Kas yra racionalieji skaičiai? Pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės

Racionalūs skaičiai

Ketvirčiai

Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: “< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Trupmenų pridėjimas Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams yra vadinamasis sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius paskambino suma a Ir b numeriai ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas .
. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams Daugybos operacija. daugybos taisyklė sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b dirbti ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba .
. Daugybos taisyklė atrodo taip: Užsakymo santykio tranzityvumas. a , b Ir sumavimo taisyklė Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a Jeigu b Ir b Jeigu sumavimo taisyklė mažiau a Jeigu sumavimo taisyklė, Tai a, o jei b Ir b, o jei sumavimo taisyklė mažiau a, o jei sumavimo taisyklė lygus
. 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Tą patį racionalųjį skaičių galima pridėti prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Archimedo aksioma. a Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. j i stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta jokiu racionaliu skaičiumi

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantį įspūdį, kad racionalūs skaičiai gali būti naudojami bet kokiems geometriniams atstumams matuoti. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Pastabos

Literatūra

I. Kušniras. Matematikos vadovas moksleiviams. - Kijevas: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Aleksandrovas. Įvadas į aibių teoriją ir bendrąją topologiją. - M.: skyrius. red. fizika ir matematika liet. red. „Mokslas“, 1977 m
I. L. Chmelnickis. Įvadas į algebrinių sistemų teoriją

Nuorodos

Wikimedia fondas.

2010 m.

Racionaliųjų skaičių rinkinys

Racionaliųjų skaičių rinkinys žymimas ir gali būti parašytas taip: Pasirodo, skirtingi žymėjimai gali reikšti tą pačią trupmeną, pavyzdžiui, ir , (visos trupmenos, kurias galima gauti viena iš kitos padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, reiškia tą patį racionalųjį skaičių). Kadangi trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijus iš didžiausio bendro daliklio, galime gauti vieną neredukuojamą racionalaus skaičiaus atvaizdą, jų aibę galime kalbėti kaip aibę. nesumažinamas

trupmenos su pirminiu sveikojo skaičiaus skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu:

Racionaliųjų skaičių aibė yra natūralus sveikųjų skaičių aibės apibendrinimas. Nesunku suprasti, kad jei racionalusis skaičius turi vardiklį , tada jis yra sveikasis skaičius. Racionaliųjų skaičių aibė yra visur tankiai ant skaičių ašies: tarp bet kurių dviejų skirtingų racionaliųjų skaičių yra bent vienas racionalusis skaičius (taigi ir begalinė racionaliųjų skaičių aibė). Tačiau paaiškėja, kad racionaliųjų skaičių aibė turi skaičiuojamą kardinalumą (tai yra, visus jos elementus galima pernumeruoti). Beje, atkreipkime dėmesį, kad senovės graikai buvo įsitikinę, kad egzistuoja skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena (pavyzdžiui, jie įrodė, kad nėra racionalaus skaičiaus, kurio kvadratas būtų 2).

Terminologija

Formalus apibrėžimas

Formaliai racionalieji skaičiai apibrėžiami kaip porų lygiavertiškumo klasių rinkinys, atsižvelgiant į ekvivalentiškumo ryšį, jei. Šiuo atveju sudėties ir daugybos operacijos apibrėžiamos taip:

Susiję apibrėžimai

Tinkamos, netinkamos ir mišrios frakcijos

Teisingai Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama trupmena. Tinkamos trupmenos reiškia racionalius skaičius, kurių modulis mažesnis nei vienas. Netinkama trupmena vadinama negerai ir reiškia racionalųjį skaičių, didesnį arba lygų vienam pagal modulį.

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos suma, vadinama mišri frakcija . Pavyzdžiui,. Panašus žymėjimas (be pridėjimo ženklo), nors ir naudojamas elementariojoje aritmetikoje, griežtoje matematinėje literatūroje vengiamas dėl mišrios trupmenos žymėjimo panašumo su sveikojo skaičiaus ir trupmenos sandauga.

