalam bentuk diskrit. Sebaliknya
KULIAH 2 SOLUSI NUMERIK SLAE Sebagai aturan, ketika menyelesaikan sebagian besar masalah praktis, masalah penyelesaian sistem persamaan aljabar linier (SLAE) muncul dalam bentuk beberapa subtugas tambahan.
Contoh soal dasar metode LA Gaussian Sistem persamaan linear tertentu Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gaussian x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gaussian 6
Pengertian Riset Operasi Operasi adalah suatu peristiwa yang bertujuan untuk mencapai suatu tujuan tertentu, sehingga memungkinkan terjadinya beberapa kemungkinan dan pengelolaannya. Pengertian Riset Operasi adalah sekumpulan rumus matematika
Kuliah 3. 3. Metode Newton (garis singgung. Mari kita buat beberapa perkiraan awal [,b] dan linierkan fungsi f(di lingkungan tersebut menggunakan segmen dari deret Taylor f(= f(+ f "((-. (5 Sebagai ganti persamaan (kami menyelesaikannya
Persamaan garis dan bidang Persamaan garis pada bidang.. Persamaan umum suatu garis. Tanda paralelisme dan tegak lurus garis. Dalam koordinat Kartesius, setiap garis lurus pada bidang Oxy terdefinisi
Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai N.E. Departemen Pemodelan Matematika Fakultas Ilmu Dasar Bauman A.N. Kasikov,
Contoh penyelesaian tugas ujian pembelajaran jarak jauh Makalah ujian 1 (CR-1) Topik 1. Aljabar linier Tugas 1 Perlu diselesaikan sistem persamaan yang disajikan dalam tugas dalam bentuk Parameter konstan
Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai demikian. NE. Modul Geometri Analitik Matematika Tinggi Jurusan Ilmu Dasar Fakultas Bauman 1. Aljabar Matriks. Kuliah aljabar vektor
Tiket. Matriks, tindakannya.. Persamaan parabola dalam sistem koordinat kanonik. Tiket. Sifat-sifat operasi matriks. Posisi relatif suatu garis dan bidang. Sudut antara keduanya, kondisi paralelisme
3 DAFTAR ISI 1. Maksud dan tujuan disiplin 4. Tempat disiplin dalam struktur BOP 4 3. Struktur dan isi disiplin 5 3.1. Struktur disiplin 5 3.. Isi disiplin 6 4. Daftar materi pendidikan dan metodologi
PELAJARAN PRAKTIS Pelajaran KONDISI YANG DIPERLUKAN DAN CUKUP UNTUK EKSTREMUM TAK BERSYARAT Pernyataan masalah Diberikan fungsi terdiferensiasi kontinu dua kali f(), yang didefinisikan pada himpunan X R Diperlukan untuk menyelidiki
Penyelesaian permasalahan aljabar semester II D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Ruang vektor linier Soal 1. Apakah vektor-vektor di R4 bergantung linier? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Lembaga Anggaran Pendidikan Negara Federal Pendidikan Profesional Tinggi "Universitas Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia" (Universitas Keuangan) DEPARTEMEN "MATEMATIKA"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Tunjukkan bahwa vektor;;) ;;) ; ;) membentuk basis vektor dan tuliskan kombinasi linier dari vektor tersebut Jika;;) pada vektor-vektor tersebut carilah X dari persamaan Tunjukkan bahwa vektor tersebut;)
Teorema Kronecker-Capelli. Menyelesaikan SLAE menggunakan metode Gaussian. Peringkat matriks. Perhatikan matriks persegi panjang dengan m baris dan kolom: A. m m m Mari kita pilih baris dan kolom sembarang dalam matriks ini. Elemen
Sistem persamaan linear dua variabel Sistem persamaan yang bentuknya disebut sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan dua variabel adalah sepasang nilai
Kuliah ALJABAR LINEAR Garis dan bidang dalam ruang Isi : Persamaan bidang Susunan bidang-bidang yang saling berhubungan Persamaan parametrik vektor suatu garis Persamaan garis dari dua titik Garis
UNIVERSITAS NEGARA ST. PETERSBURG Fakultas Matematika Terapan Proses Kontrol A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRAKTIKUM METODE NUMERIK MINIMISASI FUNGSI KUADRAT Metodologi
0 g 6 Prosiding FORA KONDISI JUMLAH MATRIKS SEBAGAI INDIKATOR STABILITAS PEMECAHAN MASALAH TERAPAN R Tsey, MM Shumafov Adygea State University, Maykop Kondisi bilangan matriks
MATRIK, DETERMINAN, SISTEM PERSAMAAN LINEAR Metode border minor untuk mencari rank suatu matriks A = m m m minor K orde k dari suatu matriks A adalah sembarang determinan dari orde ke-k matriks tersebut,
KULIAH 4 METODE ITERASI UNTUK MEMECAHKAN SLAE Untuk mengurangi kesalahan yang terkait dengan pembulatan, gunakan algoritma berikut Misalkan u adalah solusi eksak dari sistem, u adalah solusi numerik Lalu kita perkenalkan
1. Sistem linear dan matriks 1. Mendefinisikan perkalian matriks. Apakah operasi ini bersifat komutatif? Jelaskan jawabannya. Hasil kali C dari matriks A dan B didefinisikan sebagai m p m p A B ij = A ik B kj. Operasi ini tidak bersifat komutatif.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA UNIVERSITAS NEGARA TOMSK SISTEM KONTROL DAN RADIO ELEKTRONIK (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. MASALAH MATEMATIKA Mitzel SALAH
METODE NUMERIK ALJABAR LINEAR Bagian “Metode numerik aljabar linier” membahas tentang metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) dan metode numerik untuk menyelesaikan masalah
GEOMETRI ANALITIS 3 ALIRAN Dosen P.V. Golubtsov 1.1. vektor. Daftar Soal Ujian Bagian Pertama 1. Merumuskan Pengertian Operasi Linier Pada Vektor. Daftar properti operasi linier
