Kokia yra azartinių lošimų eksperto ir teoretiko e vertė Jokūbas Bernullis, apsvarstydamas, kiek uždirba skolintojai?

Visi žino geometrinę skaičiaus reikšmę π yra apskritimo, kurio skersmuo vienetas, ilgis:

Bet čia yra kitos svarbios konstantos prasmė, e, linkę greitai pamiršti. Tai yra, aš nežinau, kaip jūs, bet kiekvieną kartą man kainuoja pastangos prisiminti, kodėl šis skaičius, lygus 2,7182818284590, yra toks nuostabus... (Aš vis dėlto užsirašiau reikšmę iš atminties). Taigi nusprendžiau parašyti raštelį, kad daugiau niekas neišskristų iš atminties.

Skaičius e pagal apibrėžimą – funkcijos riba y = (1 + 1 / x) x adresu x → ∞:

Šis apibrėžimas, deja, nėra aiškus. Neaišku, kodėl ši riba yra nepaprasta (nepaisant to, kad ji vadinama „antruoju reikšmingu“). Tik pagalvokite, jie ėmėsi kažkokios nerangios funkcijos ir apskaičiavo ribą. Skirtinga funkcija turės skirtingą.

Bet skaičius e Kažkodėl tai iškyla daugybėje skirtingų matematikos situacijų.

Man pagrindinė skaičiaus reikšmė e atsiskleidžia kitos, daug įdomesnės funkcijos elgesyje, y = k x. Ši funkcija turi unikalią savybę, kai k = e, kurį galima grafiškai parodyti taip:

Taške 0 funkcija įgauna reikšmę e 0 = 1. Jei taške nubrėžiate liestinę x= 0, tada jis pereis į x ašį kampu, kurio liestinė 1 (col geltonas trikampis priešingos pusės 1 ir gretimos kraštinės 1 santykis yra 1). 1 taške funkcija įgauna reikšmę e 1 = e. Jei taške nubrėžiate liestinę x= 1, tada jis praeis kampu su liestine e(V žalias trikampis priešingos pusės santykis e gretimam 1 yra lygus e). 2 taške vertė e 2 funkcijos vėl sutampa su jos liestinės polinkio kampo liestine. Dėl to tuo pačiu metu pačios liestinės kerta x ašį tiksliai taškuose −1, 0, 1, 2 ir kt.

Tarp visų funkcijų y = k x(pavyzdžiui, 2 x , 10 x , π x ir tt), funkcija e x- vienintelis toks grožis, kad jo polinkio kampo liestinė kiekviename jo taške sutampa su pačios funkcijos verte. Tai pagal apibrėžimą reiškia, kad šios funkcijos vertė kiekviename taške sutampa su jos išvestinės vertės šiame taške: ( e x)´ = e x. Kažkodėl skaičius e= 2.7182818284590... turi būti padidintas iki skirtingų galių, kad gautumėte tokį vaizdą.

Tai, mano nuomone, yra jo prasmė.

Skaičiai π Ir e yra įtrauktos į mano mėgstamiausią formulę – Eulerio formulę, kuri sujungia 5 svarbiausias konstantas – nulį, vieną, įsivaizduojamą vienetą i ir, tiesą sakant, skaičiai π Ir e:

e iπ + 1 = 0

Kodėl skaičius 2,7182818284590... yra kompleksiniame laipsnyje 3,1415926535... i staiga lygus minus vienam? Atsakymas į šį klausimą nepatenka į šios pastabos taikymo sritį ir gali būti trumpos knygos turinys, kuriam prireiktų šiek tiek pagrindinių trigonometrijos, ribų ir serijų supratimo.

Mane visada stebino šios formulės grožis. Galbūt matematikoje yra ir daugiau nuostabių faktų, bet mano lygiui (C fizikos ir matematikos licėjuje ir A kompleksinėje analizėje universitete) tai yra svarbiausias stebuklas.

Rodiklis žymimas kaip , arba .

Skaičius e

Rodiklio laipsnio pagrindas yra numeris e. Tai neracionalus skaičius. Jis yra maždaug lygus
e ≈ 2,718281828459045...

Skaičius e nustatomas per sekos ribą. Tai yra vadinamasis antra nuostabi riba:
.

Skaičius e taip pat gali būti pavaizduotas kaip serija:
.

Eksponentinis grafikas

Eksponentinis grafikas, y = e x .

Grafike rodomas eksponentas e iki laipsnio X.
y (x) = e x
Grafike matyti, kad eksponentas didėja monotoniškai.

Formulės

Pagrindinės formulės yra tokios pat kaip ir eksponentinės funkcijos, kurios pagrindas yra e.

;
;
;

Eksponentinės funkcijos su savavališka laipsnio a baze išraiška per eksponentinį:
.

Privačios vertybės

Leiskite y (x) = e x.
.

Tada

Eksponento savybės e > 1 .

Rodiklis turi eksponentinės funkcijos su galios baze savybes

Domenas, vertybių rinkinys (x) = e x Rodiklis y
apibrėžta visiems x.
- ∞ < x + ∞ .
Jo apibrėžimo sritis:
0 < y < + ∞ .

Jo daug reikšmių:

Kraštutinumai, didėja, mažėja

Eksponentinis yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės jo savybės pateiktos lentelėje.

Atvirkštinė funkcija
;
.

Rodiklio atvirkštinė vertė yra natūralusis logaritmas.

Rodiklio išvestinė e iki laipsnio X Darinys e iki laipsnio X :
.
lygus
.
N-osios eilės vedinys:

Išvedimo formulės >>>

Integralinis

Sudėtingi skaičiai Operacijos su kompleksiniais skaičiais atliekamos naudojant:
,
Eilerio formulės
.

kur yra įsivaizduojamas vienetas:

; ;
.

