一次方程式: 公式と例。不平等とその解決策

一次方程式は、学校の数学ではまったく無害でわかりやすいトピックです。しかし、奇妙なことに、一次方程式を解くときに突然発生するエラーの数は、二次方程式、対数、三角法などの他のトピックよりもわずかに少ないだけです。ほとんどのエラーの原因は、方程式の平凡な同一変換です。まず第一に、これは方程式のある部分から別の部分に項を転送するときの符号の混乱、および分数や分数係数を扱うときのエラーです。はい、はい！分数は一次方程式にも登場します。あちこち。以下では、そのような邪悪な方程式を確実に分析します。)

さて、猫の尻尾を引っ張るのはやめて、それを理解しましょう。それからそれを読んで掘り下げます。）

一次方程式とは何ですか? 例。

通常、線形方程式は次のようになります。

斧 + b = 0,

ここで、a と b は任意の数値です。整数、分数、負、無理数など、あらゆる種類のことが起こります。

例えば：

7x + 1 = 0 (ここでは a = 7、b = 1)

x – 3 = 0 (ここでは a = 1、b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (ここでは a = 1/2、b = -1.1)

一般的に、あなたは理解していると思います。）おとぎ話のように、すべてが単純です。とりあえず…そして、一般的な表記ax+b=0をよく見て、少し考えてみたらどうでしょうか？結局のところ、aとbは 任意の数字！そして、たとえば、a = 0 および b = 0 (任意の数値を使用できます) の場合、何が得られるでしょうか?

0 = 0

しかし、楽しいことはそれだけではありません。たとえば、a = 0、b = -10 の場合はどうなるでしょうか? すると、それはある種のナンセンスであることがわかります。

0 = 10.

これは非常に迷惑であり、私たちが血と汗を流して築き上げてきた数学への信頼を損なうものです...特にテストや試験の際には。しかし、これらの理解不能で奇妙な等式の中から X を見つける必要もあります。まったく存在しないものです！そして、ここでは、十分に準備を整えた学生でも、いわゆる昏迷状態に陥ることがあります...でも心配しないでください。このレッスンでは、そのようなすべての驚きについても見ていきます。また、そのような等式から X も必ず見つかります。) さらに、この同じ X は非常に簡単に見つけることができます。はい、はい！驚くべきですが本当です。)

わかりました、それは理解できます。しかし、タスクの外観から、それが他の方程式ではなく一次方程式であることをどうやって判断できるのでしょうか? 残念ながら、方程式の種類を見た目だけで認識できるとは限りません。重要なのは、ax+b=0 の形式の方程式だけが線形と呼ばれるのではなく、同一の変換によって何らかの形でこの形式に変換される他の方程式も線形と呼ばれることです。それが合計されるかどうかをどうやって知ることができますか? 例題がほとんど解けなくなるまで、ほとんど解けません。これは腹立たしいことだ。ただし、一部のタイプの方程式では、それが線形であるかどうかを一目見ただけで、自信を持ってすぐに判断できます。

これを行うために、線形方程式の一般的な構造をもう一度見てみましょう。

斧 + b = 0

注意してください: 線形方程式では いつも変数 x のみが存在します 第一級でそしていくつかの数字！それだけです！それ以上は何もありません。同時に、正方形、立方体、根の下、対数の下、その他の珍しいものには X はありません。そして (最も重要なことです!) 端数はありません 分母に X が入っています。ただし、分母や割り算に数字が含まれる分数 数字ごとに- 簡単に！

例えば：

これは一次方程式です。方程式には X の 1 乗と数値のみが含まれます。そして、2 乗、3 乗などの高次のべき乗には X はありません。はい、ここには分数がありますが、同時に分数の分母には次のものが含まれます。 数字だけ。つまり、2つと3つです。言い換えれば、 xで割る.

そして、これが方程式です

もはや線形とは言えませんが、ここでも数字と X の 1 乗だけが存在します。特に分数もあるので、 分母に X が入っている。そして、単純化と変換の後、そのような方程式は、線形、二次方程式など、あらゆるものになる可能性があります。

一次方程式を解くにはどうすればよいですか? 例。

では、一次方程式はどうやって解くのでしょうか? 読んで驚かれてください。) 線形方程式の解全体は、たった 2 つの主要な事柄に基づいています。それらを列挙してみましょう。

1) 数学の基本的な動作と規則のセット。

これらは、かっこの使用、かっこの開き、分数の操作、負の数の操作、九九などです。この知識とスキルは、一次方程式を解くだけでなく、数学全般に必要です。そして、これに問題がある場合は、低学年のことを思い出してください。そうでないと大変な事になりますよ…

それらは2つだけです。はい、はい！さらに、これらの非常に基本的な恒等変換は、線形だけでなく、一般にあらゆる数学方程式の解法の基礎となります。一言で言えば、二次方程式、対数方程式、三角関数、無理数方程式など、他の方程式の解です。 – 原則として、これらの非常に基本的な変換から始まります。しかし、実際には、一次方程式の解はそれら (変換) で終わります。答えはすでに用意されています。) 怠惰にせず、リンクを見てください。) さらに、そこでは線形方程式も詳細に分析されています。

さて、例を見てみましょう。

まず、ウォーミングアップとして、いくつかの基本的な事項を見てみましょう。端数やその他の追加機能はありません。たとえば、次の方程式は次のようになります。

x – 2 = 4 – 5x

これは古典的な一次方程式です。すべての X は最大でも 1 乗であり、X による除算はどこにもありません。このような方程式の解法スキームは常に同じで、非常に単純です。X を含むすべての項は左側に集められ、X を持たないすべての項 (つまり数値) は右側に集められなければなりません。それでは、集め始めましょう。

これを行うために、最初のアイデンティティ変換を開始します。左に -5 倍、右に -2 移動する必要があります。もちろん、符号を変更します。) そこで、次のように転送します。

x + 5x = 4 + 2

どうぞ。戦いの半分は終わりました。X が山に集められ、数字も集められました。ここでは、同様のものを左側に示し、右側にそれらを数えます。得られるものは次のとおりです。

6x = 6

完全な幸福のために今私たちに欠けているものは何でしょうか？はい、純粋な X が左側に残るようにします。そして6人が邪魔をする。どうすればそれを取り除くことができますか？次に、2 番目の同一の変換を実行します。方程式の両辺を 6 で割ります。そして、出来上がりです。答えはすでに用意されています。）

x = 1

もちろん、この例は完全に原始的なものです。一般的な考え方を理解するため。そうですね、もっと重要なことを決めましょう。たとえば、次の方程式を見てみましょう。

詳しく見てみましょう。）これも一次方程式ですが、分数があるように見えます。しかし、分数には 2 による割り算と 3 による割り算がありますが、X を含む式による割り算はありません。それで決めましょう。同じ同一の変換を使用します。はい。)

