Koks yra lygiagretainio kampas? Apskaičiuokite lygiagretainio kampų ir ploto sumą: savybės ir charakteristikos

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios poromis (233 pav.).

Savavališkam lygiagrečiam galioja šios savybės:

1. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.

Įrodymas. Lygiagretainyje ABCD nubrėžiame įstrižainę AC. Trikampiai ACD ir AC B yra lygūs, nes turi bendrą kraštinę AC ir dvi poras lygių kampų greta jos:

(kaip skersiniai kampai su lygiagrečiomis tiesėmis AD ir BC). Tai reiškia, kaip ir lygių trikampių, esančių priešais vienodus kampus, kraštines, ką reikėjo įrodyti.

2. Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs:

3. Gretimi lygiagretainio kampai, t.y., kampai, besiribojantys su viena kraštine, sumuojami ir pan.

2 ir 3 savybių įrodymas iš karto gaunamas iš lygiagrečių tiesių kampų savybių.

4. Lygiagretainio įstrižainės viena kitą dalija susikirtimo taške. Kitaip tariant,

Įrodymas. Trikampiai AOD ir BOC yra sutampa, nes jų kraštinės AD ir BC yra lygios (savybė 1), o kampai greta jų (kaip lygiagrečių tiesių skersiniai kampai). Iš čia matyti, kad atitinkamos šių trikampių kraštinės yra lygios: AO, ką ir reikėjo įrodyti.

Kiekviena iš šių keturių savybių apibūdina lygiagretainį arba, kaip sakoma, yra jam būdinga savybė, t. y. kiekvienas keturkampis, turintis bent vieną iš šių savybių, yra lygiagretainis (taigi, turi visas kitas tris savybes).

Įrodinėjimą atliksime kiekvienam turtui atskirai.

1". Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai yra lygiagretainis.

Įrodymas. Tegu keturkampio ABCD kraštinės AD ir BC, AB ir CD atitinkamai lygios (233 pav.). Nubrėžkime įstrižainę AC. Trikampiai ABC ir CDA bus sutampa, nes turi tris poras lygių kraštinių.

Bet tada kampai BAC ir DCA yra lygūs ir . Kraštinių BC ir AD lygiagretumas išplaukia iš kampų CAD ir ACB lygybės.

2. Jei keturkampis turi dvi lygias priešingų kampų poras, tai jis yra lygiagretainis.

Įrodymas. Tegul . Nuo tada abi kraštinės AD ir BC yra lygiagrečios (remiantis tiesių lygiagretumu).

3. Suformulavimą ir įrodymą paliekame skaitytojui.

4. Jei keturkampio įstrižainės susikirtimo taške dalija viena kitą, tai keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas. Jei AO = OS, BO = OD (233 pav.), tai trikampiai AOD ir BOC yra lygūs, kaip turintys lygius kampus (vertikalius!) viršūnėje O, uždarytą tarp lygių kraštinių porų AO ir CO, BO ir DO. Iš trikampių lygybės darome išvadą, kad kraštinės AD ir BC yra lygios. Kraštinės AB ir CD taip pat yra lygios, o keturkampis pagal būdingą savybę G yra lygiagretainis.

Taigi, norint įrodyti, kad duotas keturkampis yra lygiagretainis, pakanka patikrinti bet kurios iš keturių savybių pagrįstumą. Skaitytojas kviečiamas savarankiškai įrodyti kitą būdingą lygiagretainio savybę.

5. Jei keturkampis turi porą lygiagrečių lygiagrečių kraštinių, tai jis yra lygiagretainis.

Kartais bet kuri lygiagrečių lygiagretainio kraštinių pora vadinama jo pagrindais, tada kitos dvi – šoninėmis kraštinėmis. Tiesios atkarpa, statmena dviem lygiagretainio kraštinėms, esanti tarp jų, vadinama lygiagretainio aukščiu. Lygiagretainė pav. 234 aukštis h nubrėžtas į kraštines AD ir BC, antrasis aukštis pavaizduotas atkarpa .

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Pamokos tema

• Lygiagretainio įstrižainių savybės.

Pamokos tikslai

• Susipažinkite su naujais apibrėžimais ir prisiminkite kai kuriuos jau išnagrinėtus.
• Nurodykite ir įrodykite lygiagretainio įstrižainių savybę.
• Išmokite taikyti formų savybes sprendžiant uždavinius.
• Lavinamieji – ugdyti mokinių dėmesį, atkaklumą, atkaklumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą.
• Ugdomasis - per pamoką ugdykite dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdykite gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą ir savarankiškumą.

Pamokos tikslai

• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.

Pamokos planas

1. Pradžios pastabos.
2. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.
3. Paralelograma, jos savybės ir ypatybės.
4. Užduočių pavyzdžiai.
5. Savikontrolė.