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

; ;
;
.

Išraiškos naudojant trigonometrines funkcijas

Galios serijos išplėtimas
Naudota literatūra:

I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m. Įprastas skaitmenų poslinkis skaičiuje. Kada 4.47 · Rašoma 10^8, o tai reiškia, kad slankusis kablelis perkeliamas 8 bitais į priekį – šiuo atveju Tai bus numeris. E-reikšmes galima naudoti programuojant ir e negali būti parašytas pats, bet E galima (bet ne visur ir ne visada, tai bus pažymėta žemiau), nes priešpaskutinįjį galima supainioti su Eulerio skaičiumi. Jei reikia parašyti didžiulį skaičių sutrumpintai, galima naudoti 4,47 × E8 stilių (alternatyvus variantas gamyboje ir mažu šriftu yra 4,47 × E8), kad skaičius būtų skaitomas neperkrautas, o skaitmenys būtų nurodomi atskirai (tarpai negali būti naudojami būti tarp aritmetinių ženklų – kitu atveju tai yra matematinė sąlyga, o ne skaičius).

3.52E3 tinka rašyti be indeksų, tačiau nuskaityti bitų poslinkį bus sunkiau. 3,52 · 10^8 yra sąlyga, nes reikalauja indekso ir trūksta mantisos (pastaroji egzistuoja tik operatoriui, o tai yra išplėstinis daugiklis). "· 10" yra standartinio (pagrindinio) operatyvinio daugybos procesas, skaičius po ^ yra skaitmenų poslinkio rodiklis, todėl jo nereikia mažinti, jei reikia rašyti dokumentus tokia forma (atsižvelgiant į viršutinio indekso padėtį ), kai kuriais atvejais patartina naudoti skalę 100–120%, o ne standartinę 58%. Naudojant mažą mastelį pagrindiniams sąlygos elementams, sumažėja skaitmeninės informacijos vaizdinė kokybė - turėsite atidžiai žiūrėti (galbūt ir nebūtina, tačiau faktas išlieka - nereikia „slėpti“ sąlygų mažu šriftu, netgi galite jį „palaidoti“ - atskirų sąlygos elementų masto mažinimas yra nepriimtinas, ypač kompiuteryje), kad pastebėtumėte „staigmeną“, o tai labai kenkia net popieriniam ištekliui.

Jeigu daugybos procese atliekamos specialios operacijos, tai tokiais atvejais tarpų naudojimas gali būti perteklinis, nes Be skaičių dauginimo, daugiklis gali būti didelių ir mažų skaičių, cheminių elementų ir kt. ir t. t., kurių negalima parašyti kaip įprastų skaičių dešimtainę trupmeną arba negali būti parašytas kaip galutinis rezultatas. Tai gali būti netaikoma įrašui su "· 10^y", nes bet kuri išraiškos reikšmė veikia kaip daugiklis, o „^y“ yra laipsnis, nurodytas viršutiniame indekse, t.y. yra skaitinė sąlyga. Tačiau pašalinti tarpus aplink daugiklį ir parašyti kitaip būtų klaida, nes trūksta operatoriaus. Pats įrašas „· 10“ yra daugiklio + skaičius, o ne pirmasis + antrasis operatorius. Tai yra pagrindinė priežastis, kodėl tai neįmanoma naudojant 10. Jei po skaitinio operatoriaus nėra specialių reikšmių, t.y. ne skaitinis, o sisteminis, tada ši įrašymo parinktis negali būti pateisinama - jei yra sisteminė reikšmė, tada tokia reikšmė turi tikti tam tikroms užduotims su skaitiniu ar praktiniu skaičių sumažinimu (tam tikriems veiksmams, pvz., 1.35f8, kur f yra lygtis, sukurta praktiniams specialioms problemoms spręsti, kuri išveda realius skaičius kaip konkrečių praktinių eksperimentų rezultatą, 8 - reikšmė, kuri pakeičiama kaip kintamasis operatoriui f ir sutampa su skaičiais, kai sąlygos paeiliui keičiamos Patogiausias būdas, jei ši užduotis yra labai svarbi, tada tokias duomenų reikšmes galima naudoti su ženklu be tarpų). Trumpai tariant, atliekant panašias aritmetines operacijas, bet skirtingais tikslais, tai taip pat gali būti daroma su pliusais, minusais ir dalikliais, jei tai būtina norint sukurti naujus arba supaprastinti esamus duomenų rašymo būdus, išlaikant tikslumą praktikoje ir gali būti taikoma skaitinė sąlyga. tam tikriems aritmetiniams tikslams.

Apatinė eilutė: rekomenduojama rašyti oficialiai patvirtintą eksponentinio žymėjimo formą su tarpu ir viršutinio indekso šrifto skale 58% ir 33% poslinkiu (jei kitos šalys leidžia keisti mastelį ir poslinkį 100 lygiu - 120%, tada galite nustatyti 100% - tai yra optimaliausios įrašymo parinkties viršutinės indekso reikšmės, optimalus poslinkis yra ≈ 50%). Kompiuteryje galite naudoti 3.74e+2, 4.58E-1, 6.73 E-5, E-11, jei palaikomi paskutiniai du formatai, forumuose dėl žinomų priežasčių geriau atsisakyti el. santrumpos, o stilius 3 , 65 E-5 arba 5.67E4 gali būti visiškai suprantama, vienintelės išimtys gali būti oficialiuose viešuosiuose segmentuose- ten tik su "10^x“, ir vietoj ^x - naudojamas tik viršutinis indeksas.

