Tyrinėdami geometrinių figūrų savybes, įrodėme nemažai teoremų. Tai darydami mes, kaip taisyklė, rėmėmės anksčiau įrodytomis teoremomis. Kokie yra pačių pirmųjų geometrijos teoremų įrodymai? Atsakymas į šį klausimą yra toks: išeities taškais priimami tam tikri teiginiai apie geometrinių figūrų savybes, kurių pagrindu įrodomos tolesnės teoremos ir apskritai konstruojama visa geometrija. Tokios pradinės pozicijos vadinamos aksiomos.
Kai kurios aksiomos buvo suformuluotos dar pirmame skyriuje (nors ten jos nebuvo vadinamos aksiomomis). Pavyzdžiui, tai aksioma, kad
Daugelis kitų aksiomų, nors ir nebuvo ypač akcentuojamos, iš tikrųjų buvo naudojamos mūsų samprotavimuose. Taigi mes palyginome du segmentus, uždėdami vieną segmentą ant kito. Tokio sutapimo galimybė išplaukia iš šios aksiomos:
Dviejų kampų palyginimas pagrįstas panašia aksioma:
Visos šios aksiomos yra aiškiai akivaizdžios ir nekelia abejonių. Pats žodis „aksioma“ kilęs iš graikų „axios“, kuris reiškia „vertingas, vertas“. Vadovėlio pabaigoje pateikiame visą planimetrijos aksiomų, priimtų mūsų geometrijos kurse, sąrašą.
Šis požiūris į geometrijos konstravimą, kai pirmiausia suformuluojamos pradinės pozicijos - aksiomos, o vėliau loginiu samprotavimu įrodomi kiti teiginiai, kilęs iš senovės ir aprašytas garsiajame senovės graikų veikale „Principai“. mokslininkas Euklidas. Kai kurias Euklido aksiomas (kai kurias jis pavadino postulatai) ir dabar naudojami geometrijos kursuose, o pati geometrija, pateikta „Principuose“, vadinama Euklido geometrija. Kitoje pastraipoje susipažinsime su viena žinomiausių geometrijos aksiomų.
Lygiagrečių tiesių aksioma
Apsvarstykite savavališką tiesę a ir tašką M, kuris nėra joje (110 pav., a). Įrodykime, kad per tašką M galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią tiesei a. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite dvi tiesias linijas per tašką M: pirmiausia tiesę c, statmeną tiesei a, o po to tiesę b, statmeną tiesei c (110 pav., (b). Kadangi tiesės a ir b yra statmenos tiesi linija c, jos yra lygiagrečios.
Ryžiai. 110
Taigi per tašką M eina tiesė b, lygiagreti tiesei a. Kyla toks klausimas: ar per tašką M galima nubrėžti kitą tiesę, lygiagrečią tiesei a?
Mums atrodo, kad jei tiesė b bus „pasukusi“ net labai mažu kampu aplink tašką M, tai ji susikirs su tiese a (tiesė b“ 110.6 pav.) Kitaip tariant, mums atrodo, kad ji yra neįmanoma nubrėžti kitos tiesės per tašką M (skirtingą nuo b), lygiagrečios tiesei a. Ar įmanoma įrodyti šį teiginį?
Šis klausimas turi ilgą istoriją. Euklido „Elementuose“ yra postulatas (penktasis Euklido postulatas), iš kurio išplaukia, kad per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, lygiagrečiai duotajai gali būti nubrėžta tik viena tiesė. Daugelis matematikų nuo seniausių laikų bandė įrodyti penktąjį Euklido postulatą, tai yra, išvesti jį iš kitų aksiomų. Tačiau šie bandymai kiekvieną kartą buvo nesėkmingi. Ir tik praėjusiame amžiuje buvo galutinai išaiškinta, kad teiginys apie tiesės, einančios per tam tikrą tašką lygiagrečiai tam tikrai tiesei, unikalumą negali būti įrodytas remiantis likusiomis Euklido aksiomomis, o pats yra aksioma.
Didysis rusų matematikas Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis (1792-1856) atliko didžiulį vaidmenį sprendžiant šį sudėtingą klausimą.
Taigi, kaip kitą atspirties tašką mes priimame lygiagrečių tiesių aksioma.
