Amalia Emmy Neter. Emmy Noether - moteris, kuri išrado bendrąją algebrą

Šių eilučių parašymo diena, 2015 m. kovo 23 d., yra 133-asis Emmy (Amalia) Noether (1882–1935) gimtadienis. „Google“ taip pat prisiminė šią datą, pagrindiniame paieškos sistemos puslapyje įdėjusi jai skirtą vaizdą (pieštuku).

Emmy Noether buvo nuostabi matematikė. Ji neabejotinai buvo didžiausia visų laikų matematikė. Taigi Norbertas Wieneris Noetherį prilygino dviejų Nobelio premijų laureatei Marie Curie, kuri, beje, buvo ir puiki matematikė. Emmy Noether genialumą įvertino ir kitas Nobelio premijos laureatas Albertas Einšteinas.

ALBERTAS EINSTEINAS

Anot žymiausių gyvų matematikų, Emmy Noether buvo didžiausias kūrybingas matematikos genijus, pasirodęs pasaulyje nuo tada, kai aukštasis mokslas buvo atvertas moterims.

Visuomenė

Emmy Noether gimė visuomenėje, kurioje moterys, galima sakyti, buvo surakintos rankomis ir kojomis. Tuo metu Vokietiją valdė visagalis kaizeris Vilhelmas II, priėmimų ir ceremonijų mėgėjas, iš esmės atlikęs „vestuvių generolo“ vaidmenį. Jis atvyko į miestą, iškilmingai išlipo iš traukinio, o tada kalbą pasakė vietos meras. Visą likusį darbą atliko geležinis kancleris Otto von Bismarkas. Jis buvo tikras valstybės ir visuomenės vadovas, jos konservatyvios struktūros įkvėpėjas, trukdęs mokytis moterims. Moters modelis buvo kaizerio žmona, imperatorienė Augusta Viktorija, kurios gyvenimo credo buvo keturi „K“: Kaiser, Kinder (vaikai), Kirche (bažnyčia), Küche (virtuvė) - išplėstinė trijų“ versija. Ks“ iš vokiečių liaudies trilogijos „Kinder, Küche“ , Kirche“. Tokioje aplinkoje moterims buvo priskirtas aiškiai apibrėžtas vaidmuo: socialinėmis kopėčiomis jos buvo žemesnės nei vyrai ir vienu laipteliu aukščiau naminių gyvūnų. Taigi moterys negalėjo įgyti išsilavinimo. Tiesą sakant, moterų išsilavinimas nebuvo visiškai uždraustas - Gėtės ir Bethoveno tėvynei to būtų buvę per daug. Įveikusios daugybę kliūčių, moterys galėjo mokytis, tačiau neturėjo teisės užimti pareigų. Rezultatas buvo toks pat, bet žaidimas buvo subtilesnis. Kai kurie mokytojai, demonstruodami ypatingą ideologinį uolumą, atsisakė pradėti pamokas, jei auditorijoje buvo bent viena moteris. Visiškai kitokia situacija buvo, pavyzdžiui, Prancūzijoje, kur karaliavo laisvė ir liberalizmas.

Vaikystė ir jaunystė

Emma Noether gimė mažame Erlangeno miestelyje, aukštesnės vidurinės klasės mokytojų šeimoje. Erlangenas užima neįprastą vietą matematikos istorijoje - tai nedidelė vadinamosios „sintetinės geometrijos“ kūrėjo Christiano von Staudto (1798–1867) gimtinė. Be to, būtent Erlangene jaunasis genijus Feliksas Kleinas (1849-1925) paskelbė savo garsiąją Erlangeno programą, kurioje grupės teorijos požiūriu klasifikavo geometrijas.

Emmy tėvas Maxas Noetheris dėstė matematiką Erlangeno universitete. Jo intelektą paveldėjo sūnus Franzas, kuris savo gyvenimą paskyrė taikomajai matematikai, ir jo dukra Emmy, kuri buvo panaši į bjaurųjį ančiuką iš Anderseno pasakos – niekas net negalėjo įsivaizduoti, kokias mokslo aukštumas ji pasieks. Vaikystėje ir paauglystėje Emija niekuo nesiskyrė nuo bendraamžių: labai mėgo šokti, todėl noriai dalyvaudavo visose šventėse. Tuo pačiu metu mergina nerodė didelio susidomėjimo muzika, o tai išskiria ją iš kitų matematikų, kurie dažnai mėgsta muziką ir net groja skirtingais instrumentais. Emmy išpažino judaizmą – tuo metu ši aplinkybė buvo nereikšminga, tačiau vėliau tai paveikė jos likimą.

Išskyrus retus genialumo žvilgsnius, Emmy išsilavinimas niekuo nesiskyrė nuo jos bendraamžių: ji mokėjo gaminti maistą ir tvarkyti namų ūkį, sėkmingai mokėsi prancūzų ir anglų kalbų. Bet galiausiai, visų nuostabai, Emmy pasirinko matematiką.

Mokslinė karjera

Emmy turėjo viską, ko reikėjo, kad galėtų atsiduoti pasirinktam užsiėmimui: išmanė matematiką, šeima galėjo aprūpinti jai lėšų pragyvenimui (nors ir labai menkai), o asmeninė pažintis su tėvo kolegomis leido pasikliauti tuo, kad studijuodamas universitetas nebūtų sunkus.

Kollegienhaus pastatas – vienas seniausių Erlangeno universiteto pastatų

Norėdama tęsti mokslus universitete, Emmy turėjo tapti studente – jai buvo uždrausta lankyti pamokas kaip pilnavertei studentei. Sėkmingai baigė mokslus ir išlaikė egzaminą, kuris suteikė teisę gauti daktaro laipsnį. Emmy disertacijos tema pasirinko trijų kvadratinių formų algebrinius invariantus. Šios disciplinos mokytojas buvo Paulas Gordanas (1837–1912), kurį jo amžininkai vadino „invariantų teorijos karaliumi“. Jis taip pat buvo ilgametis Noeterio tėvo draugas ir konstruktyvios matematikos šalininkas. Ieškodamas algebrinių invariantų, Gordanas virto tikru buldogu: įsikibo į invariantą ir neatitraukė žandikaulių tol, kol neatskyrė jo nuo skaičiavimo įmantrybių, kurios kartais atrodė begalinės.

Jo daktaro disertacijoje „Apie formalių trinarių bikvadratinių formų sistemų apibrėžimą“ pateiktas 331 Emmy surastas trinarės bikvadratinės formos invariantas. Šis darbas jai suteikė daktaro laipsnį ir suteikė galimybę užsiimti matematine gimnastika. Pati Emmy, apimta savikritikos, šį sunkų darbą pavadino nesąmone. Ji tapo antrąja moterimi mokslų daktare Vokietijoje po Sofijos Kovalevskajos.

Emmy gavo mokytojos pareigas Erlangene, kur dirbo aštuonerius metus, negavusi jokio atlyginimo. Kartais jai teko garbė pakeisti savo pačios tėvą – iki to laiko jo sveikata buvo nusilpusi. Paulas Gordanas išėjo į pensiją ir jį pakeitė Ernstas Fischeris, kuris turėjo modernesnių pažiūrų ir puikiai sutarė su Emmy. Būtent Fischeris supažindino ją su Hilberto darbais.

Laimei, Noeterio įžvalgą, sumanumą ir žinias pastebėjo du Getingeno universiteto, „matematiškiausio universiteto pasaulyje“, šviesuoliai. Šie šviesuoliai buvo Feliksas Kleinas ir Davidas Gilbertas (1862–1943). Buvo 1915-ieji, įsibėgėjo Pirmasis pasaulinis karas. Tiek Kleinas, tiek Gilbertas buvo itin liberalūs moterų išsilavinimo (ir dalyvavimo tyrimuose) klausimais ir buvo aukščiausio lygio specialistai. Jie įtikino Emmy palikti Erlangeną ir persikelti su jais į Getingeną dirbti kartu. Tuo metu revoliucinės fizinės Alberto Einšteino idėjos griaudėjo, o Emmy buvo algebrinių ir kitų invariantų, sudarančių itin naudingą Einšteino teorijos matematinį aparatą, ekspertas.

Visa tai būtų juokinga, jei nebūtų taip liūdna – net ir tokių autoritetų palaikymas nepadėjo Emmy įveikti Getingeno universiteto akademinės tarybos pasipriešinimo, iš kurios narių buvo galima išgirsti maždaug taip: „Koks bus mūsų herojus. kareiviai sako grįžę į tėvynę, o klasėje turės sėdėti priešais moterį, kuri į juos kreipsis iš sakyklos?

Emmy niekada nebuvo išrinkta privačia docente. Akademinė taryba paskelbė jai tikrą karą. Konfliktas netrukus baigėsi, buvo paskelbta Veimaro respublika, pagerėjo moterų padėtis: jos gavo teisę balsuoti. Ir Emmy galėjo užimti privačios asistentės pareigas (bet be atlyginimo), tačiau tik 1922 m., įdėjusi daug pastangų, pagaliau pradėjo gauti atlyginimą už darbą.

Emmy erzino, kad nebuvo įvertintas jos daug laiko reikalaujantis žurnalo „Annals of Mathematics“ redaktorės darbas.

Noether teorema

1918 m. buvo paskelbta sensacinga Noeterio teorema. Daugelis žmonių ją taip vadino, nors Ema įrodė daug kitų teoremų, įskaitant labai svarbias. Nė viena nebūtų pelniusi nemirtingumo, net jei būtų mirusi kitą dieną po teoremos paskelbimo 1918 m., nors iš tikrųjų įrodymą rado prieš trejus metus. Ši teorema nesusijusi su abstrakčia algebra ir yra fizikos ir matematikos sandūroje, tiksliau, ji priklauso mechanikai. Deja, norint tai paaiškinti skaitytojui suprantama kalba, net ir supaprastinta forma, neapsieinama be aukštosios matematikos ir fizikos.

Paprasčiau tariant, be simbolių ir lygčių, Noeterio teorema bendriausioje formuluotėje teigia:

Jei fizinė sistema turi nuolatinę simetriją, tada joje bus atitinkami dydžiai, kurie laikui bėgant išlaiko savo vertę.

Tolydžios simetrijos sąvoka fizikoje paaiškinama naudojant Lie grupes. Nesileidžiant į smulkmenas, galime pasakyti, kad fizikoje simetrija suprantama kaip bet koks fizikinės sistemos pokytis, kurio atžvilgiu fiziniai dydžiai sistemoje yra nekintami. Šis pokytis per matematiškai nenutrūkstamą transformaciją turi paveikti koordinačių sistemas, o aptariamas dydis turi likti nepakitęs prieš ir po transformacijos.

Emmy Noether teorema sulaukė daug pagyrų, įskaitant Einšteiną, kuris rašė Hilbertui:

ALBERTAS EINSTEINAS

Vakar gavau labai įdomų ponios Noether straipsnį apie invariantų konstravimą. Esu sužavėta, kad į tokius dalykus galima žiūrėti iš tokio bendro požiūrio. Senajai Getingeno gvardijai nepadarytų jokios žalos, jei jie būtų išsiųsti mokytis pas ponią Noether. Atrodo, kad ji gerai išmano savo amatą.

Pagyrimas buvo vertas: Noeterio teorema atliko nereikšmingą vaidmenį sprendžiant bendrosios reliatyvumo teorijos problemas. Ši teorema, daugelio ekspertų nuomone, yra esminė, o kai kurie netgi prilygina gerai žinomai Pitagoro teoremai.

