Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios. Dvi plokštumos lygiagrečios tai pačiai tiesei

Tegu duota plokštuma ir ne joje esantis taškas:

Statmenas, numestas iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, yra atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku ir esanti ant plokštumai statmenos tiesės;
- šio atkarpos galas, esantis plokštumoje, vadinamas statmens pagrindu;
- atstumas nuo taško iki plokštumos yra statmeno, nubrėžto iš šio taško į plokštumą, ilgis;

Pasvirusi linija, nubrėžta iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, yra bet kuri atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku, kuris nėra statmenas plokštumai;
- plokštumoje gulintis segmento galas vadinamas pasvirusiu pagrindu;

Atkarpa, jungianti iš to paties taško ištraukto statmens ir įstrižo pagrindus, vadinama įstrižąja projekcija.

Paveiksle iš taško A į plokštumą nubrėžta statmena AB ir pasvirusi AC. Taškas B – statmeno pagrindas, taškas C – pasvirusios, BC – pasvirusios AC projekcija į plokštumą.

Trijų statmenų teorema:

Jei tiesi linija nubrėžta plokštumoje per pasvirusi bazė, statmenai jam projekcijos, tada jis yra statmenas linkęs. Ir atvirkščiai: jei tiesė plokštumoje yra statmena pasvirusiajai, tada ji yra statmena ir įstriža projekcija.

Dvi susikertančios plokštumos vadinamos statmenomis, jei trečioji plokštuma, statmena šių plokštumų susikirtimo linijai, kerta jas išilgai statmenų.

1 pavyzdys

Per į trikampį įbrėžto apskritimo centrą, statmeną trikampio plokštumai, nubrėžiama tiesi linija. Įrodykite, kad kiekvienas šios linijos taškas yra vienodu atstumu nuo trikampio kraštinių.

Tegu A, B, C yra trikampio kraštinių sąlyčio su apskritimu taškai, O – apskritimo centras, o S – statmens taškas. Kadangi spindulys OA yra statmenas trikampio kraštinei, tai pagal trijų statmenų teoremą atkarpa SA yra statmena šiai kraštinei, o jos ilgis yra atstumas nuo taško S iki trikampio kraštinės. Pagal Pitagoro teoremą SA=, kur r yra įbrėžto apskritimo spindulys. Panašiai randame: , t.y. visi atstumai nuo taško S iki trikampio kraštinių yra lygūs.

Saugumo klausimai:

1. Kas yra statmenas, numestas iš tam tikro taško į plokštumą?
2. Kas yra įstrižinė projekcija?

Praktinė dalis:

1. Duota tiesė a ir plokštuma. Per liniją nubrėžkite plokštumai statmeną plokštumą.

2. Įrodykite, kad jei tiesė lygiagreti plokštumai, tai visi jos taškai yra vienodu atstumu nuo plokštumos.

3. Iš taško į plokštumą nubrėžiamos dvi pasvirusios, kurių viena yra 20 cm didesnė už kitą. Pasvirosios projekcijos yra 10 cm ir 30 cm. Raskite pasvirusias.

4. Kvadrato kraštinė yra 4 cm Taškas, esantis vienodu atstumu nuo visų kvadrato viršūnių, yra 6 cm atstumu nuo jo įstrižainių susikirtimo taško. Raskite atstumą nuo šio taško iki kvadrato viršūnių.

5. Iš taško į plokštumą nubrėžti du pasvirieji šlaitai, lygūs 10 cm ir 17 cm. Šių pasvirųjų projekcijų skirtumas yra 9 cm.

6. Nuo taško iki plokštumos nubrėžti du pasvirę šlaitai, lygūs 23 cm ir 33 cm. Raskite atstumą nuo šio taško iki plokštumos, jei pasvirusių projekcijos yra santykiu 2:3.

8. Tiesė a yra statmena plokštumai ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Raskite MC.

9. Stačiojo trikampio ABC (C = 90°) kojos yra lygios 4 cm, o taškas M yra √6 cm atstumu nuo trikampio ABC plokštumos ir tokiu pat atstumu nuo visų jo viršūnių. Raskite atstumą nuo taško M iki trikampio viršūnių.

Literatūra:

1. Matematika: vadovėlis institucijoms pradžia. ir trečiadienį prof. išsilavinimas / M.I. Bašmakovas. –M.: Leidybos centras „Akademija“, 2010 m.

Savarankiškas darbas Nr.5.

Problemų sprendimas, susijęs su vietų skaičiaus ir permutacijų skaičiavimu.