Šūvio aukštis

Paprastosios trupmenos aukštis yra šios trupmenos skaitiklio ir vardiklio modulių suma. Racionalaus skaičiaus aukštis yra šį skaičių atitinkančios neredukuojamos paprastosios trupmenos skaitiklio modulio ir vardiklio suma.

Pavyzdžiui, trupmenos aukštis yra . Atitinkamo racionalaus skaičiaus aukštis lygus , nes trupmeną galima sumažinti .

komentuoti

Terminas trupmena (frakcija) Kartais [ nurodyti] vartojamas kaip termino sinonimas racionalus skaičius, o kartais ir bet kurio ne sveikojo skaičiaus sinonimas. Pastaruoju atveju trupmeniniai ir racionalieji skaičiai yra skirtingi dalykai, nes tada nesveikieji racionalieji skaičiai yra tik ypatingas trupmenų atvejis.

Savybės

Pagrindinės savybės

Racionaliųjų skaičių aibė atitinka šešiolika pagrindinių savybių, kurias galima lengvai išvesti iš sveikųjų skaičių savybių.

Tvarkingumas. Bet kokiems racionaliems skaičiams galioja taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų ryšių tarp jų: „“, „“ arba „“. Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du teigiami skaičiai ir yra susiję su tuo pačiu santykiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga jis yra ne neigiamas, o - neigiamas, tada .
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Trupmenų pridėjimas yra vadinamasis paskambino skaičiai ir ir žymimi , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: .
. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Bet kokiems racionaliesiems skaičiams yra vadinamasis Daugybos operacija., dėl to jie sutampa su kokiu nors racionaliu skaičiumi. Tokiu atveju skambinamas pats numeris , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių skaičiai ir ir žymimi , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas. Daugybos taisyklė turi tokią formą: .
. Daugybos taisyklė atrodo taip: Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui, o jei vis mažiau, tai mažiau, o jei lygus ir lygus, tada lygus.
Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.
. 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Vieneto prieinamumas. Bet koks racionalusis skaičius, kuris nėra nulis, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Tą patį racionalųjį skaičių galima pridėti prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.
Eilės santykio sujungimas su daugybos operacija. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties teigiamo racionalaus skaičiaus.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Kad ir koks būtų racionalus skaičius, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų .

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Tokios konstrukcijos pavyzdys yra toks paprastas algoritmas. Sudaroma begalinė paprastųjų trupmenų lentelė, kurios kiekvienoje eilutėje kiekviename stulpelyje yra trupmena. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai yra pažymėti , kur yra lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir stulpelio numeris.

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Tokio perėjimo procese kiekvienas naujas racionalusis skaičius susiejamas su kitu natūraliuoju skaičiumi. Tai yra, trupmenoms priskiriamas skaičius 1, trupmenoms – 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra tas, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus vienetui.

Žinoma, yra ir kitų racionalių skaičių surašymo būdų. Pavyzdžiui, galite naudoti tokias struktūras kaip Kalkin-Wilf medis, Stern-Broko medis arba Farey serija.

Racionalių skaičių trūkumas

Taip pat žr


	Sveikieji skaičiai

Racionalūs skaičiai

Realūs skaičiai Sudėtingi skaičiai Ketvirčiai

Pastabos

Literatūra

I. Kušniras. Matematikos vadovas moksleiviams. - Kijevas: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Aleksandrovas. Įvadas į aibių teoriją ir bendrąją topologiją. - M.: skyrius. red. fizika ir matematika liet. red. „Mokslas“, 1977 m
I. L. Chmelnickis. Įvadas į algebrinių sistemų teoriją

