Piramidė įrašyta kūgiu
Sakoma, kad piramidė yra įbrėžta į kūgį, jei jos pagrindas yra įbrėžtas kūgio pagrinde, o jos viršūnė sutampa su kūgio viršūne. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra apribotas apie piramidę.
Kūgis gali būti apibūdintas aplink piramidę tada ir tik tada, kai aplink jos pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę
1 pratimas
Raskite taisyklingos trikampės piramidės, įbrėžtos į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę.
2 pratimas
Raskite taisyklingos keturkampės piramidės, įbrėžtos į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę.
3 pratimas
Raskite taisyklingos šešiakampės piramidės, įbrėžtos į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę.
Piramidė, apjuosta kūgiu
Sakoma, kad piramidė yra apibrėžta apie kūgį, jei jos pagrindas yra apibrėžiamas aplink kūgio pagrindą, o jos viršūnė sutampa su kūgio viršūne. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę.
Kūgis gali būti įrašytas į piramidę tada ir tik tada, kai į jo pagrindą galima įrašyti apskritimą.
1 pratimas
Raskite taisyklingos trikampės piramidės, apribotos apie kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1, pagrindo kraštinę.
2 pratimas
Raskite taisyklingos keturkampės piramidės, apribotos apie kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę.
3 pratimas
Raskite taisyklingos šešiakampės piramidės, apribotos apie kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1, pagrindo kraštinę.
Sfera, įrašyta į kūgį
Sakoma, kad rutulys yra įrašytas į kūgį, jei jis liečia jo pagrindą ir šoninį paviršių (liečia kiekvieną generatrix). Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra apribotas aplink sferą.
Sfera gali būti įrašyta į bet kurį kūgį (tiesų, apskritą). Jo centras yra kūgio aukštyje, o spindulys lygus apskritimo, įrašyto į trikampį, kuris yra kūgio ašinis pjūvis, spinduliui.
Prisiminkite, kad spindulys rį trikampį įrašytas apskritimas randamas pagal formulę
Kur S- kvadratas, p– trikampio pusperimetras.
1 pratimas
Rutulys yra įbrėžtas į kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1, o generatorius yra 2. Raskite jo spindulį.
Sprendimas. Trikampis S.A.B. lygiakraštis. Aukštis SH lygus Plotas S lygus pusperimetrui p yra lygus 3. Pagal formulę r = S/p gauname
2 pratimas
1 spindulio rutulys įbrėžtas į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 2. Raskite kūgio aukštį.
Sprendimas. Pažymėkime h aukščio SH kūgis Iš formulės r = S/p mes turime:
Kur r = 1, a=FG= 4, p =
Lygties sprendimas
3 pratimas
Kūgio pagrindo spindulys yra 1. Generatorius yra pasviręs į pagrindo plokštumą 45 laipsnių kampu. Raskite įbrėžtos sferos spindulį.
Sprendimas. Aukštis SH kūgis lygus 1. Generatorius.
Pusperimetras p lygus
Pagal formulę r = S/p, turime
4 pratimas
Kūgio aukštis lygus 8, suformuojant 10. Raskite įbrėžto rutulio spindulį.
Sprendimas. Kūgio pagrindo spindulys lygus 6. Trikampio plotas SFG yra lygus 48, pusperimetras 16. Pagal formulę r = S/p mes turime r = 3.
Atsakymas: r = 3.
5 pratimas
Ar galima į pasvirusį kūgį sutalpinti sferą?
Atsakymas: Ne.
Sfera, įrašyta į nupjautą kūgį
Sakoma, kad rutulys yra įrašytas į nupjautą kūgį, jei jis liečia pagrindą ir šoninį paviršių (liečia kiekvieną generatrix). Šiuo atveju sakoma, kad nupjautas kūgis yra apribotas aplink sferą.
Rutulys gali būti įbrėžtas į nupjautą kūgį, jei į jo ašinį pjūvį galima įbrėžti apskritimą. Šio apskritimo spindulys bus lygus įrašytos sferos spinduliui.
1 pratimas
Rutulys įbrėžtas į nupjautą kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 2 ir 1. Raskite rutulio spindulį ir nupjauto kūgio aukštį.
