Eulerio moksliniai darbai. Leonardo Eulerio įdomūs faktai

Per Mokslų akademijos egzistavimą Rusijoje, matyt, vienas žymiausių jos narių buvo matematikas Leonhardas Euleris (1707-1783).

Jis tapo pirmuoju, kuris savo darbuose pradėjo statyti nuoseklų be galo mažos analizės pastatą. Tik po jo tyrimų, išdėstytų grandioziniuose trilogijos tomuose „Analizės įvadas“, „Diferencialinis skaičiavimas“ ir „Integrinis skaičiavimas“, analizė tapo visiškai susiformavusiu mokslu – vienu giliausių žmonijos mokslo pasiekimų.

Leonhardas Euleris gimė 1707 m. balandžio 15 d. Šveicarijos mieste Bazelyje. Jo tėvas Pavelas Euleris buvo pastorius Riechene (netoli Bazelio) ir turėjo tam tikrų matematikos žinių. Tėvas sūnų numatė dvasinei karjerai, tačiau pats, domėdamasis matematika, mokė jos sūnų, tikėdamasis, kad vėliau tai jam pravers kaip įdomi ir naudinga veikla. Baigęs mokslus namuose trylikametį Leonardą tėvas išsiuntė į Bazelį klausytis filosofijos.

Be kitų dalykų, šiame fakultete buvo mokomasi elementariosios matematikos ir astronomijos, kurias dėstė Johanas Bernoulli Netrukus Bernulis pastebėjo jauno klausytojo talentą ir pradėjo mokytis kartu su juo atskirai.

1723 m., gavęs magistro laipsnį, lotynų kalba pasakęs kalbą apie Dekarto ir Niutono filosofiją, Leonardas tėvo prašymu pradėjo studijuoti rytietiškas kalbas ir teologiją. Tačiau jį vis labiau traukė matematika. Euleris pradėjo lankytis savo mokytojo namuose, o tarp jo ir Johano Bernoulli sūnų - Nikolajus
Danielis - užsimezgė draugystė, suvaidinusi labai svarbų vaidmenį Eulerio gyvenime.

1725 m. broliai Bernulai buvo pakviesti tapti Sankt Peterburgo mokslų akademijos, kurią neseniai įkūrė imperatorienė Jekaterina I, nariais. Išvykdamas Bernulis pažadėjo Leonardui pranešti, jei Rusijoje atsiras jam tinkamas užsiėmimas. Kitais metais jie pranešė, kad Euleriui yra vieta, bet vis dėlto kaip fiziologas akademijos medicinos skyriuje. Tai sužinojęs, Leonardas nedelsdamas įstojo medicinos studentu į Bazelio universitetą. Stropiai ir sėkmingai mokosi
Mokslas Medicinos fakultetas Euleris taip pat randa laiko matematinėms studijoms. Per tą laiką jis parašė disertaciją apie garso sklidimą ir studiją apie stiebų išdėstymą laive, kuri vėliau buvo paskelbta 1727 m. Bazelyje.

Sankt Peterburge buvo pačios palankiausios sąlygos Eulerio genijui sužydėti: materialinis saugumas, galimybė daryti tai, ką mėgo, kasmet leidžiamas žurnalas, skirtas kūrybai publikuoti. Čia dirbo didžiausia tuo metu pasaulyje matematikos mokslų srities specialistų grupė, kuriai priklausė Danielis Bernoulli (jo brolis Nikolajus mirė 1726 m.), įvairiapusis H. Goldbachas, su kuriuo Euleris siejo bendri interesai skaičių teorijos ir kt. numerius, trigonometrijos darbų autorius F.Kh. Mayeris, astronomas ir geografas J.N. Delisle'as, matematikas ir fizikas G. V. Kraftas ir kiti. Nuo to laiko Sankt Peterburgo akademija tapo vienu pagrindinių matematikos centrų pasaulyje.

Eulerio atradimai, kurie dėl jo aktyvaus susirašinėjimo dažnai tapo žinomi dar gerokai prieš paskelbimą, daro jo vardą vis plačiau žinomą. Jo padėtis Mokslų akademijoje pagerėjo: 1727 metais pradėjo dirbti adjunkto, tai yra jaunesniojo akademiko, laipsniu, o 1731 metais tapo fizikos profesoriumi, tai yra tikruoju akademijos nariu. 1733 metais gavo aukštosios matematikos katedrą, kurią anksčiau užėmė D. Bernoulli, tais pačiais metais grįžęs į Bazelį. Eulerio autoriteto augimas unikaliai atsispindėjo jo mokytojo Johano Bernoulli laiškuose. 1728 m. Bernoulli kreipėsi į „labiausiai išsilavinusį ir gabiausią jaunuolį Leonhardą Eulerį“, 1737 m. – į „garsiausią ir šmaikščiausią matematiką“, o 1745 m. – į „neprilygstamą matematikų lyderį Leonhardą Eulerį“.

1735 metais Akademijai reikėjo atlikti labai sunkų kometos trajektorijos skaičiavimo darbą. Anot akademikų, tam prireikė kelių mėnesių darbo. Euleris įsipareigojo tai atlikti per tris dienas ir baigė darbą, tačiau dėl to susirgo nervine karštine ir dešinės akies uždegimu, kurio neteko. Netrukus po to, 1736 m., pasirodė du jo analitinės mechanikos tomai. Šios knygos poreikis buvo didelis; Buvo parašyta daug straipsnių įvairiais mechanikos klausimais, tačiau gero traktato apie mechaniką nebuvo.

1738 metais vokiečių kalba pasirodė dvi įvado į aritmetiką dalys, o 1739 metais – nauja muzikos teorija. Tada 1840 m. Euleris parašė esė apie jūrų atoslūgius ir tėkmę, kuriai buvo skirta trečdalis Prancūzų akademijos premijos; kiti du trečdaliai buvo skirti Danieliui Bernuliui ir Maclaurinui už esė ta pačia tema.

1740 m. pabaigoje valdžia Rusijoje pateko į regentės Anos Leopoldovnos ir jos aplinkos rankas. Sostinėje susiklostė nerimą kelianti situacija. Tuo metu Prūsijos karalius Frydrichas II nusprendė Berlyne atgaivinti Leibnizo įkurtą Mokslų draugiją, kuri daugelį metų beveik neveikė. Per savo ambasadorių Sankt Peterburge karalius pakvietė Eulerį į Berlyną. Euleris, manydamas, kad „situacija pradėjo atrodyti gana
nesu tikras“, – priėmė kvietimą.

Berlyne Euleris pirmiausia subūrė aplink save nedidelę mokslinę draugiją, o vėliau buvo pakviestas į naujai atkurtą Karališkąją mokslų akademiją ir buvo paskirtas matematikos katedros dekanu. 1743 m. jis paskelbė penkis savo atsiminimus, keturis iš jų apie matematiką. Vienas iš šių darbų yra puikus dviem aspektais. Tai rodo būdą, kaip integruoti racionaliąsias trupmenas jas išskaidant į
dalinės trupmenos ir, be to, pateikiamas dabar įprastas aukštesnės eilės tiesinių paprastųjų lygčių su pastoviais koeficientais integravimo metodas.

Apskritai dauguma Eulerio darbų yra skirti analizei. Euleris taip supaprastino ir papildė ištisas dideles begalinių mažųjų analizių, funkcijų integravimo, serijų teorijos, diferencialinių lygčių, pradėtos prieš jį, dalis, kad jos įgavo maždaug tokią formą, kokią užėmė, išliko iki šių dienų. Be to, Euleris pradėjo visiškai naują analizės skyrių – variacijų skaičiavimą. Netrukus šią jo iniciatyvą paėmė Lagranžas ir taip susiformavo naujas mokslas.