Pamokos tikslas: įsisavinti problemų sprendimo metodus, susijusius su mėginių skaičiaus skaičiavimu

Teorinė dalis:

Kombinatorika – matematikos dalis, skirta tam tikros baigtinės aibės elementų parinkimo ir išdėstymo pagal pateiktas taisykles uždaviniams spręsti, t.y. kombinatorika išsprendžia elementų atrinkimo iš baigtinės aibės ir šių elementų išdėstymo tam tikra tvarka problemą.

n elementų išdėstymas pagal m - elementus () vadinamas deriniais, sudarytais iš nurodytų n elementų iš m - elementų, kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais elementais, arba elementų tvarka.

N(n-1)(n-2)…(n-m+1)

Pavyzdys Nr. 1. Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaičių 1...9?

N elementų permutacijos yra šių n elementų išdėstymo į n elementus skaičius.

N(n-1)(n-2)…1=n!

Pavyzdys Nr. 2. Kiek būdų lentynoje gali būti išdėstytos 5 knygos?

N - elementų deriniai m - yra deriniai, sudaryti iš nurodytų n - elementų pagal m - elementus, kurie skiriasi vienas nuo kito bent vienu elementu.

Pavyzdys Nr. 3. Grupėje yra 30 mokinių. Norėdami išlaikyti testą, jie turi būti suskirstyti į tris grupes. Kiek būdų tai galima padaryti?

Saugumo klausimai:

1. Nubrėžkite kombinatorikos tikslus.

2. Kaip vadinamas n elementų m kombinacijų skaičius?

3. Kaip vadinamas n elementų įdėjimų į m skaičius?

4. Kas vadinama n elementų permutacija?

Praktinė dalis:

1. Kokiais būdais 25 žmonių grupė gali siųsti 4 studentus į mokslinę ir praktinę konferenciją?

2. Dešimt mokinių paspaudė ranką. Kiek buvo rankos paspaudimų?

3. Keliais būdais iš septynių skirtingų spalvų medžiagos gali būti pagaminta trispalvė dryžuota vėliava?

4. Kiek žodynų turi būti išleista, kad būtų galima išversti iš bet kurios iš penkių kalbų į kurią nors iš jų?

5. Apskaičiuokite:

6. Apskaičiuokite:

7. Apskaičiuokite: 5! + 6!

8. Raskite 10 elementų išdėstymo skaičių iš 4.

9. Apskaičiuokite:

10. Trisdešimt studentų apsikeitė nuotraukomis. Kiek nuotraukų iš viso buvo?

11. Keliais būdais iš aštuonių kandidatų į tris pareigas gali būti atrinkti trys asmenys?

12. Išspręskite lygtį:

13. Apskaičiuokite išraiškos reikšmę:

14. Apskaičiuokite išraiškos reikšmę.

2. Duotos dvi tiesės, susikertančios taške C. Ar kuri nors trečia tiesė yra su jomis toje pačioje plokštumoje, turinti bendrą tašką su kiekviena iš šių tiesių?

3.

4. Atstumas tarp dviejų lygiagrečių plokštumų yra 8 cm Tiesus segmentas, kurio ilgis yra 17 cm, yra tarp jų, kad jo galai priklausytų plokštumoms. Raskite šios atkarpos projekciją į kiekvieną plokštumą.

5. Užbaikite sakinį, kad padarytumėte teisingą teiginį:

D) Nežinau

6. Tiesės a ir b yra statmenos. Taškai A ir B priklauso tiesei a, taškai C ir D priklauso tiesei b. Ar tiesės AC ir BD yra toje pačioje plokštumoje?

7. Kube ABCDA1B1C1D1 nubrėžtos veidų AC ir B1D1 įstrižainės. kokia jų santykinė padėtis?

8. Kubo ABCDA1B1C1D1 briauna lygi m. Raskite atstumą tarp tiesių AB ir CC1.

A) 2 m B) 1/2 m C) m D) Nežinau

9. Nustatykite, ar teiginys yra teisingas:

A) taip B) ne C) ne visada D) nežinau

10. Kube ABCDA1B1C1D1 raskite kampą tarp plokštumų BCD ir ВСС1В1.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. Ar yra prizmė, kurios tik vienas šoninis paviršius yra statmenas pagrindui?

A) taip B) ne C) Nežinau

12. Ar stačiakampio gretasienio įstrižainė gali būti mažesnė už jo šoninę kraštą?

A) taip B) ne C) Nežinau

13. Koks yra kubo, kurio briauna yra 10, šoninio paviršiaus plotas?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Koks yra bendras kubo paviršiaus plotas, jei jo įstrižainė yra d?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. Kiek simetrijos plokštumų turi taisyklinga keturkampė piramidė?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Kokia yra bet kurios taisyklingos piramidės ašinė pjūvis?