Pereikime į paprastą ir suprantamą Karlo Poperio (1902–1994) aprašytą eksperimentų pasaulį ir manykime, kad sukūrėme naują teoriją, aprašančią naują fizikinį reiškinį. Pagal Noeterio teoremą, jei mūsų teorijos rėmuose yra tam tikra simetrija (tai yra gana pagrįsta manyti), tada sistemoje bus išsaugotas tam tikras dydis, kurį galima išmatuoti. Tokiu būdu galime nustatyti, ar mūsų teorija teisinga, ar ne.

Algebra ir dar daugiau algebra

Taigi, kaip jau aprašėme aukščiau, Emmy Noether apsigyveno Getingene šalia Kleino ir Hilberto – dviejų pasaulinio garso matematikų. Šmaikštusis Gilbertas surado būdą, kaip įveikti kliūtis iš griežčiausių ir konservatyviausių mokytojų: jis organizavo kursus savo vardu, tačiau pamokose jį kaskart pakeisdavo Emmy, o blogai nusiteikusiems likdavo tik sukąsti dantis.

Emmy buvo neįtikėtinai efektyvi – ją galima palyginti su automobiliu, kurio stabdžiai sugedo. Palaipsniui, bet stabiliai, Emmy pradėjo vis daugiau dėmesio skirti grynosios algebros klausimams: pirmiausia žiedams ir žiedų idealams, paskui sudėtingesnėms struktūroms, ypač įvairioms algebroms. Ji taip įsisavino temą, kad visiškai nusipelnė titulo „Žiedų valdovas“. Tokie svarbūs algebros raidos rezultatai kaip Lasker-Noether teorema (1921) ir normalizavimo lema (1926) datuojami šioje epochoje. Jos izomorfizmo teoremos datuojamos 1927 m.

Tada beveik iš karto Emmy perėjo prie sudėtingesnių temų, ypač algebros. 1931 m. buvo suformuluota Alberto-Brauerio-Hasse-Noether teorema apie baigtinių matmenų algebras. 1933 m. Emmy Noether vėl gavo svarbų rezultatą, susijusį su algebromis, vadinamąją Skolem-Noether teoremą.

Emmy visur sekėsi tikra minia studentų – triukšmingų, nedrausmingų, bet labai protingų. Tai buvo „Noeterio vaikai“, kurie klausėsi jos žodžių. Jie lydėdavo ją į ilgus pasivaikščiojimus ir dažnus maudynes savivaldybės baseine, kur Emmy plaukė ir nardė kaip delfinas. Daugelis „Noeterio vaikų“ vėliau tapo puikiais matematikais dėl idėjų, kurias jie sėmėsi iš savo mentoriaus, nors jos pedagoginė dovana, galima sakyti, buvo nestandartinė: ji elgėsi su mokiniais taip, kaip vištos motina elgiasi su savo viščiukais. visada griežti ir reiklūs ir nepaliko jų nė per žingsnį. Daugeliui ji buvo panaši į gaidį, o ne į vištą, ir jie ją vadino, parodydami pagarbą jos sumanumui ir šiek tiek nedrąsumu, vyriškąja lytimi - Der Noether.

Tuo metu naciai vykdė platų sekimą, kišosi į privatų žmonių gyvenimą, tiesiogine to žodžio prasme apgulė universitetus. Viena iš Noeterio mokinių, kuri buvo žydė ir todėl negalėjo lankyti universiteto, kartu su ja atėjo mokytis su šturmo būrio nario uniforma, kad nekiltų įtarimų. Pacifistė Emmy tai, kas vyksta, suvokė nuolankiai.

Ji studijavo moderniausias algebros šakas. Kartkartėmis Emmy kreipėsi į topologiją, ypač bendradarbiaudamas su Pavelu Sergejevičiumi Aleksandrovu (1896–1982). Noether specialybė buvo išsamus algebrinių struktūrų tyrimas, kurio tikslas buvo atmesti konkrečias jų savybes ir apsvarstyti jas kuo bendresne forma. Ema mėgavosi neribota valdžia. Pas ją atvyko studentai iš visos Europos. Vienas iš jų, Bartelis van der Waerdenas (1903-1996), vėliau išgarsėjęs kaip kelioms kartoms kanonu tapusios knygos „Modernioji algebra“ autorius, Emmy Noether nekrologe rašė:

BARTELIS LEENDERT VAN DER WARDEN

Emmy Noether ryšiai tarp skaičių, funkcijų ir operacijų tapo aiškūs, apibendrinami ir naudingi tik po to, kai jie buvo atskirti nuo konkrečių objektų ir redukuojami iki bendro pobūdžio konceptualių ryšių.

Štai ką Einšteinas rašė:

ALBERTAS EINSTEINAS

Teorinė matematika yra tam tikra loginių idėjų poezija. Jo tikslas – ieškoti bendriausių idėjų, kurios paprastai, logiškai ir bendrai apibūdina kuo platesnį formalių santykių spektrą. Šiame kelyje į loginį grožį atrandame formules, kurios leidžia giliau suvokti gamtos dėsnius.

Noeterio žiedai

Didžioji Emmy Noether mokslinio darbo dalis buvo skirta žiedams ir idealams – algebrinėms struktūroms, prie kurių ji dirbo daugelį metų. Kodėl tai buvo taip svarbu?

Prie idealų ir žiedų teorijos nesigilinsiu, pasakysiu tik tiek, kad Noether genialumas slypi tame, kad ji sukūrė idealų grandinę, kurią vienija narystės funkcija, kuri atspindi jų dalijimąsi vienas į kitą. Kadangi bet koks dalijamumo santykis anksčiau ar vėliau baigiasi tam tikru skaičiumi, tai anksčiau ar vėliau bet kuri idealų grandinė baigiasi. „Geros“ idealų grandinės būtinai baigiasi, tai yra, jos yra baigtinės.

Žiedai, ant kurių nėra begalinių idealų grandinių, vadinami Noeterio žiedais. Būtent šiems žiedams savo tyrimuose Emmy Noether skyrė ypatingą dėmesį.

Istorijos pabaiga

Nereikia nė sakyti, kad jau 1930-aisiais Emmy Noether mėgavosi neįtikėtina matematikų pagarba. To pavyzdys yra jos dalyvavimas 1932 m. tarptautiniame kongrese. Kitais metais Vokietijoje į valdžią atėjo naciai ir su dideliu ryžtu, kurį galima palyginti tik su jų pačių kvailumu, pradėjo šalinti dėstytojus žydus iš universitetų. Emmy taip pat kentėjo nuo antisemitizmo. Jos draugai ir pažįstami veltui protestavo – ji ir daugelis jos kolegų (Thomas Mann, Albert Einstein, Stefan Zweig, Sigmund Freud, Max Born ir daugelis kitų) buvo priversti nutraukti dėstymą Vokietijoje ir išvykti iš šalies (kaip paaiškėjo vėliau). , tokia laiminga proga pasitaikė ne kiekvienam), siekiant skleisti savo „piktas idėjas“ tarp kitų, ne arijų rasių atstovų. Niekada nesužinosime, kokį blogį naciai įžvelgė šiuolaikinėje algebroje. Greičiausiai patys naciai nežinojo atsakymo į šį klausimą.

Emmy brolis Fritzas, padaręs lemtingą klaidą, persikėlė į Tomską, o pati Emmy kurį laiką linko arba į Oksfordą, arba į Maskvą, tačiau galiausiai Rokfelerio fondo pastangomis atsidūrė JAV.

Šis pasirinkimas – emigracija į JAV – išgelbėjo Emmy gyvybę, ką liudija tragiškas jos brolio Fritzo likimas SSRS. 1937 m. lapkritį Fritzas Noetheris buvo suimtas savo namuose Tomske, o 1938 m. spalio 23 d. nuteistas kalėti 25 metus dėl kaltinimų šnipinėjimu Vokietijai. Be tėvų likę sūnūs – Hermanas ir Gotfrydas – 1938 metų kovą buvo išvaryti iš SSRS. Kalėjime Fritzas buvo apkaltintas „antisovietine propaganda“, 1941 m. rugsėjo 8 d. buvo nuteistas mirties bausme ir įvykdyta mirties bausmė.

JAV Prinstono Pažangiųjų studijų institute Emmy Noether skaitė paskaitas ir vedė seminarus. Pagrindinė Noether darbo vieta buvo Breen Mawr koledžas Pensilvanijoje, įsikūręs netoli Naujojo Džersio – geriausias moterų koledžas pasaulyje. Kartais Emmy pamiršdavo, kad yra Amerikoje, ir, ginčydamiesi dėl matematikos, prapliupo tiradomis vokiečių kalba.

Praėjus vos dvejiems metams po atvykimo į Ameriką, gydytojai nustatė, kad Emmy serga vėžiu. Ji gerai išgyveno operaciją, tačiau mirė nuo embolijos.

Įdomu tai, kad tarp nekrologų lavinos vienas, pasirašytas van der Waerdeno, be problemų buvo išleistas Vokietijoje – nacių cenzoriai tikriausiai nebuvo per daug išmanantys algebrą.

Tolimojoje Mėnulio pusėje esantis krateris ir asteroidas numeris 7001 taip pat pavadinti Emmy Noether vardu.

Amalia Emmy Noether(Amalie Emmy Noether, 1882 m., Erlangenas, Vokietija – 1935 m., Bryn Mawr, Pensilvanija, JAV) – vokiečių matematikė.

Jokia šeima

Jos tėvas Max Noether(1844-1921), gimęs Erlangene, beveik 50 metų buvo matematikos profesorius. Jis padarė svarbų indėlį į geometriją ir buvo pagrindinis autoritetas algebrinės geometrijos mokykloje Vokietijoje. Jis parašė daug straipsnių apie hipererdvės geometriją, Abelio ir teta funkcijas.

Jo sūnus Fritzas Noetheris (1884-1941) tapo taikomosios matematikos profesoriumi Breslau technikos aukštojoje mokykloje.

Emmy ankstyvieji metai

Emmy buvo Maxo Noeterio dukra, gimusi ir išsilavinusi Erlangene. 1900 metais ji gavo pažymėjimą dėstyti anglų ir prancūzų kalbas mergaičių mokyklose. Tačiau ji norėjo studijuoti matematiką Erlangeno universitete (dabar – Erlangeno-Niurnbergo universitetas). Tuo metu moterys į klasę buvo įleidžiamos tik gavus mokytojo leidimą. 1903–1904 m. žiemą ji praleido lankydama paskaitas Getingeno universitete, kur dėstė matematikai Davidas Hilbertas, Feliksas Kleinas ir Hermannas Minkowskis bei astronomas Karlas Schwarzschildas.

Ji grįžo į Erlangeną 1904 m., kai moterims buvo leista ten būti visavertėmis studentėmis. Baigė šį universitetą. 1907 m. Erlangene ji gavo daktaro laipsnį su disertacija apie algebrinius invariantus. Ji liko Erlangene, kur dirbo be užmokesčio už savo tyrimus ir buvo savo tėvo Maxo Noeterio padėjėja.

1915 metais Noetherį Hilbertas ir Kleinas pakvietė į Getingeną, laikomą pasaulio matematikos sostine. 1916 m. ji persikėlė ten prisijungti prie jų. Netrukus, naudodamasi savo žiniomis apie invariantus, ji padėjo jiems ištirti Alberto Einšteino neseniai paskelbtos bendrosios reliatyvumo teorijos matematinius aspektus.

Jau būdama puiki matematikė Noether, kaip moteris, negavo akademinių pareigų. Gilbertas ir Kleinas įtikino ją ten pasilikti, nepaisant kai kurių fakulteto narių griežtų prieštaravimų, kad universitete dėstytų moteris. Iki 1922 m. ji dėstė algebros kursą universitete vietoj oficialaus direktoriaus D. Hilberto (jo sutikimu).