Teiginiai, kurie yra išvesti tiesiogiai iš aksiomų arba teoremų, vadinami pasekmes. Pavyzdžiui, 1 ir 2 teiginiai (žr. p. 35) yra lygiašonio trikampio pusiausvyros teoremos pasekmės.
Panagrinėkime kai kurias išvadas iš lygiagrečių tiesių aksiomos.
Iš tiesų, tebūnie tiesės a ir b lygiagrečios, o tiesė c kerta tiesę a taške M (111 pav., a). Įrodykime, kad tiesė c taip pat kerta tiesę b. Jei tiesė c nesikirstų tiesės b, tai per tašką M eitų dvi tiesės (tiesės a ir c), lygiagrečios tiesei b (111 pav., b). Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai, todėl tiesė c kerta tiesę b.
Ryžiai. 111
Iš tiesų, tebūnie tiesės a ir b lygiagrečios tiesei c (112 pav., a). Įrodykime, kad a || b. Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios, tai yra susikerta tam tikrame taške M (112.6 pav.). Tada per tašką M eina dvi tiesės (tiesės a ir b), lygiagrečios tiesei c.
Ryžiai. 112
Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga, o tai reiškia, kad tiesės a ir b yra lygiagrečios.
Teoremos apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinės
Kiekviena teorema turi dvi dalis: sąlyga Ir išvada. Teoremos sąlyga yra tai, kas duota, o išvada yra tai, ką reikia įrodyti.
Panagrinėkime, pavyzdžiui, teoremą, išreiškiančią dviejų tiesių lygiagretumo kriterijų: jei dviem tiesėms susikertant su skersine, gulėjimo kampai yra lygūs, tai tiesės lygiagrečios.
Šioje teoremoje sąlyga yra pirmoji teiginio dalis: „kai dvi tiesės susikerta skersai, gulėjimo kampai yra lygūs“ (tai pateikta), o išvada yra antroji dalis: „tiesės lygiagrečios“ (to reikia turi būti įrodyta).
Šios teoremos atvirkštinė pusė, yra teorema, kurios sąlyga yra teoremos išvada, o išvada yra teoremos sąlyga. Įrodykime, kad teoremos yra priešingos trims 25 pastraipoje pateiktoms teoremoms.
Teorema
Įrodymas
Tegul lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas MN. Įrodykime, kad kryžminiai kampai, pavyzdžiui, 1 ir 2, yra lygūs (113 pav.).
Ryžiai. 113
Tarkime, kad kampai 1 ir 2 nėra lygūs. Iš spindulio MN atimkime kampą PMN, lygų kampui 2, kad ∠PMN ir ∠2 būtų skersiniai kampai tiesių MR ir b susikirtimo taške MN. Pagal konstrukciją šie sukryžiuoti kampai yra lygūs, todėl MR || b. Mes nustatėme, kad per tašką M yra dvi tiesės (tiesės a ir MR), lygiagrečios tiesei b. Bet tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir ∠1 = ∠2. Teorema įrodyta.
komentuoti
Įrodydami šią teoremą naudojome samprotavimo metodą, vadinamą įrodinėjant prieštaravimu.
Darėme prielaidą, kad kai lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersiniu MN, gulėjimo kampai 1 ir 2 nėra lygūs, t. Remdamiesi šia prielaida, per samprotavimus priėjome prieštaravimą lygiagrečių tiesių aksiomai. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga, todėl ∠1 = ∠2.
Toks samprotavimo būdas dažnai naudojamas matematikoje. Jį naudojome anksčiau, pavyzdžiui, 12 pastraipoje įrodydami, kad dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta. Tą patį metodą naudojome 28 pastraipoje norėdami įrodyti lygiagrečių tiesių aksiomos 1 0 ir 2 0 padarinius.
Pasekmė
Iš tiesų, tegul a || b, c ⊥ a, t.y. ∠1 = 90° (114 pav.). Tiesė c kerta tiesę a, taigi ji taip pat kerta tiesę b. Kai lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersine c, susidaro vienodi skersiniai kampai: ∠1=∠2. Kadangi ∠1 = 90°, tai ∠2 = 90°, t.y., c ⊥ b, ką ir reikėjo įrodyti.
