Skaičiai, kurie yra racionalūs. Begalinės neperiodinės trupmenos

) yra skaičiai su teigiamu arba neigiamu ženklu (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Tikslesnė racionaliųjų skaičių sąvoka skamba taip:

Racionalus skaičius- skaičius, kuris pateikiamas kaip bendroji trupmena m/n, kur skaitiklis m yra sveikieji skaičiai ir vardiklis n- natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui 2/3.

Begalinės neperiodinės trupmenos NĖRA įtraukiamos į racionaliųjų skaičių aibę.

a/b, Kur a∈ Z (a priklauso sveikiesiems skaičiams), b∈ N (b priklauso natūraliems skaičiams).

Racionalių skaičių naudojimas realiame gyvenime.

Realiame gyvenime racionaliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant kai kurių sveikųjų skaičių dalijamų objektų dalis, Pavyzdžiui, pyragaičiai ar kiti maisto produktai, kurie prieš vartojimą supjaustomi į gabalus arba apytiksliai įvertinti išplėstų objektų erdvinius ryšius.

Racionaliųjų skaičių savybės.

Pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės.

1. Tvarkingumas a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai nustatyti 1 ir tik vieną iš 3 santykių tarp jų: ​​“<», «>" arba "=". Tai yra taisyklė - užsakymo taisyklė ir suformuluokite taip:

• 2 teigiami skaičiai a=m a /n a Ir b=mb/nb yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir 2 sveikieji skaičiai m a⋅ n b Ir m b⋅ n a;
• 2 neigiami skaičiai a Ir b yra susiję tokiu pačiu santykiu kaip ir 2 teigiami skaičiai |b| Ir |a|;
• Kada a teigiamas ir b- Tada neigiamai a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildymo operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra sumavimo taisyklė, kuris susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi c. Be to, pats skaičius c- Tai suma numeriai a Ir b ir jis žymimas kaip (a+b) sumavimas.

Sumavimo taisyklė atrodo taip:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. Daugybos operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra daugybos taisyklė, susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi c. Iškviečiamas skaičius c dirbti numeriai a Ir b ir žymėti (a⋅b), ir iškviečiamas šio numerio radimo procesas daugyba.

Daugybos taisyklė atrodo taip: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kokiems trims racionaliems skaičiams a, b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, o jei a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Papildymo asociatyvumas. 3 racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, jis išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių pridėjus.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a

8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, o juos sudėjus gaunamas 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.

∀ a, b∈ K a⋅ b=b⋅ a

10. Daugybos asociatyvumas. 3 racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, jis daugybos procese išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1=a

12. Abipusių skaičių buvimas. Kiekvienas racionalusis skaičius, išskyrus nulį, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, padauginus iš kurio gauname 1 .

∀ a∈ K∃ a−1∈ K a⋅ a−1=1

13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija yra susijusi su sudėjimu naudojant paskirstymo dėsnį:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Ryšys tarp užsakymo santykio ir pridėjimo operacijos. Tas pats racionalusis skaičius pridedamas prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.

∀ a,b,c∈ K a ⇒ a+c

15. Ryšys tarp eilės santykio ir daugybos operacijos. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties neneigiamo racionalaus skaičiaus.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, nesunku paimti tiek vienetų, kad jų suma būtų didesnė a.

Šioje pamokoje sužinosime apie daugybę racionalių skaičių. Išanalizuokime pagrindines racionaliųjų skaičių savybes, sužinokime, kaip dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis ir atvirkščiai.

Mes jau kalbėjome apie natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibes. Natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių poaibis.

Dabar mes sužinojome, kas yra trupmenos, ir išmokome su jomis dirbti. Pavyzdžiui, trupmena nėra sveikas skaičius. Tai reiškia, kad turime apibūdinti naują skaičių rinkinį, kuriame bus visos trupmenos, ir šiam rinkiniui reikia pavadinimo, aiškaus apibrėžimo ir pavadinimo.

Pradėkime nuo pavadinimo. Lotyniškas žodis ratio verčiamas į rusų kalbą kaip santykis, trupmena. Naujojo rinkinio pavadinimas „racionalūs skaičiai“ kilęs iš šio žodžio. Tai yra, „racionalūs skaičiai“ gali būti išversti kaip „trupiniai skaičiai“.

