Arcsin arccos arctg arcctg formulės. Kas yra arcsinusas, arkosinas? Kas yra arctangentas, arkotangentas

Šiame straipsnyje aptariami tam tikro skaičiaus arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento verčių radimo klausimai. Pirmiausia įvedamos arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento sąvokos. Mes atsižvelgiame į jų pagrindines reikšmes, naudodami lenteles, įskaitant Bradis, kad surastume šias funkcijas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Arkosino, arkosino, arctangento ir arkotangento reikšmės

Būtina suprasti sąvokas „arkosino, arkosino, arktangento, arkotangento reikšmės“.

Skaičiaus arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento apibrėžimai padės suprasti pateiktų funkcijų skaičiavimą. Kampo trigonometrinių funkcijų reikšmė lygi skaičiui a, tada ji automatiškai laikoma šio kampo reikšme. Jei a yra skaičius, tai yra funkcijos reikšmė.

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į pavyzdį.

Jei turime kampo, lygaus π 3, lankinį kosinusą, tai kosinuso reikšmė iš čia yra lygi 1 2 pagal kosinusų lentelę. Šis kampas yra intervale nuo nulio iki pi, o tai reiškia, kad 1 2 lanko kosinuso reikšmė bus π x 3. Ši trigonometrinė išraiška parašyta kaip a r cos (1 2) = π 3.

Kampas gali būti laipsnis arba radianas. Kampo π 3 reikšmė lygi 60 laipsnių kampui (daugiau informacijos apie temą konvertuojant laipsnius į radianus ir atgal). Šio pavyzdžio su lanko kosinusu 1 2 reikšmė yra 60 laipsnių. Šis trigonometrinis žymėjimas atrodo kaip a r c cos 1 2 = 60 °

Pagrindinės arcsin, arccos, arctg ir arctg vertės

Ačiū sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė, Turime tikslias kampų vertes 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 laipsnių. Lentelė yra gana patogi ir iš jos galite gauti kai kurias lanko funkcijų reikšmes, kurios vadinamos pagrindinėmis arcsine, arccosinus, arctangent ir arccotangent reikšmėmis.

Pagrindinių kampų sinusų lentelėje pateikiami šie kampų verčių rezultatai:

nuodėmė (- π 2) = - 1, nuodėmė (- π 3) = - 3 2, nuodėmė (- π 4) = - 2 2, nuodėmė (- π 6) = - 1 2, nuodėmė 0 = 0, nuodėmė π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Atsižvelgiant į juos, galima nesunkiai apskaičiuoti visų standartinių reikšmių skaičiaus arcsinusą, pradedant nuo -1 ir baigiant 1, taip pat reikšmes nuo – π 2 iki + π 2 radianų, vadovaujantis jo pagrindine apibrėžimo verte. Tai yra pagrindinės arcsino vertės.

Kad būtų patogiau naudoti arcsinines reikšmes, įvesime jas į lentelę. Laikui bėgant, jūs turėsite išmokti šias vertybes, nes praktiškai turėsite dažnai jomis remtis. Žemiau yra arcsinuso lentelė su radianų ir laipsnių kampais.

Norėdami gauti pagrindines lanko kosinuso reikšmes, turite remtis pagrindinių kampų kosinusų lentele. Tada mes turime:

cos 0 = 1, cos π 6 = 3 2, cos π 4 = 2 2, cos π 3 = 1 2, cos π 2 = 0, cos 2 π 3 = - 1 2, cos 3 π 4 = - 2 2, cos 5 π 6 = - 3 2, cos π = - 1

Pagal lentelę randame lanko kosinuso reikšmes:

a r c cos (- 1) = π, arkos (- 3 2) = 5 π 6, arkos (- 2 2) = 3 π 4, arkos - 1 2 = 2 π 3, arkos 0 = π 2, arkos 1 2 = π 3, Arccos 2 2 = π 4, Arccos 3 2 = π 6, Arccos 1 = 0

Lanko kosinuso lentelė.