Ryžiai. 114
Teorema
Įrodymas
Lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas c. Įrodykime, kad atitinkami kampai, pavyzdžiui, 1 ir 2, yra lygūs (žr. 102 pav.). Kadangi a || b, tada skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs.
2 ir 3 kampai yra lygūs vertikaliems. Iš lygybių ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠3 išplaukia, kad ∠1 = ∠2. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantas c (žr. 102 pav.). Pavyzdžiui, įrodykime, kad ∠1 + ∠4 = 180°. Kadangi a || b, tada atitinkami kampai 1 ir 2 yra lygūs. 2 ir 4 kampai yra gretimi, todėl ∠2 + ∠4 = 180°. Iš lygybių ∠1 = ∠2 ir ∠2 + ∠4 = 180° išeina, kad ∠1 + ∠4 = 180°. Teorema įrodyta.
komentuoti
Jei įrodyta tam tikra teorema, atvirkštinis teiginys neseka. Be to, ne visada tiesa. Pateikime paprastą pavyzdį. Mes žinome, kad jei kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Priešingas teiginys: „jei kampai yra lygūs, jie yra vertikalūs“, žinoma, yra klaidingas.
Kampai su atitinkamai lygiagrečiomis arba statmenomis kraštinėmis
Įrodykime teoremą apie kampus su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis.
Teorema
Įrodymas
Tegul ∠AOB ir ∠A 1 O 1 B 1 yra nurodyti kampai ir OA || O 1 A 1 , OB || Maždaug 1 iš 1. Jei išvystytas kampas AOB, tai ir kampas A 1 O 1 B 1 (paaiškinkite kodėl), taigi šie kampai yra lygūs. Tegu ∠AOB yra neišplėtotas kampas. Galimi kampų AOB ir A 1 O 1 B 1 išsidėstymo atvejai parodyti 115 paveiksle, a ir b. Tiesė O 1 B 1 kerta tiesę O 1 A 1 ir todėl kerta jai lygiagrečią tiesę OA tam tikrame taške M. Lygiagrečias tieses OB ir O 1 B 1 kerta sekantė OM, todėl vienas iš kampų susidaręs tiesių O 1 B 1 ir OA sankirtoje (115 pav. 1 kampas), yra lygus kampui AOB (kaip skersiniai kampai). Lygiagrečias tieses OA ir O 1 A 1 kerta sekantas O 1 M, todėl arba ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (115 pav., a), arba ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (115 pav., b). Iš lygybės ∠1 = ∠AOB ir paskutinių dviejų lygčių išplaukia, kad arba ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (žr. 115 pav., a), arba ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (žr. 115 pav., b). Teorema įrodyta.
Ryžiai. 115
Dabar įrodykime teoremą apie kampus su atitinkamai statmenomis kraštinėmis.
Teorema
Įrodymas
Tegu ∠AOB ir ∠A 1 O 1 B 1 pateikti kampai, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Jei kampas AOB yra atvirkštinis arba tiesus, tada kampas A 1 O 1 B 1 yra atvirkštinis arba tiesus (paaiškinkite kodėl), todėl šie kampai yra lygūs. Leiskite ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Galimi du atvejai (116 pav.).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (žr. 116 pav., b). Nubrėžkime spindulį OS taip, kad kampas AOS būtų greta kampo AOB. Kampas AOC yra smailusis, o jo kraštinės yra atitinkamai statmenos kampo A 1 O 1 B 1 kraštinėms. Todėl arba ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, arba ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Pirmuoju atveju ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, antruoju atveju ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Teorema įrodyta.
Užduotys
196. Duotas trikampis ABC. Kiek tiesių, lygiagrečių kraštinei AB, galima nubrėžti per viršūnę C?
197. Per tašką, esantį ne tiesėje p, nubrėžtos keturios tiesės. Kiek iš šių tiesių kerta tiesę p? Apsvarstykite visus galimus atvejus.
198. Tiesės a ir b yra statmenos tiesei p, tiesė c kerta tiesę a. Ar tiesė c kerta tiesę b?
199. Tiesė p lygiagreti trikampio ABC kraštinei AB. Įrodykite, kad tiesės BC ir AC kerta tiesę r.
200. 117 paveiksle AD || p ir PQ || Saulė. Įrodykite, kad tiesė p kerta tieses AB, AE, AC, BC ir PQ.
