Didelės išraiškos su trupmenomis. Veiksmai su trupmenomis, taisyklės, pavyzdžiai, sprendiniai

Skaitiklis, o tai, kas yra padalinta, yra vardiklis.

Norėdami parašyti trupmeną, pirmiausia parašykite skaitiklį, tada po skaičiumi nubrėžkite horizontalią liniją, o po linija parašykite vardiklį. Horizontali linija, skirianti skaitiklį ir vardiklį, vadinama trupmenos linija. Kartais jis vaizduojamas kaip įstrižas „/“ arba „∕“. Šiuo atveju skaitiklis rašomas eilutės kairėje, o vardiklis - dešinėje. Taigi, pavyzdžiui, trupmena „du trečdaliai“ bus parašyta kaip 2/3. Aiškumo dėlei skaitiklis dažniausiai rašomas eilutės viršuje, o vardiklis – apačioje, tai yra, vietoj 2/3 galite rasti: ⅔.

Norėdami apskaičiuoti trupmenų sandaugą, pirmiausia padauginkite vieneto skaitiklį trupmenomis skaitiklis skiriasi. Įrašykite rezultatą į naujojo skaitiklį trupmenomis. Po to padauginkite vardiklius. Įveskite bendrą vertę į naują trupmenomis. Pavyzdžiui, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, pirmiausia padauginkite pirmosios skaitiklį iš antrosios vardiklio. Tą patį padarykite su antrąja trupmena (dalikliu). Arba prieš atlikdami visus veiksmus pirmiausia „apverskite“ daliklį, jei jums patogiau: vietoj skaitiklio turėtų atsirasti vardiklis. Tada padauginkite dividendo vardiklį iš naujo daliklio vardiklio ir padauginkite skaitiklius. Pavyzdžiui, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Šaltiniai:

• Pagrindinės trupmenos problemos

Trupmeniniai skaičiai leidžia išreikšti tikslią kiekio reikšmę įvairiomis formomis. Su trupmenomis galite atlikti tuos pačius matematinius veiksmus, kaip ir su sveikaisiais skaičiais: atimti, sudėti, dauginti ir dalyti. Išmokti apsispręsti trupmenomis, turime prisiminti kai kurias jų savybes. Jie priklauso nuo tipo trupmenomis, sveikosios dalies buvimas, bendras vardiklis. Kai kurioms aritmetinėms operacijoms po vykdymo reikia sumažinti trupmeninę rezultato dalį.

Jums reikės

• - skaičiuotuvas

Instrukcijos

Atidžiai pažiūrėkite į skaičius. Jei tarp trupmenų yra dešimtainių ir netaisyklingų, kartais patogiau pirmiausia atlikti operacijas su dešimtainiais skaitmenimis, o tada konvertuoti jas į netaisyklingą formą. Ar galite išversti trupmenomisŠioje formoje iš pradžių skaitiklyje įrašant reikšmę po kablelio, o į vardiklį įdedant 10. Jei reikia, sumažinkite trupmeną, padalydami aukščiau ir žemiau esančius skaičius iš vieno daliklio. Trupmenos, kuriose išskirta sveikoji dalis, turi būti konvertuojamos į neteisingą formą, padauginus ją iš vardiklio ir prie rezultato pridedant skaitiklį. Ši reikšmė taps nauju skaitikliu trupmenomis. Norėdami pasirinkti visą dalį iš iš pradžių neteisingos trupmenomis, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Parašykite visą rezultatą iš trupmenomis. O likusi padalijimo dalis taps nauju skaitikliu, vardikliu trupmenomis tai nesikeičia. Trupmenoms su sveikąja dalimi galima atlikti veiksmus atskirai, pirmiausia su sveikuoju skaičiumi, o paskui su trupmeninėmis dalimis. Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti 1 2/3 ir 2 ¾ sumą:
- Trupmenų konvertavimas į netinkamą formą:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Atskirai sveikųjų ir trupmeninių terminų dalių suma:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Perrašykite juos naudodami skyriklį „:“ ir tęskite įprastą padalijimą.

Norėdami gauti galutinį rezultatą, gautą trupmeną sumažinkite skaitiklį ir vardiklį padalydami iš vieno sveikojo skaičiaus, kuris šiuo atveju yra didžiausias. Šiuo atveju virš linijos ir žemiau jos turi būti sveikieji skaičiai.

Atkreipkite dėmesį

Neatlikite aritmetikos su trupmenomis, kurių vardikliai skiriasi. Pasirinkite tokį skaičių, kad padauginus iš jo kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį, abiejų trupmenų vardikliai būtų lygūs.

