Kurioms matricoms egzistuoja atvirkštinė vertė? Atvirkštinės matricos radimas: trys algoritmai ir pavyzdžiai

Ši tema yra viena nekenčiamiausių tarp studentų. Blogiau, ko gero, yra kvalifikacijos.

Apgaulė ta, kad pati atvirkštinio elemento sąvoka (ir aš kalbu ne tik apie matricas) nurodo daugybos operaciją. Netgi mokyklos programoje daugyba laikoma sudėtinga operacija, o matricinė daugyba paprastai yra atskira tema, kuriai paskyriau visą pastraipą ir video pamoką.

Šiandien nesigilinsime į matricos skaičiavimo detales. Tiesiog prisiminkime: kaip žymimos matricos, kaip jos dauginamos ir kas iš to išplaukia.

Apžvalga: Matricos daugyba

Pirmiausia susitarkime dėl žymėjimo. $A$ dydžio matrica $\left[ m\times n \right]$ yra tiesiog skaičių lentelė su tiksliai $m$ eilučių ir $n$ stulpelių:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\pabaiga (matrica) \right])_(n)\]

Kad netyčia nesupainiotumėte eilučių ir stulpelių (patikėkite, egzamine galite supainioti vieną su dviem, jau nekalbant apie kai kurias eilutes), tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Kas vyksta? Jei įdėsite standartinę koordinačių sistemą $OXY$ viršutiniame kairiajame kampe ir nukreipsite ašis taip, kad jos apimtų visą matricą, tada kiekvienas šios matricos langelis gali būti unikaliai susietas su koordinatėmis $\left(x;y \right)$ - tai bus eilutės ir stulpelio numeris.

Kodėl koordinačių sistema yra viršutiniame kairiajame kampe? Taip, nes nuo ten mes pradedame skaityti bet kokius tekstus. Tai labai lengva prisiminti.

Kodėl $x$ ašis nukreipta žemyn, o ne į dešinę? Vėlgi, viskas paprasta: paimkite standartinę koordinačių sistemą ($x$ ašis eina į dešinę, $y$ – aukštyn) ir pasukite ją taip, kad ji apimtų matricą. Tai sukimasis 90 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę – rezultatą matome paveikslėlyje.

Apskritai, mes supratome, kaip nustatyti matricos elementų indeksus. Dabar pažiūrėkime į daugybą.

Apibrėžimas. Matricos $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$, kai pirmojo stulpelių skaičius sutampa su antrosios eilučių skaičiumi vadinamas nuosekliu.

Būtent tokia tvarka. Galima susipainioti ir pasakyti, kad matricos $A$ ir $B$ sudaro tvarkingą porą $\left(A;B \right)$: jei jos yra nuoseklios šia tvarka, tai visai nebūtina, kad $B $ ir $ A $ tuos. pora $\left(B;A \right)$ taip pat yra nuosekli.

Galima padauginti tik suderintas matricas.

Apibrėžimas. Atitiktų matricų $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ sandauga yra nauja matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , kurių $((c)_(ij))$ elementai apskaičiuojami pagal formulę:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Kitaip tariant: norint gauti matricos $C=A\cdot B$ elementą $((c)_(ij))$, reikia paimti pirmosios matricos $i$ eilutę, $j$ - antrosios matricos stulpelį, tada padauginkite poromis elementus iš šios eilutės ir stulpelio. Sudėkite rezultatus.

Taip, tai toks griežtas apibrėžimas. Iš karto išplaukia keli faktai:

1. Matricos daugyba, paprastai kalbant, yra nekomutacinė: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Tačiau daugyba yra asociatyvi: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ir netgi pagal paskirstymą: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ir dar kartą pagal paskirstymą: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Daugybos pasiskirstymas turėjo būti aprašytas atskirai kairiajam ir dešiniajam sumos koeficientui būtent dėl ​​daugybos operacijos nekomutaciškumo.

Jei paaiškėja, kad $A\cdot B=B\cdot A$, tokios matricos vadinamos komutacinėmis.

Tarp visų matricų, kurios yra padaugintos iš kažko, yra specialių - tų, kurias padauginus iš bet kurios matricos $A$, vėl gaunama $A$:

Apibrėžimas. Matrica $E$ vadinama tapatybe, jei $A\cdot E=A$ arba $E\cdot A=A$. Kvadratinės matricos $A$ atveju galime parašyti:

Tapatybės matrica yra dažnas svečias sprendžiant matricos lygtis. Ir apskritai dažnas svečias matricų pasaulyje :)

Ir dėl šito $E$ kažkas sugalvojo visas nesąmones, kurios bus parašytos toliau.

Kas yra atvirkštinė matrica

Kadangi matricos dauginimas yra labai daug darbo reikalaujanti operacija (tenka padauginti krūvą eilučių ir stulpelių), atvirkštinės matricos sąvoka taip pat pasirodo ne pati trivialiausia. Ir reikalauja tam tikro paaiškinimo.

Rakto apibrėžimas

Na, laikas sužinoti tiesą.

Apibrėžimas. Matrica $B$ vadinama atvirkštine matricos $A$, jei

Atvirkštinė matrica žymima $((A)^(-1))$ (nepainioti su laipsniu!), todėl apibrėžimą galima perrašyti taip:

Atrodytų, viskas labai paprasta ir aišku. Tačiau analizuojant šį apibrėžimą iškart kyla keletas klausimų:

1. Ar atvirkštinė matrica visada egzistuoja? Ir jei ne visada, tai kaip nustatyti: kada ji egzistuoja, o kada ne?
2. O kas sakė, kad tokia matrica yra būtent viena? O jei kokiai nors pradinei matricai $A$ yra visa minia atvirkštinių?
3. Kaip atrodo visi šie „atvirkščiai“? Ir kaip tiksliai turėtume juos suskaičiuoti?