Įvadas

„Didysis mokslinis atradimas yra pagrindinės problemos sprendimas, tačiau bet kurios problemos sprendimas yra atradimų grūdelis“.

Lygiagretainio priešingų kraštinių savybė

Lygiagretainis turi priešingas kraštines, kurios yra lygios.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Ir tegul jos įstrižainės susikerta taške O.
Kadangi pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, kaip vertikaliųjų, AO=OC, DO=OB, pagal lygiagretainio įstrižainių savybę), tai AB=CD. Lygiai taip pat iš trikampių BOC ir DOA lygybės išplaukia, kad BC = DA. Teorema įrodyta.

Lygiagretainio priešingų kampų savybė

Lygiagrečiame priešingi kampai yra lygūs.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Ir tegul jos įstrižainės susikerta taške O.
Iš to, kas buvo įrodyta teoremoje apie lygiagretainio priešingų kraštinių savybes Δ ABC = Δ CDA trijose pusėse (AB=CD, BC=DA iš to, kas buvo įrodyta, AC – bendra). Iš trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ ABC = ∠ CDA.
Taip pat įrodyta, kad ∠ DAB = ∠ BCD, kas išplaukia iš ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema įrodyta.

Lygiagretainio įstrižainių savybė

Lygiagretainio įstrižainės susikerta ir susikirtimo taške yra padalintos per pusę.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Nubrėžkime įstrižainę AC. Pažymėkime ant jos vidurinį O Tęsiant atkarpą DO, atkarpą OB 1 atidėsime į šalį, lygią DO.
Pagal ankstesnę teoremą AB 1 CD yra lygiagretainis. Todėl tiesė AB 1 yra lygiagreti DC. Tačiau per tašką A galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią DC. Tai reiškia, kad tiesė AB 1 sutampa su tiese AB.
Taip pat įrodyta, kad BC 1 sutampa su BC. Tai reiškia, kad taškas C sutampa su C 1. lygiagretainis ABCD sutampa su lygiagretainiu AB 1 CD. Vadinasi, lygiagretainio įstrižainės susikerta ir susikirtimo taške yra padalintos į pusę. Teorema įrodyta.

Įprastų mokyklų vadovėliuose (pavyzdžiui, Pogorelovo mieste) tai įrodyta taip: įstrižainės padalija lygiagretainį į 4 trikampius. Panagrinėkime vieną porą ir išsiaiškinkime – jos lygios: jų pagrindai yra priešingos pusės, atitinkami kampai, esantys šalia, yra lygūs, kaip vertikalūs kampai su lygiagrečiomis linijomis. Tai reiškia, kad įstrižainės yra lygios poromis. Visi.

Ar tai viskas?
Aukščiau buvo įrodyta, kad susikirtimo taškas dalija įstrižaines – jei toks yra. Pirmiau pateikti samprotavimai jokiu būdu neįrodo jo egzistavimo. Tai yra, dalis teoremos „lygiagretainio įstrižainės susikerta“ lieka neįrodyta.

Juokingiausia, kad šią dalį įrodyti daug sunkiau. Tai, beje, išplaukia iš bendresnio rezultato: bet kurio išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta, o bet kurio neišgaubto keturkampio – ne.

Apie trikampių lygybę išilgai kraštinės ir dviejų gretimų kampų (antrasis trikampių lygybės ženklas) ir kt.

Thalesas rado svarbų praktinį pritaikymą teoremai apie dviejų trikampių lygybę išilgai šono ir dviejų gretimų kampų. Mileto uoste buvo pastatytas nuotolio ieškiklis, skirtas nustatyti atstumą iki laivo jūroje. Jį sudarė trys varomi kaiščiai A, B ir C (AB = BC) ir pažymėta tiesi linija SC, statmena CA. Kai ant SK tiesės pasirodė laivas, tašką D radome tokį, kad taškai D, .B ir E būtų toje pačioje tiesėje. Kaip matyti iš brėžinio, atstumas CD ant žemės yra norimas atstumas iki laivo.

Klausimai

1. Ar kvadrato įstrižainės dalijamos per pusę iš susikirtimo taško?
   
2. Ar lygiagretainio įstrižainės lygios?
3. Ar lygiagretainio priešingi kampai lygūs?
4. Pateikite lygiagretainio apibrėžimą?
5. Kiek lygiagretainio ženklų?
   