1744 m. Euleris Berlyne paskelbė tris darbus apie šviesuolių judėjimą: pirmasis yra planetų ir kometų judėjimo teorija, kurioje pateikiamas orbitų nustatymo iš kelių stebėjimų metodas; antrasis ir trečiasis yra apie kometų judėjimą.

Euleris geometrijai skyrė septyniasdešimt penkis darbus. Kai kurie iš jų, nors ir įdomūs, nėra labai svarbūs. Kai kurie tiesiog sukūrė erą. Pirma, Euleris turėtų būti laikomas vienu iš geometrijos erdvėje tyrimų pradininkų apskritai. Jis pirmasis nuosekliai pristatė analitinę geometriją erdvėje („Įvadas į analizę“) ir ypač pristatė vadinamuosius Eulerio kampus, kurie leidžia tirti sukimus.
kūnai aplink tašką.

Savo 1752 m. darbe „Tam tikrų nuostabių savybių, kurioms taikomi kūnai, apriboti plokštumos paviršiais, įrodymas“, Euleris nustatė ryšį tarp daugiakampio viršūnių, briaunų ir paviršių skaičiaus: viršūnių ir paviršių skaičiaus suma yra lygus briaunų skaičiui plius du. Šį ryšį pasiūlė Dekartas, tačiau Euleris tai įrodė savo atsiminimuose. Tai tam tikra prasme yra pirmoji pagrindinė topologijos matematikos teorema – giliausia geometrijos dalis.

Studijuodamas klausimus apie šviesos spindulių lūžį ir parašęs daug atsiminimų šia tema, Euleris 1762 m. paskelbė esė, kurioje pasiūlė sukurti sudėtingų lęšių dizainą, kad sumažintų chromatinę aberaciją. Anglų menininkas Doldondas, kuris, vadovaudamasis Eulerio nurodymais, atrado dviejų tipų stiklus su skirtingu laužomumu, sukonstravo pirmuosius achromatinius lęšius.

1765 metais Euleris parašė esė, kurioje sprendžia standaus kūno sukimosi diferencialines lygtis, kurios vadinamos standaus kūno sukimosi Eulerio lygtimis.

Mokslininkas parašė daug esė apie tamprių strypų lenkimą ir vibraciją. Šie klausimai įdomūs ne tik matematiškai, bet ir praktiškai.

Frydrichas Didysis davė mokslininkui grynai inžinerinio pobūdžio nurodymus. Taigi 1749 m. jis nurodė jam apžiūrėti Funo kanalą tarp Havelo ir Oderio ir pateikti rekomendacijas, kaip ištaisyti šio vandens kelio trūkumus. Tada jam buvo pavesta sutvarkyti vandens tiekimą Sans Souci mieste.

Taip atsirado daugiau nei dvidešimt atsiminimų apie hidrauliką, kuriuos Euleris parašė skirtingu laiku. Pirmosios eilės hidrodinaminės lygtys su greičio, tankio ir slėgio projekcijų dalinėmis išvestinėmis vadinamos Eulerio hidrodinaminėmis lygtimis.

Išvykęs iš Sankt Peterburgo Euleris palaikė glaudiausią ryšį su Rusijos mokslų akademija, taip pat ir oficialiąja: buvo paskirtas garbės nariu, jam buvo skirta didelė metinė pensija, o jis savo ruožtu prisiėmė įsipareigojimus dėl tolimesnių. bendradarbiavimą. Jis pirko mūsų Akademijai knygas, fizinius ir astronominius instrumentus, atrinko darbuotojus iš kitų šalių, pateikdamas išsamias galimų kandidatų charakteristikas, redagavo akademinių užrašų matematikos skyrių, ėjo arbitro pareigas mokslo srityje.
Sankt Peterburgo mokslininkų ginčai, siunčiamos temos moksliniams konkursams, taip pat informacija apie naujus mokslo atradimus ir kt. Eulerio namuose Berlyne gyveno studentai iš Rusijos: M. Sofronovas, S. Kotelnikovas, S. Rumovskis, pastaruoju vėliau tapo akademikai.

Iš Berlyno Euleris ypač susirašinėjo su Lomonosovu, kurio darbe jis labai vertino laimingą teorijos ir eksperimento derinį. 1747 m. jis nuostabiai apžvelgė Lomonosovo straipsnius apie fiziką ir chemiją, atsiųstus jam baigti, ir tai labai nuvylė įtakingą akademinį pareigūną Schumacherį, kuris buvo itin priešiškas Lomonosovui.

Eulerio susirašinėjime su draugu, Sankt Peterburgo mokslų akademijos akademiku Goldbachu, randame dvi garsiąsias „Goldbacho problemas“: įrodyti, kad kiekvienas nelyginis natūralusis skaičius yra trijų pirminių skaičių suma, o kiekvienas lyginis skaičius yra suma. iš dviejų. Pirmąjį iš šių teiginių labai nuostabiu metodu jau mūsų laikais (1937 m.) įrodė akademikas I. M. Vinogradovas, tačiau antrasis neįrodytas iki šiol.

Euleris buvo patrauktas atgal į Rusiją. 1766 m. per ambasadorių Berlyne princą Dolgorukovą jis gavo imperatorienės Jekaterinos II kvietimą bet kokiomis sąlygomis grįžti į Mokslų akademiją. Nepaisant įkalbinėjimo pasilikti, jis priėmė kvietimą ir birželį atvyko į Sankt Peterburgą.

Imperatorienė suteikė Euler lėšų namui nusipirkti. Vyriausias iš jo sūnų Johanas Albrechtas tapo fizikos srities akademiku, Karlas užėmė aukštas pareigas medicinos skyriuje, Berlyne gimusio Kristoforo Frydrichas II ilgą laiką neatleido iš karinės tarnybos, ir tai ėmėsi Jekaterinos II įsikišimo, kad jis galėtų atvykti pas savo tėvą. Christopheris buvo paskirtas Sestrorecko ginkluotės direktoriumi
augalas

Dar 1738 m. Euleris apako viena akimi, o 1771 m., po operacijos, beveik visiškai prarado regėjimą ir galėjo rašyti tik kreida ant juodos lentos, bet dėka savo mokinių ir padėjėjų. I.A. Euleris, A. I. Lokselis, V.L. Kraftas, S.K. Kotelnikovas, M.E. Iš Bazelio atvykęs Golovinas, o svarbiausia – N.I. Fussas ir toliau dirbo ne mažiau intensyviai nei anksčiau.

Euleris su savo puikiais sugebėjimais ir nuostabia atmintimi toliau dirbo ir diktavo savo naujus memuarus. Vien 1769–1783 metais Euleris padiktavo apie 380 straipsnių ir esė, o per savo gyvenimą parašė apie 900 mokslinių straipsnių.

Eulerio 1769 m. straipsnyje „Apie stačiakampes trajektorijas“ pateikiamos puikios idėjos, kaip gauti begalinį begalinį, naudojant sudėtingo kintamojo funkciją iš dviejų tarpusavyje stačiakampių kreivių šeimų lygčių paviršiuje (t. kitų tarpusavyje stačiakampių šeimų skaičius. Šis darbas pasirodė esąs labai svarbus matematikos istorijoje.

Kitame 1771 m. darbe „Apie kūnus, kurių paviršių galima paversti plokštuma“ Euleris įrodo garsiąją teoremą, kad bet koks paviršius, kurį galima gauti tik sulenkus plokštumą, bet jos neištempus ir nesuspaudžiant, jei jis nėra kūgio formos. arba cilindrinis , yra tam tikros erdvinės kreivės liestinių rinkinys.

Eulerio darbas su žemėlapio projekcijomis yra toks pat puikus.