Kalbant apie skaičiavimo algoritmus, apie tai kalbėsime šiek tiek vėliau. Tačiau į likusius klausimus atsakysime dabar. Suformuluokime juos atskirų teiginių-lemų pavidalu.

Pagrindinės savybės

Pradėkime nuo to, kaip iš principo turėtų atrodyti matrica $A$, kad jai egzistuotų $((A)^(-1))$. Dabar įsitikinsime, kad abi šios matricos turi būti kvadratinės ir vienodo dydžio: $\left[ n\times n \right]$.

1 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada abi šios matricos yra kvadratinės ir tos pačios eilės $n$.

Įrodymas. Tai paprasta. Tegul matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kadangi produktas $A\cdot ((A)^(-1))=E$ egzistuoja pagal apibrėžimą, matricos $A$ ir $((A)^(-1))$ yra nuoseklios nurodyta tvarka:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( lygiuoti)\]

Tai tiesioginė matricos daugybos algoritmo pasekmė: koeficientai $n$ ir $a$ yra „tranzitiniai“ ir turi būti lygūs.

Tuo pačiu apibrėžiamas ir atvirkštinis daugyba: $((A)^(-1))\cdot A=E$, todėl matricos $((A)^(-1))$ ir $A$ yra taip pat atitinka nurodyta tvarka:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( lygiuoti)\]

Taigi, neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tačiau pagal $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ apibrėžimą, todėl matricų dydžiai griežtai sutampa:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end (lygiuoti)\]

Taigi paaiškėja, kad visos trys matricos – $A$, $((A)^(-1))$ ir $E$ – yra kvadratinės matricos, kurių dydis yra $\left[ n\times n \right]$. Lema įrodyta.

Na, tai jau gerai. Matome, kad tik kvadratinės matricos yra apverčiamos. Dabar įsitikinkime, kad atvirkštinė matrica visada yra ta pati.

2 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada ši atvirkštinė matrica yra vienintelė.

Įrodymas. Eikime prie prieštaravimo: tegul matrica $A$ turi bent dvi atvirkštines vertes – $B$ ir $C$. Tada pagal apibrėžimą yra teisingos šios lygybės:

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(lygiuoti)\]

Iš 1 lemos darome išvadą, kad visos keturios matricos – $A$, $B$, $C$ ir $E$ – yra tos pačios eilės kvadratai: $\left[ n\times n \right]$. Todėl produktas apibrėžiamas:

Kadangi matricos daugyba yra asociatyvi (bet ne komutacinė!), galime rašyti:

\[\begin(lygiuoti) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rodyklė dešinėn B=C. \\ \end(lygiuoti)\]

Gavome vienintelį įmanomą variantą: dvi atvirkštinės matricos kopijos yra lygios. Lema įrodyta.

Aukščiau pateikti argumentai beveik žodis po žodžio kartoja atvirkštinio elemento unikalumo įrodymą visiems realiesiems skaičiams $b\ne 0$. Vienintelis reikšmingas papildymas yra matricų matmenų įvertinimas.

Tačiau mes vis dar nieko nežinome, ar kiekviena kvadratinė matrica yra apverčiama. Čia mums į pagalbą ateina determinantas – tai pagrindinė visų kvadratinių matricų charakteristika.

3 lema. Duota matrica $A$. Jei jos atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ egzistuoja, tada pradinės matricos determinantas yra nulis:

\[\left| A\right|\ne 0\]

Įrodymas. Jau žinome, kad $A$ ir $((A)^(-1))$ yra $\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinės matricos. Todėl kiekvienam iš jų galime apskaičiuoti determinantą: $\left| A\right|$ ir $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Tačiau produkto determinantas yra lygus determinantų sandaugai:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Bet pagal apibrėžimą $A\cdot ((A)^(-1))=E$, o $E$ determinantas visada yra lygus 1, taigi

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(lygiuoti)\]

Dviejų skaičių sandauga yra lygi vienetui tik tuo atveju, jei kiekvienas iš šių skaičių yra ne nulis:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Taigi paaiškėja, kad $\left| A \right|\ne 0$. Lema įrodyta.

Tiesą sakant, šis reikalavimas yra gana logiškas. Dabar išanalizuosime atvirkštinės matricos paieškos algoritmą – ir bus visiškai aišku, kodėl su nuliniu determinantu atvirkštinė matrica iš esmės negali egzistuoti.

Tačiau pirmiausia suformuluokime „pagalbinį“ apibrėžimą:

Apibrėžimas. Vienaskaita matrica yra kvadratinė matrica, kurios dydis yra $\left[n\times n \right]$, kurios determinantas yra nulis.

Taigi galime teigti, kad kiekviena apverčiama matrica yra ne vienaskaita.

Kaip rasti atvirkštinę matricos vertę

Dabar apsvarstysime universalų atvirkštinių matricų paieškos algoritmą. Apskritai yra du visuotinai pripažinti algoritmai, šiandien taip pat apsvarstysime antrąjį.