Lygiai taip pat, remiantis apibrėžimu ir standartinėmis lentelėmis, randamos arktangento ir arkotangento reikšmės, kurios parodytos žemiau esančioje arktangentų ir arctangentų lentelėje.

a r c sin , a r c cos , a r c t g ir a r c c t g

Norint tiksliai nustatyti skaičiaus a a r c sin, a r c cos, a r c t g ir a r c c t g reikšmę, būtina žinoti kampo reikšmę. Tai buvo aptarta ankstesnėje pastraipoje. Tačiau mes nežinome tikslios funkcijos reikšmės. Jei reikia rasti skaitinę apytikslę lanko funkcijų reikšmę, naudokite T sinusų, kosinusų, liestinių ir Bradiso kotangentų lentelė.

Tokia lentelė leidžia atlikti gana tikslius skaičiavimus, nes reikšmės pateikiamos keturių skaičių po kablelio tikslumu. Dėl to skaičiai yra tikslūs minutėmis. Neigiamų ir teigiamų skaičių a r c sin, a r c cos, a r c t g ir a r c c t g reikšmės sumažinamos iki priešingų skaičių formulių a r c sin, a r c cos, a r c t g ir a r c c t g, kurių formos a r c sin (- α) = - a r c sin α, a r c cos (- α) = π - a r c cos α, a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α .

Apsvarstykime, kaip rasti a r c sin, a r c cos, a r c t g ir a r c c t g vertes naudojant Bradis lentelę.

Jei mums reikia rasti arcsinuso reikšmę 0, 2857, ieškome reikšmės surasdami sinusų lentelę. Matome, kad šis skaičius atitinka kampo sin reikšmę 16 laipsnių ir 36 minutes. Tai reiškia, kad skaičiaus 0,2857 arcsinusas yra norimas 16 laipsnių ir 36 minučių kampas. Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Į dešinę nuo laipsnių yra stulpeliai, vadinami pataisymais. Jei reikalingas arcsinusas yra 0,2863, naudojama ta pati 0,0006 pataisa, nes artimiausias skaičius bus 0,2857. Tai reiškia, kad dėl korekcijos gauname 16 laipsnių 38 minučių ir 2 minučių sinusą. Pažiūrėkime į paveikslėlį, kuriame pavaizduotas Bradis stalas.

Būna situacijų, kai reikiamo skaičiaus lentelėje nėra ir net su pataisymais jo nepavyksta rasti, tada randamos dvi artimiausios sinusų reikšmės. Jei reikalingas skaičius yra 0,2861573, tada skaičiai 0,2860 ir 0,2863 yra artimiausios jo reikšmės. Šie skaičiai atitinka 16 laipsnių 37 minučių ir 16 laipsnių ir 38 minučių sinusines vertes. Tada apytikslę šio skaičiaus reikšmę galima nustatyti iki minutės tikslumu.

Tokiu būdu randamos a r c sin, a r c cos, a r c t g ir a r c c t g reikšmės.

Norėdami rasti arcsinusą per žinomą tam tikro skaičiaus arkosinusą, turite taikyti trigonometrines formules a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (turite peržiūrėti sumos formulių temasarkosinas ir arcsinusas, arctangento ir arkotangento suma).

Esant žinomam a r c sin α = - π 12, reikia rasti a r c cos α reikšmę, tada reikia apskaičiuoti lanko kosinusą naudojant formulę:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Jei jums reikia rasti skaičiaus a arctangento arba arccotangento reikšmę naudojant žinomą arcsinusą arba arkosinusą, būtina atlikti ilgus skaičiavimus, nes standartinių formulių nėra. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Jei skaičiaus a lankinis kosinusas yra lygus π 10, o liestinių lentelė padės apskaičiuoti šio skaičiaus arc tangentą. 10 radianų kampas π reiškia 18 laipsnių, tada iš kosinuso lentelės matome, kad 18 laipsnių kosinuso reikšmė yra 0,9511, po to žiūrime į Bradis lentelę.