Galima įsivaizduoti, koks buvo Eulerio darbas apie paviršių kreivumą ir plėtojamus paviršius to laikmečio matematikams. Darbai, kuriuose Euleris tiria paviršiaus žemėlapius, kurie išsaugo panašumą mažuose (konforminiai atvaizdai), pagrįsti sudėtingo kintamojo funkcijų teorija,
turėjo atrodyti tiesiog transcendentalus, o darbas su daugiakampiais pradėjo visiškai naują geometrijos dalį ir savo principais bei gyliu atsistojo greta Euklido atradimų.

Euleris buvo toks nenuilstantis ir atkaklus moksliniams tyrimams, kad 1773 m., kai sudegė jo namas ir buvo sunaikintas beveik visas jo šeimos turtas, net ir po šios nelaimės jis toliau diktavo savo tyrimus. Netrukus po gaisro įgudęs oftalmologas baronas Wentzelis atliko kataraktos operaciją, tačiau Euleris neištvėrė tinkamo laiko neskaitęs ir tapo visiškai aklas.

Taip pat 1773 m. mirė Eulerio žmona, su kuria jis gyveno keturiasdešimt metų. Po trejų metų jis vedė jos seserį Salomėją Gsell Jo pavydėtina sveikata ir laimingas charakteris padėjo Euler „atlaikyti jį ištikusius likimo smūgius. Visada tolygi nuotaika, švelnus ir natūralus linksmumas, kažkoks geraširdis pasityčiojimas, mokėjimas naiviai ir juokingai pasakoti pokalbį su juo padarė
kad ir kaip būtų malonu...“ Jis kartais galėjo užsidegti, bet „nebuvo
galintis ilgą laiką puoselėti pyktį prieš ką nors...“ – prisiminė N I Fussas.

Euleris buvo nuolat apsuptas daugybės anūkų, dažnai ant rankų sėdėjo vaikas, o ant kaklo gulėjo katė. Jis pats mokė vaikus matematikos. Ir visa tai jam nesutrukdė dirbti.

1783 m. rugsėjo 18 d. Euleris mirė nuo apopleksijos savo padėjėjų, profesorių Krafto ir Lekselio akivaizdoje. Jis buvo palaidotas Smolensko liuteronų kapinėse Akademijos užsakymu garsiam skulptoriui Ž.D. Eulerį gerai pažinojusi Rachette gavo marmurinį mirusiojo biustą, o princesė Daškova padovanojo marmurinį pjedestalą.

Iki XVIII amžiaus pabaigos I. A. liko Akademijos konferencijos sekretoriumi. Euleris, kurį pakeitė N.I. Fussas, kuris vedė pastarojo dukrą, o 1826 m. – Fuso sūnų Pavelą Nikolajevičius, todėl apie šimtą metų organizacinė Akademijos gyvenimo pusė buvo atsakinga už Leonhardo Eulerio palikuonis. Eulerio tradicijos padarė didelę įtaką studentams
Čebyševa: A.M. Lyapunova, A.N. Korkina, E.I. Zolotareva, A.A. Markovas ir kiti, apibrėžiantys pagrindinius Sankt Peterburgo matematikos mokyklos bruožus.

Nėra mokslininko, kurio vardas mokomojoje matematinėje literatūroje būtų minimas taip dažnai, kaip Eulerio vardas. Net vidurinėje mokykloje logaritmai ir trigonometrija vis dar mokomi „pagal Eulerį“.

Euleris rado visų Ferma teoremų įrodymus, parodė vienos iš jų klaidingumą ir įrodė garsiąją Ferma paskutinę teoremą „trims“ ir „keturioms“. Jis taip pat įrodė, kad kiekvienas pirminis skaičius formos 4n+1 visada išskaidomas į kitų dviejų skaičių kvadratų sumą.

Euleris pradėjo nuosekliai kurti elementarią skaičių teoriją. Pradėdamas nuo galios liekanų teorijos, jis ėmėsi kvadratinių liekanų. Tai vadinamasis kvadratinio abipusiškumo dėsnis. Euleris taip pat daug metų praleido spręsdamas neapibrėžtas antrojo laipsnio lygtis dviejuose nežinomuose.

Visuose trijuose esminiuose klausimuose, kurie daugiau nei du šimtmečius po Eulerio sudarė didžiąją elementariosios skaičių teorijos dalį, mokslininkas nuėjo labai toli, tačiau visi trys jam nepavyko. Visą įrodymą gavo Gaussas ir Lagrange'as.

Euleris ėmėsi iniciatyvos sukurti antrąją skaičių teorijos dalį – analitinę skaičių teoriją, kurioje giliausios sveikųjų skaičių paslaptys, pavyzdžiui, pirminių skaičių pasiskirstymas visų natūraliųjų skaičių serijoje, gaunamos atsižvelgiant į tam tikrų analitinių funkcijų savybės.

Eulerio sukurta analitinė skaičių teorija toliau vystosi ir šiandien.

1707 metais Šveicarijos mieste Bazelyje kunigo šeimoje Paulius Eileris Gimė berniukas, vardu Leonardo, kuriam buvo lemta tapti vienu iškiliausių to meto matematikų. Leonardo Euleris ankstyvame amžiuje parodė fenomenalią atmintį, aukštą darbingumą ir naujų žinių troškimą. Būdamas 13 metų Leonardo Euleris įstojo į Bazelio universiteto dailės skyrių. Tėvas svajojo apie kunigo karjerą savo mylimam sūnui Leonardo. Tačiau neeiliniai matematiniai sugebėjimai, kuriuos turėjo berniukas, negalėjo būti palaidoti žemėje. Leonardo netrukus taps garsaus šveicarų matematiko Johano Bernoulli mokiniu.

Po kurio laiko į Sankt Peterburgą buvo pakviesti Johano Bernoulli sūnūs, o kartu su jais ir Leonardo Euleris. Itin talentingas jaunas mokslininkas greitai tampa plačiai žinomas. Jis kviečiamas į Mokslų akademiją. 1727 m. Leonardo Euleris įstojo į Mokslų akademiją, turėdamas fiziologijos adjunkto laipsnį. 1731 m. gavo fizikos profesoriaus vardą ir tapo tikruoju Mokslų akademijos nariu. O po dvejų metų jis jau vadovauja aukštosios matematikos katedrai.

Eulerio erudicija stebino jo amžininkus. Jis buvo vienas labiausiai išsilavinusių mokslininkų: mokėjo graikų, lotynų kalbas, laisvai mokėjo vokiečių, prancūzų, rusų ir kitas kalbas. Be matematikos, fizikos ir astronomijos, jis turėjo gilių geografijos, chemijos, botanikos, anatomijos, medicinos ir kitų mokslo bei technikos šakų žinių. Mėgo muziką ir literatūrą, mintinai žinojo Vergilijaus Eneidą.

Puikus matematikas, puikus fizikas, inžinierius ir astronomas, geografas ir virtuoziškas skaičiuotuvas Leonardo Euleris įnešė neįkainojamą indėlį į Rusijos mokslo personalo tobulėjimą. Jo sudarytas „Aritmetikos vadovas“, išverstas į rusų kalbą, padarė didelę įtaką pasaulinei ir rusų edukacinei literatūrai.

Eulerio mokslinis darbas žavėjosi minties gilumu, interesų įvairove, idėjomis ir neįtikėtinu produktyvumu. Euleris tuo pat metu buvo daugelio Europos akademijų ir mokslo mokyklų narys. Didžiulis ir intensyvus Eulerio darbas turėjo neigiamos įtakos jo sveikatai. 1735 metais Leonardo Euleris neteko dešinės, o 1766 metais – antrosios. Visiškai netekęs regėjimo, Euleris nenutraukė savo darbingumo. Aklas mokslininkas dalį savo darbų padiktavo raštininkui. Eulerio raštininkas buvo siuvėjas, kurį mokslininkas priglaudė ir išmokė skaityti bei rašyti.

