Studijuodami visų mokslų karalienę – matematiką, visi kažkuriuo metu susiduria su trupmenomis. Nors ši sąvoka (kaip ir pačios trupmenų rūšys ar matematiniai veiksmai su jais) nėra visai sudėtinga, reikia su ja elgtis atsargiai, nes realiame gyvenime už mokyklos ribų ji bus labai naudinga. Taigi, atnaujinkime žinias apie trupmenas: kas jos yra, kam jos skirtos, kokios jos rūšys ir kaip su jomis atlikti įvairius aritmetinius veiksmus.

Jos Didenybės frakcija: kas tai

Matematikos trupmenos yra skaičiai, kurių kiekvienas susideda iš vienos ar kelių vieneto dalių. Tokios trupmenos dar vadinamos paprastosiomis arba paprastomis. Paprastai jie rašomi dviejų skaičių, atskirtų horizontalia arba pasvirusine linija, forma, tai vadinama „trupmenine“ linija. Pavyzdžiui: ½, ¾.

Viršutinis arba pirmasis iš šių skaičių yra skaitiklis (rodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus), o apatinis, arba antrasis, yra vardiklis (parodo, į kiek dalių padalintas vienetas).

Trupmenų juosta iš tikrųjų veikia kaip padalijimo ženklas. Pavyzdžiui, 7:9 = 7/9

Tradiciškai paprastosios trupmenos yra mažesnės už vieną. Nors po kablelio skaičius gali būti didesnis už jį.

Kam skirtos trupmenos? Taip, viskam, nes realiame pasaulyje ne visi skaičiai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, dvi moksleivės kavinėje kartu nupirko vieną skanų šokoladinį plytelę. Kai ketino pasidalinti desertu, jie susitiko su drauge ir nusprendė pavaišinti ir ją. Tačiau dabar reikia teisingai padalinti šokolado plytelę, atsižvelgiant į tai, kad ji susideda iš 12 kvadratų.

Iš pradžių merginos norėjo viską padalyti po lygiai, o vėliau kiekviena gaudavo po keturis gabalus. Tačiau gerai pagalvoję, jie nusprendė pavaišinti savo draugą ne 1/3, o 1/4 šokolado. O kadangi moksleivės prastai mokėsi trupmenas, tai jos neatsižvelgė, kad tokioje situacijoje liks 9 kūriniai, kuriuos labai sunku padalyti į dvi. Šis gana paprastas pavyzdys parodo, kaip svarbu mokėti teisingai rasti skaičiaus dalį. Tačiau gyvenime tokių atvejų daug daugiau.

Trupmenų tipai: paprastoji ir dešimtainė

Visos matematinės trupmenos skirstomos į dvi dideles kategorijas: paprastąsias ir dešimtaines. Pirmojo iš jų savybės buvo aprašytos ankstesnėje pastraipoje, todėl dabar verta atkreipti dėmesį į antrąją.

Dešimtainė yra skaičiaus trupmenos pozicinis žymėjimas, parašytas raštu, atskirtas kableliu, be brūkšnelio ar pasvirojo brūkšnio. Pavyzdžiui: 0,75, 0,5.

Tiesą sakant, dešimtainė trupmena yra identiška įprastai trupmenai, tačiau jos vardiklis visada yra vienas, po kurio seka nuliai – taigi ir pavadinimas.

Skaičius prieš kablelį yra sveikoji dalis, o viskas po jo yra trupmena. Bet kurią paprastąją trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę. Taigi, ankstesniame pavyzdyje nurodytos dešimtainės trupmenos gali būti parašytos kaip įprasta: ¾ ir ½.

Verta paminėti, kad tiek dešimtainės, tiek paprastosios trupmenos gali būti teigiamos arba neigiamos. Jei prieš juos yra ženklas „-“, ši trupmena yra neigiama, jei „+“ yra teigiama trupmena.

Paprastųjų trupmenų porūšiai

Yra tokių paprastųjų trupmenų tipų.

Dešimtainės trupmenos potipiai

Skirtingai nuo paprastosios trupmenos, dešimtainė trupmena skirstoma tik į 2 tipus.

• Galutinis - gavo šį pavadinimą dėl to, kad po kablelio jis turi ribotą (baigtinį) skaitmenų skaičių: 19,25.
• Begalinė trupmena yra skaičius su begaliniu skaičiumi skaitmenų po kablelio. Pavyzdžiui, padalijus 10 iš 3, rezultatas bus begalinė trupmena 3,333...

Trupmenų pridėjimas

Atlikti įvairias aritmetines manipuliacijas su trupmenomis yra šiek tiek sunkiau nei su paprastais skaičiais. Tačiau jei suprasite pagrindines taisykles, jomis išspręsti bet kokį pavyzdį nebus sunku.

Pavyzdžiui: 2/3+3/4. Mažiausias bendras jų kartotinis bus 12, todėl būtina, kad šis skaičius būtų kiekviename vardiklyje. Norėdami tai padaryti, padauginame pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 4, pasirodo 8/12, tą patį darome su antruoju nariu, bet padauginame tik iš 3 - 9/12. Dabar galite lengvai išspręsti pavyzdį: 8/12+9/12= 17/12. Gauta trupmena yra neteisinga reikšmė, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Jį galima ir reikia paversti teisingu mišriu, padalijus 17:12 = 1 ir 5/12.

Sudėjus mišrias trupmenas, operacijos pirmiausia atliekamos su sveikais skaičiais, o po to su trupmenomis.