Trumpai tariant, E yra labai trumpas dešimtainio antilogaritmo trumpinys, dažnai žymimas antilog arba antig. Pavyzdžiui, 7.947antilg-4 būtų toks pat kaip 7.947E-4. Praktiškai tai daug praktiškiau ir patogiau, nei dar kartą traukti „dešimtuką“ su laipsnio viršutiniu indeksu. Tai gali būti vadinama „eksponentine“ logaritmine skaičiaus forma kaip alternatyva mažiau patogiai „eksponentinei“ klasikinei. Tik vietoj „antilg“ naudojamas „E“ arba antrasis skaičius iš karto eina su tarpeliu (jei skaičius teigiamas) arba be jo (dešimties segmentų moksliniuose skaičiuokliuose, pvz., „Citizen CT-207T“).

Geologijos ir mineralogijos mokslų daktaras, fizinių ir matematikos mokslų kandidatas B. GOROBETS.

Funkcijų grafikai y = arcsin x, atvirkštinė funkcija y = sin x

Funkcijos y = arctan x grafikas, funkcijos y = tan x atvirkštinė.

Normalaus skirstinio funkcija (Gauso skirstinys). Jo grafiko maksimumas atitinka labiausiai tikėtiną atsitiktinio dydžio reikšmę (pavyzdžiui, liniuote išmatuotą objekto ilgį), o kreivės „išplitimo“ laipsnis priklauso nuo parametrų a ir sigma.

Senovės Babilono žyniai apskaičiavo, kad saulės diskas danguje telpa 180 kartų nuo aušros iki saulėlydžio ir įvedė naują matavimo vienetą – laipsnį, lygų jo kampiniam dydžiui.

Gamtinių darinių – smėlio kopų, kalvų ir kalnų – dydis su kiekvienu žingsniu padidėja vidutiniškai 3,14 karto.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Švytuoklė, siūbuojanti be trinties ir pasipriešinimo, išlaiko pastovią svyravimų amplitudę. Atsparumo atsiradimas lemia eksponentinį virpesių susilpnėjimą.

Labai klampioje terpėje nukreipta švytuoklė eksponentiškai juda link savo pusiausvyros padėties.

Kankorėžių žvynai ir daugelio moliuskų kriauklių garbanos išsidėstę logaritminėmis spiralėmis.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Logaritminė spiralė kerta visus spindulius, sklindančius iš taško O tais pačiais kampais.

Tikriausiai bet kuris pretendentas ar studentas, paklaustas, kas yra skaičiai ir e, atsakys: - tai skaičius, lygus apskritimo ir jo skersmens santykiui, o e yra natūraliųjų logaritmų pagrindas. Jei bus paprašyta griežčiau apibrėžti šiuos skaičius ir juos apskaičiuoti, studentai pateiks formules:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…

(atminkite, kad faktorialas n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Niutono serija yra paskutinė, yra ir kitų serialų).

Visa tai tiesa, tačiau, kaip žinote, skaičiai ir e yra įtraukti į daugybę matematikos, fizikos, chemijos, biologijos, taip pat ekonomikos formulių. Tai reiškia, kad jie atspindi kai kuriuos bendruosius gamtos dėsnius. Kokius tiksliai? Šių skaičių apibrėžimai serijomis, nepaisant jų teisingumo ir griežtumo, vis tiek palieka nepasitenkinimo jausmą. Jie yra abstraktūs ir per kasdienę patirtį neperteikia aptariamų skaičių ryšio su išoriniu pasauliu. Mokomojoje literatūroje atsakymų į užduotą klausimą rasti nepavyksta.

Tuo tarpu galima teigti, kad konstanta e yra tiesiogiai susijusi su erdvės ir laiko homogeniškumu bei erdvės izotropija. Taigi jie atspindi tvermės dėsnius: skaičius e – energija ir impulsas (momentum), o skaičius – sukimo momentas (momentas). Dažniausiai tokie netikėti teiginiai sukelia nuostabą, nors iš esmės teorinės fizikos požiūriu juose nėra nieko naujo. Šių pasaulio konstantų gilioji prasmė išlieka terra incognita moksleiviams, studentams ir, matyt, net daugumai matematikos ir bendrosios fizikos mokytojų, jau nekalbant apie kitas gamtos mokslų ir ekonomikos sritis.

Pirmaisiais universiteto metais studentus gali gluminti, pavyzdžiui, klausimas: kodėl arktangentas atsiranda integruojant 1/(x 2 +1 tipo) funkcijas, o apskrito trigonometrines arsininio tipo funkcijas, išreiškiančias dydį apskritimo lanko? Kitaip tariant, iš kur integracijos metu „ateina“ apskritimai ir kur jie išnyksta atvirkštinio veiksmo metu – atskiriant arctangentą ir arcsinusą? Mažai tikėtina, kad atitinkamų diferenciacijos ir integravimo formulių išvedimas atsakys į savaime iškeltą klausimą.

Toliau antrame universiteto kurse studijuojant tikimybių teoriją skaičius atsiranda atsitiktinių dydžių normaliojo skirstinio dėsnio formulėje (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 2, 1995); iš jo galite, pavyzdžiui, apskaičiuoti tikimybę, su kokia moneta nukris ant herbo bet kokį skaičių kartų, tarkime, 100 metimų. Kur čia ratai? Ar monetos forma tikrai svarbi? Ne, tikimybės formulė yra tokia pati kvadratinei monetai. Tiesą sakant, tai nėra lengvi klausimai.