Išsiaiškinkime, iš kokių skaičių sudaro šis rinkinys. Galime manyti, kad jis susideda iš visų trupmenų. Pavyzdžiui, tokie - . Tačiau toks apibrėžimas nebūtų visiškai teisingas. Trupmena yra ne pats skaičius, o skaičiaus rašymo forma. Toliau pateiktame pavyzdyje dvi skirtingos trupmenos reiškia tą patį skaičių:

Tada tiksliau būtų sakyti, kad racionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti trupmena. Ir tai iš tikrųjų yra beveik tas pats apibrėžimas, kuris naudojamas matematikoje.

Šis rinkinys žymimas raide . Kaip natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibės yra susijusios su naująja racionaliųjų skaičių aibe? Natūralųjį skaičių galima užrašyti kaip trupmeną be galo daug būdų. Ir kadangi jį galima pavaizduoti kaip trupmeną, tai taip pat yra racionalu.

Panaši situacija yra ir su neigiamais sveikaisiais skaičiais. Bet koks neigiamas sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena . Ar įmanoma skaičių nulį pavaizduoti trupmena? Žinoma, galite, taip pat be galo daug būdų .

Taigi visi natūralūs skaičiai ir visi sveikieji skaičiai taip pat yra racionalieji skaičiai. Natūraliųjų skaičių ir sveikųjų skaičių aibės yra racionaliųjų skaičių () rinkinio poaibiai.

Aibių uždarumas aritmetinių veiksmų atžvilgiu

Būtinybę įvesti naujus skaičius – sveikuosius, vėliau racionalius – galima paaiškinti ne tik problemomis iš realaus gyvenimo. Pačios aritmetinės operacijos mums tai sako. Sudėkime du natūraliuosius skaičius: . Vėl gauname natūralųjį skaičių.

Jie sako, kad natūraliųjų skaičių aibė uždaroma atliekant sudėjimo operaciją (uždaroma sudėjus). Pagalvokite patys, ar natūraliųjų skaičių aibė yra uždaryta dauginant.

Kai tik bandome iš skaičiaus atimti kažką lygaus ar didesnio, mums trūksta natūraliųjų skaičių. Nulinių ir neigiamų sveikųjų skaičių įvedimas ištaiso situaciją:

Atimant sveikųjų skaičių aibė uždaryta. Galime pridėti ir atimti bet kokį sveikąjį skaičių, nebijodami, kad neturėsime skaičiaus, su kuriuo būtų galima parašyti rezultatą (uždarytas sudėjimo ir atimties).

Ar daugybos metu sveikųjų skaičių aibė uždaryta? Taip, bet kurių dviejų sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius (uždarytas sudėjimo, atimties ir daugybos sritys).

Liko dar vienas veiksmas – padalijimas. Ar skaidant sveikųjų skaičių aibė uždaryta? Atsakymas akivaizdus: ne. Padalinkime iš. Tarp sveikųjų skaičių nėra tokio skaičiaus, kad būtų galima užrašyti atsakymą: .

Tačiau naudodami trupmeną beveik visada galime užrašyti vieno sveikojo skaičiaus dalijimo iš kito rezultatą. Kodėl beveik? Prisiminkime, kad pagal apibrėžimą negalima dalyti iš nulio.

Taigi, racionaliųjų skaičių aibė (kuri atsiranda įvedus trupmenas) pretenduoja į aibę, uždarą atliekant visas keturias aritmetines operacijas.

Pažiūrėkime.

Tai reiškia, kad racionaliųjų skaičių rinkinys uždaromas sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant, išskyrus padalijimą iš nulio. Šia prasme galime pasakyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra „geresnė“ nei ankstesnės natūraliųjų ir sveikųjų skaičių rinkiniai. Ar tai reiškia, kad racionalieji skaičiai yra paskutinė mūsų tiriama skaičių aibė? Nr. Vėliau turėsime kitų skaičių, kurių negalima užrašyti kaip trupmenas, pavyzdžiui, neracionalius.

Skaičiai kaip įrankis

Skaičiai yra įrankis, kurį žmogus sukūrė pagal poreikį.

Ryžiai. 1. Natūraliųjų skaičių naudojimas

Vėliau, kai reikėjo atlikti piniginius skaičiavimus, prieš skaičių imta dėti pliuso arba minuso ženklus, nurodančius, ar pradinę vertę reikia didinti ar mažinti. Taip atsirado neigiami ir teigiami skaičiai. Naujasis rinkinys buvo vadinamas sveikųjų skaičių rinkiniu ().