1918 metais Noetheris atrado, kad jei Lagranžas(dydis, apibūdinantis fizinę sistemą, mechanikoje jis yra kinetinė minus potenciali energija) nesikeičia, kai keičiasi koordinačių sistema, tai yra dydis, kuris yra konservuojamas. Pavyzdžiui, kai Lagranžo priklausomybė nuo laiko pokyčių, tada energija yra išsaugotas dydis. Šis ryšys tarp vadinamosios fizinės sistemos simetrijos ir jos išsaugojimo dėsnių yra žinomas kaip Noeterio teorema ir pasirodė esąs pagrindinis teorinės fizikos rezultatas.

Veimaro Respublikoje sąlygos pasikeitė, ir Noether gavo oficialų leidimą mokyti 1919 m. Po didelio universiteto bendruomenės pasipriešinimo ji buvo paskirta „neoficialia“ nepaprastąja Getingeno universiteto profesore. Šis statusas nesuteikė nei akademinių teisių, nei atlyginimo, tačiau leido susikurti studentų grupę (jie buvo vadinami „Noether boys“), iš kurios vėliau iškilo ryškiausi algebristai. 1920 m. ji paskelbė straipsnių, kuriuose ji tapo viena iš pirmaujančių matematikų.

Per ateinančius šešerius metus jos moksliniai tyrimai buvo skirti bendrajai teorijai idealai(specialūs žiedų poaibiai), kuriai jo likusi teorema yra svarbi dalis. Remdamasi aksiomatika, ji sukūrė bendrą idealų teoriją visiems atvejams. Jos abstrakčioji teorija padėjo sujungti daug svarbių matematinių pokyčių.

Nuo 1927 m. Noetheris tyrinėjo nekomutacines algebras (algebras, kuriose skaičių daugybos tvarka turi įtakos atsakymui), jų tiesines transformacijas ir jų taikymą komutaciniams skaičių laukams. Ji sukūrė naują nekomutacinių algebrų teoriją, kuri buvo vieninga ir gryna konceptualiai. Bendradarbiaudama su Helmutu Hasse ir Richardu Braueriu, ji ištyrė nekomutacinių algebrų struktūrą ir jų pritaikymą komutaciniams laukams, naudodama kryžminį sandaugą (daugybos tipą, naudojamą tarp dviejų vektorių). Svarbūs šio laikotarpio darbai: „Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie“ (1929 m.; „Hiperkompleksinės skaičių sistemos ir jų vaizdavimas“) ir „Nichtkommutacinė algebra“ (1933 m.; „Noncommutative Algebra“).

Be mokslinių tyrimų ir mokymo darbo, Noether padėjo redaguoti Mathematische Annalen. 1930–1933 metais tai buvo stipriausios matematinės veiklos centras Getingene.

JAV

1933 m. Neter, būdama žydė, buvo priversta palikti Vokietiją ir persikėlė į JAV, kur dėstė Bryn Mawr koledže.

Matematikas Emmy Noether buvo genijus, naujo požiūrio į fiziką pradininkas

Noeterio teorema teorinėje fizikoje yra tai, kas natūralioji atranka yra biologijoje. Jei parašysite lygtį, kuri apibendrintų viską, ką žinome apie teorinę fiziką, viename jos gale būtų Feynmano, Schrödingerio, Maxwello ir Dirac pavadinimai. Bet jei Noetherį pridėtumėte kitoje lygties pusėje, tai kompensuotų juos visus.

Emmy Noether gimė Bavarijoje 1882 m. Ji lankė internatinę mokyklą ir gavo diplomą, suteikiantį teisę mokyti kalbų – prancūzų ir anglų. Tačiau mergina netrukus suprato, kad matematika, kurią Erlangeno universitete studijavo jos tėvas ir brolis, ją domina kur kas labiau. Moterys nebuvo įleistos į aukštąsias mokyklas, tačiau Emmy išlaikė stojamąjį egzaminą su A pliusu ir tiesiog kaip savanorė lankė paskaitas, kol universitetas pradėjo priimti merginas studijuoti. Ir Noether sugebėjo įgyti daktaro laipsnį.

Mergina pradėjo tyrinėti ir, galima sakyti, išrado bendrąją algebrą. Ši disciplina tiria algebrines sistemas (algebrines struktūras) ir redukuoja jas iki abstrakčiausių formų. Noether tikslas buvo suprasti, kaip matematinės idėjos koreliuoja viena su kita, ir sukurti bendras matematines struktūras. Ji niekada neteigė, kad atrado ką nors revoliucingo, tačiau jos darbas buvo naujas požiūris į matematiką.

Kol Noether rašė savo iš esmės naują darbą Erlangeno universitete, ji neturėjo nei pareigų, nei atlyginimo. Vienintelis dalykas, kurį ji galėjo padaryti, buvo retkarčiais pakeisti tėvą matematikos paskaitose, kai jis sirgo.

Po septynerių metų matematikai Davidas Hilbertas ir Felixas Kleinas pakvietė Noetherį dirbti su jais Getingeno universitete. Jie norėjo, kad moteris išspręstų energijos išsaugojimo problemą Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijoje. Bandydamas tai padaryti, Emmy suformulavo Noeterio teoremą ir taip padarė vieną reikšmingiausių indėlių į teorinę fiziką.

Einšteinas kalbėjo apie teoremą kaip „įžvalgaus matematinio mąstymo“ pavyzdį. Be to, teorema turi paprastą formuluotę: kiekviena nuolatinė fizinės sistemos simetrija atitinka tam tikrą išsaugojimo dėsnį. Simetrija reiškia, kad fizinis procesas arba jo matematinis aprašymas išlieka toks pat, kai pasikeičia koks nors sąrankos aspektas.

Pavyzdžiui, ideali švytuoklė, kuri neribotą laiką svyruoja pirmyn ir atgal, yra simetriška laike. Remiantis Noeterio teorema, viskas, kas turi laiko simetriją, išsaugo energiją. Taigi, švytuoklė nepraranda energijos. Jei sistema turi sukimosi simetriją – tai yra, ji veikia vienodai, nepaisant orientacijos erdvėje – tada joje išsaugomas kampinis momentas. Tai reiškia, kad jei objektas iš pradžių sukasi, jis ir toliau suksis neribotą laiką. Stabilumas, kurį matome planetų orbitose, yra simetrijos, veikiančios kartu – tiek energijos, tiek kūnų kampinio impulso išsaugojimo, pasekmė.

Noeterio teorema leidžia mums užmegzti gilius ryšius tarp eksperimentų rezultatų ir esminio matematinio jų fizikos aprašymo. Mąstymas apie fiziką šiuo atveju sudaro pagrindą teoriniam šuoliui, kuris privedė fizikus prie teorinės Higgso bozono prognozės gerokai anksčiau, nei dalelė galėjo būti aptikta atliekant LHC tyrimus. Simetrija yra tokia esminė fizikoje, kad standartinis dalelių fizikos modelis dažnai vadinamas jo simetrijos grupėmis: U (1) × SU (2) × SU (3).

Žinoma, puiku, kad Noether padarė radikalią revoliuciją fizikoje – tačiau tuo pat metu ji toliau dirbo be atlyginimo, dažnai skaitė paskaitas Hilbertui ir buvo jo padėjėja. 1922 m., praėjus 4 metams nuo jos teoremos paskelbimo, moteris gavo laisvai samdomos docentės statusą ir pradėjo mokėti nedidelį atlyginimą. Emmy skaitė paskaitas visoje Europoje.

Kai naciai atėjo į valdžią, Noether atsidūrė be darbo, nes buvo žydė. Jai teko emigruoti į Ameriką, kur tapo kviestine profesore Bryn Mawr moterų koledže. Be to, Emmy Noether kas savaitę skaitė paskaitas Prinstone. Bryn Mawr Noether pirmą kartą pradėjo dirbti su moterimis matematikėmis. Liūdna, kad ji turėjo tik 2 metus, kad galėtų tuo mėgautis. Noether mirė 1935 m., sulaukęs 53 metų, po nesėkmingos vėžio pašalinimo operacijos.

Daugelis puikių to meto fizikų ir matematikų, įskaitant Einšteiną, gyrė Emmy. Jos laikais žinovai labai stengėsi, kad moterys negalėtų patekti į mokslą. Tačiau Noether šią taisyklę įveikė (galbūt su Einšteino parama).

Net ir šiandien matematikoje ir fizikoje galime pastebėti moterų ir vyrų mokslininkų traktavimo asimetriją (tai vadinama „Matildos efektu moksle“). Kaip sakė Noetheris, kai tik pažeidžiama simetrija, kažkas prarandama.

Katie Mack
Moteris, kuri išrado abstrakčią algebrą // Cosmos Magazine
Vertimas: Katyusha Shutova

Aleksejus Levinas

Lygiai prieš šimtą metų Getingeno matematikos draugijos seminare buvo pristatyta teorema, kuri laikui bėgant tapo svarbiausia matematinės ir teorinės fizikos priemone. Kiekvieną ištisinę fizinės sistemos simetriją jis susieja su tam tikru tvermės dėsniu (pavyzdžiui, jei izoliuotoje dalelių sistemoje procesai yra nekintami laiko poslinkio atžvilgiu, tai šioje sistemoje yra tenkinamas energijos tvermės dėsnis). Emmy Noether įrodė šią teoremą – ir šis rezultatas, kartu su svarbiausiais abstrakčiosios algebros darbais, pelnytai leidžia daugeliui Noether laikyti didžiausia moterimi matematikos istorijoje.

Aleksejus Levinas

1918 m. liepos mėn. Getingeno mokslo sluoksniai sužinojo apie matematinės teoremos, kuri turėjo tapti universaliausia ir veiksmingiausia šiuolaikinės fizikos priemone, įrodymą. Paskaita skirta tiek pačiai teoremai ir jos vaidmeniui teorinės fizikos pažangoje, tiek labai neįprastai jos autoriaus, didžiojo matematiko Emmy Noether asmenybei ir gyvenimui. Ypatingas dėmesys bus skiriamas Noeterio ryšiams tiek su šiuolaikine Rusija, tiek su XIX amžiaus Rusijos istorija.

Emilis Achmedovas

Kokiais stebėjimais grindžiama specialioji reliatyvumo teorija? Kaip buvo išvestas postulatas, kad šviesos greitis nepriklauso nuo atskaitos rėmo? Apie ką kalba Noeterio teorema? O ar yra reiškinių, kurie prieštarauja SRT? Apie tai kalba fizikos ir matematikos mokslų daktaras Emilis Achmedovas.

Emilis Achmedovas

Kaip kinta fizikiniai dėsniai skirtingose ​​atskaitos sistemose? Kokią fizinę reikšmę turi erdvės kreivumas? O kaip veikia pasaulinė padėties nustatymo sistema? Fizinių ir matematikos mokslų daktaras Emilis Achmedovas pasakoja apie neinercines atskaitos sistemas, kovariaciją ir fizinę erdvės kreivumo reikšmę.

Emilis Achmedovas

Fizikos ir matematikos mokslų daktaras Emilis Achmedovas pasakoja apie Lorenco transformacijas, specialiąją reliatyvumo teoriją, dvynių paradoksą ir lazdos bei tvarto paradoksą.

Dmitrijus Kazakovas

Kaip buvo atrastos trys kvarkų kartos? Kokios teorijos apibūdina dalelių sąveiką? Kokias savybes turi kvarkai? Fizinių ir matematikos mokslų daktaras Dmitrijus Kazakovas pasakoja apie elementariųjų dalelių rūšis, grupių teoriją ir trijų kartų kvarkų atradimą.

