Pirmiausia reikia pasakyti, kad apskritai yra dviejų tipų trupmenos: paprastosios trupmenos ir dešimtainės trupmenos. Paprastosios trupmenos rašomos taip:
Dešimtainės trupmenos rašomos skirtingai:

Paprastosios trupmenos susideda iš dviejų dalių: viršuje – skaitiklis, apačioje – vardiklis. Skaitiklis ir vardiklis atskiriami trupmenos linija. Taigi atsiminkite:

Bet kuri trupmena yra visumos dalis. Paprastai imamasi kaip visuma 1 (vienetas). Trupmenos vardiklis parodo, kiek dalių visuma yra padalinta į ( 1 ), o skaitiklis rodo, kiek dalių buvo paimta. Jei pyragą supjaustysime į 6 lygias dalis (matematikoje sakoma akcijų ), tada kiekviena pyrago dalis bus lygi 1/6. Jei Vasya suvalgė 4 gabalus, tai reiškia, kad jis suvalgė 4/6.

Kita vertus, pasvirasis brūkšnys yra ne kas kita, kaip padalijimo ženklas. Todėl trupmena yra dviejų skaičių – skaitiklio ir vardiklio – koeficientas. Užduočių tekste ar receptuose trupmenos dažniausiai rašomos taip: 2/3, 1/2 ir t.t. Kai kurios trupmenos turi savo pavadinimus, pavyzdžiui, 1/2 - "pusė", 1/3 - "trečia", 1/4 - "ketvirtis"
Dabar išsiaiškinkime, kokių tipų yra paprastosios trupmenos.

2 Paprastųjų trupmenų rūšys

Yra trijų tipų paprastosios trupmenos: tinkama, netinkama ir mišri:

Tinkama trupmena

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tada tokia trupmena vadinama teisinga, Pavyzdžiui: Tinkama trupmena visada yra mažesnė nei 1.

Netinkama frakcija

Jei skaitiklis didesnis už vardiklį arba lygus vardikliui, tokia trupmena vadinama negerai, Pavyzdžiui:

Netinkama trupmena yra didesnė už vienetą (jei skaitiklis didesnis už vardiklį) arba lygi vienetui (jei skaitiklis lygus vardikliui)

Mišri frakcija

Jei trupmena susideda iš sveikojo skaičiaus (sveikosios dalies) ir tinkamos trupmenos (trumposios dalies), tada tokia trupmena vadinama sumaišytas, Pavyzdžiui:

Mišri trupmena visada yra didesnė už vienetą.

3 Trupmenų konversijos

Matematikoje paprastosios trupmenos dažnai turi būti konvertuojamos, tai yra, mišri trupmena turi būti paversta netinkamąja trupmena ir atvirkščiai. Tai būtina norint atlikti tam tikras operacijas, tokias kaip daugyba ir padalijimas.

Taigi, bet kokia mišri trupmena gali būti paversta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, visa dalis padauginama iš vardiklio ir pridedamas trupmeninės dalies skaitiklis. Gauta suma laikoma skaitikliu, o vardiklis paliekamas toks pat, pavyzdžiui:

Bet kokia netinkama frakcija gali būti paversta mišria frakcija. Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio (su likučiu) Gautas skaičius bus sveikoji dalis, o likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis, pavyzdžiui:

Tuo pat metu jie sako: „Išskyrėme visą dalį nuo netinkamos trupmenos“.

Dar viena taisyklė, kurią reikia atsiminti: Bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1, Pavyzdžiui:

Pakalbėkime apie tai, kaip palyginti trupmenas.

4 Trupmenų palyginimas

Lyginant trupmenas gali būti keli variantai: Lengva lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, bet daug sunkiau, jei vardikliai skiriasi. Taip pat yra mišrių trupmenų palyginimas. Bet nesijaudinkite, dabar mes išsamiai išnagrinėsime kiekvieną parinktį ir išmoksime palyginti trupmenas.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais, trupmena su didesniu skaitikliu yra didesnė, pavyzdžiui:

Lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais, trupmena su mažesniu vardikliu yra didesnė, pavyzdžiui:

Sumaišytų ir netinkamų trupmenų palyginimas su tinkamomis trupmenomis

Netinkama arba mišri trupmena visada yra didesnė už tinkamą trupmeną, pavyzdžiui:

Dviejų mišrių frakcijų palyginimas

Lyginant dvi mišrias trupmenas, didesnė dalis, kurios visa dalis yra didesnė, pvz.:

Jei mišrių trupmenų sveikosios dalys yra vienodos, trupmena, kurios trupmeninė dalis yra didesnė, yra didesnė, pavyzdžiui:

Palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais

Negalite palyginti trupmenų su skirtingais skaitikliais ir vardikliais jų nekonvertuodami. Pirmiausia trupmenas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada lyginti jų skaitiklius. Kuo didesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis. Tačiau kitose dviejose straipsnio dalyse apžvelgsime, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Pirmiausia pažvelgsime į pagrindinę trupmenų savybę ir mažindami trupmenas, o tada tiesiogiai sumažinsime trupmenas iki to paties vardiklio.