Ryžiai. 117
201. Skersinių kampų suma, kai dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, lygi 210°. Raskite šiuos kampus.
202. 118 paveiksle tieses a, b ir c kerta tiesė d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Kurios iš tiesių a, b ir c yra lygiagrečios?
Ryžiai. 118
203. Raskite visus kampus, susidariusius, kai dvi lygiagrečios tiesės a ir b susikerta su skersine c, jei:
a) vienas iš kampų yra 150°;
b) vienas iš kampų yra 70° didesnis už kitą.
204. Atkarpos AB galai yra lygiagrečiose tiesėse a ir b. Tiesė, einanti per šios atkarpos vidurį O, kerta tieses a ir b taškuose C ir D. Įrodykite, kad CO = OD.
205. Naudodami 119 paveikslo duomenis raskite ∠1.
Ryžiai. 119
206. ∠ABC = 70°, o ABCD = 110°. Gali nukreipti AB ir CD:
a) lygiagrečiai;
b) susikerta?
207. Atsakykite į 206 uždavinio klausimus, jei ∠ABC = 65° ir ∠BCD = 105°.
208. Skirtumas tarp dviejų vienpusių kampų, kai dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, yra 50°. Raskite šiuos kampus.
209. 120 a paveiksle || b, c || d, ∠4 = 45°. Raskite 1, 2 ir 3 kampus.
Ryžiai. 120
210. Du kūnai P 1 ir P 2 pakabinti ant sriegio, permesto per blokus A ir B, galuose (121 pav.). Trečiasis korpusas P 3 pakabinamas ant to paties sriegio taške C ir subalansuoja kūnus P 1 ir P 2. (Šiuo atveju AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Įrodykite, kad ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Ryžiai. 121
211. Dvi lygiagrečias tieses kerta skersinis. Įrodykite, kad: a) priešingų kampų pusiausvyros lygiagrečios; b) vienpusių kampų pusiausvyros yra statmenos.
212. Tiesės, turinčios trikampio ABC aukščius AA 1 ir BB 1, susikerta taške H, kampas B bukas, ∠C = 20°. Raskite kampą ABB.
Atsakymai į problemas
196. Viena tiesė.
197. Trys ar keturi.
201. 105°, 105°.
203. b) Keturi kampai yra 55°, kiti keturi kampai yra 125°.
206. a) Taip; b) taip.
207. a) Ne; b) taip.
208. 115° ir 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°.
210. Nurodymas. Apsvarstykite pluošto CP 3 tęsinį.
Vaizdo pamokoje „Lygiagrečių linijų aksioma“ išsamiai nagrinėjama svarbi geometrijos aksioma - lygiagrečių linijų aksioma, jos ypatybės, šios aksiomos pasekmės, kurios plačiai naudojamos sprendžiant geometrines problemas. Šios video pamokos tikslas – padėti lengviau įsiminti aksiomą ir jos pasekmes, susidaryti idėją apie jos ypatybes ir pritaikymą sprendžiant problemas.
Medžiagos pateikimas video pamokos forma atveria mokytojui naujų galimybių. Standartinio mokomosios medžiagos bloko pristatymas studentams yra automatizuotas. Kartu gerėja medžiagos pateikimo kokybė, nes ji praturtinta vizualiu vaizdu ir animaciniais efektais, kurie konstrukcijas priartina prie realių lentoje atliekamų. Istorinė informacija pateikiama piešiniais ir nuotraukomis, sužadinant susidomėjimą nagrinėjama tema. Vaizdo įrašas taip pat leidžia mokytojui gilintis į individualų darbą mokymo metu.
Pirma, šiame vaizdo įraše parodytas temos pavadinimas. Aksiomos svarstymas prasideda nuo jos modelio konstravimo. Ekrane rodoma tiesė a ir už jos ribų esantis taškas M. Toliau aprašome teiginio, kad per duotą tašką M galima nutiesti tiesę, lygiagrečią duotajam. Tiesė c brėžiama statmenai tiesei a, tada tiesė b brėžiama statmenai tiesei c taške M. Remdamiesi teiginiu apie dviejų tiesių, statmenų trečiajai, lygiagretumą, pažymime, kad tiesė b yra lygiagreti pradinei tiesei a. Atsižvelgdami į tai, nurodome, kad taške M yra lygiagreti šiai linijai. Tačiau dar reikia patikrinti, ar per M galima nubrėžti kitą lygiagrečią liniją. Ekrane rodoma, kad bet koks tiesės b pasukimas taške M lems tiesės, kuri susikirs tiesią a, konstravimą. Tačiau ar įmanoma įrodyti, kad neįmanoma nubrėžti kitos tiesios linijos?