Ivanas Losevas

Visuotinai priimtas klasikinės (Hamiltono) mechanikos formalizmas reiškia, kad stebimi objektai sudaro Puasono algebrą, o sistemos raidą pateikia Hamiltono lygtis. Įprastiniame kvantiniame mechaniniame formalizme stebimieji yra savaime susieti operatoriai Hilberto erdvėje, o raidą pateikia Heisenbergo lygtis. Šios dvi lygtys yra panašios, tačiau stebimų dalykų pobūdis visiškai skiriasi. Dėl to sunku pereiti nuo klasikinės prie kvantinės ir vėl atgal. Dėl šios priežasties buvo pasiūlytas paprastesnis (ir algebriškesnis) kvantinės mechanikos formalizmas, kuriame stebimųjų kvantinė algebra tampa klasikinės deformacija. Pradėsiu naudodamas potencialios sistemos pavyzdį, kad paaiškinčiau Puasono skliausto ir Hamiltono lygties atsiradimą. Tada pakalbėsiu apie algebrų deformacijas ir paaiškinsiu, kodėl deformacijų formalizmas lengvai suteikia perėjimą prie pusiau klasikinės ribos.

vokiečių matematikas.

Ji buvo pakviesta Davidas Gilbertas už paskaitų skaitymą ir mokslinio darbo vedimą Getingeno universitete.

« Emmy Noether turėjo mažai ką bendro su legendine „matematika“ Sofija Kovalevskaja, net sužavėjo Weierstrass su savo intelektu ir jaunatvišku žavesiu. Ji visiškai neturėjo moteriškumo tiek išvaizda, tiek savo manieromis. Net ir šiandien ją pažinoję vyrai pirmiausia prisimena: „Jos balsas buvo stiprus ir nemalonus“, „Ji atrodė kaip energinga ir labai trumparegė skalbėja“, „Jos drabužiai visada buvo maišyti“.
Visi jie entuziastingai cituoja subtilią pastabą, kad „malonės nestovėjo prie jos lopšio“.
Tačiau Emmy Noether buvo lemta turėti daug svarbesnę įtaką matematikai nei žavingoji Sofija.
Net tuo metu ji jau turėjo tvirtų žinių apie kai kuriuos dalykus, reikalingus Hilbertui ir Kleinui jų darbui reliatyvumo teorijoje. Jie abu nusprendė, kad ji turėtų likti Getingene. Tačiau nepaisant to, kad Getingenas buvo pirmasis universitetas Vokietijoje, suteikęs daktaro laipsnį moteriai, gavusiai habilitaciją. (Terminas kilęs iš lotynų kalbos „habilis“ – galintis, tinkamas ir reiškia įgyti teisę tapti universiteto fakulteto nariu – I. L. Vikentjevo pastaba) Jai tai nebuvo lengva užduotis.
Balsuojant dėl ​​habilitacijos priėmimo turėjo dalyvauti visas Filosofijos fakultetas, kuriame, be gamtos mokslų ir matematikos atstovų, buvo ir filosofai, filologai, istorikai. Ypatingas pasipriešinimas kilo iš ne matematinės fakulteto dalies.
Jų oficialus prieštaravimas baigėsi taip: „Kaip galima leisti moteriai tapti privata? Ja tapusi, ji gali tapti profesore ir universiteto senato nare. Ar galima leisti moteriai patekti į Senatą? Neoficialus prieštaravimas buvo toks: „Ką pagalvos mūsų kariai, grįžę į universitetą ir sužinoję, kad turi mokytis sėdėdami prie moters kojų?
GilbertasŠie argumentai priminė tuos, kuriuos jis girdėjo, kai bandė pristatyti Grommero disertaciją tiems patiems fakulteto nariams. „Jei mokiniai, neturintys gimnazijos diplomo, visada rašo tuos pačius baigiamuosius darbus, kaip ir Grommeris, tuomet reikės priimti įstatymą, draudžiantį laikyti baigiamuosius egzaminus. Dabar taip pat tiesiai šviesiai jis atsakė į jų formalius prieštaravimus dėl Emmy Noether docento: „Meine Herren, aš nesuprantu, kodėl kandidato lytis turėtų būti priežastis nesuteikti jam Privatdozent titulo. Juk Senatas – ne pirtis“.
Kai, nepaisant tokio prieštaravimo, jis vis tiek Ne pavyko gauti habilitacijos premiją Emmy Noether, jo išsaugojimo Getingene problemą jis išsprendė savaip.
Paskaitos bus skelbiamos profesoriaus Hilberto vardu, jas skaitys ponia Noether. Karas tęsėsi“.

Constance Reid, Gilbert, M., Mokslas, 1977, p. 187-188.

1918 m. Emmy Noether įrodė pagrindinę teorinės fizikos teoremą, susiejančią išsaugojimo dėsnius su sistemos simetrija, vadinamą Noeterio teorema.

„E. Noeterio teorema teigia, kad bet kokiai nuolatinei koordinačių transformacijai inercinėje atskaitos sistemoje atitinka tam tikras išsaugotas dydis ( nekintamas). Kadangi nagrinėjama transformacija yra glaudžiai susijusi su jos erdvės ir laiko simetrija (homogeniška erdvė, izotropinė erdvė ir laiko vienalytiškumas), kiekviena erdvės ir laiko savybė, remiantis klasikine mechanika, turi atitikti savo specifinį išsaugojimo dėsnį.
Esant erdvės homogeniškumui, t.y. Impulso išsaugojimo dėsnis yra susijęs su fizikos dėsnių simetrija erdvinių kilmės poslinkių atžvilgiu. Su erdvės izotropija, t.y. Kampinio momento išsaugojimo dėsnis yra susijęs su visų erdvinių krypčių lygiavertiškumu, taigi ir su simetrija koordinačių sistemos sukimosi erdvėje atžvilgiu.
Laiko homogeniškumo idėja (simetrija laiko poslinkių atžvilgiu) veda prie energijos tvermės dėsnio. Tai reiškia, kad pats laikas Ne gali sukelti kai kurios uždaros sistemos energijos pokytį.
Praktinė E. Noeterio teoremos reikšmė neapsiriboja tuo, kad ji nustato ryšį tarp klasikinių išsaugojimo dėsnių ir geometrinę prigimtį turinčių simetrijos tipų.
Jei fizinėje sistemoje yra kitokio pobūdžio simetrija, pavyzdžiui, dinaminė (matematinė), šios simetrijos numato tam tikrus išsaugojimo dėsnius, kurie taip pat turi uždrausti vietinius saviugdos reiškinius.

Balakshin O.B. , Saviugdos harmonija gamtoje ir visuomenėje: panašumas ir analogijos, M., LKI leidykla, 2008, p. 112.

„... buvo nustatyta, kad yra glaudus ryšys tarp teorijos nekintamumo simetrijos transformacijų atžvilgiu ir fizikinių dydžių išsaugojimo dėsnių (teorema Niekas). Teorema Niekas turi gilią euristinę reikšmę.Jeigu nagrinėjamoje fizikinėje sistemoje yra užkonservuotas dydis, apibūdinantis tam tikras sistemos savybes, tai turi būti ir transformacijų grupė, kuri šios sistemos nekeičia. Jei rastafizinei sistemai kai kurių transformacijų metu, tai atitinka tam tikro fizikinio dydžio išsaugojimą.

Kuvšinovas V.I., Straževas V.I., Nuo mokslinės hipotezės iki fizinio fakto, Minskas, „Mokslas ir technologija“, 1977, p. 23.

Emmy Noether 1919 m. galėjo tapti privačiu asistentu, o 1922 m.

1933 m., kai Vokietijoje į valdžią atėjo naciai, Emmy Noether persikėlė į JAV.

Sužinojęs apie jos mirtį, Albertas Einšteinas rašė: „Dauguma žmonių visas jėgas išleidžia kovodami už kasdienę duoną. Netgi daugelis tų, kuriuos likimas ar kokia nors ypatinga dovana „pagailėjo būtinybės kovoti su šia kova, didžiąją dalį savo jėgų skiria pasaulietinėms gėrybėms ir savo turtui didinti.
Už tokių pastangų, kuriomis siekiama sukaupti visokią naudą, gana dažnai slypi iliuzija, kad tai yra reikšmingiausias ir geidžiamiausias tikslas, kurio reikia siekti.
Laimei, mažuma tų, kurie anksti suprato, kad gražiausi žmonijos išgyvenimai ir didžiausias pasitenkinimas ateina ne iš išorės, o yra susiję su kiekvieno individo jausmų, minčių ir veiksmų raida.
Tikri menininkai, tyrinėtojai ir mąstytojai visada buvo tokie žmonės. Kad ir kaip nepastebimai prabėgo šių žmonių gyvenimas, jų pastangų vaisiai pasirodė esąs brangiausias indėlis į palikimą, kurį karta palieka savo įpėdiniams.
Prieš kelias dienas, būdamas penkiasdešimt trejų metų, mirė puikus matematikas profesorius. Emmy Noether, kadaise buvo susijęs su Getingeno universitetu, o pastaruosius dvejus metus dirbo Bryn Mawr koledže. Kompetetingiausių gyvų matematikų teigimu, Fraulein Emmy Noether buvo vienas reikšmingiausių ir kūrybiškiausių matematikos genijų, atsiradusių nuo tada, kai moterys pradėjo įgyti aukštąjį išsilavinimą.
Algebros srityje, kurią gabiausi matematikai studijavo šimtmečius, ji atrado metodus, kurie turėjo didžiulę įtaką šiuolaikinės jaunųjų matematikų kartos raidai. Gryna matematika yra tam tikra idėjų logikos poezija. Matematikai stengiasi rasti kuo bendresnį operacijos supratimą, kuris leistų paprastai, logiškai ir vienodai aprėpti kuo platesnį formalių santykių spektrą“.

Albert Einstein, In Memory of Emmy Noether / Surinkti moksliniai darbai 4 tomais, 4 tomas, 1967, „Mokslas“, p.108.

Lygiai prieš šimtą metų Getingeno matematikos draugijos seminare buvo pristatyta teorema, kuri laikui bėgant tapo svarbiausia matematinės ir teorinės fizikos priemone. Kiekvieną ištisinę fizinės sistemos simetriją jis susieja su tam tikru tvermės dėsniu (pavyzdžiui, jei izoliuotoje dalelių sistemoje procesai yra nekintami laiko poslinkio atžvilgiu, tai energijos tvermės dėsnis šioje sistemoje yra tenkinamas). Emmy Noether įrodė šią teoremą – ir šis rezultatas, kartu su svarbiausiais abstrakčiosios algebros darbais, pelnytai leidžia daugeliui Noether laikyti didžiausia moterimi matematikos istorijoje.

Istorinės asociacijos

Pirmiausia mažas, bet pamokantis nukrypimas nuo pagrindinės temos. XX amžiaus šeštajame dešimtmetyje susitikime su MSU studentais puikus Maskvos matematikas Dmitrijus Evgenievichas Menshovas kalbėjo apie Maskvos matematikos mokyklą:

« 1914 metais įstojau į Maskvos universitetą. Nikolajus Nikolajevičius Luzinas tuo metu buvo užsienyje. Bet jis sutiko su Dmitrijumi Fedorovičiumi Egorovu, kad jie organizuos seminarijas studentams. O 1914 m. Dmitrijus Fedorovičius surengė tokią seminariją. Jis buvo skirtas skaičių serijoms. Kitais metais Nikolajus Nikolajevičius grįžo į Maskvą ir pats pradėjo vadovauti seminarijai. 1915 m. dirbome su funkcinėmis eilėmis, o 1916 m. – su stačiakampėmis.

Ir tada atėjo tūkstantis devyni šimtai septyniolika. Tai buvo labai įsimintini metai mūsų gyvenime. Tais metais įvyko svarbiausias įvykis, turėjęs įtakos visam mūsų gyvenimui: pradėjome mokytis trigonometrinės serijos... »

Taigi, Menšovui pagrindinis 1917 m. įvykis buvo perėjimas prie trigonometrinių eilučių tyrimo! Ne veltui jie kartais tvirtina, kad matematikai turi kiek savitą juos supančio pasaulio suvokimą.