Ryžiai. 2. Trupmenų naudojimas

Todėl atsiranda naujas įrankis, nauji skaičiai – trupmenos. Jas rašome skirtingais lygiaverčiais būdais: paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis ( ).

Visi skaičiai - "senas" (sveikasis skaičius) ir "naujas" (trupmeninis) - buvo sujungti į vieną rinkinį ir pavadinti racionaliųjų skaičių rinkiniu ( - racionalūs skaičiai).

Taigi, racionalusis skaičius yra skaičius, kuris gali būti pavaizduotas kaip bendroji trupmena. Tačiau šis matematikos apibrėžimas dar patikslintas. Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną su teigiamu vardikliu, ty sveikojo skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus santykiu: .

Tada gauname apibrėžimą: skaičius vadinamas racionaliuoju, jei jį galima pavaizduoti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir natūraliu vardikliu ( ).

Be paprastųjų trupmenų, naudojame ir dešimtaines. Pažiūrėkime, kaip jie susiję su racionaliųjų skaičių aibe.

Yra trys dešimtainių dalių tipai: baigtinis, periodinis ir neperiodinis.

Begalinės neperiodinės trupmenos: tokios trupmenos taip pat turi begalinį skaičių po kablelio, tačiau taško nėra. Pavyzdys yra PI dešimtainis žymėjimas:

Bet kuri baigtinė dešimtainė trupmena pagal apibrėžimą yra įprasta trupmena su vardikliu ir pan.

Garsiai perskaitykime dešimtainę trupmeną ir parašykime įprasta forma: , .

Grįžtant nuo trupmenos rašymo prie dešimtainio skaičiaus, galite gauti baigtines dešimtaines trupmenas arba begalines periodines trupmenas.

Konvertavimas iš trupmenos į dešimtainę

Paprasčiausias atvejis, kai trupmenos vardiklis yra dešimties laipsnis: ir t.t. Tada naudojame dešimtainės trupmenos apibrėžimą:

Yra trupmenų, kurių vardiklį galima nesunkiai sumažinti iki šios formos: . Galima pereiti prie tokio žymėjimo, jei vardiklio išplėtimas apima tik dvejetus ir penketukus.

Vardiklis susideda iš trijų dvejetų ir vieno penkių. Kiekvienas iš jų sudaro dešimtuką. Tai reiškia, kad mums trūksta dviejų. Padauginkite iš skaitiklio ir vardiklio:

Tai buvo galima padaryti kitaip. Padalinkite iš stulpelio (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 2. Kolonos padalijimas

Su atveju vardiklio negalima paversti ar kitu skaitmeniu, nes jo išplėtimas apima trigubą. Liko tik vienas būdas – padalinti į stulpelį (žr. 2 pav.).

Toks padalijimas kiekviename žingsnyje duos liekaną ir koeficientą. Šis procesas yra begalinis. Tai yra, mes gavome begalinę periodinę trupmeną su tašku

Praktikuokime. Paprastąsias trupmenas paverskime po kablelio.

Visuose šiuose pavyzdžiuose gavome galutinę dešimtainę trupmeną, nes vardiklio išplėtimas apėmė tik du ir penketukus.

(pasitikrinkime dalindami į lentelę – žr. 3 pav.).

Ryžiai. 3. Ilgasis padalijimas

Ryžiai. 4. Kolonų padalijimas

(žr. 4 pav.)

Vardiklio išplėtimas apima trigubą, o tai reiškia, kad vardiklis perkeliamas į formą ir pan. tai neveiks. Padalinkite į stulpelį. Situacija kartosis. Rezultatų įraše bus be galo daug trynukų. Taigi,.

(žr. 5 pav.)

Ryžiai. 5. Kolonos padalijimas

Taigi, bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną. Tai yra jo apibrėžimas.

Ir bet kurią paprastąją trupmeną galima pavaizduoti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Įrašų trupmenos tipai:

dešimtainės trupmenos įrašymas paprastosios trupmenos pavidalu: ; ;

bendrosios trupmenos rašymas dešimtainiu tikslumu: (galutinė trupmena); (begalinis periodiškumas).

Tai yra, bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną. Šiuo atveju galutinė trupmena taip pat gali būti laikoma periodine, kurios periodas lygus nuliui.

Kartais racionaliajam skaičiui suteikiamas būtent toks apibrėžimas: racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima užrašyti kaip periodinę dešimtainę trupmeną.