5 Pagrindinė trupmenos savybė. Mažinančios frakcijos. GCD samprata.

Prisiminkite: Galite pridėti, atimti ir palyginti tik tas trupmenas, kurių vardikliai yra tokie patys. Jei vardikliai skiriasi, pirmiausia turite suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, ty vieną iš trupmenų paversti taip, kad jos vardiklis taptų toks pat kaip ir antrosios trupmenos.

Trupmenos turi vieną svarbią savybę, dar vadinamą pagrindinė trupmenos savybė:

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, tada trupmenos reikšmė nesikeičia:

Šio turto dėka galime sumažinti frakcijas:

Norint sumažinti trupmeną, skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš to paties skaičiaus.(žr. pavyzdį aukščiau). Kai sumažiname trupmeną, savo veiksmus galime užrašyti taip:

Dažniau sąsiuviniuose trupmena trumpinama taip:

Tačiau atminkite: veiksnius galite tik sumažinti. Jei skaitiklyje arba vardiklyje yra suma arba skirtumas, terminų sumažinti negalima.

Pavyzdys:

Pirmiausia turite konvertuoti sumą į daugiklį: Kartais, dirbant su dideliais skaičiais, norint sumažinti trupmeną, patogu rasti

didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis (GCD) Didžiausias bendras daliklis (GCD)

keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio šie skaičiai dalijasi be liekanos.

Norėdami rasti dviejų skaičių gcd (pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį), turite abu skaičius sudėti į pirminius veiksnius, pažymėti tuos pačius veiksnius abiejose faktorinizacijose ir šiuos veiksnius padauginti. Gautas produktas bus GCD. Pavyzdžiui, turime sumažinti trupmeną:

Raskime skaičių 96 ir 36 gcd:

GCD rodo, kad tiek skaitiklio, tiek vardiklio koeficientas yra 12, ir mes galime nesunkiai sumažinti trupmeną.

6 Kartais, norint suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, pakanka sumažinti vieną iš trupmenų. Tačiau dažniau reikia pasirinkti papildomus abiejų frakcijų veiksnius. Dabar pažiūrėsime, kaip tai daroma. Taigi:

Kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Mažiausias bendras kartotinis (LCM).

Kai sumažiname trupmenas iki to paties vardiklio, vardikliui pasirenkame skaičių, kuris dalijasi ir iš pirmojo, ir iš antrojo vardiklio (tai yra, matematiškai tai būtų abiejų vardklių kartotinis). Ir pageidautina, kad šis skaičius būtų kuo mažesnis, patogiau skaičiuoti. Taigi turime rasti abiejų vardiklių LCM. yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų šių skaičių be liekanos. Kartais LCM galima rasti žodžiu, tačiau dažniau, ypač dirbant su dideliais skaičiais, LCM reikia rasti raštu, naudojant šį algoritmą:

Norėdami rasti kelių skaičių LCM, jums reikia:

1. Padalinkite šiuos skaičius į pirminius veiksnius
2. Paimkite didžiausią išplėtimą ir parašykite šiuos skaičius kaip produktą
3. Kituose išplėtimuose pasirinkite skaičius, kurie nepasirodo didžiausiame išplėtime (arba joje pasitaiko mažiau kartų), ir pridėkite juos prie gaminio.
4. Padauginkite visus gaminio skaičius, tai bus LCM.

Pavyzdžiui, suraskime skaičių 28 ir 21 LCM:

Tačiau grįžkime prie savo trupmenų. Radę arba parašę apskaičiavę abiejų vardiklių LCM, šių trupmenų skaitiklius turime padauginti iš papildomi daugikliai. Juos galite rasti padalydami LCM iš atitinkamos trupmenos vardiklio, pavyzdžiui:

Taigi mes sumažinome savo trupmenas iki to paties vardiklio - 15.

7 Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, tačiau vardiklį palikite tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį, pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti mišrias trupmenas, turite atskirai pridėti visas jų dalis, tada pridėti jų trupmenines dalis ir parašyti rezultatą kaip mišrią trupmeną:

Jei pridėdami trupmenines dalis gaunate netinkamą trupmeną, pasirinkite iš jos visą dalį ir pridėkite prie visos dalies, pvz.:

Atimtis atliekama panašiai: sveikoji dalis atimama iš visos dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies:

Jei trupmeninė dalis yra didesnė už trupmeninę mažmeninės dalies dalį, mes „pasiskoliname“ vieną iš visos dalies, paverčiame miniatiūrą netinkama trupmena ir tęsiame kaip įprasta:

Taip pat atimti trupmeną iš sveikojo skaičiaus:

Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

Norėdami pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną, tiesiog pridėkite šį skaičių prieš trupmeną, kad sukurtumėte mišrią trupmeną, pavyzdžiui:

Jeigu mes pridedant sveikąjį skaičių ir mišriąją trupmeną, pridedame šį skaičių prie visos trupmenos dalies, pavyzdžiui:

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas.

Norėdami pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas perkelti į tą patį vardiklį, o tada tęsti taip, kaip pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais (pridėkite skaitiklius):

Atimdami elgiamės taip pat:

Jei dirbame su mišriomis trupmenomis, jų trupmenines dalis sumažiname iki to paties vardiklio ir atimame kaip įprasta: visą dalį iš visos, o trupmeninę dalį iš trupmeninės:

8 Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Padauginti ir padalyti trupmenas yra daug lengviau nei sudėti ir atimti, nes nereikia jų sumažinti iki to paties vardiklio. Prisiminkite paprastas trupmenų dauginimo ir padalijimo taisykles:

Prieš dauginant skaičius skaitiklyje ir vardiklyje, patartina sumažinti trupmeną, tai yra, atsikratyti tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių, kaip ir mūsų pavyzdyje.

