Kuris yra didesnis dešimtainiais skaičiais. Pamoka „Dešimtainių skaičių palyginimas“

Šioje temoje bus nagrinėjama tiek bendroji dešimtainių trupmenų palyginimo schema, tiek išsami baigtinių ir begalinių trupmenų palyginimo principo analizė. Teorinę dalį sustiprinsime spręsdami tipines problemas. Taip pat apžvelgsime dešimtainių trupmenų palyginimo su natūraliaisiais arba mišriaisiais skaičiais ir paprastosiomis trupmenomis pavyzdžius.

Paaiškinkime: teoriškai toliau bus nagrinėjamas tik teigiamų dešimtainių trupmenų palyginimas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bendras dešimtainių trupmenų palyginimo principas

Kiekvienam baigtiniam dešimtainiam ir begaliniam periodiniam dešimtainiui yra tam tikros jas atitinkančios paprastosios trupmenos. Vadinasi, baigtinių ir begalinių periodinių trupmenų palyginimas gali būti atliktas kaip atitinkamų paprastųjų trupmenų palyginimas. Tiesą sakant, šis teiginys yra bendras dešimtainių periodinių trupmenų palyginimo principas.

Remiantis bendruoju principu, suformuluojamos dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės, kurių laikantis galima nekeisti lyginamų dešimtainių trupmenų į paprastąsias.

Tą patį galima pasakyti ir apie atvejus, kai dešimtainė periodinė trupmena lyginama su natūraliaisiais skaičiais arba mišriaisiais skaičiais, paprastosiomis trupmenomis – pateikti skaičiai turi būti pakeisti juos atitinkančiomis paprastosiomis trupmenomis.

Jei mes kalbame apie begalinių neperiodinių trupmenų palyginimą, tai paprastai sumažinama iki baigtinių dešimtainių trupmenų palyginimo. Apsvarstymui imamas toks lyginamų begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų ženklų skaičius, kuris leis gauti palyginimo rezultatą.

Lygios ir nelygios dešimtainės dalys

Vienodos dešimtainės- tai dvi baigtinės dešimtainės trupmenos, kurių atitinkamos paprastosios trupmenos yra lygios. Kitu atveju yra dešimtainės dalys nelygus.

Remiantis šiuo apibrėžimu, nesunku pagrįsti tokį teiginį: jei tam tikros dešimtainės trupmenos pabaigoje pasirašysite arba, atvirkščiai, išmesite kelis skaitmenis 0, gausite jai lygią dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Arba: 130 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. Iš esmės, nulio pridėjimas arba pašalinimas dešinėje esančios trupmenos pabaigoje reiškia atitinkamos paprastosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimą arba padalijimą iš 10. Prie to, kas pasakyta, pridėkime pagrindinę trupmenų savybę (trumpos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gauname trupmeną, lygią pradinei) ir turime minėto teiginio įrodymą.

Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,7 atitinka bendrąją trupmeną 7 10. Dešinėje pridėjus nulį, gauname dešimtainę trupmeną 0, 70, kuri atitinka bendrąją trupmeną 70 100, 7 70 100: 10 . Tai yra: 0,7 = 0,70. Ir atvirkščiai: atmetę nulį dešinėje dešimtainėje trupmenoje 0, 70, gauname trupmeną 0, 7 - taigi iš dešimtainės trupmenos 70 100 pereiname prie trupmenos 7 10, bet 7 10 = 70: 10 100 : 10 Tada: 0, 70 = 0, 7 .

Dabar apsvarstykite lygių ir nelygių begalinių periodinių dešimtainių trupmenų sąvokos turinį.

2 apibrėžimas

Lygios begalinės periodinės trupmenos yra begalinės periodinės trupmenos, kurių atitinkamos paprastosios trupmenos yra lygios. Jei jas atitinkančios paprastosios trupmenos nėra lygios, tai palyginimui pateiktos periodinės trupmenos taip pat yra lygios nelygus.

Šis apibrėžimas leidžia padaryti tokias išvadas:

Jei duotų periodinių dešimtainių trupmenų žymos sutampa, tai tokios trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodinės dešimtainės trupmenos 0,21 (5423) ir 0,21 (5423) yra lygios;

Jei duotose dešimtainėse periodinėse trupmenose taškai prasideda iš tos pačios padėties, pirmosios trupmenos periodas yra 0, o antrosios – 9; prieš 0 laikotarpį einančio skaitmens reikšmė yra vienu didesnė už skaitmens, buvusio prieš 9 laikotarpį, reikšmę, tada tokios begalinės periodinės dešimtainės trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 91, 3 (0) ir 91, 2 (9), taip pat trupmenos: 135, (0) ir 134, (9) yra lygios;

Bet kurios kitos dvi periodinės trupmenos nėra lygios. Pavyzdžiui: 8, 0 (3) ir 6, (32); 0, (42) ir 0, (131) ir kt.