Naudingi patarimai

Rašant trupmeninius skaičius, dividendas rašomas virš eilutės. Šis dydis nurodomas kaip trupmenos skaitiklis. Po eilute rašomas trupmenos daliklis arba vardiklis. Pavyzdžiui, pusantro kilogramo ryžių trupmena bus rašoma taip: 1 ½ kg ryžių. Jei trupmenos vardiklis yra 10, trupmena vadinama dešimtaine. Šiuo atveju visos dalies dešinėje, atskiriant kableliu, rašomas skaitiklis (dividendas): 1,5 kg ryžių. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, tokią trupmeną visada galima parašyti neteisinga forma: 1 2/10 kg bulvių. Norėdami supaprastinti, galite sumažinti skaitiklio ir vardiklio reikšmes, padalydami jas iš vieno sveikojo skaičiaus. Šiame pavyzdyje galite padalyti iš 2. Rezultatas bus 1 1/5 kg bulvių. Įsitikinkite, kad skaičiai, su kuriais ketinate atlikti aritmetiką, pateikiami ta pačia forma.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinio klausimo.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan. ir tt niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl ​​šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai, bendrais bruožais:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man tik tuo atveju pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogu darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasčiausiai dauginant iš 3. Viskas aišku. Bet mes susidūrėme su tokiais dalykais kaip:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalinamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų pasirodyti 29/16.

Taigi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, naudojant papildomus daugiklius. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atskleistas naujas grėblys, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (būtų malonu!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, viršuje paliekame tuščią vietą, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Atkreipkite dėmesį! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atverčiame, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie laiku įvaldė trupmenas, visas šias operacijas atlieka viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visa numeriai. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. kaip tai. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuokite:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Sutikime, kad „veiksmai su trupmenomis“ mūsų pamokoje reikš operacijas su paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena yra trupmena, turinti tokius požymius kaip skaitiklis, trupmenos eilutė ir vardiklis. Tai atskiria paprastąją trupmeną nuo dešimtainės, kuri gaunama iš paprastosios trupmenos sumažinus vardiklį iki 10 kartotinio. Dešimtainė trupmena rašoma kableliu, atskiriant visą dalį nuo trupmeninės dalies. Kalbėsime apie operacijas su paprastosiomis trupmenomis, nes būtent jos sukelia daugiausiai sunkumų mokiniams, pamiršusiems šios temos pagrindus, apžvelgtus pirmoje mokyklinio matematikos kurso pusėje. Tuo pačiu metu transformuojant išraiškas aukštojoje matematikoje daugiausia naudojamos operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Vien trupmenos santrumpos to vertos! Dešimtainės trupmenos nesukelia ypatingų sunkumų. Taigi pirmyn!

Sakoma, kad dvi trupmenos yra lygios, jei .

Pavyzdžiui, nuo

Trupmenos ir (nuo), ir (nuo) taip pat yra lygios.

Akivaizdu, kad tiek trupmenos, tiek yra lygios. Tai reiškia, kad duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gausite trupmeną, lygią duotajam: .

Ši savybė vadinama pagrindine trupmenos savybe.

Pagrindinė trupmenos savybė gali būti naudojama trupmenos skaitiklio ir vardiklio ženklams pakeisti. Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš -1, gauname . Tai reiškia, kad tuo pačiu metu keičiant skaitiklio ir vardiklio ženklus, trupmenos reikšmė nepasikeis. Jei pakeisite tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą, trupmena pakeis savo ženklą:

Mažinančios frakcijos

Naudodami pagrindinę trupmenos savybę, nurodytą trupmeną galite pakeisti kita trupmena, lygia duotajai, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu. Šis pakeitimas vadinamas frakcijos mažinimu.

Pavyzdžiui, duokime trupmeną. Skaičiai 36 ir 48 turi didžiausią bendrą daliklį 12. Tada

.

Apskritai, trupmenos sumažinimas visada įmanomas, jei skaitiklis ir vardiklis nėra pirminiai skaičiai. Jei skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai, tada trupmena vadinama neredukuojama.

Taigi, sumažinti trupmeną reiškia trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalyti iš bendro koeficiento. Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma trupmeninėms išraiškoms, kuriose yra kintamųjų.

1 pavyzdys. Sumažinkite dalį

Sprendimas. Norėdami koeficientuoti skaitiklį, pirmiausia pateikdami monomiją - 5 xy kaip suma - 2 xy - 3xy, gauname

Vardiklio faktorinavimui naudojame kvadratų skirtumo formulę:

Dėl to

.

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Tegul dvi trupmenos ir . Jie turi skirtingus vardiklius: 5 ir 7. Naudodami pagrindinę trupmenų savybę, šias trupmenas galite pakeisti kitomis, joms lygiomis, ir tokias, kad gautos trupmenos turėtų tuos pačius vardiklius. Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gauname

Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 5, gauname

Taigi trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio:

.