まず何をすべきでしょうか？ X がある場合は左、X がない場合は右ですか? 原則として、これは可能です。ウラジオストク経由でソチへ飛びます。）または、普遍的で強力な方法を使用して、最短ルートを選択することもできます。もちろん、恒等変換を知っている場合に限ります。)

まず、重要な質問をします。この方程式で最も印象に残る点と最も気に入らない点は何ですか? 100人中99人はこう言うでしょう。 分数！そして彼らは正しいでしょう。)それでは、まず彼らを取り除きましょう。方程式自体は安全です。) したがって、すぐに始めましょう。 2 番目のアイデンティティ変換- 掛け算から。分母を小さくするには左辺に何を掛ければよいでしょうか? そうです、2です。右側はどうでしょうか？ 3人分！しかし…数学は気まぐれな女性です。彼女は、両辺の乗算のみを必要とします 同じ番号で！各部分にそれぞれの数値を掛けてもうまくいきません...どうしましょうか? 何か...妥協点を探してください。私たちの欲求 (分数をなくしたい) を満たすため、そして数学を傷つけないために。) 両方の部分を 6 で掛けましょう!) つまり、方程式に含まれるすべての分数の共通の分母で掛けます。そうすれば一気に2人も3人も減りますよ！）

それでは、掛け算してみましょう。左側も右側も全部！したがって、括弧を使用します。手順自体は次のようになります。

次に、同じ括弧を開きます。

さて、6 を 6/1 として表し、左右の分数をそれぞれ 6 に掛けてみましょう。これは通常の分数の掛け算ですが、それはそれで構いません。詳しく説明します。

そしてここで - 注意してください！分子（x-3）を括弧内に入れておきます。これはすべて、分数を掛けるときに分子が完全に掛けられるからです。そして、x-3 式は 1 つの整数構造として機能する必要があります。しかし、分子を次のように書くと:

6x – 3、

しかし、私たちはすべて正しいので、それを最終決定する必要があります。次に何をすればいいでしょうか？左側の分子の括弧を開けてみませんか? とんでもない！あなたと私は、端数を取り除くために両辺に 6 を掛けました。かっこを開けることを心配する必要はありませんでした。この段階で必要なのは 端数を減らします。深い満足感を感じながら、すべての分母を減らすと、分数のない方程式が一行で得られます。

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

これで、残りの括弧を開くことができます。

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

方程式はどんどん良くなっていきます。ここで、最初の同一の変換についてもう一度思い出してみましょう。私たちは真顔でジュニアクラスの呪文を繰り返します。 X あり - 左、X なし - 右。そして、この変換を適用します。

3x + 6x + 4x = 30 + 9

同様のものを左側に示し、右側にカウントします。

13x = 39

両方の部分を 13 で割る必要があります。つまり、2 番目の変換を再度適用します。分割すると答えが得られます。

x = 3

仕事は終わりました。ご覧のとおり、この方程式では、最初の変換 (項の変換) を 1 回適用し、2 番目の変換を 2 回適用する必要がありました。解の最初では、分数を取り除くために乗算 (6 による) を使用し、最後に、 X の前の係数を取り除くために、解決策の除算 (13 による) を使用しました。そして、あらゆる (はい、あらゆる!) 線形方程式の解は、これらの同じ変換を 1 つのシーケンスまたは別のシーケンスで組み合わせたもので構成されます。正確にどこから始めるべきかは、特定の方程式によって異なります。ある場所では転送から始める方がより利益が得られますが、他の場所では (この例のように) 乗算 (または除算) から始めることができます。

単純なものから複雑なものまで取り組んでいます。次に、あからさまな残虐行為について考えてみましょう。分数と括弧がたくさんあります。無理をしない方法もお教えします。）

たとえば、次の方程式は次のとおりです。

私たちはこの方程式をしばらく見て恐怖を感じますが、それでも気を引き締めます。主な問題はどこから始めればよいかということです。右側に分数を追加できます。括弧内の分数は減算できます。両方の部分に何かを掛けることができます。あるいは分割...それでは、まだ何が可能でしょうか? 答え: すべては可能です! 数学は、リストされている行為のいずれも禁止しません。そして、どのような一連のアクションや変換を選択しても、答えは常に同じ、つまり正しいものになります。もちろん、ある段階で変換のアイデンティティに違反し、それによってエラーが発生する場合を除きます...

そして、このような洗練された例で間違いを犯さないようにするには、その外観を評価し、頭の中で理解することが常に最も役立ちます。最大ワンステップで簡略化できますか？

それで、それを理解しましょう。左側は分母が 6 です。個人的には、それらは好きではありません、そして、それらは削除するのが非常に簡単です。方程式の両辺を 6 倍してみましょう。そうすれば、左側の 6 は正常に約定されますが、括弧内の分数はまだどこにも行きません。まあ、大丈夫です。これらについては少し後で扱います。) しかし、右側では、分母 2 と 3 をキャンセルします。このアクション (6 を乗算) を使用して、1 つのステップで最大限の簡略化を実現します。

乗算後、邪悪な方程式全体は次のようになります。

この方程式がどのように導かれたのかを正確に理解していない場合は、前の例の分析を十分に理解していないことになります。ちなみに試してみたのですが…

それでは、次のことを明らかにしましょう。

ここで、最も論理的な手順は、左側の分数を分離し、5x を右側に送信することです。同時に同様のものを右側に示します。得られるものは次のとおりです。

もうずっと良くなりました。これで、左側は乗算の準備が整いました。 5 と 4 の両方を一度に減らすには、左辺に何を掛けるべきですか? 20日に！しかし、方程式の両側にデメリットもあります。したがって、方程式の両辺に 20 ではなく -20 を掛けるのが最も便利です。そうすれば、マイナスも端数も一気に消えてしまいます。

したがって、次のように乗算します。

このステップをまだ理解していない人は、問題が方程式の中にはないことを意味します。問題は基礎にあります！かっこを開くときの黄金律をもう一度思い出してみましょう。

数値が括弧内の何らかの式で乗算される場合、この数値はその式の各項で順番に乗算されなければなりません。さらに、数値が正の場合、式の符号は展開後も保持されます。負の場合は、反対に変更します。

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

双方に-20を乗算すると、私たちの短所はなくなりました。そして、左側の分数を含む括弧にかなりの倍を掛けます正数 20. したがって、これらの括弧が開かれると、その中にあったすべての記号は保存されます。ただし、分数の分子の括弧がどこから来たのかについては、前の例ですでに詳しく説明しました。

これで、分数を減らすことができます。

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

残りのブラケットを開きます。繰り返しますが、私たちはそれを正確に明らかにします。最初の括弧には正の数 4 が乗算されるため、すべての符号は開いたときに保持されます。ただし、2 番目の括弧は次のように乗算されます。 ネガティブ数値は -5 であるため、すべての符号が反転されます。