Jei pavyzdyje yra dešimtainė trupmena ir reguliarioji trupmena, būtina padaryti abi paprastas, tada suvesti į tą patį vardiklį ir pridėti. Pavyzdžiui, 3.1+1/2. Skaičius 3,1 gali būti parašytas kaip mišri trupmena iš 3 ir 1/10 arba kaip netinkama trupmena - 31/10. Bendras terminų vardiklis bus 10, todėl 1/2 skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5 pakaitomis, gausite 5/10. Tada nesunkiai viską suskaičiuosi: 31/10+5/10=35/10. Gautas rezultatas yra netinkama redukuojama trupmena, mes įvedame ją į normalią formą, sumažindami ją 5: 7/2 = 3 ir 1/2 arba dešimtainiu - 3,5.

Sudedant 2 trupmenas po kablelio, svarbu, kad po kablelio būtų vienodas skaitmenų skaičius. Jei taip nėra, tereikia pridėti reikiamą skaičių nulių, nes dešimtainėje trupmenoje tai galima padaryti neskausmingai. Pavyzdžiui, 3,5+3,005. Norėdami išspręsti šią problemą, prie pirmojo skaičiaus turite pridėti 2 nulius, o tada pridėti po vieną: 3.500+3.005=3.505.

Trupmenų atėmimas

Atimant trupmenas reikia daryti taip pat, kaip ir sudedant: sumažinti iki bendro vardiklio, atimti vieną skaitiklį iš kito ir, jei reikia, rezultatą konvertuoti į mišrią trupmeną.

Pavyzdžiui: 16/20-5/10. Bendras vardiklis bus 20. Antrąją trupmeną reikia privesti prie šio vardiklio, abi jos dalis padauginus iš 2, gausite 10/20. Dabar galite išspręsti pavyzdį: 16/20-10/20= 6/20. Tačiau šis rezultatas galioja redukuojamoms trupmenoms, todėl verta padalyti abi puses iš 2 ir gaunamas 3/10.

Trupmenų dauginimas

Trupmenų dalyba ir daugyba yra daug paprastesnės operacijos nei sudėjimas ir atėmimas. Faktas yra tas, kad atliekant šias užduotis nereikia ieškoti bendro vardiklio.

Norėdami padauginti trupmenas, tiesiog reikia padauginti abu skaitiklius po vieną, o tada abu vardiklius. Sumažinkite gautą rezultatą, jei frakcija yra sumažinamas kiekis.

Pavyzdžiui: 4/9x5/8. Po pakaitinio daugybos rezultatas yra 4x5/9x8=20/72. Šią trupmeną galima sumažinti 4, todėl galutinis atsakymas pavyzdyje yra 5/18.

Kaip padalinti trupmenas

Trupmenų padalijimas taip pat yra paprastas veiksmas, vis tiek reikia jas padauginti. Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite apversti antrąją ir padauginti iš pirmosios.

Pavyzdžiui, dalijant trupmenas 5/19 ir 5/7. Norėdami išspręsti pavyzdį, turite sukeisti antrosios trupmenos vardiklį ir skaitiklį ir padauginti: 5/19x7/5=35/95. Rezultatą galima sumažinti 5 – pasirodo 7/19.

Jei reikia padalyti trupmeną iš pirminio skaičiaus, technika šiek tiek skiriasi. Iš pradžių turėtumėte parašyti šį skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada padalinti pagal tą pačią schemą. Pavyzdžiui, 2/13:5 turėtų būti parašytas kaip 2/13: 5/1. Dabar reikia apversti 5/1 ir gautas trupmenas padauginti: 2/13x1/5= 2/65.

Kartais tenka padalyti mišrias trupmenas. Su jais reikia elgtis taip, kaip su sveikaisiais skaičiais: paverskite juos netinkamomis trupmenomis, apverskite daliklį ir viską padauginkite. Pavyzdžiui, 8 ½: 3. Paverskite viską į netinkamas trupmenas: 17/2: 3/1. Po to seka 3/1 apvertimas ir daugyba: 17/2x1/3= 17/6. Dabar turėtumėte konvertuoti netinkamą trupmeną į teisingą - 2 sveikus ir 5/6.

Taigi, išsiaiškinus, kas yra trupmenos ir kaip su jomis galima atlikti įvairias aritmetines operacijas, reikia pasistengti to nepamiršti. Juk žmonės visada yra labiau linkę ką nors skaidyti į dalis, nei pridėti, todėl reikia mokėti tai daryti teisingai.

Trupmenos

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Vidurinėje mokykloje trupmenos nėra daug nepatogumų. Kol kas. Kol nesusidursite su galiomis su racionaliais rodikliais ir logaritmais. O ten... Paspaudžiate ir spaudžiate skaičiuotuvą ir rodomas visas kai kurių skaičių ekranas. Galvoti reikia kaip trečioje klasėje.

Pagaliau išsiaiškinkime trupmenas! Na, kiek galima juose susipainioti!? Be to, viskas paprasta ir logiška. Taigi, kokios yra trupmenų rūšys?

Trupmenų rūšys. Transformacijos.

Yra trijų tipų trupmenos.

1. Paprastosios trupmenos , Pavyzdžiui:

Kartais vietoj horizontalios linijos dedamas pasvirasis brūkšnys: 1/2, 3/4, 19/5, gerai ir pan. Čia dažnai vartosime šią rašybą. Skambina viršutinis numeris skaitiklis, žemesnė - vardiklis. Jei nuolat painiojate šiuos pavadinimus (taip atsitinka...), pasakykite sau frazę: " Zzzzz prisimink! Zzzzz vardiklis – žiūrėk zzzzz oh!" Žiūrėkite, viskas bus zzzz prisiminta.)