Garsiojo Getingeno universiteto Matematikos fakulteto dėstytojai būtų galėję panašiai apibūdinti tai, kas įvyko 1918 m. liepos pabaigoje. Pasaulis aplink juos griuvo, nors galbūt jie to dar nesuvokė. Vakarų fronte šlovingai baigėsi Antrasis Marnos mūšis – paskutinis didelis kaizerio armijų puolimas, tapęs Vokietijos pralaimėjimo Didžiajame kare įžanga. Liepos 16 d. Ipatievo namų rūsyje buvo nužudyta karališkoji šeima ir nedidelė jos palyda. Šiomis lemtingomis dienomis, tiksliau liepos 23 d., Getingeno matematikos draugijos seminaro dalyviai išgirdo žinią apie teoremą, kuri laikui bėgant virto itin efektyvia fundamentinio mokslo priemone. Rudenį žurnale buvo paskelbtas išplėstinis ir pataisytas ataskaitos tekstas Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasė. Šis straipsnis, pavadintas Nekintamų variacijų problema, yra įtrauktas į auksinį matematinės ir teorinės fizikos fondą (galima rasti originalą vokiečių kalba ir vertimą į anglų kalbą).

Jos autorius tuomet neturėjo formalaus statuso Vokietijos akademiniame pasaulyje. Nors 36 metų Emmy Noether sugebėjo apginti daktaro disertaciją ir paskelbė 12 originalių darbų, jos lytis visiškai užblokavo galimybę patekti į Vokietijos universitetų ratą. Visų pirma, ji negalėjo (ir net ateityje negalėjo) tapti Getingeno karališkosios mokslo draugijos nare, kur jos darbas buvo pristatytas praėjus trims dienoms po didžiojo matematiko Felixo Kleino pranešimo (visai įmanoma, kad Emmy Noether net nedalyvavo šiame susitikime). O vėliau, jau dvidešimtmetė, tapusi pasaulinio garso matematike, buvo priversta tenkintis nepadoriai mažu atlyginimu ir itin kukliomis pareigomis Getingeno universitete. Galbūt dėl ​​to kalta jos žydiška kilmė ir labai kairiosios pažiūros.

Ilgas kelias į viršų

Puikūs matematikai paprastai demonstruoja savo unikalius sugebėjimus nuo ankstyvo amžiaus. Tačiau nėra taisyklių be išimčių.

Emmy Noether gimė 1882 m. kovo 23 d. provincijos Bavarijos mieste Erlangene. Nuo 1743 m. veikė „laisvas“ (tai yra nesusijęs su religinėmis konfesijomis) Friedricho-Aleksandro universitetas, vienas iš trijų tuometinėje Vokietijoje (kiti du buvo įkurti anksčiau Halės ir Getingene). Dėstymas ten buvo geras, tačiau jo profesūra negalėjo pasigirti jokiais ypatingais mokslo pasiekimais. Tiesa, 1872–75 jaunasis Feliksas Kleinas dirbo Erlangene. Pradėjęs eiti pareigas, jis skaitė dabar žinomą paskaitą „Naujų geometrinių tyrimų lyginamoji analizė“, kurioje išdėstė radikalaus geometrijos atnaujinimo planą, pagrįstą abstrakčia algebra, įskaitant grupių teoriją. Ši paskaita, kuri į mokslo istoriją įėjo kaip Erlangeno programa, tapo svarbiu XIX amžiaus antrosios pusės matematikos raidos etapu. Tačiau po trejų metų Kleinas Erlangeną pakeitė į Miuncheną. Po jo Friedricho-Aleksandro universiteto darbuotojai buvo matematikai, nors ir geri, bet ne pirmo rango. Vienas iš jų buvo Emmy tėvas, ėjęs profesoriaus pareigas iki 1919 m. vaisingai studijavo algebrinę geometriją, 1870-aisiais įrodė (vienas arba bendradarbiaudamas) kelias labai nebanalias teoremas, bet paskui atsidėjo tik mokymui. Ten paskaitas skaitė ir žymus algebristas Paulas Gordanas, kuris laikui bėgant suvaidino reikšmingą vaidmenį kolegos dukters likime.

Mažoji Emmy buvo labai paprastas vaikas – miela ir protinga mergaitė, bet jokiu būdu ne stebuklingas vaikas. Būdama septynerių įstojo į savivaldybės moterų gimnaziją, kur mokėsi gerai, bet ne puikiai. 1900 m. balandį ji išlaikė valstybinius egzaminus, suteikiančius teisę dėstyti anglų ir prancūzų kalbą mergaičių mokyklose Bavarijos Karalystėje. Tačiau, užuot ieškojusi dėstytojo darbo, ji įstojo į Erlangeno universitetą kaip savanorė, nes merginos tuo metu nebuvo priimtos į pilnas studentes. 1903–1904 m. žiemą ji semestrą praleido Getingene, kur skaitė paskaitas iš tokių Vokietijos mokslo žvaigždžių kaip matematikai Hermannas Minkowskis, Feliksas Kleinas ir Davidas Hilbertas bei astrofizikas Karlas Schwarzschildas. Grįžusi į Erlangeną, 1904 m. rudenį ji gavo universiteto matematikos diplomą. Tai leido jai tęsti mokslus Filosofijos fakultete, kur 1907 m. gruodžio mėn., vadovaujama Gordano, apgynė daktaro disertaciją ir net su pagyrimu – summa cum laude. Kitais metais jos disertacija pasirodė labai prestižinėje „Grynosios ir taikomosios matematikos žurnalas“ (Žurnalas für die reine und angewandte Mathematic), geriau žinomas jo įkūrėjo vardu Crelle's Journal Tai buvo pirmasis jo mokslinis leidinys ir labai garbinga apimtis – 68 puslapiai (šiek tiek anksčiau trijų puslapių šio darbo santrauka pasirodė 2010 m. Erlangeno fizinės medicinos draugija).

Po savo gynimo Emmy septynerius su puse metų išbuvo Erlangene, atlikdama labai dviprasmišką universiteto Matematikos instituto nemokamos ir neįdarbintos darbuotojo vaidmenį. Ji vadovavo keliems doktorantams, kartais dėstytoju pavaduodavo tėvą ir, žinoma, atlikdavo savo tyrimus. 1909 m. ji gavo pirmąjį institucinį pripažinimą, tapdama Vokietijos matematikų draugijos nare.

Iki maždaug 1911 m. Emmy Noether paprastai nepaliko problemų, kurias sprendė rengdama disertaciją. Jie visiškai priklauso Paulo Gordano mokslinių interesų sričiai. Šios užduotys reikalavo daug darbo reikalaujančių skaičiavimų, tačiau ideologiškai jos nebuvo niekuo ypatingos. Po daugelio metų ji apie juos kalbėjo be menkiausios pagarbos ir net prisipažino, kad visiškai pamiršo kažkada naudotą formalų aparatą. Tačiau žvelgiant atgal, akivaizdu, kad įgyta patirtis labai padėjo įrodyti jos puikią teoremą.

Tai verta panagrinėti išsamiau. Paulas Gordanas dirbo su algebriniais invariantais nuo 1860-ųjų pabaigos, tapdamas vienu iš pagrindinių šios matematikos srities specialistų. Istoriškai šios studijos siekia tokių titanų kaip Leonhardas Euleris, Josephas Louisas Lagrange'as ir ypač Carlas Friedrichas Gaussas, kuris šias problemas nagrinėjo skaičių teorijos rėmuose. Šioje teorijoje reikšmingą vaidmenį atlieka vadinamosios algebrinės formos – vienarūšiai bet kokio laipsnio daugianariai dviejuose ar daugiau kintamųjų. Paprasčiausias iš jų standartiniame žymėjime atrodo taip:

Kur x Ir y- nepriklausomi kintamieji, a, b Ir Su- pastovūs koeficientai.

Tai dvejetainė kvadratinė forma, kitaip tariant, dviejų kintamųjų antrojo laipsnio forma. Trečias (ty iš trijų kintamųjų x, y Ir z) kvadratinė forma atrodo panašiai, tik ilgesnė:

Pavyzdžiui, taip pat galite parašyti dvejetainę kubinę formą:

Kiti pavyzdžiai tikriausiai nereikalingi.

Kintamieji, nesvarbu, kiek jų yra (tai yra, kad ir koks būtų šių kintamųjų erdvės matmuo), gali būti tiesiogiai transformuojamas (pereikite prie naujų kintamųjų, kurie bus linijiniai senųjų deriniai). Geometriškai tokia transformacija reiškia koordinačių ašių pasukimą kartu keičiant ilgio skalę išilgai kiekvienos ašies. Rašant formą naujuose kintamuosiuose, jos koeficientai, žinoma, keičiasi. Tačiau, ir tai yra svarbiausia, kai kurios šių koeficientų funkcijos arba išlaiko savo skaitinę reikšmę, arba yra dauginamos iš bendro koeficiento, kuris priklauso tik nuo konkrečios kintamųjų transformacijos. Šios funkcijos vadinamos algebrinėmis invariantais. Jei aptariamas veiksnys yra lygus vienetui, invariantas vadinamas absoliučiu. Nesunku parodyti, kad dvejetainės kvadratinės formos invariantas (nors ir ne absoliutus) yra jos diskriminantas \(b^2-ac\), gerai žinomas iš mokyklos algebros. Dvejetainė kubinė forma jau turi nemažai invariantų. Net ir paprasčiausias iš jų, 1844 m. surastas vokiečių matematiko Ferdinando Eizenšteino, yra daug ilgesnis: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).

Akivaizdu, kad skirtingų tipų algebrinės formos turi skirtingas invariantų šeimas, kartais labai daug. Gordanas, kuris ne veltui buvo vadinamas invariantų teorijos karaliumi, daugelį metų dalyvavo jų skaičiavime. Būtent šią problemą – surasti pilną trinarės bikvadratinės formos invariantų rinkinį – jis pasiūlė vienintelei savo doktorantei Emmy Noether. Ji tai puikiai išsprendė, sudarydama net trijų šimtų trisdešimt vieno invariantų sąrašą! Tikriausiai ji buvo taip pavargusi nuo šio darbo, kad po daugelio metų apibūdino tai kaip nesąmonę – su amžiumi ji tapo labai aštrialiežuvė.

1910 m. Gordanas atsistatydino. Po metų jo kėdę užėmė Ernstas Fischeris, mokslininkas, turintis daug modernesnių matematinių interesų. Bendraujant su Fischer Emmy Noether buvo lengviau susipažinti su daugybe naujų idėjų, ypač su darbu abstrakčios algebros ir tęstinių grupių teorijos srityje. Taigi jos moksliniai siekiai priartėjo prie Davido Hilberto ir kitų Getingeno matematikų, kurie rimtai susidomėjo jos darbais, interesams. Taip atsitiko, kad 1915 m. pavasarį Kleinas ir Hilbertas pakvietė Noether persikelti į savo universitetą, tikėdamiesi užsitikrinti jai privatininkės pareigas. Tačiau tada nieko neišėjo. Nepaisant 1915 m. lapkritį pareiškėjo pateiktos ataskaitos, universiteto Senatas atsisakė patvirtinti Emmy Noether „dėl formalių taisyklių nesilaikymo“. Tai reiškė 1908 metais patvirtintą nuostatą, pagal kurią privačiais docentais galėjo būti tik vyrai. „Emmy“ gynėjai kreipėsi į kultūros ministrą, tačiau šis atsisakė įsikišti. Pasak plačiai paplitusios legendos, Gilbertas savo kolegoms pasakė, kad nemato, kodėl kandidato lytis gali būti kliūtis užimti privataus docento pareigas, nes universitetas vis dar nėra pirtis.