Tačiau skaičiaus e pobūdis naudingas chemijos ir medžiagų mokslo studentams, biologams ir ekonomistams giliau pažinti. Tai padės suprasti radioaktyviųjų elementų skilimo kinetiką, tirpalų prisotinimą, medžiagų susidėvėjimą ir sunaikinimą, mikrobų dauginimąsi, signalų poveikį pojūčiams, kapitalo kaupimo procesus ir kt. – begalinis reiškinių skaičius pasaulyje. gyvoji ir negyvoji gamta bei žmogaus veikla.

Erdvės skaičius ir sferinė simetrija

Pirmiausia suformuluojame pirmąją pagrindinę tezę, o tada paaiškiname jos prasmę ir pasekmes.

1. Skaičius atspindi mūsų Visatos tuščios erdvės savybių izotropiją, jų vienodumą bet kuria kryptimi. Sukimo momento išsaugojimo dėsnis yra susijęs su erdvės izotropija.

Tai veda prie gerai žinomų pasekmių, kurios tiriamos vidurinėje mokykloje.

1 išvada. Apskritimo lanko, išilgai kurio telpa jo spindulys, ilgis yra natūralus lankas ir kampinis vienetas radianas.

Šis įrenginys yra be matmenų. Norėdami rasti radianų skaičių apskritimo lanke, turite išmatuoti jo ilgį ir padalyti iš šio apskritimo spindulio ilgio. Kaip žinome, išilgai viso apskritimo jo spindulys yra maždaug 6,28 karto. Tiksliau, viso apskritimo lanko ilgis yra 2 radianai, o bet kokiose skaičių sistemose ir ilgio vienetuose. Kai buvo išrastas ratas, toks pat buvo ir tarp Amerikos indėnų, ir Azijos klajoklių, ir Afrikos juodaodžių. Tik lanko matavimo vienetai buvo skirtingi ir sutartiniai. Taigi mūsų kampinius ir lanko laipsnius įvedė Babilono žyniai, manę, kad beveik zenite esantis Saulės diskas danguje nuo aušros iki saulėlydžio telpa 180 kartų. 1 laipsnis yra 0,0175 rad arba 1 rad yra 57,3°. Galima teigti, kad hipotetinės ateivių civilizacijos nesunkiai suprastų viena kitą, keisdamosi žinute, kurioje ratas padalintas į šešias dalis „su uodega“; tai reikštų, kad „derybų partneris“ jau bent jau įveikė dviračio išradimo etapą ir žino, koks yra skaičius.

2 išvada. Trigonometrinių funkcijų paskirtis – išreikšti ryšį tarp objektų lanko ir linijinių matmenų, taip pat tarp sferiškai simetriškoje erdvėje vykstančių procesų erdvinių parametrų.

Iš to, kas pasakyta, aišku, kad trigonometrinių funkcijų argumentai iš esmės yra bedimensiniai, kaip ir kitų funkcijų tipų, t.y. tai tikrieji skaičiai – skaičių ašies taškai, kuriems nereikia laipsnio žymėjimo.

Patirtis rodo, kad moksleiviams, kolegijų ir universitetų studentams sunku priprasti prie bedimensinių argumentų už sinusą, tangentą ir tt Ne kiekvienas pretendentas be skaičiuotuvo galės atsakyti į klausimą, koks cos1 (apie 0,5) arba arctg / 3. Paskutinis pavyzdys ypač glumina. Dažnai sakoma, kad tai nesąmonė: „lankas, kurio arctangentas yra 60 o“. Jei tai pasakysime tiksliai, klaida bus neteisėtai taikant laipsnio matą funkcijos argumentui. Ir teisingas atsakymas yra: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Deja, gana dažnai stojantieji ir studentai sako, kad = 180 0, o po to jie turi juos taisyti: dešimtainėje skaičių sistemoje = 3,14…. Bet, žinoma, galime pasakyti, kad radianas yra lygus 180 0.

Panagrinėkime kitą netrivialią situaciją, su kuria susiduriama tikimybių teorijoje. Tai susiję su svarbia atsitiktinės paklaidos tikimybės formule (arba normaliu tikimybių pasiskirstymo dėsniu), kuri apima skaičių. Naudodami šią formulę galite, pavyzdžiui, apskaičiuoti tikimybę, kad moneta nukris ant herbo 50 kartų su 100 metimų. Taigi, iš kur atsirado jame esantis skaičius? Juk ten, atrodo, nesimato nei apskritimai, nei apskritimai. Tačiau esmė ta, kad moneta atsitiktinai krinta į sferiškai simetrišką erdvę, kurios visomis kryptimis reikia vienodai atsižvelgti į atsitiktinius svyravimus. Matematikai tai daro integruodami aplink apskritimą ir apskaičiuodami vadinamąjį Puasono integralą, kuris yra lygus nurodytai tikimybių formulei ir įtraukiamas į ją. Aiškus tokių svyravimų pavyzdys – šaudymo į taikinį pastoviomis sąlygomis pavyzdys. Skylės ant taikinio yra išsibarsčiusios apskritime (!), kurio tankis didžiausias netoli taikinio centro, o smūgio tikimybę galima apskaičiuoti naudojant tą pačią formulę, kurioje yra skaičius .

Ar skaičius „įtraukiamas“ į natūralias struktūras?

Pabandykime suprasti reiškinius, kurių priežastys toli gražu nėra aiškios, bet kurių, ko gero, taip pat nebuvo be galo daug.

Vidutinis geografas V. V. Piotrovskis palygino vidutinius būdingus natūralių reljefų dydžius šiose serijose: smėlis ant seklumos, kopos, kalvos, Kaukazo kalnų sistemos, Himalajai ir kt. Paaiškėjo, kad vidutinis dydžio padidėjimas yra 3,14. Panašu, kad panašus modelis neseniai buvo aptiktas Mėnulio ir Marso topografijoje. Piotrovskis rašo: „Tektoninės struktūrinės formos, susidarančios žemės plutoje ir jos paviršiuje išreikštos reljefo formomis, išsivysto dėl kai kurių bendrų procesų, vykstančių Žemės kūne, jos yra proporcingos Žemės dydžiui . Paaiškinkime - jie yra proporcingi jo linijinių ir lanko matmenų santykiui.