6. Ar rombas gali būti lygiagretainis?
   

Naudotų šaltinių sąrašas

1. Kuznecovas A.V., matematikos mokytojas (5-9 kl.), Kijevas
2. „Vieningas valstybinis egzaminas 2006. Matematika. Mokomoji ir mokomoji medžiaga mokiniams ruošti / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. „M. I. Skanavi redaguoto rinkinio pagrindinių matematikos varžybų uždavinių sprendimas“
4. L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas, E. G. Poznyakas, I. I. Yudina „Geometrija, 7 – 9: vadovėlis švietimo įstaigoms“

Dirbome prie pamokos

Kuznecovas A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenijus Petrovas

Galite iškelti klausimą apie šiuolaikinį švietimą, išsakyti idėją ar išspręsti aktualią problemą adresu Edukacinis forumas, kur tarptautiniu mastu susitinka šviežių minčių ir veiksmų švietimo taryba. Sukūrę dienoraštis, Jūs ne tik pagerinsite savo, kaip kompetentingo mokytojo, statusą, bet ir svariai prisidėsite prie ateities mokyklos kūrimo. Švietimo lyderių gildija atveria duris aukščiausio rango specialistams ir kviečia juos bendradarbiauti kuriant geriausias pasaulio mokyklas.

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas lygiagretainis ABCD. Jos kraštinė AB lygiagreti kraštinei CD ir kraštinė BC lygiagreti kraštinei AD.

Kaip jau spėjote, lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis. Panagrinėkime pagrindines lygiagretainio savybes.

Lygiagretainio savybės

1. Lygiagrečiame priešingi kampai ir priešingos kraštinės yra lygūs. Įrodykime šią savybę – apsvarstykite lygiagretainį, pateiktą sekančiame paveikslėlyje.

Įstrižainė BD padalija ją į du vienodus trikampius: ABD ir CBD. Jie yra lygūs išilgai kraštinės BD ir dviejų šalia jos esančių kampų, nes kampai yra kryžminiai lygiagrečių tiesių BC ir AD bei AB ir CD skersinėje BD. Todėl AB = CD ir
BC = po Kr. O iš 1, 2, 3 ir 4 kampų lygybės išplaukia, kad kampas A = kampas1 + kampas3 = kampas2 + kampas4 = kampas C.

2. Lygiagretainio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško. Tegul taškas O yra lygiagretainio ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas.

Tada trikampis AOB ir trikampis COD yra lygūs vienas kitam, išilgai šono ir dviejų gretimų kampų. (AB = CD, nes tai yra priešingos lygiagretainio kraštinės. O kampas1 = kampas2 ir kampas3 = kampas4 yra tarsi skersiniai kampai, kai tiesės AB ir CD susikerta atitinkamai su sekantais AC ir BD.) Iš to išplaukia, kad AO = OC ir OB = OD, kurį ir reikėjo įrodyti.

Visos pagrindinės savybės parodytos trijuose paveikslėliuose.

Tai keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

1 nuosavybė. Bet kuri lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius.

Įrodymas . Pagal II charakteristiką (skersiniai kampai ir bendroji pusė).

Teorema įrodyta.

2 nuosavybė. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.

Įrodymas .
Lygiai taip pat

Teorema įrodyta.

Savybė 3. Lygiagrečiame įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

4 nuosavybė. Lygiagretainio kampo bisektorius, kertantis priešingą kraštinę, padalija jį į lygiašonį trikampį ir trapeciją. (Ch. žodžiai - viršūnė - du lygiašoniai? -ka).

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

5 nuosavybė. Lygiagretainiame tiesės atkarpa, kurios galai yra priešingose ​​pusėse, einantys per įstrižainių susikirtimo tašką, šiuo tašku padalijama pusiau.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

6 nuosavybė. Kampas tarp aukščių, nukritusių iš lygiagretainio bukojo kampo viršūnės, yra lygus lygiagretainio smailiajam kampui.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

7 nuosavybė. Greta vienos kraštinės lygiagretainio kampų suma yra 180°.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

Kampo bisektoriaus konstravimas. Trikampio kampo pusiausvyros savybės.

1) Sukonstruoti savavališką spindulį DE.

2) Duotame spindulyje sukonstruokite savavališką apskritimą, kurio centras yra viršūnėje ir tas pats
kurių centras yra pastatyto spindulio pradžioje.

3) F ir G - apskritimo susikirtimo taškai su tam tikro kampo kraštinėmis, H - apskritimo ir sudaryto spindulio susikirtimo taškai

Sukurkite apskritimą, kurio centras yra taške H, o spindulys lygus FG.

5) I yra sukonstruotos sijos apskritimų susikirtimo taškas.

6) Nubrėžkite tiesią liniją per viršūnę ir I.

IDH yra reikalingas kampas.
)

1 nuosavybė. Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę proporcingai gretimoms kraštinėms.

Įrodymas . Tegu x, y yra kraštinės c atkarpos. Tęskime spindulį BC. Ant spindulio BC iš C nubraižome atkarpą CK, lygią AC.