Klausimas, kaip įrodyti, kad neįmanoma nubrėžti kitos linijos, lygiagrečiai šiai, turi ilgą istoriją. Studentams siūloma trumpa ekskursija į problemos istoriją. Pažymima, kad Euklido veikale „Elementai“ šis teiginys pateiktas penktojo postulato forma. Mokslininkų bandymai įrodyti teiginį buvo nesėkmingi. Daugelį amžių šia problema domėjosi matematikai. Tačiau tik praėjusiame amžiuje buvo galutinai įrodyta, kad šis teiginys euklido geometrijoje neįrodomas. Tai aksioma. Mokiniai supažindinami su vienu iš žymių matematikų, reikšmingai prisidėjusių prie matematikos mokslo – Nikolajumi Ivanovičiumi Lobačevskiu. Būtent jis atliko svarbų vaidmenį galutinai sprendžiant klausimą. Todėl šioje pamokoje aptariamas teiginys yra aksioma, kuri kartu su kitomis aksiomomis glūdi mokslo pamatuose.
Toliau siūlome apsvarstyti šios aksiomos pasekmes. Norėdami tai padaryti, būtina paaiškinti „pasekmės“ sąvoką. Ekrane rodomas padarinių apibrėžimas kaip teiginiai, tiesiogiai išvesti iš teoremų arba aksiomų. Šį apibrėžimą galima pasiūlyti studentams įrašyti į savo sąsiuvinius. Pasekmių samprata demonstruojama naudojant pavyzdį, kuris jau buvo aptartas 18 vaizdo pamokoje „Lygiašonio trikampio savybės“. Ekrane rodoma teorema apie lygiašonio trikampio savybes. Primenama, kad po šios teoremos įrodymo buvo svarstomos ne mažiau svarbios iš jos pasekmės. Taigi, jei pagrindinė teorema teigia, kad lygiašonio trikampio pusiausvyra yra vidurinė ir aukštis, tada išvados turėjo panašų turinį, teigdamos, kad lygiašonio trikampio aukštis yra pusiausvyra ir mediana, o taip pat lygiašonis trikampis yra ir pusiausvyra, ir aukštis.
Išsiaiškinus pasekmių sampratą, tiesiogiai nagrinėjame pasekmes, kylančias iš šios lygiagrečių tiesių aksiomos. Ekrane rodomas pirmosios aksiomos pasekmės tekstas, nurodantis, kad tiesės susikirtimas su viena iš lygiagrečių tiesių reiškia jos susikirtimą su antrąja lygiagrečia linija. Paveikslėlyje po išvados tekstu pavaizduota tiesė b ir lygiagreti tiesė a. Antroji tiesė kerta tiesę c taške M, kuris priklauso tiesei a. Pateikiamas teiginio, kad tiesė c taip pat kirs tiesę b, įrodymas. Įrodymas atliekamas prieštaravimu, naudojant lygiagrečių tiesių aksiomą. Jei darome prielaidą, kad tiesė c nesikerta b, tai reiškia, kad per šį tašką galime nubrėžti kitą tiesę, lygiagrečią nurodytai. Bet tai neįmanoma, atsižvelgiant į lygiagrečių linijų aksiomą. Todėl c taip pat kerta tiesę b. Tyrimas įrodytas.
Toliau apsvarstysime antrąją šios aksiomos pasekmę. Ekrane rodomas išvados tekstas, nurodantis, kad jei dvi linijos yra lygiagrečios trečiajai, galime teigti, kad jos yra lygiagrečios viena kitai. Šį teiginį demonstruojančiame paveikslėlyje nubrėžtos tiesės a, b, c. Šiuo atveju linija c, lygiagreti abiem linijoms, yra paryškinta mėlyna spalva. Siūloma įrodyti šį teiginį. Įrodinėjimo metu daroma prielaida, kad tiesės a ir b lygiagrečios tiesėms c nėra lygiagrečios viena kitai. Tai reiškia, kad jie turi susikirtimo tašką. Tai reiškia, kad abi tiesės, einančios per tašką M, yra lygiagrečios šiam, o tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Ši išvada yra teisinga.