Periodinės trupmenos konvertavimas

Pirmiausia panagrinėkime trupmeną, kurios periodas susideda iš vieno skaitmens ir neturi išankstinio taško. Pažymėkime šį skaičių raide . Metodas yra gauti kitą skaičių su tuo pačiu laikotarpiu:

Tai galima padaryti pradinį skaičių padauginus iš . Taigi skaičius turi tą patį laikotarpį. Atimkite iš paties skaičiaus:

Kad įsitikintume, jog viską padarėme teisingai, dabar atlikime perėjimą priešinga kryptimi, mums jau žinomu būdu – padalindami į stulpelį pagal (žr. 1 pav.).

Tiesą sakant, mes gauname pradinės formos skaičių su tašku.

Panagrinėkime skaičių su išankstiniu ir ilgesniu periodu: . Metodas išlieka toks pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Turime gauti naują numerį su tuo pačiu laikotarpiu ir tokio pat ilgio išankstiniu periodu. Tam reikia, kad kablelis pasislinktų į dešinę taško trukme, t.y. dviem simboliais. Padauginkite pradinį skaičių iš:

Iš gautos išraiškos atimkime pradinę išraišką:

Taigi, koks yra vertimo algoritmas? Periodinę trupmeną reikia padauginti iš formos skaičiaus ir pan., kuriame yra tiek nulių, kiek yra skaitmenų dešimtainės trupmenos periode. Gauname naują periodinį. Pavyzdžiui:

Iš vienos periodinės trupmenos atėmus kitą, gauname galutinę dešimtainę trupmeną:

Belieka pirminę periodinę trupmeną išreikšti paprastosios trupmenos forma.

Norėdami praktikuotis, patys užsirašykite keletą periodinių trupmenų. Naudodamiesi šiuo algoritmu, sumažinkite juos iki įprastos trupmenos formos. Norėdami patikrinti skaičiuotuvą, padalykite skaitiklį iš vardiklio. Jei viskas teisinga, gausite pradinę periodinę trupmeną

Taigi, bet kurią baigtinę arba begalinę periodinę trupmeną galime užrašyti kaip paprastąją trupmeną, kaip natūraliojo skaičiaus ir sveikojo skaičiaus santykį. Tie. visos tokios trupmenos yra racionalieji skaičiai.

O kaip su neperiodinėmis trupmenomis? Pasirodo, neperiodinės trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos (šį faktą priimsime be įrodymų). Tai reiškia, kad jie nėra racionalūs skaičiai. Jie vadinami neracionaliais.

Begalinės neperiodinės trupmenos

Kaip jau minėjome, racionalusis skaičius dešimtainiu būdu yra arba baigtinė, arba periodinė trupmena. Tai reiškia, kad jei galime sukonstruoti begalinę neperiodinę trupmeną, tai gausime neracionalųjį, tai yra neracionalųjį skaičių.

Štai vienas iš būdų tai padaryti: trupmeninė šio skaičiaus dalis susideda tik iš nulių ir vienetų. Nulių tarp vienetų skaičius padidėja . Čia neįmanoma išryškinti pasikartojančios dalies. Tai yra, trupmena nėra periodinė.

Išmokite patys kurti neperiodines dešimtaines trupmenas, tai yra neracionalius skaičius

Žinomas neracionaliojo skaičiaus pavyzdys yra pi ( ). Šiame įraše nėra taško. Tačiau be pi, yra be galo daug kitų neracionalių skaičių. Apie neracionalius skaičius daugiau pakalbėsime vėliau.

1. Matematika 5 klasė. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31-as leidimas, ištrintas. - M: Mnemosyne, 2013 m.
2. Matematika 5 klasė. Erina T.M.. Užduočių knygelė vadovėliui Vilenkina N.Ya., M.: Egzaminas, 2013 m.
3. Matematika 5 klasė. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013 m.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Namų darbai

Natūralūs skaičiai

Natūraliųjų skaičių apibrėžimas yra teigiami sveikieji skaičiai. Natūralūs skaičiai naudojami objektams skaičiuoti ir daugeliui kitų tikslų. Tai yra skaičiai:

Tai natūrali skaičių serija.
Ar nulis yra natūralusis skaičius? Ne, nulis nėra natūralusis skaičius.
Kiek yra natūraliųjų skaičių? Natūralių skaičių yra be galo daug.
Koks yra mažiausias natūralusis skaičius? Vienas yra mažiausias natūralusis skaičius.
Koks yra didžiausias natūralusis skaičius? Jo nurodyti neįmanoma, nes natūraliųjų skaičių yra be galo daug.