Net jei jis taip pasakė (nėra jokių dokumentuotų įrodymų), jo nuodinga retorika neturėjo jokios įtakos. Dar trejus metus Emmy iš tikrųjų dirbo Hilberto asistentu ir kartais vietoj jo skaitydavo paskaitas, bet, kaip ir Erlangene, tik turėdamas paukščio licenciją. Tik 1919 m., jau Veimaro respublikos laikais, ji pagaliau tapo privatininke, o po ketverių metų universitetas jai buvo suteiktas gana keistas neoficialios neeilinės profesorės titulas (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Tiesa, šis titulas, kaip ir privatus docentas, nesuteikė teisės į nuolatinį atlyginimą. Tačiau Hilbertui ir kitai Getingeno matematikos žvaigždei Richardui Courantai pavyko gauti universitete algebros pamokas, kurios vis tiek buvo mokamos, nors ir labai kukliai (200–400 markių per mėnesį), o jos kontraktą reikėjo kasmet patvirtinti iš Prūsijos ministerijos. mokslas, menai ir mokslai. Eidama šias pareigas Emmy Noether dirbo Getingene iki 1933 m. Hitleriui atėjus į valdžią, kai žydų mokslininkai buvo pašalinti iš Vokietijos universitetų, ji persikėlė į JAV.

Teorema pagal užsakymą

Netrukus po to, kai Emmy Noether atvyko į Getingeną, ten įvyko įvykiai, kurie tapo jos pirmojo puikaus darbo įžanga. 1915 metų vasarą Albertas Einšteinas šešiose paskaitose supažindino Getingeno kolegas su pagrindinėmis savo (tuomet dar nebaigtos, bet jau beveik baigtos) reliatyvistinės gravitacijos teorijos, geriau žinomos kaip bendroji reliatyvumo teorija, idėjomis. Tarp žiūrovų buvo ir Hilbertas, kuris rimtai susidomėjo Einšteino idėjomis. Lapkričio mėnesį Einšteinas parašė galutinę GR lygčių versiją, apie kurią pranešė keturiuose Prūsijos mokslų akademijos posėdžiuose (žr. GR šimtmetį arba „Pirmosios lapkričio revoliucijos metines“). Šiek tiek vėliau Hilbertas iš naujo išvedė šias lygtis remdamasis mažiausio veiksmo principu, apie kurį jis pranešė 1916 m. kovo pabaigoje paskelbtame straipsnyje. Ši išvada yra elegantiškesnė už pirminę Einšteino išvadą ir pelnytai pasirodo daugelyje vadovėlių, pavyzdžiui, Landau ir Lifshitzo „Lauko teorijoje“.

Vykdydamas šį darbą Hilbertas susidūrė su labai rimta problema. Jis suprato, kad naujoji gravitacijos teorija privertė kitaip pažvelgti į šventą fizikos karvę – energijos tvermės dėsnį. Niutono gravitacijos teorija ir Maksvelo elektrodinamika energiją laiko išmatuojamu fiziniu dydžiu, kuris apibrėžiamas bet kuriame erdvės taške ir bet kuriuo laiko momentu (arba bet kuriame erdvės laiko taške, naudojant specialiosios reliatyvumo teorijos kalbą). Einšteino teorijoje tokia interpretacija susiduria su sunkumais, kuriuos pastebėjo Hilbertas.

Pirmiausia – vienas paaiškinimas. Niutono gravitacija neturi savo dinamikos, nes gravitacinio lauko pokyčiai atsiranda tik dėl jį sukuriančių kūnų judėjimo. Priešingai, elektromagnetinis laukas yra dinamiškas. Jame galimi banginiai procesai, pernešantys energiją. Tačiau bendras elektromagnetinio lauko energijos srautas per bet kurio uždaro erdvės regiono ribas yra lygus visos energijos, esančios šiame tūryje, kitimo greičiui. Tai yra elektromagnetinės energijos išsaugojimo fiziškai reikšminga forma dėsnis.

Einšteino gravitacija yra kitas dalykas. Skirtingai nuo Niutono, jis yra dinamiškas, jame, kaip ir elektromagnetiniame lauke, galimi bangų procesai. Tačiau jo dinamika yra daug sudėtingesnė. Bendrosios reliatyvumo lygtys gali būti parašytos savavališkose erdvės ir laiko koordinačių sistemose, tarp kurių galimos sklandžios transformacijos. Dėl tokių transformacijų bet kuriame savavališkai pasirinktame taške ir be galo mažoje jo kaimynystėje galima nulinti gravitacinio lauko dydį. Fiziškai tai reiškia, kad ten galite pastatyti įsivaizduojamą stebėtoją, kuris negalės užregistruoti gravitacijos jėgos (tai yra Einšteino lygiavertiškumo principas). Iš to išplaukia, kad bendrojoje reliatyvumo teorijoje vienareikšmiška energijos lokalizacija iš principo neįmanoma. Klausimas, ką daryti su jo išsaugojimo įstatymu, labai vargino Hilbertą, ir jis paprašė Emmy Noether tai išspręsti. Būtent ši problema privedė Noether prie jos teoremos.

Žinoma, Hilbertas pasirinko ne vakuume. Jis žinojo, kaip puikiai Noether parodė savo matematikos talentą skaičiuodama algebrinius invariantus. Sąlygų, kuriomis tenkinami fizikinių dydžių (ypač energijos) tvermės dėsniai, analizė taip pat reikalinga dirbant su invariantais, bet kitokiais - diferencialiniais (žr.: Diferencialinis invariantas). Taigi Hilbertas, taip pat Feliksas Kleinas, kuris domėjosi ta pačia problema, turėjo pagrindo tikėtis savo buvusio mokinio pagalbos.

Šiuos lūkesčius ji ne tik pateisino, bet ir pranoko. Emmy Noether greičiausiai pradėjo vykdyti Hilberto užduotį 1915 m. rudenį. Galiausiai ji pasiekė itin stiprių rezultatų, kurių apimtys pasirodė daug platesnės nei iš pradžių Hilberto iškeltos problemos. Pasirodo, ši sritis apima ne tik bendrąjį reliatyvumą ir kitas klasikinės fizikos lauko teorijas, bet ir XX amžiaus antroje pusėje sukurtas kvantuotų laukų teorijas. Žinoma, 1918-aisiais tiesiog nebuvo pagrindo tikėtis tokios sėkmės.

Bendriausia Noeterio teoremos esmė gali būti išreikšta pažodžiui dviem žodžiais. Tyrinėdami gamtą fundamentaliu lygmeniu, mokslininkai siekia rasti tas fizinių sistemų savybes, kurios išlieka nepakitusios procesų, kuriuose dalyvauja šios sistemos, metu. Pavyzdžiui, mūsų planeta savo orbita juda kintamu greičiu, tačiau įsivaizduojama atkarpa, jungianti ją su Saule, per vienodą laiko tarpą iššluoja vienodus plotus (antrasis Keplerio dėsnis). Izoliuotos makroskopinės sistemos bendras elektros krūvis nekinta, kad ir kokias vidines transformacijas ji patirtų; lygiai taip pat elementariųjų dalelių krūviai skiriasi absoliučia pastovumu. Iš Noeterio teoremos išplaukia, kad pats tokių išsaugotų savybių egzistavimas yra tiesiogiai susijęs su kai kurių fundamentalių fizikinių dydžių, lemiančių sistemos dinamiką, simetrija. Kitaip tariant, išsaugojimo dėsniai yra tiesioginė tam tikrų simetrijų pasekmė. Ši išvada tapo universaliausiu įrankiu tokiems dėsniams nustatyti įvairiose fizikos srityse – nuo ​​Niutono mechanikos iki šiuolaikinio standartinio elementariųjų dalelių modelio. Be to, ją galima pavadinti viena gražiausių teorinių įžvalgų per visą mokslo istoriją.

Ką tik aptartas kiekis vadinamas veiksmu. Konkreti jo forma priklauso nuo sistemos, kurios elgesį ji apibūdina. Pagal formą tai yra vienodo pagrindinio funkcinio – Lagranžo – vienmatis arba daugiamatis integralas. Realiuose fiziniuose procesuose veiksmas įgauna kraštutinę reikšmę – dažniausiai pasiekia minimumą. Šis teiginys, ne visai tiksliai vadinamas mažiausio veiksmo principu, leidžia naudojant variacijų skaičiavimo metodus užrašyti lygtis, apibūdinančias sistemos dinamiką.

Kaip jau minėta, būtent šiuo metodu Hilbertas gavo bendrosios reliatyvumo lygtis kitaip nei Einšteinas. Žinoma, pirmiausia jam reikėjo nustatyti, kaip atrodo veiksmas ir, atitinkamai, Lagranžas šiuo atveju, kuriame jam pavyko (beveik tuo pat metu bendrųjų reliatyvumo lygčių išvedimą mažiausio veiksmo principu atliko Hendrikas Antonas Lorentzas, o 1916 m. pats Einšteinas). Nesigilindamas į smulkmenas atkreipiu dėmesį, kad Hilberto Lagranžo (Einšteino – Hilberto veiksmas) priklauso nuo metrinio tenzoriaus komponentų, lemiančių erdvės ir laiko kontinuumo deformaciją, kuri, remiantis bendruoju reliatyvumo teorija, pasireiškia kaip gravitacinė jėga. .

Dabar grįžkime prie Emmy Noether. Jos straipsnis susijęs su labai aukštąja matematika, kurios neįmanoma apibūdinti žodžiais. Viskas, ką galite padaryti, tai išdėstyti bendrą idėją. Kaip ir Hilbertas, ji dirbo remdamasi mažiausio veiksmo principu. Ją domino matematinių operacijų, kurios pakeičia matematinius objektus, dalyvaujančius veiksmo apskaičiavime, pasekmės, bet palieka nepakitusią jo skaitinę reikšmę arba, apskritai, keičia ne per daug (žinoma, yra tikslus matematinis apibrėžimas tai „nedaug“). Tai reiškia, kad tokios operacijos palieka veiksmą nekintamą. Nekintamumas tam tikros transformacijos ar net visos transformacijų klasės atžvilgiu vadinamas simetrija. Emmy Noether savo darbe uždavė klausimą, kokias pasekmes sukelia tam tikrų simetrijų buvimas veiksme.

Ji išsprendė šią problemą labai bendra forma, tačiau su vienu reikšmingu apribojimu. Simetrijos transformacijos gali būti nuolatinės arba atskiros. Pirmojo pavyzdžiai yra poslinkiai išilgai koordinačių ašių arba pasukimai savavališkais kampais. Kita vertus, diskrečios transformacijos leidžia atlikti tik baigtinį arba daugiausia suskaičiuojamą skaičių pakeitimų. Pavyzdžiui, apskritimas išlieka nepakitęs, kai sukasi aplink savo geometrinį centrą, o kvadratas lieka nepakitęs tik tada, kai apsisuka 90 laipsnių kartotiniai. Pirmuoju atveju mes susiduriame su ištisine simetrija, antruoju - su diskrečiąja simetrija. Abi simetrijos aprašomos naudojant grupių teoriją, tačiau naudojamos skirtingos jos šakos. Fiziką dominančiose diskrečiose transformacijose naudojama grupių, turinčių baigtinį elementų skaičių, teorija. Tolydžiosioms simetrijoms apibūdinti naudojamos tam tikro tipo begalinės grupės, kurios didžiojo norvegų matematiko Sophuso Lie garbei vadinamos Lie grupėmis. Emmy Noether ištyrė ryšį tarp išsaugojimo dėsnių ir nuolatinių simetrijų, todėl savo darbe panaudojo Lie grupės teoriją. Verta paminėti, kad diskrečios simetrijos taip pat gali lemti vienokį ar kitokį išsaugojimo dėsnį, tačiau šiuo atveju Noeterio teorema yra būtina.