Sprendimas. Turime: A 1 B=A 1 O 1 = 2, A 2 B=A 2 O 2 = 1. Todėl A 1 A 2 = 3 , A 1 C= 1.
Taigi,
2 pratimas
1 spindulio rutulys įbrėžtas į nupjautą kūgį, kurio vieno pagrindo spindulys lygus 2. Raskite antrojo pagrindo spindulį.
Sprendimas. Leiskite A 1 O 1 = 2. Pažymime r = A 2 O 2 . Turime: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C= 2 – r. Pagal Pitagoro teoremą yra lygybė, iš kurios išplaukia, kad lygybė tenkinama Išsprendus gautą lygtį r, randame
3 pratimas
Nupjautame kūgio didesnio pagrindo spindulys yra 2, generatrix yra pasvirusi į pagrindo plokštumą 60 laipsnių kampu. Raskite įbrėžtos sferos spindulį.
Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad ašinė kūgio pjūvis, iš kurio gaunamas nupjautas kūgis, yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 2. Spindulys r rutulio, įbrėžto į nupjautą kūgį, yra lygus apskritimo, įbrėžto į šį lygiakraštį trikampį, spinduliui, t.y.
4 pratimas
Nupjauto kūgio generatorius yra 2, ašinio pjūvio plotas yra 3. Raskite įbrėžto rutulio spindulį.
Sprendimas. Pasinaudokime formule r = S/p, Kur S– ašinio pjūvio plotas, p – pusiau perimetras Mūsų atveju S = 3. Norėdami rasti pusperimetrą, prisiminkite, kad keturkampio, apibrėžto apie apskritimą, priešingų kraštinių sumos yra lygios. Tai reiškia, kad pusperimetras lygus dvigubam cilindro generatrix, t.y. p = 4. Todėl r = ¾.
5 pratimas
Ar galima į nupjautą pasvirusį kūgį sutalpinti sferą?
Atsakymas: Ne.
Sfera, apibrėžta apie kūgį
Sakoma, kad rutulys yra apibrėžtas apie kūgį, jei kūgio pagrindo viršūnė ir perimetras yra ant rutulio. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra įrašytas į sferą.
Sferą galima apibūdinti aplink bet kurį kūgį (tiesų, apskritą). Jo centras yra kūgio aukštyje, o spindulys lygus apskritimo, aprašyto aplink trikampį, kuris yra kūgio ašinė pjūvis, spinduliui.
Prisiminkite, kad spindulys R apibrėžtas trikampio apskritimas randamas pagal formulę
Kur S- kvadratas, a , b , c- trikampio kraštinės.
1 pratimas
Sfera yra apibrėžta aplink kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1, o generatrix yra 2. Raskite jo spindulį.
Sprendimas. Trikampis S.A.B. lygiakraštis su šonine 2. Aukštis SH lygus Plotas S lygus Pagal formulę R = abc /4 S gauname
2 pratimas
Aplink kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 4, yra 5 spindulio rutulys. Raskite aukštį h kūgis
Sprendimas. Turime OB = 5 , HB = 4. Todėl OH = 3. Atsižvelgiant į tai SO=OB= 5, gauname h = 8.
Atsakymas: h = 8.
3 pratimas
Kūgio pagrindo spindulys yra 1. Generatorius yra pasviręs į pagrindo plokštumą 45 laipsnių kampu. Raskite apibrėžtos sferos spindulį.
Sprendimas. Trikampis S.A.B.– stačiakampis, lygiašonis. Todėl spindulys R apribotos sferos yra lygus cilindro pagrindo spinduliui, t.y. R= 1.
Atsakymas: R= 1.
4 pratimas
Kūgio aukštis lygus 8, suformuojant 10. Raskite apibrėžto rutulio spindulį.
Sprendimas. Trikampyje S.A.B. mes turime: SA=SB= 10, SH= 8. Pagal Pitagoro teoremą, AH = 6 ir todėl S = 48. Naudojant formulę R = abc /4 S, gauname
5 pratimas
Ar galima apibūdinti sferą aplink pasvirusį kūgį?
Atsakymas: Taip.