Šių reiškinių pagrindas gali būti vadinamasis atsitiktinių eilučių maksimumų pasiskirstymo dėsnis arba „trejų dėsnis“, kurį dar 1927 m. suformulavo E. E. Slutsky.

Statistiškai pagal trijų dėsnį susidaro jūros pakrantės bangos, kurias žinojo senovės graikai. Kas trečia banga yra vidutiniškai šiek tiek aukštesnė už kaimynines.

Ir šių trečiųjų maksimumų serijoje kas trečias, savo ruožtu, yra aukštesnis už savo kaimynus.

Taip formuojasi garsioji devintoji banga. Jis yra „antrojo rango laikotarpio“ viršūnė. Kai kurie mokslininkai teigia, kad pagal trynukų dėsnį taip pat vyksta saulės, kometų ir meteoritų veiklos svyravimai. Intervalai tarp jų maksimumų yra nuo devynerių iki dvylikos metų arba maždaug 3 2 . Biologijos mokslų daktaro G. Rosenbergo teigimu, toliau konstruoti laiko sekas galime taip. Trečios eilės 3 3 laikotarpis atitinka intervalą tarp didelių sausrų, kuris vidutiniškai yra 27-36 metai; laikotarpis 3 4 - pasaulietinio saulės aktyvumo ciklas (81-108 metai); laikotarpis 3 5 - apledėjimo ciklai (243-324 metai). Sutapimai taps dar geresni, jei nukrypsime nuo „grynųjų“ trynukų dėsnio ir pereisime prie skaičiaus laipsnių. Beje, juos labai lengva apskaičiuoti, nes 2 yra beveik lygus 10 (kažkada Indijoje skaičius netgi buvo apibrėžtas kaip 10 šaknis). Galima ir toliau derinti geologinių epochų, laikotarpių ir epochų ciklus iki ištisų trijų galių (ką konkrečiai daro G. Rosenbergas rinkinyje „Eureka-88“, 1988) arba skaičiais 3.14. Ir jūs visada galite priimti norus su skirtingu tikslumu. (Kalbant apie koregavimus, į galvą ateina matematinis pokštas. Įrodykime, kad nelyginiai skaičiai yra pirminiai skaičiai. Imame: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ir tt, o 9 čia yra eksperimentinis klaida.) Ir vis dėlto mintis apie neabejotiną skaičiaus p vaidmenį daugelyje geologinių ir biologinių reiškinių, atrodo, nėra visiškai tuščia ir galbūt ji pasireikš ateityje.

Visi žino, kad nenutrūkstamą bangą laike galima apibūdinti sinuso banga arba sinuso ir kosinuso bangų suma. Matematikoje, fizikoje ir elektrotechnikoje tokia banga (kurios amplitudė lygi 1) apibūdinama eksponentine funkcija e iβt =cos βt + isin βt, kur β – harmoninių virpesių dažnis. Čia parašyta viena žinomiausių matematinių formulių – Eulerio formulė. Būtent didžiojo Leonhardo Eulerio (1707–1783) garbei skaičius e buvo pavadintas pagal pirmąją jo pavardės raidę.

Ši formulė yra gerai žinoma studentams, tačiau ją reikia paaiškinti ne matematikos mokyklų studentams, nes sudėtingi skaičiai mūsų laikais yra išbraukti iš įprastų mokyklų programų. Kompleksinis skaičius z = x+iy susideda iš dviejų narių – tikrojo skaičiaus (x) ir įsivaizduojamojo skaičiaus, kuris yra realusis skaičius y, padaugintas iš įsivaizduojamojo vieneto. Tikrieji skaičiai skaičiuojami išilgai tikrosios ašies O x, o įsivaizduojami skaičiai toje pačioje skalėje pagal įsivaizduojamą ašį O y, kurios vienetas yra i, o šio vieneto atkarpos ilgis yra modulis | aš | =1. Todėl kompleksinis skaičius atitinka tašką plokštumoje su koordinatėmis (x, y). Taigi neįprasta skaičiaus e forma su eksponentu, turinčiu tik įsivaizduojamus vienetus i, reiškia tik neslopintų virpesių buvimą, aprašytą kosinusu ir sinusu.

Akivaizdu, kad neslopinama banga rodo, kad yra laikomasi energijos tvermės dėsnio elektromagnetinei bangai vakuume. Ši situacija atsiranda „elastingos“ bangos sąveikos su terpe metu neprarandant jos energijos. Formaliai tai gali būti išreikšta taip: jei perkelsite atskaitos tašką išilgai laiko ašies, bangos energija bus išsaugota, nes harmoninė banga išlaikys tą pačią amplitudę ir dažnį, tai yra energijos vienetus ir tik jos fazė, laikotarpio dalis, nutolusi nuo naujojo atskaitos taško, pasikeis. Tačiau fazė neturi įtakos energijai būtent dėl ​​laiko vienodo, kai atskaitos taškas pasislenka. Taigi lygiagretus koordinačių sistemos perkėlimas (tai vadinamas vertimu) yra teisėtas dėl laiko t homogeniškumo. Dabar tikriausiai iš principo aišku, kodėl homogeniškumas laike lemia energijos tvermės dėsnį.