Trupmeną padalyti iš natūraliojo skaičiaus, reikia padauginti vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą:

Pavyzdžiui:

Trupmenos dalijimas iš trupmenos

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinio skaičiaus (atvirkštinė trupmena). Kokia tai yra atvirkštinė trupmena?

Jei trupmeną apverčiame, tai yra, sukeičiame skaitiklį ir vardiklį, gauname grįžtamąją trupmeną. Trupmenos sandauga ir atvirkštinė jos sandauga suteikia vieną. Matematikoje tokie skaičiai vadinami atvirkštiniais:

Pavyzdžiui, skaičiai - yra tarpusavyje atvirkštiniai, nes

Taigi, grįžkime prie trupmenos padalijimo iš trupmenos:

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės:

Pavyzdžiui:

Dalydami mišrias trupmenas, kaip ir daugindami, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamas trupmenas:

Dauginant ir dalijant trupmenas iš sveikųjų natūraliųjų skaičių, šiuos skaičius taip pat galite pateikti kaip trupmenas su vardikliu 1 .

Ir kada sveikąjį skaičių padalijus iš trupmenos pavaizduokite šį skaičių kaip trupmeną su vardikliu 1 :

„Trupmeninė“ matematika vaikams

Sutikime iš karto, kad trupmena yra visumos dalis, mažesnė nei viena. Į kiek dalių padalinsime visumą? Ir mes taip sutariame. Ką laikysime vienetu? Tas pats, kaip mes sutariame. Jie tokie paslaugūs, šios frakcijos. Taip pat reikia atsiminti vieną dalyką: skaičius, į kiek dalių nusprendėme padalyti visumą, yra vardiklis, kiek šių dalių paėmėme, yra skaitiklis.

Pavyzdžiui, čia yra istorija. Ant žolės yra 3 obuoliai, ežiukas paėmė tik 2. Už visą (vienetą) paimsime visus obuolius - visą derlių. Bet mes jų turime 3, vadinasi, mūsų derlius padalintas į 3 dalis. 3 yra vardiklis. Visas derlius (vienetas) – 3/3, o kiekvienas obuolys – 1/3 derliaus. Kadangi ežiukas paėmė 2 obuolius, vadinasi, jis paėmė 2/3 derliaus!

Arba galite pasiimti „Lego“ – daugelio vaikų taip mėgstamą konstravimo rinkinį. Jau seniai pastebėjome, kad visi jo elementai yra skirtingo dydžio, tiesa? Ir kiekviena dalis turi skirtingą skaičių "spuogelių" taškų. Suskaičiuokime – štai vienas, du, keturi, šeši ir net aštuoni.

Panagrinėkime „Lego“ plytelę su aštuoniais taškais kaip visumą (vienetą). Pirmiausia palyginkime jį su kitais. Kiek „Lego“ gabalėlių su 4 taškais turime paimti, kad pagamintume „mūriuką“? Teisingai, du. Tai reiškia, kad viena dalis su 4 taškais yra 1/2 mūsų „vieneto“. Kiek dalių su dviem taškais reikia paimti, kad gautumėte visumą? Teisingai, keturi. Todėl viena tokia detalė yra 1/4. O dalis su vienu tašku yra 1/8, nes norint padaryti visumą reikės net 8 tokių dalių. Dabar problema sudėtingesnė: turime elementą su šešiais taškais. Jame telpa 3 „ketvirčiai“, o jei pridėsite dar vieną, gausite visumą (vienetą). Taigi, čia yra pirmasis pavyzdys: 3/4+1/4=4/4 arba 1 (jei skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, tai yra vienas!)

Tai toli gražu ne vienintelis eksperimentas, kurį galima atlikti su „Lego“. Su trupmenomis galima sutikti daug ko. O jeigu tą patį skaičiuotume ne ketvirčiais, o aštuntomis? Ir mūsų vardiklis bus 8? Pažiūrėkime į paveikslėlį: vienetas yra „plyta“ su aštuoniais taškais. 1/2 - pasirodo, kad tai yra 4/8, o 1/4 = 2/8. Ir tai yra istorija apie tai, kaip galite sumažinti trupmenas. Tačiau ši tema tikrai gali šiek tiek palaukti!

Pavyzdžiai su trupmenomis yra vienas iš pagrindinių matematikos elementų. Yra daug skirtingų lygčių su trupmenomis tipų. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos, kaip išspręsti šio tipo pavyzdžius.

Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – bendrosios taisyklės

Norėdami išspręsti pavyzdžius su bet kokio tipo trupmenomis, nesvarbu, ar tai būtų sudėjimas, atimtis, daugyba ar padalijimas, turite žinoti pagrindines taisykles:

• Norėdami pridėti trupmenines išraiškas su tuo pačiu vardikliu (vardiklis yra skaičius, esantis trupmenos apačioje, skaitiklis yra viršuje), turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti tą patį.
• Norėdami iš vienos trupmenos atimti antrą trupmeninę išraišką (su tuo pačiu vardikliu), turite atimti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
• Norėdami pridėti ar atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite rasti mažiausią bendrą vardiklį.
• Norint rasti trupmeninę sandaugą, reikia padauginti skaitiklius ir vardiklius ir, jei įmanoma, sumažinti.
• Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, padauginkite pirmąją trupmeną iš antrosios atvirkštinės trupmenos.

Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – praktika

1 taisyklė, 1 pavyzdys:

Apskaičiuokite 3/4 +1/4.

Pagal 1 taisyklę, jei dvi (ar daugiau) trupmenos turi tą patį vardiklį, tiesiog pridėkite jų skaitiklius. Gauname: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra vienodi, trupmena bus lygi 1.

Atsakymas: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

2 taisyklė, 1 pavyzdys:

Apskaičiuokite: 3/4 – 1/4

Naudodami taisyklę numeris 2, norėdami išspręsti šią lygtį, turite atimti 1 iš 3 ir vardiklį palikti tą patį. Gauname 2/4. Kadangi du 2 ir 4 galima sumažinti, sumažiname ir gauname 1/2.

Atsakymas: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

3 taisyklė, 1 pavyzdys

Apskaičiuokite: 3/4 + 1/6

Sprendimas: naudodamiesi 3-ia taisykle randame mažiausią bendrą vardiklį. Mažiausias bendras vardiklis yra skaičius, kuris dalijasi iš visų pavyzdyje pateiktų trupmeninių reiškinių vardikų. Taigi, reikia rasti mažiausią skaičių, kuris dalijasi ir iš 4, ir iš 6. Šis skaičius yra 12. Vardikliu 12 padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio, gauname 3, padauginame iš 3, rašome. 3 skaitiklyje *3 ir + ženklas. 12 padaliname iš antrosios trupmenos vardiklio, gauname 2, 2 padauginame iš 1, skaitiklyje įrašome 2*1. Taigi, gauname naują trupmeną, kurios vardiklis lygus 12, o skaitiklis lygus 3*3+2*1=11. 11/12.

Atsakymas: 11/12

3 taisyklė, 2 pavyzdys:

Apskaičiuokite 3/4 – 1/6. Šis pavyzdys labai panašus į ankstesnį. Atliekame visus tuos pačius veiksmus, tačiau skaitiklyje vietoj + ženklo rašome minuso ženklą. Gauname: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Atsakymas: 7/12

4 taisyklė, 1 pavyzdys:

Apskaičiuokite: 3/4 * 1/4

Naudodami ketvirtąją taisyklę, padauginame pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos skaitiklį - iš antrosios trupmenos skaitiklio. 3*1/4*4 = 3/16.

Atsakymas: 3/16

4 taisyklė, 2 pavyzdys:

Apskaičiuokite 2/5 * 10/4.

Šią dalį galima sumažinti. Produkto atveju pirmosios trupmenos skaitiklis ir antrosios trupmenos vardiklis bei antrosios trupmenos skaitiklis ir pirmosios trupmenos vardiklis panaikinami.

2 atšaukimai iš 4. 10 atšaukimų iš 5. Gauname 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Atsakymas: 2/5 * 10/4 = 1

5 taisyklė, 1 pavyzdys:

Apskaičiuokite: 3/4: 5/6

Naudodami 5-ąją taisyklę, gauname: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Sumažiname trupmeną pagal ankstesnio pavyzdžio principą ir gauname 9/10.

Atsakymas: 9/10.

Kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis – trupmeninės lygtys

Trupmenų lygtys yra pavyzdžiai, kai vardiklyje yra nežinomasis. Norėdami išspręsti tokią lygtį, turite vadovautis tam tikromis taisyklėmis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Išspręskite lygtį 15/3x+5 = 3

Prisiminkime, kad negalima dalyti iš nulio, t.y. vardiklio reikšmė neturi būti lygi nuliui. Sprendžiant tokius pavyzdžius, tai turi būti nurodyta. Šiuo tikslu yra OA (leistinos vertės diapazonas).

Taigi 3x+5 ≠ 0.
Taigi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Esant x = 5/3 lygtis tiesiog neturi sprendimo.

Nurodius ODZ, geriausias būdas išspręsti šią lygtį yra atsikratyti trupmenų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia pateikiame visas ne trupmenines reikšmes kaip trupmeną, šiuo atveju skaičių 3. Gauname: 15/(3x+5) = 3/1. Norėdami atsikratyti trupmenų, turite kiekvieną iš jų padauginti iš mažiausio bendro vardiklio. Šiuo atveju tai bus (3x+5)*1. Veiksmų seka:

1. Padauginkite 15/(3x+5) iš (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Atidarykite skliaustus: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Tą patį darome su dešine lygties puse: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Sulyginkite kairę ir dešinę puses: 45x + 75 = 9x +15
5. Perkelkite X į kairę, skaičius į dešinę: 36x = – 50
6. Raskite x: x = -50/36.
7. Sumažiname: -50/36 = -25/18

Atsakymas: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – trupmeninės nelygybės

(3x-5)/(2-x)≥0 tipo trupmeninės nelygybės sprendžiamos naudojant skaičių ašį. Pažiūrėkime į šį pavyzdį.