Belieka atsižvelgti į lygias ir nelygias begalines neperiodines dešimtaines trupmenas. Tokios trupmenos yra neracionalūs skaičiai ir negali būti paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Vadinasi, begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų palyginimas nėra redukuojamas į įprastų trupmenų palyginimą.

3 apibrėžimas

Lygios begalinės neperiodinės dešimtainės dalies- tai neperiodinės dešimtainės trupmenos, kurių įrašai visiškai sutampa.

Logiškas klausimas būtų toks: kaip lyginti įrašus, jei neįmanoma pamatyti „baigto“ tokių trupmenų įrašo? Lyginant begalines neperiodines dešimtaines trupmenas, reikia atsižvelgti tik į tam tikrą baigtinį palyginimui nurodytų trupmenų ženklų skaičių, kad tai leistų padaryti išvadą. Tie. Iš esmės begalinių neperiodinių dešimtainių skaičių lyginimas reiškia baigtinių dešimtainių skaičių palyginimą.

Šis metodas leidžia teigti begalinių neperiodinių trupmenų lygybę tik iki atitinkamo skaitmens. Pavyzdžiui, trupmenos 6, 73451... ir 6, 73451... yra lygios artimiausioms šimtatūkstantinėms dalims, nes galutinės dešimtainės trupmenos 6, 73451 ir 6, 7345 yra lygios. Trupmenos 20, 47... ir 20, 47... yra lygios artimiausioms šimtinėms dalims, nes trupmenos 20, 47 ir 20, 47 ir tt yra lygios.

Begalinių neperiodinių trupmenų nelygybė nustatoma gana konkrečiai su akivaizdžiais žymėjimo skirtumais. Pavyzdžiui, trupmenos 6, 4135... ir 6, 4176... arba 4, 9824... ir 7, 1132... ir taip toliau yra nelygios.

Dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės. Sprendimo pavyzdžiai

Nustačius, kad dvi dešimtainės trupmenos yra nelygios, dažniausiai taip pat reikia nustatyti, kuri didesnė, o kuri mažesnė. Panagrinėkime dešimtainių trupmenų palyginimo taisykles, kurios leidžia išspręsti aukščiau pateiktą problemą.

Labai dažnai užtenka tik palyginti visas palyginimui pateiktų dešimtainių trupmenų dalis.

4 apibrėžimas

Dešimtainė trupmena, kurios visa dalis yra didesnė, yra didesnė. Mažesnė dalis yra ta, kurios visa dalis yra mažesnė.

Ši taisyklė taikoma ir baigtinėms, ir begalinėms dešimtainėms trupmenoms.

1 pavyzdys

Reikia palyginti dešimtaines trupmenas: 7, 54 ir 3, 97823....

Sprendimas

Visiškai akivaizdu, kad pateiktos dešimtainės trupmenos nėra lygios. Jų visos dalys yra atitinkamai lygios: 7 ir 3. Nes 7 > 3, tada 7, 54 > 3, 97823….

Atsakymas: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

Tuo atveju, kai palyginimui pateiktų trupmenų visos dalys yra lygios, uždavinio sprendimas redukuojamas į trupmeninių dalių palyginimą. Trupmeninių dalių palyginimas atliekamas po truputį – nuo ​​dešimtųjų vietos iki apatinių.

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai reikia palyginti baigtines dešimtaines trupmenas.

2 pavyzdys

Būtina palyginti galutines dešimtaines trupmenas 0,65 ir 0,6411.

Sprendimas

Akivaizdu, kad pateiktų trupmenų sveikosios dalys yra lygios (0 = 0). Palyginkime trupmenines dalis: dešimtosiose reikšmės yra lygios (6 = 6), bet šimtinėje trupmenos reikšmė 0,65 yra didesnė už trupmenos šimtosios vietos reikšmę 0,6411 (5 > 4) . Taigi 0,65 > 0,6411.

Atsakymas: 0 , 65 > 0 , 6411 .

Kai kuriose užduotyse lyginant baigtines dešimtaines trupmenas su skirtingu kablelio skaičiumi, reikia pridėti reikiamą nulių skaičių į dešinę prie trupmenos su mažiau skaitmenų po kablelio. Patogu tokiu būdu išlyginti duotųjų trupmenų skaičių po kablelio skaičių dar prieš pradedant lyginti.

3 pavyzdys

Būtina palyginti galutines dešimtaines trupmenas 67, 0205 ir 67, 020542.