Natūraliųjų skaičių suma yra natūralusis skaičius. Taigi, pridedant natūraliuosius skaičius a ir b:

Natūraliųjų skaičių sandauga yra natūralusis skaičius. Taigi natūraliųjų skaičių a ir b sandauga:

c visada yra natūralusis skaičius.

Natūraliųjų skaičių skirtumas Natūralusis skaičius ne visada yra. Jei minuend yra didesnis už potraukį, tai natūraliųjų skaičių skirtumas yra natūralusis skaičius, kitu atveju jis nėra.

Natūraliųjų skaičių koeficientas ne visada yra natūralusis skaičius. Jei natūraliems skaičiams a ir b

kur c yra natūralusis skaičius, tai reiškia, kad a dalijasi iš b. Šiame pavyzdyje a yra dividendas, b yra daliklis, c yra koeficientas.

Natūralaus skaičiaus daliklis yra natūralusis skaičius, iš kurio pirmasis skaičius dalijasi iš visumos.

Kiekvienas natūralusis skaičius dalijasi iš vieneto ir savęs.

Pirminiai natūralieji skaičiai dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Čia turime omenyje visiškai padalintą. Pavyzdys, skaičiai 2; 3; 5; 7 dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Tai paprasti natūralieji skaičiai.

Vienas nelaikomas pirminiu skaičiumi.

Skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais. Sudėtinių skaičių pavyzdžiai:

Vienas nelaikomas sudėtiniu skaičiumi.

Natūraliųjų skaičių aibė susideda iš vienetinių, pirminių skaičių ir sudėtinių skaičių.

Natūraliųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide N.

Natūraliųjų skaičių sudėties ir daugybos savybės:

komutacinė priedėlio savybė

asociatyvinė papildymo savybė

(a + b) + c = a + (b + c);

komutacinė daugybos savybė

asociatyvi daugybos savybė

(ab) c = a (bc);

daugybos skirstomoji savybė

A (b + c) = ab + ac;

Sveikieji skaičiai

Sveikieji skaičiai yra natūralieji skaičiai, nulis ir natūraliųjų skaičių priešingybės.

Natūralių skaičių priešingybė yra neigiami sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1; -2; -3; -4;...

Sveikųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide Z.

Racionalūs skaičiai

Racionalieji skaičiai yra sveikieji skaičiai ir trupmenos.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip periodinę trupmeną. Pavyzdžiai:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iš pavyzdžių aišku, kad bet kuris sveikasis skaičius yra periodinė trupmena su nuliu periodu.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Įsivaizduokime skaičių 3, (6) iš ankstesnio pavyzdžio kaip tokią trupmeną.

Šiame straipsnyje mes pradėsime tyrinėti racionalūs skaičiai. Čia pateiksime racionaliųjų skaičių apibrėžimus, pateiksime reikiamus paaiškinimus ir pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių. Po to mes sutelksime dėmesį į tai, kaip nustatyti, ar tam tikras skaičius yra racionalus, ar ne.

Puslapio naršymas.

Racionaliųjų skaičių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Šiame skyriuje pateiksime keletą racionaliųjų skaičių apibrėžimų. Nepaisant formuluotės skirtumų, visi šie apibrėžimai turi tą pačią reikšmę: racionalieji skaičiai jungia sveikuosius skaičius ir trupmenas, lygiai kaip sveikieji skaičiai jungia natūraliuosius skaičius, jų priešingybes ir skaičių nulį. Kitaip tariant, racionalūs skaičiai apibendrina sveikuosius ir trupmeninius skaičius.

Pradėkime nuo racionaliųjų skaičių apibrėžimai, kuris suvokiamas natūraliausiu.

Iš pateikto apibrėžimo matyti, kad racionalusis skaičius yra:

• Bet koks natūralusis skaičius n. Iš tiesų, bet kurį natūralųjį skaičių galite pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, pavyzdžiui, 3=3/1.
• Bet koks sveikasis skaičius, ypač skaičius nulis. Tiesą sakant, bet koks sveikasis skaičius gali būti parašytas kaip teigiama trupmena, neigiama trupmena arba nulis. Pavyzdžiui, 26=26/1, .
• Bet kokia bendroji trupmena (teigiama arba neigiama). Tai tiesiogiai patvirtina pateiktas racionaliųjų skaičių apibrėžimas.
• Bet koks mišrus skaičius. Iš tiesų, mišrų skaičių visada galite pateikti kaip netinkamą trupmeną. Pavyzdžiui, ir.
• Bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė trupmena. Taip yra dėl to, kad nurodytos dešimtainės trupmenos paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Pavyzdžiui, ir 0,(3)=1/3.