Matematinės analizės srityje Euleris parašė daug darbų ir padarė daugybę atradimų. Eulerio įtaka aukštosios matematikos raidai buvo reikšminga. Tai buvo Leonardo Euleris, kuris pritaikė trigonometriją į mums žinomą formą ir vienas pirmųjų suformulavo funkcijos sąvoką. Daugelis matematinių sąvokų pavadintos jo vardu, įskaitant: Eilerio diagramas, Eilerio integralus, trūkinės linijos metodą, Eulerio apskritimą, Eulerio pakaitalus, Eilerio teoremą ir daugelį kitų.

Eulerio mokslinis paveldas yra nepaprastai didelis. Jam pavyko pasiekti puikių rezultatų matematinės analizės, geometrijos, skaičių teorijos, variacijų skaičiavimo, mechanikos ir kitose matematikos taikymo srityse. Visą Leonardo Eulerio mokslinių darbų kolekciją sudaro 72 tomai.

Euleris yra mokslo genijaus pavyzdys, kurio darbai tapo visos žmonijos nuosavybe. Viso pasaulio moksleiviai mokosi trigonometrijos ir logaritmų, kaip jiems davė Euleris. Aukštosiose mokyklose studentai mokomi aukštosios matematikos pagal klasikines Eulerio monografijas. Puikus matematikas Euleris žinojo, kad derlinga mokslo dirva visų pirma yra praktinė veikla.

Galbūt nėra nė vienos reikšmingos matematikos srities, kurioje vienas geriausių XVIII amžiaus matematikų nepaliktų pėdsako. Leonardas Eileris.

Tai buvo Euleris, kuris tiesiogiai įrodė eksponentinės ir arctangentinės eilučių išplėtimą (netiesioginį įrodymą per atvirkštinių galių eilutes pateikė Niutonas ir Leibnicas 1670–1680 m.). Jo panaudojimas galios eilėje leido jam išspręsti garsiąją Bazelio problemą 1735 m. (1741 m. jis pateikė griežtesnį įrodymą):

Eulerio formulės geometrinė reikšmė Euleris analitiniuose įrodymuose pradėjo naudoti eksponentus ir logaritmus. Jam pavyko išplėsti logaritminę funkciją į laipsnio eilutę ir pagal šį grafiką nustatyti neigiamų ir kompleksinių skaičių logaritmus. Jis taip pat išplėtė eksponentinės funkcijos apibrėžimą iki kompleksinių skaičių ir atrado eksponentinės funkcijos ryšį su trigonometrinėmis funkcijomis. Eulerio formulė teigia, kad bet kuriam realiajam skaičiui x lygybė galioja:

Ypatingas Eilerio formulės atvejis x= ? yra Eulerio tapatybė, kuri susieja penkias pagrindines matematines konstantas:

e i ? + 1 = 0,

Richardo Feynmano pavadinta „nuostabiausia matematine formule“... Žurnalų skaitytojai 1988 m. Matematinis žvalgas balsuodami jie pavadino tai „gražiausia visų laikų matematine formule“.
Eulerio formulės pasekmė yra Moivre formulė.
Be to, Euleris sukūrė specialių transcendentinių funkcijų teoriją, įvesdamas gama funkciją ir įdiegė naujus ketvirtojo laipsnio lygčių sprendimo metodus. Jis taip pat rado būdą įvertinti integralus su sudėtingomis ribomis, aplenkdamas šiuolaikinės kompleksinės analizės plėtrą, ir pradėjo skaičiuoti variacijas, įskaitant savo garsųjį rezultatą – Eulerio-Lagranžo lygtis.
Euleris taip pat pradėjo naudoti analitinius metodus skaičių teorijos problemoms spręsti. Tokiu būdu jis sujungė dvi skirtingas matematikos sritis ir pristatė naują studijų kryptį – analitinę skaičių teoriją. Pradžia buvo Eulerio sukurta hipergeometrinių eilučių, Q serijų, hiperbolinių trigonometrinių funkcijų teorija ir apibendrintų trupmenų analitinė teorija. Pavyzdžiui, jis įrodė pirminių skaičių begalybę, naudodamas harmoninių eilučių nesutapimą, ir naudojo analizės metodus, kad sužinotų apie pirminių skaičių pasiskirstymą. Eulerio darbas šioje srityje paskatino pirminių skaičių pasiskirstymo teoremos atsiradimą.
Skaičių teorija
Eulerio susidomėjimą skaičių teorija galima paaiškinti Christiano Goldbacho, antrojo iš Sankt Peterburgo akademijos, įtaka. Didžioji dalis ankstyvųjų Eulerio darbų skaičių teorijos srityje buvo pagrįsti Pierre'o Fermato darbais. Euleris sukūrė kai kurias Ferma idėjas ir paneigė kai kurias jo prielaidas.
Euleris pirminių skaičių pasiskirstymo prigimtį susiejo su analizės idėjomis. Jis įrodė, kad pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma yra skirtinga. Tokiu būdu jis atrado ryšį tarp Riemann zeta funkcijos ir pirminių skaičių, o rezultatas žinomas kaip „Eulerio tapatybė skaičių teorijoje“.
Eileris įrodė Niutono tapatybes, Ferma mažąją teoremą, Fermato teoremą dviejų kvadratų sumomis ir reikšmingai prisidėjo prie Lagranžo teoremos keturiuose kvadratuose. Jis taip pat išrado Eulerio funkciją? (N), lygus teigiamų skaičių skaičiui, neviršijančiam natūraliojo skaičiaus N ir kurie yra palyginti geriausi su N. Pasinaudodamas šios funkcijos savybėmis, jis apibendrino mažąją Ferma teoremą į tai, kas dabar vadinama Eilerio teorema. Jis daug prisidėjo prie tobulųjų skaičių teorijos, kuri matematikus žavėjo nuo Euklido laikų. Euleris taip pat padarė pažangą pirminio skaičiaus skirstymo teoremos link ir iškėlė kvadratinio abipusiškumo hipotezę. Šios dvi sąvokos laikomos pagrindinėmis skaičių teorijos teoremomis, o jo idėjos atvėrė kelią Gauso darbui.
Iki 1772 m. Euleris įrodė, kad 2 31 – 1 = 2147483647 yra Mersenne skaičius. Tikėtina, kad šis skaičius buvo didžiausias žinomas pirminis skaičius iki 1867 m.
Grafų teorija
1736 m. Euleris išsprendė problemą, žinomą kaip Septyni Karaliaučiaus tiltai. Karaliaučiaus miestas (šiandien Kaliningradas) Prūsijoje yra prie Pregolya upės ir apima dvi dideles salas, kurios viena su kita ir su žemynu buvo sujungtos septyniais tiltais. Problema ta, kad galite rasti kelią, kuris kerta kiekvieną tiltą tiksliai vieną kartą ir grįžta į pradinį tašką. Atsakymas yra ne: nėra Eulerio ciklo. Šis teiginys laikomas pirmąja grafų teorijos teorema, ypač plokštuminių grafų teorijoje.
Euleris taip pat įrodė formulę V – E + F= 2, kuris jungia išgaubto daugiakampio viršūnių, briaunų ir paviršių skaičių, taigi ir plokštuminius grafikus (plokštiesiems grafams V – E + F= 1). Kairioji formulės pusė, dabar žinoma kaip Eulerio charakteristika grafui (ar kitam matematiniam objektui), siejama su paviršiaus genties sąvoka.
Šios formulės tyrimas ir apibendrinimas, ypač Cauchy ir L'Huillier, buvo topologijos pradžia.
Taikomoji matematika
Tarp didžiausių Eulerio sėkmių buvo analitiniai praktinių problemų sprendimai, daugybės Bernulli skaičių pritaikymų aprašymas, Furjė serijos, Venno diagramos (taip pat žinomos kaip Eulerio apskritimai), Eulerio skaičiai, konstantos e ir?, tęstinės trupmenos ir integralai.
Jis sujungė Leibnizo diferencialinį skaičiavimą su Niutono srauto metodu ir sukūrė įrankius, kurie palengvino analizės pritaikymą fizinėms problemoms. Jis padarė didelę pažangą gerindamas integralų skaitinį aproksimavimą, išradęs tai, kas dabar žinoma kaip Eilerio metodas ir Eulerio-Maklaurino formulė. Jis taip pat skatino naudoti diferencialines lygtis, ypač įvesdamas Eulerio-Mascheroni konstantą:

Vienas iš neįprastiausių Eulerio pomėgių buvo matematinių idėjų pritaikymas muzikai. Jis parašė 1739 m Tentamen novae theoriae musicae, tikėdamasis pagaliau įtraukti muzikos teoriją į matematiką. Tačiau ši jo darbo dalis nesulaukė didelio dėmesio ir kadaise buvo vadinama „per daug matematiška muzikantams ir labai muzikalia matematikams“.
Fizika
Leonhardas Euleris reikšmingai prisidėjo prie mechanikos plėtros, ypač sprendžiant standaus kėbulo sukimosi problemą. Eulerio metodas yra susijęs su Eulerio kampų ir Eulerio kinematinių lygčių sąvokomis. 1757 m. Euleris paskelbė atsiminimus „Principes generaux du mouvement des fluides“ (Bendrieji skysčių judėjimo principai), kuriuose jis surašė nesuspaudžiamo idealaus skysčio judėjimo lygtis, vadinamas Eilerio lygtimis. Sijos deformacijos apkrovos metu problemos rezultatas buvo Eulerio-Bernoulli lygtys, kurios vėliau buvo pritaikytos inžinerijos moksle, ypač projektuojant tiltus.
Euleris nagrinėjo bendrąsias mechanikos problemas, plėtodamas Maupertuis principą. Lagranžo mechanikos lygtys dažnai vadinamos Eulerio-Lagranžo lygtimis.
Euleris taikė sukurtus matematinius metodus dangaus mechanikos uždaviniams spręsti. Jo darbas šioje srityje gavo keletą Paryžiaus mokslų akademijos apdovanojimų. Tarp jo laimėjimų yra labai tikslus kometų ir kitų dangaus kūnų orbitų nustatymas, kometų prigimties paaiškinimas ir Saulės paralakso apskaičiavimas. Eulerio skaičiavimai reikšmingai prisidėjo prie tikslių platumų lentelių kūrimo.
Eulerio indėlis į optiką buvo svarbus jo laikui. Jis neigė tuo metu vyravusią Niutono korpuskulinę šviesos teoriją. Eulerio darbas 1740-aisiais padėjo sukurti Christiano Huygenso šviesos bangų teoriją.
Astronomija
Dauguma Eulerio astronominių darbų yra skirti tuo metu aktualioms dangaus mechanikos problemoms, taip pat sferinei, praktinei ir jūrinei astronomijai, potvynių teorijai, astronominio klimato teorijai, šviesos lūžimui žemės atmosferoje, paralaksui. ir aberacija, ir Žemės sukimasis. Dangaus mechanikos srityje Euleris reikšmingai prisidėjo prie sutrikusio judėjimo teorijos. Dar 1746 metais jis apskaičiavo Mėnulio sužadinimus ir paskelbė mėnulio lenteles. Kartu su A. K. Clairaut ir J. L. D "Alembert ir nepriklausomai nuo jų, Euleris sukūrė bendras Mėnulio judėjimo teorijas, kuriose jis buvo labai tiksliai ištirtas. Pirmoji teorija, pagal kurią norimų koordinačių išplėtimas į eiles pagal galias. mažų parametrų ir davė dalinį analitinio metodo, skirto orbitiniams elementams, plėtojimą, buvo paskelbta 1753 m. Šią teoriją naudojo T. I. Mayeris, sudarydamas didelio tikslumo Mėnulio judėjimo lenteles Tobula analitinė teorija, kurioje pateikta skaitinė metodo plėtra ir apskaičiuotos lentelės, pateiktas 1772 m. Sankt Peterburge lotynų kalba Jo sutrumpintą vertimą į rusų kalbą „Nauja Mėnulio judėjimo teorija“. A. N. Krylovas ir paskelbtas 1934. Eulerio pasiūlyti skaičiavimo metodai, skirti gauti tikslias Mėnulio ir planetų efemeridus, jo įvestas stačiakampes koordinačių ašis, anot M. F., tapo viena iš svarbiausių tolimesnės visos dangaus mechanikos pažangos šaltiniai. Plačios šių metodų panaudojimo galimybės atsirado atsiradus kompiuteriams. Šiuolaikinę tikslią ir išsamią Mėnulio judėjimo teoriją 1895–1908 metais sukūrė E. V. Brownas. Eulerio ir Gillio darbai davė pradžią bendrajai netiesinių virpesių teorijai, kuri atlieka svarbų vaidmenį šiuolaikiniame moksle ir technikoje.
Astronomijai buvo svarbus Eulerio darbas „Apie objektyvinio teleskopų stiklo tobulinimą“ (1747), kuriame jis parodė, kad sujungus du skirtingos lūžio galios stiklo lęšius galima sukurti achromatinį lęšį. Eulerio darbo įtakoje pirmąjį tokio tipo lęšį 1758 metais pagamino anglų optikas J. Dollond.

1707 m. balandžio 15 d. Bazelio pastoriaus Paulo Eilerio šeimoje gimė sūnus, vardu Leonardas. Nuo ankstyvos vaikystės tėvas ruošė jį dvasinei karjerai. Anot Pauliaus, geras kunigas turėjo turėti aiškiai išvystytą logiką, todėl matematikai skyrė didelę reikšmę. Šį tikslų mokslą mėgo ne tik pats pastorius, bet ir draugavo su garsiu matematiku Jacobu Bernoulli. Kai Leonardui buvo vos 13 metų, jaunesnysis Jokūbo brolis universiteto profesorius Johanas Bernoulli pastebėjo nepaprastus matematinius berniuko sugebėjimus ir pakvietė jį šeštadieniais atvykti į jo namus, kur kartu su Johano sūnumis Danieliumi ir Nikolajumi sprendė sudėtingus matematinius klausimus. problemų lengvoje ir ramioje atmosferoje.

Būdamas 17 metų Leonardas įgijo magistro laipsnį. Netrukus buvo išleistas pirmasis rimtas mokslinis darbas „Garso fizikos disertacija“, kuris sulaukė labai glostančių rimtų mokslininkų atsiliepimų. 1725 m. jaunasis meistras bandė užimti laisvą fizikos profesoriaus vietą Bazelio universitete, tačiau net nepaisant Bernoulli globos, pareiškėjui buvo pasakyta, kad jis per jaunas tokioms garbingoms pareigoms. Apskritai, tuo metu Šveicarijoje laisvų mokslo vietų buvo taip mažai, kad net profesoriaus vaikai negalėjo rasti tinkamo užsiėmimo. Tačiau mokslinio personalo prireikė kaimyninėje Rusijoje, kur 1724 m. Petras I įkūrė pirmąją šalyje akademiją. Daniilas ir Nikolajus pirmieji persikėlė į Sankt Peterburgą, o jau 1726 m. pradžioje Leonardas gavo siuntimą, kuriame buvo rašoma, kad Bernoulli Herrs teikimu jis buvo pakviestas į fiziologijos adjunkto pareigas su atlyginimu 200 rublių per metus. Nors ši suma nebuvo itin didelė, ji buvo žymiai daugiau, nei jaunasis matematikas galėjo tikėtis savo tėvynėje. Todėl jau 1726 m. balandį, iškart gavęs avansą, Euleris paliko gimtąją Šveicariją. Tada jis vis tiek manė, kad tai bus kuriam laikui.