Sistem persamaan aljabar linier Perhatikan sistem m persamaan aljabar linier yang tidak diketahui b b() m m m bm Sistem () disebut homogen jika semua suku bebasnya b b b m sama
4. Sistem persamaan linear. Konsep dasar Suatu persamaan disebut linier jika persamaan tersebut hanya memuat persamaan yang tidak diketahui sampai derajat pertama dan tidak memuat hasil kali yang tidak diketahui, yaitu. jika berbentuk +++
Aljabar Linier Kuliah 7 Pendahuluan Vektor Dalam matematika ada dua macam besaran: skalar dan vektor. Skalar adalah suatu bilangan, dan vektor secara intuitif dipahami sebagai suatu benda yang mempunyai besaran dan arah kalkulus Vektor
Daftar Soal Ujian Metode Numerik (28 Mei 2018) 0.1 Integrasi Numerik 1. Daftar metode menghitung integral tak wajar. Buatlah rumus kuadratur untuk menghitung integral
Perhitungan paralel dalam tomografi Metode iterasi sederhana. Metode penurunan cepat. metode SENI. metode SIRT. Pada metode iterasi sederhana, faktor relaksasi τ k dan matriks H k tidak bergantung pada bilangan
Pengantar Aljabar Matriks Linier. Definisi. Tabel yang terdiri dari m n bilangan berbentuk m m n n mn yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks. Unsur-unsur matriks diberi nomor yang sama dengan unsur-unsur determinannya
KULIAH 7 INTERPOLASI Pada kuliah terakhir, masalah pemecahan sistem yang overdetermined dibahas. Sistem seperti ini mempunyai bentuk: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
PERTANYAAN TEORI I. MATRIK, DETERMINAN 1) Memberikan definisi matriks. Apa yang dimaksud dengan matriks nol dan matriks identitas? Dalam kondisi apa matriks dianggap sama? Bagaimana operasi transposisi dilakukan? Kapan
Kuliah 7 MENGURANGI KURVA ORDER KEDUA MENJADI BENTUK KANONIK. Transformasi basa dan koordinat pada bidang Misalkan dua sistem koordinat Kartesius persegi panjang dengan titik asal yang sama diberikan pada bidang:
Modul Aljabar Linier 1. Ruang Linier dan Ruang Euclidean. Operator linier dalam ruang linier Kuliah 1.4 Abstrak Vektor eigen dan nilai eigen dari operator linier, sifat-sifatnya.
UDC. SINTESIS FILTER DIGITAL REKURSIF BERDASARKAN KARAKTERISTIK IMPULS YANG DITENTUKAN OLEH FUNGSI MATEMATIKA DASAR Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Pendahuluan Dalam gudang metode sintesis rekursif modern
Bab 8 Fungsi dan grafik Variabel dan ketergantungan di antara mereka. Dua besaran disebut berbanding lurus jika perbandingannya tetap, yaitu jika =, dimana adalah bilangan konstan yang tidak berubah terhadap perubahan
Metode Gauss (metode menghilangkan yang tidak diketahui) Dua sistem disebut setara (ekuivalen) jika solusinya bertepatan. Anda dapat beralih ke sistem ekuivalen menggunakan transformasi dasar
Pekerjaan laboratorium No.3
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier yang berkondisi buruk
Metode regularisasi
Parameter masukan: n bilangan bulat positif sama dengan orde n sistem; a adalah larik bilangan real nxn yang memuat matriks koefisien sistem; b - larik n bilangan real yang berisi kolom suku bebas sistem (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Parameter keluaran: x – solusi sistem; p-jumlah iterasi.
Diagram algoritma ditunjukkan pada Gambar 18.
Teks program:
prosedur regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:vektor TV;
alpha,s1,s:nyata; maks,eps:nyata; i,j,k,l:bilangan bulat;
Keluar_Slau_T(n,a,b);
Untuk I:=1 Ke n Do (menerima A T A)
Untuk K:=1 Ke N Lakukan
Untuk J:=1 Ke N Lakukan S:=S+A*A;
Untuk I:=1 Ke N Lakukan (menerima A T B)
Untuk J:=1 Ke N Lakukan
Mulai S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (nilai alfa awal)
k:=0; (jumlah iterasi)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
untuk i:=1 sampai N lakukan a2:=a1+alfa; (menerima ATA+alfa)
untuk i:=1 sampai N lakukan b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (menerima ATB+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
untuk i:=2 sampai n lakukan
jika abs(b2[i]-X[i])>max maka max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Varian tugas untuk menyelesaikan sistem berkondisi buruk menggunakan metode regularisasi diberikan pada Tabel 3.
Metode rotasi (Diberikan)
Diagram algoritma ditunjukkan pada Gambar 19.
Contoh. Memecahkan sistem persamaan
Teks program:
PROSEDUR Vrash;
Var I,J,K: Bilangan Bulat; M,L,R: Nyata; F1:TEKS; Label M1,M2;
Keluar_Slau_T(nn,aa,b);
untuk i:=1 sampai Nn lakukan
Untuk I:=1 Sampai Nn-1 Mulai
Untuk K:=I+1 Ke Nn Lakukan Mulai
Jika (Aa0.0) Lalu Goto M1;Jika (Aa0.0) Maka Goto M1;
1:M:=Akar(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1,0*Aa/M;
M2:Untuk J:=1 Sampai Nn Lakukan Mulai
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
Untuk I:=Nn Ke 1 Mulai
Untuk K:=0 Sampai Nn-I-1 Mulai M:=M+Aa*Aa; Akhir;
Aa:=(Aa-M)/Aa;
Akhir;
untuk i:=1 sampai Nn lakukan x[i]:=Aa;End;
jika abs(b2[i]-X[i])>max maka max:=abs(b2[i]-X[i]);
Perhitungan menurut program membuahkan hasil sebagai berikut:
Gambar 19 - Skema algoritma metode Gives (rotasi)
Opsi tugas
|
Tabel 3 |
Tabel 3 |
||||||
Matriks A
Topik pekerjaan laboratorium No. 3 tentang pengendalian pengetahuan diilustrasikan dengan program pengendalian dan pelatihan.