Racionalūs skaičiai

Ketvirčiai

Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: “< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Trupmenų pridėjimas Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams yra vadinamasis sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius paskambino suma a Ir b numeriai ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas .
. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams Daugybos operacija. daugybos taisyklė sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b dirbti ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba .
. Daugybos taisyklė atrodo taip: Užsakymo santykio tranzityvumas. a , b Ir sumavimo taisyklė Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a Jeigu b Ir b Jeigu sumavimo taisyklė mažiau a Jeigu sumavimo taisyklė, Tai a, o jei b Ir b, o jei sumavimo taisyklė mažiau a, o jei sumavimo taisyklė lygus
. 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Tą patį racionalųjį skaičių galima pridėti prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Archimedo aksioma. a Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta jokiu racionaliu skaičiumi

Pastabos

Literatūra

I. Kušniras. Matematikos vadovas moksleiviams. - Kijevas: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Aleksandrovas. Įvadas į aibių teoriją ir bendrąją topologiją. - M.: skyrius. red. fizika ir matematika liet. red. „Mokslas“, 1977 m
I. L. Chmelnickis. Įvadas į algebrinių sistemų teoriją

Nuorodos

Wikimedia fondas.

) yra skaičiai su teigiamu arba neigiamu ženklu (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Tikslesnė racionaliųjų skaičių sąvoka skamba taip:

Racionalus skaičius- skaičius, kuris pateikiamas kaip bendroji trupmena m/n, kur skaitiklis m yra sveikieji skaičiai ir vardiklis n- natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui 2/3.

Begalinės neperiodinės trupmenos NEĮtraukiamos į racionaliųjų skaičių aibę.

a/b, Kur a∈ Z (a priklauso sveikiesiems skaičiams), b∈ N (b priklauso natūraliems skaičiams).

Racionalių skaičių naudojimas realiame gyvenime.

Realiame gyvenime racionaliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant kai kurių sveikųjų skaičių dalijamų objektų dalis, Pavyzdžiui, pyragaičiai ar kiti maisto produktai, kurie prieš vartojimą supjaustomi gabalėliais arba apytiksliai įvertinti išplėstų objektų erdvinius ryšius.

Racionaliųjų skaičių savybės.

Pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės.

1. Tvarkingumas a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai nustatyti 1 ir tik vieną iš 3 santykių tarp jų: “<», «>" arba "=". Tai yra taisyklė - užsakymo taisyklė ir suformuluokite taip:

2 teigiami skaičiai a=m a /n a Ir b=mb/nb yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir 2 sveikieji skaičiai m a⋅ n b Ir m b⋅ n a;
2 neigiami skaičiai a Ir b yra susiję tokiu pačiu santykiu kaip ir 2 teigiami skaičiai |b| Ir |a|;
Kada a teigiamas ir b- Tada neigiamai a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildymo operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra yra vadinamasis, kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius sumavimo taisyklė- Tai suma suma a Ir b ir jis žymimas kaip (a+b) sumavimas.

Sumavimo taisyklė atrodo taip:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. Daugybos operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra Daugybos operacija., jis susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi sumavimo taisyklė. Iškviečiamas skaičius c , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b ir žymėti (a⋅b), ir iškviečiamas šio numerio radimo procesas daugyba.

Daugybos taisyklė atrodo taip: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. . Daugybos taisyklė atrodo taip: Bet kokiems trims racionaliesiems skaičiams a, b Ir sumavimo taisyklė Jeigu a mažiau b Ir b mažiau sumavimo taisyklė, Tai a mažiau c, o jei a lygus b Ir b lygus sumavimo taisyklė, Tai a lygus c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Papildymo asociatyvumas. 3 racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, jis išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių pridėjus.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a

8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, o juos sudėjus gaunamas 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.

∀ a, b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Daugybos asociatyvumas. 3 racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, jis daugybos procese išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Abipusių skaičių buvimas. Kiekvienas racionalusis skaičius, išskyrus nulį, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, padauginus iš kurio gauname 1 .

∀ a∈ K∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija yra susijusi su sudėjimu naudojant paskirstymo dėsnį:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ sumavimo taisyklė

14. Ryšys tarp užsakymo santykio ir pridėjimo operacijos. Tas pats racionalusis skaičius pridedamas prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Ryšys tarp eilės santykio ir daugybos operacijos. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties neneigiamo racionalaus skaičiaus.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ sumavimo taisyklė

16. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, nesunku paimti tiek vienetų, kad jų suma būtų didesnė a.