Vaizdo pamoka „Lygiagrečių tiesių aksioma“ gali padėti mokytojui lengviau paaiškinti mokiniams aksiomos ypatybes, jos pasekmių įrodymą, mokiniams lengviau įsiminti įprastos pamokos medžiagą. Taip pat ši video medžiaga gali būti naudojama nuotoliniam mokymuisi ir rekomenduojama savarankiškam mokymuisi.
1-2 pav
Pavyzdžiui, užduotis yra nubrėžti dvi lygiagrečias linijas ir taip, kad per tam tikrą tašką M praėjo bent viena iš tiesių. Taigi, per tam tikrą tašką M nubrėžti viena kitai statmenas linijas MN Ir CD . Ir per tašką N nubrėžkime antrą tiesią liniją AB , jis turi būti statmenas linijai MN .
Darykime išvadą: tiesiai AB statmenai tiesei MN ir tiesiai CD taip pat yra statmena linijai MN , o kadangi šios linijos yra lygiagrečios vienai linijai, tai dėl to linija CD lygiagrečiai AB . Taigi, per tašką M yra tiesi linija CD , kuri yra lygiagreti linijai AB . Išsiaiškinkime: ar galima per tašką nubrėžti kitą tiesią liniją? M kad jis būtų lygiagretus tiesei AB ?
Šis teiginys yra atsakymas į mūsų klausimą: per plokštumos tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, galite nubrėžti tik vieną tiesę, kuri bus lygiagreti nurodytai linijai. Tokį atmetimą kitokia formuluotė be įrodymų senovėje priėmė mokslininkas Euklidas. Yra žinoma, kad tokie teiginiai, priimti be įrodymų, vadinami aksiomomis.
Aukščiau pateiktas teiginys vadinamas lygiagrečių linijų aksioma. Ši Euklido aksioma yra labai svarbi daugelio teoremų įrodymui.
Panagrinėkime atvirkštinę teoremą. Jei tiesė kerta lygiagrečias linijas, tada lygiagrečiose tiesėse skersai esantys kampai yra atitinkamai lygūs.
Ryžiai.
3
Įrodymas: tarkime AC Ir ВD yra lygiagrečios linijos, tada linija AB yra jų sekanti linija. Turime tai įrodyti РСАВ =Р АВD .
Turime nubrėžti tokią tiesią liniją AC1 , į РС1АВ=РАВD . Pagal lygiagrečių tiesių aksiomą AC1||ВD , tokios būklės, kokią turime AC||ВD . Ir tai reiškia, kad per šį tašką A eina dvi linijos, kurios yra lygiagrečios linijai ВD . Dėl to atsiranda prieštaravimas lygiagrečių linijų aksiomai, o tai reiškia, kad tiesė AC1 atliktas neteisingai.
Tai bus teisinga, jei РСАВ=РАВD . Darykime išvadą: tuo atveju, kai duota tiesė yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tada ji bus statmena antrajai tiesei.
Pasirodo, jei (MN)^ (CD) Ir (CD)||(AB) , Tai р1=р2=90о . O tai reiškia: (MN)^(AB) (1 pav.) .
Įrodykime teoremą: jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai, tai jos bus lygiagrečios antrajai.
Ryžiai. 4
Tegul būna tiesiai a lygiagrečiai linijai Su ir tiesiai b taip pat lygiagrečiai linijai Su (4 a pav.) . Turime tai įrodyti a||b .
Tarkime, kad tiesios linijos a Ir b nėra lygiagrečios, bet susikerta taške M (4 pav. b) . Ir tai reiškia, kad dvi tiesios linijos a Ir b , kurios yra lygiagrečios tiesei, kuri eina per vieną tašką, ir tai visiškai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Taigi mūsiškiai yra tiesioginiai a Ir b lygiagrečiai.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Pirmiausia pažvelkime į skirtumą tarp ženklo, nuosavybės ir aksiomos sąvokų.
1 apibrėžimas
Pasirašyti Jie vadina tam tikrą faktą, pagal kurį galima nustatyti sprendimo apie dominantį objektą teisingumą.
