解決策の説明。総微分の方程式総微分の方程式の定義

いくつかの機能。全微分から関数を復元すると、微分方程式の一般積分が求められます。以下でお話します 関数をその合計微分から復元する方法.

微分方程式の左辺は、ある関数の全微分です。 U(x, y) = 0条件が満たされた場合。

なぜならフルディファレンシャル機能 U(x, y) = 0これ , これは、条件が満たされると、と記述されることを意味します。

それから、 .

システムの最初の方程式から次のことが得られます。。システムの 2 番目の方程式を使用して関数を求めます。

このようにして、必要な関数を見つけます U(x, y) = 0.

例。

DE に対する一般的な解決策を見つけてみましょう .

解決。

私たちの例では。次の理由により条件が満たされます。

すると、初期微分方程式の左辺は、ある関数の全微分になります。 U(x, y) = 0。この関数を見つける必要があります。

なぜなら関数の微分の合計です U(x, y) = 0、手段：

私たちは次のように統合しますバツシステムの 1 次方程式と微分 y結果：

システムの 2 番目の方程式から、が得られます。手段：

どこと- 任意の定数。

したがって、与えられた方程式の一般積分は次のようになります。 .

2つ目があります 関数の合計微分から関数を計算する方法。固定点の線積分を求めることで構成されます (x 0 , y 0)可変座標の点へ (x, y): 。この場合、積分の値は積分の経路には依存しません。リンクが座標軸に平行な破線を積分パスとして取ると便利です。

例。

DE に対する一般的な解決策を見つけてみましょう .

解決。

条件が満たされていることを確認します。

したがって、微分方程式の左辺は、ある関数の完全微分です。 U(x, y) = 0。点の曲線積分を計算してこの関数を見つけてみましょう (1; 1) 前に (x, y)。統合の経路として破線を選択します。破線の最初のセクションは直線に沿って通過します。 y = 1地点から (1, 1) 前に (x, 1)、パスの 2 番目のセクションとして、点から直線セグメントを取得します。 (x, 1)前に (x, y):

したがって、リモコンの一般的な解決策は次のようになります。 .

例。

DE の一般的な解を決定してみましょう。

解決。

なぜならこれは、条件が満たされていないことを意味します。その場合、微分方程式の左辺は関数の完全微分ではないため、2 番目の解法を使用する必要があります (この方程式は分離可能な変数を持つ微分方程式です)。

ディファレンシャル 次の形式の方程式と呼ばれます

P(x、y)DX + Q(x、y)ダイ = 0 ,

ここで、左側は 2 つの変数の関数の合計微分です。

2 つの変数の未知の関数 (これは、全微分方程式を解くときに見つける必要があるものです) を次のように表します。 Fすぐに戻ります。

まず注意すべきことは、方程式の右側にはゼロがなければならず、左側の 2 つの項を結ぶ符号はプラスでなければならないということです。

第 2 に、この微分方程式が全微分方程式であることを裏付ける何らかの等式が観察されなければなりません。このチェックは、全微分の方程式を解くためのアルゴリズムの必須の部分です (このレッスンの 2 番目の段落にあります)。 Fかなりの労力がかかるため、最初の段階で時間を無駄にしないようにすることが重要です。

したがって、見つける必要がある未知の関数は次のように表されます。 F。すべての独立変数の偏微分の合計により、合計微分が得られます。したがって、方程式が全微分方程式の場合、方程式の左辺は偏微分の和になります。それでは定義上

DF = P(x、y)DX + Q(x、y)ダイ .

2 つの変数の関数の合計微分を計算する式を思い出してみましょう。

最後の 2 つの等式を解くと、次のようになります。

最初の等式を変数「y」に関して微分し、2 番目の等式を変数「x」に関して微分します。

これは、与えられた微分方程式が真に全微分方程式となるための条件です。

全微分における微分方程式を解くアルゴリズム

ステップ1。方程式が全微分方程式であることを確認してください。表現するにはある関数の微分の合計でした F(x、y）が必要かつ十分であるため。言い換えれば、次に関して偏導関数を取る必要があります。バツとに関する偏導関数 y別の項を使用し、これらの導関数が等しい場合、方程式は全微分方程式になります。

ステップ2。関数を構成する偏微分方程式系を書き留めます。 F:

ステップ3。システムの最初の方程式を積分します。バツ (y F:

,
y.