Tačiau tai nėra vienintelis problemos sprendimas: pavyzdžiui, šias trupmenas taip pat galima sumažinti iki bendro vardiklio 70:

,

ir apskritai į bet kurį vardiklį, kuris dalijasi iš 5 ir 7.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: suveskime trupmenas ir į bendrą vardiklį. Ginčiuodami, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, gauname

,

.

Bet šiuo atveju trupmenas galima sumažinti iki bendro vardiklio, kuris yra mažesnis už šių trupmenų vardikų sandaugą. Raskime mažiausiąjį skaičių 24 ir 30 bendrąjį kartotinį: LCM(24, 30) = 120.

Kadangi 120:4 = 5, norint parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 120, reikia ir skaitiklį, ir vardiklį padauginti iš 5, šis skaičius vadinamas papildomu koeficientu. Reiškia .

Toliau gauname 120:30=4. Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento 4, gauname .

Taigi šios trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio.

Mažiausias šių trupmenų vardklių bendras kartotinis yra mažiausias galimas bendras vardiklis.

Trupmeninėms išraiškoms, kurios apima kintamuosius, bendras vardiklis yra daugianario, kuris yra padalintas iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

2 pavyzdys. Raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir.

Sprendimas. Bendras šių trupmenų vardiklis yra daugianario, nes jis dalijasi iš abiejų ir. Tačiau šis daugianaris nėra vienintelis, kuris gali būti bendras šių trupmenų vardiklis. Tai taip pat gali būti daugianomas , ir daugianario , ir daugianario ir tt Paprastai jie ima tokį bendrą vardiklį, kad bet koks kitas bendras vardiklis dalijamas iš pasirinkto be liekanos. Šis vardiklis vadinamas mažiausiu bendruoju vardikliu.

Mūsų pavyzdyje mažiausias bendras vardiklis yra . Gauta:

;

.

Mums pavyko sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio. Tai atsitiko padauginus pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš , o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš . Pirmosios ir antrosios trupmenos polinomai vadinami papildomais veiksniais.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Frakcijų pridėjimas apibrėžiamas taip:

.

Pavyzdžiui,

.

Jeigu b = d, Tai

.

Tai reiškia, kad norint pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, pakanka pridėti skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį. Pavyzdžiui,

.

Jei pridedate trupmenas su skirtingais vardikliais, paprastai jas sumažinate iki mažiausio bendro vardiklio, o tada pridedate skaitiklius. Pavyzdžiui,

.

Dabar pažiūrėkime į trupmeninių išraiškų su kintamaisiais pridėjimo pavyzdį.

3 pavyzdys. Konvertuoti išraišką į vieną trupmeną

.

Sprendimas. Raskime mažiausią bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia suskaidome vardiklius.

Šis straipsnis yra apie bendrosios trupmenos. Čia supažindinsime su visumos trupmenos sąvoka, kuri padės mums apibrėžti bendrąją trupmeną. Toliau apsistosime ties priimtu paprastųjų trupmenų žymėjimu ir pateiksime trupmenų pavyzdžius, tarkime, apie trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Po to pateiksime tinkamų ir netinkamų, teigiamų ir neigiamų trupmenų apibrėžimus, taip pat atsižvelgsime į trupmeninių skaičių padėtį koordinačių spindulyje. Pabaigoje išvardijame pagrindines operacijas su trupmenomis.

Puslapio naršymas.

Viso akcijos

Pirmiausia pristatome akcijų samprata.

Tarkime, kad turime objektą, sudarytą iš kelių absoliučiai identiškų (tai yra lygių) dalių. Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti, pavyzdžiui, obuolį, supjaustytą į kelias lygias dalis, arba apelsiną, susidedantį iš kelių vienodų griežinėlių. Kiekviena iš šių lygių dalių, sudarančių visą objektą, vadinama visumos dalys arba tiesiog akcijų.

Atkreipkite dėmesį, kad akcijos skiriasi. Paaiškinkime tai. Paimkime du obuolius. Pirmąjį obuolį supjaustykite į dvi lygias dalis, o antrąjį – į 6 lygias dalis. Aišku, kad pirmojo obuolio dalis skirsis nuo antrojo obuolio dalies.

Priklausomai nuo akcijų, sudarančių visą objektą, skaičiaus, šios akcijos turi savo pavadinimus. Sutvarkykime ritmų pavadinimai. Jei objektas susideda iš dviejų dalių, bet kuri iš jų vadinama viena antrąja viso objekto dalimi; jei objektas susideda iš trijų dalių, tai bet kuri iš jų vadinama viena trečiąja dalimi ir pan.

Viena antra akcija turi specialų pavadinimą - pusė. Trečdalis vadinamas trečia, ir ketvirtadalis dalis - ketvirtadalis.