Iki antrojo praėjusio amžiaus dešimtmečio pradžios Melo grupių teoriją puikiai išplėtojo ne tik pats Lie, bet ir kiti matematikai, ypač vokietis Wilhelmas Killingas ir prancūzas Elie Cartanas. To meto fizikai su juo praktiškai nebuvo susipažinę, tačiau Emmy Noether turėjo laiko ir noro ją tyrinėti dar Ergangene. Dabar ji tuo pasinaudojo – ir labai sėkmingai.

Emmy Noether ištyrė simetrijos transformacijas, kuriose veikia dviejų tipų Lie grupės. Vienu atveju kiekviena transformacija (ty kiekvienas Lie grupės elementas) priklauso nuo baigtinio (galbūt net suskaičiuojamo) skaitinių parametrų skaičiaus. Antrojo tipo Lie grupių elementai, atvirkščiai, priklauso nuo vienokių ar kitokių savavališkų funkcijų. Pavyzdžiui, plokštumos posūkius lemia vienas parametras (sukimo kampas), o erdviniai – trys (kiekvieną iš jų galima pavaizduoti kaip sukimų aplink tris koordinačių ašis seką). Priešingai, Einšteino bendroji reliatyvumo teorija remiasi visiškos lygčių kovariacijos principu, ty galimybe jas įrašyti į bet kurią keturmatę koordinačių sistemą (o tai fiziškai reiškia galimybę savavališkai pasirinkti vietinę atskaitos sistemą bet kuriame taške. erdvė-laikas). Tai taip pat yra simetrijos rūšis, ir būtent ta, kurią Emmy Noether priskyrė antrajam tipui.

Dėl to Noeterio teorema susideda iš dviejų dalių. Pirma, ji svarstė veiksmo nekintamumą pagal simetrijas, atitinkančias pirmojo tipo grupines transformacijas. Paaiškėjo, kad toks nekintamumas leidžia užrašyti matematinius ryšius, kurie gali būti interpretuojami kaip fizinių dydžių, tenkinančių šias simetrijas, išsaugojimo dėsniai. Paprasčiau tariant, šie dėsniai yra tiesioginės tam tikrų simetrijų pasekmės.

Štai keletas pavyzdžių. Paimkime izoliuotą (ty be išorinių poveikių) dalelių sistemą, kuri paklūsta Niutono mechanikai ir Niutono gravitacijos teorijai (planetos, skriejančios aplink sąlyginai fiksuotą žvaigždę, gali veikti kaip dalelės). Tokioje sistemoje veiksmas yra nekintamas laiko poslinkių atžvilgiu. Iš Noeterio teoremos išplaukia, kad dalelių bendroji (kinetinė ir potencinė) energija nepriklauso nuo laiko, tai yra, ji išlieka. Panašiai invariancija savavališkų erdvės poslinkių atžvilgiu reiškia viso impulso išsaugojimą, o nekintamumas sukimosi atžvilgiu reiškia kampinio momento išsaugojimą.

Žinoma, šie dėsniai buvo žinomi anksčiau, tačiau jų prigimtis išliko paslaptinga, jei norite, paslaptinga. Noeterio teorema kartą ir visiems laikams panaikino šios paslapties šydą, sujungdama išsaugojimo dėsnius su erdvės ir laiko simetrija.

Panaši situacija yra su sistemomis, kurias apibūdina reliatyvistinė mechanika. Čia nėra atskiro laiko ir erdvės, juos pakeitė vienas keturmatis erdvės ir laiko kontinuumas, žinomas kaip Minkovskio erdvė. Didžiausią tokio erdvėlaikio simetriją suteikia dešimties parametrų Lie grupė, žinoma kaip Poincaré grupė. Jis turi keturių parametrų pogrupį, kuris atitinka poslinkius Minkovskio erdvėje. Veiksmo nekintamumas šių poslinkių atžvilgiu lemia keturmačio vektoriaus, kurio vienas komponentas atitinka energiją, o trys – impulsą, išsaugojimą. Iš to išplaukia, kad kiekvienoje inercinėje atskaitos sistemoje išsaugoma energija ir impulsas (nors jų skaitinės reikšmės skirtinguose rėmuose nėra vienodos).

Visos šios išvados buvo akivaizdžios iškart po Noeterio teoremos paskelbimo. Štai dar vienas pavyzdys, kuris buvo įgyvendintas, kai buvo sukurta kvantinė elektrodinamika. Iki šiol buvo kalbama apie išorines simetrijas, susijusias ne su pačia fizine sistema, o su jos, galima sakyti, santykiais su laiku ir erdve. Tačiau Noeterio teorema leidžia atsižvelgti ir į vidines simetrijas, kitaip tariant, į Lagranžo „įrašytą“ fizikinių laukų simetriją (tikslumo mėgėjams šiuos laukus reprezentuojančių matematinių struktūrų simetrijas). Ši galimybė taip pat leidžia atrasti įvairius gamtosaugos įstatymus.

Paimkime laisvojo reliatyvistinio elektrono Lagranžo, kuris leidžia išvesti garsiąją Dirako lygtį. Ji nesikeičia tokia bangos funkcijos transformacija, kuri redukuojama iki jos padauginimo iš kompleksinio skaičiaus su vieneto moduliu. Fiziškai tai reiškia banginės funkcijos fazės pasikeitimą pastovia verte, kuri nepriklauso nuo erdvės ir laiko koordinačių (ši simetrija vadinama globalia). Geometriškai ši transformacija prilygsta plokštumos pasukimui savavališku, bet fiksuotu kampu. Vadinasi, ji apibūdinama vieno parametro Lie grupe – vadinamąja U(1) grupe. Dėl istorinės tradicijos, kilusios iš didžiojo matematiko ir Hilberto mokinio Hermanno Weylio, jis priskiriamas vienai iš didelės simetrijų grupės, vadinamos matuoklio simetrija. Iš Noeterio teoremos išplaukia, kad tokio tipo visuotinė matuoklio simetrija reiškia elektros krūvio išsaugojimą. Ne silpnas rezultatas ir tikrai ne trivialus!

Antroji Noeterio teorema nėra tokia skaidri. Jame aprašomos situacijos, kai simetrijos transformacijos, kurios palieka veiksmą invariantą, priklauso ne nuo skaitinių parametrų, o nuo kai kurių savavališkų funkcijų. Paaiškėjo, kad bendru atveju toks nekintamumas neleidžia suformuluoti fiziškai išmatuojamų dydžių tvermės dėsnių. Visų pirma, iš antrosios Noeterio teoremos išplaukia, kad bendrojoje reliatyvumo teorijoje nėra universalių energijos, impulso ir kampinio momento tvermės dėsnių, kurie turėtų vienareikšmę reikšmę fiziškai realiose (ty ne be galo mažose) erdvės srityse. laiko. Tiesa, yra ypatingų atvejų, kai bendrosios reliatyvumo teorijos rėmuose gali būti teisingai iškeltas energijos taupymo klausimas. Tačiau apskritai šios problemos sprendimas priklauso nuo to, kas tiksliai laikoma gravitacinio lauko energija ir kokia prasme mes kalbame apie jos išsaugojimą. Be to, bendra dalelių, kurios juda erdvėje su dinamišku gravitaciniu lauku (kitaip tariant, erdvėje su besikeičiančia metrika), energija neišsaugoma. Taigi mūsų besiplečiančioje Visatoje kosminės mikrobangų foninės spinduliuotės fotonai nuolat praranda energiją – tai gerai žinomas kosmologinio raudonojo poslinkio reiškinys.

Du likimai

Straipsnis in Nachrichtenžymiai pažengė į priekį Emmy Noether mokslinėje karjerą. Pokario vyriškojo šovinizmo silpnėjimo fone 1919 m. gegužės 21 d. Getingeno universiteto filosofijos katedra sutiko priimti šį leidinį kaip kvalifikacinę disertaciją (habilitaciją), reikalingą Privatdozento pareigoms gauti. Po savaitės Noether išlaikė privalomą egzaminą žodžiu, o birželio 4 dieną fakulteto matematikos katedros nariams skaitė bandomąją paskaitą. Rudens semestre ji pradėjo dėstyti pirmąjį kursą.

Po to Noeterio teoremos ir jos autoriaus likimai ryžtingai išsiskyrė. Emmy Noether daugiau niekada nesimokė fizikos, visiškai perėjo prie abstrakčios algebros. Šioje sparčiai besivystančioje matematikos srityje ji gavo esminius, visa prasme esminius, algebrinės geometrijos ir žiedų teorijos rezultatus. Apie juos galime kalbėti labai ilgai, bet tai visai kita istorija.

Ramus ir profesionaliai užimtas Emmy Noether gyvenimas Getingene nutrūko atėjus naciams. 1933 m. balandį Mokslo, menų ir švietimo ministerija atšaukė jos leidimą dėstyti Getingeno universitete (tuo pačiu dekretu iš Courant ir vieno iš kvantinės mechanikos kūrėjų Maxo Borno buvo atimtos profesoriaus pareigos). Po kelių mėnesių Emmy Noether emigravo į JAV, kur, padedama Rokfelerio fondo, gavo svečio sutartį dėstyti elitiniame moterų koledže Bryn Mawr Pensilvanijoje. Nuo 1934 m. vasario mėn. ji taip pat pradėjo kas savaitę skaityti paskaitas netoliese esančiame (bet ne Prinstono universitete, kur moterys tuo metu buvo visiškai atskirtos). Vasarą ji trumpam išvyko į Getingeną, pasinaudodama naujai įgytu užsienio mokslininkės statusu, o paskui amžiams paliko Vokietiją. Bet ji neturėjo ilgai gyventi. 1935 m. balandžio 14 d. Emmy Noether mirė dėl operacijos komplikacijų, greičiausiai dėl sunkios infekcijos. Gegužės 5 d. „New York Times“ paskelbtame laiške Albertas Einšteinas pažymėjo: Kompetentingiausių matematikų nuomone, Fräulein Noether buvo pats reikšmingiausias kūrybingas matematikos genijus, sukurtas nuo tada, kai prasidėjo moterų aukštasis mokslas. („Pagal kompetentingiausius šiuolaikinius matematikus, Fraulein Noether savo matematiniu kūrybiškumu pademonstravo tokį aukštą genialumo laipsnį, kurio niekas negalėjo pasiekti nuo tada, kai moterys įgijo teisę į aukštąjį mokslą.). O prieš devynias dienas Hermannas Weilas paskaitoje, skirtoje jos atminimui, pasakė: „Ji buvo puiki matematikė, didžiausia... kokia yra jos seksas, ir puiki moteris“ („Ji buvo puiki moteris ir tuo pat metu didžiausia moteris matematikė“).

Per savo gyvenimą ir netrukus po mirties Emmy Noether buvo pagerbta jai beveik vien dėl jos algebrinių tyrimų. Kad ir kaip dabar atrodytų keista, beveik niekas nepastebėjo jos puikios teoremos. Žinoma, šį kūrinį labai įvertino ir Hilbertas, ir Kleinas, pristatę jį Karališkajai draugijai, tačiau toliau tai nenuėjo. Netgi Hermannas Weylas, daug dirbęs teorinės fizikos ir ypač simetrijos klausimais, nemanė reikalo to paminėti fundamentalioje monografijoje „Grupių teorija ir kvantinė mechanika“, išleistoje 1928 m. Atrodo, kad vienintelį trumpą Emmy Noether kūrybos atpasakojimą klasikiniuose praėjusio amžiaus pirmojo trečdalio matematiniuose darbuose galima rasti garsiojoje Courant ir Hilberto knygoje „Matematinės fizikos metodai“, pirmą kartą išleistoje 1924 m.