別のオプション (この方法で積分を見つける方が簡単な場合) は、システムの 2 番目の方程式を積分することです。 y (バツは定数のままであり、整数符号から除外されます)。これで機能も回復します F:

,
まだ未知の関数はどこですかバツ.

ステップ4。ステップ 3 の結果 (求められた一般積分) は次のように微分されます。 y(あるいは - によるとバツ)、システムの 2 番目の方程式に相当します。

そして別のバージョンでは、システムの最初の方程式に次のようになります。

結果として得られる方程式から、(あるいは) を決定します。

ステップ5。ステップ 4 の結果は、積分と検索 (または find ) です。

ステップ6。ステップ 5 の結果をステップ 3 の結果に代入します。部分積分によって復元された関数に代入します。 F。任意の定数 C多くの場合、方程式の右側の等号の後に書かれます。したがって、全微分における微分方程式の一般解が得られます。すでに述べたように、それは次のような形式をとります F(x、y) = C.

全微分における微分方程式の解の例

例1.

ステップ1。 総微分方程式 バツ式の左側の 1 つの項

とに関する偏導関数 y別の用語
総微分方程式 .

ステップ2。 F:

ステップ3。によるバツ (yは定数のままであり、整数符号から除外されます)。したがって、機能を回復します F:

まだ未知の関数はどこですか y.

ステップ4。 y

ステップ5。

ステップ6。 F。任意の定数 C :
.

ここで発生する可能性が最も高いエラーは何ですか? 最も一般的な間違いは、関数の積の通常の積分の変数の 1 つに対する部分積分を取得し、部分または置換変数で積分しようとすることと、2 つの因子の偏導関数を 2 つの因子の導関数として取得しようとすることです。関数の積を求め、対応する公式を使用して導関数を探します。

これは覚えておく必要があります。変数の 1 つについて偏積分を計算する場合、もう 1 つは定数であり、積分の符号から取り出されます。また、変数の 1 つについて偏微分を計算する場合、もう 1 つは定数です。も定数であり、式の導関数は、「作用する」変数に定数を乗じた導関数として求められます。

の間で 全微分方程式 指数関数を使用した例を見つけることは珍しいことではありません。これは次の例です。また、そのソリューションが代替オプションを使用しているという事実でも注目に値します。

例2。微分方程式を解く

ステップ1。方程式が次であることを確認しましょう。 総微分方程式 。これを行うには、次の偏導関数を求めます。バツ式の左側の 1 つの項

とに関する偏導関数 y別の用語
。これらの導関数は等しいので、方程式は次のようになります。 総微分方程式 .

ステップ2。関数を構成する偏微分方程式系を書いてみましょう F:

ステップ3。システムの 2 番目の方程式を積分しましょう - y (バツは定数のままであり、整数符号から除外されます)。したがって、機能を回復します F:

まだ未知の関数はどこですかバツ.

ステップ4。ステップ 3 の結果 (求められた一般積分) を次のように微分します。バツ

そして、システムの最初の方程式に相当します。

結果として得られる方程式から、次のように決定します。
.

ステップ5。ステップ 4 の結果を統合すると、次のことがわかります。
.

ステップ6。ステップ 5 の結果をステップ 3 の結果、つまり部分積分によって復元された関数に代入します。 F。任意の定数 C等号の後に書きます。したがって、合計を取得します 全微分における微分方程式を解く :
.

次の例では、代替オプションからメインのオプションに戻ります。

例 3.微分方程式を解く

ステップ1。方程式が次であることを確認しましょう。 総微分方程式 。これを行うには、次の偏導関数を求めます。 y式の左側の 1 つの項

とに関する偏導関数バツ別の用語
。これらの導関数は等しいので、方程式は次のようになります。 総微分方程式 .

ステップ2。関数を構成する偏微分方程式系を書いてみましょう F:

ステップ3。システムの最初の方程式を積分しましょう - によるバツ (yは定数のままであり、整数符号から除外されます)。したがって、機能を回復します F:

まだ未知の関数はどこですか y.