Sfera, apibrėžta apie nupjautą kūgį
Sakoma, kad rutulys yra apribotas apie nupjautą kūgį, jei nupjauto kūgio perimetras ir pagrindai guli ant rutulio. Šiuo atveju sutrumpinta antena vadinama įrašyta į sferą.
Sferą galima apibūdinti aplink nupjautą kūgį, jei aplink jo ašinį pjūvį galima apibūdinti apskritimą. Šio apskritimo spindulys bus lygus apibrėžtos sferos spinduliui.
1 pratimas
Aplink nupjautą kūgį aprašomas rutulys, kurio spindulys lygus 2 ir 1, o generatrix lygus 2. Raskite jo spindulį.
Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad A 1 O 1 B 2 O 2 ir O 1 B 1 B 2 A 2 – rombai. Trikampiai A 1 O 1 A 2 , O 1 A 2 B 2 , O 1 B 1 B 2 – lygiakraštis, todėl A 1 B 1 – skersmuo. Vadinasi, R= 2.
Atsakymas: R= 2,
2 pratimas
Nupjauto kūgio mažesnio pagrindo spindulys yra 1, generatrix yra 2 ir sudaro 45° kampą su kito pagrindo plokštuma. Raskite apibrėžtos sferos spindulį.
Sprendimas. Turime A 2 O 2 = 1, A 1 A 2 = 2, O 1 O 2 = , O.O. 1 = O 1 C= 1. Todėl O.O. 2 = 1 + ir todėl
3 pratimas
Nupjauto kūgio vieno pagrindo spindulys lygus 4, aukštis – 7, apibrėžiamo rutulio spindulys – 5. Raskite nupjauto kūgio antrojo pagrindo spindulį.
Sprendimas. Turime O.O. 1 = 3 , O.O. 2 = 4 ir todėl O 2 A 2 = 3.
4 pratimas
Raskite rutulio, apibrėžto apie nupjautą kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 2 ir 4, o aukštis yra 5, spindulį.
Sprendimas. Pažymėkime R apribotos sferos spindulys. Tada
Atsižvelgiant į tai O 1 O 2 = 6, mes turime lygybę
Išspręsti santykinai R, randame
5 pratimas
Ar galima apibūdinti sferą aplink nupjautą pasvirusį kūgį?
Į kūgį įbrėžta piramidė Piramidė vadinama įbrėžta į kūgį, jei jos pagrindas įbrėžtas kūgio pagrinde, o viršūnė sutampa su kūgio viršūne. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra apribotas apie piramidę. Piramidė, įrašyta į kūgį Kūgis gali būti apibūdintas aplink piramidę tada ir tik tada, kai aplink jos pagrindą galima apibūdinti apskritimą. 1 pratimas Raskite taisyklingos trikampės piramidės pagrindo kraštinę, įbrėžtą į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1. Atsakymas: 3. 2 pratimas Raskite taisyklingos keturkampės piramidės pagrindo kraštinę, įbrėžtą į kūgį, kurio pagrindo skersmuo yra lygus 1. Atsakymas: 2 2. 3 pratimas Raskite taisyklingos šešiakampės piramidės, įbrėžtos į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę. Atsakymas: 1. Piramidė, apibrėžiama apie kūgį Sakoma, kad piramidė yra apibūdinta apie kūgį, jei jos pagrindas yra apribotas apie kūgį. kūgio pagrindas ir jo viršūnė sutampa su kūgio viršūne. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę. Piramidė, apibrėžiama aplink kūgį Kūgis gali būti įbrėžtas į piramidę tada ir tik tada, kai jo pagrindu galima įbrėžti apskritimą. 1 pratimas Raskite taisyklingos trikampės piramidės pagrindo kraštinę, apibrėžtą apie kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1. Atsakymas: 2 3. 2 pratimas Raskite taisyklingos keturkampės piramidės pagrindo kraštinę, apibrėžtą apie kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1. Atsakymas: 2. 3 pratimas Raskite taisyklingos šešiakampės piramidės, apribotos apie kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 1, pagrindo kraštinę. Atsakymas: 2 3 3 . Į kūgį įbrėžta sfera Sfera vadinama įbrėžta į kūgį, jei ji liečia jos pagrindą ir šoninį paviršių (liečia kiekvieną generatrix). Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra apribotas aplink sferą. Į kūgį įbrėžta sfera Sfera vadinama įbrėžta į kūgį, jei ji liečia jos pagrindą ir šoninį paviršių (liečia kiekvieną generatrix). Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra apribotas aplink sferą. Sfera gali būti įrašyta į bet kurį kūgį (tiesų, apskritą). Jo centras yra kūgio aukštyje, o spindulys lygus apskritimo, įrašyto į trikampį, kuris yra kūgio ašinis pjūvis, spinduliui. Prisiminkime, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys r randamas S pagal formulę r, p čia S – plotas, p – trikampio pusperimetras. 1 pratimas Rutulys įbrėžiamas į kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 1, o generatorius yra 2. Raskite jo spindulį. Sprendimas. Trikampis SAB yra lygiakraštis. SH aukštis yra 3. Plotas S lygus Pusperimetras p lygus 3. Naudodami formulę r = S/p gauname r 3 3 . 3. 2 pratimas Į kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 2, įbrėžiamas 1 spindulio rutulys. Raskite kūgio aukštį. Sprendimas. Tegu h reiškia kūgio aukštį SH. Iš formulės r = S/p gauname: 2 rp h, a kur r = 1, a = FG = 4, p = 2 Išspręsdami lygtį randame h 8 3 2h 2. 4 val. 2 4 h, 2 3 pratimas Kūgio pagrindo spindulys lygus 1. Generatorius pasviręs į pagrindo plokštumą 45° kampu. Raskite įbrėžtos sferos spindulį. Sprendimas. Kūgio aukštis SH lygus 1. Generatorius.2 Pusperimetris p lygus 1 Pagal formulę r = S/p gauname r 1 1 Atsakymas: r 2 1. 2 2 1. 2. Užduotis. 4 Kūgio aukštis yra 8, generuojant 10. Raskite įbrėžtų rutulių spindulį. Sprendimas. Kūgio pagrindo spindulys lygus 6. Trikampio SFG plotas 48, pusperimetris 16. Naudojant formulę r = S/p gauname r = 3. Atsakymas: r = 3. 5 pratimas Ar galima į pasvirusį kūgį įbrėžti sferą? Atsakymas: Ne. Rutulys, įrašytas į nupjautą kūgį. Sakoma, kad sfera yra įrašyta į nupjautą kūgį, jei ji liečiasi su jos pagrindais ir šoniniu paviršiumi (liečia kiekvieną generatrix). Šiuo atveju sakoma, kad nupjautas kūgis yra apribotas apie sferą. Rutulys gali būti įbrėžtas į nupjautą kūgį, jei į jo ašinį pjūvį galima įbrėžti apskritimą. Šio apskritimo spindulys bus lygus įrašytos sferos spinduliui. 1 pratimas Į nupjautą kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 2 ir 1, įbrėžiamas rutulys. Raskite rutulio spindulį ir nupjauto kūgio aukštį. Sprendimas. Turime: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Todėl A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Taigi, r 2, h 2 2. 2 2 2. 2 pratimas 1 spindulio rutulys įbrėžiamas į nupjautą kūgį, kurio vieno pagrindo spindulys lygus 2. Raskite antrojo pagrindo spindulį. Sprendimas. Tegu A1O1= 2. Pažymime r = A2O2. Turime: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. Pagal Pitagoro teoremą galioja lygybė O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2, iš kurios išplaukia, kad galioja 2 2 4 (r 2) (2 r). Išsprendę gautos lygties r lygybę, randame 1 r. 2 3 pratimas Nupjautame kūgio didesnio pagrindo spindulys lygus 2, generatrix pasviręs į pagrindo plokštumą 60° kampu. Raskite įbrėžtos sferos spindulį. Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad kūgio ašinė pjūvis, iš kurio gaunamas nupjautasis kūgis, yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 2. Rutulio, įbrėžto į nupjautą kūgį, spindulys yra lygus apskritimo, įbrėžto į šį lygiakraštį trikampį, spinduliui, t.y. 3r. 3 4 pratimas Nupjauto kūgio generatorius yra 2, ašinio pjūvio plotas yra 3. Raskite įbrėžto rutulio spindulį. Sprendimas. Naudokime formulę r = S/p, kur S – ašinis skerspjūvio plotas, p – pusiau perimetras. Mūsų atveju S = 3. Norėdami rasti pusperimetrą, prisiminkite, kad keturkampio, apibrėžto aplink apskritimą, priešingų kraštinių sumos yra lygios. Tai reiškia, kad pusperimetras lygus dvigubam cilindro generatrix, t.y. p = 4. Todėl r = ¾. Atsakymas: r 3 4 . 