Trumpumo dėlei buvo įvesta: mušti simbolius. Viena antroji akcija nurodoma kaip arba 1/2, viena trečdalis – kaip arba 1/3; ketvirtadalis dalis – like arba 1/4 ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad užrašas su horizontalia juosta naudojamas dažniau. Norėdami sustiprinti medžiagą, pateiksime dar vieną pavyzdį: įrašas žymi šimtą šešiasdešimt septintąją visumos dalį.

Dalies sąvoka natūraliai tęsiasi nuo objektų iki kiekių. Pavyzdžiui, vienas iš ilgio matų yra metras. Trumpesniems nei metras ilgiams matuoti galima naudoti metro dalis. Taigi galite naudoti, pavyzdžiui, pusę metro arba dešimtąją ar tūkstantąją metro dalį. Kitų kiekių dalys taikomos panašiai.

Bendrosios trupmenos, apibrėžimai ir trupmenų pavyzdžiai

Norėdami apibūdinti naudojamų akcijų skaičių bendrosios trupmenos. Pateiksime pavyzdį, kuris leis mums priartėti prie paprastųjų trupmenų apibrėžimo.

Tegul apelsinas susideda iš 12 dalių. Kiekviena dalis šiuo atveju reiškia vieną dvyliktąją viso apelsino, tai yra, . Mes žymime du ritmus kaip , tris ritmus kaip ir taip toliau, 12 ritmų žymime kaip . Kiekvienas iš pateiktų įrašų vadinamas paprastąja trupmena.

Dabar pateikime generolą bendrųjų trupmenų apibrėžimas.

Įgarsintas paprastųjų trupmenų apibrėžimas leidžia mums pateikti bendrųjų trupmenų pavyzdžiai: 5/10, , 21/1, 9/4, . O štai įrašai neatitinka pateikto paprastųjų trupmenų apibrėžimo, tai yra, jos nėra paprastosios trupmenos.

Skaitiklis ir vardiklis

Patogumui skiriamos paprastosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

Apibrėžimas.

Skaitiklis paprastoji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius m.

Apibrėžimas.

Vardiklis bendroji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius n.

Taigi, skaitiklis yra virš trupmenos linijos (į kairę nuo pasvirojo brūkšnio), o vardiklis yra žemiau trupmenos linijos (į dešinę nuo pasvirojo brūkšnio). Pavyzdžiui, paimkime bendrąją trupmeną 17/29, šios trupmenos skaitiklis yra skaičius 17, o vardiklis yra skaičius 29.

Belieka aptarti reikšmę, esančią paprastosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Trupmenos vardiklis rodo, iš kiek dalių susideda vienas objektas, o skaitiklis savo ruožtu nurodo tokių dalių skaičių. Pavyzdžiui, trupmenos 12/5 vardiklis 5 reiškia, kad vienas objektas susideda iš penkių dalių, o skaitiklis 12 reiškia, kad paimama 12 tokių dalių.

Natūralusis skaičius kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1

Bendrosios trupmenos vardiklis gali būti lygus vienetui. Šiuo atveju galime laikyti, kad objektas yra nedalomas, kitaip tariant, jis reprezentuoja kažką vientiso. Tokios trupmenos skaitiklis rodo, kiek paimta sveikų objektų. Taigi paprastoji formos m/1 trupmena turi natūraliojo skaičiaus m reikšmę. Taip pagrindėme lygybės m/1=m pagrįstumą.

Paskutinę lygybę perrašykime taip: m=m/1. Ši lygybė leidžia mums pavaizduoti bet kurį natūralųjį skaičių m kaip paprastąją trupmeną. Pavyzdžiui, skaičius 4 yra trupmena 4/1, o skaičius 103 498 yra lygus trupmenai 103 498/1.

Taigi, bet kurį natūralųjį skaičių m galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, kurios vardiklis 1, kaip m/1, o bet kurią paprastąją formos m/1 trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi m.

Trupmenų juosta kaip padalijimo ženklas

Pirminio objekto atvaizdavimas n dalių pavidalu yra ne kas kita, kaip padalijimas į n lygių dalių. Padalijus prekę į n dalių, galime ją po lygiai padalinti n žmonių – kiekvienas gaus po vieną akciją.

Jei iš pradžių turime m identiškų objektų, kurių kiekvienas yra padalintas į n dalis, tai mes galime vienodai padalinti šiuos m objektus tarp n žmonių, kiekvienam asmeniui suteikdami po vieną dalį iš kiekvieno iš m objektų. Šiuo atveju kiekvienas asmuo turės m dalių 1/n, o m dalių 1/n duoda bendrąją trupmeną m/n. Taigi bendrąją trupmeną m/n galima naudoti m elementų padalijimui tarp n žmonių pažymėti.

Taip gavome aiškų ryšį tarp paprastųjų trupmenų ir padalijimo (žr. bendrą natūraliųjų skaičių padalijimo idėją). Šis ryšys išreiškiamas taip: trupmenos liniją galima suprasti kaip dalybos ženklą, tai yra m/n=m:n.