Pekerjaan laboratorium No.4
Menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier
Metode iterasi sederhana
Tata cara pelaksanaan pekerjaan laboratorium:
Temukan perkiraan nol dari solusinya;
Ubah sistem f(x) = 0 ke bentuk x = Ф(x);
Periksa kondisi konvergensi metode.
Diagram algoritma ditunjukkan pada Gambar 20.
Contoh. Selesaikan sistem menggunakan metode iterasi sederhana
Teks program:
Sebagai perkiraan nol, kita pilih titik x = 1, y = 2.2, z = 2. Mari kita ubah sistem ke bentuk
PROSEDUR Iteraz;
Var I,J,K,J1: Bilangan Bulat;
X2,X3,Eps: Nyata;
Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;
Untuk J:=1 Ke Nn Lakukan Mulai
Untuk I:=1 Sampai Nn Mulai S:=S+Aa*Xx[i]; Akhir;
Untuk J1:=1 Ke Nn Lakukan Mulai Xx:=R; Akhir; X3:=Xx;
Untuk I:=1 Sampai Nn Lakukan Mulai Jika (Xx[i]>=X3) Kemudian X3:=Xx[i]; Akhir;
Untuk I:=1 Sampai Nn Mulai Xx[i]:=Xx[i]/X3; Akhir;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Ab(X1);
Jika (U1>=Eps) Maka X2:=X1;
untuk i:=1 sampai Nn lakukan x[i]:=Aa;End;
Sampai ((K>=50)atau(U1
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Jumlah iterasi:5
Gambar 20 - Diagram algoritma metode iterasi sederhana
metode Newton
Program ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem dengan urutan tidak lebih tinggi dari sepersepuluh. 
Parameter masukan: n - jumlah persamaan sistem (bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui), n £ 10; x-array dari n bilangan real yang berisi tebakan awal solusi; f adalah nama prosedur eksternal f(n, x, y), yang menghitung nilai fungsi f saat ini dari nilai x yang diberikan yang terletak di elemen array x, dan menempatkannya di elemen dari larik y; g - nama prosedur eksternal g(n, x, d), yang menghitung elemen matriks dari nilai x yang diberikan dari array x
Parameter keluaran: x - larik n bilangan real (juga dikenal sebagai masukan) berisi nilai perkiraan solusi saat keluar dari subrutin; k adalah jumlah iterasi.
UDC 519.61:621.3
V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*
TENTANG SATU PENDEKATAN UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR YANG TIDAK BERKONDISI SAKIT YANG MENGGAMBARKAN BENDA FISIK
Institut Masalah Mesin dan Sistem Matematika dari Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional Ukraina, Kyiv, Ukraina
Abstrak. Telah ditunjukkan bahwa kemungkinan hasil pemodelan objek fisik, yang model diskritnya digambarkan oleh sistem persamaan aljabar linier (SLAR), terletak bukan karena desain matriks yang buruk, tetapi karena hasil dari pemilihan SLAR yang dapat diubah yang salah pada tahap level terlipat menggunakan metode potensial simpul atau analognya, dan metode itu sendiri Ini merupakan penyimpangan besar dari metode pengaturan tugas yang benar. Metode untuk memeriksa kebenaran SLAR, yang dibentuk oleh metode potensial simpul, yang memiliki matriks simetris utuh, telah diusulkan, dan perlu diubah ke bentuk yang benar.
Kata kunci: sistem, pemodelan, pengaturan salah, penalaran buruk, sistem persamaan aljabar linier, metode potensial simpul, metode pengaturan tugas yang benar, pemeriksaan kebenaran.
Anotasi. Terlihat bahwa reliabilitas hasil pemodelan objek fisik yang model diskritnya digambarkan dengan sistem persamaan aljabar linier (SLAE), tidak bergantung pada kondisionalitas matriks yang buruk, tetapi pada pemilihan variabel SLAE yang salah. pada tahap penyusunan persamaan dengan menggunakan metode potensial nodal atau analoginya, dan metode itu sendiri merupakan salah satu kasus khusus dari metode rumusan masalah yang benar. Sebuah teknik diusulkan untuk memeriksa kebenaran SLAE yang disusun dengan metode potensial nodal, memiliki matriks non-degenerasi dan simetris, dan jika perlu, mengubahnya ke bentuk yang benar.
Kata kunci: sistem, pemodelan, masalah yang salah, pengkondisian buruk, sistem persamaan aljabar linier, metode potensial nodal, metode rumusan masalah yang benar, pemeriksaan kebenaran.
Abstrak. Makalah ini menunjukkan bahwa keandalan hasil simulasi objek fisik, yang model diskritnya digambarkan oleh sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak bergantung pada matriks berkondisi buruk tetapi pada pilihan variabel SLAE yang salah pada tahap pembuatan persamaan. dengan metode potensial simpul atau analoginya, dan metode tersebut merupakan kasus khusus dari metode pernyataan masalah yang benar. Disarankan metode check-out terhadap kebenaran SLAE, dibuat dengan metode potensial simpul, mempunyai matriks nonsingular dan simetris dan bila perlu ditransformasikan ke bentuk yang benar.
Kata kunci: sistem, simulasi, soal salah, kondisi buruk, sistem persamaan aljabar linier, metode potensial simpul, metode pernyataan masalah yang benar, pemeriksaan kebenaran.