1 pavyzdys
Linijos yra lygiagrečios, jei jų skersinės formos sudaro lygius skersinius kampus.
2 apibrėžimas
Turtas yra suformuluotas tuo atveju, kai pasitikima teismo sprendimo teisingumu.
2 pavyzdys
Kai lygiagrečios linijos yra lygiagrečios, jų skersinės sudaro vienodus skersinius kampus.
3 apibrėžimas
Aksioma jie vadina teiginį, kuris nereikalauja įrodymų ir be jo priimamas kaip tiesa.
Kiekvienas mokslas turi aksiomas, kuriomis grindžiami tolesni sprendimai ir jų įrodymai.
Lygiagrečių tiesių aksioma
Kartais lygiagrečių tiesių aksioma priimama kaip viena iš lygiagrečių tiesių savybių, tačiau tuo pačiu jos pagrįstumu grindžiami kiti geometriniai įrodymai.
1 teorema
Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, plokštumoje galima nubrėžti tik vieną tiesę, kuri bus lygiagreti duotajai.
Aksioma nereikalauja įrodymų.
Lygiagrečių tiesių savybės
2 teorema
Turtas1. Lygiagrečių linijų tranzityvumo savybė:
Kai viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai, tada antroji linija bus lygiagreti jai.
Savybės reikalauja įrodymų.
Įrodymas:
Tegul yra dvi lygiagrečios tiesės $a$ ir $b$. Linija $c$ lygiagreti linijai $a$. Patikrinkime, ar šiuo atveju tiesė $c$ taip pat bus lygiagreti tiesei $b$.
Norėdami tai įrodyti, naudosime priešingą teiginį:
Įsivaizduokime, kad tiesė $c$ yra lygiagreti vienai iš tiesių, pavyzdžiui, tiesei $a$, ir kerta kitą tiesę, tiesę $b$, tam tikru tašku $K$.
Prieštaravimą gauname pagal lygiagrečių tiesių aksiomą. Taip susidaro situacija, kai dvi tiesės susikerta viename taške, be to, lygiagrečios tai pačiai tiesei $a$. Ši situacija neįmanoma, todėl linijos $b$ ir $c$ negali susikirsti.
Taigi buvo įrodyta, kad jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai tiesei, tai antroji tiesė yra lygiagreti trečiajai tiesei.
3 teorema
2 nuosavybė.
Jei vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta trečioji, tada antroji linija taip pat bus kertasi su ja.
Įrodymas:
Tegul yra dvi lygiagrečios tiesės $a$ ir $b$. Taip pat tegul yra tiesė $c$, kuri kerta vieną iš lygiagrečių tiesių, pavyzdžiui, tiesė $a$. Būtina parodyti, kad tiesė $c$ kerta ir antrąją tiesę $b$.
Sukurkime įrodymą pagal prieštaravimą.
Įsivaizduokime, kad tiesė $c$ nesikerta tiese $b$. Tada per tašką $K$ eina dvi tiesės $a$ ir $c$, kurios nesikerta su tiese $b$, t.y. yra jai lygiagrečios. Tačiau ši situacija prieštarauja lygiagrečių linijų aksiomai. Tai reiškia, kad prielaida buvo neteisinga ir eilutė $c$ susikirs su linija $b$.
Teorema įrodyta.
Kampų savybės, kurios sudaro dvi lygiagrečias linijas ir sekantą: priešingi kampai yra lygūs, atitinkami kampai lygūs, * vienpusių kampų suma yra $180^(\circ)$.
3 pavyzdys
Duotos dvi lygiagrečios tiesės ir trečia tiesė, statmena vienai iš jų. Įrodykite, kad ši tiesė yra statmena kitai lygiagrečiai tiesei.
Įrodymas.
Turėkime tieses $a \parallel b$ ir $c \perp a$.
Kadangi tiesė $c$ kerta tiesę $a$, tai pagal lygiagrečių tiesių savybę ji taip pat susikirs tiese $b$.
Sekantas $c$, kertantis lygiagrečias tieses $a$ ir $b$, sudaro su jomis vienodus vidinius kampus.
Nes $c \perp a$, tada kampai bus $90^(\circ)$.
Todėl $c \perp b$.
Įrodymas baigtas.