Veiksmų seka:

• Skaitiklį ir vardiklį prilyginame nuliui: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Nubrėžiame skaičių ašį, užrašydami ant jos gautas reikšmes.
• Nubrėžkite apskritimą po verte. Yra dviejų tipų apskritimai – užpildyti ir tušti. Užpildytas apskritimas reiškia, kad nurodyta vertė yra sprendimų diapazone. Tuščias apskritimas rodo, kad ši reikšmė neįtraukta į sprendimų diapazoną.
• Kadangi vardiklis negali būti lygus nuliui, po 2-uoju bus tuščias apskritimas.

• Norėdami nustatyti ženklus, į lygtį pakeičiame bet kokį skaičių, didesnį nei du, pavyzdžiui, 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. reikšmė yra neigiama, o tai reiškia, kad virš ploto po dviejų įrašome minusą. Tada X pakeiskite bet kuria intervalo reikšme nuo 5/3 iki 2, pavyzdžiui, 1. Reikšmė vėl yra neigiama. Rašome minusą. Tą patį kartojame su plotu, esančiu iki 5/3. Pakeičiame bet kurį skaičių, mažesnį nei 5/3, pavyzdžiui, 1. Vėlgi, minusas.

• Kadangi mus domina x reikšmės, kurioms esant išraiška bus didesnė arba lygi 0, o tokių reikšmių nėra (visur yra minusų), ši nelygybė neturi sprendimo, tai yra, x = Ø (tuščias rinkinys).

Atsakymas: x = Ø

Vieneto dalis arba kelios jo dalys vadinamos paprastąja arba bendrąja trupmena. Lygių dalių, į kurias padalintas vienetas, skaičius vadinamas vardikliu, o paimtų dalių skaičius – skaitikliu. Trupmena rašoma taip:

Šiuo atveju a yra skaitiklis, b yra vardiklis.

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tada trupmena yra mažesnė už 1 ir vadinama tinkama trupmena. Jei skaitiklis didesnis už vardiklį, tai trupmena didesnė už 1, tada trupmena vadinama netinkamąja trupmena.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, tada trupmena yra lygi.

1. Jei skaitiklį galima padalyti iš vardiklio, tai ši trupmena lygi dalybos daliniui:

Jei dalijimas atliekamas su liekana, ši netinkama trupmena gali būti pavaizduota mišriu skaičiumi, pavyzdžiui:

Tada 9 yra nepilnas koeficientas (sveikasis mišraus skaičiaus dalis),
1 - liekana (trumposios dalies skaitiklis),
5 yra vardiklis.

Norint paversti mišrų skaičių į trupmeną, visą mišraus skaičiaus dalį reikia padauginti iš vardiklio ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį.

Gautas rezultatas bus bendrosios trupmenos skaitiklis, tačiau vardiklis išliks toks pat.

Veiksmai su trupmenomis

Frakcijos plėtra. Trupmenos reikšmė nesikeičia, jei jos skaitiklį ir vardiklį padauginate iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
Pavyzdžiui:

Dalies sumažinimas. Trupmenos reikšmė nepasikeičia, jei jos skaitiklį ir vardiklį padalijate iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
Pavyzdžiui:

Palyginti trupmenas. Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis yra mažesnis, yra didesnis:

Iš dviejų trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, ta, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė:

Norint palyginti trupmenas, kurių skaitikliai ir vardikliai skiriasi, reikia jas išplėsti, tai yra suvesti į bendrą vardiklį. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šias trupmenas:

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Jei trupmenų vardikliai yra vienodi, tai norint sudėti trupmenas, reikia pridėti jų skaitiklius, o norint atimti trupmenas – jų skaitiklius. Gauta suma arba skirtumas bus rezultato skaitiklis, tačiau vardiklis išliks toks pat. Jei trupmenų vardikliai skiriasi, pirmiausia turite sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Sudedant mišrius skaičius, jų visa ir trupmeninės dalys pridedamos atskirai. Atimant mišrius skaičius, pirmiausia reikia juos konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, tada atimti vieną iš kitos ir, jei reikia, vėl konvertuoti rezultatą į mišraus skaičiaus formą.

Trupmenų dauginimas. Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius atskirai ir padalyti pirmąjį sandaugą iš antrojo.

Trupmenų padalijimas. Norėdami padalyti skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį skaičių iš atvirkštinės trupmenos.

Dešimtainė- tai yra padalijimo iš dešimties, šimto, tūkstančio ir tt rezultatas. dalys. Pirmiausia parašyta visa skaičiaus dalis, tada dešinėje dedamas kablelis. Pirmasis skaitmuo po kablelio reiškia dešimtųjų skaičių, antrasis - šimtųjų skaičių, trečias - tūkstantųjų skaičių ir tt Skaičiai, esantys po kablelio, vadinami dešimtainiais.

Pavyzdžiui:

Dešimtainių skaitmenų savybės

Savybės:

• Dešimtainė trupmena nesikeičia, jei pridedate nulius į dešinę: 4,5 = 4,5000.
• Dešimtainė dalis nesikeičia, jei pašalinsite nulius kablelio pabaigoje: 0,0560000 = 0,056.
• Dešimtainis skaičius padidėja 10, 100, 1000 ir kt. kartų, jei perkeliate dešimtainį kablelį vienas, du, trys ir pan. pozicijos į dešinę: 4,5 45 (trupmena padidėjo 10 kartų).
• Dešimtainės trupmenos sumažinamos 10, 100, 1000 ir kt. kartų, jei perkeliate dešimtainį kablelį vienas, du, trys ir pan. pozicijos į kairę: 4,5 0,45 (frakcija sumažėjo 10 kartų).