Sprendimas

Šios trupmenos akivaizdžiai nėra lygios, nes jų įrašai skiriasi. Be to, jų sveikosios dalys yra lygios: 67 = 67. Prieš pradėdami bitais lyginti duotųjų trupmenų trupmenines dalis, išlyginkime skaičių po kablelio skaičių, trupmenose, kuriose yra mažiau skaitmenų po kablelio, pridėdami nulius dešinėje. Tada palyginimui gauname trupmenas: 67, 020500 ir 67, 020542. Atliekame bitų palyginimą ir matome, kad vietoje šimtatūkstantųjų reikšmė trupmenoje 67.020542 yra didesnė už atitinkamą trupmenos reikšmę 67.020500 (4 > 0). Taigi, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Atsakymas: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Jei reikia palyginti baigtinę dešimtainę trupmeną su begaline, tada baigtinė trupmena pakeičiama begaline, lygia jai su 0 periodu. Tada atliekamas bitų palyginimas.

4 pavyzdys

Būtina palyginti baigtinę dešimtainę trupmeną 6, 24 su begaline neperiodine dešimtaine trupmena 6, 240012 ...

Sprendimas

Matome, kad duotųjų trupmenų sveikosios dalys yra lygios (6 = 6). Dešimtųjų ir šimtųjų dalių vietose abiejų trupmenų reikšmės taip pat yra vienodos. Kad galėtume padaryti išvadą, tęsiame palyginimą, baigtinę dešimtainę trupmeną pakeisdami lygia begaline trupmena su periodu 0 ir gauname: 6, 240000 .... Pasiekę penktą skaičių po kablelio, randame skirtumą: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Atsakymas: 6, 24< 6 , 240012 … .

Lyginant begalines dešimtaines trupmenas, taip pat naudojamas vietos lyginimas, kuris baigiasi, kai tam tikroje duotųjų trupmenų vietoje reikšmės skiriasi.

5 pavyzdys

Būtina palyginti begalines dešimtaines trupmenas 7, 41 (15) ir 7, 42172....

Sprendimas

Pateiktose trupmenose yra lygios sveikųjų skaičių dalys, dešimtųjų reikšmės taip pat lygios, tačiau šimtųjų vietoje matome skirtumą: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Atsakymas: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

6 pavyzdys

Būtina palyginti begalines periodines trupmenas 4, (13) ir 4, (131).

Sprendimas:

Lygybės yra aiškios ir teisingos: 4, (13) = 4, 131313... ir 4, (133) = 4, 131131.... Palyginame sveikųjų skaičių dalis ir bitines trupmenas, o ketvirtuoju skaičiumi po kablelio nustatome neatitikimą: 3 > 1. Tada: 4, 131313... > 4, 131131... ir 4, (13) > 4, (131).

Atsakymas: 4 , (13) > 4 , (131) .

Norėdami gauti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus palyginimo rezultatą, turite palyginti visą tam tikros trupmenos dalį su nurodytu natūraliuoju skaičiumi. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad periodinės trupmenos, kurių taškai yra 0 arba 9, pirmiausia turi būti vaizduojamos kaip baigtinės dešimtainės trupmenos, lygios joms.

5 apibrėžimas

Jei tam tikros dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra mažesnė už duotąjį natūralųjį skaičių, tai visa trupmena yra mažesnė nurodyto natūraliojo skaičiaus atžvilgiu. Jei duotosios trupmenos sveikoji dalis yra didesnė arba lygi tam tikram natūraliajam skaičiui, tai trupmena yra didesnė už duotąjį natūralųjį skaičių.

7 pavyzdys

Reikia palyginti natūralųjį skaičių 8 ir dešimtainę trupmeną 9, 3142....

Sprendimas:

Duotas natūralusis skaičius yra mažesnis už visą duotosios dešimtainės trupmenos dalį (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Atsakymas: 8 < 9 , 3142 … .

8 pavyzdys

Būtina palyginti natūralųjį skaičių 5 ir dešimtainę trupmeną 5, 6.

Sprendimas

Duotos trupmenos sveikoji dalis yra lygi tam tikram natūraliam skaičiui, tada pagal aukščiau pateiktą taisyklę 5< 5 , 6 .

Atsakymas: 5 < 5 , 6 .

9 pavyzdys

Būtina palyginti natūralųjį skaičių 4 ir periodinę dešimtainę trupmeną 3, (9).

Sprendimas

Duotos dešimtainės trupmenos periodas yra 9, o tai reiškia, kad prieš palyginimą reikia duotą dešimtainę trupmeną pakeisti baigtiniu arba natūraliuoju skaičiumi, lygiu jam. Šiuo atveju: 3, (9) = 4. Taigi pradiniai duomenys yra lygūs.

Atsakymas: 4 = 3, (9).

Norėdami palyginti dešimtainę trupmeną su trupmena arba mišriu skaičiumi, turite:

Parašykite trupmeną arba mišrų skaičių kaip dešimtainį skaičių, tada palyginkite dešimtainį skaičių arba
- parašykite dešimtainę trupmeną kaip bendrąją trupmeną (išskyrus begalinę neperiodinę trupmeną), tada palyginkite su duota bendrąja trupmena arba mišriu skaičiumi.