Apie tokio užmaršties priežastis galima diskutuoti ilgai, bet tai per toli nuo pagrindinės temos. Kad ir kaip būtų, iki XX amžiaus vidurio fizikai beveik nesikreipė į Noeterio straipsnį, nors jo rezultatai buvo ne tik gana gerai žinomi, bet ir ne kartą panaudoti. 50-aisiais padėtis pasikeitė. Taip yra visų pirma dėl bundančio susidomėjimo simetrijos vaidmeniu kvantinio lauko teorijose, kurie buvo paskelbti 1954 m. Brookhaven nacionalinės laboratorijos mokslininkų Zhenning Yang ir Robert Mills straipsniu „Izotopų sukimosi ir izotopų matuoklio invariancijos išsaugojimas“. Bendraautoriai „išrado“ jų vardu pavadintus kvantinius laukus, remdamiesi izotopinio sukinio matuoklio simetrija. Skirtingai nuo simetrijos, kuri užtikrina elektros krūvio išsaugojimą, ji buvo ne globali, o lokali – ta prasme, kad grupinių transformacijų parametrai jų darbe buvo erdvinių koordinačių funkcijos. Tai yra simetrijos rūšis, kurią Emmy Noether aptarė antroje teoremoje.

Kaip žinoma, būtent vietinių gabaritų simetrijos įvaldymas leido aštuntajame dešimtmetyje sukurti standartinį elementariųjų dalelių modelį – rimčiausią XX amžiaus antrosios pusės teorinės fizikos pasiekimą. Tačiau net likus porai dešimtmečių iki jos sukūrimo Noeterio teorema buvo pradėta cituoti fizikos straipsniuose ir monografijose. Dabar jos kūryba pripažinta aukštąja mokslo klasika.

Galiausiai norėčiau pateikti skaitytojui dar vieną pavyzdį, kad jis pajustų Emmy Noether antrojoje teoremoje aptartų simetrijų taikymo skonį. Grįžkime prie matuoklių grupės U(1), bet dabar fazės sukimąsi padarome kintamąja reikšme, erdvės ir laiko koordinačių funkcija. Šiuo atveju turime reikalą ne su globaliomis, o vietinėmis vėžių transformacijomis. Leiskite jums priminti, kad būtent tokio tipo grupės transformacijos aprašomos antrojoje Noeterio teoremoje.

Pats Dirac Lagrangian nėra invariantas vietinėje U(1) grupėje – taigi ir veiksmas. Tačiau invariantiškumas gali būti atkurtas, jei prie Lagranžo pridedamas jėgos laukas, kuris taip pat paklūsta tam tikrai vietinei simetrijai. Dėl šios operacijos Lagrange automatiškai atsiranda papildomas terminas, apibūdinantis šio lauko sąveiką su elektronais. Pats laukas yra kvantinė elektromagnetinės spinduliuotės versija. Taigi vietinės U(1) matuoklio simetrijos reikalavimas Dirako laukui automatiškai leidžia daryti išvadą, kad elektronai sąveikauja keisdamiesi elektromagnetinio lauko kvantais, tai yra, fotonais! Ir kaip papildomą premiją gauname dar vieną teiginį – šie kvantai turi nulinę masę!

Šią išvadą galima suformuluoti skirtingai. Norint, kad grupės U(1) atžvilgiu būtų vietinė invariancija, būtina, kad išsaugotasis krūvis būtų bemasio vektoriaus lauko šaltinis (fotonai yra vektorinės dalelės, dalelės su sukiniu 1). Unikali jo savybė yra elektros krūvio gebėjimas generuoti fotonus. Elementariosios dalelės taip pat turi kitus konservuotus krūvius (pavyzdžiui, barioną ir leptoną). Tačiau, kaip matyti iš eksperimentinių duomenų, šie krūviai nesukuria bemasių vektorinių laukų – tai yra, eksperimentas nepatvirtina, kad egzistuoja fotonų barioniniai ir leptoniniai analogai. Šie krūviai atitinka tik globalias, o ne vietines U(1) tipo simetrijas.

Šis pavyzdys jokiu būdu nėra izoliuotas. Antrosios Noeterio teoremos simetrijos leidžia nustatyti esminius atitikmenis tarp dalelių savybių ir laukų, su kuriais šios dalelės gali sąveikauti. Vėlgi – visai ne silpna! Neatsitiktinai garsus amerikiečių teorinis fizikas, Kalifornijos universiteto profesorius Anthony Zee savo 2016 m. monografijoje „Grupių teorija fizikams“ pažymėjo, kad, greičiausiai, Emmy Noether yra geriausia kada nors gyvenusi moteris fizikė. šis pasaulis (. „Be abejo, giliausia kada nors gyvenusi moteris fizikė“). Toks aukštas įvertinimas – ir tik dėl vieno straipsnio!

Ir dar viena įdomi detalė. Manometro simetrijos idėją pirmą kartą pasiūlė Weylas straipsnyje Gravitacija ir elektra, paskelbtame Berlyne tame pačiame 1918 m. Taigi turime teisę švęsti dviejų didelių teorinės fizikos proveržių šimtmetį iš karto! Iš tiesų, dievai yra gailestingi didiesiems mokslininkams.

Rusijos pėdsakas

Emmy Noether turėjo daug draugų ir gerbėjų sovietinėje matematikų bendruomenėje. 1923 metais į Getingeną iš Maskvos atvyko genialūs jauni topologai Pavelas Aleksandrovas ir Pavelas Urysonas, per kuriuos Noeteris užmezgė ryšius su Rusijos kolegomis. 1928–1929 m. žiemą ji skaitė abstrakčiosios algebros kursą Maskvos valstybiniame universitete ir vadovavo algebrinės geometrijos seminarui Komunistų akademijoje. Kai Noether buvo pašalintas iš Getingeno, Aleksandrovas bandė jai užimti algebros katedrą Maskvos valstybiniame universitete, bet negavo Švietimo liaudies komisariato paramos. Jei būtų nutikę kitaip, ji būtų galėjusi sukurti pasaulinio lygio algebristų mokyklą Maskvoje. Tačiau likimas galėjo nuspręsti kitaip. Jos jaunesnysis brolis Fritzas, geras taikomasis matematikas, išvyko į SSRS, kur tapo Tomsko universiteto profesoriumi. 1937 metų pabaigoje buvo suimtas kaip vokiečių šnipas ir 1941 metų rugsėjo 10 dieną sušaudytas Orelyje.

Tačiau tam tikra prasme Emmy Noether ryšiai su Rusija siekia daug daugiau. Ją į Bryn Mawr pakvietė matematikos katedros dekanė Anna Johnson Pell Wheeler, kadaise studijavusi Getingene. Apie šią moterį verta papasakoti išsamiau, o pagrindinis bruožas bus pabaigoje.

Gimė Anna Johnson, švedų emigrantų dukra, ji priklausė tai pačiai mokslininkų kartai kaip ir Emmy Noether ir buvo praktiškai tokio pat amžiaus. Ji gimė 1883 m. gegužę Ajovoje. 1899 m. ji buvo priimta į Pietų Dakotos universitetą, kur tapo viena geriausių studentų. Anna puikiai mokėsi vokiečių, prancūzų, lotynų kalbų, chemijos, fizikos ir matematikos, o tai tapo pagrindiniu jos pomėgiu. Matematikos profesorius Aleksandras Pellas susidomėjo mergina, kuri pripažino jos nuostabius abstraktaus mąstymo gebėjimus ir įtikino ją tęsti matematinius mokslus. 1903 m. Anna persikėlė į savo gimtosios valstijos Ajovos universitetą ir po metų ten apgynė magistro darbą apie grupių teorijos taikymą tiesinėms diferencialinėms lygtims. Už šį darbą ji gavo stipendiją į garsųjį Radcliffe College for Women, o 1905 metais įgijo dar vieną magistro laipsnį. Jau tada ji buvo laikoma viena perspektyviausių moterų matematikių Amerikoje. 1906 m. Anna laimėjo prestižinės Alice Freeman Palmer stipendijos konkursą, skirtą Amerikos koledžų absolventams, norintiems tęsti mokslus užsienyje. Tai leido jai metus praleisti Getingeno universitete, kur studijavo su tomis pačiomis Vokietijos mokslo žvaigždėmis, kaip (dvejus metus anksčiau) Emmy Noether. Jos pagrindinis mentorius buvo Hilbertas, kuris tada dirbo prie integralinių lygčių ir šiuo pomėgiu užkrėtė savo studentą iš Amerikos. Vėliau ji dirbo šioje srityje ir susijusioje funkcinės analizės srityje.

Aleksandras Pellas nuolat susirašinėjo su Anna ir galiausiai jai pasipiršo. 1907 m. vasarą jis atvyko į Getingeną ir jie susituokė. Ten Pellas sutiko universiteto šviesuolius, kurių rate persikėlė jo nuotaka. Pora grįžo į Pietų Dakotos universitetą, kur Anna pradėjo dėstyti diferencialinių lygčių ir funkcijų teorijos kursus. Didžiąją 1908 m. dalį ji vėl praleido Getingene, po to įstojo į Čikagos universiteto magistrantūros mokyklą. Ji gavo daktaro laipsnį 1910 m., o 1911 m. pradėjo dėstyti matematiką vietiniame koledže.

Iki to laiko Pellas taip pat atsidūrė Čikagoje, kur gavo pareigas Šarvų institute (dabar -). 1911 m., patyręs insultą, jis nustojo dėstyti ir paskaitas perdavė Anai. Ji pakeitė savo vyrą iki 1913 m., kai jis oficialiai išėjo į pensiją. Nepaisant to, Pell toliau rašė pranešimus ir dalyvavo Amerikos matematikų draugijos konferencijose (paskutinį kartą 1919 m.), o 1915–1916 mokslo metais netgi dėstė semestro kursą Šiaurės Vakarų universitete.

1918 m. Anna Pell buvo pakviesta į Bryn Mawr, kur ji tapo matematikos katedros profesore, o vėliau dekane. Iki to laiko ji tvirtai įžengė į nedidelę tarptautinę reputaciją turinčių moterų matematikų galaktiką. Tačiau Pellas to nesulaukė: jis mirė 1921 m. sausio 26 d. 1925 m. Anna ištekėjo už savo kolegos, lotynų kalbos profesoriaus Arthuro Wheelerio, tačiau 1932 m. vėl liko našlė. 1948 metais ji išėjo į pensiją, tačiau nenustojo sekti matematinės literatūros ir lankyti seminarus. Ji mirė 1966 m. kovą, būdama 82 metų. Ji buvo palaidota baptistų kapinėse šalia savo pirmojo vyro kapo. Dar būdama gyva, Anna iš savo lėšų įsteigė Aleksandro Pello stipendiją matematiškai gabiems Pietų Dakotos universiteto studentams. Šis fondas tebeegzistuoja ir šiandien.

Jurijus Davydovas „Negyvas lapų kritimo laikas“). Laisvėje likę „Narodnaya Volya“ nariai leido Degajevui vykti į Ameriką, kur jis tapo Pellu. Valstijose po daugybės nesėkmių jis įgijo matematikos išsilavinimą, baigė magistrantūros mokyklą Johnso Hopkinso universitete Baltimorėje ir galiausiai gavo katedrą Pietų Dakotoje. Taigi istorijos demonui, norėdamas įkurti Emmy Noether JAV, reikėjo, kad piktasis „Narodnaya Volya“ genijus virstų garbingu amerikiečių profesoriumi, kuris pastebėjo ir paaukštino gabų studentą iš gilių provincijų. Taip ir atsitinka!