5 pratimas Ar galima sutalpinti rutulį į nupjautą įstrižą kūgį? Atsakymas: Ne. Aplink kūgį apjuosta sfera Sakoma, kad rutulys yra apribotas apie kūgį, jei kūgio pagrindo viršūnė ir perimetras yra ant rutulio. Šiuo atveju sakoma, kad kūgis yra įrašytas į sferą. Aplink kūgį apjuosta sfera Aplink bet kurį kūgį (tiesų, apskritą) galima apibūdinti sferą. Jo centras yra kūgio aukštyje, o spindulys lygus apskritimo, aprašyto aplink trikampį, kuris yra kūgio ašinė pjūvis, spinduliui. Prisiminkime, kad apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys R randamas pagal formulę R a b c , 4S čia S yra plotas, a, b, c yra trikampio kraštinės. 1 pratimas Aplink kūgį aprašomas rutulys, kurio pagrindo spindulys yra 1, o generatrix yra 2. Raskite jo spindulį. Sprendimas. Trikampis SAB yra lygiakraštis su 2 kraštine. Aukštis SH yra 3. S plotas yra 3. Naudojant formulę R = abc/4S gauname R 2 3 3 . 2 pratimas Aplink kūgį, kurio pagrindo spindulys lygus 4, aprašomas 5 spindulio rutulys. Raskite kūgio aukštį h. Sprendimas. Turime, OB = 5, HB = 4. Todėl OH = 3. Atsižvelgiant į tai, kad SO = OB = 5, gauname h = 8. Atsakymas: h = 8. 3 pratimas Kūgio pagrindo spindulys lygus 1. Generatorius pasviręs į pagrindo plokštumą 45o kampu. Raskite apibrėžtos sferos spindulį. Sprendimas. Trikampis SAB yra stačiakampis lygiašonis trikampis. Vadinasi, apibūdintosios sferos spindulys R lygus cilindro pagrindo spinduliui, t.y. R = 1. Atsakymas: R = 1. 4 pratimas Kūgio aukštis lygus 8, suformuojant 10. Raskite apibrėžto rutulio spindulį. Sprendimas. Trikampyje SAB turime: SA = SB = 10, SH = 8. Pagal Pitagoro teoremą AH = 6 ir todėl S = 48. Naudodami formulę R = abc/4S, gauname R 25 6. 5 pratimas Ar galima apibūdinti sferą aplink pasvirusį kūgį? Atsakymas: Taip. Rutulys, apribotas apie nupjautą kūgį. Sakoma, kad rutulys yra apribotas apie nupjautą kūgį, jei ant rutulio guli nupjauto kūgio pagrindų apskritimai. Šiuo atveju sakoma, kad nupjautas kūgis yra įrašytas į sferą. Sferą galima apibūdinti aplink nupjautą kūgį, jei aplink jo ašinį pjūvį galima apibūdinti apskritimą. Šio apskritimo spindulys bus lygus apibrėžtos sferos spinduliui. 1 pratimas Aplink nupjautą kūgį aprašomas rutulys, kurio spindulys lygus 2 ir 1, o generatorius lygus 2. Raskite jo spindulį. Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad A1O1B2O2 ir O1B1B2A2 yra rombai. Trikampiai A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 yra lygiakraščiai, todėl A1B1 yra skersmuo. Todėl R = 2. Atsakymas: R = 2, 2 pratimas Nupjauto kūgio mažesnio pagrindo spindulys yra 1, generatrix yra 2 ir sudaro 45° kampą su kito pagrindo plokštuma. Raskite apibrėžtos sferos spindulį. Sprendimas. Turime A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Todėl OO2 = 1 + 2 ir todėl R AO2 4 2 2. 3 pratimas Nupjauto kūgio vieno pagrindo spindulys yra 4 , aukštis lygus 7, spindulys apibrėžiamas rutulys 5. Raskite nupjauto kūgio antrojo pagrindo spindulį. Sprendimas. Turime OO1 = 3, OO2 = 4 ir todėl O2A2 = 3. Atsakymas: 3. 4 pratimas Raskite rutulio, apribotos apie nupjautinį kūgį, kurio pagrindo spindulys yra 2 ir 4, o aukštis 5, spindulį. Sprendimas. Tegu R žymi apibrėžtos sferos spindulį. Tada O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Atsižvelgdami į tai, kad O1O2 = 6, gauname lygybę 5 R 2 4 R 2 1. Išspręsdami ją R, randame R 221 5. 5 pratimas Ar galima apibūdinti sferą aplink nupjautą pasvirusį kūgį? Atsakymas: Ne.