10 pavyzdys

Būtina palyginti dešimtainę trupmeną 0,34 ir paprastąją trupmeną 1 3.

Sprendimas

Išspręskime problemą dviem būdais.

1. Parašykime duotą paprastąją trupmeną 1 3 lygios periodinės dešimtainės trupmenos pavidalu: 0, 33333.... Tada reikia palyginti dešimtaines trupmenas 0, 34 ir 0, 33333.... Gauname: 0, 34 > 0, 33333 ..., o tai reiškia 0, 34 > 1 3.
2. Parašykime duotą dešimtainę trupmeną 0, 34 kaip paprastąją trupmeną, lygią jai. Tai yra: 0, 34 = 34 100 = 17,50. Palyginkime paprastąsias trupmenas su skirtingais vardikliais ir gaukime: 17 50 > 1 3. Taigi, 0, 34 > 1 3.

Atsakymas: 0 , 34 > 1 3 .

11 pavyzdys

Būtina palyginti begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną 4, 5693 ... ir mišrų skaičių 4 3 8 .

Sprendimas

Begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena negali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius, tačiau galima mišrų skaičių paversti netinkama trupmena, o savo ruožtu įrašyti kaip lygią dešimtainę trupmeną. Tada: 4 3 8 = 35 8 ir

Tie.: 4 3 8 = 35 8 = 4,375. Palyginkime dešimtaines trupmenas: 4, 5693 ... ir 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) ir gaukime: 4, 5693 ... > 4 3 8.

Atsakymas: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Atkarpa AB yra lygi 6 cm, tai yra, 60 mm. Kadangi 1 cm = dm, tada 6 cm = dm. Tai reiškia, kad AB yra 0,6 dm. Kadangi 1 mm = dm, tada 60 mm = dm. Tai reiškia, kad AB = 0,60 dm.
Taigi AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Tai reiškia, kad dešimtainės trupmenos 0,6 ir 0,60 išreiškia tos pačios atkarpos ilgį decimetrais. Šios trupmenos yra lygios viena kitai: 0,6 = 0,60.

Jei pridedate nulį arba atmetate nulį dešimtainės trupmenos pabaigoje, gausite trupmena, lygus šiam.
Pavyzdžiui,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Palyginkime dvi dešimtaines trupmenas 5,345 ir 5,36. Išlyginkime skaičių po kablelio skaičių, skaičiaus 5,36 dešinėje pridėdami nulį. Gauname trupmenas 5,345 ir 5,360.

Parašykime jas netinkamų trupmenų forma:

Šios trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Tai reiškia, kad tas, kurio skaitiklis didesnis, yra didesnis.
Nuo 5345 m< 5360, то o tai reiškia 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Norėdami palyginti dvi dešimtaines trupmenas, pirmiausia turite išlyginti skaičių po kablelio skaičių, pridėdami nulius prie vieno iš jų dešinėje, o tada, atmetę kablelį, palyginkite gautą skaičių. natūraliuosius skaičius.

Dešimtainės trupmenos gali būti vaizduojamos koordinačių spindulyje taip pat, kaip ir paprastosios trupmenos.
Pavyzdžiui, norėdami pavaizduoti dešimtainę trupmeną 0,4 ant koordinačių spindulio, pirmiausia pavaizduojame ją kaip paprastąją trupmeną: 0,4 = Tada atidedame keturias dešimtąsias vieneto atkarpos nuo spindulio pradžios. Gauname tašką A(0,4) (141 pav.).

Lygios dešimtainės trupmenos koordinačių spindulyje vaizduojamos tuo pačiu tašku.

Pavyzdžiui, trupmenos 0,6 ir 0,60 pavaizduotos vienu tašku B (žr. 141 pav.).

Mažesnė dešimtainė trupmena yra ant koordinačių spindulysį kairę nuo didesnio, o didesnis – į dešinę nuo mažesnio.

Pavyzdžiui, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Ar pasikeis dešimtainis skaičius, jei pabaigoje bus pridėtas nulis?
A6 nuliai?
Suformuluokite palyginimo taisyklę dešimtainis trupmenomis.

1172. Parašykite dešimtainę trupmeną:

a) su keturiais skaičiais po kablelio, lygus 0,87;
b) su penkiais skaičiais po kablelio, lygus 0,541;
c) su trimis skaitmenimis po užimto, lygus 35;
d) su dviem skaitmenimis po kablelio, lygus 8,40000.

1173. Dešinėje pridėdami nulius, išlyginkite kablelio skaičių po kablelio trupmenomis: 1,8; 13,54 ir 0,789.

1174. Parašykite trumpesnes trupmenas: 2,5000; 3,02000; 20 010.

85,09 ir 67,99; 55,7 ir 55,7000; 0,5 ir 0,724; 0,908 ir 0,918; 7,6431 ir 7,6429; 0,0025 ir 0,00247.