Naudodami paprastąją trupmeną, galite parašyti dviejų natūraliųjų skaičių, kurių negalima padalyti, padalijimo rezultatą. Pavyzdžiui, 5 obuolių padalijimo iš 8 žmonių rezultatas gali būti parašytas kaip 5/8, tai yra, kiekvienas gaus penkias aštuntąsias obuolio: 5:8 = 5/8.

Lygiosios ir nelygiosios trupmenos, trupmenų palyginimas

Gana natūralus veiksmas lyginant trupmenas, nes aišku, kad 1/12 apelsino skiriasi nuo 5/12, o 1/6 obuolio – dar 1/6 šio obuolio.

Palyginus dvi paprastąsias trupmenas, gaunamas vienas iš rezultatų: trupmenos yra lygios arba nelygios. Pirmuoju atveju turime lygios bendrosios trupmenos o antroje – nelygios paprastosios trupmenos. Pateiksime lygių ir nelygių paprastųjų trupmenų apibrėžimą.

Apibrėžimas.

lygus, jei lygybė a·d=b·c yra teisinga.

Apibrėžimas.

Dvi bendrosios trupmenos a/b ir c/d nėra lygus, jei negalioja lygybė a·d=b·c.

Štai keletas lygių trupmenų pavyzdžių. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 1/2 yra lygi trupmenai 2/4, nes 1·4=2·2 (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių dauginimo taisykles ir pavyzdžius). Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti du vienodus obuolius, pirmasis perpjaunamas per pusę, o antrasis – į 4 dalis. Akivaizdu, kad du ketvirtadaliai obuolio yra 1/2 dalis. Kiti vienodų bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 4/7 ir 36/63 bei trupmenų pora 81/50 ir 1 620/1 000.

Tačiau paprastosios trupmenos 4/13 ir 5/14 nėra lygios, nes 4·14=56 ir 13·5=65, tai yra 4·14≠13·5. Kiti nelygių bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 17/7 ir 6/4.

Jei lyginant dvi bendrąsias trupmenas paaiškėja, kad jos nėra lygios, gali tekti išsiaiškinti, kuri iš šių bendrųjų trupmenų mažiau kitoks, o kuris - daugiau. Norėdami tai išsiaiškinti, naudojama paprastųjų trupmenų palyginimo taisyklė, kurios esmė – lyginamąsias trupmenas suvesti į bendrą vardiklį ir tada lyginti skaitiklius. Išsami informacija šia tema surinkta straipsnyje trupmenų palyginimas: taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.

Trupmeniniai skaičiai

Kiekviena trupmena yra žymėjimas trupmeninis skaičius. Tai yra, trupmena yra tik trupmeninio skaičiaus „apvalkalas“, jo išvaizda, o visa semantinė apkrova yra trupmeniniame skaičiuje. Tačiau dėl trumpumo ir patogumo trupmenos ir trupmeninio skaičiaus sąvokos sujungiamos ir tiesiog vadinamos trupmena. Čia dera perfrazuoti gerai žinomą posakį: sakome trupmeną - turime omenyje trupmeninį skaičių, sakome trupmeninį skaičių - turime omenyje trupmeną.

Koordinačių spindulio trupmenos

Visi trupmeniniai skaičiai, atitinkantys paprastąsias trupmenas, turi savo unikalią vietą, tai yra, tarp trupmenų ir koordinačių spindulio taškų yra vienas su vienu atitikimas.

Norint patekti į koordinačių spindulio tašką, atitinkantį trupmeną m/n, reikia atidėti m atkarpų nuo koordinačių pradžios teigiama kryptimi, kurių ilgis yra 1/n vienetinio atkarpos trupmena. Tokius segmentus galima gauti padalinus vieneto segmentą į n lygių dalių, o tai visada galima padaryti naudojant kompasą ir liniuotę.

Pavyzdžiui, rodykime tašką M koordinačių spindulyje, atitinkantį trupmeną 14/10. Atkarpos, kurios galai yra taške O ir arčiausiai jo esančio taško, pažymėto mažu brūkšneliu, ilgis yra 1/10 vienetinės atkarpos. Taškas, kurio koordinatė yra 14/10, pašalinamas iš pradžios 14 tokių atkarpų atstumu.

Lygios trupmenos atitinka tą patį trupmeninį skaičių, tai yra, lygios trupmenos yra to paties koordinačių spindulio taško koordinatės. Pavyzdžiui, koordinatės 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 atitinka vieną koordinačių spindulio tašką, nes visos parašytos trupmenos yra lygios (jis yra pusės išdėstytos vienetinės atkarpos atstumu nuo pradžios teigiama kryptimi).