Rusijos imperijos sostinėje per nepilnus metus gana laisvai rusų kalbą išmokusiam jaunam specialistui iškart užgriuvo darbai, ne visada susiję su matematika. Specialistų trūkumas lėmė tai, kad mokslininkui buvo arba buvo pavesta atlikti kartografijos darbus, arba buvo reikalingos raštiškos laivų statytojų ir artileristų konsultacijos, arba buvo patikėtas gaisrinių siurblių projektavimas, ar net buvo pavesta rengti teismo horoskopus. Euleris kruopščiai atliko visas šias užduotis, o teismo astronomams buvo kategoriškai perduodami tik prašymai dėl astrologijos. Prognozės Rusijoje visada buvo padidėjusio pavojaus klausimas ir reikalauja ypatingo atsargumo.

1731 m. Leonardas tapo akademiku ir gavo fizikos profesoriaus pareigas su dvigubu atlyginimu nei ankstesnis. O po dvejų metų jis užėmė grynosios matematikos profesoriaus pareigas. Dabar jis buvo skolingas 600 rublių per metus. Turint tokias pajamas, jau būtų galima galvoti apie šeimą. 1733 metų pabaigoje 26 metų mokslininkas vedė savo bendraamžę ir tautietę Kathariną, dailininko Georgo Gsello dukrą, ir Nevos krantinėje rado nedidelį namelį. Per santuoką žmona Leonardui pagimdė 13 vaikų, tačiau iš jų liko gyvi tik penki – dvi dukros ir trys sūnūs.

1735 metais Euleris savarankiškai, be jokios pašalinės pagalbos, per tris dienas atliko skubią vyriausybės kartografinę (kitų šaltinių duomenimis – astronominę) užduotį, kurios jau kelis mėnesius prašė kiti akademikai. Tačiau toks darbo intensyvumas negalėjo nepaveikti mokslininko sveikatos: dėl didelio pervargimo Leonhardas Euleris apako dešine akimi.

Tuo metu jo vardas jau buvo plačiai žinomas Rusijoje. O 1736 metais parašytas traktatas „Mechanika arba judesio mokslas analitiniame pristatyme“ atnešė mokslininkui tikrai pasaulinę šlovę. Būtent iš jo teorinė mechanika tapo taikomąja matematikos dalimi.

Per pusantro dešimtmečio, kurį praleido Rusijoje, Euleris parašė ir paskelbė daugiau nei 90 pagrindinių mokslinių darbų. Jis taip pat buvo pagrindinis akademinio „Užrašų“ - centrinio to meto Rusijos mokslo biuletenio - autorius. Matematikas kalbėjo moksliniuose seminaruose, skaitė viešas paskaitas, atliko pačias įvairiausias užduotis. Buvęs mokytojas Johanas Bernoulli jam rašė: „Aš atsidaviau aukštosios matematikos vaikystei. Tu, mano drauge, tęsi jos tobulėjimą iki brandos. Eulerio, kaip puikaus matematiko, šlovė išaugo tiek, kad 1740 m. Berlyno akademijoje atsilaisvinus jo matematikos katedros direktoriaus vietai, pats Prūsijos karalius Frydrichas pakvietė mokslininką užimti šias pareigas.

Iki to laiko Sankt Peterburgo mokslų akademijoje prasidėjo sąstingio metas. Po imperatorienės Anos Ioannovnos mirties karaliumi tapo jaunasis Jonas IV. Tuo metu imperiją valdžiusi regentė Joana Anna Leopoldovna mokslams nekreipė dėmesio, Akademija pamažu griuvo. „Buvo numatytas kažkas pavojingo“, – vėliau savo autobiografijoje rašė Euleris. - Po garsiosios imperatorienės Anos mirties po to sekusio regento...

padėtis pradėjo atrodyti neaiški“. Todėl mokslininkas Frederiko kvietimą priėmė kaip likimo dovaną ir nedelsdamas įteikė peticiją, kurioje rašė: „Dėl šios priežasties esu priverstas tiek dėl silpnos sveikatos, tiek dėl kitų aplinkybių ieškoti malonaus klimato ir priimti man paskambino Jo Karališkoji Prūsijos Didenybė. Dėl šios priežasties prašau Imperatoriškosios mokslų akademijos gailestingiausiai mane atleisti ir pateikti man ir mano šeimai reikalingą pasą kelionėms. Tačiau, nepaisant bendro šalto požiūrio į mokslą, valstybės administracija nė kiek nenorėjo taip lengvai paleisti jau pripažinto pasaulio šviesuolio. Kita vertus, nepaleisti rankų buvo neįmanoma. Todėl trumpų derybų rezultatu pavyko gauti matematiko pažadą, net gyvenant Berlyne, visokeriopai padėti Rusijai. Už tai jam buvo suteiktas Akademijos garbės nario vardas su 200 rublių atlyginimu. Galiausiai 1741 m. gegužės 29 d. visi dokumentai buvo pataisyti ir jau birželį Euleris kartu su visa šeima, žmona, vaikais ir keturiais sūnėnais atvyko į Berlyną.

Čia, kaip kažkada Rusijoje, jie taip pat pradėjo jį aktyviai įtraukti į įvairius nepagrindinius darbus ir projektus. Jis dalyvavo organizuojant valstybines loterijas, vadovavo kalyklos darbui, vadovavo naujos vandentiekio klojimo ir pensijų organizavimo darbams. Tačiau Leonardo santykiai su pačiu karaliumi Frederiku nesusiklostė. Monarchas nemėgo matematiko, kuris buvo malonus ir protingas, bet visai nebendraujantis. Tiesą sakant, Euleris nekentė socialinių priėmimų, balių ir kitų pramoginių renginių, trukdančių moksliniams samprotavimams. Kai žmona sugebėjo jį nutempti į teatrą, matematikas sugalvodavo sau sudėtingą pavyzdį, kurį mintyse sprendė viso spektaklio metu.

Mokslininkas griežtai laikėsi žodžio, duoto prieš išvykstant iš Rusijos. Jis ir toliau spausdino savo straipsnius Rusijos žurnaluose, redagavo rusų mokslininkų darbus, pirko instrumentus ir knygas Sankt Peterburgo akademijai. Jaunieji rusų mokslininkai, išsiųsti stažuotis, jo namuose gyveno pilnu maitinimu. Būtent čia jis susitiko ir susidraugavo su perspektyviu Maskvos „Spassky Schools“ studentu Michailu Lomonosovu, kuriame jis labiausiai pažymėjo „laimingą teorijos ir eksperimento derinį“. Kai 1747 metais Mokslų akademijos prezidentas grafas Razumovskis paprašė jo pateikti atsiliepimą apie jauno mokslininko straipsnius, Euleris juos įvertino labai gerai. „Visos šios disertacijos, – rašė jis savo pranešime, – yra ne tik geros, bet ir labai puikios, nes jis (Lomonosovas) rašo apie labai reikalingus fizikinius ir cheminius dalykus, kurių iki šiol šmaikščiausi žmonės nežinojo ir negalėjo. interpretuoti, kad jis Jis tai padarė taip sėkmingai, kad esu visiškai įsitikinęs jo paaiškinimų pagrįstumu. Šiuo atveju P. Lomonosovui turi būti suteikta teisybė, kad jis turi puikų talentą aiškinti fizikinius ir cheminius reiškinius. Norėtume, kad kitos akademijos galėtų pateikti tokius apreiškimus, kokius parodė ponas Lomonosovas. Reikia pasakyti, kad labai arogantiškas, išdidus ir sunkiai bendraujantis Michailas Vasiljevičius taip pat iki savo dienų pabaigos mylėjo savo Berlyno mokytoją, rašė jam draugiškus laiškus ir laikė vienu didžiausių mokslininkų pasaulyje.