Brūkšnys, horizontalus arba pasviręs, reiškia padalinys nuo viršutinio skaičiaus (skaitiklio) iki apatinio (vardiklio). Tai viskas! Vietoj brūkšnio visiškai įmanoma įdėti padalijimo ženklą - du taškus.

Kai įmanomas visiškas padalijimas, tai reikia padaryti. Taigi, vietoj trupmenos „32/8“ daug maloniau rašyti skaičių „4“. Tie. 32 tiesiog padalintas iš 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Aš net nekalbu apie trupmeną „4/1“. Kuris taip pat yra tik „4“. Ir jei jis nėra visiškai dalinamas, paliekame jį kaip trupmeną. Kartais reikia atlikti priešingą operaciją. Paverskite sveiką skaičių į trupmeną. Bet apie tai vėliau.

2. Dešimtainės , Pavyzdžiui:

Būtent šioje formoje turėsite užsirašyti atsakymus į užduotis „B“.

3. Mišrūs skaičiai , Pavyzdžiui:

Mišrūs skaičiai vidurinėje mokykloje praktiškai nenaudojami. Norint su jais dirbti, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Bet jūs tikrai turite tai padaryti! Priešingu atveju jūs susidursite su tokiu numeriu problemoje ir sustingsite... Iš niekur. Bet mes prisiminsime šią procedūrą! Šiek tiek žemiau.

Pats universaliausias bendrosios trupmenos. Pradėkime nuo jų. Beje, jei trupmenoje yra visokių logaritmų, sinusų ir kitokių raidžių, tai nieko nekeičia. Ta prasme, kad viskas veiksmai su trupmenomis nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis!

Pagrindinė trupmenos savybė.

Taigi, eime! Visų pirma, aš jus nustebinsiu. Visą trupmenų transformacijų įvairovę suteikia viena nuosavybė! Taip ir vadinasi pagrindinė trupmenos savybė. Prisiminkite: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus, trupmena nesikeičia. Tie:

Aišku, kad galima toliau rašyti, kol pamėlyna. Neleiskite sinusams ir logaritmams jūsų suklaidinti, mes su jais nagrinėsime toliau. Svarbiausia suprasti, kad visos šios įvairios išraiškos yra ta pati trupmena . 2/3.

Ar mums to reikia, visos šios transformacijos? Taip! Dabar pamatysite patys. Pirmiausia naudokime pagrindinę trupmenos savybę redukuojančios frakcijos. Atrodytų, elementarus dalykas. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus ir viskas! Neįmanoma suklysti! Bet... žmogus yra kurianti būtybė. Galite suklysti bet kur! Ypač jei reikia sumažinti ne trupmeną kaip 5/10, o trupmeninę išraišką su visokiomis raidėmis.

Kaip teisingai ir greitai sumažinti trupmenas neatliekant papildomo darbo, skaitykite specialiame 555 skyriuje.

Normalus mokinys nesivargina skaitiklio ir vardiklio dalyti iš to paties skaičiaus (arba išraiškos)! Jis tiesiog perbraukia viską, kas yra tas pats aukščiau ir apačioje! Čia slypi tipiška klaida, klaida, jei norite.

Pavyzdžiui, jums reikia supaprastinti išraišką:

Čia nėra apie ką galvoti, perbraukite raidę "a" viršuje ir "2" apačioje! Mes gauname:

Viskas teisinga. Bet jūs tikrai pasidalinote visi skaitiklis ir visi vardiklis yra "a". Jei esate įpratę tiesiog perbraukti, tada paskubėdami galite išbraukti posakyje „a“.

ir vėl gauk

Kas būtų kategoriška netiesa. Nes čia visi skaitiklis ant "a" jau yra nepasidalinta! Šios dalies sumažinti negalima. Beje, toks sumažinimas – hm... rimtas iššūkis mokytojui. Tai neatleista! Ar prisimeni? Mažinant reikia padalinti visi skaitiklis ir visi vardiklis!

Sumažinus trupmenas gyvenimas tampa daug lengvesnis. Kažkur gausite trupmeną, pavyzdžiui, 375/1000. Kaip aš galiu toliau dirbti su ja dabar? Be skaičiuotuvo? Padaugink, tarkim, pridėk, kvadratu!? O jei netingi, ir atsargiai sumažink jį penkiais, dar penkiais, ir net... kol trumpinama, trumpai tariant. Gaukime 3/8! Daug gražiau, tiesa?

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia paprastąsias trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai be skaičiuotuvo! Tai svarbu vieningam valstybiniam egzaminui, tiesa?

Kaip konvertuoti trupmenas iš vienos rūšies į kitą.

Su dešimtainėmis trupmenomis viskas paprasta. Kaip girdima, taip ir parašyta! Tarkime, 0,25. Tai yra nulis dvidešimt penkių šimtųjų dalių. Taigi rašome: 25/100. Sumažiname (skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 25), gauname įprastą trupmeną: 1/4. Visi. Būna, kad nieko nenupjauna. Kaip 0,3. Tai trys dešimtosios, t.y. 3/10.