Tas, kuris bus aptartas dabar, yra labai efektyvus matricoms, kurių dydis yra $\left[ 2\time 2 \right]$ ir – iš dalies – dydis $\left[3\time 3 \right]$. Bet pradedant nuo dydžio $\left[ 4\time 4 \right]$, geriau jo nenaudoti. Kodėl – dabar viską suprasite patys.

Algebriniai priedai

Pasiruoškite. Dabar bus skausmas. Ne, nesijaudink: graži seselė su sijonu, kojinėmis su nėriniais neateis ir nesušvirkš į sėdmenis. Viskas daug proziškesnė: pas jus ateina algebriniai papildymai ir Jos Didenybė „Sąjungos matrica“.

Pradėkime nuo pagrindinio dalyko. Tegu yra $A=\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinė matrica, kurios elementai vadinami $((a)_(ij))$. Tada kiekvienam tokiam elementui galime apibrėžti algebrinį papildinį:

Apibrėžimas. Algebrinis papildinys $((A)_(ij))$ elementui $((a)_(ij))$, esančiam $i$-oje eilutėje ir $j$-oje matricos $A=\left[ n \times n \right]$ yra formos konstrukcija

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kur $M_(ij)^(*)$ yra matricos, gautos iš pradinio $A$, išbraukus tą pačią $i$-ąją eilutę ir $j$-ąją stulpelį, determinantas.

Vėlgi. Matricos elemento su koordinatėmis $\left(i;j \right)$ algebrinis papildymas žymimas $((A)_(ij))$ ir apskaičiuojamas pagal schemą:

1. Pirmiausia iš pradinės matricos ištriname $i$ eilutę ir $j$-tą stulpelį. Gauname naują kvadratinę matricą ir jos determinantą pažymime kaip $M_(ij)^(*)$.
2. Tada šį determinantą padauginame iš $((\left(-1 \right))^(i+j))$ – iš pradžių ši išraiška gali atrodyti pribloškianti, bet iš esmės mes tiesiog išsiaiškiname ženklą priešais $M_(ij)^(*) $.
3. Suskaičiuojame ir gauname konkretų skaičių. Tie. algebrinis sudėjimas yra būtent skaičius, o ne kokia nors nauja matrica ir pan.

Pati matrica $M_(ij)^(*)$ vadinama elemento $((a)_(ij))$ papildoma minora. Ir šia prasme aukščiau pateiktas algebrinio papildinio apibrėžimas yra ypatingas sudėtingesnio apibrėžimo atvejis – tai, ką mes apžvelgėme pamokoje apie determinantą.

Svarbi pastaba. Tiesą sakant, „suaugusiųjų“ matematikoje algebriniai priedai apibrėžiami taip:

1. Kvadratinėje matricoje paimame $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Jų sankirtoje gauname $\left[ k\times k \right]$ dydžio matricą - jos determinantas vadinamas $k$ eilės minora ir žymimas $((M)_(k))$.
2. Tada išbraukiame šias „pasirinktas“ $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Dar kartą gauname kvadratinę matricą – jos determinantas vadinamas papildomu mažuoju ir žymimas $M_(k)^(*)$.
3. Padauginkite $M_(k)^(*)$ iš $((\left(-1 \right)))^(t))$, kur $t$ yra (dabar atkreipkite dėmesį!) visų pasirinktų skaičių suma eilutes ir stulpelius. Tai bus algebrinis papildymas.

Pažvelkite į trečiąjį žingsnį: iš tikrųjų yra 2 000 USD terminų suma! Kitas dalykas yra tai, kad $k=1$ gausime tik 2 terminus - tai bus tie patys $i+j$ - elemento $((a)_(ij)) $, kuriam mes esame "koordinatės". ieško algebrinio papildinio.

Taigi šiandien mes naudojame šiek tiek supaprastintą apibrėžimą. Bet kaip matysime vėliau, to bus daugiau nei pakankamai. Daug svarbesnis yra šis dalykas:

Apibrėžimas. Sąjunginė matrica $S$ su kvadratine matrica $A=\left[ n\times n \right]$ yra nauja $\left[ n\times n \right]$ dydžio matrica, gaunama iš $A$ pakeičiant $(( a)_(ij))$ algebriniais priedais $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\pabaiga (matrica) \right]\]

Pirmoji mintis, kylanti suvokus šį apibrėžimą, yra „kiek reikės suskaičiuoti! Atsipalaiduokite: teks skaičiuoti, bet ne tiek daug :)

Na, visa tai labai gražu, bet kam to reikia? Bet kodėl.

Pagrindinė teorema

Grįžkime šiek tiek atgal. Atminkite, kad 3 lemoje buvo nurodyta, kad apverčiamoji matrica $A$ visada yra ne vienaskaita (ty jos determinantas yra ne nulis: $\left| A \right|\ne 0$).