ステップ4。ステップ 3 の結果 (求められた一般積分) を次のように微分します。 y

そして、システムの 2 番目の方程式に相当します。

結果として得られる方程式から、次のように決定します。
.

ステップ5。ステップ 4 の結果を統合すると、次のことがわかります。

例4.微分方程式を解く

ステップ1。方程式が次であることを確認しましょう。 総微分方程式 。これを行うには、次の偏導関数を求めます。 y式の左側の 1 つの項

とに関する偏導関数バツ別の用語
。これらの導関数は等しいので、方程式は全微分方程式であることを意味します。

ステップ2。関数を構成する偏微分方程式系を書いてみましょう F:

まだ未知の関数はどこですか y.

ステップ4。ステップ 3 の結果 (求められた一般積分) を次のように微分します。 y

そして、システムの 2 番目の方程式に相当します。

結果として得られる方程式から、次のように決定します。
.

ステップ5。ステップ 4 の結果を統合すると、次のことがわかります。

例5。微分方程式を解く

全微分における微分方程式を認識する方法を示します。それを解決するためのメソッドが提供されます。 2 つの方法で総微分の方程式を解く例を示します。

コンテンツ

導入

全微分の一階微分方程式は、次の形式の方程式です。
(1) ,
ここで、方程式の左側は関数 U の合計微分です。 (x, y)変数 x、y から:
.
ここで、。

そのような関数 U が見つかった場合 (x, y)の場合、方程式は次の形式になります。
dU (x, y) = 0.
その一般的な積分は次のとおりです。
U (x, y) = C,
ここで、C は定数です。

一階微分方程式を導関数で書くと、次のようになります。
,
そうすれば形にするのは簡単です (1) 。これを行うには、方程式に dx を掛けます。
(1) .

それから。その結果、微分で表される方程式が得られます。

全微分における微分方程式の性質 (1) 方程式のためには
(2) .

は総微分方程式であったため、次の関係が成立することが必要かつ十分です。

証拠さらに、証明で使用されるすべての関数が定義されており、変数 x と y の値の一定範囲に対応する導関数があると仮定します。点x

0、y0.
もこの領域に属します。 (1) 条件(2)の必要性を証明しましょう。 (x, y):
.
方程式の左辺を
;
.
ある関数 U の微分です
;
.
それから (2) 二次導関数は微分の次数に依存しないため、次のようになります。

ということになります。.
必要条件 (2) :
(2) .
証明された。 (x, y)条件(2)が十分であることを証明しましょう
.
条件を満たしましょう (x, y)そのような関数 U を見つけることが可能であることを示しましょう。
(3) ;
(4) .
その差分は次のとおりです。 (3) これは、そのような関数 U があることを意味します 0 、次の方程式を満たします。
;
;
(5) .
そのような関数を探してみましょう。方程式を積分しましょう (2) :

.
xによるxからの (4) y が定数であると仮定して、x に変換します。
.
x が定数であると仮定して y に関して微分し、次のように適用します。 0 方程式
;
;
.
場合に実行されます (5) :
(6) .
y から y にわたって積分する
.
おもちゃ：

代入 (6) そこで、微分値が次のような関数を見つけました。十分性が証明されています。式では (x, y)、U さらに、証明で使用されるすべての関数が定義されており、変数 x と y の値の一定範囲に対応する導関数があると仮定します。(x 0 , y 0)

定数 - 関数 U の値

点xで
(1) .
。 (2) :
(2) .
任意の値を割り当てることができます。

全微分における微分方程式を認識する方法

方程式が合計微分であるかどうかを確認します。
.

ここ
, .
x が定数であると考えて、y に関して微分します。

.
差別化しましょう

.
なぜなら：
,
この場合、与えられた方程式は全微分になります。

全微分における微分方程式を解く方法

逐次差分抽出方式

全微分方程式を解く最も簡単な方法は、微分を逐次的に分離する方法です。これを行うには、微分形式で記述された微分公式を使用します。
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (紫外線);
;
.
これらの式では、u と v は変数の任意の組み合わせで構成される任意の式です。

例1

方程式を解きます。
.