1. Pendahuluan
Banyak masalah pemodelan objek fisik (teknis) yang direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Karena semua perhitungan ketika menyelesaikan sistem seperti itu dilakukan dengan jumlah angka penting yang terbatas, akurasi dapat hilang secara signifikan karena kesalahan pembulatan. Sistem yang terkondisi buruk (tidak stabil) atau, dalam rumusan yang lebih umum, masalah yang diajukan secara salah dianggap sebagai masalah yang, dengan tingkat kesalahan input data dan keakuratan perhitungan yang tetap, tidak menjamin keakuratan solusi apa pun. Nomor kondisi digunakan sebagai perkiraan terburuk apriori dari kemungkinan kesalahan dalam menyelesaikan SLAE. Sebagai berikut dari literatur, pengembangan metode untuk memecahkan masalah yang tidak tepat dianggap sebagai masalah matematika murni, di mana ciri-ciri objek fisik (teknis) tidak diperhitungkan, meskipun pada kenyataannya solusi numerik dari banyak masalah fisika matematika dan pemodelan matematika dari proses fisik yang kompleks
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
burung hantu dan sistem teknis merupakan sumber masalah aljabar linier yang tidak ada habisnya. Untuk kelas masalah yang terdaftar, ketika mengembangkan metode solusi, tahap penyusunan SLAE tidak dipertimbangkan, di mana fitur-fitur masalah tertentu dapat diperhitungkan dengan satu atau lain cara. Fakta bahwa tahapan ini harus diperhatikan dibuktikan dengan hasil karya-karya berikut ini.
Pertama-tama, perlu diperhatikan karya yang memberikan contoh matriks yang kehilangan akurasinya ketika menyelesaikan SLAE kecil, dan nilai bilangan kondisinya sangat besar, yaitu, ditunjukkan bahwa kriteria yang diterima secara umum untuk penilaian apriori terhadap keakuratan penyelesaian SLAE berdasarkan jumlah kondisi diperlukan, tetapi tidak cukup. Pendekatan yang benar-benar baru untuk memecahkan masalah yang salah diusulkan dalam karya ini. Hal ini terletak pada kenyataan bahwa untuk meningkatkan akurasi penyelesaian SLAE, bahkan dengan nilai bilangan kondisi yang besar, pada tahap mendeskripsikan model diskrit suatu objek fisik, diusulkan untuk menyusun SLAE dengan benar. Ini berarti tidak hanya matriks seperti itu ada, seperti yang dilaporkan dalam karya ini, tetapi juga bahwa suatu metode telah diusulkan untuk menyusun matriks SLAE dengan benar yang menggambarkan model diskrit suatu objek. Metode penyusunan matriks SLAE dipertimbangkan dalam kaitannya dengan masalah pemodelan perilaku rangkaian listrik, sistem tenaga, sistem mekanika batang dan persamaan elips fisika matematika.
Inti dari metode ini adalah, tidak seperti metode yang ada, ketika membentuk SLAE, parameter model diskrit suatu objek fisik diperhitungkan melalui pilihan variabel yang ditargetkan. Perlu dicatat bahwa metode ini hanya berlaku untuk objek yang topologi model diskritnya diwakili oleh grafik.
Persyaratan ini dipenuhi oleh model desain rangkaian listrik dan sistem tenaga. Untuk banyak masalah pemodelan matematika dari proses fisik yang kompleks, sistem teknis dan fisika matematika, representasi topologi model diskrit dalam bentuk grafik tidak digunakan. Karya-karya menunjukkan bahwa batasan di atas dihilangkan dengan merepresentasikan topologi elemen skema desain model diskrit suatu objek fisik dalam bentuk grafik. Ada juga metode untuk merepresentasikan topologi elemen dalam bentuk grafik.
Dalam makalah ini, kami akan mengusulkan metode untuk memperbaiki masalah yang salah jika topologi model diskrit tidak direpresentasikan dalam bentuk grafik. Saat mengembangkan metode ini, kami mempertimbangkan fakta bahwa metode yang diterima secara umum untuk menggambarkan model masalah diskrit dalam fisika matematika dan proses fisik yang kompleks serta sistem teknis (metode potensial nodal) adalah kasus khusus dari metode kompilasi matriks SLAE dengan benar .
2. Hubungan antara keakuratan solusi SLAE yang menggambarkan model diskrit suatu objek dan metode penyusunan persamaan
Akademisi Voevodin V.V. menunjukkan dalam karyanya bahwa akurasi tertinggi dari hasil penyelesaian SLAE dengan metode Gaussian dicapai bila menggunakan metode dengan pilihan elemen utama. Sejumlah besar karya telah diterbitkan berdasarkan ide ini. Namun, penyelesaian masalah praktis telah menunjukkan bahwa keakuratan penyelesaian SLAE, terutama dalam kasus matriks berkondisi buruk, hilang secara signifikan karena kesalahan pembulatan, yaitu meningkatkan keakuratan hasil pada tahap penyelesaian saja tidak cukup. untuk hanya menggunakan metode Gaussian dengan pilihan elemen utama.
Perkembangan lebih lanjut dari gagasan ini adalah metode yang diusulkan dalam karya ini, dimana diusulkan, pada tahap penyusunan deskripsi model diskrit suatu objek, untuk membentuk elemen diagonal matriks sebagai elemen utama. Untuk melakukan ini, saat menyusun deskripsi, informasi tambahan digunakan, yaitu parameter model diskrit. Efektivitas pendekatan ini, yaitu ketergantungan keakuratan solusi yang menggambarkan SLAE diskrit
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
Model objek baru, dari metode penyusunan persamaan, akan didemonstrasikan dengan menggunakan contoh model. Di bawah ini kami akan mempertimbangkan untuk menyusun deskripsi contoh model menggunakan metode yang dijelaskan dalam, dengan dan tanpa memilih elemen utama, dan solusinya.