12 - 20x - 15x + 10 = 20

ほんの些細なことが残っています。左側に X がある場合、右側に X がない場合:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

ほぼそれだけです。左側には純粋な X が必要ですが、数字 -35 が邪魔です。したがって、両辺を (-35) で割ります。 2 番目の恒等変換により、両辺の乗算と除算が可能になることを思い出してください。 何でも番号。マイナスも含む）ゼロじゃない限り！自由に分割して答えを求めてください。

X = 2/35

今度は X が分数であることが判明しました。大丈夫です。そのような例です。）

ご覧のとおり、線形方程式 (最も複雑な方程式であっても) を解く原理は非常に単純です。元の方程式を取得し、同じ変換を使用して、答えが得られるまでそれを連続的に単純化します。もちろん基本も踏まえて！ここでの主な問題は、まさに基本が守られていないこと（たとえば、括弧の前にマイナスがある、展開するときに符号を変更するのを忘れている）、および平凡な算術に準拠していないことです。だから基本を無視しないでください！それらは他のすべての数学の基礎です。

一次方程式を解くときにできる楽しいこと。または特別な機会。

すべてうまくいくでしょう。しかし...一次方程式の中には、それを解く過程で強い昏睡状態に陥る可能性がある非常に面白い宝石もあります。たとえ優秀な生徒であっても。）

たとえば、これは無害に見える方程式です。

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

大きくあくびをし、少し退屈しながら、左側のすべての X と右側のすべての数字を集めます。

7x-4x-3x = 5-2-3

類似したものを提示し、数えて取得します。

0 = 0

それでおしまい！裏技例を出してみました！この等価性自体には何の異論もありません。ゼロは実際にはゼロに等しいのです。でもXがいない！跡形もなく！そして、答えに次のように書かなければなりません。 xは何に等しいですか。そうでなければ、その決定は意味がありません。) どうすればよいでしょうか?

慌てないで！このような非標準的なケースでは、数学の最も一般的な概念と原則が役に立ちます。方程式とは何ですか? 方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 方程式を解くとはどういう意味ですか?

方程式を解くということは、全て変数 x の値。これを代入すると、 オリジナル方程式は正しい等式 (恒等式) を与えます。

しかし、私たちは真の平等を持っています それはすでに起こっています！ 0=0、あるいはむしろどこにもありません!) どの X がこの等価性を得るのかを推測することしかできません。どのような X を代入できますか オリジナル式に代入すると、それらすべてが それでもゼロになるのでしょうか？まだ分かりませんか？

もちろんです！ Xは代用可能です どれでも!!! 絶対にどれでも。何でも提出してください。少なくとも 1、少なくとも -23、少なくとも 2.7、何でも! それらは依然として減少し、その結果、純粋な真実が残ります。試してみて、置き換えて、自分の目で確かめてください。)

あなたの答えは次のとおりです。

x – 任意の数値.

科学的記数法では、この等価性は次のように記述されます。

このエントリは次のようになります。 「X は任意の実数です。」

または、間隔を置いて別の形式で:

お好みに合わせてデザインしてください。これは正しく、完全な答えです。

ここで、元の式の数値を 1 つだけ変更します。では、この方程式を解いてみましょう:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

再び項を転送し、カウントして取得します。

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

そして、このジョークについてどう思いますか? 普通の一次方程式があったのに、意味不明な等式になってしまった

0 = 1…

科学的に言えば、 偽りの平等。しかし、ロシア語ではこれは真実ではありません。でたらめ。ナンセンス。) ゼロは決して 1 と等しくないからです。

それでは、元の方程式に X を代入すると、どのような種類の X が得られるかをもう一度考えてみましょう。 本当の平等？どれの？しかし、何もありません！どの X に置き換えても、すべてが短縮され、すべてがゴミのままになります。)

答えは次のとおりです。 解決策がない.

数学的表記では、この答えは次のように記述されます。

「X は空集合に属します」と書かれています。

このような答えは数学でもよく起こります。原理的に方程式に根があるとは限りません。一部の方程式には根がまったくない場合があります。まったく。

ここで 2 つの驚きがあります。方程式から X が突然消えたために、あなたが永遠に困惑することがないことを願っています。これはよく知られています。)

そして論理的な質問が聞こえてきます。彼らは OGE と統一州試験のどちらを受けるのでしょうか? タスクとしての統一国家試験自体については、いいえ。シンプルすぎます。しかし、OGE や単語の問題では、簡単にできます。それでは、トレーニングして決定しましょう。

回答 (混乱中): -2; -1; 任意の数。 2; 解決策がない。 7/13。

すべてうまくいきましたか？素晴らしい！あなたには試験で良いチャンスがあります。

何か意味がありませんか? うーん…もちろん悲しいです。つまり、どこかにまだギャップがあるということです。基本または同一の変換のいずれかで。あるいは、単なる不注意の問題です。レッスンをもう一度読んでください。というのは、これは数学においてそう簡単に省略できるテーマではないからです...

幸運を！彼女はきっとあなたに微笑んでくれるでしょう、信じてください!)

線形方程式系は、それぞれ k 個の変数を含む n 個の線形方程式の和集合です。次のように書かれています。

多くの人は、初めて高等代数に遭遇するとき、方程式の数は必ず変数の数と一致する必要があると誤解します。学校の代数ではこれは通常起こりますが、高等の代数では、一般的に言えば、これは当てはまりません。

連立方程式の解は一連の数 (k 1、k 2、...、k n) であり、これは連立方程式の各方程式の解です。変数 x 1、x 2、...、x n の代わりにこの式に代入すると、正しい数値的等価性が得られます。

したがって、方程式系を解くということは、そのすべての解の集合を見つけるか、この集合が空であることを証明することを意味します。方程式の数と未知数の数は一致しない可能性があるため、次の 3 つのケースが考えられます。

システムに一貫性がない、つまりすべての解のセットは空です。システムを解決するためにどのような方法が使用されたとしても、簡単に検出されるかなりまれなケースです。
システムは一貫性があり、決定されています。つまり、には解決策が 1 つだけあります。学生時代からよく知られているクラシックバージョン。
システムは一貫性があり、未定義です。つまり、無限に多くの解決策があります。これは最も難しい選択肢です。「システムには無限の解のセットがある」と示すだけでは十分ではありません。このセットがどのように構成されているかを説明する必要があります。

変数 x i は、システムの 1 つの方程式にのみ含まれ、係数が 1 である場合に許可されていると呼ばれます。つまり、他の方程式では、変数 x i の係数はゼロに等しくなければなりません。

各方程式で許容変数を 1 つ選択すると、方程式系全体で許容変数のセットが得られます。この形式で記述されたシステム自体も解決済みと呼ばれます。一般に、同じ元のシステムを異なる許可されたシステムに縮小することができますが、今のところ、これについては心配していません。許可されているシステムの例は次のとおりです。