以前に、この方程式が全微分であることがわかりました。それを変形してみましょう:
(P1) .
微分を順次分離して方程式を解きます。
;
;
;
;

.
場合に実行されます (P1):
;
.

逐次統合方式

このメソッドでは、関数 U を探します。 (x, y)、次の方程式を満たします。
(3) ;
(4) .

方程式を積分しましょう (3) x では、y を定数とみなして、次のようになります。
.
ここでφ (y)- 決定する必要がある y の任意の関数。積分定数です。方程式に代入します (4) :
.
ここから：
.
積分するとφが求まります (y)したがって、U (x, y).

例 2

合計微分で方程式を解きます。
.

以前に、この方程式が全微分であることがわかりました。次の表記法を導入しましょう。
, .
関数 U を探しています (x, y)、その微分は方程式の左辺になります。
.
それから：
(3) ;
(4) .
方程式を積分しましょう (3) x では、y を定数とみなして、次のようになります。
(P2)
.
y に関して微分します。

.
に代入してみましょう (4) :
;
.
統合しましょう:
.
に代入してみましょう (P2):

.
方程式の一般積分:
U (x, y) = 定数.
2 つの定数を 1 つに結合します。

曲線に沿った積分法

関係によって定義される関数 U:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
点を結ぶ曲線に沿ってこの方程式を積分することで求めることができます十分性が証明されています。そして (x, y):
(7) .
なぜなら
(8) ,
この場合、積分は初期値の座標のみに依存します。十分性が証明されています。そして最後 (x, y)点を持ち、曲線の形状には依存しません。から (7) そして (8) 我々は気づく：
(9) .
ここで× 0 そしてy 0 - 永続。したがって、U 十分性が証明されています。- また一定です。

U のそのような定義の例は証明で得られます。
(6) .
ここでは、最初に点から y 軸に平行な線分に沿って積分が実行されます。 (x 0 , y 0 )ポイントへ (x 0 , y)。 (x 0 , y)ポイントへ (x, y) .

次に、その点から x 軸に平行な線分に沿って積分が実行されます。 (x 0 , y 0 )そして (x, y)より一般的には、点を結ぶ曲線の方程式を表す必要があります。
パラメトリック形式: バツ 1 = s(t 1) ;;
パラメトリック形式: y 1 = s(t 1) 1 = r(t1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

そしてtにわたって積分します (x 0 , y 0 )そして (x, y)から
パラメトリック形式: tへ。 1 = s(t 1) 積分を実行する最も簡単な方法は、点を接続するセグメント上で行うことです;
。 0 = 0 この場合： 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = (x - x 0) dt 1; ダイ.
1 = (y - y 0) dt 1 0 前に 1 .
置換後、t に関する積分を取得します。

ただし、この方法ではかなり面倒な計算が必要になります。
参考文献:

V.V. ステパノフ、微分方程式のコース、「LKI」、2015 年。定義8.4。

次の形式の微分方程式
どこ

を全微分方程式といいます。
.

このような方程式の左辺は、ある関数の微分の合計であることに注意してください。

一般に、式 (8.4) は次のように表すことができます。

式 (8.5) の代わりに、次の式を考慮できます。
その解は式 (8.4) の一般積分です。したがって、方程式 (8.4) を解くには、次の関数を見つける必要があります。

(8.6)

。方程式 (8.4) の定義によれば、次のようになります。
関数

次の形式の微分方程式次の条件のいずれかを満たす関数を探します (8.6)。 .

- から独立した任意の関数
関数

(8.7)

式(8.6)の第2条件を満たすように定義される
式 (8.7) から関数が決定されます。
。それを式に代入すると、

そして元の方程式の一般積分を求めます。問題8.3。

方程式を積分する
.

ここ
したがって、この方程式は全微分における微分方程式の一種に属します。関数

フォームで探します

反対側では、
場合によっては状態も

満たされない場合があります。次に、そのような方程式は、いわゆる積分係数を乗算することによって、検討中のタイプに還元されます。これは、一般の場合、単なる関数です。 .

またはある方程式にのみ依存する積分係数がある場合、

、次の式で決まります。関係はどこにあるのか .