Periodinėje dešimtainėje trupmenoje yra be galo pasikartojančių skaitmenų grupė, vadinama tašku: 0,321321321321…=0, (321)

Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas veikia taip pat, kaip sveikųjų skaičių pridėjimas ir atėmimas, tereikia atitinkamus dešimtainius užrašyti vieną po kito.
Pavyzdžiui:

Dešimtainių trupmenų dauginimas atliekamas keliais etapais:

• Dešimtaines padauginame kaip sveikus skaičius, nepaisydami kablelio.
• Galioja taisyklė: sandaugos skaitmenų po kablelio skaičius yra lygus visų faktorių skaičių po kablelio sumai.

Pavyzdžiui:

Veiksnių kablelio skaičių suma lygi: 2+1=3. Dabar reikia suskaičiuoti 3 skaitmenis nuo gauto skaičiaus pabaigos ir įdėti kablelį: 0,675.

Dalijimas po kablelio. Dešimtainės trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus: jei dividendas yra mažesnis už daliklį, sveikojoje dalinio dalyje reikia įrašyti nulį ir po jo dėti kablelį. Tada, neatsižvelgdami į dividendo dešimtainį kablelį, prie visos jos dalies pridėkite kitą trupmeninės dalies skaitmenį ir vėl palyginkite gautą visą dividendo dalį su dalikliu. Jei naujas skaičius vėl mažesnis už daliklį, veiksmą reikia kartoti. Šis procesas kartojamas tol, kol gautas dividendas yra didesnis už daliklį. Po to dalyba atliekama kaip ir sveikieji skaičiai. Jei dividendas yra didesnis arba lygus dalikliui, pirmiausia padalinkite visą jo dalį, padalijimo rezultatą įrašykite į dalinį ir padėkite kablelį po kablelio. Po to padalijimas tęsiamas kaip sveikųjų skaičių atveju.

Vienos dešimtainės trupmenos dalijimas iš kitos: pirmiausia kableliai dividende ir daliklyje perkeliami į daliklio kablelio skaičių po kablelio, tai yra, daliklį padarome sveikuoju skaičiumi ir atliekami aukščiau aprašyti veiksmai.

Norint paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną, kaip skaitiklį reikia paimti skaičių po kablelio, o vardikliu – k-ąją dešimtainę laipsnį (k – skaitmenų po kablelio skaičius). Ne nulinė sveikojo skaičiaus dalis saugoma įprastąja trupmena; nulinė sveikojo skaičiaus dalis praleidžiama.
Pavyzdžiui:

Norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, turite padalyti skaitiklį iš vardiklio pagal padalijimo taisykles.

Procentas yra šimtoji vieneto dalis, pavyzdžiui: 5% reiškia 0,05. Santykis yra vieno skaičiaus, padalinto iš kito, koeficientas. Proporcija yra dviejų santykių lygybė.

Pavyzdžiui:

Pagrindinė proporcijos savybė: kraštutinių proporcijos narių sandauga yra lygi jos vidurinių dalių sandaugai, tai yra, 5x30 = 6x25. Du vienas nuo kito priklausomi dydžiai vadinami proporcingais, jei jų dydžių santykis išlieka nepakitęs (proporcingumo koeficientas).

Taigi buvo nustatytos šios aritmetinės operacijos.
Pavyzdžiui:

Racionaliųjų skaičių aibę sudaro teigiami ir neigiami skaičiai (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Tikslesnis racionaliųjų skaičių apibrėžimas, priimtas matematikoje, yra toks: skaičius vadinamas racionaliuoju, jei jį galima pavaizduoti kaip įprastinę neredukuojamą formos trupmeną:, kur a ir b yra sveikieji skaičiai.

Neigiamojo skaičiaus absoliuti reikšmė (modulis) yra teigiamas skaičius, gaunamas pakeitus jo ženklą iš „-“ į „+“; teigiamam skaičiui ir nuliui – pats skaičius. Skaičiaus moduliui nurodyti naudojamos dvi tiesės, kuriose rašomas šis skaičius, pvz.: |–5|=5.

Absoliučios vertės savybės

Tegu pateiktas skaičiaus modulis , kuriai galioja šios savybės:

Monomialas yra dviejų ar daugiau faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra skaičius, raidė arba raidės laipsnis: 3 x a x b. Koeficientas dažniausiai vadinamas tik skaitiniu daugikliu. Monomiai vadinami panašiais, jei yra vienodi arba skiriasi tik koeficientais. Monomalio laipsnis yra visų jo raidžių rodiklių suma. Jei tarp monomijų sumos yra panašių, tada sumą galima sumažinti į paprastesnę formą: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Ši operacija vadinama panašių terminų įtraukimu arba išdėjimu skliaustuose.

Dauginamas yra algebrinė monomijų suma. Polinomo laipsnis yra didžiausias iš mononomų, įtrauktų į pateiktą daugianarį, laipsnių.

Yra šios sutrumpintos daugybos formulės:

Faktorizacijos metodai:

Algebrinė trupmena yra formos išraiška, kur A ir B gali būti skaičius, mononomas arba daugianomas.

Jei dvi išraiškos (skaitinės ir abėcėlinės) yra sujungtos ženklu „=“, sakoma, kad jos sudaro lygybę. Bet kokia tikroji lygybė, kuri galioja visoms leistinoms į ją įtrauktų raidžių skaitinėms reikšmėms, vadinama tapatybe.

Lygtis yra pažodinė lygybė, kuri galioja tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Šios raidės vadinamos nežinomaisiais (kintamaisiais), o jų reikšmės, kurioms esant duota lygtis virsta tapatumu, vadinamos lygties šaknimis.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis. Dvi ar daugiau lygčių vadinamos lygiavertėmis, jei jų šaknys yra vienodos.

• nulis buvo lygties šaknis;
• lygtis turėjo tik baigtinį skaičių šaknų.

Pagrindiniai algebrinių lygčių tipai:

Tiesinei lygčiai ax + b = 0:

• jei a x 0, yra viena šaknis x = -b/a;
• jei a = 0, b ≠ 0, šaknų nėra;
• jei a = 0, b = 0, šaknis yra bet koks realusis skaičius.

Lygtis xn = a, n N:

• jei n yra nelyginis skaičius, bet kurio a jo realioji šaknis lygi a/n;
• jei n yra lyginis skaičius, tada 0, tada jis turi dvi šaknis.

Pagrindinės tapatybės transformacijos: vienos išraiškos pakeitimas kita identiškai jai lygiaverte; lygties terminų perkėlimas iš vienos pusės į kitą su priešingais ženklais; abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos (skaičiaus), išskyrus nulį.

Tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju yra tokios formos lygtis: ax+b=0, kur a ir b yra žinomi skaičiai, o x yra nežinomas dydis.

Dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos turi tokią formą:

kur a, b, c, d, e, f yra pateikti skaičiai; x, y yra nežinomi.

Skaičiai a, b, c, d yra nežinomųjų koeficientai; e, f yra laisvieji terminai. Šios lygčių sistemos sprendimą galima rasti dviem pagrindiniais metodais: pakeitimo metodu: iš vienos lygties išreiškiame vieną iš nežinomųjų per koeficientus ir kitą nežinomąjį, o tada pakeičiame į antrąją lygtį, išspręsdami paskutinę lygtį randame vieną nežinomą, tada rastą reikšmę pakeičiame pirmąja lygtimi ir randame antrą nežinomą; vienos lygties pridėjimo arba atėmimo iš kitos metodas.

Operacijos su šaknimis:

Neneigiamo skaičiaus a n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus a. Tam tikro skaičiaus n-ojo laipsnio algebrinė šaknis yra visų šio skaičiaus šaknų aibė.

Iracionalieji skaičiai, skirtingai nei racionalieji skaičiai, negali būti pavaizduoti kaip įprastinė neredukuojama formos m/n trupmena, kur m ir n yra sveikieji skaičiai. Tai naujo tipo skaičiai, kuriuos galima apskaičiuoti bet kokiu tikslumu, bet kurių negalima pakeisti racionaliu skaičiumi. Jie gali atsirasti dėl geometrinių matavimų, pavyzdžiui: kvadrato įstrižainės ilgio ir jo kraštinės ilgio santykis yra lygus.

Kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio algebrinė lygtis ax2+bx+c=0, kur a, b, c pateikti skaitiniai arba raidiniai koeficientai, x – nežinomasis. Jei visus šios lygties narius padalinsime iš a, gaunamas x2+px+q=0 – redukuota lygtis p=b/a, q=c/a. Jo šaknys randamos pagal formulę:

Jei b2-4ac>0, tai yra dvi skirtingos šaknys, b2- 4ac=0, tai yra dvi vienodos šaknys; b2-4ac Modulius turinčios lygtys

Pagrindiniai lygčių tipai su moduliais:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kur f(x), g(x), fk(x), gk(x) pateiktos funkcijos.

Vida 0,123 4 (\displaystyle 0(,)1234).

Formos trupmenos žymėjime X / Y (\displaystyle X/Y) arba X Y (\displaystyle (\frac (X)(Y))) iškviečiamas numeris prieš arba virš linijos skaitiklis, o skaičius po eilutės arba po jos yra vardiklis. Pirmasis atlieka dividendo vaidmenį, antrasis - daliklį.

Trupmenų rūšys

Paprastosios trupmenos

Įprasta(arba paprastas) trupmena – racionalaus skaičiaus užrašymas formoje ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) arba ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Kur n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) Horizontalus arba pasvirasis brūkšnys rodo padalijimo ženklą, todėl gaunamas koeficientas. Dividendas vadinamas skaitiklis trupmenos, o daliklis yra vardiklis.

Paprastųjų trupmenų žymėjimas

Yra keletas paprastųjų trupmenų rašymo spausdinta forma:

Tinkamos ir netinkamos trupmenos

Teisingai Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama trupmena. Netinkama trupmena vadinama negerai, ir reiškia racionalųjį skaičių, kurio modulis yra didesnis arba lygus vienetui.