Horizontaliame ir į dešinę nukreiptame koordinačių spindulyje taškas, kurio koordinatė yra didesnė trupmena, yra į dešinę nuo taško, kurio koordinatė yra mažesnė trupmena. Panašiai taškas su mažesne koordinate yra kairėje nuo taško, kurio koordinatė yra didesnė.

Tikrosios ir netinkamosios trupmenos, apibrėžimai, pavyzdžiai

Tarp paprastųjų trupmenų yra tinkamas ir netinkamas trupmenas. Šis skirstymas pagrįstas skaitiklio ir vardiklio palyginimu.

Apibrėžkime tinkamas ir netinkamas paprastąsias trupmenas.

Apibrėžimas.

Tinkama trupmena yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tai yra, jei m

Apibrėžimas.

Netinkama trupmena yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, tai yra, jei m≥n, tai paprastoji trupmena yra neteisinga.

Štai keletas tinkamų trupmenų pavyzdžių: 1/4, , 32,765/909,003. Iš tiesų, kiekvienoje iš užrašytų paprastųjų trupmenų skaitiklis yra mažesnis už vardiklį (jei reikia, žr. straipsnį, kuriame lyginami natūralieji skaičiai), todėl jie yra teisingi pagal apibrėžimą.

Štai netinkamų trupmenų pavyzdžiai: 9/9, 23/4, . Iš tiesų, pirmosios parašytos paprastosios trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, o likusiose trupmenose skaitiklis yra didesnis už vardiklį.

Taip pat yra tinkamų ir netinkamų trupmenų apibrėžimų, pagrįstų trupmenų palyginimu su viena.

Apibrėžimas.

teisinga, jei jis yra mažesnis nei vienas.

Apibrėžimas.

Paprastoji trupmena vadinama negerai, jei jis yra lygus vienam arba didesnis už 1.

Taigi bendroji trupmena 7/11 yra teisinga, nes 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ir 27/27 = 1.

Pagalvokime, kaip paprastos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, nusipelno tokio pavadinimo - „netinkamas“.

Pavyzdžiui, paimkime netinkamą trupmeną 9/9. Ši trupmena reiškia, kad objekto, kurį sudaro devynios dalys, paimamos devynios dalys. Tai yra, iš turimų devynių dalių galime sudaryti visą objektą. Tai yra, netinkama trupmena 9/9 iš esmės suteikia visą objektą, tai yra, 9/9 = 1. Paprastai netinkamos trupmenos, kurių skaitiklis lygus vardikliui, žymi vieną visą objektą, o tokią trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi 1.

Dabar apsvarstykite netinkamas trupmenas 7/3 ir 12/4. Visiškai akivaizdu, kad iš šių septynių trečiųjų dalių galime sudaryti du ištisus objektus (vienas visas objektas susideda iš 3 dalių, tada, norint sudaryti du ištisus objektus, reikės 3 + 3 = 6 dalių) ir dar bus vienas trečdalis. dalis liko. Tai yra, netinkama trupmena 7/3 iš esmės reiškia 2 objektus ir 1/3 tokio objekto. O iš dvylikos ketvirčių dalių galime padaryti tris ištisus objektus (tris objektus po keturias dalis). Tai yra, trupmena 12/4 iš esmės reiškia 3 ištisus objektus.

Apsvarstyti pavyzdžiai leidžia daryti tokią išvadą: neteisingas trupmenas galima pakeisti natūraliaisiais skaičiais, kai skaitiklis padalytas po lygiai iš vardiklio (pavyzdžiui, 9/9=1 ir 12/4=3), arba suma natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos, kai skaitiklis iš vardiklio nesidalina tolygiai (pvz., 7/3=2+1/3). Galbūt būtent dėl ​​to netinkamos trupmenos gavo pavadinimą „netaisyklingos“.

Ypač įdomus yra netinkamosios trupmenos vaizdavimas natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos suma (7/3=2+1/3). Šis procesas vadinamas visos dalies išskyrimu nuo netinkamos frakcijos ir nusipelno atskiro ir atidesnio svarstymo.

Taip pat verta paminėti, kad tarp netinkamų trupmenų ir mišrių skaičių yra labai glaudus ryšys.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos

Kiekviena bendroji trupmena atitinka teigiamą trupmeninį skaičių (žr. straipsnį apie teigiamus ir neigiamus skaičius). Tai yra, paprastosios trupmenos yra teigiamos trupmenos. Pavyzdžiui, paprastosios trupmenos 1/5, 56/18, 35/144 yra teigiamos trupmenos. Kai reikia pabrėžti trupmenos pozityvumą, prieš ją dedamas pliuso ženklas, pavyzdžiui, +3/4, +72/34.

Jei prieš paprastą trupmeną įdėsite minuso ženklą, šis įrašas atitiks neigiamą trupmeninį skaičių. Šiuo atveju galime kalbėti apie neigiamos trupmenos. Štai keletas neigiamų trupmenų pavyzdžių: −6/10, −65/13, −1/18.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos m/n ir −m/n yra priešingi skaičiai. Pavyzdžiui, trupmenos 5/7 ir –5/7 yra priešingos trupmenos.