どちらのシステムも変数 x 1 、x 3 、および x 4 に関して解決されます。しかし、同様の成功により、2 番目のシステムは x 1、x 3、および x 5 に関して解決されたと主張することができます。最後の方程式を x 5 = x 4 の形式に書き直すだけで十分です。

次に、より一般的なケースを考えてみましょう。合計 k 個の変数があり、そのうち r 個が許可されるとします。その場合、次の 2 つのケースが考えられます。

許可される変数の数 r は、変数 k の総数と等しくなります (r = k)。 r = k の許容変数を持つ k 個の方程式系を取得します。このようなシステムは共同かつ明確です。 x 1 = b 1、x 2 = b 2、...、x k = b k;
許可される変数 r の数は変数 k の総数より少ないです: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

したがって、上記のシステムでは、変数 x 2、x 5、x 6 (最初のシステムの場合) と x 2、x 5 (2 番目のシステムの場合) は自由です。自由変数がある場合は、定理として定式化する方が適切です。

注意してください: これは非常に重要なポイントです。結果として得られるシステムの記述方法に応じて、同じ変数を許可することも自由にすることもできます。高等数学の家庭教師の多くは、変数を辞書順に書き出すことを推奨しています。昇順のインデックス。ただし、このアドバイスに従う義務はありません。

定理。 n 個の方程式系で変数 x 1、x 2、...、x r が許可され、x r + 1、x r + 2、...、x k が自由である場合、次のようになります。

自由変数の値 (x r + 1 = t r + 1、x r + 2 = t r + 2、...、x k = t k) を設定し、値 x 1、x 2、 ...、x r、決定の 1 つが得られます。

2 つのソリューションで自由変数の値が一致する場合、許可された変数の値も一致します。解は等しい。

この定理の意味は何でしょうか? 解決された方程式系に対するすべての解を得るには、自由変数を分離するだけで十分です。次に、自由変数にさまざまな値を代入して、既製のソリューションを取得します。それだけです - このようにして、システムのすべてのソリューションを取得できます。他に解決策はありません。

結論: 解決された方程式系は常に一貫しています。解決されたシステムの方程式の数が変数の数と等しい場合、システムは確定的になります。それより少ない場合、システムは不定になります。

すべてがうまくいくはずですが、問題が生じます。元の方程式系から解決された方程式を取得するにはどうすればよいでしょうか? このためには、

未知数 x 1、x 2、...、x n を含む一次方程式は、次の形式の方程式です。

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

数値 a および a 2 、a 2 、...、a n は未知数の係数と呼ばれ、数値 b は方程式の自由項です。

未知数が 1 つある一次方程式は、4,000 年以上前の古代バビロンとエジプトで解くことができました。たとえば、大英博物館に保管されている 2000 ～ 1700 年の時代に遡るリンドパピルス (アーメスパピルスとも呼ばれる) の問題を挙げてみましょう。紀元前 e.: 「その数値の 2/3 を加え、その合計から 3 分の 1 を引くと数値 10 が得られることがわかっている場合、その数値を求めてください。」この問題の解決策は、結局、一次方程式を解くことになります。

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10、したがって x = 9 となります。

また、詩で構成された興味深い問題の作者であること以外、その生涯については何も知られていないメトロドルスの問題も提示しましょう。

ここにディオファントスが埋葬されており、その墓石は
上手に数えながら彼は教えてくれる
彼の人生はどれくらい長かったのか。
神の定めにより、彼は人生の6分の1を少年として過ごしました。
第十二部では、彼の輝かしい青春は過ぎ去った。
人生の7番目の部分を追加しましょう - 私たちの前には処女膜の炉があります。
5年が経ちました。そしてハイメンは彼に息子を送った。
しかし、子供にとっては不幸なことです！彼はかろうじて半分しか生きられなかった
父親が亡くなった年、それは不幸な年でした。
ディオファントスはそのような墓の喪失に4年間苦しみました
そして科学のために生きた彼は死んだ。教えて、
ディオファントスは何歳で死を迎えましたか?

一次方程式を解く

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x、

x = 84 であることがわかります。これはディオファントスが生きた年数です。

ディオファントス自身は、不定方程式に多くの注意を払っていました (これは、整数の係数を持つ 2 つ以上の未知数を含む代数方程式またはそのような方程式系に与えられた名前であり、整数または有理解が求められます。未知数の数はより大きくなければなりません)方程式の数）。これらの方程式はディオファントス方程式と呼ばれます。確かに、2 世紀から 3 世紀の変わり目に生きていたディオファントスは、主に高次の不定方程式に関心を持っていました。

(1) の形式を持つ代数方程式系を線形系と呼びます。システムに含まれる方程式の係数には、通常、2 つのインデックスで番号が付けられます。最初のインデックスは方程式の番号で、2 番目のインデックス ((1) と同様) は未知数の番号です。たとえば、n 個の未知数を含む m 個の方程式系は次の形式で記述されます。

$\左。 \begin(整列) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m))。 \\ \end(揃え) \right\)(2)$

2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式系を考えてみましょう。

$\左。 \begin(整列) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1) ))、\\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2) ))、\\ \end(aligned) \right\)(3)$

システム (3) の最初の方程式に 22 を乗算し、得られた方程式から 12 を乗算した 2 番目の方程式を減算してみましょう。同様に、システム (3) の 2 番目の方程式に 11 を乗算し、結果として得られる方程式から 21 を乗算した最初の方程式を減算します。この後、システムを取得します。

$\左。 \begin(aligned) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$

$\左。 \begin(整列) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(aligned) \right\)(4)$

これはシステム (3) の結果です。システム (4) は次の形式で記述できます。

$\左。 \begin(整列) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(整列) \right\)(5)$

ここで、∆ はシステムの係数で構成される行列の行列式 (「行列式」を参照)、∆ i は i 番目の列を自由項の列で以前に置き換えることで得られた行列の行列式です、i = 1,2 。さらに、 ∆ ≠ 0 の場合、システム (5) には一意の解があります。

x 1 = Δ 1 /Δ、x 2 = Δ 2 /Δ。

直接置換により、この数値のペアもシステム (3) の解となることが検証されます。同じルールを使用して、n 個の未知数を持つ n 個の線形方程式の系の解を検索します。系の行列式 ∆ がゼロ以外の場合、その系は一意の解を持ちます。

x i = ∆ i /∆

ここで、∆ i は、システムの係数で構成される行列の i 番目の列を自由項の列に置き換えることによって得られる行列の行列式です。線形システムを解くための説明された規則は、Cramer の規則と呼ばれます。 (G. Cramer - スイスの数学者、1704–1752)。