Ieškodami arktangento reikšmės 0,9511, nustatome, kad kampo reikšmė yra 43 laipsniai ir 34 minutės. Pažiūrėkime į lentelę žemiau.

Tiesą sakant, Bradis lentelė padeda rasti reikiamą kampo reikšmę ir, atsižvelgiant į kampo vertę, leidžia nustatyti laipsnių skaičių.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Funkcijos sin, cos, tg ir ctg visada yra kartu su arcsine, arccosine, arctangent ir arccotangent. Viena yra kito pasekmė, o funkcijų poros yra vienodai svarbios dirbant su trigonometrinėmis išraiškomis.

Apsvarstykite vienetinio apskritimo brėžinį, kuriame grafiškai pavaizduotos trigonometrinių funkcijų reikšmės.

Jei apskaičiuosime lankus OA, arcos OC, arctg DE ir arcctg MK, tai jie visi bus lygūs kampo α reikšmei. Žemiau pateiktos formulės atspindi ryšį tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų ir jas atitinkančių lankų.

Norint geriau suprasti arcsino savybes, būtina atsižvelgti į jo funkciją. Tvarkaraštis turi asimetrinės kreivės, einančios per koordinačių centrą, formą.

Arcino savybės:

Jei palygintume grafikus nuodėmė Ir arcsin, dvi trigonometrinės funkcijos gali turėti bendrus principus.

lanko kosinusas

Skaičiaus lankas yra kampo α, kurio kosinusas lygus a, reikšmė.

Kreivė y = arcos x atspindi arcsin x grafiką, vienintelis skirtumas yra tas, kad jis eina per tašką π/2 OY ašyje.

Pažvelkime į lanko kosinuso funkciją išsamiau:

1. Funkcija apibrėžiama intervale [-1; 1].
2. ODZ skirtas arccos - .
3. Visas grafikas yra pirmame ir antrame ketvirčiuose, o pati funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
4. Y = 0, kai x = 1.
5. Kreivė mažėja per visą ilgį. Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.

Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.

Galbūt moksleiviams toks „išsamus“ „arkų“ tyrimas bus nereikalingas. Tačiau priešingu atveju kai kurios pradinės standartinės egzamino užduotys gali nuvesti mokinius į aklavietę.

1 užduotis. Nurodykite paveikslėlyje parodytas funkcijas.

Atsakymas: ryžių. 1 – 4, 2 – 1 pav.

Šiame pavyzdyje akcentuojamos smulkmenos. Paprastai studentai yra labai nedėmesingi grafikų konstravimui ir funkcijų išvaizdai. Iš tiesų, kam prisiminti kreivės tipą, jei ją visada galima nubraižyti naudojant apskaičiuotus taškus. Nepamirškite, kad bandymo sąlygomis laiko, praleisto piešiant paprastą užduotį, reikės sudėtingesnėms užduotims išspręsti.

Arktangentas

Arctg skaičiai a yra kampo α reikšmė, kad jo liestinė būtų lygi a.

Jei atsižvelgsime į arctangentinį grafiką, galime pabrėžti šias savybes:

1. Grafas yra begalinis ir apibrėžtas intervale (- ∞; + ∞).
2. Arktangentas yra nelyginė funkcija, todėl arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0, kai x = 0.
4. Kreivė didėja visame apibrėžimo diapazone.

Pateikiame trumpą lyginamąją tg x ir arctg x analizę lentelės pavidalu.

Arkotangentas

Skaičiaus Arcctg – iš intervalo (0; π) paima tokią reikšmę α, kad jo kotangentas būtų lygus a.

Lanko kotangento funkcijos savybės:

1. Funkcijos apibrėžimo intervalas yra begalybė.
2. Priimtinų verčių diapazonas yra intervalas (0; π).
3. F(x) nėra nei lyginis, nei nelyginis.
4. Per visą jos ilgį funkcijos grafikas mažėja.

Palyginti ctg x ir arctg x labai paprasta, tereikia padaryti du brėžinius ir apibūdinti kreivių veikimą.

