Aritmetinės progresijos suma.

Aritmetinės progresijos suma yra paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo pagrindinio iki gana tvirto.

Pirmiausia supraskime sumos prasmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos reikšmė paprasta kaip moo. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos terminus. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju gelbsti formulė.

Sumos formulė paprasta:

Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.

S n - aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas visi nariai, su pirma Autorius paskutinis. Tai svarbu. Jie tiksliai sumuojasi Visi nariai iš eilės, nepraleidžiant ir nepraleidžiant. Ir, būtent, pradedant nuo pirma. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštunto dėmenų sumos arba penkto iki dvidešimto narių sumos radimas, tiesioginis formulės taikymas nuvils.)

a 1 - pirma progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta pirma eilutės numeris.

a n- paskutinis progresijos narys. Paskutinis serijos numeris. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.

n - paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų terminų skaičiumi.

Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Sudėtingas klausimas: kuris narys tai padarys paskutinis jei duota begalinis aritmetinė progresija?)

Norint atsakyti užtikrintai, reikia suprasti elementarią aritmetinės progresijos prasmę ir... atidžiai perskaityti užduotį!)

Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju galutinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, ar progresija pateikta: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių serija ar n-ojo nario formulė.

Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progreso nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Atliekant užduotį, visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip... Bet tai gerai, toliau pateiktuose pavyzdžiuose mes atskleidžiame šias paslaptis.)

Užduočių, susijusių su aritmetinės progresijos suma, pavyzdžiai.

Visų pirma naudinga informacija:

Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis, susijusias su aritmetinės progresijos suma, yra teisingas formulės elementų nustatymas.

Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja su beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka juos tiesiog iššifruoti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius išsamiai. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.

1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 jo terminų sumą.

Geras darbas. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, paskutinė kadencija a n, taip paskutinio nario numeris n.

Kur galiu gauti paskutinio nario numerį? n? Taip, čia pat, su sąlyga! Sakoma: surask sumą pirmieji 10 narių. Na, su kokiu numeriu bus? paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n pakeisime į formulę a 10, o vietoj to n- dešimt. Pasikartosiu, paskutinio nario skaičius sutampa su narių skaičiumi.

Belieka nustatyti a 1 Ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama naudojant n-ojo nario formulę, kuri pateikta problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Dalyvaukite ankstesnėje pamokoje, be šios nėra jokio būdo.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:

tiek. Atsakymas: 75.

Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:

2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 = 2,3. Raskite pirmųjų 15 jo terminų sumą.

Iš karto parašome sumos formulę:

Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio termino reikšmę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Belieka visus elementus pakeisti aritmetinės progresijos sumos formulėje ir apskaičiuoti atsakymą:

Atsakymas: 423.

Beje, jei sumos formulėje vietoj a n Mes tiesiog pakeičiame formulę n-tuoju nariu ir gauname:

Pateiksime panašius ir gaukime naują aritmetinės progresijos narių sumos formulę:

Kaip matote, n-asis terminas čia nereikalingas a n. Kai kuriose problemose ši formulė puikiai padeda, taip... Šią formulę galite prisiminti. Arba galite tiesiog atsiimti jį tinkamu laiku, kaip čia. Juk visada reikia atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)

Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):

3. Raskite visų teigiamų dviženklių skaičių, kurie yra trijų kartotiniai, sumą.

Oho! Nei pirmas tavo narys, nei paskutinis, nei progresas... Kaip gyventi!?

Teks mąstyti galva ir iš sąlygos ištraukti visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Mes žinome, kas yra dviženkliai skaičiai. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks bus dviženklis skaičius pirma? 10, tikriausiai.) A paskutinis dviženklis skaičius? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...

Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite užsirašyti seriją pagal problemos sąlygas:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ar ši serija bus aritmetinė progresija? tikrai! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridėsite 2 ar 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebedalinamas iš 3. Iš karto galite nustatyti aritmetinės progresijos skirtumą: d = 3. Tai pravers!)

Taigi, galime drąsiai užsirašyti kai kuriuos progreso parametrus:

Koks bus skaičius? n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai visada eina iš eilės, bet mūsų nariai peršoka per tris. Jie nesutampa.

Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite užsirašyti progresą, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti narių skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei pritaikysime formulę savo problemai, pamatysime, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.

Pažiūrėkime į aritmetinės progresijos sumos formulę:

Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos teiginio ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Lieka tik elementari aritmetika. Pakeičiame skaičius į formulę ir apskaičiuojame:

Atsakymas: 1665 m

Kitas populiarus galvosūkių tipas:

4. Pateikta aritmetinė progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt keturių.

Žiūrime į sumos formulę ir... susinerviname.) Formulė, priminsiu, apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.

Žinoma, galite surašyti visą eigą iš eilės ir pridėti terminus nuo 20 iki 34. Bet... tai kažkaip kvaila ir užtrunka ilgai, tiesa?)