Rutulys ir rutulys Sfera yra visų erdvės taškų, esančių tam tikru atstumu nuo tam tikro taško, visuma. Taškas O vadinamas sferos centru. Bet kuri atkarpa, jungianti rutulio centrą su bet kuriuo rutulio tašku, vadinama rutulio spinduliu (R). Tiesi linija AB vadinama ašimi, o jos susikirtimo su rutuliu taškai A ir B yra rutulio poliais. sfera. Rutulio styga yra atkarpa, jungianti du rutulio taškus (KN) Rutulio skersmuo yra styga, einanti per jos centrą (AB) R N K
Rutulys Rutulys, kurio centras yra taške O, o spindulys R – tai visų erdvės taškų, esančių nuo taško O atstumu, ne didesniu kaip R, visuma. Rutulys yra kūnas, apribotas rutulio. Rutulys formuojamas sukant puslankį apie fiksuotą skersmenį (AB) Šis skersmuo vadinamas rutulio ašimi, o abu nurodyto skersmens galai yra rutulio poliai. Rutulio paviršius vadinamas rutuliu. R A B
Tam tikra plokštuma (ABC) nuo jo atkirsta rutulio dalis (sfera) vadinama sferine atkarpa. Apskritimas ABC vadinamas sferinės atkarpos pagrindu. Statmena atkarpa MN, nubrėžta nuo apskritimo ABC centro N iki sankirtos su sferiniu paviršiumi, vadinama rutulio atkarpos aukščiu. Taškas M vadinamas sferinės atkarpos viršūne. Rutulio segmento formulė: V = 1/3P 2 H (3R-H)
Sferinis sluoksnis Rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų ABC ir DEF, kertančių sferinį paviršių, vadinama sferiniu sluoksniu. Apskritimai ABC ir DEF yra sferinio diržo pagrindas. Atstumas NK tarp sferinio diržo pagrindų yra jo aukštis.