Taigi, yra ir priešingai: jei matrica $A$ nėra vienaskaita, ji visada yra apverčiama. Ir netgi yra $((A)^(-1))$ paieškos schema. Patikrinkite:

Atvirkštinės matricos teorema. Tegu duota kvadratinė matrica $A=\left[ n\times n \right]$, o jos determinantas nėra nulis: $\left| A \right|\ne 0$. Tada egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ ir apskaičiuojama pagal formulę:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

O dabar – viskas taip pat, tik įskaitoma rašysena. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, jums reikia:

1. Apskaičiuokite determinantą $\left| A \right|$ ir įsitikinkite, kad jis nėra nulis.
2. Sukonstruoti sąjungos matricą $S$, t.y. suskaičiuokite 100500 algebrinių priedų $((A)_(ij))$ ir įdėkite juos į vietą $((a)_(ij))$.
3. Perkelkite šią matricą $S$ ir padauginkite ją iš kažkokio skaičiaus $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Tai viskas! Rasta atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$. Pažiūrėkime į pavyzdžius:

\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]

Sprendimas. Patikrinkime grįžtamumą. Apskaičiuokime determinantą:

\[\left| A\right|=\left| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantas skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad matrica yra apverčiama. Sukurkime sąjungos matricą:

Apskaičiuokime algebrinius priedus:

\[\begin(lygiuoti) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Atkreipkite dėmesį: determinantai |2|, |5|, |1| ir |3| yra $\left[ 1\times 1 \right]$ dydžio matricų determinantai, o ne moduliai. Tie. Jei determinantuose buvo neigiami skaičiai, „minuso“ pašalinti nereikia.

Iš viso mūsų sąjungos matrica atrodo taip:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(masyvas) \right])^(T))=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]\]

Na, tai viskas. Problema išspręsta.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]$

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \]

Sprendimas. Dar kartą apskaičiuojame determinantą:

\[\begin(lygiuoti) & \left| \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right|=\begin(matrica) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(lygiuoti)\]

Determinantas nėra nulis - matrica yra apverčiama. Bet dabar bus tikrai sunku: turime suskaičiuoti net 9 (devynis, velnias!) algebrinius priedus. Ir kiekviename iš jų bus determinantas $\left[ 2\time 2 \right]$. Skraidė:

\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]

Trumpai tariant, sąjungos matrica atrodys taip:

Taigi atvirkštinė matrica bus tokia:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\pabaiga(matrica) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

tiek. Štai atsakymas.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right ]$

Kaip matote, kiekvieno pavyzdžio pabaigoje atlikome patikrinimą. Šiuo atžvilgiu svarbi pastaba:

Nepatingėkite patikrinti. Padauginkite pradinę matricą iš rastos atvirkštinės matricos – turėtumėte gauti $E$.

Atlikti šį patikrinimą yra daug lengviau ir greičiau, nei ieškoti klaidos tolesniuose skaičiavimuose, kai, pavyzdžiui, sprendžiate matricos lygtį.

Alternatyvus būdas

Kaip jau sakiau, atvirkštinės matricos teorema puikiai tinka dydžiams $\left[ 2\x 2 \right]$ ir $\left[ 3\x 3 \right]$ (pastaruoju atveju ji nėra tokia „puiku“). ), bet didesnėms matricoms prasideda liūdesys.

Tačiau nesijaudinkite: yra alternatyvus algoritmas, su kuriuo galite ramiai rasti atvirkštinę vertę net matricai $\left[ 10\time 10 \right]$. Tačiau, kaip dažnai nutinka, norint apsvarstyti šį algoritmą, mums reikia šiek tiek teorinio pagrindo.

Elementarios transformacijos

Tarp visų galimų matricinių transformacijų yra keletas specialių – jos vadinamos elementariomis. Yra tiksliai trys tokios transformacijos:

1. Daugyba. Galite paimti $i$-ąją eilutę (stulpelį) ir padauginti ją iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$;
2. Papildymas. Prie $i$-os eilutės (stulpelio) pridėkite bet kurią kitą $j$-ąją eilutę (stulpelį), padaugintą iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$ (žinoma, galite padaryti $k=0$, bet kas yra taškas? Niekas nepasikeis).
3. Pertvarkymas. Paimkite $i$-ąją ir $j$-ąją eilutes (stulpelius) ir sukeiskite vietomis.

Kodėl šios transformacijos vadinamos elementariomis (didelėse matricose jos neatrodo tokios elementarios) ir kodėl jų yra tik trys – šie klausimai nepatenka į šios dienos pamoką. Todėl į detales nesileisime.

Kitas dalykas yra svarbus: mes turime atlikti visus šiuos iškrypimus ant adjungtinės matricos. Taip, taip: teisingai girdėjote. Dabar bus dar vienas apibrėžimas – paskutinis šios dienos pamokoje.

Adjungtinė matrica

Žinoma, mokykloje jūs sprendėte lygčių sistemas sudavimo metodu. Na, iš vienos eilutės atimkite kitą, padauginkite kurią nors eilutę iš skaičiaus - viskas.

Taigi: dabar viskas bus taip pat, bet „suaugusiųjų“ būdu. Ar tu pasiruošęs?

Apibrėžimas. Tegu pateikta matrica $A=\left[ n\times n \right]$ ir tapatumo matrica $E$ tokio pat dydžio $n$. Tada adjunktinė matrica $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$ yra nauja $\left[ n\times 2n \right]$ dydžio matrica, kuri atrodo taip:

\[\left[ A\left| E\dešinė. \right]=\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(masyvas) \right]\]

Trumpai tariant, paimame matricą $A$, dešinėje priskiriame jai reikiamo dydžio tapatybės matricą $E$, jas atskiriame vertikalia juostele dėl grožio - štai jums adjunktas :)

Kas čia per pokštas? Štai kas:

Teorema. Tegul matrica $A$ yra apverčiama. Apsvarstykite adjungtinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$. Jei naudojate elementarios eilutės konversijos perkelkite jį į formą $\left[ E\left| B\right. \right]$, t.y. padauginus, atimant ir pertvarkant eilutes, kad iš $A$ gautumėte matricą $E$ dešinėje, tada kairėje gauta matrica $B$ yra atvirkštinė $A$:

\[\left[ A\left| E\dešinė. \dešinėn]\į \kairę[ E\kairė| B\right. \right]\RightArrow B=((A)^(-1))\]