Ką daryti, jei sveikieji skaičiai nėra nuliai? Viskas gerai. Užrašome visą trupmeną be jokių kablelių skaitiklyje, o vardiklyje – tai, kas išgirsta. Pavyzdžiui: 3.17. Tai yra trys taškai septyniolika šimtųjų dalių. Skaitiklyje rašome 317, o vardiklyje – 100 Gauname 317/100. Niekas nesumažėja, tai reiškia viską. Tai yra atsakymas. Elementaru, Vatsonai! Iš viso to, kas pasakyta, naudinga išvada: bet kuri dešimtainė trupmena gali būti konvertuojama į paprastąją trupmeną .

Tačiau kai kurie žmonės negali atlikti atvirkštinio konvertavimo iš paprasto į dešimtainį skaičių be skaičiuotuvo. Ir tai būtina! Kaip surašysite atsakymą į vieningą valstybinį egzaminą!? Atidžiai perskaitykite ir įvaldykite šį procesą.

Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jos vardiklis yra Visada kainuoja 10, 100, 1000, 10 000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi tokį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, 4/10 = 0,4. Arba 7/100 = 0,07. Arba 12/10 = 1,2. Ką daryti, jei „B“ skyriaus užduoties atsakymas buvo 1/2? Ką rašysime atsakydami? Reikalingi dešimtainiai...

Prisiminkime pagrindinė trupmenos savybė ! Matematika palankiai leidžia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus. Bet ko, beje! Žinoma, išskyrus nulį. Taigi išnaudokime šią nuosavybę savo naudai! Iš ko galima padauginti vardiklį, t.y. 2, kad jis taptų 10, ar 100, arba 1000 (žinoma, kad mažesnis geriau...)? 5, aišku. Nedvejodami padauginkite vardiklį (tai yra mus būtina) iš 5. Bet tada skaitiklį taip pat reikia padauginti iš 5. Tai jau yra matematikos reikalauja! Gauname 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Tai viskas.

Tačiau pasitaiko visokių vardiklių. Pavyzdžiui, galite susidurti su trupmena 3/16. Pabandykite ir sugalvokite, iš ko padauginti 16, kad gautumėte 100 ar 1000... Ar tai neveikia? Tada galite tiesiog padalinti 3 iš 16. Jei nėra skaičiuoklės, teks dalyti kampu, ant popieriaus lapo, kaip mokė pradinėje mokykloje. Gauname 0,1875.

Ir yra ir labai blogų vardiklių. Pavyzdžiui, nėra galimybės trupmenos 1/3 paversti geru dešimtainiu. Ir ant skaičiuotuvo, ir ant popieriaus lapo gauname 0,3333333... Tai reiškia, kad 1/3 yra tiksli dešimtainė trupmena neišversta. Tas pats kaip 1/7, 5/6 ir pan. Jų daug, neišverčiamų. Tai atveda mus prie kitos naudingos išvados. Ne kiekviena trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių !

Beje, tai yra naudinga informacija savęs patikrinimui. Skiltyje „B“ savo atsakyme turite užrašyti dešimtainę trupmeną. Ir jūs gavote, pavyzdžiui, 4/3. Ši trupmena nekonvertuojama į dešimtainę dalį. Tai reiškia, kad kažkur pakeliui padarėte klaidą! Grįžkite ir patikrinkite sprendimą.

Taigi, mes išsiaiškinome paprastas ir dešimtaines trupmenas. Belieka susidoroti su mišriais skaičiais. Norint dirbti su jais, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Kaip tai padaryti? Galite pagauti šeštoką ir jo paklausti. Tačiau šeštokas ne visada bus po ranka... Turėsite tai padaryti patys. Nesunku. Trupmeninės dalies vardiklį reikia padauginti iš visos dalies ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. O vardiklis? Vardiklis išliks toks pat. Skamba sudėtingai, bet iš tikrųjų viskas paprasta. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tarkime, kad išsigandote pamatę problemos numerį:

Ramiai, be panikos, galvojame. Visa dalis yra 1. Vienetas. Trupmeninė dalis yra 3/7. Todėl trupmeninės dalies vardiklis yra 7. Šis vardiklis bus paprastosios trupmenos vardiklis. Skaičiuojame skaitiklį. 7 padauginame iš 1 (sveikoji dalis) ir pridedame 3 (trumposios dalies skaitiklis). Gauname 10. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. Tai viskas. Tai atrodo dar paprasčiau matematiškai:

Ar aišku? Tada užsitikrinkite savo sėkmę! Konvertuoti į paprastas trupmenas. Turėtumėte gauti 10/7, 7/2, 23/10 ir 21/4.

Atvirkštinis veiksmas – netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrų skaičių – retai reikalingas vidurinėje mokykloje. Na, jei taip... O jei nesate vidurinėje mokykloje, galite pažvelgti į specialų 555 skyrių. Beje, ten sužinosite ir apie netinkamąsias trupmenas.

Na, tai praktiškai viskas. Jūs prisiminėte trupmenų tipus ir supratote Kaip perkelti juos iš vienos rūšies į kitą. Klausimas išlieka: Už ką tai padaryti? Kur ir kada pritaikyti šias gilias žinias?

atsakau. Bet koks pavyzdys pats savaime rodo būtinus veiksmus. Jei pavyzdyje sumaišomos paprastosios trupmenos, po kablelio ir net mišrūs skaičiai, viską paverčiame paprastosiomis trupmenomis. Tai visada galima padaryti. Na, o jei parašyta kažkas panašaus į 0,8 + 0,3, tai mes skaičiuojame taip, be jokio vertimo. Kodėl mums reikia papildomo darbo? Mes pasirenkame patogų sprendimą mus !