2 užduotis. Suderinkite grafiką ir funkcijos žymėjimo formą.

Jei mąstome logiškai, iš grafikų matyti, kad abi funkcijos didėja. Todėl abi figūros rodo tam tikrą arctano funkciją. Iš arctangento savybių žinoma, kad y=0, kai x = 0,

Atsakymas: ryžių. 1 – 1, pav. 2-4.

Trigonometrinės tapatybės arcsin, arcos, arctg ir arcctg

Anksčiau mes jau nustatėme ryšį tarp arkų ir pagrindinių trigonometrijos funkcijų. Šią priklausomybę galima išreikšti daugybe formulių, kurios leidžia išreikšti, pavyzdžiui, argumento sinusą per jo arcsinusą, arkosinusą arba atvirkščiai. Tokios tapatybės žinios gali būti naudingos sprendžiant konkrečius pavyzdžius.

Taip pat yra arctg ir arcctg ryšių:

Kita naudinga formulių pora nustato arcsin ir arcos, taip pat to paties kampo arcctg ir arcctg sumos reikšmę.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Trigonometrijos užduotis galima suskirstyti į keturias grupes: apskaičiuokite konkrečios išraiškos skaitinę reikšmę, sukonstruokite tam tikros funkcijos grafiką, suraskite jos apibrėžimo sritį arba ODZ ir atlikite analitines transformacijas pavyzdžiui išspręsti.

Spręsdami pirmojo tipo problemą, turite laikytis šio veiksmų plano:

Dirbant su funkcijų grafikais, svarbiausia žinoti jų savybes ir kreivės išvaizdą. Norint išspręsti trigonometrines lygtis ir nelygybes, reikalingos tapatybės lentelės. Kuo daugiau formulių mokinys prisimena, tuo lengviau rasti atsakymą į užduotį.

Tarkime, vieningo valstybinio egzamino metu turite rasti atsakymą į tokią lygtį:

Jei teisingai transformuosite išraišką ir perkelsite ją į norimą formą, tada ją išspręsti bus labai paprasta ir greita. Pirmiausia perkelkime arcsin x į dešinę lygybės pusę.

Jei prisimenate formulę arcsin (sin α) = α, tada atsakymų paiešką galime sumažinti iki dviejų lygčių sistemos sprendimo:

Modelio x apribojimas atsirado vėlgi dėl arcsin savybių: ODZ x [-1; 1]. Kai a ≠0, sistemos dalis yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys x1 = 1 ir x2 = - 1/a. Kai a = 0, x bus lygus 1.

Pamoka ir pristatymas tema: "Arksinusas. Arkosinių lentelė. Formulė y=arcsin(x)"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra arcsinusas?
2. Arkosine žymėjimas.
3. Šiek tiek istorijos.
4. Apibrėžimas.

6. Pavyzdžiai.

Kas yra arcsinas?

Vaikinai, mes jau išmokome išspręsti kosinuso lygtis, o dabar išmokime išspręsti panašias sinuso lygtis. Apsvarstykite sin(x)= √3/2. Norėdami išspręsti šią lygtį, turite sukurti tiesę y= √3/2 ir pamatyti, kuriuose taškuose ji kerta skaičių apskritimą. Matyti, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose taškuose F ir G. Šie taškai bus mūsų lygties sprendimas. Perskirkime F kaip x1, o G kaip x2. Mes jau radome šios lygties sprendimą ir gavome: x1= π/3 + 2πk,
ir x2 = 2π/3 + 2πk.

Išspręsti šią lygtį yra gana paprasta, bet kaip išspręsti, pavyzdžiui, lygtį
sin(x)= 5/6. Akivaizdu, kad ši lygtis taip pat turės dvi šaknis, bet kokios reikšmės atitiks skaičių apskritimo sprendimą? Pažvelkime į mūsų lygtį sin(x)= 5/6.
Mūsų lygties sprendimas bus du taškai: F = x1 + 2πk ir G = x2 + 2πk,
čia x1 – lanko AF ilgis, x2 – lanko AG ilgis.
Pastaba: x2= π - x1, nes AF= AC – FC, bet FC= AG, AF= AC – AG= π – x1.
Bet kas yra šie punktai?

