Diskretus atsitiktinis dydis x nurodomas pasiskirstymo funkcija. Teorinė medžiaga moduliams "tikimybių teorija ir matematinė statistika"

Diskretus atsitiktinumas Kintamieji yra atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmės yra nutolusios viena nuo kitos ir kurias galima išvardyti iš anksto.
Paskirstymo dėsnis
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių.
Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo serija yra jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sąrašas.
Diskretaus atsitiktinio dydžio paskirstymo funkcija yra funkcija:
,
kiekvienai argumento x reikšmei nustatant tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę reikšmę nei šis x.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis
,
kur yra diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmė; - tikimybė, kad atsitiktinis dydis priims X reikšmes.
Jei atsitiktinis kintamasis užima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada:
.
Matematinė įvykio įvykių skaičiaus prognozė n nepriklausomų bandymų:
,

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir standartinis nuokrypis
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija:
arba .
Įvykio atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų
,
čia p yra įvykio tikimybė.
Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis:
.

1 pavyzdys
Sudarykite diskretinio atsitiktinio dydžio (DRV) X tikimybių pasiskirstymo dėsnį – bent vieno „šešio“ atvejo k skaičių per n = 8 kauliukų poros metimus. Sukurkite paskirstymo daugiakampį. Raskite skirstinio skaitines charakteristikas (paskirstymo režimas, matematinė prognozė M(X), dispersija D(X), standartinis nuokrypis s(X)). Sprendimas:Įveskime žymėjimą: įvykis A – „metant kauliukų porą, šešetas pasirodo bent kartą“. Norint rasti įvykio A tikimybę P(A) = p, patogiau pirmiausia rasti tikimybę P(Ā) = q priešingo įvykio Ā - „metant kauliukų porą, šešetukas niekada neatsirado“.
Kadangi tikimybė, kad metant vieną kauliuką neatsiras „šešetas“, yra 5/6, tai pagal tikimybių daugybos teoremą
P(Ā) = q = = .
Atitinkamai,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemoje atlikti testai pagal Bernulio schemą, todėl d.s.v. dydžio X- numeris k bent vieno šešetuko atsiradimas metant du kauliukus paklūsta tikimybių skirstinio dvinariui dėsniui:

kur = yra derinių skaičius n Autorius k.

Šios problemos skaičiavimai gali būti patogiai pateikti lentelės pavidalu:
Tikimybių skirstinys d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio daugiakampis (daugiakampis). X parodyta paveiksle:

Ryžiai. Tikimybių skirstinio daugiakampis d.s.v. X=k.
Vertikali linija rodo matematinius pasiskirstymo lūkesčius M(X).

Raskime d.s.v tikimybių skirstinio skaitines charakteristikas. X. Paskirstymo režimas yra 2 (čia P 8(2) = daugiausia 0,2932). Matematinis lūkestis pagal apibrėžimą yra lygus:
M(X) = = 2,4444,
Kur xk = k– vertė paimta d.s.v. X. Dispersija D(X) paskirstymą randame naudodami formulę:
D(X) = = 4,8097.
Standartinis nuokrypis (RMS):
s( X) = = 2,1931.

2 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis dydis X duota platinimo įstatymo

Sprendimas. Jei , tada (trečioji savybė).
Jei, tada. tikrai, X gali gauti reikšmę 1 su tikimybe 0,3.
Jei, tada. Iš tiesų, jei jis tenkina nelygybę
, tada lygi įvykio, kuris gali įvykti, tikimybei X ims reikšmę 1 (šio įvykio tikimybė yra 0,3) arba reikšmę 4 (šio įvykio tikimybė yra 0,1). Kadangi šie du įvykiai yra nesuderinami, tai pagal sudėjimo teoremą įvykio tikimybė yra lygi tikimybių sumai 0,3 + 0,1 = 0,4. Jei, tada. Iš tiesų įvykis yra tikras, todėl jo tikimybė lygi vienetui. Taigi paskirstymo funkciją galima analitiškai parašyti taip:

Šios funkcijos grafikas:
Raskime tikimybes, atitinkančias šias reikšmes. Pagal sąlygą įrenginių gedimo tikimybės yra lygios: tada tikimybė, kad įrenginiai veiks garantiniu laikotarpiu, yra vienoda:




Paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

PASKIRSTYMO DĖSNIS IR CHARAKTERISTIKOS

ATSITIKTINIAI KINTAMAI

Atsitiktiniai dydžiai, jų klasifikacija ir aprašymo metodai.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, bet kuris iš anksto nėra žinomas. Todėl atsitiktiniam dydžiui galite nurodyti tik reikšmes, kurių vienos tikrai reikės kaip eksperimento rezultatą. Toliau šias reikšmes vadinsime galimomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis. Kadangi atsitiktinis dydis kiekybiškai apibūdina atsitiktinį eksperimento rezultatą, jį galima laikyti kiekybine atsitiktinio įvykio charakteristika.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui, X..Y..Z, o galimos jų reikšmės – atitinkamomis mažomis raidėmis.