Yra elegantiškesnis sprendimas. Padalinkime seriją į dvi dalis. Pirma dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antra dalis - nuo dvidešimties iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime jį prie antrosios dalies terminų suma S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. kaip tai:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iš to matome, kad suraskite sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Svarstomos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Pradėkime?

Progresavimo parametrus ištraukiame iš problemos teiginio:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Apskaičiuojame juos naudodami n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Atsakymas: 262,5

Viena svarbi pastaba! Yra labai naudingas triukas sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome kažkas, ko, atrodo, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, pašalindami nereikalingus dalykus iš viso rezultato. Toks „apgaulė su ausimis“ dažnai gelbsti nuo baisių problemų.)

Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)

Praktinis patarimas:

Sprendžiant bet kokį uždavinį, susijusį su aritmetinės progresijos suma, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.

N-ojo termino formulė:

Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti ir kokia kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.

O dabar savarankiško sprendimo užduotys.

5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.

Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje į 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.

6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 jo terminų sumą.

Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokios problemos dažnai aptinkamos Valstybinėje mokslų akademijoje.

7. Vasja sutaupė pinigų atostogoms. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau savo mylimam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?

Sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 uždavinio.

Atsakymai (netvarkingi): 7, 3240, 6.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Skaičių sekos sąvoka reiškia, kad kiekvienas natūralusis skaičius atitinka tam tikrą realią reikšmę. Tokia skaičių serija gali būti arba savavališka, arba turėti tam tikras savybes – progresiją. Pastaruoju atveju kiekvienas paskesnis sekos elementas (narys) gali būti apskaičiuojamas naudojant ankstesnįjį.

Aritmetinė progresija yra skaitinių reikšmių seka, kurioje jos gretimi nariai skiriasi vienas nuo kito tuo pačiu skaičiumi (visi serijos elementai, pradedant nuo 2-osios, turi panašią savybę). Šis skaičius – skirtumas tarp ankstesnių ir vėlesnių terminų – yra pastovus ir vadinamas progresijos skirtumu.

Progresavimo skirtumas: apibrėžimas

Apsvarstykite seką, susidedančią iš j reikšmių A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j priklauso natūraliųjų skaičių aibei N. Aritmetika progresija pagal jos apibrėžimą yra seka , kurioje a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Reikšmė d yra norimas šios progresijos skirtumas.

d = a(j) – a(j-1).

Paryškinkite:

• Didėjanti progresija, tokiu atveju d > 0. Pavyzdys: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Mažėjanti progresija, tada d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Skirtumų progresija ir savavališki jo elementai

Jei žinomi 2 savavališki progresijos nariai (i-tas, k-asis), tada skirtumą tam tikrai sekai galima nustatyti remiantis ryšiu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, o tai reiškia d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progresavimo skirtumas ir pirmasis jo terminas

Ši išraiška padės nustatyti nežinomą reikšmę tik tais atvejais, kai žinomas sekos elemento numeris.

Progresavimo skirtumas ir jo suma

Progresijos suma yra jos sąlygų suma. Norėdami apskaičiuoti bendrą pirmųjų j elementų vertę, naudokite atitinkamą formulę:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, bet kadangi a(j) = a(1) + d(j – 1), tada S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Pradinis lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ dar VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip begalinė skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Ar ne aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Tegu tada:

Visiškai tiesa. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progresavimo terminas yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, norėdami rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, turite jas pridėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Gerai padaryta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Carlas Gaussas...

Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiau pažvelkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi, o panašios poros yra lygios, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome laipsnio, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
ką gavai?

Gerai padaryta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo užduotas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia skaičių suma, prasidedanti nuo th, yra lygi ir skaičių, prasidedančių nuo th, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų projektą – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 metodas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratai? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Saugodami rąstus, kirtėjai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Šiuo atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos daliai rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskime turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
2. Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDURIO LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

Formulės n-asis terminas

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos th narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kurią? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir 3-iojo nuo galo suma yra vienoda ir t.t. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva:.

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama: , reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti paprasčiau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

Pradinis lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ dar VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip begalinė skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Ar ne aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Tegu tada:

Visiškai tiesa. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progresavimo terminas yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, norėdami rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, turite jas pridėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Gerai padaryta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Carlas Gaussas...

Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiau pažvelkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi, o panašios poros yra lygios, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome laipsnio, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
ką gavai?

Gerai padaryta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo užduotas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia skaičių suma, prasidedanti nuo th, yra lygi ir skaičių, prasidedančių nuo th, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų projektą – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 metodas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratai? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Saugodami rąstus, kirtėjai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Šiuo atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos daliai rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskime turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
2. Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDURIO LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

Formulės n-asis terminas

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos th narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kurią? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir 3-iojo nuo galo suma yra vienoda ir t.t. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva:.

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama: , reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti paprasčiau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.