Taip pat aišku, kad bet kokia begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena NĖRA racionalusis skaičius, nes jos negalima pavaizduoti kaip bendrąją trupmeną.

Dabar galime lengvai duoti racionaliųjų skaičių pavyzdžiai. Skaičiai 4, 903, 100 321 yra racionalūs skaičiai, nes jie yra natūralūs skaičiai. Sveikieji skaičiai 58, -72, 0, -833,333,333 taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Paprastosios trupmenos 4/9, 99/3 taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Racionalūs skaičiai taip pat yra skaičiai.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių aišku, kad yra ir teigiamų, ir neigiamų racionalių skaičių, o racionalusis skaičius nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti glausta forma.

Apibrėžimas.

Racionalūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną z/n, kur z yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Įrodykime, kad šis racionaliųjų skaičių apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam apibrėžimui. Žinome, kad trupmenos tiesę galime laikyti dalybos ženklu, tada iš sveikųjų skaičių dalijimo savybių ir sveikųjų skaičių padalijimo taisyklių seka šių lygybių galiojimas ir. Taigi, tai yra įrodymas.

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, pateiksime racionalių skaičių pavyzdžių. Skaičiai −5, 0, 3 ir yra racionalūs skaičiai, nes juos galima užrašyti kaip trupmenas su sveikuoju skaitikliu ir natūraliu formos vardikliu ir atitinkamai.

Racionaliųjų skaičių apibrėžimas gali būti pateiktas šioje formuluotėje.

Apibrėžimas.

Racionalūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Šis apibrėžimas taip pat yra lygiavertis pirmajam apibrėžimui, nes kiekviena įprastinė trupmena atitinka baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną ir atvirkščiai, o bet koks sveikasis skaičius gali būti susietas su dešimtaine trupmena su nuliais po kablelio.

Pavyzdžiui, skaičiai 5, 0, -13 yra racionalių skaičių pavyzdžiai, nes juos galima parašyti kaip šias dešimtaines trupmenas: 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 ir -7, (18).

Užbaikime šio punkto teoriją tokiais teiginiais:

• sveikieji skaičiai ir trupmenos (teigiami ir neigiami) sudaro racionaliųjų skaičių aibę;
• kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena su sveikuoju skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu, o kiekviena tokia trupmena reiškia tam tikrą racionalųjį skaičių;
• kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena, ir kiekviena tokia trupmena reiškia racionalųjį skaičių.

Ar šis skaičius racionalus?

Ankstesnėje pastraipoje išsiaiškinome, kad bet koks natūralusis skaičius, bet koks sveikasis skaičius, bet kuri įprasta trupmena, bet koks mišrus skaičius, bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena, taip pat bet kuri periodinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius. Šios žinios leidžia mums „atpažinti“ racionalius skaičius iš užrašytų skaičių rinkinio.

Bet ką daryti, jei skaičius pateikiamas kaip kai kurie , arba kaip ir tt, kaip atsakyti į klausimą, ar šis skaičius yra racionalus? Daugeliu atvejų labai sunku atsakyti. Nurodykime kai kurias mąstymo kryptis.

Jei skaičius pateikiamas kaip skaitinė išraiška, kurioje yra tik racionalieji skaičiai ir aritmetiniai ženklai (+, −, · ir:), tada šios išraiškos reikšmė yra racionalusis skaičius. Tai išplaukia iš to, kaip apibrėžiamos operacijos su racionaliais skaičiais. Pavyzdžiui, atlikę visas išraiškos operacijas, gauname racionalųjį skaičių 18.

Kartais, supaprastinus išraiškas ir padarius jas sudėtingesnes, tampa įmanoma nustatyti, ar duotas skaičius yra racionalus.

Eikime toliau. Skaičius 2 yra racionalus skaičius, nes bet kuris natūralusis skaičius yra racionalus. O kaip skaičius? Ar tai racionalu? Pasirodo, ne, tai ne racionalusis skaičius, o neracionalus skaičius (šio fakto prieštaravimo įrodymas pateiktas 8 klasei skirto algebros vadovėlyje, išvardintame toliau literatūros sąraše). Taip pat įrodyta, kad natūraliojo skaičiaus kvadratinė šaknis yra racionalusis skaičius tik tais atvejais, kai po šaknimi yra skaičius, kuris yra tobulas kurio nors natūraliojo skaičiaus kvadratas. Pavyzdžiui, ir yra racionalūs skaičiai, nes 81 = 9 2 ir 1 024 = 32 2, o skaičiai ir nėra racionalūs, nes skaičiai 7 ir 199 nėra tobuli natūraliųjų skaičių kvadratai.