Yra trijų tipų atsitiktiniai dydžiai:

Diskretus; Nepertraukiamas; Mišrus.

Diskretus yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius sudaro skaičiuojamą aibę. Savo ruožtu aibė, kurios elementus galima sunumeruoti, vadinama skaičiuojama. Žodis „diskretus“ kilęs iš lotyniško žodžio discretus, reiškiančio „nepertraukiamas, susidedantis iš atskirų dalių“.

1 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra sugedusių dalių X skaičius nproduktų partijoje. Iš tiesų, galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki n.

2 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį. Čia, kaip ir 1 pavyzdyje, galimos reikšmės gali būti sunumeruotos, nors ribiniu atveju galima reikšmė yra be galo didelis skaičius.

Nuolatinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą skaitinės ašies intervalą, kartais vadinamą šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalu. Taigi bet kuriame baigtiniame egzistavimo intervale nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra be galo didelis.

3 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra įmonės elektros energijos suvartojimas per mėnesį.

4 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra paklaida matuojant aukštį naudojant aukščiamatį. Iš aukščiamačio veikimo principo aišku, kad paklaida yra intervale nuo 0 iki 2 m. Todėl šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalas yra intervalas nuo 0 iki 2 m.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis dydis laikomas visiškai apibrėžtu, jei jo galimos reikšmės yra nurodytos skaitinėje ašyje ir nustatytas pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio verčių ir atitinkamų tikimybių.

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas pagal tam tikrą dėsnį arba jam taikomas tam tikras pasiskirstymo įstatymas. Kai kurie tikimybių, pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos yra naudojami kaip pasiskirstymo dėsniai.

Pasiskirstymo dėsnis pateikia išsamų tikėtiną atsitiktinio dydžio aprašymą. Pagal pasiskirstymo dėsnį, prieš eksperimentą galima nuspręsti, kurios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės pasirodys dažniau, o kurios rečiau.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Paprasčiausias diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nurodymo būdas yra lentelė (matrica), kurioje didėjimo tvarka surašytos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės, t.y.

Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka. 1

Įvykiai X 1, X 2,..., X n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X atitinkamai įgis x 1, x 2,...x n reikšmes. nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui

(Šis vienetas kažkaip paskirstomas tarp atsitiktinio dydžio reikšmių, taigi ir terminas „paskirstymas“).

Pasiskirstymo eilutes galima pavaizduoti grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Sujungus gautus taškus, susidaro trūkinė linija, vadinama tikimybių skirstinio daugiakampiu arba daugiakampiu (1 pav.).

PavyzdysĮ loteriją įeina: automobilis, kurio vertė 5000 den. vnt., 4 televizoriai, kainuojantys 250 den. vnt., 5 vaizdo registratoriai, kurių vertė 200 den. vienetų Iš viso 7 dienoms parduodama 1000 bilietų. vienetų Sudarykite loterijos dalyvio, įsigijusio vieną bilietą, grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės - grynasis laimėjimas už bilietą - yra lygios 0-7 = -7 pinigai. vienetų (jei bilietas nelaimėjo), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienetų (jei biliete yra atitinkamai vaizdo grotuvo, televizoriaus ar automobilio laimėjimai). Atsižvelgdami į tai, kad iš 1000 bilietų nelaimėjusiųjų skaičius yra 990, o nurodyti laimėjimai yra atitinkamai 5, 4 ir 1, ir naudojant klasikinį tikimybės apibrėžimą, gauname.

X; prasmė F(5); tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paims vertes iš segmento . Sukurkite paskirstymo daugiakampį.

1. Yra žinoma diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F(x). X:

Nustatykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį X lentelės pavidalu.

1. Duotas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

1. Tikimybė, kad parduotuvė turi kokybės sertifikatus visam asortimentui yra 0,7. Komisija patikrino sertifikatų prieinamumą keturiose rajono parduotuvėse. Sudaryti platinimo įstatymą, apskaičiuoti parduotuvių, kuriose patikrinimo metu nebuvo rasta kokybės sertifikatų, matematinį lūkestį ir sklaidą.