A) lygiakraštis trikampis

B) stačiakampis

B) trapecija

D) lygiašonis trikampis

1. Kiek bendrų tiesių gali turėti dvi skirtingos nesutampančios plokštumos?
A) 1 B) 2 C) begalinis skaičius D) nė vieno E) Nežinau
2. Duotos dvi tiesės, susikertančios taške C. Ar kuri nors trečia tiesė yra su jomis toje pačioje plokštumoje, turinti bendrą tašką su kiekviena iš šių tiesių?
A) visada taip B) visada ne C) meluoja, bet ne visada D) Aš nežinau
3. Nustatykite, ar teiginys yra teisingas:
Dvi plokštumos yra lygiagrečios, jei jos lygiagrečios tai pačiai tiesei.
A) taip B) ne C) nežinau D) ne visada
4. Atstumas tarp dviejų lygiagrečių plokštumų yra 8 cm Tiesi atkarpa, kurios ilgis yra 17 cm, yra tarp jų taip, kad jos galai priklausytų plokštumoms. Raskite šios atkarpos projekciją į kiekvieną plokštumą.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Nežinau
5. Užpildykite frazę, kad pateiktumėte teisingą teiginį:
Jei tiesė, esanti vienoje iš dviejų statmenų plokštumų, yra statmena jų susikirtimo linijai, tai...
A) lygiagrečiai kitai plokštumai
B) susikerta su kita plokštuma
B) statmenai kitai plokštumai
D) Nežinau
6. Tiesės a ir b yra statmenos. Taškai A ir B priklauso tiesei a, taškai C ir D priklauso tiesei b. Ar tiesės AC ir BD yra toje pačioje plokštumoje?
A) taip B) ne C) ne visada D) nežinau
7. Kube ABCDA1B1C1D1 nubrėžtos veidų AC ir B1D1 įstrižainės. kokia jų santykinė padėtis?
A) susikerta B) susikerta C) lygiagrečiai D) nežinau
8. Kubo ABCDA1B1C1D1 briauna lygi m. Raskite atstumą tarp tiesių AB ir CC1.
A) 2 m B) B) m D) Nežinau
9. Nustatykite, ar teiginys yra teisingas:
Jei dvi tiesės sudaro vienodus kampus su ta pačia plokštuma, tada jos yra lygiagrečios.
A) taip B) ne C) ne visada D) nežinau
10. Kube ABCDA1B1C1D1 raskite kampą tarp plokštumų BCD ir ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Ar yra prizmė, kurios tik vienas šoninis paviršius yra statmenas pagrindui?
A) taip B) ne C) Nežinau
12. Ar stačiakampio gretasienio įstrižainė gali būti mažesnė už jo šoninę kraštinę?
A) taip B) ne C) Nežinau
13. Koks yra kubo, kurio briauna 10, šoninio paviršiaus plotas?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Koks yra bendras kubo paviršiaus plotas, jei jo įstrižainė lygi d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Kiek simetrijos plokštumų turi taisyklinga keturkampė piramidė?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Kokia yra bet kurios taisyklingosios piramidės ašinė pjūvis?
A) lygiakraštis trikampis
B) stačiakampis
B) trapecija
D) lygiašonis trikampis

taškai, kurie nėra toje pačioje linijoje?

2. Ar dvi skirtingos plokštumos gali turėti tik du bendrus taškus?

Tiesioginis a irb susikerta taške M. Tiesė c, nekertanti taško M, kerta tieses A Ir b. Ar visos šios trys linijos yra toje pačioje plokštumoje? Kokia yra linijų santykinė padėtis: 1) A 1 D Ir MN; 2) A 1 D Ir V 1C; 3) MN Ir A 1B1(1 pav.). Tiesioginis A Ir b kerta tiesia linija Su. Gali tiesiai A Ir b būti lygiagrečiai? Dvi linijos lygiagrečios tai pačiai plokštumai. Ar galime sakyti, kad šios linijos yra lygiagrečios viena kitai? Jei ne, kokia jų santykinė padėtis? 2 paveiksle yra tiesios linijos tipo lygiagrečiai. Taškai A Ir IN atitinkamai priklauso tiesioginiam tipui; b guli plokštumoje α, a\\b. Kokia yra b ir c linijų santykinė padėtis? Duotas keturkampis ABCD ir lėktuvas α. Jo įstrižainės AC Ir BD lygiagrečiai plokštumai α. Kokia yra abipusė pozicija AB ir lėktuvai α? Lėktuvai α ir β yra lygiagrečios. Susikerta taške M tiesiai A Ir b susikerta su plokštuma α atitinkamai taškuose IN Ir A, ir plokštuma β - taškuose E Ir F Raskite požiūrį

10. Plokštumas α eina per gretasienio pagrindo įstrižainę ir vienos iš viršutinio pagrindo kraštinių vidurį. Nustatykite sekcijos tipą.

5. Lygiagrečios tiesės

1 išvada. Jei tiesė kerta vieną iš lygiagrečių tiesių, ji kerta ir kitą.

2 išvada. Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios.

Pasekmės