Ar skaičius racionalus ar ne? Šiuo atveju nesunku pastebėti, kad todėl šis skaičius yra racionalus. Ar skaičius racionalus? Įrodyta, kad sveikojo skaičiaus k-oji šaknis yra racionalus skaičius tik tuo atveju, jei skaičius po šaknies ženklu yra kokio nors sveikojo skaičiaus k-oji laipsnė. Todėl tai nėra racionalus skaičius, nes nėra sveikojo skaičiaus, kurio penktoji laipsnis būtų 121.

Prieštaravimo metodas leidžia įrodyti, kad kai kurių skaičių logaritmai dėl tam tikrų priežasčių nėra racionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, įrodykime, kad - nėra racionalus skaičius.

Tarkime, kad tai yra racionalus skaičius, kurį galima parašyti kaip paprastąją trupmeną m/n. Tada pateikiame tokias lygybes: . Paskutinė lygybė neįmanoma, nes kairėje pusėje yra nelyginis skaičius 5 n, o dešinėje pusėje yra lyginis skaičius 2 m. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga, taigi nėra racionalus skaičius.

Apibendrinant verta ypač pažymėti, kad nustatant skaičių racionalumą ar neracionalumą, reikėtų susilaikyti nuo staigių išvadų.

Pavyzdžiui, neturėtumėte iš karto teigti, kad iracionaliųjų skaičių π ir e sandauga yra neracionalus skaičius, tai „atrodo akivaizdu“, bet neįrodyta. Tai kelia klausimą: „Kodėl produktas turėtų būti racionalus skaičius? O kodėl gi ne, nes galite pateikti iracionaliųjų skaičių pavyzdį, kurio sandauga duoda racionalųjį skaičių: .

Taip pat nežinoma, ar skaičiai ir daugelis kitų skaičių yra racionalūs, ar ne. Pavyzdžiui, yra neracionalių skaičių, kurių iracionalioji galia yra racionalusis skaičius. Iliustracijai pateikiame formos laipsnį, šio laipsnio bazė ir rodiklis yra ne racionalieji skaičiai, o , o 3 yra racionalusis skaičius.

Nuorodos.

• Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Vilenkinas ir kiti]. - 22 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Racionaliųjų skaičių rinkinys

Racionaliųjų skaičių rinkinys žymimas ir gali būti parašytas taip:

Pasirodo, skirtingi žymėjimai gali reikšti tą pačią trupmeną, pavyzdžiui, ir , (visos trupmenos, kurias galima gauti viena iš kitos padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, reiškia tą patį racionalųjį skaičių). Kadangi trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijus iš didžiausio bendro daliklio, galime gauti vieną neredukuojamą racionalaus skaičiaus atvaizdą, galime kalbėti apie jų aibę kaip aibę. nesumažinamas trupmenos su pirminiu sveikojo skaičiaus skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu:

Čia yra didžiausias bendras skaičių ir .

Racionaliųjų skaičių aibė yra natūralus sveikųjų skaičių aibės apibendrinimas. Nesunku suprasti, kad jei racionalusis skaičius turi vardiklį , tada jis yra sveikasis skaičius. Racionaliųjų skaičių aibė yra visur tankiai ant skaičių ašies: tarp bet kurių dviejų skirtingų racionaliųjų skaičių yra bent vienas racionalusis skaičius (taigi ir begalinė racionaliųjų skaičių aibė). Tačiau paaiškėja, kad racionaliųjų skaičių aibė turi skaičiuojamą kardinalumą (tai yra, visus jos elementus galima pernumeruoti). Beje, atkreipkime dėmesį, kad senovės graikai buvo įsitikinę, kad egzistuoja skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena (pavyzdžiui, jie įrodė, kad nėra racionalaus skaičiaus, kurio kvadratas būtų 2).