1. Norint nustatyti vidutinį elektros lempų degimo laiką 350 vienodų dėžučių partijoje, iš kiekvienos dėžės buvo paimta po vieną elektros lempą bandymui. Apskaičiuokite tikimybę, kad pasirinktų elektros lempų vidutinė degimo trukmė skiriasi nuo visos partijos vidutinės degimo trukmės absoliučia verte mažiau nei 7 valandas, jei žinoma, kad elektros lempų degimo trukmės standartinis nuokrypis kiekviena dėžutė yra trumpesnė nei 9 valandos.

1. Telefono stotyje įvyksta neteisingas ryšys su 0,002 tikimybe. Raskite tikimybę, kad tarp 500 jungčių įvyks:

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X. Sukurkite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją, režimą ir medianą X.

1. Automatinė mašina gamina volelius. Manoma, kad jų skersmuo yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis, kurio vidutinė reikšmė yra 10 mm. Koks yra standartinis nuokrypis, jei su 0,99 tikimybe skersmuo yra nuo 9,7 mm iki 10,3 mm.

A pavyzdys: 6 9 7 6 4 4

B pavyzdys: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17 variantas.

1. Iš 35 dalių 7 yra nestandartinės. Raskite tikimybę, kad dvi atsitiktinai paimtos dalys bus standartinės.

1. Mesti trys kauliukai. Raskite tikimybę, kad nukritusių kraštinių taškų suma yra 9 kartotinė.

1. Žodis „NUOTYKIS“ sudarytas iš kortelių, ant kurių parašyta po vieną raidę. Kortos sumaišomos ir išimamos po vieną, negrąžinant. Raskite tikimybę, kad atsiradimo tvarka ištrauktos raidės sudaro žodį: a) NUOTYKIS; b) KALINIS.

1. Urnoje yra 6 juodi ir 5 balti rutuliukai. Atsitiktinai ištraukiami 5 rutuliai. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra:
1. 2 balti rutuliukai;
2. mažiau nei 2 balti rutuliai;
3. bent vienas juodas rutulys.

1. A viename bandyme lygus 0,4. Raskite šių įvykių tikimybę:
1. įvykis A pasirodo 3 kartus per 7 nepriklausomus bandymus;
2. įvykis A bus rodomas ne mažiau kaip 220 ir ne daugiau kaip 235 kartus per 400 bandymų seriją.

1. Gamykla į bazę išsiuntė 5000 geros kokybės produktų. Kiekvienos gabenamos prekės sugadinimo tikimybė yra 0,002. Raskite tikimybę, kad kelionės metu bus sugadinti ne daugiau kaip 3 produktai.

1. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 9 juodi rutuliai, o antroje – 7 balti ir 3 juodi rutuliai. Iš pirmos urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 3 rutuliai, o iš antrosios – 4. Raskite tikimybę, kad visi nupiešti rutuliai yra vienodos spalvos.

1. Duotas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

Apskaičiuokite jo matematinę prognozę ir dispersiją.

1. Dėžutėje yra 10 pieštukų. Atsitiktinai nupiešti 4 pieštukai. Atsitiktinis kintamasis X– mėlynų pieštukų skaičius tarp atrinktų. Raskite jo pasiskirstymo dėsnį, 2 ir 3 eilės pradinius ir centrinius momentus.

1. Techninės kontrolės skyrius patikrina 475 gaminius dėl defektų. Tikimybė, kad prekė yra brokuota, yra 0,05. Su 0,95 tikimybe suraskite ribas, kuriose bus patikrintų gaminių su trūkumais skaičius.

1. Telefono stotyje įvyksta neteisingas ryšys su 0,003 tikimybe. Raskite tikimybę, kad tarp 1000 jungčių įvyks:
1. mažiausiai 4 neteisingi sujungimai;
2. daugiau nei du neteisingi ryšiai.

1. Atsitiktinis dydis nurodomas pasiskirstymo tankio funkcija:

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X. Sukurkite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę lūkesčius, dispersiją, modą ir medianą.

1. Atsitiktinis dydis nurodomas paskirstymo funkcija:

1. Pagal pavyzdį A išspręsti šias problemas:
1. sukurti variacijų seriją;

· imties vidurkis;

· imties dispersija;

Režimas ir mediana;

A pavyzdys: 0 0 2 2 1 4

1. apskaičiuokite variacijų serijos skaitines charakteristikas:

· imties vidurkis;

· imties dispersija;

standartinis imties nuokrypis;

· režimas ir mediana;

B pavyzdys: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18 variantas.

1. Iš 10 loterijos bilietų 2 yra laimėję. Raskite tikimybę, kad iš penkių atsitiktinai paimtų bilietų vienas bus laimėtojas.

1. Mesti trys kauliukai. Raskite tikimybę, kad susuktų taškų suma yra didesnė nei 15.

1. Žodis "PERIMETRIS" sudarytas iš kortelių, ant kurių parašyta po vieną raidę. Kortos sumaišomos ir išimamos po vieną, negrąžinant. Raskite tikimybę, kad ištrauktos raidės sudarys žodį: a) PEROMETRAS; b) MATAS.

1. Urnoje yra 5 juodi ir 7 balti rutuliukai. Atsitiktinai ištraukiami 5 rutuliai. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra:
1. 4 balti rutuliukai;
2. mažiau nei 2 balti rutuliai;
3. bent vienas juodas rutulys.

1. Tikimybė, kad įvyks įvykis A viename bandyme lygus 0,55. Raskite šių įvykių tikimybę:
1. įvykis A pasirodys 3 kartus 5 iššūkių serijoje;
2. įvykis A bus rodomas ne mažiau kaip 130 ir ne daugiau kaip 200 kartų per 300 bandymų seriją.

1. Konservų skardinės sulūžimo tikimybė yra 0,0005. Raskite tikimybę, kad iš 2000 skardinių dviejose bus nuotėkis.

1. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 8 juodi rutuliai, o antroje – 7 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš pirmosios urnos atsitiktine tvarka ištraukiami du rutuliai, o iš antrosios – trys. Raskite tikimybę, kad visi nupiešti rutuliai yra vienodos spalvos.

1. Iš surinkimui atvežamų detalių 0,1% yra brokuotos iš pirmos mašinos, 0,2% nuo antrosios, 0,25% iš trečiosios ir 0,5% nuo ketvirtos. Mašinos našumo santykis yra atitinkamai 4:3:2:1. Atsitiktinai paimta dalis pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad dalis buvo pagaminta pirmoje mašinoje.

1. Duotas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

Apskaičiuokite jo matematinę prognozę ir dispersiją.

1. Elektrikas turi tris lemputes, kurių kiekviena turi 0,1 tikimybę. Lemputės įsukamos į lizdą ir įjungiama srovė. Įjungus srovę, sugedusi lemputė iš karto perdega ir pakeičiama kita. Raskite pasiskirstymo dėsnį, matematinį lūkestį ir išbandytų lempučių skaičiaus sklaidą.

1. Tikimybė pataikyti į taikinį yra 0,3 kiekvienam iš 900 nepriklausomų šūvių. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad į taikinį bus pataikyta mažiausiai 240 ir daugiausiai 300 kartų.

1. Telefono stotyje įvyksta neteisingas ryšys su 0,002 tikimybe. Raskite tikimybę, kad tarp 800 jungčių įvyks:
1. mažiausiai trys neteisingi sujungimai;
2. daugiau nei keturios neteisingos jungtys.

1. Atsitiktinis dydis nurodomas pasiskirstymo tankio funkcija:

Raskite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkciją. Nubraižykite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją, režimą ir medianą X.

1. Atsitiktinis dydis nurodomas paskirstymo funkcija:

1. Pagal pavyzdį A išspręsti šias problemas:
1. sukurti variacijų seriją;
2. apskaičiuoti santykinius ir kaupiamuosius dažnius;
3. sudaryti empirinę skirstinio funkciją ir pavaizduoti ją;
4. apskaičiuokite variacijų serijos skaitines charakteristikas:

· imties vidurkis;

· imties dispersija;

standartinis imties nuokrypis;

· režimas ir mediana;

A pavyzdys: 4 7 6 3 3 4

1. Naudodami B pavyzdį išspręskite šias problemas:
1. sukurti sugrupuotą variantų seriją;
2. sukurti histogramą ir dažnio daugiakampį;
3. apskaičiuokite variacijų serijos skaitines charakteristikas:

· imties vidurkis;

· imties dispersija;

standartinis imties nuokrypis;

· režimas ir mediana;

B pavyzdys: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19 variantas.

1. Svetainėje dirba 16 moterų ir 5 vyrai. 3 žmonės buvo atrinkti atsitiktine tvarka pagal jų personalo numerius. Raskite tikimybę, kad visi atrinkti žmonės bus vyrai.

2. Metamos keturios monetos. Raskite tikimybę, kad tik dvi monetos turės „herbą“.

3. Žodis „PSICHOLOGIJA“ sudarytas iš kortelių, ant kurių parašyta po vieną raidę. Kortos sumaišomos ir išimamos po vieną, negrąžinant. Raskite tikimybę, kad ištrauktos raidės sudaro žodį: a) PSICHOLOGIJA; b) PERSONALAS.

4. Urnoje yra 6 juodi ir 7 balti rutuliukai. Atsitiktinai ištraukiami 5 rutuliai. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra:

a. 3 balti rutuliukai;

b. mažiau nei 3 balti rutuliai;

c. bent vienas baltas rutulys.

5. Įvykio įvykimo tikimybė A viename bandyme lygus 0,5. Raskite šių įvykių tikimybę:

a. įvykis A pasirodo 3 kartus per 5 nepriklausomus bandymus;

b. įvykis A bus rodomas mažiausiai 30 ir ne daugiau kaip 40 kartų per 50 bandymų seriją.

6. Yra 100 vienodo galingumo mašinų, veikiančių nepriklausomai viena nuo kitos tuo pačiu režimu, kuriose jų pavara įjungiama 0,8 darbo valandos. Kokia tikimybė, kad bet kuriuo momentu bus įjungta nuo 70 iki 86 mašinų?

7. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 7 juodi rutuliai, o antroje – 8 balti ir 3 juodi rutuliai. Iš pirmos urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 4 rutuliai, iš antrosios – 1 rutuliukas. Raskite tikimybę, kad tarp ištrauktų rutulių yra tik 4 juodi rutuliai.

8. Į automobilių prekybos saloną kasdien patenka trijų markių automobiliai pagal apimtį: „Moskvich“ – 40%; „Gerai“ – 20%; „Volga“ – 40% visų įvežamų automobilių. Tarp „Moskvich“ automobilių apsaugos nuo vagystės yra 0,5 proc., „Oka“ – 0,01 proc., „Volga“ – 0,1 proc. Raskite tikimybę, kad apžiūrai paimtas automobilis turi apsaugos nuo vagystės įtaisą.

9. Skaičiai ir atkarpoje parenkami atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad šie skaičiai patenkins nelygybes.

10. Pateiktas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X; prasmė F(2); tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paims vertes iš intervalo . Sukurkite paskirstymo daugiakampį.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Į loteriją išleista 100 bilietų. Ištrauktas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimų laimėjimų kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir laimėti 50 USD -p 3 = 0,01. Taigi:

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį iš anksto išstudijuotąjį reklamą. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus paskirstymo eilutę.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio paskirstymu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Pasvarstykime Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad n testus, įvykis A pasirodys tiksliai k vieną kartą: , arba:

IN Grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 – vieno elemento gedimas;

x 2 =2 – dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tai q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Valdymas:.

Todėl reikalingas platinimo įstatymas:

4 problema. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelė

bandymų (masių testų), kurių kiekviename įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , Kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 problema. Šaudant iki pirmojo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 – p). Testas baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks k-tajame bandyme, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Todėl .

6 problema. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 problema. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X vertės kvadrato paskirstymo dėsnis 2 :

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galime pasakyti: jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba – jo matematinė prognozė yra 6,4 m su m nuokrypiu. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinis kintamasis X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą reikšmė X įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. . Mūsų atveju ir todėl

.

Užduotis 10. Diskretus atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatyme nurodyta:

Raskite paskirstymo funkciją F(x ) ir nubrėžkite jį.

Sprendimas. Kadangi paskirstymo funkcija,

Už , Tai

adresu ;

adresu ;

adresu ;

adresu ;

Atitinkama diagrama:

11 problema. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pateikiama pagal diferencinio paskirstymo funkciją: .

Raskite pataikymo tikimybę X per intervalą

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra ypatingas eksponentinės paskirstymo įstatymo atvejis.

Naudokime formulę: .

Užduotis 12. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, nurodytas skirstymo dėsniu:

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamu dydžiu, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant paskirstymo funkcijos F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – pasiskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį.

Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. :

• Pagrindinės diskretinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio.
  M(X)=Σ x i p i
• Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2)− 2
  . Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
• Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis).

σ(X)=√D(X)

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

1 užduotis.

Sprendimas. Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų.

Sprendimas. 1. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, sukonstruokite skirstinio daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Diskretus atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi tokias galimas reikšmes: x 1 =0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 =1 (vienas elementas nepavyko), x 3 =2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko). Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė
. Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;

Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Taigi norimas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą:

3. Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

jei x > 3 bus F(x) = 1, nes renginys patikimas.

4. Funkcijos F(x) grafikas
Binominiam skirstiniui X:
- matematinė lūkestis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;