Susidūrę su panašia situacija, matematikai sugalvojo naują simbolį – arcsin(x). Skaityti kaip arcsine.

Tada mūsų lygties sprendimas bus parašytas taip: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Ir sprendimas bendra forma: x= arcsin(5/6) + 2πk ir x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcinusas yra kampo (lanko ilgio AF, AG) sinusas, lygus 5/6.

Šiek tiek arcsine istorijos

Mūsų simbolio atsiradimo istorija lygiai tokia pati kaip arccos. Arksino simbolis pirmą kartą pasirodo matematiko Scherfer ir garsaus prancūzų mokslininko J.L. Lagranžas. Kiek anksčiau arcsino sąvoką svarstė D. Bernouli, nors rašė skirtingais simboliais.

Šie simboliai tapo visuotinai priimtini tik XVIII amžiaus pabaigoje. Priešdėlis „arkas“ kilęs iš lotyniško „arcus“ (lankas, lankas). Tai visiškai atitinka sąvokos reikšmę: arcsin x yra kampas (arba galima sakyti, lankas), kurio sinusas lygus x.

Arsinuso apibrėžimas

Jei |a|≤ 1, tai arcsin(a) yra skaičius iš atkarpos [- π/2; π/2], kurio sinusas lygus a.

Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x)= a turi sprendimą: x= arcsin(a) + 2πk ir
x= π - arcsin(a) + 2πk

Perrašykime:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcin(a) + π(1 + 2k).

Vaikinai, atidžiai pažiūrėkite į du mūsų sprendimus. Ką manote: ar galima juos užrašyti naudojant bendrą formulę? Atkreipkite dėmesį, kad jei prieš arcsinusą yra pliuso ženklas, tai π dauginamas iš lyginio skaičiaus 2πk, o jei yra minuso ženklas, tai daugiklis yra nelyginis 2k+1.
Atsižvelgdami į tai, užrašome bendrąją formulę, kaip išspręsti lygtį sin(x)=a:

Yra trys atvejai, kai patartina sprendimus užrašyti paprastesniu būdu:

sin(x)=0, tada x= πk,

sin(x)=1, tada x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, tada x= -π/2 + 2πk.

Bet kuriam -1 ≤ a ≤ 1 galioja lygybė: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Parašykime kosinuso reikšmių lentelę atvirkščiai ir gaukime arcsinuso lentelę.

Pavyzdžiai

1. Apskaičiuokite: arcsin(√3/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(√3/2)= x, tada sin(x)= √3/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= π/3, nes sin(π/3)= √3/2 ir –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Apskaičiuokite: arcsin(-1/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(-1/2)= x, tada sin(x)= -1/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= -π/6, nes sin(-π/6)= -1/2 ir -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Apskaičiuokite: arcsin(0).
Sprendimas: Tegul arcsin(0)= x, tada sin(x)= 0. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinuso reikšmes lentelėje: tai reiškia x= 0, nes sin(0)= 0 ir - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Atsakymas: arcsin(0)=0.

4. Išspręskite lygtį: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk ir x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Atsakymas: x= -π/4 + 2πk ir x= 5π/4 + 2πk.

5. Išspręskite lygtį: sin(x) = 0.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(0) + 2πk ir x= π - arcsin(0) + 2πk. Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin(0)= 0.
Atsakymas: x= 2πk ir x= π + 2πk

6. Išspręskite lygtį: sin(x) = 3/5.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk ir x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Atsakymas: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Išspręskite nelygybę sin(x) Sprendimas: Sinusas yra skaičių apskritimo taško ordinatė. Tai reiškia: turime rasti taškus, kurių ordinatė yra mažesnė nei 0,7. Nubrėžkime tiesę y=0,7. Jis kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Nelygybė y Tada nelygybės sprendimas bus toks: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Arkinės problemos savarankiškam sprendimui