Rangkaian listrik yang ditunjukkan pada Gambar 1 dipilih sebagai contoh model. 1.
Beras. 1. Rangkaian listrik
Diketahui bahwa persyaratan SLAE yang menggambarkan suatu rangkaian listrik bergantung pada rentang penyebaran nilai konduktivitas (resistansi) komponen rangkaian tersebut. Kisaran perubahan yang dipilih dalam konduktivitas komponen rangkaian listrik, sama dengan 15 orde, memastikan persyaratan SLAE yang buruk dan dengan demikian, seperti yang diyakini secara umum, masalah yang salah. Dengan menggunakan contoh penghitungan potensial node 2 (tegangan pada komponen G2), akan dianalisis ketergantungan keandalan hasil perhitungan terhadap metode pembentukan elemen diagonal pada saat menyusun deskripsi rangkaian listrik.
Di bawah ini adalah ketentuan pokok yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu contoh model dengan menggunakan metode rumusan masalah yang benar. Pembangunan model matematika rangkaian listrik dengan metode ini didasarkan pada sistem dasar persamaan rangkaian listrik, yang meliputi persamaan komponen dan persamaan yang disusun berdasarkan hukum Kirchhoff. Untuk contoh model, persamaan komponennya berbentuk
dimana U i adalah tegangan yang dijatuhkan pada komponen, I adalah arus yang mengalir melalui komponen, Gt adalah konduktivitas komponen.
Untuk menggambarkan grafik rangkaian listrik dan, karenanya, persamaan berdasarkan hukum Kirchhoff, digunakan matriks topologi kontur dan bagian. Grafik rangkaian bertepatan dengan rangkaian listrik. Penyusunan matriks topologi kontur dan bagian melibatkan pemilihan pohon grafik rangkaian dan menggambar kontur untuk pohon yang dipilih. Pohon grafik rangkaian listrik dipilih sedemikian rupa sehingga semua sumber tegangan termasuk dalam pohon, dan semua sumber arus termasuk dalam tali busur. Unsur-unsur vektor tegangan U dan arus I komponen rangkaian dikelompokkan menjadi yang termasuk dalam pohon (indeks D), yaitu cabang dan tali busur (indeks X), sehingga:
Kontur dibentuk dengan menggabungkan tali busur ke pohon grafik rangkaian. Dalam hal ini
matriks topologi kontur memiliki bentuk
dimana 1 adalah submatriks satuan akord, t
Menunjukkan transposisi matriks, dan matriks topologi bagian berbentuk |1 -F, dengan 1 adalah submatriks satuan dari cabang. Sebagai berikut dari , suku-suku diagonal matriks tersebut
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
akan menjadi yang utama jika konduktivitas komponen pohon di sirkuit memiliki konduktivitas maksimum. Dengan memperhatikan jenis matriks topologinya, maka persamaan rangkaian yang disusun berdasarkan hukum Kirchhoff dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
=- id mereka, (3)
Variabel-variabel sistem persamaan yang disusun dipilih dari tegangan dan/atau arus komponen-komponennya sebagai hasil analisis sistem persamaan utama. Jika komponen-komponen yang termasuk dalam cabang-cabang pohon dipilih sebagai tegangan variabel, maka persamaan komponen (1) dan persamaan (3), (4) dapat diubah menjadi bentuk berikut:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
Di bawah ini kami akan menyajikan kompilasi persamaan untuk contoh model. Pertama, uraian rangkaian listrik dibuat sedemikian rupa sehingga suku-suku diagonal matriks menjadi yang utama. Persyaratan ini dipenuhi oleh himpunan komponen E1, G6, G3, G2 yang termasuk dalam pohon (pada Gambar 1, cabang-cabang pohon disorot dengan garis tebal). Vektor tegangan dan arus komponen berikut sesuai dengan pohon yang dipilih:
dan matriks topologi
Persamaan (5), dengan memperhitungkan (6), (7) dan persamaan komponen setelah transformasi, memiliki bentuk sebagai berikut:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) tidak berkondisi buruk, karena nilai eigen matriks \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Untuk menentukan seberapa akurat hasil penyelesaian sistem bergantung pada pilihan opsi penyusunan persamaan, perhitungan potensi Uq node 2 akan dilakukan dalam bentuk umum:
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Dari analisis proses komputasi (9-11) dapat disimpulkan bahwa, meskipun terdapat rentang perubahan nilai konduktivitas yang besar (15 kali lipat), tidak ada persyaratan ketat untuk keakuratan akhir representasi angka baik ketika menyusun persamaan dan saat menyelesaikannya. Untuk memperoleh hasil yang dapat diandalkan, cukup melakukan proses komputasi penyusunan dan penyelesaian SLAE dengan akurasi merepresentasikan angka hingga dua angka penting.
Perlu dicatat bahwa dalam SLAE (8) elemen diagonal baris kedua (kolom) matriks G+G4+G5I secara signifikan lebih besar (sebesar 15 kali lipat) daripada jumlah suku-suku lainnya.
baris (kolom) | G4 + 2G51. Artinya dengan mengambil UG = 0, kita dapat menyederhanakan SLAE
(8), menjaga keandalan hasil. Di era penghitungan manual, teknik ini berhubungan dengan menggabungkan node 2 dengan 3 (Gbr. 1).
Dalam kasus kedua (tanpa memilih elemen diagonal sebagai elemen utama), cukup dengan memilih komponen Ex, G6, G4, G2 di pohon (pada Gambar 1, cabang-cabang pohon ditandai dengan garis putus-putus
garis). Penurunan tegangan pada komponen ini sesuai dengan potensial simpul 1, 4, 3, 2, dihitung dari simpul nol. Artinya dengan pilihan komponen pada pohon seperti itu, metode penyusunan matriks SLAE yang benar bertepatan dengan metode potensial nodal. Vektor tegangan dan arus komponen berikut sesuai dengan pohon dan tali busur yang dipilih:
UD = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 dan G2 G5
dan matriks topologi
Persamaan (5), dengan memperhitungkan persamaan (12), (13) dan komponennya, akan mengambil persamaan berikut
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Sistem persamaan (14) tidak berkondisi karena memiliki nilai eigen matriks berikut: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Seperti pada contoh versi pertama, potensi UG node 2 akan dihitung dalam bentuk umum:
(G + G + G) -----------
V 3 4 (G+G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Dari analisis proses komputasi penyelesaian sistem persamaan (15-17) dapat disimpulkan bahwa keandalan hasil baik saat menyusun maupun menyelesaikan persamaan bergantung pada keakuratan akhir representasi bilangan. Jadi, jika proses komputasi penyelesaian sistem (15-17) dilakukan dengan ketelitian kurang dari 15 angka penting, maka hasilnya adalah
1015 +1015 ~ o,
dan dalam hal keakuratannya lebih dari 15 angka penting, maka itu adalah
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Dari perbandingan matriks (8) dan (14), serta proses komputasi untuk menyelesaikan sistem persamaan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Metode potensial nodal merupakan kasus khusus dari metode yang dikemukakan pada , yaitu pada metode potensial nodal, sisi-sisi grafik yang menghubungkan simpul dasar dengan simpul lainnya selalu diseleksi ke dalam pohon.
Elemen diagonal suatu matriks mempunyai modulus yang lebih besar dibandingkan elemen lainnya, baik baris maupun kolom, terlepas dari apakah matriks tersebut disusun dengan atau tanpa pemilihan diagonal maksimum. Satu-satunya perbedaan adalah seberapa besar elemen diagonal dibandingkan elemen non-diagonal. Artinya penyelesaian SLAE jenis ini menggunakan metode Gaussian dengan pilihan elemen utama tidak meningkatkan keakuratan hasil untuk kelas soal tersebut.
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
Banyaknya angka penting akhir yang digunakan dalam solusi Gaussian sangat bergantung pada apakah matriks tersebut dibangun dengan atau tanpa pemilihan elemen diagonal maksimum. Perbedaan antara satu versi soal dan versi lainnya hanya pada tahap penyusunan persamaan, dalam satu kasus komponen dengan konduktivitas maksimum dipilih ke dalam pohon dan dengan demikian tegangan komponen ini bertindak sebagai variabel dalam SLAE. Konduktivitas komponen ini hanya terlibat dalam pembentukan elemen diagonal matriks. Jika tidak, komponen ini termasuk dalam akord. Sebagai berikut dari persamaan (3), komponen tegangan ditentukan melalui tegangan komponen pohon. Dari persamaan (4) dapat disimpulkan bahwa konduktivitas komponen terlibat dalam pembentukan elemen baris dan kolom, dan dengan demikian konduktivitas tali busur menentukan ukuran elemen matriks tersebut.
3. Transformasi matriks SLAE yang disusun dengan metode potensial nodal ke bentuk yang sesuai dengan rumusan yang benar
Ketika memecahkan masalah fisika matematika secara numerik dan pemodelan matematika dari proses fisik yang kompleks dan sistem teknis untuk mengkompilasi SLAE yang menggambarkan model diskrit dari masalah ini, metode potensial nodal atau analognya terutama digunakan. Ciri khas dari metode ini adalah potensi skema desain model diskrit, dihitung dari node dasar hingga node yang tersisa, algoritma sederhana untuk menyusun persamaan, dan matriks SLAE yang terisi lemah digunakan sebagai variabel SLAE. Harga untuk efisiensi seperti itu mungkin adalah kesalahan tugas. Mengingat metode potensial nodal hanyalah salah satu varian dari metode pengajuan masalah yang benar, maka masalah yang salah dapat diperbaiki dengan menerapkan transformasi matriks. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan algoritma untuk mengubah masalah yang disusun secara salah menggunakan metode potensial nodal.
Dari seluruh ragam benda fisik, hanya benda yang model diskrit liniernya yang digambarkan oleh SLAE dengan matriks non-degenerasi dan simetris yang akan dipertimbangkan.
3.1. Algoritma transformasi matriks
Saat mengembangkan algoritma transformasi matriks, digunakan fakta bahwa elemen non-diagonal ke-j dari baris ke-i matriks termasuk dalam matriks dengan tanda minus dan berisi parameter model diskrit yang menggambarkan koneksi antara node ke-i dan ke-j dari model diskrit. Elemen diagonal termasuk dalam matriks dengan tanda positif, berisi jumlah elemen non-diagonal dan parameter model diskrit yang menggambarkan hubungan antara node ke-i dan basis. Biasanya, ketika memberi nomor pada node model diskrit, node dasar dianggap nol.
Sebagai berikut dari penelitian yang dilakukan di atas, kesalahan permasalahan pada tingkat SLAE yang dikompilasi hanya terjadi jika setidaknya salah satu elemen non-diagonal garis secara signifikan lebih besar daripada parameter model diskrit, yang hanya disertakan dalam elemen diagonal. Di bawah ini adalah metodologi untuk memeriksa kebenaran SLAE yang dikompilasi.
Biarkan SLAE memiliki formulirnya
dimana x adalah vektor potensial nodal (pengaruh nodal), y adalah vektor aliran luar, A adalah matriks berbentuk
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 dan aJJ ann
di mana n adalah ukuran matriks. Elemen matriks memenuhi persyaratan berikut:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Di bawah ini kami akan mempertimbangkan untuk memeriksa kebenaran baris ke-i dari matriks dan, jika perlu, koreksinya.
Pertama-tama, parameter model diskrit ait ditentukan, yang hanya termasuk dalam elemen diagonal baris ke-i matriks,
Baris ke-i matriks dianggap tersusun benar jika parameter ait memenuhi kondisi
1 < j < n, при j Ф і.