1176. Išdėstykite skaičius didėjančia tvarka:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

išdėstyti mažėjančia tvarka.

a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Palyginkite reikšmes:

a) 98,52 m ir 65,39 m; e) 0,605 t ir 691,3 kg;
b) 149,63 kg ir 150,08 kg; f) 4,572 km ir 4671,3 m;
c) 3,55 °C ir 3,61 °C; g) 3,835 ha ir 383,7 a;
d) 6,781 valandos ir 6,718 valandos; h) 7,521 l ir 7538 cm3.

Ar galima lyginti 3,5 kg ir 8,12 m? Pateikite keletą dydžių, kurių negalima palyginti, pavyzdžių.

1185. Apskaičiuokite žodžiu:

1186. Atkurti skaičiavimų grandinę

1187. Ar galima pasakyti, kiek skaitmenų po kablelio yra dešimtainėje trupmenoje, jei jos pavadinimas baigiasi žodžiu:

a) šimtosios dalys; b) dešimties tūkstantųjų dalių; c) dešimtosios; d) milijonines dalis?

7 SKIRSNIS DEŠIMTAINĖS TRUMPOS IR OPERACIJOS SU JOMIS

Šiame skyriuje sužinosite:

kas yra dešimtainė trupmena ir kokia jos struktūra;

kaip palyginti dešimtainius skaičius;

kokios yra dešimtainių skaičių pridėjimo ir atėmimo taisyklės;

kaip rasti dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą ir dalinį;

kas yra skaičių apvalinimas ir kaip apvalinti skaičius;

kaip pritaikyti studijuotą medžiagą praktikoje

§ 29. KAS YRA DUOMENYS? LYGINANT DUOMENŲ SKAIČIUS

Pažvelkite į 220 pav. Matote, kad atkarpos AB ilgis yra 7 mm, o atkarpos DC ilgis yra 18 mm. Norėdami nurodyti šių segmentų ilgį centimetrais, turite naudoti trupmenas:

Žinote daug kitų pavyzdžių, kai naudojamos trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 ir panašiai. Taigi,

Tokios trupmenos vadinamos dešimtainėmis. Norėdami juos įrašyti, naudokite patogesnę formą, kurią siūlo jūsų priedo liniuotė. Pažiūrėkime į nagrinėjamą pavyzdį.

Žinote, kad atkarpos DC ilgį (220 pav.) galima išreikšti mišriu skaičiumi

Jei po šio skaičiaus sveikosios dalies dedame kablelį, o po jo – trupmeninės dalies skaitiklį, gauname kompaktiškesnį įrašą: 1,8 cm Atkarpos AB, tada gauname: 0,7 cm teisinga, ji yra mažesnė už vieną, todėl jo sveikoji dalis yra 0. Skaičiai 1,8 ir 0,7 yra dešimtainių trupmenų pavyzdžiai.

Dešimtainė trupmena 1,8 skaitoma taip: „vienas taškas aštuoni“, o trupmena 0,7 yra „nulis taškas septyni“.

Kaip rašyti trupmenas kaip po kablelio? Norėdami tai padaryti, turite žinoti dešimtainio žymėjimo struktūrą.

Dešimtainės trupmenos žymėjime visada yra sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis. jie atskiriami kableliu. Visoje dalyje klasės ir rangai yra tokie patys kaip ir natūraliųjų skaičių. Jūs žinote, kad tai yra vienetų klasės, tūkstančiai, milijonai ir tt, ir kiekvienas iš jų turi 3 skaitmenis - vienetus, dešimtis ir šimtus. Dešimtainės trupmenos trupmeninėje dalyje klasės neskiriamos, tačiau skaitmenų gali būti tiek, kiek norima, jų pavadinimai atitinka trupmenų vardininkų pavadinimus – dešimtosios, šimtosios, tūkstantosios, dešimtosios tūkstantosios, šimtosios tūkstantosios, milijoninės dalys; , dešimt milijoninių dalių ir kt. Dešimtoji vieta yra seniausia vieta dešimtainio trupmeninėje dalyje.

40 lentelėje matote dešimtainių skaičių pavadinimus ir skaičių „šimtas dvidešimt trys sveikos ir keturi tūkstančiai penki šimtai šeši šimtai tūkstantosios dalys“ arba

Trupmeninės dalies pavadinimas „šimtas tūkstantųjų“ įprastoje trupmenoje nustato jos vardiklį, o dešimtainėje dalyje - paskutinį jos trupmeninės dalies skaitmenį. Tai matote trupmeninės skaičiaus dalies skaitiklyje Vardiklyje yra vienu skaitmeniu mažiau nei nulių. Jei į tai neatsižvelgsime, tada gausime klaidą įrašant trupmeninę dalį - vietoj 4506 šimtatūkstantųjų parašysime 4506 dešimtąją tūkstantąją dalį, bet

Todėl rašydami šį skaičių kaip dešimtainę trupmeną, po kablelio (dešimtoje vietoje) turite įdėti 0: 123,04506.