Jei užduotis yra visos po kablelio trupmenos, bet hm... kažkokios blogos, eikite į paprastas, pabandykite! Žiūrėk, viskas susitvarkys. Pavyzdžiui, skaičių 0,125 turėsite paversti kvadratu. Tai nėra taip paprasta, jei nesate įpratę naudotis skaičiuokle! Reikia ne tik padauginti skaičius stulpelyje, bet ir pagalvoti, kur dėti kablelį! Tai tikrai neveiks jūsų galvoje! O kas, jei pereitume prie paprastosios trupmenos?

0,125 = 125/1000. Sumažiname 5 (pradedant). Gauname 25/200. Dar kartą iki 5. Gauname 5/40. O, vis dar mažėja! Grįžti į 5! Gauname 1/8. Mes galime lengvai jį kvadratu (savo mintyse!) ir gauti 1/64. Viskas!

Apibendrinkime šią pamoką.

1. Yra trijų tipų trupmenos. Bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai.

2. Dešimtainės ir mišrūs skaičiai Visada galima paversti paprastosiomis trupmenomis. Atvirkštinis perkėlimas ne visada galima

3. Trupmenų tipo pasirinkimas darbui su užduotimi priklauso nuo pačios užduoties. Jei vienoje užduotyje yra skirtingų tipų trupmenos, patikimiausia yra pereiti prie paprastųjų trupmenų.

Dabar galite treniruotis. Pirmiausia konvertuokite šias dešimtaines trupmenas į įprastas trupmenas:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Turėtumėte gauti tokius atsakymus (netvarkoje!):

Pabaikime čia. Šioje pamokoje mes atnaujinome savo atmintį apie pagrindinius dalykus apie trupmenas. Tačiau būna, kad nėra ko ypatingai atsigaivinti...) Jei kas visiškai pamiršo, ar dar neįvaldė... Tada galite eiti į specialų 555 skyrių. Ten išsamiai aprašyti visi pagrindai. Daugelis staiga viską suprasti prasideda. Ir jie greitai išsprendžia trupmenas).

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Kalbant apie matematiką, negalima atsiminti trupmenų. Jų studijoms skiriama daug dėmesio ir laiko. Prisiminkite, kiek pavyzdžių turėjote išspręsti, kad išmoktumėte tam tikras darbo su trupmenomis taisykles, kaip įsiminėte ir pritaikėte pagrindinę trupmenos savybę. Kiek nervų išeikvota ieškant bendro vardiklio, ypač jei pavyzdžiuose buvo daugiau nei du terminai!

Prisiminkime, kas tai yra, ir šiek tiek atnaujinkime pagrindinę informaciją ir darbo su trupmenomis taisykles.

Trupmenų apibrėžimas

Pradėkime, ko gero, nuo svarbiausio dalyko – apibrėžimo. Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vienos ar kelių vieneto dalių. Trupmeninis skaičius rašomas kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Šiuo atveju viršutinė (arba pirmoji) vadinama skaitikliu, o apatinė (antra) vadinama vardikliu.

Verta paminėti, kad vardiklis rodo, į kiek dalių padalintas vienetas, o skaitiklis – paimtų akcijų ar dalių skaičių. Dažnai trupmenos, jei tinkamos, yra mažesnės nei viena.

Dabar pažvelkime į šių skaičių savybes ir pagrindines taisykles, kurios taikomos dirbant su jais. Tačiau prieš nagrinėdami tokią sąvoką kaip „pagrindinė racionalios trupmenos savybė“, pakalbėkime apie trupmenų tipus ir jų ypatybes.

Kas yra trupmenos?

Yra keletas tokių skaičių tipų. Visų pirma, tai yra įprasti ir dešimtainiai. Pirmieji atspindi įrašymo tipą, kurį jau nurodėme naudodami horizontalų arba pasvirąjį brūkšnį. Antrojo tipo trupmenos nurodomos naudojant vadinamąjį pozicinį žymėjimą, kai pirmiausia nurodoma sveikoji skaičiaus dalis, o po to, po kablelio, nurodoma trupmeninė dalis.

Čia verta paminėti, kad matematikoje vienodai vartojamos ir dešimtainės, ir paprastosios trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė galioja tik antrajam variantui. Be to, paprastosios trupmenos skirstomos į įprastus ir netinkamus skaičius. Pirmiesiems skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokia trupmena yra mažesnė už vieną. Priešingai, netinkamoje trupmenoje skaitiklis yra didesnis už vardiklį, o pati trupmena yra didesnė už vienetą. Tokiu atveju iš jo galima išgauti sveikąjį skaičių. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik paprastas trupmenas.

Trupmenų savybės

Bet koks reiškinys, cheminis, fizinis ar matematinis, turi savo ypatybes ir savybes. Trupmeniniai skaičiai nebuvo išimtis. Jie turi vieną svarbią savybę, kurios pagalba su jais galima atlikti tam tikras operacijas. Kokia yra pagrindinė trupmenos savybė? Taisyklė teigia, kad jos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties racionalaus skaičiaus, gauname naują trupmeną, kurios reikšmė bus lygi pradinės reikšmei. Tai yra, padauginus dvi trupmeninio skaičiaus 3/6 dalis iš 2, gauname naują trupmeną 6/12, ir jos bus lygios.

Remdamiesi šia savybe, galite sumažinti trupmenas, taip pat pasirinkti bendrus tam tikros skaičių poros vardiklius.