Šis straipsnis skirtas temos „Racionalieji skaičiai“ studijoms. Žemiau pateikiami racionalių skaičių apibrėžimai, pateikiami pavyzdžiai ir kaip nustatyti, ar skaičius yra racionalus, ar ne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalūs skaičiai. Apibrėžimai

Prieš pateikdami racionaliųjų skaičių apibrėžimą, prisiminkime, kokios dar yra skaičių aibės ir kaip jos tarpusavyje susijusios.

Natūralūs skaičiai kartu su jų priešingybėmis ir skaičiumi nuliu sudaro sveikųjų skaičių aibę. Savo ruožtu sveikųjų trupmeninių skaičių aibė sudaro racionaliųjų skaičių aibę.

Apibrėžimas 1. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kurie gali būti pavaizduoti kaip teigiama bendroji trupmena a b, neigiama bendroji trupmena a b arba skaičius nulis.

Taigi galime išlaikyti keletą racionaliųjų skaičių savybių:

Bet kuris natūralusis skaičius yra racionalus skaičius. Akivaizdu, kad kiekvienas natūralusis skaičius n gali būti pavaizduotas kaip trupmena 1 n.
Bet koks sveikasis skaičius, įskaitant skaičių 0, yra racionalus skaičius. Iš tiesų, bet koks teigiamas ir bet koks neigiamas sveikasis skaičius gali būti lengvai pavaizduoti atitinkamai kaip teigiama arba neigiama įprastoji trupmena. Pavyzdžiui, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Bet kuri teigiama arba neigiama bendroji trupmena a b yra racionalusis skaičius. Tai tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto apibrėžimo.
Bet koks mišrus skaičius yra racionalus. Iš tiesų, mišrus skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta netinkama trupmena.
Bet kuri baigtinė arba periodinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota trupmena. Todėl kiekviena periodinė arba baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius.
Begaliniai ir neperiodiniai dešimtainiai skaičiai nėra racionalūs skaičiai. Jų negalima pavaizduoti paprastųjų trupmenų pavidalu.

Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių. Skaičiai 5, 105, 358, 1100055 yra natūralūs, teigiami ir sveikieji skaičiai. Akivaizdu, kad tai yra racionalūs skaičiai. Skaičiai - 2, - 358, - 936 yra neigiami sveikieji skaičiai ir jie taip pat yra racionalūs pagal apibrėžimą. Paprastosios trupmenos 3 5, 8 7, - 35 8 taip pat yra racionaliųjų skaičių pavyzdžiai.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti trumpiau. Dar kartą atsakykime į klausimą, kas yra racionalusis skaičius.

Apibrėžimas 2. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti kaip trupmeną ± z n, kur z yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Galima parodyti, kad šis apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam racionaliųjų skaičių apibrėžimui. Norėdami tai padaryti, atminkite, kad trupmenos linija yra lygi dalybos ženklui. Atsižvelgdami į sveikųjų skaičių dalijimo taisykles ir savybes, galime parašyti šias teisingas nelygybes:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Taigi, galime rašyti:

z n = z n , p r ir z > 0 0 , p r ir z = 0 - z n , p r ir z< 0

Tiesą sakant, šis įrašas yra įrodymas. Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių, remiantis antruoju apibrėžimu. Apsvarstykite skaičius - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ir - 1 3 5. Visi šie skaičiai yra racionalūs, nes juos galima užrašyti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Pateikime kitą lygiavertę racionaliųjų skaičių apibrėžimo formą.

3 apibrėžimas. Racionalieji skaičiai

Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Šis apibrėžimas tiesiogiai išplaukia iš pirmosios šios pastraipos apibrėžties.