Pavyzdžiui, trupmenos 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) ir yra tinkamos trupmenos, tuo tarpu 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Ir 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- netinkamos trupmenos. Bet koks sveikasis skaičius, kuris nėra nulis, gali būti pavaizduotas kaip netinkama trupmena, kurios vardiklis yra 1.

Mišrios frakcijos

Vadinama trupmena, parašyta kaip sveikasis skaičius ir tinkama trupmena mišri frakcija ir suprantama kaip šio skaičiaus ir trupmenos suma. Bet koks racionalus skaičius gali būti parašytas kaip mišri trupmena. Priešingai nei mišri trupmena, vadinama trupmena, kurioje yra tik skaitiklis ir vardiklis paprastas.

Pavyzdžiui, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3) (7))=2+(\frac (3) (7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). Griežtoje matematinėje literatūroje jie nori nenaudoti tokio žymėjimo dėl mišrios trupmenos žymėjimo panašumo su sveikojo skaičiaus sandauga iš trupmenos, taip pat dėl ​​sudėtingesnio žymėjimo ir ne tokių patogių skaičiavimų. .

Sudėtinės frakcijos

Daugiaaukštė arba sudėtinė trupmena yra išraiška, susidedanti iš kelių horizontalių (arba, rečiau, įstrižų) eilučių:

Dešimtainės

Dešimtainė dalis yra pozicinis trupmenos atvaizdas. Tai atrodo taip:

Pavyzdys: 3.141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

Įrašo dalis, esanti prieš padėties kablelį, yra sveikoji skaičiaus dalis (trupmena), o dalis, esanti po kablelio, yra trupmeninė dalis. Bet kurią įprastą trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę trupmeną, kuri šiuo atveju arba turi baigtinį skaičių po kablelio, arba yra periodinė trupmena.

Paprastai tariant, norėdami parašyti skaičių pozicijoje, galite naudoti ne tik dešimtainę skaičių sistemą, bet ir kitas (įskaitant konkrečias, pvz., Fibonacci).

Trupmenos reikšmė ir pagrindinė trupmenos savybė

Trupmena yra tik skaičiaus atvaizdas. Tas pats skaičius gali atitikti skirtingas trupmenas – tiek paprastas, tiek po kablelio.

Veiksmai su trupmenomis

Šiame skyriuje aprašomos operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Apie operacijas su dešimtainėmis trupmenomis žr. Dešimtainė trupmena.

Sumažinimas iki bendro vardiklio

Norint palyginti, sudėti ir atimti trupmenas, jas reikia konvertuoti ( atnešti) į formą su tuo pačiu vardikliu. Pateikiame dvi trupmenas: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Ir c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Procedūra:

Po to abiejų trupmenų vardikliai sutampa (lygus M). Vietoj mažiausio bendro kartotinio paprastais atvejais galime imti kaip M bet koks kitas bendras kartotinis, pvz., vardiklių sandauga. Pavyzdį žr. žemiau esančiame skyriuje „Palyginimas“.

Palyginimas

Norėdami palyginti dvi bendrąsias trupmenas, turite jas sujungti į bendrą vardiklį ir palyginti gautų trupmenų skaitiklius. Trupmena su didesniu skaitikliu bus didesnė.

Pavyzdys. Palyginkime 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Ir 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Sumažiname trupmenas iki vardiklio 20.

4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3) (4))=(\frac (15) (20));\quad (\frac (4) (5))=(\frac (16)( 20))) 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

Vadinasi,

Sudėjimas ir atėmimas

5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6))) Norėdami pridėti dvi paprastas trupmenas, turite jas sumažinti iki bendro vardiklio. Tada pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą: Vardiklių (čia 2 ir 3) LCM yra lygus 6. Pateikiame trupmeną
į vardiklį 6, tam skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 3. Suveikė 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))) . Pateikiame trupmeną 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) į tą patį vardiklį, tam skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 2. Paaiškėjo.
Norint gauti skirtumą tarp trupmenų, jas taip pat reikia suvesti į bendrą vardiklį, o tada atimti skaitiklius, palikdami vardiklį nepakeistą:

Vardiklių (čia 2 ir 4) LCM yra lygus 4. Pateikiame trupmeną Norėdami pridėti dvi paprastas trupmenas, turite jas sumažinti iki bendro vardiklio. Tada pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:į vardiklį 4, tam reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2. Gauname 2 4 (\displaystyle (\frac (2) (4))).

Daugyba ir dalyba

Norėdami padauginti dvi paprastas trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius:

(\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4.

Pavyzdžiui:

a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , b , c , d ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)( b))\cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad b,c,d\neq 0.)

1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2.

1 2 = 5 10 = 0 , 5 (\displaystyle (\frac (1) (2))=(\frac (5) (10))=0(,)5)

- skliausteliuose paprastai rašomas be galo pasikartojantis laikotarpis.

Norėdami paversti dešimtainę trupmeną į bendrą trupmeną, parašykite trupmeninę dalį kaip natūralųjį skaičių, padalytą iš atitinkamos laipsnio 10. Tada prie rezultato pridedama sveikojo skaičiaus dalis su ženklu ir sudaroma mišri trupmena. Pavyzdys: 71.147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 (\displaystyle 71(,)1475=71+(\frac (1475)(10000))=71(\frac)(105)0 (\frac (59) (400))), kaip ir jo analogai kitomis kalbomis, kilęs iš