Daugumą terminų, sąvokų ir metodų, kuriuos Euleris pristatė beveik prieš tris šimtmečius, matematikai vartoja ir šiandien. Bet visa tai niekaip nepaveikė šalto Prūsijos karališkosios valdžios požiūrio į jį. Kai 1759 m. mirė Berlyno mokslų akademijos prezidentas Maupertuis, Frydrichas II ilgą laiką negalėjo rasti jam pakaitalo. Prancūzų enciklopedistas ir tiesiog labai sumanus Jeanas D'Alembertas, į kurį pirmiausia kreipėsi karalius, viliojančio pasiūlymo atsisakė manydamas, kad Berlyne yra vertesnis kandidatas į šį postą. Galiausiai Friedrichas susitaikė ir davė Euleriui vadovauti akademijai. Tačiau jis kategoriškai atsisakė suteikti jam prezidento vardą.

Tuo tarpu Rusijoje Eulerio autoritetas, priešingai, vis stiprėja. Per Septynerių metų karą rusų artilerija netyčia sugriovė mokslininko namą Šarlotenburge (Berlyno priemiestyje). Apie tai sužinojęs feldmaršalas Saltykovas nedelsdamas atlygino mokslininkui visus padarytus nuostolius. Ir kai žinia apie nesėkmingą apšaudymą pasiekė imperatorienę Elžbietą, ji asmeniškai įsakė savo Berlyno draugui išsiųsti dar 4000 rublių, o tai buvo didžiulė suma.

1762 m. Jekaterina II įžengė į Rusijos sostą, svajojusi šalyje įkurti „apšviestąją monarchiją“. Žymaus matematiko sugrįžimą į šalį ji laikė viena iš svarbiausių savo užduočių. Todėl netrukus Euleris iš jos sulaukė labai įdomaus pasiūlymo: vadovauti matematikos klasei, gaunant Akademijos konferencijos sekretoriaus vardą ir 1800 rublių atlyginimą per metus. „Ir jei jums tai nepatinka“, – sakė jos nurodymai diplomatiniams atstovams, – ji mielai jus informuos apie savo sąlygas, jei tik nevėlinsite atvykimo į Sankt Peterburgą.

Euleris iš tiesų džiaugėsi galėdamas pateikti priešingas sąlygas:

Akademijos viceprezidento pareigas su 3000 rublių atlyginimu;

- 1000 rublių metinė pensija žmonai mirties atveju;

- apmokamas pareigas trims sūnums, tarp jų vyriausiojo Akademijos sekretoriaus pareigas.

Toks kurio nors matematiko įžūlumas papiktino imperijos administracijos atstovą, iškilų Rusijos diplomatą grafą Voroncovą. Tačiau pati imperatorė manė kitaip. „Pono Eulerio laiškas jums, – rašė ji grafui, – man labai patiko, nes iš jo sužinojau apie jo norą vėl pradėti tarnauti. Žinoma, aš manau, kad jis yra visiškai vertas norimo Mokslų akademijos viceprezidento vardo, tačiau tam reikia imtis tam tikrų priemonių, kol aš nustatysiu šį titulą – sakau, kad padarysiu, nes iki šiol jo nebuvo. Esant dabartinei situacijai, 3000 rublių atlyginimui pinigų nėra, bet tokiam žmogui, turinčiam tokius nuopelnus kaip ponas Euleris, prie akademinio atlyginimo pridėsiu iš valstybės pajamų, kurios kartu sudarys reikiamus 3000 rublių. ... Esu tikras, kad mano Akademija atgims iš pelenų po tokio svarbaus įsigijimo, ir iš anksto sveikinu save sugrąžinus į Rusiją puikų žmogų“.

Gavęs patikinimus, kad visos jo sąlygos buvo priimtos aukščiausiu lygiu, Euleris nedelsdamas parašė Friedrichui, prašydamas jo atsistatydinimo. Galbūt dėl ​​nenoro paleisti žymų mokslininką, galbūt dėl ​​neigiamo požiūrio į jį, o greičiausiai dėl viso to kartu, karalius ne tik atsisakė, bet tiesiog ignoravo Eulerio kreipimąsi, nepateikdamas į jį jokio atsakymo. Euleris parašė dar vieną peticiją. Su tuo pačiu rezultatu. Tada matematikas tiesiog demonstratyviai nustojo dirbti Akademijoje. Galiausiai pati Kotryna kreipėsi į Prūsijos karalių su prašymu paleisti mokslininką. Tik po tokio didelio įsikišimo Frederikas leido matematikui išvykti iš Prūsijos.

1766 m. liepą mokslininkas kartu su 17 šeimos narių atvyko į Sankt Peterburgą. Čia jį iškart priėmė pati imperatorienė. Ir ji ne tik priėmė, bet ir skyrė 8000 rublių namui ir baldams įsigyti ir net atidavė jam vieną geriausių virėjų.

Jau Rusijoje Euleris pradėjo dirbti su vienu iš pagrindinių savo darbų - „Universali aritmetika“, taip pat išleista pavadinimais „Algebros principai“ ir „Visas algebros kursas“. Be to, ši knyga iš pradžių buvo išleista rusų kalba, o tik po dvejų metų – oficialia moksline vokiečių kalba. Galime visiškai tvirtinti, kad visi vėlesni pasaulio algebros vadovėliai buvo pagrįsti šiuo darbu. Iškart po jo Euleris išleido dar dvi didelės apimties monografijas - „Optika“ ir „Integriniai skaičiavimai“. Kai jis sunkiai dirbo prie naujojo puikaus darbo „Nauja Mėnulio judėjimo teorija“, įvyko tragedija. Per Sankt Peterburgą įsiplieskė didelis gaisras, sunaikinęs daugiau nei šimtą namų. Į šį šimtuką pateko ir Eulerio namas Vasiljevskio saloje. Laimei, mokslininkui pavyko išsaugoti daugumą savo rankraščių. Ko nepavyko išsaugoti, per trumpą laiką atkūrė, padiktuodamas tekstus iš atminties.

Būtent diktuojant. Mat mokslininko, kuris dieną naktį praleido skaičiuodamas ir skaičiuodamas, vizija buvo pačios kritiškiausios. Oftalmologai seniai diagnozavo Euleriui sparčiai progresuojančią kataraktą jo vienintelėje veikiančioje kairėje akyje. Todėl daugumą savo darbų jis seniai „rašė“ vikraus berniuko siuvėjo rankomis. Apie tai žinojusi imperatorienė Kotryna 1771 metais specialiai įsakė mokslininkui iš Berlyno pataisyti mokslininko, geriausio šios srities specialisto – asmeninio Austrijos imperatoriaus ir Anglijos karaliaus barono Venzelio oftalmologo – viziją. Operacija buvo sėkminga: Wenzelis pašalino kataraktą ir perspėjo mokslininką, kad pirmuosius kelis mėnesius jis turėtų likti atokiau nuo ryškios šviesos ir nustoti skaityti, kad akis priprastų prie naujos būklės. Tačiau toks kankinimas mokslininkui buvo visiškai nepakeliamas. Per kelias dienas jis, slapta nuo šeimos, nusiėmė tvarstį ir godžiai puolė naujausius mokslo žurnalus. Rezultatas buvo iš karto: mokslininkas netrukus vėl prarado regėjimą, šį kartą visiškai. Tuo pačiu metu jo darbo našumas ne tik nesumažėjo, bet net padidėjo. Nepataisomas optimistas kartais su humoru sakydavo, kad regėjimo praradimas jam išėjo į naudą: nustojo blaškytis išorinių, su matematika nesusijusių grožybių.