関数のみである必要があります同様に、積分係数は次の条件のみに依存します。

、次の式で決定されます。
関係はどこにあるのか .

関係はどこにあるのか最初のケースでは、指定された関係に変数が存在しない、2番目では変数

、は、特定の方程式に対する積分係数が存在することを示します。問題8.4。

この方程式を総微分の方程式に変形します。

次の関係を考えてみましょう。

トピック8.2。線形微分方程式定義 8.5
。微分方程式目的の関数に関して線形である場合、線形と呼ばれます。、その派生語

目的の関数とその派生関数の積は含まれません。

(8.8)

線形微分方程式の一般的な形式は、次の関係で表されます。
関係式 (8.8) の場合、右辺
の場合、そのような方程式は線形同次と呼ばれます。右側の場合

方程式 (8.8) が求積法で積分できることを示しましょう。

最初の段階では、線形同次方程式を考えます。

このような方程式は、分離可能な変数をもつ方程式です。本当に、

;

最後の関係式は、線形同次方程式の一般解を決定します。

線形不均一方程式の一般解を見つけるには、定数の導関数を変化させる方法が使用されます。この方法の考え方は、線形不均質方程式の一般解は、対応する均質方程式の解と同じ形式ですが、任意の定数であるということです。何らかの関数に置き換えられる
決断される。したがって、次のようになります。

(8.9)

対応する式を関係 (8.8) に代入します。
そして
、我々が得る

最後の式を関係式 (8.9) に代入すると、線形不均一方程式の一般積分が得られます。

したがって、線形不均一方程式の一般解は、線形不均一方程式の一般解と線形不均一方程式の特定の解という 2 つの求積法によって決定されます。

問題8.5。方程式を積分する

したがって、元の方程式は線形不均一微分方程式のタイプに属します。

最初の段階では、線形同次方程式の一般解を見つけます。

;

第 2 段階では、次の形式で求められる線形不均一方程式の一般解を決定します。

次の形式の微分方程式
- 決定される機能。

したがって、次のようになります。

の関係を代入すると、そして元の線形不均一方程式に代入すると、次の結果が得られます。

;

線形不均一方程式の一般解は次の形式になります。

標準形式 $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ を持ち、左辺は関数 $F の合計微分です。 \left( x,y\right)$ は全微分方程式と呼ばれます。

合計微分の方程式は、いつでも $dF\left(x,y\right)=0$ として書き直すことができます。ここで、$F\left(x,y\right)$ は、 $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$。

方程式 $dF\left(x,y\right)=0$ の両辺を積分しましょう。 $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ゼロ右辺の積分は、任意の定数 $C$ に等しくなります。したがって、この方程式の陰的な形式の一般的な解は、$F\left(x,y\right)=C$ となります。

与えられた微分方程式が全微分方程式であるためには、 $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ という条件が成立することが必要かつ十分です。満足すること。指定された条件が満たされる場合、関数 $F\left(x,y\right)$ が存在し、次のように記述できます。 $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$、そこから 2 つの関係が得られます。 : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ および $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$。

最初の関係 $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ を $x$ 上で積分し、$F\left(x,y\right)=\int を取得します。 P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$、ここで $U\left(y\right)$ は $y$ の任意の関数です。

2 番目の関係 $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ を満たすように選択しましょう。これを行うには、$F\left(x,y\right)$ の結果の関係を $y$ に関して微分し、その結果を $Q\left(x,y\right)$ と同等とします。 $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left を取得します。 ( x,y\right)$.

さらなる解決策は次のとおりです。

最後の等式から $U"\left(y\right)$ が見つかります。
$U"\left(y\right)$ を積分し、$U\left(y\right)$ を見つけます。
$U\left(y\right)$ を等式 $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) に代入します$ そして最後に関数 $F\left(x,y\right)$ を取得します。

違いがわかります:

$U"\left(y\right)$ を $y$ 上で積分し、$U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ を求めます。

結果を求めます: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$。

一般的な解を $F\left(x,y\right)=C$ の形式で記述します。つまり、次のようになります。

特定の解 $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$ を求めます。ただし、$y_(0) =3$、$x_(0) = 2ドル:

部分解の形式は $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$ です。