Teigiamos trupmenos, kaip ir apskritai teigiami skaičiai, reiškia priedą, pajamas, bet kokios vertės pokytį į viršų ir pan. Neigiamos trupmenos atitinka išlaidas, skolą arba bet kokio kiekio sumažėjimą. Pavyzdžiui, neigiama trupmena −3/4 gali būti interpretuojama kaip skola, kurios vertė lygi 3/4.

Horizontaliai ir dešinėn neigiamos trupmenos yra kairėje nuo pradžios. Koordinačių linijos, kurių koordinatės yra teigiama trupmena m/n ir neigiama trupmena −m/n, taškai yra vienodu atstumu nuo pradžios, bet priešingose ​​taško O pusėse.

Čia verta paminėti 0/n formos trupmenas. Šios trupmenos lygios skaičiui nulis, tai yra 0/n=0.

Teigiamos trupmenos, neigiamos trupmenos ir 0/n trupmenos susijungia ir sudaro racionalius skaičius.

Veiksmai su trupmenomis

Vieną veiksmą su paprastosiomis trupmenomis – trupmenų palyginimą – jau aptarėme aukščiau. Apibrėžtos dar keturios aritmetinės funkcijos operacijos su trupmenomis– trupmenų sudėjimas, atėmimas, dauginimas ir dalijimas. Pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Bendroji operacijų su trupmenomis esmė panaši į atitinkamų operacijų su natūraliaisiais skaičiais esmę. Padarykime analogiją.

Trupmenų dauginimas gali būti traktuojamas kaip trupmenos iš trupmenos radimo veiksmas. Norėdami paaiškinti, pateiksime pavyzdį. Turėkime 1/6 obuolio ir turime paimti 2/3. Mums reikalinga dalis yra trupmenų 1/6 ir 2/3 padauginimo rezultatas. Dviejų paprastųjų trupmenų padauginimo rezultatas yra paprastoji trupmena (kuri specialiu atveju yra lygi natūraliajam skaičiui). Toliau rekomenduojame išstudijuoti informaciją, pateiktą straipsnyje Trupmenų dauginimas – taisyklės, pavyzdžiai ir sprendimai.

Nuorodos.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigos.
• Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Šiame skyriuje aprašomos operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Jei reikia atlikti matematinį veiksmą su mišriais skaičiais, pakanka mišrią trupmeną paversti nepaprastąja trupmena, atlikti reikiamus veiksmus ir, jei reikia, vėl pateikti galutinį rezultatą mišraus skaičiaus forma. . Ši operacija bus aprašyta toliau.

Dalies sumažinimas

Matematinis veiksmas. Dalies sumažinimas

Norėdami sumažinti trupmeną \frac(m)(n), turite rasti didžiausią bendrą jos skaitiklio ir vardiklio daliklį: gcd(m,n), o tada trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinti iš šio skaičiaus. Jei GCD(m,n)=1, tai trupmena negali būti sumažinta. Pavyzdys: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Paprastai iš karto rasti didžiausią bendrą daliklį atrodo sudėtinga užduotis, o praktiškai trupmena mažinama keliais etapais, žingsnis po žingsnio išskiriant akivaizdžius bendrus veiksnius nuo skaitiklio ir vardiklio. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Matematinis veiksmas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Norėdami sujungti dvi trupmenas \frac(a)(b) ir \frac(c)(d) į bendrą vardiklį, jums reikia:

• rasti mažiausią bendrą vardiklių kartotinį: M=LMK(b,d);
• pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš M/b (po to trupmenos vardiklis tampa lygus skaičiui M);
• antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš M/d (po to trupmenos vardiklis tampa lygus skaičiui M).

Taigi pradines trupmenas paverčiame trupmenomis su tais pačiais vardikliais (kurie bus lygūs skaičiui M).

Pavyzdžiui, trupmenos \frac(5)(6) ir \frac(4)(9) turi LCM(6,9) = 18. Tada: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Taigi gautos trupmenos turi bendrą vardiklį.

Praktiškai ne visada lengva užduotis rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Todėl bendruoju vardikliu pasirenkamas skaičius, lygus pradinių trupmenų vardklių sandaugai. Pavyzdžiui, trupmenos \frac(5)(6) ir \frac(4)(9) sumažinamos iki bendro vardiklio N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Trupmenų palyginimas

Matematinis veiksmas. Trupmenų palyginimas

Norėdami palyginti dvi paprastas trupmenas, jums reikia:

• palyginkite gautų trupmenų skaitiklius; trupmena su didesniu skaitikliu bus didesnė.