Tai taip paprasta! Trumpai tariant, atvirkštinės matricos paieškos algoritmas atrodo taip:

1. Parašykite adjungtinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$;
2. Atlikite elementarias eilutės konversijas, kol vietoj $A$ pasirodys $E$;
3. Žinoma, kažkas atsiras ir kairėje – tam tikra matrica $B$. Tai bus priešingai;
4. PELNAS! :)

Žinoma, tai daug lengviau pasakyti nei padaryti. Taigi pažvelkime į kelis pavyzdžius: dydžiams $\left[ 3\time 3 \right]$ ir $\left[ 4\time 4 \right]$.

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\ ]

Sprendimas. Sukuriame adjungtinę matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Kadangi paskutinis pradinės matricos stulpelis užpildytas vienetais, pirmąją eilutę atimkite iš likusios:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Daugiau vienetų, išskyrus pirmąją eilutę, nėra. Bet mes jo neliečiame, kitaip naujai pašalinti vienetai pradės „daugintis“ trečiame stulpelyje.

Tačiau antrąją eilutę galime atimti du kartus iš paskutinės - vieną gauname apatiniame kairiajame kampe:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \left [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar galime atimti paskutinę eilutę iš pirmosios ir du kartus iš antrosios - tokiu būdu pirmąjį stulpelį „nuliuojame“:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\į \\ & \ į \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Antrąją eilutę padauginkite iš –1, tada iš pirmosios atimkite 6 kartus ir prie paskutinės pridėkite 1 kartą:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ +1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka sukeisti 1 ir 3 eilutes:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 ir 32 ir -13 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Pasiruošę! Dešinėje yra reikiama atvirkštinė matrica.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(masyvas) \right ]$

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\pabaiga (matrica) \right]\]

Sprendimas. Dar kartą sudarome adjunktą:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\]

Truputį verkkime, liūdėkime, kiek dabar turime suskaičiuoti... ir pradėkime skaičiuoti. Pirmiausia „nuliuokime“ pirmąjį stulpelį, iš 2 ir 3 eilučių atimdami 1 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Mes matome per daug "minusų" 2-4 eilutėse. Visas tris eilutes padauginkite iš –1, o trečiąjį stulpelį išdeginkite iš likusios 3 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ ? rrrr|. 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar pats laikas „kepti“ paskutinį pradinės matricos stulpelį: iš likusios atimkite 4 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas ) \right]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinis metimas: „išdeginkite“ antrąjį stulpelį, iš 1 ir 3 eilučių atimant 2 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( masyvas) \right]\begin(matrica) 6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -5 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl tapatybės matrica yra kairėje, o tai reiškia, kad atvirkštinė yra dešinėje :)

Atsakymas. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\pabaiga (matrica) \right]$

Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica

Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica.

Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:

Atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose eilučių ir stulpelių skaičius sutampa.

Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema

Kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji nebūtų išsigimusi.

Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs, jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime teigti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas

1. Įrašykite į lentelę lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu matricą A ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių pusių) priskirkite jai matricą E.
2. Naudodami Jordano transformacijas, sumažinkite matricą A į matricą, susidedančią iš vienetinių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
3. Jei reikia, pertvarkykite paskutinės lentelės eilutes (lygtis), kad po pradinės lentelės matrica A gautumėte tapatybės matricą E.
4. Užrašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.

Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1

Sprendimas: Įrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E, naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.

Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.

Matricos daugybos rezultate buvo gauta tapatumo matrica. Todėl skaičiavimai buvo atlikti teisingai.

Atsakymas:

Matricinių lygčių sprendimas

Matricos lygtys gali atrodyti taip:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica.

Matricinės lygtys sprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.

Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios.

Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.

Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.

Išspręskite lygtį AX = B, jei

Sprendimas: Kadangi atvirkštinė matrica yra lygi (žr. 1 pavyzdį)

Matricos metodas ekonominėje analizėje

Kartu su kitais jie taip pat naudojami matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matrica algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonominiams reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia atlikti lyginamąjį organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimo vertinimą.

Matricinės analizės metodų taikymo procese galima išskirti kelis etapus.

Pirmajame etape formuojama ekonominių rodiklių sistema ir jos pagrindu sudaroma pradinių duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o vertikaliuose stulpeliuose – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m).

Antrame etape Kiekviename vertikaliame stulpelyje nurodoma didžiausia iš galimų indikatoriaus verčių, kuri laikoma viena.

Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir sudaroma standartizuotų koeficientų matrica.

Trečiajame etape Visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarųjų vertę nustato ekspertų išvada.

Paskutiniame, ketvirtasis etapas rastos įvertinimo reikšmės Rj yra sugrupuoti pagal jų didėjimo ar mažėjimo tvarką.

Nurodytus matricinius metodus reikėtų naudoti, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus ekonominius organizacijų veiklos rodiklius.

Atvirkštinės matricos radimas.

Šiame straipsnyje mes suprasime atvirkštinės matricos sąvoką, jos savybes ir radimo būdus. Išsamiai apsistokime sprendžiant pavyzdžius, kuriuose reikia sukurti atvirkštinę duotosios matricą.

Puslapio naršymas.

Atvirkštinė matrica – apibrėžimas.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant matricą iš algebrinių komplementų.

Atvirkštinės matricos savybės.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant Gauso-Jordano metodą.

Atvirkštinės matricos elementų radimas sprendžiant atitinkamas tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Atvirkštinė matrica – apibrėžimas.

Atvirkštinės matricos sąvoka įvedama tik kvadratinėms matricoms, kurių determinantas nėra lygus nuliui, tai yra ne vienaskaitos kvadratinėms matricoms.

Apibrėžimas.

Matricavadinama atvirkštine matricos, kurio determinantas skiriasi nuo nulio, jei lygybės teisingos , Kur E– vienetų eilės matrica nįjungta n.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant matricą iš algebrinių komplementų.

Kaip rasti atvirkštinę matricą duotam matricai?

Pirma, mums reikia sąvokų perkelta matrica, mažoji matrica ir matricos elemento algebrinis papildinys.

Apibrėžimas.

Nepilnametiskth tvarka matricos A tvarka mįjungta n yra eilės matricos determinantas kįjungta k, kuris gaunamas iš matricos elementų A esantis pasirinktame k linijos ir k stulpelius. ( k neviršija mažiausio skaičiaus m arba n).

Nepilnametis (n-1)-oji tvarka, kurią sudaro visų eilučių elementai, išskyrus i-oji, ir visi stulpeliai, išskyrus jth, kvadratinė matrica A tvarka nįjungta n pažymėkime kaip .

Kitaip tariant, minoras gaunamas iš kvadratinės matricos A tvarka nįjungta n nubraukiant elementus i-oji linijos ir jth stulpelyje.

Pavyzdžiui, rašykime, nepilnametis 2-oji tvarka, kuri gaunama iš matricos pasirenkant antros, trečios eilučių ir pirmos, trečios stulpelių elementus . Taip pat parodysime minorą, kuris gaunamas iš matricos perbraukiant antrą eilutę ir trečią stulpelį . Pavaizduokime šių nepilnamečių konstrukciją: ir .

Apibrėžimas.

Algebrinis papildinys kvadratinės matricos elementas vadinamas mažuoju (n-1)-oji tvarka, kuri gaunama iš matricos A, nubraukiant jo elementus i-oji linijos ir jth stulpelis padaugintas iš .

Elemento algebrinis papildinys žymimas kaip . Taigi, .

Pavyzdžiui, matricai elemento algebrinis papildinys yra .

Antra, mums reikės dviejų determinanto savybių, kurias aptarėme skyriuje skaičiuojant matricos determinantą:

Remiantis šiomis determinanto savybėmis, apibrėžimas matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos ir atvirkštinės matricos sąvoka yra teisinga: , kur yra transponuota matrica, kurios elementai yra algebriniai papildiniai.

Matrica iš tikrųjų yra atvirkštinė matrica A, nes tenkinamos lygybės . Parodykime

Kurkime atvirkštinės matricos paieškos algoritmas naudojant lygybę .

Pažiūrėkime į atvirkštinės matricos paieškos algoritmą naudodami pavyzdį.

Pavyzdys.

Duota matrica . Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas.

Apskaičiuokime matricos determinantą A, išskaidydami jį į trečiojo stulpelio elementus:

Determinantas nėra nulis, taigi matrica A grįžtamasis.

Raskime algebrinių priedų matricą:

Štai kodėl

Perkelkime matricą iš algebrinių priedų:

Dabar randame atvirkštinę matricą kaip :

Patikrinkime rezultatą:

Lygybės yra patenkinti, todėl atvirkštinė matrica randama teisingai.

Atvirkštinės matricos savybės.

Atvirkštinės matricos samprata, lygybė , operacijų su matricomis apibrėžimai ir matricos determinanto savybės leidžia pagrįsti šiuos dalykus atvirkštinės matricos savybės:

Atvirkštinės matricos elementų radimas sprendžiant atitinkamas tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Panagrinėkime kitą būdą, kaip rasti atvirkštinę kvadratinės matricos matricą A tvarka nįjungta n.

Šis metodas pagrįstas sprendimu n tiesinių nehomogeninių algebrinių lygčių sistemos su n nežinomas. Nežinomi kintamieji šiose lygčių sistemose yra atvirkštinės matricos elementai.

Idėja labai paprasta. Atvirkštinę matricą pažymėkime kaip X, tai yra, . Kadangi pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą, tada

Sulyginę atitinkamus elementus stulpeliais, gauname n tiesinių lygčių sistemos

Jas sprendžiame bet kokiu būdu ir iš rastų reikšmių sudarome atvirkštinę matricą.

Pažvelkime į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Duota matrica . Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas.

Priimkime . Lygybė suteikia mums tris tiesinių nehomogeninių algebrinių lygčių sistemas:

Mes neaprašysime šių sistemų sprendimo, jei reikia, skaitykite skyrių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Iš pirmosios lygčių sistemos turime, iš antrosios - , iš trečiosios - . Todėl reikiama atvirkštinė matrica turi formą . Rekomenduojame jį patikrinti, kad įsitikintumėte, jog rezultatas yra teisingas.

Apibendrinkime.

Išnagrinėjome atvirkštinės matricos sąvoką, jos savybes ir tris jos radimo būdus.

Sprendimų, naudojant atvirkštinės matricos metodą, pavyzdys

1 užduotis. Išspręskite SLAE naudodami atvirkštinės matricos metodą. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Formos pradžia

Formos pabaiga

Sprendimas. Parašykime matricą tokia forma: Vektorius B: B T = (1,2,3,4) Pagrindinis determinantas Mažasis (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 Mažas (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 Mažas (3 ,1): = 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) + 4 (3 2-3 1) = 3 Mažas (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Mažosios reikšmės determinantas ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponuota matrica Algebriniai priedai ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) + 1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) + 2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) + 3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) + 3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Atvirkštinė matrica Rezultatų vektorius X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

taip pat žr SLAE sprendimai naudojant atvirkštinės matricos metodą internete. Norėdami tai padaryti, įveskite savo duomenis ir gaukite sprendimą su išsamiais komentarais.

2 užduotis. Parašykite lygčių sistemą matricos forma ir išspręskite ją naudodami atvirkštinę matricą. Patikrinkite gautą tirpalą. Sprendimas:xml:xls

2 pavyzdys. Parašykite lygčių sistemą matricine forma ir išspręskite naudodami atvirkštinę matricą. Sprendimas:xml:xls

Pavyzdys. Pateikta trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistema. Reikalinga: 1) rasti jo sprendimą naudojant Cramerio formulės; 2) parašykite sistemą matricine forma ir išspręskite ją matricos skaičiavimu. Metodinės rekomendacijos. Išsprendę Cramerio metodu, raskite mygtuką „Sprendimas atvirkštinės matricos metodu šaltinio duomenims“. Jūs gausite tinkamą sprendimą. Taigi jums nereikės pildyti duomenų iš naujo. Sprendimas. Nežinomųjų koeficientų matricą pažymėkime A; X - matrica-nežinomų stulpelis; B – laisvųjų narių matrica-stulpelis:

Vektorius B: B T =(4,-3,-3) Atsižvelgiant į šiuos žymėjimus, ši lygčių sistema įgauna tokią matricos formą: A*X = B. Jei matrica A yra ne vienaskaita (jos determinantas yra ne nulis , tada ji turi atvirkštinę matricą A -1 Padauginus abi lygties puses iš A -1, gauname: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. tiesinių lygčių sistemos sprendinio matricinis žymėjimas. Norint rasti lygčių sistemos sprendimą, reikia apskaičiuoti atvirkštinę matricą A -1. Sistema turės sprendimą, jei matricos A determinantas nėra lygus nuliui. Raskime pagrindinį determinantą. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Taigi, determinantas 14 ≠ 0, taigi mes tęsti sprendimą. Norėdami tai padaryti, randame atvirkštinę matricą per algebrinius papildymus. Turėkime ne vienaskaitos matricą A:

Skaičiuojame algebrinius papildinius.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Apžiūra. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Atsakymas: -1,1,2.

Atvirkštinės matricos radimas- problema, kuri dažnai išsprendžiama dviem būdais:

• algebrinių sudėjimų metodas, kai reikia rasti determinantus ir transponuoti matricas;
• Gauso nežinomųjų pašalinimo metodas, kurio metu reikia atlikti elementarias matricų transformacijas (sudėti eilutes, padauginti eilutes iš to paties skaičiaus ir pan.).

Tiems, kuriems ypač įdomu, yra ir kitų metodų, pavyzdžiui, tiesinių transformacijų metodas. Šioje pamokoje analizuosime tris minėtus atvirkštinės matricos radimo metodus ir algoritmus taikant šiuos metodus.

Atvirkštinė matrica A, tokia matrica vadinama

A
. (1)

Atvirkštinė matrica , kurią reikia rasti duotai kvadratinei matricai A, tokia matrica vadinama

kurio sandauga matricos A dešinėje yra tapatybės matrica, t.y.
. (1)

Tapatybės matrica yra įstrižainė, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui.

Teorema.Kiekvienai nevienskaitinei (neišsigimusiai, ne vienaskaitinei) kvadratinei matricai galima rasti atvirkštinę matricą ir tik vieną. Specialiai (išsigimusiai, vienaskaitei) kvadratinei matricai atvirkštinė matrica neegzistuoja.

Kvadratinė matrica vadinama neypatingas(arba neišsigimęs, ne vienaskaita), jei jo determinantas nėra nulis, ir ypatingas(arba išsigimęs, vienaskaita), jei jo determinantas lygus nuliui.

Matricos atvirkštinę vertę galima rasti tik kvadratinei matricai. Natūralu, kad atvirkštinė matrica taip pat bus kvadratinė ir tokios pat eilės kaip ir duotoji matrica. Matrica, kuriai galima rasti atvirkštinę matricą, vadinama apverčiamąja matrica.

Už atvirkštinė matrica Yra atitinkama analogija su skaičiaus atvirkštine verte. Už kiekvieną skaičių a, nelygus nuliui, yra toks skaičius b kad darbas a Ir b lygus vienam: ab= 1. Skaičius b vadinamas atvirkštine skaičiaus b. Pavyzdžiui, skaičiaus 7 atvirkštinė vertė yra 1/7, nes 7*1/7=1.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant algebrinių priedų metodą (sąjunginę matricą)

Ne vienaskaitos kvadratinei matricai A atvirkštinė yra matrica

kur yra matricos determinantas A, a yra matrica, susieta su matrica A.

Sujungta su kvadratine matrica A yra tos pačios eilės matrica, kurios elementai yra matricos determinanto atitinkamų elementų, perkeltų matricos A atžvilgiu, algebriniai papildiniai.

Tai

Ir

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas naudojant algebrinių sudėjimų metodą

1. Raskite šios matricos determinantą A. Jei determinantas lygus nuliui, atvirkštinės matricos paieška sustoja, nes matrica yra vienaskaita, o atvirkštinė neegzistuoja.

2. Raskite matricą, transponuotą atžvilgiu A.

3. Apskaičiuokite sąjungos matricos elementus kaip 2 veiksme rasto marico algebrinius papildinius.

4. Taikykite (2) formulę: padauginkite atvirkštinę matricos determinanto vertę A, į sąjungos matricą, rastą 4 veiksme.

5. Padauginę šią matricą patikrinkite 4 veiksme gautą rezultatą Aį atvirkštinę matricą. Jei šių matricų sandauga yra lygi tapatybės matricai, tada atvirkštinė matrica buvo rasta teisingai. Priešingu atveju iš naujo pradėkite sprendimo procesą.

1 pavyzdys. Dėl matricos

rasti atvirkštinę matricą.

Sprendimas. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, turite rasti matricos determinantą A. Pagal trikampių taisyklę randame:

Todėl matrica A– ne vienaskaita (neišsigimęs, nevienskaita) ir jam yra atvirkštinė.

Raskime matricą, susietą su šia matrica A.

Raskime matricą, transponuotą matricos atžvilgiu A:

Sąjunginės matricos elementus apskaičiuojame kaip matricos, perkeltos matricos atžvilgiu, algebrinius papildinius A:

Todėl matrica susijungė su matrica A, turi formą

komentuoti. Elementų skaičiavimo ir matricos perkėlimo tvarka gali skirtis. Pirmiausia galite apskaičiuoti matricos algebrinius papildinius A, tada perkelkite algebrinio komplemento matricą. Rezultatas turėtų būti tie patys sąjungos matricos elementai.

Taikydami formulę (2), randame matricą atvirkštinę matricai A:

Atvirkštinės matricos radimas naudojant Gauso nežinomo eliminavimo metodą

Pirmasis žingsnis norint rasti atvirkštinę matricos vertę naudojant Gauso eliminacijos metodą yra priskirti matricą A tos pačios eilės tapatybės matricą, atskiriant jas vertikalia juosta. Gausime dvigubą matricą. Padauginkime abi šios matricos puses iš , tada gausime

,

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas naudojant Gauso nežinomo eliminavimo metodą

1. Į matricą A priskirti tos pačios eilės tapatybės matricą.

2. Transformuokite gautą dvigubą matricą taip, kad kairėje pusėje gautumėte vienetinę matricą, tada dešinėje vietoj tapatybės matricos automatiškai gautumėte atvirkštinę matricą. Matrica A kairėje pusėje elementarios matricos transformacijomis paverčiama tapatybės matrica.

2. Jei matricos transformacijos procese Aį tapatybės matricą bet kurioje eilutėje ar bet kuriame stulpelyje bus tik nuliai, tada matricos determinantas yra lygus nuliui, taigi ir matrica A bus vienaskaita ir neturi atvirkštinės matricos. Tokiu atveju tolesnis atvirkštinės matricos nustatymas sustoja.

2 pavyzdys. Dėl matricos

rasti atvirkštinę matricą.

ir transformuosime taip, kad kairėje pusėje gautume tapatybės matricą. Pradedame transformaciją.

Kairiosios ir dešiniosios matricos pirmąją eilutę padauginkite iš (-3) ir pridėkite prie antros eilės, o tada pirmąją eilutę padauginkite iš (-4) ir pridėkite prie trečios eilės, tada gausime

.

Norėdami užtikrinti, kad vėlesnėse transformacijose nebūtų trupmeninių skaičių, pirmiausia sukurkime vienetą antroje eilutėje kairėje dvigubos matricos pusėje. Norėdami tai padaryti, padauginkite antrą eilutę iš 2 ir iš jos atimkite trečią eilutę, tada gausime

.

Sudėkime pirmąją eilutę su antrąja, o antrąją eilutę padauginkime iš (-9) ir pridėkime trečiąja eilute. Tada gauname

.

Tada trečią eilutę padalinkite iš 8

.

Trečią eilutę padauginkite iš 2 ir pridėkite prie antrosios eilutės. Pasirodo:

.

Sukeiskime antrąją ir trečiąją eilutes, tada galiausiai gausime:

.

Matome, kad kairėje pusėje turime tapatybės matricą, todėl dešinėje turime atvirkštinę matricą. Taigi:

.

Skaičiavimų teisingumą galite patikrinti padauginę pradinę matricą iš rastos atvirkštinės matricos:

Rezultatas turėtų būti atvirkštinė matrica.

3 pavyzdys. Dėl matricos

rasti atvirkštinę matricą.

Sprendimas. Dvigubos matricos sudarymas

ir mes jį pakeisime.

Pirmą eilutę padauginame iš 3, o antrąją iš 2 ir atimame iš antrosios, tada padauginame pirmą eilutę iš 5, o trečią iš 2 ir atimame iš trečios eilutės, tada gauname

.

Pirmąją eilutę padauginame iš 2 ir pridedame prie antrosios, o tada iš trečios eilutės atimame antrąją, tada gauname

.

Matome, kad trečioje eilutėje kairėje pusėje visi elementai yra lygūs nuliui. Todėl matrica yra vienaskaita ir neturi atvirkštinės matricos. Mes nustojame toliau ieškoti atvirkštinio maritz.