Toliau įsivaizduokime bangą ne laike, o erdvėje. Geras to pavyzdys – stovi banga (keliuose mazguose nejudančios stygos virpesiai) arba pakrantės smėlio bangavimas. Matematiškai ši banga išilgai O x ašies bus parašyta kaip e ix = cos x + isin x. Akivaizdu, kad šiuo atveju vertimas išilgai x nepakeis nei kosinuso, nei sinusoido, jei erdvė išilgai šios ašies yra vienalytė. Vėl pasikeis tik jų fazė. Iš teorinės fizikos žinoma, kad erdvės homogeniškumas lemia impulso (impulso), tai yra masės, padaugintos iš greičio, išsaugojimo dėsnį. Tegul erdvė dabar yra vienalytė laike (ir tenkinamas energijos tvermės dėsnis), bet nehomogeniška koordinatėje. Tada skirtinguose nehomogeninės erdvės taškuose greitis taip pat būtų skirtingas, nes vienalyčio laiko vienetui būtų skirtingos atkarpų, kurias per sekundę dengia tam tikros masės dalelė (arba banga su tam tikra masė), ilgio vertės. impulsą).

Taigi, galime suformuluoti antrąją pagrindinę tezę:

2. Skaičius e kaip kompleksinio kintamojo funkcijos pagrindas atspindi du pagrindinius tvermės dėsnius: energija – per laiko homogeniškumą, impulsas – per erdvės vienalytiškumą.

Ir vis dėlto, kodėl būtent skaičius e, o ne koks nors kitas, buvo įtrauktas į Eulerio formulę ir pasirodė esąs banginės funkcijos pagrindas? Pasiliekant mokykliniuose matematikos ir fizikos kursuose, atsakyti į šį klausimą nėra lengva. Autorius šią problemą aptarė su teoretiku, fizinių ir matematikos mokslų daktaru V.D., ir mes bandėme paaiškinti situaciją taip.

Svarbiausia procesų klasė – tiesiniai ir tiesiniai procesai – išlaiko savo tiesiškumą būtent dėl ​​erdvės ir laiko homogeniškumo. Matematiškai tiesinis procesas apibūdinamas funkcija, kuri tarnauja kaip diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas (šio tipo lygtys tiriamos pirmame ir antrame universitetų ir kolegijų kurse). Ir jo esmė yra aukščiau pateikta Eulerio formulė. Taigi sprendime yra sudėtinga funkcija su baze e, kaip ir bangos lygtis. Be to, tai yra e, o ne kitas skaičius laipsnio bazėje! Nes tik funkcija ex nesikeičia bet kokiam diferenciacijų ir integracijų skaičiui. Ir todėl, pakeitus pradinę lygtį, tik sprendinys su baze e suteiks tapatybę, kaip turėtų teisingas sprendimas.

Dabar užrašykime diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais, apibūdinančios harmoninės bangos sklidimą terpėje, sprendimą, atsižvelgdami į neelastingą sąveiką su ja, lemiančią energijos išsklaidymą arba energijos gavimą iš išorinių šaltinių:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Matome, kad Eilerio formulė padauginta iš tikrojo kintamojo e αt, tai yra bangos amplitudė, kintanti laikui bėgant. Aukščiau, dėl paprastumo, manėme, kad jis yra pastovus ir lygus 1. Tai galima padaryti neslopintų harmoninių virpesių atveju, kai α = 0. Bendruoju bet kurios bangos atveju amplitudės elgsena priklauso nuo ženklo koeficiento a su kintamuoju t (laikas): jei α > 0, virpesių amplitudė didėja, jei α< 0, затухает по экспоненте.

Galbūt paskutinė pastraipa yra sunki daugelio įprastų mokyklų absolventams. Tačiau tai turėtų būti suprantama universitetų ir kolegijų studentams, kurie kruopščiai studijuoja diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais.

Dabar nustatykime β = 0, tai yra, sprendime, kuriame yra Eulerio formulė, sunaikinsime virpesių koeficientą su skaičiumi i. Iš buvusių svyravimų liks tik ta „amplitudė“, kuri eksponentiškai mažėja (arba auga).

Norėdami iliustruoti abu atvejus, įsivaizduokite švytuoklę. Tuščioje erdvėje jis svyruoja neslopindamas. Erdvėje, kurioje yra varžinė terpė, svyravimai vyksta su eksponentiniu amplitudės mažėjimu. Jei nukreipiate ne per masyvią švytuoklę pakankamai klampioje terpėje, ji sklandžiai judės link pusiausvyros padėties, vis labiau sulėtindama.

Taigi iš 2 tezės galime padaryti tokią išvadą:

1 išvada. Nesant įsivaizduojamos, grynai vibracinės funkcijos f(t) dalies, kai β = 0 (ty nuliniu dažniu), tikroji eksponentinės funkcijos dalis apibūdina daugelį natūralių procesų, kurie vyksta pagal pagrindinį principą. : vertės padidėjimas proporcingas pačiai vertei .

Suformuluotas principas matematiškai atrodo taip: ∆I ~ I∆t, kur, tarkime, I yra signalas, o ∆t yra mažas laiko intervalas, per kurį signalas ∆I didėja. Abi lygybės puses padaliję iš I ir integruodami, gauname lnI ~ kt. Arba: I ~ e kt - signalo eksponentinio didėjimo arba mažėjimo dėsnis (priklausomai nuo k ženklo). Taigi, vertės padidėjimo proporcingumo pačiai vertei dėsnis veda į natūralų logaritmą, taigi ir į skaičių e (ir čia tai rodoma tokia forma, kuri prieinama aukštųjų mokyklų studentams, žinantiems integracijos elementus.)