Sfera, įbrėžta į kūgį Sakoma, kad sfera yra įbrėžta į kūgį, jei ji liečia visas kūgio ir jo pagrindo sudedamąsias dalis. Į bet kurį kūgį galite sutalpinti sferą. Sferos centras yra ant kūgio ašies ir yra apskritimo, įbrėžto kūgio ašinėje dalyje, centras. Į kūgio įbrėžto rutulio spindulio formulės: R - įbrėžto rutulio spindulys, r - kūgio pagrindo spindulys, l - kūgio generatrix ilgis, H - kūgio aukštis, A - pasvirimo kampas kūgio generatrix iki jo pagrindo. l H l r Formulės: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2
1 uždavinys 1 uždavinys. Į kūgį įbrėžtas rutulys, kurio spindulys yra r. Raskite kūgio tūrį, jei jo aukštis yra h. Sprendimas: Šio rutulio ir kūgio derinio ašinė pjūvis yra lygiašonis trikampis PAB, apjuostas apskritimu, kurio centras O ir spindulys R, PC = h – kūgio aukštis, OD PB. Kūgio tūris Nuo to laiko arba iš kur todėl, atsakymas:
2 uždavinys N aukščio kūgis įbrėžtas į rutulį, kurio spindulys yra R. Raskite kampą tarp kūgio generatricos ir pagrindo plokštumos. Apsvarstykite skersinį rutulio pjūvį, kaip parodyta b paveiksle). Kaip žinote, kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp šios tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą. Mūsų atveju AB yra tiesioginė linija, o AP yra projekcija. ARBA = BP-OV = H-R (kur H yra kūgio aukštis, R yra rutulio spindulys) Iš stačiojo trikampio OAR nustatome koją AR pagal Pitagoro teoremą: R H Atsakymas: O
Konas Konas yra kūnas, gautas sujungus visus spindulius, sklindančius iš vieno taško (konos viršūnės) ir einančius per plokščią paviršių. Kartais konas yra tokio kūno dalis, gaunama sujungus visus plokščio paviršiaus viršūnę ir taškus jungiančius segmentus (pastarasis šiuo atveju vadinamas konos pagrindu, o kona – besiremiančia į šį pagrindą). Jei konos pagrindas yra daugiakampis, konas tampa piramide. Geometrinis kūnas, sukurtas sukant stačiakampį trikampį aplink vieną iš jo kojų
Konos elementai ir dalys Viršūnė yra taškas, esantis fiksuotu stačiakampiu besisukančio trikampio, sudarančio koną, smailiuoju kampu. Pagrindas yra apskritimas, ribojantis kūgį, apibūdinamas kilnojamąja formavimo trikampio kojele. Atkarpos, statmenos pagrindui, einančios per viršūnę, fiksuotą formavimo trikampio koją, aukštis, taip pat šio atkarpos ilgis. Sudarant atkarpą, jungiančią viršūnę ir tašką apskritime, ribojančiame pagrindą, apibrėžiančiojo trikampio hipotenuzą. Šoninis paviršius yra kūginis paviršius, ribojantis kūgį, sudarytas iš generuojančio trikampio hipotenuzos. o p ŠONINIS PAVIRŠIAUS, SUDARIANTIS KŪGIO SPINDULIO VIRŠŪNĖS AŠIES PAGRINDĄ
Nupjautasis kūgis Nupjautasis kūgis – tai sukimosi kūnas, susidarantis sukant stačiakampę trapeciją šalia pamatams statmenos kraštinės. Apskritimai O ir O1 yra jo pagrindai, jo sudedamosios dalys AA1 yra lygios viena kitai, tiesė OO1 yra ašis, atkarpa OO1 yra aukštis. Jo ašinis pjūvis yra lygiašonė trapecija.
Susiję apibrėžimai Atkarpa, statmena nuleista nuo viršaus į pagrindo plokštumą (taip pat ir tokio atkarpos ilgis), vadinama kūgio aukščiu. Tiesi linija, jungianti pagrindo viršų ir centrą, vadinama kūgio ašimi. Apskritas konas konas, kurio pagrindas yra apskritimas. Kūgis, esantis ant elipsės, parabolės arba hiperbolės, vadinamas atitinkamai elipsiniu, paraboliniu ir hiperboliniu kūgiu (pastarųjų dviejų tūris yra begalinis). Kūgio dalis, esanti tarp pagrindo ir plokštumos, lygiagrečios pagrindui ir esanti tarp viršaus ir pagrindo, vadinama nupjautu kūgiu.