Operacijos

Nors trupmenos atrodo sudėtingesnės, jas taip pat galima naudoti atliekant pagrindines matematines operacijas, tokias kaip sudėtis ir atimtis, daugyba ir padalijimas. Be to, yra toks specifinis veiksmas kaip frakcijų mažinimas. Natūralu, kad kiekvienas iš šių veiksmų atliekamas pagal tam tikras taisykles. Žinant šiuos dėsnius, dirbti su trupmenomis tampa lengviau, lengviau ir įdomiau. Štai kodėl toliau apsvarstysime pagrindines taisykles ir veiksmų algoritmą dirbant su tokiais skaičiais.

Tačiau prieš kalbėdami apie matematines operacijas, tokias kaip sudėjimas ir atėmimas, pažvelkime į tokią operaciją kaip sumažinimas iki bendro vardiklio. Čia praverčia žinios apie tai, kokia pagrindinė trupmenos savybė egzistuoja.

Bendras vardiklis

Norėdami sumažinti skaičių iki bendro vardiklio, pirmiausia turite rasti mažiausią bendrą dviejų vardklių kartotinį. Tai yra mažiausias skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš abiejų vardklių be liekanos. Lengviausias būdas rasti LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį) yra užrašyti vieną vardiklį eilutėje, tada – antrą, ir rasti tarp jų atitinkantį skaičių. Jei LCM nerastas, tai yra, šie skaičiai neturi bendro kartotinio, turėtumėte juos padauginti, o gauta reikšmė bus laikoma LCM.

Taigi, mes radome LCM, dabar turime rasti papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, turite pakaitomis padalyti LCM į trupmenų vardiklius ir ant kiekvieno iš jų užrašyti gautą skaičių. Tada turėtumėte padauginti skaitiklį ir vardiklį iš gauto papildomo koeficiento ir užrašyti rezultatus kaip naują trupmeną. Jei abejojate, ar gautas skaičius yra lygus ankstesniam, prisiminkite pagrindinę trupmenos savybę.

Papildymas

Dabar pereikime tiesiai prie matematinių operacijų su trupmeniniais skaičiais. Pradėkime nuo paprasčiausio. Yra keletas frakcijų pridėjimo parinkčių. Pirmuoju atveju abu skaičiai turi tą patį vardiklį. Tokiu atveju belieka sudėti skaitiklius. Tačiau vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tik tada atlikti sudėjimą. Mes aptarėme, kaip tai padaryti, šiek tiek aukščiau. Šioje situacijoje pravers pagrindinė trupmenos savybė. Taisyklė leis suvesti skaičius į bendrą vardiklį. Vertė niekaip nepasikeis.

Arba gali atsitikti taip, kad frakcija sumaišoma. Tada pirmiausia turėtumėte sudėti visas dalis, o tada – trupmenines.

Daugyba

Tam nereikia jokių gudrybių, o norint atlikti šį veiksmą, nebūtina žinoti pagrindinės trupmenos savybės. Pakanka iš pradžių padauginti skaitiklius ir vardiklius. Šiuo atveju skaitiklių sandauga taps nauju skaitikliu, o vardikliai – nauju vardikliu. Kaip matote, nieko sudėtingo.

Vienintelis dalykas, kurio iš jūsų reikalaujama, yra daugybos lentelių išmanymas, taip pat atidumas. Be to, gavę rezultatą, būtinai turėtumėte patikrinti, ar šį skaičių galima sumažinti, ar ne. Apie tai, kaip sumažinti trupmenas, kalbėsime šiek tiek vėliau.

Atimtis

Atlikdami turėtumėte vadovautis tomis pačiomis taisyklėmis, kaip ir pridedant. Taigi, esant skaičiams su tuo pačiu vardikliu, pakanka atimti poskyrio skaitiklį iš minuend skaitiklio. Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tada atlikti šią operaciją. Kaip ir pridėjus, turėsite naudoti pagrindines algebrinių trupmenų savybes, taip pat įgūdžius ieškant LCM ir bendrų trupmenų faktorių.

Padalinys

Ir paskutinė, įdomiausia operacija dirbant su tokiais skaičiais yra padalijimas. Tai gana paprasta ir nesukelia jokių ypatingų sunkumų net tiems, kurie mažai supranta, kaip dirbti su trupmenomis, ypač sudėti ir atimti. Dalinant galioja ta pati taisyklė kaip ir dauginant iš atvirkštinės trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė, kaip ir daugybos atveju, šiai operacijai nebus naudojama. Pažiūrėkime atidžiau.

Dalijant skaičius, dividendas išlieka nepakitęs. Daliklio trupmena virsta savo reciprokine, tai yra, skaitiklis ir vardiklis keičiasi vietomis. Po to skaičiai dauginami vienas su kitu.

Sumažinimas

Taigi, mes jau išnagrinėjome trupmenų apibrėžimą ir struktūrą, jų tipus, operacijų su šiais skaičiais taisykles ir išsiaiškinome pagrindinę algebrinės trupmenos savybę. Dabar pakalbėkime apie tokią operaciją kaip sumažinimas. Trupmenos sumažinimas yra jos konvertavimo procesas – skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš to paties skaičiaus. Taigi, frakcija sumažinama nekeičiant jos savybių.

Paprastai atliekant matematinį veiksmą reikia atidžiai pažvelgti į gautą rezultatą ir išsiaiškinti, ar galima gautą trupmeną sumažinti, ar ne. Atminkite, kad galutiniame rezultate visada yra trupmeninis skaičius, kurio nereikia mažinti.