∆ = 0 の場合、∆ 1 と ∆ 2 の両方が消滅する必要があります (そうでない場合は (5)、特に (3) には解がありません)。条件 ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0 が満たされ、未知数の対応する係数と系 (3) の方程式の自由項が比例する場合、系には無限に多くの解が存在します。未知数の係数の少なくとも 1 つがゼロ以外の場合 (たとえば、12 ≠ 0 の場合)、x 1 は任意のものとみなすことができます。

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

システムが次の形式を持つ場合の分析はまだ残っています。

$\左。 \begin(整列) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(整列) \right\)$

答えは明らかです。b 1 = b 2 = 0 の場合、解は任意の数値のペアになります。そうでない場合、解は存在しません。

一般的なケースでは、∆ ≠ 0 の n 個の未知数を持つ n 個の方程式系の場合、その系には一意の解があり、これはすでに述べたように、クラマーの法則を使用して見つけることができます。 ∆ = 0 で、行列式 ∆ i の少なくとも 1 つがゼロでない場合、システムは矛盾しています (つまり、解がありません)。 ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0 の場合、システムは一貫性がないか、無限に多くの解が存在する可能性があります。これら 2 つのケースのどちらが行列式を使用して実現されるかを確立することは非常に困難であるため、これについては扱いません。実際には、通常、線形システムを解くために Cramer の法則は使用されません。ほとんどの場合、ガウス法はこれらの目的に使用されます (「不明な例外」を参照)。

知られているように、一次方程式 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b は、係数 a 1 および a 2 の少なくとも 1 つが異なる場合、平面 (x 1 ; x 2) 上の直線を定義します。ゼロ。平面上に 2 本の線をとった場合、次のようなケースが考えられます (図を参照)。1) 線は平行で共通点がなく、システムには解がありません。 2) 線が交差すると、システムの解は 1 つになります。 3) 線が一致すると、システムには無限に多くの解が存在します。しかし、「ランダムに」取られた 2 本の直線は「原則として」交差します。つまり、原則として、2 つの変数を持つ 2 つの線形方程式系は 1 つの解を持ちます。平面上の特定の直線上の任意の点は、「系」（1 つの方程式からなる）の解に対応します。つまり、原則としてケース 3 が発生します（ケース 2 は不可能であり、ケース 1 は次の方程式をとれば実現されます）。 0 x 1 + 0 x 2 = b、ここで b ≠ 0、これは平面上の線を定義しません)。平面上に 3 本以上の線がある場合、一般に、それらはすべて一致するか、1 つの点を通過する可能性がありますが、原則として、最初のケースが発生します。つまり、線に共通の点がありません。

まずそれが何であるかを理解する必要があります。

簡単な定義があります 一次方程式、通常の学校で与えられる、「変数が 1 乗でのみ出現する方程式」。しかし、それは完全に正しいわけではありません。方程式は線形ではなく、線形にさえ帰着せず、二次方程式に帰着します。

より正確な定義は次のとおりです。 一次方程式は、次の方程式です。 等価変換という形式に減らすことができます。ここで、title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

実際、方程式が線形であるかどうかを理解するには、まず方程式を単純化する必要があります。つまり、方程式の分類が明確になる形式にする必要があります。方程式の根を変えない限り、方程式では何をしてもいいということを覚えておいてください。それが本質です。 等価変換。最も単純な等価変換には次のものがあります。

開き括弧
同様のものを持ってくる
方程式の両辺をゼロ以外の数値で乗算および/または除算する
同じ数値または式の両側から加算および/または減算*

これらの変換は、方程式を「台無しにする」かどうかを考えることなく、苦痛なく行うことができます。
*最後の変換の特別な解釈は、符号の変更を伴うある部分から別の部分への用語の「転送」です。

例 1:
（括弧を開けてみましょう）
(両方の部分に加算し、左側の数値と右側の変数の符号を変更して減算/転送します)
（似たものをあげましょう）
(方程式の両辺を 3 で割ります)

したがって、元のものと同じ根を持つ方程式が得られます。読者に思い出してもらいましょう 「方程式を解く」- そのルーツをすべて見つけ出し、他にルーツが存在しないことを証明することを意味します。 「方程式の根」- これは、未知数を代入すると、方程式が真の等価になる数値です。最後の方程式で、方程式を真の等式にする数値を見つけるのは非常に簡単です。これが数値です。この式から他の数値が同一になることはありません。答え：

例 2:
(方程式の両辺に次の値を掛けますを乗算していないことを確認した後、 : title="x3/2"> и title="×3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
（括弧を開けてみましょう）
(用語を移動しましょう)
（似たものをあげましょう）
(両方の部分をで割ります)

これは、ほぼすべての線形方程式を解く方法です。若い読者にとっては、この説明は複雑に思われる可能性が高いため、次のバージョンを提供します。 「5年生の一次方程式」

レッスン内容

2 変数の一次方程式

学童は学校で昼食を食べるのに200ルーブルを持っています。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。 200ルーブルでケーキとコーヒーを何杯買えますか?

ケーキの数を次のように表しましょう。 ×、そしてコーヒーのカップ数 y。この場合、ケーキのコストは式 25 で表されます。 ×、10 杯分のコーヒーのコスト y .

25×—価格 ×ケーキ
10y —価格 yコーヒーカップ

合計金額は200ルーブルでなければなりません。次に、2 つの変数を含む方程式が得られます。 ×そして y

25×+ 10y= 200

この方程式には根がいくつありますか?

すべては生徒の食欲次第です。彼がケーキ 6 個とコーヒー 5 カップを買う場合、方程式の根は数字 6 と 5 になります。

値 6 と 5 のペアは、方程式 25 の根であると言われています。 ×+ 10y= 200 。 (6; 5) として記述され、最初の数字が変数の値になります。 ×、2番目 - 変数の値 y .

式 25 を逆にする根は 6 と 5 だけではありません。 ×+ 10y= 200 でアイデンティティになります。希望に応じて、学生は同じ 200 ルーブルでケーキ 4 個とコーヒー 10 杯を購入できます。

この場合、式 25 の根は ×+ 10y= 200 は値のペア (4; 10) です。

さらに、小学生はコーヒーをまったく買わずに、200ルーブル全額でケーキを買うかもしれません。次に、方程式 25 の根 ×+ 10y= 200 は値 8 と 0 になります

またはその逆、ケーキは買わずに、200 ルーブル全額でコーヒーを買ってください。次に、方程式 25 の根 ×+ 10y= 200 値は 0 と 20 になります

方程式 25 の可能な根をすべてリストしてみましょう。 ×+ 10y= 200 。価値観に同意しましょう ×そして y整数の集合に属します。そして、これらの値をゼロ以上とします。

×∈Z、Y∈ Z;
× ≧ 0, y ≧ 0

これは学生自身にとっても便利です。たとえば、ホールケーキを数個と半分のケーキを購入するよりも、ホールケーキを購入する方が便利です。また、コーヒーをカップ数杯と半分ずつ飲むよりも、カップ全体でコーヒーを飲むほうが便利です。