Jika kondisi (24) tidak terpenuhi, maka baris ke-i disesuaikan. Pertama, elemen non-diagonal terbesar dipilih. Biarkan ini menjadi elemen ke-j dari baris ke-i. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa, karena kekhasan komposisi matriks (kondisi (22)), parameter model diskrit, yang terlibat dalam pembentukan elemen o. dan a.^ pada garis ke-i dan ke-j, termasuk sebagai bagian integral dalam unsur aii dan a. . Inti dari penyesuaian baris ke-i adalah mentransformasikan baris ke-i dan ke-j pada matriks sehingga nilai elemennya adalah a. hanya dimasukkan dalam elemen aii. Sangat mudah untuk melihatnya dengan merepresentasikan variabel xi dalam bentuk
X = xj + xj (25)
dan melakukan transformasi elemen kolom ke-j dari matriks SLAE berikut
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
kita memperoleh kolom ke-j baru dari matriks, di mana elemen-elemen yang ditransformasikan adalah a. dan sebuah. tidak memuat parameter model diskrit yang membentuk elemen a. dan sebuah. .
Langkah selanjutnya adalah mentransformasikan baris ke-j menggunakan rumus
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Elemen a i dari j -string yang ditransformasikan tidak lagi berisi parameter model diskrit yang sesuai dengan elemen a i .
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
Pengecekan kebenaran matriks SLAE dan koreksi baris yang salah dilakukan untuk keseluruhan matriks. Dalam karya ini, hanya pendekatan untuk membangun algoritma untuk mengubah matriks ke bentuk yang benar yang dipertimbangkan. Masalah yang terkait dengan pengembangan algoritma yang efisien untuk mengubah matriks ke bentuk yang benar tidak dibahas dalam makalah ini. Di bawah ini kami akan memberikan contoh transformasi matriks SLAE (14) yang disusun dengan metode potensial nodal.
3.2. Contoh demo
Pertama-tama, perlu diperhatikan bahwa matriks (14) simetris dan tidak berdegenerasi. Koefisien matriks memenuhi kondisi (22). Potensial nodal sesuai dengan penurunan tegangan pada komponen
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Dengan memperhatikan (28), SLAE (14) dapat direpresentasikan sebagai berikut:
G5 + G6 - G5 0 dan 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Memeriksa kebenaran matriks mencakup operasi berikut.
Penentuan dengan rumus (23) parameter model diskrit ait, hanya disertakan
menjadi elemen diagonal. Untuk baris pertama matriks akan menjadi G6, untuk baris kedua G4 dan untuk baris ketiga - (Gl + G2).
Pengecekan kebenaran baris matriks dilakukan sesuai dengan rumus (24). Dari hasil pemeriksaan ternyata baris kedua tidak memenuhi syarat kebenaran, karena (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parameter G3 juga termasuk dalam matriks baris ketiga, oleh karena itu sesuai dengan rumus (25), representasi variabel U3 dipilih dalam bentuk
U3 = U2 + U23, (30)
Hasil transformasi elemen kolom ke-3, sesuai dengan rumus (26), diperoleh matriks (29) dengan bentuk sebagai berikut:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
dan setelah transformasi baris ketiga, sesuai dengan rumus (27), matriks (31) akan berbentuk
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) kamu 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) memenuhi syarat kebenaran, sehingga penyesuaian dianggap selesai. Variabel SLAE (32) sesuai dengan variabel SLAE (8), yaitu pada
ISSN 1028-9763. Mesin dan Sistem Matematika, 2014, No.4
Sebagai hasil transformasi menjadi pohon, komponen yang sama dipilih seperti pada metode rumusan masalah yang benar. Dari perbandingan SLAE (8) dan (32) diperoleh bahwa elemen nondiagonal matriks (32) kolom kedua dan baris kedua berbeda tanda dengan matriks (8). Hal ini disebabkan ketika transformasi matriks (14), arah arus komponen G3 dipilih, berlawanan dengan arah yang dipilih saat menyusun SLAE (8). Dengan mengganti variabel U23 dengan U23 = -U23 dan mengubah tanda unsur-unsur pada persamaan kedua menjadi sebaliknya, diperoleh matriks (8).
4. Kesimpulan
Pemodelan telah menjadi bagian integral dari aktivitas intelektual umat manusia, dan keandalan hasil pemodelan merupakan kriteria utama untuk mengevaluasi hasil pemodelan. Untuk memastikan keandalan hasil, diperlukan pendekatan baru untuk pengembangan metode dan algoritma untuk mendeskripsikan objek kompleks dan solusinya.
Berbeda dengan pendekatan yang ada dalam mengembangkan metode untuk memecahkan masalah yang tidak beralasan, makalah ini mengusulkan untuk membawa masalah yang tidak berkondisi (ill-condition) ke bentuk yang benar. Terlihat bahwa bukan kondisionalitas matriks yang buruk yang mempersulit perolehan hasil yang andal ketika menyelesaikan SLAE yang menggambarkan model diskrit objek fisik, tetapi pilihan variabel SLAE yang salah pada tahap pembuatan persamaan, dan metode nodal. potensi dan analognya, yang digunakan untuk menyusun SLAE yang menggambarkan model diskrit, adalah kasus khusus dari metode perumusan masalah yang benar. Sebuah teknik diusulkan untuk memeriksa kebenaran SLAE yang disusun dengan metode potensial nodal untuk kasus ketika matriks SLAE non-singular dan simetris. Algoritma untuk mengubah matriks ke bentuk yang benar dipertimbangkan.
REFERENSI
1. Kalitkin N.N. Kriteria persyaratan kuantitatif untuk sistem persamaan aljabar linier / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Pemodelan matematika. - 2011. T. 23, No. 2. - Hal. 3 - 26.