Netrukus likimas jam skyrė dar vieną rimtą smūgį. 1773 metais mirė jo mylima žmona Katharina, su kuria jis laimingoje santuokoje pragyveno 40 metų. Tačiau ši netektis jo neišmušė iš balno. Po trejų metų jis vedė antrą kartą. Apie Katarinos pusseserę Salomėją. Ji viskuo priminė Leonardui jo velionę žmoną ir iki pat mokslininko gyvenimo pabaigos buvo ištikima jo padėjėja.

1780-ųjų pradžioje Euleris vis dažniau ėmė skųstis galvos skausmais ir bendru silpnumu. 1883 m. rugsėjo 7 d. popietę jis kalbėjosi su akademiku Andrejumi Lekseliu. Tiek matematikai, tiek astronomai aptarė neseniai atrastą Urano planetą ir jos orbitą. Staiga Eileriui pasidarė bloga. Jis tik spėjo pasakyti: „Aš mirštu“, po to iškart prarado sąmonę. Po kelių valandų jo nebeliko. Gydytojai nustatė, kad mirtis įvyko dėl smegenų kraujavimo.

Mokslininkas palaidotas Sankt Peterburge, liuteronų Smolensko kapinėse. Antkapyje buvo iškalti žodžiai: „Čia guli išmintingojo, teisingo, garsaus Leonhardo Eulerio mirtingieji palaikai“.

Matematiko vaikai liko Rusijoje. Vyresnysis sūnus, taip pat talentingas matematikas ir mechanikas Johanas Euleris (1734-1800), kaip žadėjo imperatorienė Kotryna, buvo Imperatoriškosios mokslų akademijos sekretorius. Jaunesnysis Kristupas (1743-1808) pakilo iki generolo leitenanto ir laipsnio. vadovavo Sestrorecko ginklų gamyklai. Anūkas Aleksandras Christoforovičius (1773–1849) tapo artilerijos generolu, 1812 m. Tėvynės karo didvyriu. Kitas palikuonis, nors ir grįžo į savo protėvių tėvynę Švediją, Hansas Karlas Augustas Simonas von Euleris-Helpinas (1873-1964) tapo garsiu biochemiku, SSRS mokslų akademijos užsienio nariu, Nobelio chemijos premijos laureatu. už 1929 metus. Dar vieną Nobelio premiją, tik 1970 m., gavo jo sūnus, švedų biologas Ulfas von Euleris (1905–1983).

Leonhardui Euleriui pastatyta daug paminklų. Jo vardu pavadinti institutai, gatvės ir mokslo apdovanojimai. Jo garbei buvo išspausdinti pašto ženklai ir monetos, pavadintas asteroidas ir krateris Mėnulyje. Tačiau bene originaliausią paminklą mokslininkui galima rasti vaikų sąsiuviniuose. Juk dažnai moksleiviai bando spręsti gerai žinomas problemas: kaip per visas nupiešto langelio langelius išjudinti šachmatų riterį, du kartus nepraeinant pro tą pačią kamerą, arba kaip vienu būdu pereiti kelias upes keliais tiltais. Tuo pat metu jie dažnai net nesusimąsto, kad šias problemas sugalvojo didysis rusų matematikas Leonhardas Euleris, kuris ne tik jas galvojo, bet ir beveik prieš tris šimtmečius surado išsamų algoritmą joms išspręsti. Jo vardas Rusijoje buvo Leonty.

Euleris, didžiausias XVIII amžiaus matematikas, gimė Šveicarijoje.
1727 m., Sankt Peterburgo mokslų akademijos kvietimu, atvyko į Rusiją.
Sankt Peterburge Euleris atsidūrė iškilių mokslininkų: matematikų, fizikų, astronomų rate ir gavo puikių galimybių kurti bei publikuoti savo darbus.
Jis dirbo su aistra ir, kaip vienbalsiai pripažino jo amžininkai, netrukus tapo pirmuoju matematiku pasaulyje.

Eulerio mokslinis palikimas stebina savo apimtimi ir universalumu.
Jo darbų sąraše – daugiau nei 800 pavadinimų. Visi surinkti mokslininko darbai užima 72 tomus.
Tarp jo darbų yra pirmieji diferencialinio ir integralinio skaičiavimo vadovėliai.

Skaičių teorijoje Euleris tęsė prancūzų matematiko P. Fermato darbus ir įrodė nemažai teiginių: Ferma mažoji teorema, Ferma didžioji teorema 3 ir 4 eksponentams. Jis suformulavo problemas, kurios dešimtmečiams lėmė skaičių teorijos horizontus.

Euleris pasiūlė skaičių teorijoje naudoti matematinės analizės priemones ir žengė pirmuosius žingsnius šiuo keliu. Jis suprato, kad judant toliau, galima įvertinti pirminių skaičių, neviršijančių n, skaičių, ir išdėstė teiginį, kuris vėliau bus įrodytas XIX a. matematikai P. L. Čebyševas ir J. Hadamardas.

Euleris taip pat daug dirba matematinės analizės srityje.
Mokslininkas pirmasis sukūrė bendrą logaritminės funkcijos doktriną, pagal kurią visi kompleksiniai skaičiai, išskyrus nulį, turi logaritmus, o kiekvienas skaičius atitinka begalinį logaritminių reikšmių skaičių. Geometrijoje Euleris padėjo pamatus visiškai naujai tyrimų sričiai, kuri vėliau išaugo į savarankišką mokslą – topologiją.

Formulė pavadinta Eulerio vardu,
jungiantis išgaubto daugiakampio viršūnių (B), briaunų (P) ir paviršių (G) skaičių:
B – P + G = 2.
Net ir pagrindinius Eulerio mokslinės veiklos rezultatus sunku išvardinti.
Čia yra kreivių ir paviršių geometrija ir pirmasis variacijų skaičiavimo pristatymas su daugybe naujų konkrečių rezultatų.
Jis parašė darbus apie hidrauliką, laivų statybą, artileriją, geometrinę optiką ir net muzikos teoriją.
Pirmą kartą jis pateikia analitinį mechanikos pristatymą vietoj Niutono geometrinio pristatymo ir kuria kietosios medžiagos, o ne tik medžiagos taško ar kietos plokštės mechaniką.

Vienas ryškiausių Eulerio laimėjimų yra susijęs su astronomija ir dangaus mechanika.
Jis sukūrė tikslią Mėnulio judėjimo teoriją, atsižvelgdamas ne tik į Žemės, bet ir į Saulės trauką.
Tai labai sudėtingos problemos sprendimo pavyzdys.

Paskutinius 17 Eulerio gyvenimo metų apkartino beveik visiškas regėjimo praradimas.
Tačiau jis ir toliau kūrė taip pat intensyviai, kaip ir jaunystėje.
Tik dabar jis jau nebe rašė pats, o diktavo savo mokiniams, kurie už jį atliko pačius griozdiškiausius skaičiavimus.
Daugelį matematikų kartų Euleris buvo mokytojas.
Kelios kartos mokėsi iš jo matematinių vadovų, knygų apie mechaniką ir fiziką.
Pagrindinis šių knygų turinys įtrauktas į šiuolaikinius vadovėlius.