Atkreipkite dėmesį:

dešimtainėje trupmenoje po kablelio turi būti tiek skaitmenų, kiek atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklyje yra nulių.

Dabar galime užrašyti trupmenas

kaip po kablelio.

Dešimtaines galima lyginti taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius. Jei įrašant dešimtaines trupmenas yra daug skaitmenų, taikomos specialios taisyklės. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Užduotis. Palyginkite trupmenas: 1) 96,234 ir 830,123; 2) 3,574 ir 3,547.

Sprendimai. 1, Pirmosios trupmenos sveikoji dalis yra dviženklis skaičius 96, o antrosios trupmenos sveikoji dalis yra triženklis skaičius 830, todėl:

96,234 < 830,123.

2. Rašant trupmenos 3,574 ir 3,547 ir sveikosios dalys yra lygios. Todėl mes lyginame jų trupmenines dalis po truputį.

Kiekviena trupmena turi 5 dešimtąsias. Tačiau pirmoje trupmenoje yra 7 šimtosios dalys, o antroje - tik 4 šimtosios. Todėl pirmoji trupmena didesnė už antrąją: 3,574 > 3,547.

Dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės.

1. Iš dviejų dešimtainių trupmenų ta, kurios visa dalis yra didesnė, yra didesnė.

2. Jei dešimtainių trupmenų sveikosios dalys yra lygios, tada po truputį palyginkite jų trupmenines dalis, pradedant nuo reikšmingiausio skaitmens.

Kaip ir trupmenos, dešimtainės dalys gali būti dedamos ant koordinačių spindulio. 221 paveiksle matote, kad taškai A, B ir C turi koordinates: A(0.2), B(0.9), C(1.6).

Sužinokite daugiau

Dešimtainės yra susijusios su dešimtaine padėties skaičių sistema. Tačiau jų pasirodymas turi ilgesnę istoriją ir yra susijęs su iškilaus matematiko ir astronomo al-Kashi (pilnas vardas – Jemshid ibn Masudal-Kashi) vardu. Savo veikale „Aritmetikos raktas“ (XV a.) jis pirmiausia suformulavo darbo su dešimtainėmis trupmenomis taisykles ir pateikė veiksmų su jomis atlikimo pavyzdžių. Nieko nežinodamas apie al-Kashi atradimą, flamandų matematikas ir inžinierius Simonas Stevinas antrą kartą „atrado“ dešimtaines trupmenas maždaug po 150 metų. S. Stevinas veikale „Dešimtainė“ (1585 p.) išdėstė dešimtainių trupmenų teoriją. Jis visais įmanomais būdais juos reklamavo, pabrėždamas dešimtainių trupmenų patogumą praktiniams skaičiavimams.

Atskirti visą dalį nuo trupmeninės dešimtainės dalies buvo pasiūlyta įvairiais būdais. Taigi al-Kashi parašė visą ir trupmeninę dalis skirtingais rašalu arba tarp jų uždėjo vertikalią liniją. S. Stevinas į apskritimą įdėjo nulį, kad atskirtų visą dalį nuo trupmeninės dalies. Mūsų laikais priimtą kablelį pasiūlė garsus vokiečių astronomas Johannesas Kepleris (1571 - 1630).

SPRENDIMAS PROBLEMAS

1173. Užrašykite atkarpos AB ilgį centimetrais, jei:

1) AB = 5 mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4) AB = 2 mm.

1174. Skaitykite trupmenas:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Pavadinimas: a) visa trupmenos dalis; b) trupmenos dalis; c) trupmenos skaitmenys.

1175. Pateikite dešimtainės trupmenos pavyzdį, kurioje po kablelio yra:

1) vienas skaitmuo; 2) du skaičiai; 3) trys skaičiai.

1176. Kiek skaičių po kablelio turi trupmena po kablelio, jei atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklis lygus:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Kuri iš trupmenų turi didesnę sveikąją dalį:

1) 12,5 arba 115,2; 4) 789,154 arba 78,4569;

2) 5,25 arba 35,26; 5) 1258,00265 arba 125,0333;

3) 185,25 arba 56,325; 6) 1269,569 arba 16,12?

1178. Skaičiuje 1256897 paskutinį skaitmenį atskirkite kableliu ir perskaitykite gautą numerį. Tada paeiliui perkelkite kablelį vienu skaitmeniu į kairę ir pavadinkite gautas trupmenas.

1179. Perskaitykite trupmenas ir parašykite jas po kablelio:

1180 Perskaitykite trupmenas ir parašykite jas po kablelio:

1181. Paprastąja trupmena parašykite:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Paprastąja trupmena parašykite:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Dešimtaine trupmena parašykite:

1) 8 punktas 3; 5) 145 14 punktas;

2) 12 5 punktas; 6) 125 19 punktas;

3) 0 taško 5; 7) 0 balo 12 šimtųjų dalių;

4) 12 taškų 34 šimtosios dalys; 8) 0 taško 3 šimtosios dalys.

1184. Dešimtaine trupmena parašykite:

1) nulis taško aštuonios tūkstantosios dalys;

2) dvidešimt keturių taškų;

3) trylika taško penki;

4) vienas šimtas keturiasdešimt penki taškai dvi šimtosios dalys.

1185. Parašykite trupmeną kaip trupmeną, o po to kaip po kablelio:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Parašykite kaip mišrų skaičių, o po to kaip dešimtainį:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Parašykite mišrų skaičių, o po to dešimtainį skaičių:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Ekspresas grivinomis:

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kapeikos; 4) 123 tūkst.

1189. Ekspresas grivinomis:

1) 58 k.; 2) 2 k.; 3) 56 UAH 55 kapeikos; 4) 175 tūkst.

1190. Grivinomis ir kapeikomis parašykite:

1) 10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH.

1191. Išreikškite metrais ir atsakymą parašykite dešimtaine trupmena: 1) 5 m 7 dm; 2) 15 m 58 cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Išreikškite kilometrais ir atsakymą parašykite dešimtaine trupmena: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Parašykite metrais ir centimetrais:

1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.

1194. Didžiausias Juodosios jūros gylis – 2211 km. Išreikškite jūros gylį metrais.

1195. Palyginkite trupmenas:

1) 15,5 ir 16,5; 5) 4.2 ir 4.3; 9) 1,4 ir 1,52;

2) 12,4 ir 12,5; 6) 14,5 ir 15,5; 10) 4,568 ir 4,569;

3)45,8 ir 45,59; 7) 43,04 ir 43,1; 11)78.45178.458;

4) 0,4 ir 0,6; 8) 1,23 ir 1,364; 12) 2,25 ir 2,243.

1196. Palyginkite trupmenas:

1) 78,5 ir 79,5; 3) 78,3 ir 78,89; 5) 25.03 ir 25.3;

2) 22,3 ir 22,7; 4) 0,3 ir 0,8; 6) 23,569 ir 23,568.

1197. Parašykite dešimtaines trupmenas didėjančia tvarka:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Užrašykite dešimtaines trupmenas mažėjimo tvarka:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Išreikškite kvadratiniais metrais ir parašykite dešimtaine trupmena:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200. Kambarys yra stačiakampio formos. Jo ilgis – 90 dm, plotis – 40 dm. Raskite kambario plotą. Atsakymą parašykite kvadratiniais metrais.

1201. Palyginkite trupmenas:

1)0,04 ir 0,06; 5) 1,003 ir 1,03; 9) 120,058 ir 120,051;

2) 402,0022 ir 40,003; 6) 1,05 ir 1,005; 10) 78,05 ir 78,58;

3) 104,05 ir 105,05; 7) 4,0502 ir 4,0503; 11) 2,205 ir 2,253;

4) 40,04 ir 40,01; 8)60.4007i60.04007; 12) 20.12 ir 25.012.

1202. Palyginkite trupmenas:

1)0,03 ir 0,3; 4) 6.4012 ir 6.404;

2) 5,03 ir 5,003; 5) 450,025 ir 450,2054;

1203. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, esančias tarp koordinačių spindulio trupmenų:

1)6.2 ir 6.3; 2) 9,2 ir 9,3; 3) 5,8 ir 5,9; 4) 0,4 ir 0,5.

1204. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, esančias tarp koordinačių pluošto trupmenų: 1) 3.1 ir 3.2; 2) 7.4 ir 7.5.

1205. Tarp kokių dviejų gretimų natūraliųjų skaičių dedama dešimtainė trupmena:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurioms galioja nelygybė:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurioms galioja nelygybė:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Parašykite didžiausią dešimtainę trupmeną:

1) su dviem skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 2;

2) su vienu skaitmeniu po kablelio, mažesniu nei 3;

3) su trimis skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 4;

4) su keturiais skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 1.

1209. Parašykite mažiausią dešimtainę trupmeną:

1) su dviem skaitmenimis po kablelio, kuris yra didesnis nei 2;

2) su trimis skaitmenimis po kablelio, kuris yra didesnis nei 4.

1210. Užrašykite visus skaičius, kuriuos galima padėti vietoje žvaigždutės, kad gautumėte teisingą nelygybę:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Kokį skaičių galima įdėti vietoj žvaigždutės, kad gautume teisingą nelygybę:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Užrašykite visus dešimtainius skaitmenis, kurių sveikoji dalis lygi 6, o trupmeninėje dalyje yra trys skaitmenys po kablelio, užrašyti kaip 7 ir 8. Parašykite šias trupmenas mažėjimo tvarka.