Kitos operacijos

Galiausiai pažymime, kad neišvardinome visų operacijų su trupmeniniais skaičiais, paminėjome tik žinomiausias ir būtiniausias. Trupmenas taip pat galima lyginti, konvertuoti į dešimtaines dalis ir atvirkščiai. Tačiau šiame straipsnyje mes nenagrinėjome šių operacijų, nes matematikoje jos atliekamos daug rečiau nei tos, kurias pateikėme aukščiau.

Išvados

Kalbėjomės apie trupmeninius skaičius ir operacijas su jais. Mes taip pat išnagrinėjome pagrindinę savybę. Pateikėme tik žinomiausias ir naudojamas taisykles bei davėme pačius svarbiausius, mūsų nuomone, patarimus.

Šis straipsnis skirtas atnaujinti pamirštą informaciją apie trupmenas, o ne suteikti naujos informacijos ir užpildyti galvą begale taisyklių ir formulių, kurios, greičiausiai, niekada jums nebus naudingos.

Tikimės, kad straipsnyje pateikta medžiaga, paprasta ir glausta, jums buvo naudinga.

Išsamiai aptarta pagrindinė trupmenos savybė, pateikiama jo formuluotė, pateikiamas įrodymas ir aiškinamasis pavyzdys. Taip pat nagrinėjamas pagrindinės trupmenos savybės taikymas mažinant trupmenas ir mažinant trupmenas iki naujo vardiklio.

Puslapio naršymas.

Pagrindinė trupmenos savybė – formuluotė, įrodymas ir aiškinamieji pavyzdžiai

Pažvelkime į pavyzdį, iliustruojantį pagrindinę trupmenos savybę. Tarkime, kad turime kvadratą, padalintą į 9 „didžiuosius“ kvadratus, ir kiekvienas iš šių „didelių“ kvadratų yra padalintas į 4 „mažus“ kvadratus. Taigi, taip pat galime pasakyti, kad pradinis kvadratas yra padalintas į 4 9 = 36 „mažus“ kvadratus. Nupieškime 5 „didelius“ kvadratus. Tokiu atveju 4·5=20 „mažų“ kvadratėlių bus užtamsinti. Štai brėžinys, atitinkantis mūsų pavyzdį.

Tamsinta dalis yra 5/9 pradinio kvadrato arba, kas yra ta pati, 20/36 pradinio kvadrato, tai yra, trupmenos 5/9 ir 20/36 yra lygios: arba. Iš šių lygybių, taip pat iš lygybių 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 ir 36:4=9, išplaukia, kad ir .

Norėdami konsoliduoti išardytą medžiagą, apsvarstykite pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Kai kurios bendrosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis buvo padauginti iš 62, po to gautos trupmenos skaitiklis ir vardiklis buvo padalyti iš 2. Ar gauta trupmena lygi pradinei?

Sprendimas.

Padauginus trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš bet kurio natūraliojo skaičiaus, ypač iš 62, gaunama trupmena, kuri dėl pagrindinės trupmenos savybės yra lygi pradinei. Pagrindinė trupmenos savybė leidžia teigti, kad gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijus iš 2, gauta trupmena bus lygi pradinei trupmenai.

Atsakymas:

Taip, gauta trupmena yra lygi pradinei.

Pagrindinės trupmenos savybės taikymas

Pagrindinė trupmenos savybė daugiausia naudojama dviem atvejais: pirma, mažinant trupmenas iki naujo vardiklio, ir, antra, mažinant trupmenas.

Trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio – tai pradinės trupmenos pakeitimas lygia dalimi, bet didesniu skaitikliu ir vardikliu. Kad trupmena būtų perkelta į naują vardiklį, tiek trupmenos skaitiklis, tiek vardiklis padauginami iš tam tikro natūraliojo skaičiaus ir pagal pagrindinę trupmenos savybę gaunama trupmena, lygi pradinei, bet su skirtingas skaitiklis ir vardiklis. Atliekant Vilenkin N.Ya neįmanoma nesumažinti trupmenų iki naujo vardiklio. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Vieneto trupmenos ir vaizduojama kaip \frac(a)(b).

Trupmenos skaitiklis (a)- skaičius, esantis virš trupmenos linijos ir rodantis akcijų, į kurias buvo padalintas vienetas, skaičių.

Trupmenos vardiklis (b)- skaičius, esantis po trupmenos eilute ir rodantis, į kiek dalių padalintas vienetas.

Slėpti Rodyti

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei ad=bc, tada dvi trupmenos \frac(a)(b) Ir \frac(c)(d) laikomi lygiaverčiais. Pavyzdžiui, trupmenos bus lygios \frac35 Ir \frac(9)(15), kadangi 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Ir \frac(24)(14), kadangi 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Iš trupmenų lygybės apibrėžimo išplaukia, kad trupmenos bus lygios \frac(a)(b) Ir \frac(am)(bm), kadangi a(bm)=b(am) yra aiškus natūraliųjų skaičių dauginimo asociatyvinių ir komutuojamųjų savybių panaudojimo pavyzdys.

Reiškia \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)– štai kaip atrodo pagrindinė trupmenos savybė.

Kitaip tariant, gauname trupmeną, lygią duotajai, pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę arba padalinę iš to paties natūraliojo skaičiaus.

Dalies sumažinimas yra trupmenos pakeitimo procesas, kai nauja trupmena yra lygi pradinei, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu.

Įprasta trupmenas mažinti pagal pagrindinę trupmenos savybę.