Lyginant trupmenas, yra keletas specialių atvejų:

1. Iš dviejų frakcijų su tais pačiais vardikliais Trupmena, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė. Pavyzdžiui, \frac(3)(15)
2. Iš dviejų frakcijų su tais pačiais skaitikliais Kuo didesnė yra trupmena, kurios vardiklis yra mažesnis. Pavyzdžiui, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Ta trupmena, kuri vienu metu didesnis skaitiklis ir mažesnis vardiklis, daugiau. Pavyzdžiui, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Dėmesio! 1 taisyklė taikoma visoms trupmenoms, jei jų bendras vardiklis yra teigiamas skaičius. 2 ir 3 taisyklės taikomos teigiamoms trupmenoms (tos, kurių skaitiklis ir vardiklis yra didesni už nulį).

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Matematinis veiksmas. Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti dvi frakcijas, jums reikia:

• suvesti juos į bendrą vardiklį;
• pridėkite jų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą.

Pavyzdys: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, jums reikia:

• sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio;
• Iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą.

Pavyzdys: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Jei pradinės trupmenos iš pradžių turi bendrą vardiklį, tada 1 veiksmas (sumažinimas iki bendro vardiklio) praleidžiamas.

Mišraus skaičiaus pavertimas netinkamąja trupmena ir atvirkščiai

Matematinis veiksmas. Mišraus skaičiaus pavertimas netinkamąja trupmena ir atvirkščiai

Norėdami paversti mišrią trupmeną į netinkamą, tiesiog sudėkite visą mišrios frakcijos dalį su trupmenos dalimi. Tokios sumos rezultatas bus neteisinga trupmena, kurios skaitiklis lygus visos dalies sandaugos sumai iš trupmenos vardiklio su mišrios trupmenos skaitikliu, o vardiklis liks toks pat. Pavyzdžiui, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Norėdami konvertuoti neteisingą trupmeną į mišrų skaičių:

• trupmenos skaitiklį padalinti iš vardiklio;
• dalybos likutį įrašykite į skaitiklį ir palikite vardiklį tą patį;
• padalijimo rezultatą parašykite sveikąja dalimi.

Pavyzdžiui, trupmena \frac(23)(4) . Dalijant 23:4=5,75, tai yra visa dalis yra 5, likusi dalybos dalis yra 23-5*4=3. Tada bus parašytas mišrus skaičius: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmeną

Matematinis veiksmas. Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmeną

Norėdami konvertuoti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną, turite:

1. vardikliu imkite dešimties n-tąją laipsnį (čia n yra skaitmenų po kablelio skaičius);
2. kaip skaitiklį paimkite skaičių po kablelio (jei sveikoji pradinio skaičiaus dalis nėra lygi nuliui, tada imkite ir visus pirmuosius nulius);
3. ne nulinė sveikojo skaičiaus dalis įrašoma skaitiklyje pačioje pradžioje; nulinė sveikojo skaičiaus dalis praleidžiama.

1 pavyzdys: 0.0089=\frac(89)(10000) (yra 4 skaitmenys po kablelio, todėl vardiklis turi 10 4 =10000, kadangi sveikoji dalis yra 0, skaitiklyje yra skaičius po kablelio be nulių priekyje)

2 pavyzdys: 31.0109=\frac(310109)(10000) (skaitiklyje rašome skaičių po kablelio su visais nuliais: „0109“, o tada prieš jį pridedame visą pradinio skaičiaus dalį „31“)

Jei visa dešimtainės trupmenos dalis yra ne nulis, tada ją galima paversti mišriąja trupmena. Norėdami tai padaryti, paverčiame skaičių į paprastąją trupmeną, tarsi visa dalis būtų lygi nuliui (taškai 1 ir 2), ir tiesiog perrašome visą dalį prieš trupmeną - tai bus visa mišraus skaičiaus dalis. . Pavyzdys:

3.014=3\frac(14)(100)

Norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, tiesiog padalinkite skaitiklį iš vardiklio. Kartais jūs gaunate begalinį dešimtainį skaičių. Tokiu atveju reikia suapvalinti iki pageidaujamo kablelio. Pavyzdžiai:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\apytiksliai 0,6667

Trupmenų dauginimas ir dalijimas

Matematinis veiksmas. Trupmenų dauginimas ir dalijimas

Norėdami padauginti dvi paprastas trupmenas, turite padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Norėdami padalyti vieną bendrąją trupmeną iš kitos, turite padauginti pirmąją trupmeną iš antrosios atvirkštinės vertės ( atvirkštinė trupmena- trupmena, kurioje sukeisti skaitiklis ir vardiklis.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Jei viena iš trupmenų yra natūralusis skaičius, tada aukščiau pateiktos daugybos ir dalybos taisyklės lieka galioti. Tiesiog reikia atsižvelgti į tai, kad sveikasis skaičius yra ta pati trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui. Pavyzdžiui: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7