Daugelis procesų vyksta eksponentiškai su pagrįstu argumentu, be jokių dvejonių, fizikoje, chemijoje, biologijoje, ekologijoje, ekonomikoje ir kt. Ypač atkreipiame dėmesį į universalų psichofizinį Weberio - Fechnerio dėsnį (dėl tam tikrų priežasčių ignoruojamas mokyklų ir universitetų švietimo programose) . Jame rašoma: „Pojūčio stiprumas yra proporcingas stimuliacijos stiprumo logaritmui“.

Regėjimui, klausai, uoslei, lytėjimui, skoniui, emocijoms ir atminčiai galioja šis dėsnis (natūralu, kol fiziologiniai procesai staiga nevirsta patologiniais, kai receptoriai yra modifikuoti ar sunaikinami). Pagal įstatymą: 1) nedidelis dirginimo signalo padidėjimas bet kuriuo intervalu atitinka linijinį jutimo stiprumo padidėjimą (su pliusu arba minusu); 2) silpnų dirginimo signalų srityje jutimo stiprumo padidėjimas yra daug staigesnis nei stiprių signalų srityje. Paimkime arbatą kaip pavyzdį: stiklinė arbatos su dviem gabalėliais cukraus suvokiama dvigubai saldesnė nei arbata su vienu gabalėliu cukraus; bet vargu ar arbata su 20 gabalėlių cukraus atrodys pastebimai saldesnė nei su 10 gabalėlių. Biologinių receptorių dinaminis diapazonas yra milžiniškas: akies gaunami signalai gali skirtis ~ 10 10, o ausies - ~ 10 12 kartų. Laukinė gamta prisitaikė prie tokių diapazonų. Jis apsisaugo, imdamas logaritmą (biologiniu apribojimu) gaunamų dirgiklių, kitaip receptoriai žūtų. Plačiai naudojama logaritminė (decibelinė) garso intensyvumo skalė remiasi Weber-Fechner dėsniu, pagal kurį veikia garso aparatūros garsumo valdikliai: jų poslinkis proporcingas suvokiamam garsui, bet ne garso intensyvumui! (Pojūtis proporcingas lg/ 0. Girdimumo slenkstis imamas p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Ties slenksčiu turime lg1 = 0. Garso stiprumo (slėgio) padidėjimas 10 kartų apytiksliai atitinka šnabždesio pojūtį, kuris logaritminėje skalėje yra 1 belliu didesnis už slenkstį. yra padidinimas 6 eilėmis arba 6 Bel.)

Tikriausiai toks principas yra optimaliai ekonomiškas daugelio organizmų vystymuisi. Tai galima aiškiai pastebėti formuojant logaritmines spirales moliuskų kiautuose, sėklų eiles saulėgrąžų krepšelyje ir žvynus spurguose. Atstumas nuo centro didėja pagal dėsnį r = ae kj. Kiekvieną akimirką augimo greitis yra tiesiškai proporcingas pačiam šiam atstumui (ką nesunku pastebėti, jei imtume parašytos funkcijos išvestinę). Besisukančių peilių ir pjaustytuvų profiliai pagaminti logaritmine spirale.

2 išvada. Tai, kad diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendime yra tik įsivaizduojama funkcijos dalis ties α = 0, β 0, apibūdina įvairius tiesinius ir tiesinius procesus, kuriuose vyksta neslopinami harmoniniai virpesiai.

Ši išvada sugrąžina mus prie modelio, jau aptarto aukščiau.

3 išvada.Įgyvendinant 2 išvadą, vienoje skaičių formulėje yra „uždarymas“ ir e per Eulerio istorinę formulę pradine forma e i = -1.

Tokia forma Euleris pirmą kartą paskelbė savo eksponentą su įsivaizduojamu eksponentu. Ją nesunku išreikšti per kosinusą ir sinusą kairėje pusėje. Tada šios formulės geometrinis modelis bus judėjimas apskritime, kurio greičio konstanta absoliučia verte, kuri yra dviejų harmoninių virpesių suma. Pagal fizikinę esmę formulė ir jos modelis atspindi visas tris pagrindines erdvėlaikio savybes – jų homogeniškumą ir izotropiją, taigi ir visus tris išsaugojimo dėsnius.

Išvada

Tezė apie tvermės dėsnių ryšį su laiko ir erdvės homogeniškumu neabejotinai teisinga klasikinės fizikos euklido erdvei ir bendrojoje reliatyvumo teorijoje (GR, kur laikas yra ketvirtoji koordinatė) pseudoeuklido Minkovskio erdvei. Tačiau bendrosios reliatyvumo teorijos rėmuose kyla natūralus klausimas: kokia padėtis didžiulių gravitacinių laukų regionuose, šalia singuliarumo, ypač prie juodųjų skylių? Fizikų nuomonės čia skiriasi: dauguma mano, kad šiose ekstremaliose sąlygose šie pagrindiniai principai išlieka tie patys. Tačiau yra ir kitų autoritetingų tyrinėtojų požiūrių. Abu dirba kurdami naują kvantinės gravitacijos teoriją.

Norėdami trumpai įsivaizduoti, kokios problemos čia iškyla, pacituokime fiziko teorinio akademiko A. A. Logunovo žodžius: „Tai (Minkovskio erdvė. - Auto.) atspindi visoms materijos formoms būdingas savybes. Taip užtikrinamas vieningų fizikinių charakteristikų egzistavimas – energija, impulsas, kampinis momentas, energijos tvermės dėsniai, impulsas. Tačiau Einšteinas tvirtino, kad tai įmanoma tik esant vienai sąlygai – nesant gravitacijos<...>. Iš šio Einšteino teiginio išplaukė, kad erdvėlaikis tampa ne pseudoeuklido, o daug sudėtingesnė geometrija – Riemanniška. Pastaroji nebėra vienalytė. Jis keičiasi nuo taško iki taško. Atsiranda erdvės kreivumo savybė. Jame išnyksta ir tiksli išsaugojimo dėsnių formuluotė, kokia buvo priimta klasikinėje fizikoje.<...>Griežtai kalbant, bendrojoje reliatyvumo teorijoje iš principo neįmanoma įvesti energijos tvermės dėsnių – jie negali būti suformuluoti“ (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 2, 3, 1987).

Pagrindinės mūsų pasaulio konstantos, apie kurių prigimtį kalbėjome, žinomos ne tik fizikai, bet ir lyrikai. Taigi neracionalus skaičius, lygus 3,14159265358979323846..., įkvėpė iškilų dvidešimtojo amžiaus lenkų poetę, 1996 m. Nobelio premijos laureatą Wisławą Szymborską sukurti poemą „Pi“ su citata, kuria baigsime šias pastabas:

Susižavėjimo vertas skaičius:
Trys kableliai vienas keturi vienas.
Kiekvienas skaičius suteikia jausmą
pradžia - penki devyni du,
nes niekada nepasieksi pabaigos.
Negalite iš pirmo žvilgsnio suvokti visų skaičių -
šeši penki trys penki.
Aritmetiniai veiksmai -
aštuoni devyni -
nebeužtenka ir sunku patikėti -
septyni devyni -
kad tu negali išsisukti - trys du trys
aštuoni -
nei neegzistuojančios lygties,
ne juokingas palyginimas -
tu negali jų suskaičiuoti.
Eikime toliau: keturi šeši...
(Vertimas iš lenkų kalbos – B. G.)

e- matematinė konstanta, natūralaus logaritmo pagrindas, neracionalus ir transcendentinis skaičius. e= 2,718281828459045… Kartais skaičius e paskambino Eulerio numeris arba ne plunksnų numeris. Atlieka svarbų vaidmenį diferencialiniame ir integraliniame skaičiavime.

Nustatymo metodai

Skaičius e gali būti apibrėžtas keliais būdais.

Savybės

Istorija

Šis numeris kartais vadinamas neplunksnuotasškotų mokslininko Johno Napier, kūrinio „Nuostabiosios logaritmų lentelės aprašymas“ (1614 m.) autoriaus garbei. Tačiau šis pavadinimas nėra visiškai teisingas, nes turi skaičiaus logaritmą x buvo lygus .

Pirmą kartą konstanta neoficialiai yra minėto Napier veikalo, išleisto 1618 m., vertimo į anglų kalbą priede. Neoficialiai, kadangi joje yra tik natūraliųjų logaritmų lentelė, pati konstanta nėra apibrėžta. Spėjama, kad lentelės autorius buvo anglų matematikas Williamas Oughtredas. Pačią konstantą pirmą kartą išvedė šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli, bandydamas apskaičiuoti šios ribos reikšmę:

Pirmasis žinomas šios konstantos panaudojimas, kur ji buvo pažymėta raide b, rastas Gottfriedo Leibnizo laiškuose Christianui Huygensui, 1690 ir 1691 m. Laiškas e Leonhardas Euleris pradėjo jį naudoti 1727 m., o pirmasis leidinys su šiuo laišku buvo jo darbas „Mechanika arba judesio mokslas, paaiškinamas analitiškai“ 1736 m. e kartais vadinamas Eulerio numeris. Nors kai kurie mokslininkai vėliau naudojo laišką c, laiškas e buvo naudojamas dažniau ir dabar yra standartinis pavadinimas.

Kodėl pasirinktas laiškas? e, tiksliai nežinoma. Galbūt taip yra dėl to, kad žodis prasideda juo eksponentinis(„orientacinis“, „eksponentinis“). Kita prielaida yra ta, kad raidės a,b,c Ir d jau gana plačiai naudojami kitiems tikslams, ir e buvo pirmasis „nemokamas“ laiškas. Neįtikėtina manyti, kad Euleris pasirinko e kaip pirmoji jūsų pavardės raidė (vok. Euleris), nes buvo labai kuklus žmogus ir visada stengėsi pabrėžti kitų žmonių darbo svarbą.

Įsiminimo būdai

Skaičius e galima prisiminti naudojant šią mnemoninę taisyklę: du ir septyni, tada du kartus Levo Tolstojaus gimimo metai (1828), tada lygiašonio stačiojo trikampio kampai ( 45 ,90 Ir 45 laipsnių).

Kitoje taisyklių versijoje e susijęs su JAV prezidentu Andrew Jacksonu: 2 – tiek kartų išrinktas, 7 – jis buvo septintasis JAV prezidentas, 1828 – jo išrinkimo metai, kartojami du kartus, nes Džeksonas buvo išrinktas du kartus. Tada – vėl lygiašonis stačiakampis trikampis.

Kitas įdomus metodas siūlo atsiminti skaičių e trijų skaitmenų po kablelio tikslumu per „velnio skaičių“: 666 reikia padalyti iš skaičiaus, sudaryto iš skaičių 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (trys šešetai, iš kurių pašalinamos pirmosios trys laipsniai dviejų). atvirkštine tvarka): .

Ketvirtasis metodas siūlo prisiminti e Kaip .

Apytikslis (0,001 tikslumas), bet geras aproksimacija rodo e lygus Labai grubus (0,01 tikslumu) aproksimacija pateikiama išraiška.

„Boeing Rule“: suteikia gerą 0,0005 tikslumą.

„Eilė“: Plazdėjome ir spindėjome, bet buvome įstrigę perėjoje; Jie neatpažino mūsų pavogto mitingo.

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​​​92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 720 720850101010101011010110110110 490110 704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920