Pavyzdžiui, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(skaitiklis ir vardiklis dalijami iš skaičiaus 3); gautą trupmeną vėl galima sumažinti padalijus iš 5, tai yra \frac(15)(20)=\frac 34.

Neredukuojama trupmena yra formos dalis \frac 34, kur skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai. Pagrindinis trupmenos mažinimo tikslas yra padaryti frakciją neredukuojamą.

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Kaip pavyzdį paimkime dvi trupmenas: \frac(2)(3) Ir \frac(5)(8) su skirtingais vardikliais 3 ir 8. Norėdami šias trupmenas sujungti į bendrą vardiklį, pirmiausia padauginame trupmenos skaitiklį ir vardiklį \frac(2)(3) iki 8. Gauname tokį rezultatą: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Tada padauginame trupmenos skaitiklį ir vardiklį \frac(5)(8) iki 3. Rezultate gauname: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15) (24). Taigi pradinės trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio 24.

Aritmetiniai veiksmai su paprastosiomis trupmenomis

Paprastųjų frakcijų pridėjimas

a) Jei vardikliai yra vienodi, pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio, vardiklis paliekamas toks pat. Kaip matote pavyzdyje:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Skirtingiems vardikliams trupmenos pirmiausia sumažinamos iki bendro vardiklio, o tada skaitikliai pridedami pagal a taisyklę:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Trupmenų atėmimas

a) Jei vardikliai yra vienodi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį, vardiklį palikdami tą patį:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jei trupmenų vardikliai skiriasi, tai pirmiausia trupmenos sujungiamos į bendrą vardiklį, o po to veiksmai kartojami kaip nurodyta a punkte.

Paprastųjų trupmenų dauginimas

Dauginant trupmenas laikomasi šios taisyklės:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

tai yra, jie daugina skaitiklius ir vardiklius atskirai.

Pavyzdžiui:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Dalijimosi trupmenos

Frakcijos skirstomos taip:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

tai yra trupmena \frac(a)(b) padauginta iš trupmenos \frac(d)(c).

Pavyzdys: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Abipusiai skaičiai

Jei ab=1 , tai skaičius b yra abipusis skaičius už skaičių a.

Pavyzdys: skaičiaus 9 atvirkštinė vertė yra \frac(1)(9), nes 9\cdot\frac(1)(9)=1, skaičiui 5 - \frac(1)(5), nes 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Dešimtainės

Dešimtainė vadinama tinkama trupmena, kurios vardiklis yra 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Pavyzdžiui: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Taip pat rašomi ir netaisyklingi skaičiai, kurių vardiklis yra 10^n, arba mišrūs skaičiai.

Pavyzdžiui: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Bet kuri paprastoji trupmena, kurios vardiklis yra tam tikros galios 10 daliklis, vaizduojama kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys: 5 yra 100 daliklis, taigi tai trupmena \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmetinės operacijos dešimtainiais skaičiais

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Norėdami pridėti dvi po kablelio trupmenas, turite jas išdėstyti taip, kad vienas po kito būtų identiški skaitmenys, o po kableliu – kablelis, o tada trupmenas sudėkite kaip paprastus skaičius.

Dešimtainių skaičių atėmimas

Tai atliekama taip pat, kaip ir pridėjimas.

Dešimtainių skaičių dauginimas

Dauginant dešimtainius skaičius, pakanka padauginti pateiktus skaičius, nekreipiant dėmesio į kablelius (kaip natūralius skaičius), o gautame atsakyme kablelis dešinėje atskiria tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio abiejuose veiksniuose. iš viso.

2,7 padauginkime iš 1,3. Turime 27 \cdot 13=351 . Du skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu (pirmasis ir antrasis skaičiai turi vieną skaitmenį po kablelio; 1+1=2). Dėl to gauname 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Jei gautame rezultate yra mažiau skaitmenų, nei reikia atskirti kableliu, trūkstami nuliai rašomi priešais, pavyzdžiui:

Norėdami padauginti iš 10, 100, 1000, dešimtainį kablelį reikia perkelti 1, 2, 3 skaitmenimis į dešinę (jei reikia, tam tikras skaičius nulių priskiriamas dešinėje).

Pavyzdžiui: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.

Dešimtainis padalijimas

Dešimtainės trupmenos dalijimas iš natūraliojo skaičiaus atliekamas taip pat, kaip natūralusis skaičius dalijamas iš natūraliojo skaičiaus. Kablelis dalinyje dedamas užbaigus visos dalies padalijimą.

Jei sveikoji dividendo dalis yra mažesnė už daliklį, tada atsakymas yra nulis sveikųjų skaičių, pavyzdžiui:

Pažiūrėkime, kaip padalinti dešimtainį skaičių iš kablelio. Tarkime, kad reikia padalyti 2,576 iš 1,12. Pirmiausia padauginkime trupmenos dividendą ir daliklį iš 100, tai yra, perkelkime dešimtainį tašką į dešinę dividende ir padalinkime iš tiek skaitmenų po kablelio, kiek yra daliklyje po kablelio (šiame pavyzdyje , du). Tada reikia padalyti trupmeną 257,6 iš natūraliojo skaičiaus 112, tai yra, problema sumažinama iki jau nagrinėjamo atvejo:

Pasitaiko, kad dalijant vieną skaičių iš kito ne visada gaunama galutinė dešimtainė trupmena. Rezultatas yra begalinė dešimtainė trupmena. Tokiais atvejais pereiname prie paprastųjų trupmenų.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).