Į apskritimą įbrėžtas kūgis Rutuliuku vadinamas apibrėžtas apie daugiakampį, o į rutulį įbrėžtas daugiakampis, jei rutulio paviršius kerta visas daugiakampio viršūnes. Rutulys vadinamas apibrėţtu apie nupjautą kūgį (kūgį), jei pagrindų apskritimai (pagrindo apskritimas ir viršūnė) priklauso rutulio paviršiui. Rutulio, apibrėžto aplink daugiakampį, centras yra plokštumų, statmenų visoms daugiakampio briaunoms ir kertančių jų vidurio taškus, susikirtimo taške. Jis gali būti daugiakampio viduje, paviršiuje arba išorėje. Kūgis yra įrašytas į sferą (sfera aprašoma aplink kūgį), jei jo viršūnė priklauso sferai, o jo pagrindas yra rutulio atkarpa (AOC), kurią riboja duota sfera. Sfera visada gali būti aprašyta aplink kūgį . Jo centras yra ant kūgio ašies ir sutampa su apskritimo, aprašyto aplink trikampį, centru, kuris yra kūgio ašinė dalis. A B AC O Formulės: R 2 =(H-R) 2 +r 2 rutulio R-spindulys r-kūgio pagrindo spindulys H-kūgio aukštis
Apibrėžimas. Sfera vadinama įrašytas į cilindrą, kūgis, nupjautas kūgis, jei kiekvienas cilindro, kūgio, nupjauto kūgio generatrix yra rutulio liestinė, o kiekviena cilindro pagrindo plokštuma, kūgis, nupjautas kūgis liečia rutulį taške, esančiame pagrindo viduje.
Šiuo atveju jie sako, kad cilindras, kūgis arba nupjautas kūgis yra aprašyti aplink sferą.
1 teorema. Yra rutulys, įrašytas į kūgį.
Turime įrodyti, kad rutulys gali būti įrašytas į kūgį. Kadangi žinome, kad kūgis yra simetriškas bet kurios atkarpos, einančios per jo aukštį, atžvilgiu, tai jei įrodysime, kad į bet kurią tokią atkarpą galima įrašyti apskritimą (visų apskritimų centras yra vienodas), tada įrodysime, kad apskritimas gali būti įrašytas į kūgio sferą.
Apsvarstykite kūgio atkarpą, einanti per kūgio aukštį.
Kūgio skerspjūvis bus lygiašonis trikampis su pagrindu BC. Aukštis OA taip pat bus pusiausvyra. Todėl įbrėžto apskritimo O 1 centras bus OA (apskritimas, kaip žinoma, gali būti įrašytas į bet kurį trikampį). Ir kadangi visos kitos nagrinėjamos atkarpos bus lygios ABC, vadinasi, įrašytų apskritimų centrai sutaps. Tai reiškia, kad į kūgį galima įrašyti sferą, kurios centras yra O 1 ir spindulys O 1.
2 teorema.Rutulys gali būti įrašytas į cilindrą tada ir tik tada, kai jo aukštis yra lygus pagrindų skersmeniui.
Čia mes svarstome skyrius, kurie bus stačiakampiai. Apskritimas gali būti įrašytas tik į kvadratą, taigi sąlyga, kad aukštis lygus pagrindo skersmeniui.
3 teorema. Rutulys gali būti įrašytas į nupjautą kūgį tada ir tik tada, kai jo generatorius yra lygus pagrindų spindulių sumai.
Pagrindinės užduotys.
1 užduotis. Yra du vienodi rutuliai, kurių spindulys R, kurie liečiasi vienas kitą išorėje ir plokštumoje. Raskite atstumą tarp rutuliukų ir plokštumos sąlyčio taškų.
Panagrinėkime pjūvį, statmeną plokštumai, ant kurios guli rutuliai. Kadangi šie rutuliai liečiasi vienas su kitu, taške K yra plokštuma, kurią jie liečia. Ši plokštuma bus statmena pirmajai plokštumai. Vadinasi, kampai AO 1 K ir KO 2 B yra stačiakampiai, todėl ABO 2 O 1 yra stačiakampis. Todėl AB=2R.
2 užduotis. Du rutuliai, kurių spindulys yra R 1 ir R 2, guli ant plokštumos ir liečiasi išorėje. Raskite atstumą tarp rutuliukų ir plokštumos sąlyčio taškų.
Panagrinėkime atkarpą, statmeną plokštumai, ant kurios guli rutuliai. Taškai A ir B yra rutulių ir plokštumos sąlyčio taškai. Nuleiskime statmeną O 2 K iki AO 1. KO 1 = AO 1 -KA. Jei atsižvelgsime į tai, kad KA = O 2 B = R 2, o O 1 O 2 = R 1+ R 2, tai pagal Pitagoro teoremą 
. O kadangi KABO 2 yra stačiakampis, tai KA = AB, todėl 