2.Voloboev V.P. Tentang satu pendekatan untuk memodelkan sistem yang kompleks / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Mesin dan sistem matematika. - 2008. - No. 4. - Hal. 111 - 122.
3.Voloboev V.P. Tentang satu pendekatan untuk memodelkan sistem tenaga / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Mesin dan sistem matematika. - 2009. - No. 4. - Hal. 106 - 118.
4.Voloboev V.P. Mekanika sistem batang dan teori graf / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Mesin dan sistem matematika. - 2012. - No. 2. - Hal. 81 - 96.
5.Voloboev V.P. Metode elemen hingga dan teori graf / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Mesin dan sistem matematika. - 2013. - No. 4. - Hal. 114 - 126.
6. Pukhov G.E. Pertanyaan pilihan tentang teori mesin matematika / Pukhov G.E. - Kyiv: Rumah Penerbitan Akademi Ilmu Pengetahuan SSR Ukraina, 1964. - 264 hal.
7. Seshu S. Grafik linier dan rangkaian listrik / S. Seshu, M.B. Reid. - M.: Sekolah Tinggi, 1971. - 448 hal.
8. Zenkevich O. Elemen hingga dan pendekatannya / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 hal.
9. Voevodin V.V. Dasar komputasi aljabar linier / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 hal.
10. Landasan teori teknik elektro: buku teks untuk universitas / K.S. Demirchyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Chechurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 hal.
Mari kita kembali lagi ke SLAU Aх=b dengan matriks persegi ukuran A mn, yang berbeda dengan kasus “baik” yang dibahas di atas (lihat Bagian 8.D), memerlukan pendekatan khusus. Mari kita perhatikan dua jenis SLAE yang serupa:
- sistem merosot (dengan determinan nol |SEBUAH|=0);
- sistem yang terkondisi buruk (determinan A tidak sama dengan nol, tetapi bilangan kondisinya sangat besar).
Terlepas dari kenyataan bahwa jenis sistem persamaan ini berbeda secara signifikan satu sama lain (untuk yang pertama tidak ada solusi, dan untuk yang kedua hanya ada satu), dari sudut pandang praktis komputer, ada banyak kesamaan antara keduanya. mereka.
SLAE yang merosot
Sistem yang mengalami degenerasi adalah sistem yang dijelaskan oleh matriks dengan determinan nol |SEBUAH|=0(matriks tunggal). Karena beberapa persamaan yang termasuk dalam sistem tersebut diwakili oleh kombinasi linier dari persamaan lainnya, maka sebenarnya sistem itu sendiri tidak dapat ditentukan. Sangat mudah untuk menyadari bahwa, tergantung pada tipe tertentu dari vektor ruas kanan b, terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga atau tidak ada solusi sama sekali. Opsi pertama adalah membangun solusi semu normal (yaitu, memilih dari himpunan solusi tak terbatas solusi yang paling dekat dengan vektor tertentu, misalnya nol). Kasus ini dibahas secara rinci di bagian. 8.2.2 (lihat daftar 8.11-8.13).
Beras. 8.7. Representasi grafis dari sistem dua persamaan yang tidak konsisten dengan matriks tunggal
Mari kita pertimbangkan kasus kedua, ketika SLAE Aх=b dengan matriks persegi tunggal A tidak memiliki solusi. Contoh dari masalah tersebut (untuk sistem dua persamaan) diilustrasikan pada Gambar. 8.7, di bagian atasnya dimasukkan matriks A dan vektor B, dan juga dilakukan upaya (tidak berhasil, karena matriks A berbentuk tunggal) untuk menyelesaikan sistem menggunakan fungsi menyelesaikan. Grafik yang menempati bagian utama gambar menunjukkan bahwa kedua persamaan yang mendefinisikan sistem menentukan dua garis sejajar pada bidang (x0,x1). Garis-garis tersebut tidak berpotongan di titik mana pun pada bidang koordinat, dan oleh karena itu, tidak ada solusi untuk sistem tersebut.
Catatan
Pertama, perhatikan bahwa SLAE yang didefinisikan oleh matriks persegi nonsingular berukuran 2x2 mendefinisikan sepasang garis yang berpotongan pada bidang tersebut (lihat Gambar 8.9 di bawah). Kedua, perlu dikatakan bahwa jika sistemnya konsisten, maka representasi geometri dari persamaan tersebut akan berupa dua garis yang berhimpitan yang menggambarkan solusi yang jumlahnya tak terhingga..
Beras. 8.8. Grafik penampang fungsi sisa f(x) = |Ax-b|
Sangat mudah untuk menebak bahwa dalam kasus tunggal terdapat solusi semu dari sistem yang meminimalkan perbedaan |Kapak-b|, jumlahnya akan tak terhingga banyaknya, dan mereka akan terletak pada garis lurus ketiga, sejajar dengan dua garis yang ditunjukkan pada Gambar. 8.7 dan terletak di tengah-tengah di antara keduanya. Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 8.8, yang memperlihatkan beberapa bagian fungsi f(x)= | Ax-b |, yang menunjukkan adanya keluarga minimum dengan kedalaman yang sama. Jika Anda mencoba menggunakan fungsi bawaan untuk menemukannya Memperkecil, metode numeriknya akan selalu menemukan satu titik mana pun dari garis yang disebutkan (tergantung kondisi awal). Oleh karena itu, untuk menentukan solusi unik, seseorang harus memilih dari seluruh himpunan solusi semu yang memiliki norma terkecil. Anda dapat mencoba merumuskan masalah minimisasi multidimensi ini di Mathcad menggunakan kombinasi fungsi bawaan Memperkecil Namun, cara yang lebih efisien adalah dengan menggunakan regularisasi (lihat di bawah) atau dekomposisi matriks ortogonal (lihat Bagian 8.3).