奇数の場合に注意してください ×いかなる状況下でも平等を達成することは不可能である y。次に、値 ×次の数字は 0、2、4、6、8 になります。 ×簡単に判断できます y

したがって、次の値のペアを受け取りました。 (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). これらのペアは式 25 の解または根です。 ×+ 10y= 200。彼らはこの方程式を恒等式に変えます。

次の形式の方程式 ax + by = c呼ばれた 2 変数の線形方程式。この方程式の解または根は値のペアです( ×; y）それをアイデンティティに変えます。

2 つの変数を含む線形方程式が次の形式で記述される場合にも注意してください。 ax + b y = c 、それから彼らはそれが書かれていると言います 正規の（通常の）形。

2 変数の一部の線形方程式は正準形式に変換できます。

たとえば、次の方程式 2(16×+ 3y − 4) = 2(12 + 8× − y) 思い浮かぶことができる ax + by = c。この方程式の両側の括弧を開いて、 32× + 6y − 8 = 24 + 16× − 2y 。未知数を含む項を方程式の左側にグループ化し、未知数を含まない項を右側にグループ化します。それから、私たちは得ます 32×− 16×+ 6y+ 2y = 24 + 8 。同様の項を両側に提示すると、式 16 が得られます。 ×+ 8y= 32. この方程式は次の形式に簡略化されます。 ax + by = cそして正規です。

前に説明した式 25 ×+ 10y= 200 も、正準形式の 2 つの変数を含む線形方程式です。この方程式のパラメータはある , bそして cは、それぞれ値 25、10、および 200 に等しくなります。

実は方程式は ax + by = cには無数の解決策があります。方程式を解く 25×+ 10y= 200, 整数のセットでのみその根を探しました。その結果、この方程式を恒等式に変える値のペアがいくつか得られました。しかし、有理数のセットでは、方程式 25 ×+ 10y= 200 では無限に多くの解が存在します。

新しい値のペアを取得するには、次の値の任意の値を取得する必要があります。 ×、次に表現します y。たとえば、変数を考えてみましょう ×値 7。次に、1 つの変数を含む方程式が得られます。 25×7 + 10y= 200 その中で表現できるもの y

させて ×= 15。次に、方程式 25×+ 10y= 200 は 25 × 15 になります + 10y= 200. ここから次のことが分かります y = −17,5

させて ×= −3 。次に、方程式 25×+ 10y= 200 は 25 × (−3) になります + 10y= 200. ここから次のことが分かります y = −27,5

2 つの変数をもつ 2 つの線形方程式系

方程式については ax + by = c好きなだけ任意の値を取ることができます ×の値を見つけます y。個別に考えると、そのような方程式には無数の解が存在します。

しかし、変数が ×そして y 1 つの方程式ではなく、2 つの方程式で結ばれています。この場合、それらはいわゆる 2 変数の線形方程式系。このような連立方程式は 1 組の値 (言い換えれば「1 つの解」) を持つことができます。

システムにまったく解決策がない場合もあります。線形方程式系には、まれな例外的なケースにおいて無数の解が存在することがあります。

値が次の場合、2 つの線形方程式はシステムを形成します。 ×そして yこれらの各式に代入します。

一番最初の方程式 25 に戻りましょう。 ×+ 10y= 200 。この方程式の値のペアの 1 つは (6; 5) のペアでした。これは、200 ルーブルでケーキ 6 個とコーヒー 5 杯が買える場合です。

ペア (6; 5) が方程式 25 の唯一の解となるように問題を定式化しましょう。 ×+ 10y= 200 。これを行うには、同じものを接続する別の方程式を作成しましょう。 ×ケーキと yコーヒーのカップ。

問題の本文を次のように述べましょう。

「学生はケーキ数個とコーヒー数杯を200ルーブルで買いました。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。ケーキの数がコーヒーのカップ数より 1 単位大きいことがわかっている場合、学生はケーキとコーヒーを何杯購入しましたか?

最初の方程式はすでにあります。これは式 25 です ×+ 10y= 200 。次に、条件の方程式を作成しましょう 「ケーキの数はコーヒーのカップ数より一単位多いです」 .

ケーキの数は、 ×、コーヒーのカップ数は y。このフレーズは次の方程式を使って書くことができます。 x−y= 1. この式は、ケーキとコーヒーの差が 1 であることを意味します。

x = y+ 1 。この式は、ケーキの数がコーヒーのカップ数より 1 つ多いことを意味します。したがって、平等を得るには、コーヒーのカップ数に 1 を加えます。これは、最も単純な問題を研究するときに考慮したスケールのモデルを使用すると簡単に理解できます。

2 つの方程式が得られます: 25 ×+ 10y= 200 および x = y+ 1. 値なので、 ×そして y、つまり 6 と 5 がこれらの式のそれぞれに含まれており、一緒になってシステムを形成します。このシステムを書いてみましょう。方程式が系を形成している場合、方程式は系の符号によって囲まれます。システムシンボルは中括弧です。

このシステムを解決しましょう。これにより、値 6 と 5 にどのように到達するかを確認できます。このようなシステムを解決するには、多くの方法があります。その中で最も人気のあるものを見てみましょう。

置換方法

このメソッドの名前自体がそれを物語っています。その本質は、変数の 1 つを事前に表現した方程式を別の方程式に代入することです。

私たちのシステムでは、何も表現する必要はありません。 2 番目の方程式では × = y+ 1 変数 ×すでに表現されています。この変数は次の式と等しくなります y+ 1 。次に、変数の代わりにこの式を最初の方程式に代入できます。 ×

式を置き換えた後 y代わりに最初の方程式に + 1 を加えます ×、方程式が得られます 25(y+ 1) + 10y= 200 。これは変数が 1 つの線形方程式です。この方程式を解くのは非常に簡単です。

変数の値が見つかりました y。この値を方程式の 1 つに代入して、値を見つけてみましょう。 ×。このためには、2 番目の式を使用すると便利です。 × = y+ 1 。値を代入してみましょう y

これは、意図したとおり、ペア (6; 5) が連立方程式の解であることを意味します。ペア (6; 5) がシステムを満たしていることを確認します。

例 2

最初の式を代入してみましょう ×= 2 + y 2 番目の式 3 に代入する ×− 2y= 9。最初の方程式では、変数は ×式 2 + に等しい y。この式を 2 番目の方程式に代入してみましょう。 ×

では値を求めてみましょう ×。これを行うには、値を代入しましょう y最初の方程式に代入する ×= 2 + y

これは、システムの解がペア値 (5; 3) であることを意味します。

例 3。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

ここでは、前の例とは異なり、変数の 1 つが明示的に表現されていません。

ある式を別の式に代入するには、まずが必要です。

係数が 1 の変数を表現することをお勧めします。変数の係数は 1 です ×、最初の方程式に含まれています ×+ 2y= 11. この変数を表現してみましょう。

変数式の後 ×、私たちのシステムは次の形式になります。

最初の式を 2 番目の式に代入して値を求めてみましょう y

代用しましょう y ×

これは、システムの解が値のペア (3; 4) であることを意味します。

もちろん変数を表現することもできます y。これでは根は変わりません。でも、表現するとしたら、 そう、結果はそれほど単純な方程式ではないため、解くのにさらに時間がかかります。次のようになります。

この例では次のように表現できることがわかります。 ×表現するよりはるかに便利です y .

例 4。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式で表してみましょう ×。すると、システムは次のような形式になります。

代用しましょう y最初の方程式に代入して求めます ×。元の式 7 を使用できます。 ×+ 9y= 8、または変数を表す式を使用します ×。便利なのでこの式を使用します。

これは、システムの解が値のペア (5; −3) であることを意味します。

加算方法

加算方法は、システムに含まれる式を項ごとに加算することで構成されます。この追加により、1 つの変数を含む新しい方程式が生成されます。そして、そのような方程式を解くのは非常に簡単です。

次の連立方程式を解いてみましょう。

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。次の等式が得られます。

類似の用語を見てみましょう。

その結果、最も単純な方程式 3 が得られました。 ×= 27 の根は 9 です。値を知る ×価値を見つけることができます y。値を代入してみましょう × 2番目の方程式に代入する x−y= 3 。 9を取得します- y= 3 。ここから y= 6 .

これは、システムの解が値のペア (9; 6) であることを意味します。

例 2

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。結果として得られる等価性では、同様の項を提示します。

その結果、最も単純な方程式 5 が得られました。 ×= 20、その根は 4. 値を知る ×価値を見つけることができます y。値を代入してみましょう ×最初の式 2 に代入する x+y= 11. 8+を取得しましょう y= 11. ここから y= 3 .

これは、システムの解が値のペアであることを意味します(4;3)

追加処理については詳細な説明を省略する。それは精神的に行われなければなりません。加算する場合、両方の方程式を標準形式に変換する必要があります。つまり ac + by = c .

検討した例から、方程式を追加する主な目的は、変数の 1 つを削除することであることは明らかです。ただし、加算法を使用して連立方程式をすぐに解くことが常に可能であるとは限りません。ほとんどの場合、システムは最初に、このシステムに含まれる方程式を追加できる形式になります。

たとえば、システム足し算ですぐに解けます。両方の方程式を追加すると、項は yそして −yそれらの合計がゼロになるため消滅します。その結果、最も単純な方程式 11 が形成されます。 ×= 22、その根は 2 です。これにより、次のことが求められます。 y 5に等しい。

そして方程式系変数の 1 つが消えるわけではないため、加算法をすぐに解決することはできません。加算すると式 8 が得られます。 ×+ y= 28、これには無限の数の解があります。

方程式の両辺をゼロではない同じ数で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。この規則は、2 つの変数を含む線形方程式系にも当てはまります。方程式の一方 (または両方) には任意の数を掛けることができます。結果は同等のシステムとなり、そのルートは前のシステムと一致します。

小学生がケーキとコーヒーを何杯買ったかを記述した最初のシステムに戻りましょう。このシステムの解決策は、値のペア (6; 5) でした。

このシステムに含まれる両方の方程式にいくつかの数値を掛けてみましょう。最初の式に 2 を乗算し、2 番目の式に 3 を乗算するとします。

その結果、こんなシステムが出来上がりました
このシステムの解決策は依然として値のペア (6; 5) です。

これは、システムに含まれる方程式を加算法の適用に適した形式に縮小できることを意味します。

システムに戻りましょう、加算法では解決できませんでした。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に -2 を掛けます。

次に、次のシステムが得られます。

この系に含まれる方程式を合計してみましょう。コンポーネントの追加 12 ×と -12 ×結果は 0、加算は 18 yそして4 y 22を与えます y、108 と −20 を足すと 88 になります。すると、式 22 が得られます。 y= 88、ここから y = 4 .

最初は頭の中で方程式を追加するのが難しい場合は、最初の方程式の左辺が 2 番目の方程式の左辺とどのように加算されるか、最初の方程式の右側と次の方程式の右側がどのように加算されるかを書き留めることができます。 2 番目の方程式:

変数の値が分かると、 y 4に等しい場合、値を見つけることができます ×。代用しましょう y方程式の 1 つ、たとえば最初の方程式 2 に代入します。 ×+ 3y= 18。次に、変数 2 が 1 つある方程式が得られます。 ×+ 12 = 18。 12 を右側に移動し、符号を変えて 2 を取得します。 ×= 6、ここから × = 3 .

例 4。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

2 番目の方程式に −1 を掛けてみましょう。この場合、システムは次の形式になります。

両方の方程式を足してみましょう。コンポーネントの追加 ×そして −x結果は 0、加算は 5 yそして3 y 8を与えます y、7 と 1 を加算すると 8 が得られます。結果は式 8 になります。 y= 8 のルートは 1 です。値がわかっていること y 1に等しい場合、値を見つけることができます × .

代用しましょう y最初の方程式に代入すると、次のようになります。 ×+ 5 = 7 したがって、 ×= 2

例5。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

同じ変数を含む用語は上下に配置することが望ましい。したがって、2 番目の方程式の項 5 yおよび -2 ×場所を交換しましょう。その結果、システムは次のような形式になります。

2 番目の方程式に 3 を掛けてみましょう。すると、システムは次の形式になります。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 8 が得られます。 y= 16、その根は 2。

代用しましょう y最初の方程式に代入すると、6 が得られます。 ×− 14 = 40。符号を変えて項 -14 を右側に移動し、6 を取得しましょう。 ×= 54 。ここから ×= 9.