1213. Užrašykite šešias dešimtaines trupmenas, kurių sveikoji dalis lygi 45, o trupmeninę sudaro keturi skirtingi skaitmenys: 1, 2, 3, 4. Užrašykite šias trupmenas didėjimo tvarka.

1214. Kiek galite padaryti dešimtainių trupmenų, kurių sveikoji dalis lygi 86, o trupmeninė dalis susideda iš trijų skirtingų skaitmenų: 1,2,3?

1215. Kiek galima sudaryti dešimtainių trupmenų, kurių sveikoji dalis lygi 5, o trupmeninė – triženklė, rašoma 6 ir 7? Parašykite šias trupmenas mažėjimo tvarka.

1216. Nubraukite tris nulius iš skaičiaus 50.004007, kad susidarytumėte:

1) didžiausias skaičius; 2) mažiausias skaičius.

PRADĖKITE PRAKTIKAI

1217. Išmatuokite savo sąsiuvinio ilgį ir plotį milimetrais ir parašykite atsakymą decimetrais.

1218. Užrašykite savo ūgį metrais naudodamiesi kablelio.

1219. Išmatuokite savo kambario matmenis ir apskaičiuokite jo perimetrą bei plotą. Atsakymą parašykite metrais ir kvadratiniais metrais.

PERŽIŪRĖTI PROBLEMAS

1220. Kokiomis x reikšmėmis trupmena yra neteisinga?

1221. Išspręskite lygtį:

1222. Parduotuvė turėjo parduoti 714 kg obuolių. Pirmą dieną buvo parduoti visi obuoliai, o antrą dieną – nuo ​​to, kas buvo parduota pirmą dieną. Kiek obuolių parduota per 2 dienas?

1223. Kubo kraštas buvo sumažintas 10 cm ir gavome kubą, kurio tūris yra 8 dm3. Raskite pirmojo kubo tūrį.

Trupmena yra viena ar daugiau lygių vienos visumos dalių. Trupmena rašoma naudojant du natūraliuosius skaičius, atskirtus linija. Pavyzdžiui, 1/2, 14/4, ¾, 5/9 ir kt.

Skaičius, parašytas virš eilutės, vadinamas trupmenos skaitikliu, o skaičius, parašytas žemiau eilutės, vadinamas trupmenos vardikliu.

Trupmeniniams skaičiams, kurių vardiklis yra 10, 100, 1000 ir kt. Sutarėme skaičių užrašyti be vardiklio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia parašykite sveikąją skaičiaus dalį, padėkite kablelį ir parašykite šio skaičiaus trupmeninę dalį, tai yra trupmeninės dalies skaitiklį.

Pavyzdžiui, vietoj 6 * (7/10) jie rašo 6.7.

Šis žymėjimas paprastai vadinamas dešimtaine trupmena.

Kaip palyginti du dešimtainius

Išsiaiškinkime, kaip palyginti dvi dešimtaines trupmenas. Norėdami tai padaryti, pirmiausia patikrinkime vieną pagalbinį faktą.

Pavyzdžiui, tam tikro segmento ilgis yra 7 centimetrai arba 70 mm. Taip pat 7 cm = 7/10 dm arba dešimtainiu ženklu 0,7 dm.

Kita vertus, 1 mm = 1/100 dm, tada 70 mm = 70/100 dm arba dešimtainiu būdu 0,70 dm.

Taigi gauname, kad 0,7 = 0,70.

Iš to darome išvadą, kad jei dešimtainės trupmenos pabaigoje pridėsime arba atmesime nulį, gausime trupmeną, lygią duotajai. Kitaip tariant, trupmenos vertė nepasikeis.

Trupmenos su panašiais vardikliais

Tarkime, kad turime palyginti dvi dešimtaines trupmenas 4,345 ir 4,36.

Pirmiausia reikia išlyginti skaičių po kablelio skaičių, pridedant arba atmetant nulius dešinėje. Rezultatai bus 4,345 ir 4,360.

Dabar juos reikia užrašyti kaip netinkamas trupmenas:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Gautos trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Pagal trupmenų palyginimo taisyklę žinome, kad šiuo atveju trupmena su didesniu skaitikliu yra didesnė. Tai reiškia, kad trupmena 4,36 yra didesnė už trupmeną 4,345.

Taigi, norėdami palyginti dvi dešimtaines trupmenas, pirmiausia turite išlyginti jų skaičių po kablelio, pridėdami nulius prie vieno iš jų dešinėje, o tada, atmetę kablelį, palyginti gautus natūraliuosius skaičius.

Dešimtainės trupmenos gali būti vaizduojamos kaip taškai skaičių eilutėje. Ir todėl kartais, kai vienas skaičius yra didesnis už kitą, jie sako, kad šis skaičius yra kito dešinėje, o jei mažesnis, tada kairėje.

Jei dvi dešimtainės trupmenos yra lygios, tada skaičių eilutėje jos vaizduojamos tuo pačiu tašku.