Terminologija

Formalus apibrėžimas

Formaliai racionalieji skaičiai apibrėžiami kaip porų lygiavertiškumo klasių rinkinys, atsižvelgiant į ekvivalentiškumo ryšį, jei. Šiuo atveju sudėties ir daugybos operacijos apibrėžiamos taip:

Susiję apibrėžimai

Tinkamos, netinkamos ir mišrios frakcijos

Teisingai Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama trupmena. Tinkamos trupmenos reiškia racionalius skaičius, kurių modulis mažesnis nei vienas. Netinkama trupmena vadinama negerai ir reiškia racionalųjį skaičių, didesnį arba lygų vienam pagal modulį.

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos suma, vadinama mišri frakcija . Pavyzdžiui,. Panašus žymėjimas (be pridėjimo ženklo), nors ir naudojamas elementariojoje aritmetikoje, griežtoje matematinėje literatūroje vengiamas dėl mišrios trupmenos žymėjimo panašumo su sveikojo skaičiaus ir trupmenos sandauga.

Šūvio aukštis

Bendro šūvio aukštis yra šios trupmenos skaitiklio ir vardiklio modulių suma. Racionalaus skaičiaus aukštis yra šį skaičių atitinkančios neredukuojamos paprastosios trupmenos skaitiklio modulio ir vardiklio suma.

Pavyzdžiui, trupmenos aukštis yra . Atitinkamo racionalaus skaičiaus aukštis lygus , nes trupmeną galima sumažinti .

komentuoti

Terminas trupmena (frakcija) Kartais [ nurodyti] vartojamas kaip termino sinonimas racionalus skaičius, o kartais ir bet kurio ne sveikojo skaičiaus sinonimas. Pastaruoju atveju trupmeniniai ir racionalieji skaičiai yra skirtingi dalykai, nes tada nesveikieji racionalieji skaičiai yra tik ypatingas trupmenų atvejis.

Savybės

Pagrindinės savybės

Racionaliųjų skaičių aibė atitinka šešiolika pagrindinių savybių, kurias galima lengvai išvesti iš sveikųjų skaičių savybių.

1. Tvarkingumas. Bet kokiems racionaliems skaičiams galioja taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų ryšių tarp jų: ​​„“, „“ arba „“. Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du teigiami skaičiai ir yra susiję su tuo pačiu santykiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga jis yra ne neigiamas, o - neigiamas, tada .

   

   Trupmenų pridėjimas

2. Papildymo operacija. sumavimo taisyklė suma skaičiai ir ir žymimi , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: .
3. Daugybos operacija. Bet kokiems racionaliesiems skaičiams yra vadinamasis daugybos taisyklė, dėl to jie sutampa su kokiu nors racionaliu skaičiumi. Tokiu atveju skambinamas pats numeris dirbti skaičiai ir ir žymimi , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba. Daugybos taisyklė turi tokią formą: .
4. Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui, o jei vis mažiau, tai mažiau, o jei lygus ir lygus, tada lygus.
5. Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.
6. Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
10. Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
12. Abipusių skaičių buvimas. Bet koks racionalusis skaičius, kuris nėra nulis, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija derinama su sudėjimo operacija pagal paskirstymo dėsnį:
14. Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Tą patį racionalųjį skaičių galima pridėti prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.
15. Ryšys tarp eilės santykio ir daugybos operacijos. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties teigiamo racionalaus skaičiaus.
16. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų .

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Aibės skaičiuojamumas

Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Tokios konstrukcijos pavyzdys yra toks paprastas algoritmas. Sudaroma begalinė paprastųjų trupmenų lentelė, kurios kiekvienoje eilutėje kiekviename stulpelyje yra trupmena. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai yra pažymėti , kur yra lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią ir pagal pirmąsias rungtynes ​​pasirenkama kita pozicija.

Tokio perėjimo procese kiekvienas naujas racionalusis skaičius susiejamas su kitu natūraliuoju skaičiumi. Tai yra, trupmenoms priskiriamas skaičius 1, trupmenoms – 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra tas, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus vienetui.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Žinoma, yra ir kitų racionalių skaičių surašymo būdų. Pavyzdžiui, tam galite naudoti tokias struktūras kaip Kalkin-Wilf medis, Stern-Broko medis arba Farey serija.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Taip pat žr

Pastabos

Literatūra

• I. Kušniras. Matematikos vadovas moksleiviams. - Kijevas: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Aleksandrovas. Įvadas į aibių teoriją ir bendrąją topologiją. - M.: skyrius. red. fizika ir matematika liet. red. „Mokslas“, 1977 m
• I. L. Chmelnickis. Įvadas į algebrinių sistemų teoriją