例6。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

分数を捨ててみましょう。最初の式に 36 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

結果として得られるシステムでは最初の方程式は -5 倍、2 番目の方程式は 8 倍できます。

結果として得られるシステムの方程式を加算してみましょう。次に、最も単純な方程式 −13 が得られます。 y= −156 。ここから y= 12。代用しましょう y最初の方程式に代入して求めます ×

例 7。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

両方の方程式を正規形にしてみましょう。ここで、両方の方程式に比例の法則を適用すると便利です。最初の方程式の右辺がとして表され、2 番目の方程式の右辺がとして表される場合、システムは次の形式になります。

割合があります。その極値と中間項を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

最初の方程式に −3 を掛けて、2 番目の方程式の括弧を開けてみましょう。

それでは、両方の方程式を追加してみましょう。これらの方程式を追加した結果、両側がゼロになる等式が得られます。

このシステムには無数の解決策があることがわかりました。

しかし、空から任意の値をそのまま受け取ることはできません。 ×そして y。いずれかの値を指定でき、もう一方の値は指定した値に応じて決定されます。たとえば、 ×= 2 。この値をシステムに代入してみましょう。

方程式の 1 つを解いた結果、次の値が得られます。 y、これは両方の方程式を満たします。

結果として得られる値のペア (2; −2) はシステムを満たします。

別の値のペアを見つけてみましょう。させて ×= 4. この値をシステムに代入してみましょう。

目で見てその価値がわかります yゼロに等しい。次に、システムを満たす値のペア (4; 0) を取得します。

例8。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

残っているものを書き直してみましょう。

最初の式に −1 を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

それでは、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 6 が形成されます。 b= 48、その根は 8。 b最初の方程式に代入して求めますある

3 つの変数を含む線形方程式系

3 つの変数を含む線形方程式には、係数を持つ 3 つの変数と切片項が含まれます。正規形式では次のように記述できます。

ax + by + cz = d

この方程式には無数の解があります。 2 つの変数に異なる値を与えると、3 番目の値を見つけることができます。この場合の解決策は、値の 3 倍になります ( ×; y; z) 方程式を恒等式に変換します。

変数の場合 x、y、zが 3 つの方程式によって相互接続されると、3 つの変数を含む 3 つの線形方程式からなる系が形成されます。このようなシステムを解くには、2 つの変数を含む線形方程式に適用するのと同じ方法、つまり置換法と加算法を使用できます。

例1。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

3番目の式で表してみましょう ×。すると、システムは次のような形式になります。

では、置換をしてみましょう。変数 ×式と等しい 3 − 2y − 2z 。この式を最初と 2 番目の式に代入してみましょう。

両方の方程式の括弧を開いて、同様の項を提示してみましょう。

2 つの変数をもつ線形方程式系に到達しました。このような場合には加算方式を利用すると便利です。その結果、変数は yが消えて変数の値を見つけることができます z

では値を求めてみましょう y。これを行うには、方程式を使用すると便利です- y+ z= 4. 値を代入します。 z

では値を求めてみましょう ×。これを行うには、次の方程式を使用すると便利です ×= 3 − 2y − 2z 。値を代入してみましょう yそして z

したがって、値のトリプル (3; −2; 2) がシステムの解となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

例 2。加法を使用して系を解く

最初の方程式と −2 を掛けた 2 番目の方程式を加算してみましょう。

2 番目の方程式に -2 を掛けると、次の形式になります。 −6×+ 6y − 4z = −4 。これを最初の方程式に追加してみましょう。

基本的な変換の結果、変数の値が決定されたことがわかります。 ×。それは 1 に等しいです。

メインシステムに戻りましょう。 2 番目の方程式と 3 番目の方程式を加算し、-1 を掛けてみましょう。 3 番目の方程式に −1 を掛けると、次の形式になります。 −4× + 5y − 2z = −1 。次に、これを 2 番目の方程式に追加してみましょう。

方程式が分かりました ×− 2y= −1 。値を代入してみましょう ×以前に見つけたものです。その後、値を決定できます y

今ではその意味が分かりました ×そして y。これにより、値を決定できるようになります z。システムに含まれる方程式の 1 つを使用してみましょう。

したがって、値のトリプル (1; 1; 1) がシステムの解となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

連立一次方程式の構成に関する問題

連立方程式を構成するタスクは、いくつかの変数を入力することで解決されます。次に、問題の条件に基づいて方程式が作成されます。コンパイルされた方程式からシステムを形成し、それを解きます。システムを解いた後、その解が問題の条件を満たしているかどうかを確認する必要があります。

問題 1。ヴォルガの車が街から集団農場に向かって走った。彼女は最初の道よりも 5 km 短い別の道を通って戻りました。車は往復で合計35kmを走行しました。それぞれの道の長さは何キロですか?

解決

させて ×—最初の道路の長さ、 y- 秒の長さ。車が往復 35 km 移動した場合、最初の方程式は次のように書くことができます。 ×+ y= 35。この式は、両方の道路の長さの合計を表します。

車は最初より５キロ短い道を戻ったという。次に、2 番目の方程式は次のように書くことができます。 ×− y= 5。この式は、道路の長さの差が 5 km であることを示しています。

または、2 番目の方程式は次のように書くこともできます。 ×= y+5。この方程式を使用します。

なぜなら変数は ×そして y両方の方程式で同じ数値を表す場合、それらからシステムを形成できます。

以前に研究した方法のいくつかを使用して、このシステムを解いてみましょう。この場合、2 番目の方程式では変数が ×すでに表現されています。

2 番目の式を最初の式に代入して求めます。 y

見つかった値を代入してみましょう y 2番目の方程式では ×= y+ 5 すれば見つかります ×

最初の道路の長さは変数によって示されました。 ×。今、私たちはその意味を見つけました。変数 ×これは、最初の道路の長さが 20 km であることを意味します。

そして、2番目の道の長さは次のように示されました。 y。この変数の値は 15 です。これは、2 番目の道路の長さが 15 km であることを意味します。

確認してみましょう。まず、システムが正しく解決されていることを確認しましょう。

次に、解 (20; 15) が問題の条件を満たすかどうかを確認してみましょう。

車は往復で計３５キロを走行したという。両方の道路の長さを加算し、解 (20; 15) が次の条件を満たすことを確認します。 20km + 15km = 35km

次の条件: 車は最初の道より5km短い別の道を戻った。 。 15 km は 20 km より 5 km 短いため、解 (20; 15) もこの条件を満たすことがわかります。 20km − 15km = 5km

システムを構成するときは、このシステムに含まれるすべての方程式で変数が同じ数値を表すことが重要です。

したがって、私たちのシステムには 2 つの方程式が含まれています。これらの方程式には変数が含まれます ×そして yこれらは両方の方程式で同じ数字、つまり道路の長さ 20 km と 15 km を表します。

問題 2。ナラとマツの枕木がプラットフォームに積み込まれ、合計 300 本の枕木が積み込まれました。すべてのオーク枕木はすべての松枕木よりも 1 トン軽いことが知られています。各オーク枕木が 46 kg、各松枕木が 28 kg である場合、オーク枕木と松枕木がそれぞれ何本あったかを調べます。

解決

させて ×オークと y松枕木がプラットホームに積み込まれていました。合計 300 人の枕木がある場合、最初の方程式は次のように書くことができます。 x+y = 300 .

オーク材の枕木はすべて重さ 46 × kg、松材の重さは28でした。 y kg。オーク枕木は松枕木よりも 1 トン軽いので、2 番目の方程式は次のように書くことができます。 28y − 46×= 1000 。この方程式は、オーク枕木と松枕木の質量の差が 1000 kg であることを示しています。

オークやマツの枕木の質量はキログラムで測定されるため、トンはキログラムに変換されました。

その結果、システムを形成する 2 つの方程式が得られます。