Apibendrinkime ir suformuluosime šio punkto santrauką:

Teigiamos ir neigiamos trupmenos ir sveikieji skaičiai sudaro racionaliųjų skaičių aibę.
Kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena, kurios skaitiklis yra sveikas skaičius, o vardiklis yra natūralusis skaičius.
Kiekvienas racionalusis skaičius taip pat gali būti pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena: baigtinė arba be galo periodinė.

Kuris skaičius yra racionalus?

Kaip jau išsiaiškinome, bet koks natūralusis skaičius, sveikasis skaičius, tikroji ir netinkamoji paprastoji trupmena, periodinė ir baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalūs skaičiai. Turėdami šias žinias galite lengvai nustatyti, ar tam tikras skaičius yra racionalus.

Tačiau praktikoje dažnai tenka susidurti ne su skaičiais, o su skaitinėmis išraiškomis, kuriose yra šaknų, laipsnių ir logaritmų. Kai kuriais atvejais atsakymas į klausimą "ar skaičius racionalus?" toli gražu nėra akivaizdu. Pažvelkime į metodus, kaip atsakyti į šį klausimą.

Jei skaičius pateikiamas kaip išraiška, kurioje yra tik racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos tarp jų, tada išraiškos rezultatas yra racionalusis skaičius.

Pavyzdžiui, išraiškos 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) reikšmė yra racionalus skaičius ir lygi 18.

Taigi, supaprastinus sudėtingą skaitinę išraišką, galite nustatyti, ar jos pateiktas skaičius yra racionalus.

Dabar pažvelkime į šaknies ženklą.

Pasirodo, kad skaičius m n, pateiktas kaip skaičiaus m laipsnio n šaknis, yra racionalus tik tada, kai m yra kurio nors natūraliojo skaičiaus n-asis laipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Skaičius 2 nėra racionalus. Tuo tarpu 9, 81 yra racionalūs skaičiai. 9 ir 81 yra tobuli skaičių 3 ir 9 kvadratai. Skaičiai 199, 28, 15 1 nėra racionalūs skaičiai, nes po šaknies ženklu esantys skaičiai nėra tobuli bet kokių natūraliųjų skaičių kvadratai.

Dabar paimkime sudėtingesnį atvejį. Ar 243 5 yra racionalus skaičius? Jei padidinsite 3 iki penktos laipsnio, gausite 243, todėl pradinę išraišką galima perrašyti taip: 243 5 = 3 5 5 = 3. Todėl šis skaičius yra racionalus. Dabar paimkime skaičių 121 5. Šis skaičius yra neracionalus, nes nėra natūraliojo skaičiaus, kurį padidinus iki penktosios laipsnio gautų 121.

Norint išsiaiškinti, ar tam tikro skaičiaus a logaritmas bazei b yra racionalusis skaičius, reikia taikyti prieštaravimo metodą. Pavyzdžiui, išsiaiškinkime, ar skaičius log 2 5 yra racionalus. Tarkime, kad šis skaičius yra racionalus. Jei taip, tai galima parašyti paprastos trupmenos log 2 5 = m n forma Pagal logaritmo savybes ir laipsnio savybes yra teisingos šios lygybės:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Akivaizdu, kad paskutinė lygybė neįmanoma, nes kairėje ir dešinėje pusėse yra atitinkamai nelyginiai ir lyginiai skaičiai. Todėl padaryta prielaida yra neteisinga ir log 2 5 nėra racionalus skaičius.

Verta paminėti, kad nustatydami skaičių racionalumą ir neracionalumą neturėtumėte priimti staigių sprendimų. Pavyzdžiui, iracionaliųjų skaičių sandaugos rezultatas ne visada yra iracionalusis skaičius. Pavyzdys: 2 · 2 = 2.

Taip pat yra iracionalių skaičių, kuriuos pakėlus iki neracionalios laipsnio gaunamas racionalus skaičius. Formos 2 log 2 3 laipsnyje bazė ir rodiklis yra neracionalieji skaičiai. Tačiau pats skaičius yra racionalus: 2 log 2 3 = 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter