Eksponentinis augimas. Galios dėsniai versle

Kai Alberto Einšteino buvo paprašyta įvardinti galingiausią pasaulio jėgą, jis nedvejodamas atsakė: „Sudėtinės palūkanos“.

Norint iš tikrųjų suprasti ilgo augimo laikotarpio prigimtį ir pasekmes, reikalingas genijus. Eksperimentai parodė, kad net išsilavinę žmonės, kuriems sekasi matematika, yra linkę gerokai nuvertinti augimo poveikį. Pavyzdžiui, viename tyrime* tiriamųjų buvo paprašyta įvertinti reikiamą traktorių gamyklos, pradėjusios veikti 1976 m., gamybiniu pajėgumu 1000 traktorių per metus, našumą, po to paklausa kasmet didėjo 6 proc. Kiek traktorių, jų paklausta, gamyklai reikės pagaminti 1990, 2020, 2050 ir 2080 metais? Įprasti atsakymai buvo pagrįsti laipsnišku tiesiniu padidėjimu, todėl paklausos įvertinimai iki 1990 m. buvo gana artimi teisingam atsakymui. Tačiau vėliau teisingų atsakymų skaičius šoktelėjo „eksponentiškai“, o respondentų balai ir toliau buvo pagrįsti nuolatiniu augimu. Dauguma respondentų atsakė, kad 2080 metais paklausa bus apie 30 000 traktorių, o teisingas atsakymas – apie 350 000, tai yra daugiau nei 10 kartų daugiau!

Dabar atspėk mįslę. 13 tūkstančių kvadratinių metrų ploto tvenkinyje. pėdų, vienas vandens lelijos lapas plūduriuoja, užimantis 1 kvadrato plotą. pėda. Po savaitės jau du lapai. Per dvi savaites keturi. Apskaičiuokite, per kiek laiko vandens lelijos uždengs visą tvenkinį.

Per 16 savaičių jie uždengs pusę tvenkinio. Dabar pasakykite man, kiek laiko užtruks, kol visas tvenkinys bus padengtas vandens lelijomis? Prireikė 16 savaičių, kol vandens lelijos apėmė pusę tvenkinio. Tačiau norint padengti antrąją pusę, pakaks vienos savaitės, nes kiekvieną savaitę lapų plotas padvigubėja. Galutinis atsakymas yra 17 savaičių.

* cm: ^ Dietrichas Dörneris. Nesėkmės logika: kodėl viskas klostosi ne taip ir ką galime padaryti, kad juos pagerintume (Dietrichas Dorneris. Nesėkmės logika: kodėl viskas klostosi ne taip ir ką galime padaryti, kad jie būtų teisingi. 1996, Metropolitan Books, Niujorkas). Originalas buvo išleistas Vokietijoje 1989 m. pavadinimu „Die Logik des Misslingcns“, kurį sukūrė Rowohlt Verlag.

Ar prisimenate pasaką apie Indijos karalių, kuris norėjo apdovanoti šachmatų išradėją? Išradėjas paprašė vos kelių ryžių grūdelių: įdėkite vieną į vieną langelį, du į antrą, keturis į trečią ir taip toliau į visas kitas ląsteles. Karalius manė, kad išminčius elgiasi kukliai – kol paaiškėjo, kad į vieną paskutinę ląstelę teks įdėti 9 223 372 036 000 000 000 grūdų, arba apie 153 milijardus tonų, arba daugiau nei du su puse milijono didžiulių (kiekvienas po 60 000 tonų) sausų krovinių laivų, iki pačių pusių pripildytas ryžių. Ir viskas dėl "eksponentinio" augimo, šiuo atveju padvigubėjus ryžių grūdams kiekvienoje ląstelėje.

^ Kokia eksponentinio augimo esmė?

Rodiklis yra skaičius, rodantis, kiek kartų dydis turi būti padaugintas iš savęs. Pavyzdžiui, jei rodiklis yra 3, o dydis yra 4, tada išraiška 4 3 reiškia 4 x 4x4, tai yra 64. Matematinė išraiška adresu 2 reiškia adresu X adresu, A skaičius 2 yra eksponentas.

Kuo eksponentinis augimas skiriasi nuo linijinio augimo? Esant tiesiniam augimui, vertė kiekviename etape didėja tas pats gerai o ne įjungtas daugkartinis numerį. Jei mano pradinis kapitalas yra 1000 USD ir kasmet didėja 100 USD, tai po 10 metų jį padvigubinsiu ir turėsiu 2000 USD. Tai linijinis augimas, kasmet tiek pat. Bet jei mano pradinis 1000 USD kapitalas kasmet padidės 10 procentų, tai po dešimties metų turėsiu 2594 USD. Tai eksponentinio augimo pavyzdys, kai pastovus metinis padidėjimas yra 1,1. Jei tęsiu savo verslą dar 10 metų, linijinis augimas man duos iš viso 3000 USD, o eksponentinis augimas – 6727 USD.

Bet kuri rinka ar verslas, kuris ilgą laiką išlaiko 10 procentų ar didesnį augimo tempą, patirs daug didesnę vertę, nei mes intuityviai vertiname. Kai kurios įmonės – pavyzdžiui, IBM ar McDonald's laikotarpiui nuo 1950 m

1985 arba Microsoft 1990-aisiais – sugebėjo pasiekti augimo tempus, viršijančius 15 procentų per metus, ir daug kartų padidino savo kapitalą. Jei pradėsite nuo 100 USD ir padidinsite savo kapitalą 15 procentų per metus 15 metų, gausite 3 292 USD, beveik 33 kartus daugiau nei pradėjote. Nedidelis augimo procento padidėjimas daro didelį rezultatų skirtumą.

Pavyzdžiui, amerikiečių biržos makleris Williamas O'Neillas sukūrė fondą savo klasės draugams ir jį valdė 1961–1986 metais. Per tą laiką pradiniai 850 USD, sumokėjus visus mokesčius, pavirto į 51 653 USD. Per 25 metus vidutinis padidėjimas buvo 17,85 procentų per metus, o tai reiškia, kad pradinė suma padidėjo 61 kartą. Taigi, jei per 25 metus 15 procentų augimas padidina kapitalą 33 kartus, tai prie metinio augimo tempo pridedant mažiau nei 3 procentinius punktus. rezultatas 33 kartus.

Eksponentinis augimas viską keičia ne tik kiekybiškai, bet ir kokybiškai. Pavyzdžiui, sparčiai augant pramonei – Peteris Druckeris per 10 metų nurodo 40 procentų – keičiasi pati jos struktūra ir iškyla nauji rinkos lyderiai. Spartų rinkų augimą skatina naujovės, modelių, naujų produktų, technologijų ar vartotojų trūkumas. Inovatoriai pagal apibrėžimą daro dalykus kitaip nei visi kiti. Nauji būdai retai egzistuoja kartu su esamų įmonių įpročiais, idėjomis, procedūromis ir struktūromis. Inovatoriai dažnai turi galimybę bėgti kelerius metus, kol tradiciniai lyderiai nuspręs pradėti kontrataką, bet tada gali būti per vėlu.

^ Fibonačio triušiai

Norėčiau jums įminti įdomią mįslę eksponentinės augimo tema. 1220 m. Leonardo iš Pizos, po 600 metų gavęs slapyvardį „Fibonacci“, sugalvojo:

* ^ Williamas J. O'Neilas. Kaip užsidirbti pinigų biržose ( William J. Apie „Neilą. Kaip užsidirbti pinigų akcijose. 1991 m., McGraw-Hill, Niujorkas. P. 132).

realus scenarijus. Pradėkime nuo poros triušių. Tada įsivaizduokite, kad kiekviena pora po metų pagimdo kitą, o po metų – kitą. Po to triušiai tampa per seni veisti. Kaip padidės porų skaičius ir ar yra kažkas puikaus šiame modelyje?

Jei norite, galite patys nustatyti metinį porų skaičių, bet galite iš karto pažiūrėti atsakymą:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Pastebite ką nors neįprasto?

Griežtai kalbant, čia yra du įdomūs dalykai. Pirma, pradedant nuo trečiojo, kiekvienas paskesnis skaitmuo yra dviejų ankstesnių skaitmenų suma. Antrasis – kiekvienų metų skaičiaus (po trečiųjų) ir praėjusių skaičiaus santykis yra beveik pastovus koeficientas, kuris netrukus artėja prie 1,618. Kitaip tariant, nuolat auga kiek daugiau nei 60 procentų.

Laikui bėgant paslaptis ^ Triušiai Fibonači gavo išsamų matematinį paaiškinimą, bet, laimei, jam čia ne vieta*. Tačiau šie triušiai puikiai iliustruoja eksponentinį augimą, taip pat tai, kad net toks akivaizdžiai ribotas augimas negali tęstis labai ilgai. Per 144 metus Fibonačio triušių tūris viršys Visatos tūrį, ir visi žmonės mirs, uždusę po puria mase. Tai tikrai nerealu!

^ Didysis sprogimas

Kita, ekstremalesnė eksponentinio augimo forma gali būti visatos atsiradimo pagrindas. Šiais laikais beveik visi astronomai ir fizikai sutinka Didžiojo sprogimo teorija, pagal kurią prasidėjo visata

* Matematikos entuziastai gali perskaityti Peterio M. Higginso knygą „Mathematics for the Curious“. (Peteris M. Higginsas. Matematika smalsiems. 1998, Oxford University Press, Oksfordas).

iš neįsivaizduojamai mažo tūrio, o paskui per sekundės dalį padvigubino savo dydį 100 kartų, todėl jis atrodė kaip mažas greipfrutas. Šis „išsipūtimo“ arba eksponentinio augimo laikotarpis baigėsi, užleisdamas vietą linijiniam augimui, kurio metu besiplečiantis ugnies kamuolys sukūrė Visatą šiandien.

Eksponentinis augimas yra neatsiejama bet kokios rūšies kūrybiškumo dalis. Įdomi pamoka yra ta, kad eksponentiniam augimui nereikia pradėti nuo kažko didelio. Tiesą sakant, galite pradėti nuo mažiausių dalykų. Jei Visata galėtų prasidėti nuo kažko tokio mažo, kad mes to neįsivaizduojame, ir išsiplėsti iki dabartinio neįsivaizduojamai begalinio dydžio, tai naujo verslo pradinio dydžio veiksnys turėtų būti laikomas visiškai nereikšmingu. Pagrindinis rodiklis yra eksponentinio augimo laikotarpis, po kurio seka ilgesnis linijinio augimo laikotarpis.

^ Išvados iš augimo sampratos

Geriausios galimybės kūrybiškumui ir augimui atsiranda pusiausvyros sutrikimo laikotarpiais, arba, kitaip tariant, kai pasiekiamas lūžio taškas ir iškart po jo.

Pusiausvyros ir lūžio taškai neatsiranda staiga. Visada būna, kartais gana ilgas, išankstinio apšilimo periodas, kai esama sistema rodo nestabilumo požymius, o nauja tyliai įgauna stiprybės. Viskas, kas susiję su naujomis technologijomis ar gaminių rūšimis, lūžio taškas pasiekiamas tik tada, kai naujovė yra „įregistruota“ masinėje rinkoje. Tai reiškia, kad jo pardavimas turi būti pagrįstas tradiciniais pelno kriterijais, o pokyčio revoliucinis pobūdis (jei toks yra) turi būti užmaskuotas.

Greitų pokyčių ir didelio eksponentinio augimo periodai paprastai netrunka ilgai. Netrukus bus sukurta nauja pusiausvyra su nauja dominuojančia technologija ir (arba) nauja konkurencine situacija. Iš čia atsiranda susižavėjimo ir neįprasto netikrumo jausmas, susijęs su disbalanso laikotarpiais. Iš čia ir gaunama išskirtinė nauda, ​​kurią gauna žmonės, kuriems pavyko per šį trumpą laiką užimti dominuojančias pozicijas. Šis dominavimas yra labiau protingos rinkodaros ir pozicionavimo rezultatas, o ne pačios technologijos pranašumas.

Dauguma novatorių žlunga. Kad pasiektų sėkmę, jie turi „peržengti bedugnę“ arba įveikti lūžio tašką ir prasiskverbti į masinę rinką. Pagrindinis veiksnys čia yra pagreitis. Kol naujas produktas ar technologija nepradės sparčiai daugintis, ji turi mažai galimybių išgyventi.

^ Say'aus ekonominio arbitražo įstatymas

1803 m. prancūzų ekonomistas Jeanas-Baptiste'as Say'us (1767-1832) paskelbė nuostabų veikalą „Traktatas apie politinę ekonomiją“. Thomas Jeffersonas apie ją pasakė taip:

„Puikus darbas... puikiai išdėstytas, aiškios idėjos, aiškus stilius, o visas darbas dvigubai subtilesnis nei [Adamo] Smitho knyga.

Traktate buvo daug stulbinančių naujovių, įskaitant terminą „verslininkas“ ir pirmąją ekonominio arbitražo teoriją, suformuluotą tame pačiame sakinyje.

Verslininkas perkelia ekonominius išteklius iš žemesnio našumo srities į aukštesnio našumo sritį ir gauna iš to naudos.

Dar gerokai anksčiau, nei buvo išpopuliarinta kapitalo grąžos samprata, Say’us įvardijo ją kaip vieną iš svarbiausių ekonominio kūrybiškumo ir pažangos variklių. Ištekliai pagal apibrėžimą yra riboti, todėl augimas priklauso ne nuo gamtos išteklių tyrinėjimo ir naudojimo, o nuo gebėjimo visapusiškiau naudoti

* Thomas Jefferson laiške Josephui Milliganui, 1816 m. balandžio 6 d. Tai puikus straipsnis ir aš jį panaudojau savo pranešime.

efektyvus kiekvieno išteklių vieneto panaudojimas. Tai iš dalies priklauso nuo pažangesnių technologijų ir metodų, tačiau negalima nuvertinti verslininko galimybės tuos išteklius tiekti ten, kur jie bus produktyviausi.

^ Freudo tikrovės principas

1900 m. Sigmundas Freudas (1856–1939) išleido knygą „Sapnų aiškinimas“ ir įkūrė naują psichoanalizės mokslą. Viena iš pagrindinių jo sąvokų buvo Realybės principas tvirtina, kad vienintelis dalykas, kuris neleidžia mums panaudoti kitų žmonių savanaudiškiems tikslams, yra tai, kad jie siekia tą patį padaryti ir su mumis. Susidūrę su realybe (tikrove), esame priversti prisitaikyti prie kitų žmonių poreikių ir išorinio pasaulio reikalavimų, kad galėtume patenkinti savo instinktus.

Freudo koncepcija neabejotinai turi didelę vertę, tačiau gana netikėtą tos pačios idėjos posūkį pateikė jo amžininkas, dramaturgas George'as Bernardas Shaw:

„Racionalus žmogus prisitaiko prie pasaulio [pagal Freudo realybės principą]: neprotingas žmogus atkakliai stengiasi pritaikyti pasaulį sau. Vadinasi, bet kokia pažanga priklauso nuo neprotingo žmogaus“.

Kūrybiškumą ir verslumą turi skatinti naujos idėjos, nauji metodai ir neprotingi metodai. Ar Henris Fordas buvo protingas, kai reikalavo, kad automobiliai būtų prieinami dirbančiam žmogui? Tai aiškiai neatitiko paklausos, nes automobilių paklausa egzistavo tik tarp turtingųjų. Fordas atsisakė priimti jį supantį pasaulį; jis ir toliau bandė pritaikyti pasaulį prie savo vizijos. Naudodamas surinkimo liniją ir maksimalią standartizaciją, „Ford“ sumažino „Model T“ kainą nuo 850 USD 1908 m. iki 300 USD 1922 m. ir sėkmingai įgyvendino savo misiją „demokratizuoti automobilį“.

^ Sėkmingas verslininkas

Pradžios knyga ir Didžiojo sprogimo teorija sutaria dėl vieno: buvo tik vienas originalus pasaulio kūrinys. Todėl pažanga tėra terminų pertvarkymas. Nėra nieko naujo po saule.

Šis požiūris jokiu būdu nėra niūrus ir teikia vilčių. Viskas, ko reikia žmogaus gerovei, yra paimti tam tikrą išteklių rinkinį ir perkelti juos iš žemo našumo sričių į didelio našumo sritis.

Visa ekonominė pažanga remiasi tokio tipo ekonominiu arbitražu. Tai gera žinia. Lengviau užsiimti arbitražu nei kūryba. Kiekvienas turėtų turėti galimybę sugalvoti ką nors, kas būtų naudinga ekonominiam arbitražui, nustatant išteklius, kuriuos būtų galima panaudoti efektyviau.

Tikri verslininkai nelaukia, kol rinkos tyrinėtojai pasakys, ką daryti. Jie turi savo viziją, kaip ką nors padaryti geriau ir kitaip. Jie kuria būdus, kaip pasiekti daugiau su mažiau pastangų. Mažiau pelningą išteklių naudojimą jie keičia į pelningesnius ir toliau elgiasi atkakliai ir neprotingai, kol pasaulis nepriims jų požiūrio.

^ Mažėjančios grąžos dėsnis

Viena iš įtakingiausių ir populiariausių rinkos ir įmonės veikimo koncepcijų Mažėjančios grąžos įstatymas, kurią apie 1767 m. suformulavo prancūzų ekonomistas Robertas Jacques'as Turgot.

Įstatymas teigia, kad po tam tikro momento papildomų pastangų ar investicijų grąža mažėja, tai yra vertės prieaugis mažėja. Alkanam žmogui duonos kepalas yra labai vertingas. Antro kepalo vertė mažesnė. Dešimtasis nebeturės beveik jokios vertės. Jei samdote kelis papildomus ūkininkus vienam žemės plotui įdirbti, po tam tikro momento įsigalios mažėjančios grąžos dėsnis.

Po šimto metų britų klasikiniai ekonomistai, vadovaujami Alfredo Maršalo, išplėtė šią idėją rinkoms ir įmonėms. Rinkoje pirmaujantys produktai ar įmonės patenka į mažėjančios grąžos spąstus. Didelio dydžio versle – didelė rinkos dalis, didelė gamykla, didelė įvairovė – kaina pasiekia aukščiausią lygį, o paskui krenta. Na, tai skamba gana pagrįstai.

Tačiau klasikiniai ekonomistai nuėjo toliau. Jie pareiškė, kad anksčiau ar vėliau bus pasiekta nuspėjama kainų ir rinkos dalies pusiausvyra ir kad sąžininga konkurencija, bendradarbiaujant su mažėjančios grąžos dėsniu, galiausiai sukeltų perteklinio pelno negalėjimą. Ši teorija pateisino valdišką rinkų reguliavimą – jei pelnas labai didelis, tai reiškia tik viena: monopolistai dirbtinai išpučia kainas ir užkerta kelią sąžiningai konkurencijai.

Posakis „eksponentinis augimas“ pateko į mūsų žodyną ir reiškia greitą, paprastai nekontroliuojamą augimą. Jis dažnai naudojamas, pavyzdžiui, apibūdinti spartų miestų augimą arba gyventojų skaičiaus didėjimą. Tačiau matematikoje šis terminas turi tikslią reikšmę ir reiškia tam tikrą augimo tipą.

Eksponentinis augimas vyksta tose populiacijose, kuriose populiacijos prieaugis (gimimų skaičius atėmus mirusiųjų skaičių) yra proporcingas populiacijos individų skaičiui. Pavyzdžiui, žmonių populiacijos gimstamumas yra maždaug proporcingas reprodukcinių porų skaičiui, o mirtingumas yra maždaug proporcingas žmonių skaičiui populiacijoje (mes tai vadiname N). Tada, remiantis pagrįstu apytiksliu,

gyventojų prieaugis = gimimų skaičius – mirusiųjų skaičius

(Čia r- vadinamasis proporcingumo koeficientas, kuri leidžia mums parašyti proporcingumo išraišką kaip lygtį.)

Tegul d N— individų, įtrauktų į populiaciją per laikotarpį d, skaičius t, tai jei iš viso gyventojų N individų, tuomet eksponentinio augimo sąlygos bus patenkintos, jei

d N = rN d t

Kadangi Isaacas Newtonas XVII amžiuje išrado diferencialinį skaičiavimą, mes žinome, kaip išspręsti šią lygtį. N— gyventojų skaičius bet kuriuo metu. (Nuorodai: ši lygtis vadinama diferencialas.) Štai jo sprendimas:

N=N0 e rt

Kur N 0 – populiacijos individų skaičius skaičiavimo pradžioje ir t- laikas, praėjęs nuo šios akimirkos. Simbolis e žymi tokį specialų skaičių, jis vadinamas natūralaus logaritmo pagrindas(ir yra maždaug lygus 2,7), ir vadinama visa dešinė lygties pusė eksponentinė funkcija.

Norėdami geriau suprasti, kas yra eksponentinis augimas, įsivaizduokite populiaciją, kurią iš pradžių sudaro viena bakterija. Po tam tikro laiko (po kelių valandų ar minučių) bakterija dalijasi į dvi dalis, todėl populiacijos dydis padvigubėja. Po kito laiko kiekviena iš šių dviejų bakterijų vėl pasiskirstys į dvi dalis, o populiacijos dydis vėl padvigubės – dabar bus keturios bakterijos. Po dešimties tokių padvigubėjimų bakterijų bus daugiau nei tūkstantis, po dvidešimties – daugiau nei milijonas ir t.t. Jei su kiekvienu padalijimu gyventojų skaičius padvigubės, jo augimas tęsis neribotą laiką.

Sklando legenda (greičiausiai netiesa), kad šachmatus išradęs žmogus savo sultonui suteikė tokį malonumą, kad pažadėjo įvykdyti bet kurį jo prašymą. Vyras paprašė sultono įdėti vieną kviečio grūdą ant pirmos šachmatų lentos kvadrato, du ant antrojo, keturis ant trečio ir t.t. Sultonas, laikydamas šį reikalavimą nereikšmingu, palyginti su jo teikiama paslauga, paprašė savo subjekto pateikti kitą prašymą, tačiau jis atsisakė. Natūralu, kad iki 64-ojo padvigubėjimo grūdų skaičius tapo toks, kad visame pasaulyje kviečių neužteks šiam prašymui patenkinti. Man žinomoje legendos versijoje sultonas tuo metu liepė išradėjui nupjauti galvą. Moralas, kaip sakau savo studentams, yra toks: kartais neturėtumėte būti pernelyg protingi!

Šachmatų lentos pavyzdys (taip pat ir įsivaizduojamos bakterijos) rodo, kad jokia populiacija negali augti amžinai. Anksčiau ar vėliau jam paprasčiausiai pritrūks resursų – erdvės, energijos, vandens, bet ko. Todėl populiacijos gali tik kurį laiką augti eksponentiškai, o anksčiau ar vėliau jų augimas turi sulėtėti. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti lygtį taip, kad populiacijos dydžiui priartėjus prie didžiausio įmanomo (kurį gali palaikyti išorinė aplinka), augimo tempas sulėtėtų. Pavadinkime tai maksimaliu populiacijos dydžiu K. Tada modifikuota lygtis atrodys taip:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Kada N daug mažiau K, narys N/K galima nepaisyti, ir grįžtame prie pradinės įprasto eksponentinio augimo lygties. Tačiau kai N artėja prie didžiausios vertės K, vertė 1 – ( N/K) linkęs į nulį, taigi ir gyventojų prieaugis linkęs į nulį. Bendras populiacijos dydis šiuo atveju stabilizuojasi ir išlieka lygyje K. Šia lygtimi aprašyta kreivė, kaip ir pati lygtis, turi kelis pavadinimus - S kreivė, logistinė lygtis, Volteros lygtis, Lotkos – Volteros lygtis. (Vito Voltas e RRA, 1860-1940 – puikus italų matematikas ir mokytojas; Alfredas Lotka, 1880–1949 m. – amerikiečių matematikas ir draudimo analitikas.) Kad ir kaip tai būtų vadinama, tai gana paprasta išraiška, kad populiacijos dydis staigiai auga, o paskui sulėtėja artėjant prie tam tikros ribos. Ir tai daug geriau atspindi realių populiacijų augimą nei įprasta eksponentinė funkcija.

EKSPONENTINĖ PRIKLAUSOMYBĖ NUO GAMTINIŲ PROCESŲ

Stoikovas Dmitrijus

10 „A“ klasės MBOU vidurinė mokykla Nr. 177, g. Kazanė

Khabibullina Alfiya Yakubovna

mokslinis vadovas, aukščiausios kategorijos matematikos mokytojas, MBOU 177 vidurinė mokykla, Kazanė

Įvadas

Gamtoje ir žmogaus gyvenime vyksta labai daug procesų, kurių metu kai kurie dydžiai keičiasi taip, kad tam tikro dydžio santykis vienodais intervalais nepriklauso nuo laiko. Tarp jų yra radioaktyvus medžiagų skilimas, jų kiekio padidėjimas banko sąskaitoje ir kt. Visi šie procesai apibūdinami eksponentine funkcija. Mane domino klausimas, kodėl šių procesų atsiradimas nepriklauso nuo laiko. Juk logiškai mąstant, bet kokie besikeičiantys procesai turi būti koreliuojami su nepriklausomu dydžiu – laiku. Tiesą sakant, ši taisyklė ne visada veikia.

Tiriamojo darbo tikslas : eksperimentiškai patvirtina tam tikrų cheminių procesų atsiradimą pagal Arrhenius lygtį aprašytą eksponentinę priklausomybę.

Užduotys :

·Ištyrinėti eksponentinę funkciją;

·Tirti eksponentinę priklausomybę kaip specialų eksponentinės funkcijos atvejį;

·Išnagrinėti Arrhenius lygtį, apibūdinančią eksponentinę priklausomybę;

·Tirti cheminių procesų, vykstančių pagal eksponentinę priklausomybę, pavyzdžius;

· Atlikti eksperimentų seriją ir praktiškai patvirtinti tam tikrų cheminių procesų atsiradimą pagal Arrhenius lygtimi aprašytą eksponentinę priklausomybę.

Tyrimo hipotezė : Naudodami Arrhenius lygtį galite apibūdinti kai kuriuos cheminius procesus.

Tyrimo objektas : eksponentinė funkcija kaip taikomosios matematikos elementas.

Tyrimo metodai :

1. Literatūros ir elektroninių išteklių tiriama tema studijavimas.

2. Eksponentinės priklausomybės taikymo analizė

3. Cheminiai eksperimentai Arrhenijaus lygčiai patvirtinti.

Eksponentinė funkcija

Leiskite X R, a ≠ 0, (r n ) yra racionaliųjų skaičių seka, konverguojanti į x. Apibrėžkime skaičių a x kaip riba. Eksponentinė funkcija, kurios bazė a > 0 ir a ≠ 1 yra y=a formos funkcija x, X R

Ši riba nepriklauso nuo sekos r n, vedančios į skaičių, pasirinkimo x. Eksponentinės funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė. Ši funkcija yra nuolatinė ir monotoniškai didėja, kai > 1 ir monotoniškai mažėja ties 0< a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Eksponentinės funkcijos grafikas y=0,5 x

Eksponentinė priklausomybė

Ypač svarbi programose yra eksponentinė funkcija, kurios pagrindas yra skaičius e, apibrėžtas kaip

Skaitmeniškai jis yra lygus e= 2,71828182845904523536 ir vadinama Eilerio konstanta.

Taip apibrėžta funkcija vadinama eksponentine arba tiesiog eksponentine ir žymima adresu= e x ≡ exp x.

Panagrinėkime eksponentinės funkcijos y = e x grafiką. Nuo 2< e < 3, то функция adresu= e x monotoniškai didėjantis visoje apibrėžimo srityje. Taške (0;1) liestinė yra pasvirusi į abscisių ašį 45 o kampu (π/4). Šios funkcijos išvestinė ties nuliu lygi 1. Tai vienintelė funkcija, kurios išvestinė ir antidarinė sutampa su ja.

Arrhenijaus lygtis

Švedų fizikas ir chemikas Svante Arrhenius 1903 m. gavo Nobelio chemijos premiją už elektrolitinės disociacijos teoriją. Savo daktaro disertacijoje (Upsalos universitetas) Arrhenius pasiūlė, kad „molekulės“, tokios kaip natrio chloridas, savaime suyra tirpale, sudarydamos jonus, kurie veikia kaip reagentai elektrolizės metu. Tačiau Arrhenius geriausiai žinomas dėl savo lygties, kuri nustato reakcijos greičio konstantos priklausomybę nuo temperatūros.

Arrhenius pirmą kartą tiksliai nustatė ryšį tarp reakcijos greičio ir temperatūros 1889 m. Šis ryšys, vadinamas Arrhenijaus lygtimi, turi tokią formą

,

Kur: Į— reakcijos greičio konstanta;

A— konstanta, apibūdinanti kiekvieną konkrečią reakciją (Arrhenius konstanta);

e— eksponentas;

Ea- kita konstanta, būdinga kiekvienai reakcijai ir vadinama aktyvacijos energija;

R— dujų konstanta;

T- absoliuti temperatūra Kelvino laipsniais.

Atkreipkite dėmesį, kad ši lygtis susieja temperatūrą ne su reakcijos greičiu, o su greičio konstanta.

Ryšys tarp reakcijos greičio ir temperatūros buvo nustatytas remiantis pirmųjų kinetinių tyrimų rezultatais 1880–1884 m. ir gavo vardą van't Hoffo taisyklės: daugelio reakcijų greitis kaitinant 10 o C padidėja 2–4 ​​kartus. Ši taisyklė galioja santykinai lėtoms reakcijoms tirpaluose, todėl nėra universali. Spręsdami kai kurias problemas, galite naudoti Van't Hoff formulę:

Kur: γ — van't Hoffo koeficientas (= 2–4),

T- temperatūra laipsniais pagal Celsijaus arba Kelvino skalę (kadangi naudojamas skirtumas, skalė neturi reikšmės).

Arenijaus lygtis b tiksliau ir universaliau išreiškia reakcijos greičio konstantos priklausomybę nuo temperatūros. veiksnys Ašioje lygtyje yra susijęs su dalelių susidūrimų dažniu ir jų orientacija susidūrimo metu.

Gamtinių procesų, vykstančių pagal Arenijaus lygtį, pavyzdžiai

1 pavyzdys. Svirplių pypsėjimo greitis (dažnis) paklūsta, nors ir ne visai griežtai, Arrhenius lygčiai, palaipsniui didėjant temperatūrų diapazone nuo 14,2°C iki 27°C su efektyvia aktyvavimo energija. E a = 51 kJ/mol. Pagal čirškėjimo dažnį galima gana tiksliai nustatyti temperatūrą: reikia suskaičiuoti jų skaičių per 15 sekundžių ir pridėti 40, gaunama temperatūra Farenheito laipsniais (F) (amerikiečiai vis dar naudoja šią temperatūros skalę). Taigi, esant 55 F (12,8 °C) čiulbėjimo dažnis yra 1 čiulbėjimas per sekundę, o esant 100 F (37,8 °C) – 4 čirpimai per sekundę.

2 pavyzdys. Temperatūros diapazone nuo 18°C ​​iki 34°C jūros vėžlio pulsas atitinka Arrhenius lygtį, kuri suteikia aktyvacijos energiją. E a = 76,6 kJ/mol, bet žemesnėje temperatūroje aktyvacijos energija smarkiai padidėja. Taip gali būti dėl to, kad esant žemai temperatūrai vėžlys nelabai gerai jaučiasi, o jo širdies ritmą ima kontroliuoti kitos biocheminės reakcijos.

3 pavyzdys. Ypač įdomūs bandymai „priskirti Arrhenijaus priklausomybę“ nuo žmogaus psichologinių procesų. Taigi žmonių, kurių kūno temperatūra skirtinga (nuo 36,4°C iki 39°C), buvo paprašyta skaičiuoti sekundes. Paaiškėjo, kad kuo aukštesnė temperatūra, tuo greitesnis skaičiavimas ( E a = 100,4 kJ/mol). Taigi mūsų subjektyvus laiko pojūtis paklūsta Arrhenijaus lygčiai. Sociologinio tyrimo autorius G. Hoaglandas teigė, kad taip yra dėl tam tikrų biocheminių procesų žmogaus smegenyse.

Vokiečių tyrinėtojas H. von Foerstleris išmatavo skirtingos temperatūros žmonių užmaršties greitį. Jis davė žmonėms skirtingų ženklų seką ir išmatavo laiką, per kurį žmonės prisiminė šią seką. Rezultatas buvo toks pat kaip Hoaglando: Arrhenius priklausomybė su E a = 100,4 kJ/mol.

Turtinga liaudies patirtis leidžia daryti daugybę moksliškai patvirtintų išvadų. Rusų kalba seniai garsėja posakis: „Tegul kojos šiltos, o galva šalta“. Arrhenijaus lygtis patvirtina šį teiginį.

Cheminių reakcijų greičio priklausomybė nuo temperatūros

Temperatūros pokytis turi didelį poveikį greičio konstantai, taigi ir cheminės reakcijos greičiui. Daugeliu atvejų cheminės reakcijos greitis didėja kaitinant.

Pagal Van't Hoffo taisyklę, kas 10 laipsnių temperatūrai pakilus, cheminės reakcijos greitis padidėja vidutiniškai 2–4 kartus:

v 2 = v 1 × γ (T 2 – T 1)/10,

čia: γ yra temperatūros koeficientas, kurį galima apskaičiuoti pagal formulę:

γ = k T +10 /k T ,

Kur: k T T;

k T+10- reakcijos greitis pastovus esant temperatūrai (T+10).

Eksperimentai

1 eksperimentas: Cinko reakcija su praskiesta sieros rūgštimi.

Jie paėmė kelis tiksliai žinomos masės cinko gabalėlius ir įdėjo į vienodus tūrius skirtingos temperatūros praskiestų sieros rūgšties tirpalų. Išmatavome visiško cinko ištirpimo laiką, kuris vyksta pagal reakciją:

Zn + H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2

Reakcijos greitis buvo skaičiuojamas µmol/s (medžiagos kiekis vienam moliui buvo apskaičiuojamas pagal masę, padalytą iš cinko atominės masės). Rezultatai pateikiami lentelėje ir reakcijos greičio ir temperatūros grafiko pavidalu.

1 lentelė.

Cinko ir praskiestos sieros rūgšties sąveikos greičio priklausomybė nuo sieros rūgšties temperatūros:

2 eksperimentas: INtemperatūros įtaka fermentinės reakcijos greičiui.

Kaip pavyzdinę fermentinę reakciją, mes ėmėme butirilcholino hidrolizės reakciją, kurią katalizuoja fermentas butirilcholinesterazė:

(CH3)3N + -CH2-CH2-O-C(O)-C3H7 + H2O → (CH3)3N-CH2-CH2-OH + HO-C(O)- C3H7

Butirilcholinesterazės molekulės trimatis modelis.

Reakcijai atlikti buvo naudojama imunocheminių tyrimų plokštelė (žr. 1 priedo 1 pav.). Substrato butirilcholino ir fermento butirilcholinesterazės tirpalai buvo paruošti ištirpinant tiksliai pasvertą medžiagos dalį 0,002 mol/l fosfatiniame buferiniame tirpale, kuriame yra rūgšties ir bazės indikatorius bromtimolio mėlynasis, kurio pH = 8. Rodiklis yra mėlyna šarminėje terpėje (pH>7) ir geltona spalva rūgščioje aplinkoje. Kadangi fermentinės hidrolizės reakcijos metu susidaro rūgštis, tirpalo pH sumažėja, o indikatoriaus spalva keičiasi nuo mėlynos iki žalios iki geltonos. Taigi cheminės reakcijos greitį galima įvertinti pagal indikatoriaus spalvos pasikeitimo greitį.

Vykdydami reakciją. Substratas ir fermentų tirpalai buvo atšaldomi arba pašildomi iki norimos temperatūros (5°C, 15°C, 25°C, 35°C), naudojant sniegą ir vandens vonią. Maksimali pasirinkta temperatūra buvo 35 °C, nes fermento cholinesterazės optimali temperatūra yra 37 °C (temperatūra, kurioje fermento aktyvumas yra didžiausias). Tam tikros temperatūros fermento tirpalas buvo įpiltas į plokštelės ląstelę, naudojant 100 μl dozatorių, tada 100 μl substrato tirpalo, o laikas buvo užfiksuotas naudojant chronometrą. Buvo matuojamas laikas nuo reakcijos pradžios (substrato pridėjimo į fermentą momento) iki indikatoriaus spalvos pasikeitimo į geltoną. Kiekvienoje temperatūroje eksperimentas buvo atliktas trimis egzemplioriais, tada buvo apskaičiuotas vidutinis spalvos pasikeitimo laikas.

Indikatoriaus spalvos pasikeitimo laiko priklausomybė nuo tirpalų temperatūros:

Šis reakcijos greičio vertinimo metodas yra katalizinio analizės metodo – fiksuotos koncentracijos metodo – variantas. Tai metodas, kai reakcija vykdoma iki griežtai apibrėžtos (fiksuotos) indikatorinės medžiagos koncentracijos ir matuojamas laikas iki šios koncentracijos. Šioje reakcijoje indikatorinė medžiaga yra sviesto rūgštis, nuo kurios koncentracijos priklauso indikatoriaus spalva. Laikas pasiekti tam tikrą koncentraciją yra reakcijos greičio matas. Grafikas brėžiamas koordinatėmis: laiko, per kurį pasiekiama fiksuota koncentracija, atvirkštinė vertė yra tiriamas parametras (temperatūra).

Indikatoriaus spalvos pasikeitimo greičio priklausomybė nuo temperatūros:

Eksperimentas Nr.3(skaičiavimo problema): Etilo alkoholio dehidratacijos greitis.

Uždavinys: Kiek kartų padidės etilo alkoholio dehidratacijos greitis, kai temperatūra pakils nuo 180 o C iki 200 o C, jei reakcijos temperatūros koeficientas yra trys?

Sprendimas: pagal Vant Hoffo taisyklę v 2 = v 1 × γ (T 2- T 1)/10, taigi

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10, kur γ = 3, T1= 180, T2= 200. Taigi v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9, t.y., temperatūrai pakilus 20 laipsnių, greitis padidės 9 kartus.

Remiantis gautais duomenimis, galima sukonstruoti grafinę etilo alkoholio dehidratacijos greičio priklausomybę nuo temperatūros (kylant temperatūrai kas 10 laipsnių, reakcijos greitis padidėja 3 kartus).

Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros:

Išvados. Išvada

Atliekant tyrimo temą, buvo tiriama eksponentinė funkcija, eksponentinė priklausomybė, kaip ypatingas eksponentinės funkcijos atvejis, taip pat Arrhenius lygtis, apibūdinanti eksponentinę priklausomybę.

Apsvarsčius natūralių procesų, vykstančių pagal eksponentinę priklausomybę, pavyzdžius, buvo atlikta nemažai cheminių eksperimentų ir praktikoje patvirtintas kai kurių cheminių procesų vykimas pagal Arrhenius lygtimi aprašytą eksponentinę priklausomybę.

Manome, kad tyrimo hipotezė „naudojant Arrhenius lygtį gali apibūdinti kai kuriuos cheminius procesus“ pasitvirtino. Taigi, Zn ištirpus sieros rūgštyje skirtingose ​​temperatūrose, cheminės reakcijos greitis keičiasi eksponentiškai. Be to, fermentinės reakcijos greitis žmogaus smegenų neuronuose taip pat kinta priklausomai nuo temperatūros pagal Arrhenius lygtį.

Taigi eksperimentiškai buvo patvirtintas kai kurių cheminių procesų atsiradimas pagal Arrhenius lygtį, aprašytą eksponentine priklausomybe.

Nuorodos:

1. Lavrentjevas M.A., Shabat B.V. Sudėtingo kintamojo funkcijų teorijos metodai. M.: Nauka, 1987. - 688 p.

2. Leensonas I.A. Kodėl taisyklė pasenusi? Enciklopedija vaikams. T. 17. Chemija. - M.: Avanta+, 2000. - 640 p.

3. Leensonas I.A. Kodėl ir kaip vyksta cheminės reakcijos. - M.: MIROS, 1994. - 176 p.

4. Khaplanovas M.G. Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija (trumpas kursas). M.: Išsilavinimas, 1965. - 209 p.

Eksponentinis augimas

Posakis „eksponentinis augimas“ pateko į mūsų žodyną ir reiškia greitą, paprastai nekontroliuojamą augimą. Jis dažnai naudojamas, pavyzdžiui, apibūdinti spartų miestų augimą arba gyventojų skaičiaus didėjimą. Tačiau matematikoje šis terminas turi tikslią reikšmę ir reiškia tam tikrą augimo tipą.

Eksponentinis augimas vyksta tose populiacijose, kuriose populiacijos prieaugis (gimimų skaičius atėmus mirusiųjų skaičių) yra proporcingas populiacijos individų skaičiui. Pavyzdžiui, žmonių populiacijos gimstamumas yra maždaug proporcingas reprodukcinių porų skaičiui, o mirtingumas yra maždaug proporcingas žmonių skaičiui populiacijoje (mes tai vadiname ) . Tada, remiantis pagrįstu apytiksliu,

gyventojų prieaugis = gimimų skaičius – mirusiųjų skaičius

Leisti būti individų, pridėtų prie populiacijos laikui bėgant, skaičius, tada, jei populiacijoje yra iš viso individų, eksponentinio augimo sąlygos bus įvykdytos, jei

Norėdami geriau suprasti, kas yra eksponentinis augimas, įsivaizduokite populiaciją, kurią iš pradžių sudaro viena bakterija. Po tam tikro laiko (po kelių valandų ar minučių) bakterija dalijasi į dvi dalis, todėl populiacijos dydis padvigubėja. Po kito laiko kiekviena iš šių dviejų bakterijų vėl pasiskirstys į dvi dalis, o populiacijos dydis vėl padvigubės – dabar bus keturios bakterijos. Po dešimties tokių padvigubėjimų bakterijų bus daugiau nei tūkstantis, po dvidešimties – daugiau nei milijonas ir t.t. Jei su kiekvienu padalijimu gyventojų skaičius padvigubės, jo augimas tęsis neribotą laiką.

Sklando legenda (greičiausiai netiesa), kad šachmatus išradęs žmogus savo sultonui suteikė tokį malonumą, kad pažadėjo įvykdyti bet kurį jo prašymą. Vyras paprašė sultono įdėti vieną kviečio grūdą ant pirmos šachmatų lentos kvadrato, du ant antrojo, keturis ant trečio ir t.t. Sultonas, laikydamas šį reikalavimą nereikšmingu, palyginti su jo teikiama paslauga, paprašė savo subjekto pateikti kitą prašymą, tačiau jis atsisakė. Natūralu, kad iki 64-ojo padvigubėjimo grūdų skaičius tapo toks, kad visame pasaulyje kviečių neužteks šiam prašymui patenkinti. Man žinomoje legendos versijoje sultonas tuo metu liepė išradėjui nupjauti galvą. Moralas, kaip sakau savo studentams, yra toks: kartais neturėtumėte būti pernelyg protingi!

Šachmatų lentos pavyzdys (taip pat ir įsivaizduojamos bakterijos) rodo, kad jokia populiacija negali augti amžinai. Anksčiau ar vėliau tiesiog pritrūks išteklių – erdvės, energijos, vandens ir bet ko. Todėl populiacijos gali tik kurį laiką augti eksponentiškai, o anksčiau ar vėliau jų augimas turi sulėtėti. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti lygtį taip, kad populiacijos dydžiui priartėjus prie didžiausio įmanomo (kurį gali palaikyti išorinė aplinka), augimo tempas sulėtėtų. Pavadinkime tai maksimaliu populiacijos dydžiu .

Šia lygtimi aprašyta kreivė, kaip ir pati lygtis, turi kelis pavadinimus – S-kreivė, logistinė lygtis, Volteros lygtis, Lotkos-Volteros lygtis. (Vito Volterra, 1860–1940 m. – žymus italų matematikas ir mokytojas; Alfredas Lotka, 1880–1949 m. – amerikiečių matematikas ir draudimo analitikas.) Kad ir kaip tai būtų vadinama, tai gana paprasta populiacijos dydžio išraiška, kuri sparčiai auga ir tada sulėtėja artėjant prie tam tikros ribos. Ir tai daug geriau atspindi realių populiacijų augimą nei įprasta eksponentinė funkcija.

Santykis tarp plėšrūnų ir jų grobio vystosi cikliškai, iliustruodamas neutralią pusiausvyrą.

Kartais paprastas matematinis modelis gerai apibūdina sudėtingą biologinę sistemą. To pavyzdys yra ilgalaikis ryšys tarp plėšrūnų ir grobio rūšių ekosistemoje. Vienos rūšies populiacijos augimo matematiniai skaičiavimai (žr. aukščiau) rodo, kad populiacijos tankio ribas galima apibūdinti paprastomis lygtimis, kurios duoda būdingą S formos kreivę. Tai populiacijos kreivė, kuri eksponentiškai auga, kol ji yra maža, o paskui išsilygina, kai pasiekia ekosistemos gebėjimo ją palaikyti ribas. Paprastas šios sąvokos išplėtimas leidžia suprasti ekosistemą, kurioje sąveikauja dvi rūšys – plėšrūnas ir grobis.

Išsprendus šias lygtis matyti, kad abi populiacijos vystosi cikliškai. Didėjant žolėdžių populiacijai, padidėja plėšrūnų ir grobio susitikimų tikimybė, atitinkamai (po tam tikro laiko vėlavimo) didėja plėšrūnų populiacija. Bet didėjant plėšrūnų populiacijai, mažėja žolėdžių populiacija (taip pat po tam tikro uždelsimo), dėl to mažėja plėšrūnų palikuonių, o dėl to daugėja žolėdžių ir pan. Atrodo, kad šios dvi populiacijos šoka valsą laike – pasikeitus vienai, po jos pasikeičia ir kita.

Jameso Trefilio enciklopedija „Mokslo prigimtis. 200 visatos dėsnių“.
Jamesas Trefilis yra George'o Masono universiteto (JAV) fizikos profesorius, vienas žymiausių Vakarų mokslo populiarinimo knygų autorių.

Eksponentinis augimas

Eksponentinis augimas- kiekio padidėjimas, kai augimo greitis yra proporcingas paties kiekio vertei. Sako, toks augimas paklūsta eksponentinė teisė. Eksponentinis augimas kontrastuojamas su lėtesnėmis (per pakankamai ilgą laikotarpį) linijinėmis, galios ar geometrinėmis priklausomybėmis.

Savybės

Bet koks eksponentiškai didėjantis kiekis, kuo didesnė vertė, tuo greičiau jis auga. Tai taip pat reiškia, kad priklausomo kintamojo dydis ir jo augimo greitis yra tiesiogiai proporcingi. Tačiau tuo pačiu metu, skirtingai nei hiperbolinė kreivė, eksponentinė kreivė niekada nesiekia begalybės per ribotą laikotarpį.

Eksponentinis augimas galiausiai yra greitesnis už bet kokią geometrinę progresiją, už bet kokią galios progresiją ir dar labiau už bet kokį tiesinį augimą.

Matematinis žymėjimas

Eksponentinis augimas apibūdinamas diferencialine lygtimi:

Šios diferencialinės lygties sprendimas yra eksponentinis:

Pavyzdžiai

Eksponentinio augimo pavyzdys būtų bakterijų skaičiaus padidėjimas kolonijoje prieš ribojant išteklius. Kitas eksponentinio augimo pavyzdys yra sudėtinės palūkanos.

Taip pat žr

Nuorodos

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „eksponentinis augimas“ kituose žodynuose: Kiekio padidėjimas (geometrinės progresijos padidėjimas), kuris auga proporcingu jo vertei. Jie sako: toks augimas paklūsta eksponentiniam dėsniui. Tai reiškia, kad bet kokiam eksponentiškai didėjančiam kiekiui...

Verslo terminų žodynas eksponentinis augimas

- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. eksponentinis kylantis vok. Eksponentialanstieg, m rus. eksponentinis augimas, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas EKSPONENTINIS AUGIMAS - augimas palyginti pastoviu tempu...

Botanikos terminų žodynas

Kokybės gerinimo procesas laikui bėgant. Savybės gali būti ir fizinės (pavyzdžiui, ūgio augimas), ir abstrakčios (pavyzdžiui, žmogaus brendimas, sistemos plėtimasis): Ląstelių augimas arba dauginimasis Populiacijos augimas Augimas ... ... Vikipedija AUKŠTIS - reiškia besivystančio organizmo dydžio padidėjimą. Tipiniais atvejais R. siejamas su svorio padidėjimu, bet mes ne kiekvieną kūno svorio padidėjimą įvardijame kaip R. (pavyzdžiui, riebalų nusėdimas, kai kurių gyvūnų reprodukcinių produktų kaupimasis, ... ...

Didžioji medicinos enciklopedija

Eksponentinis augimas matematikoje yra eksponentinis kiekio padidėjimas (geometrinės progresijos padidėjimas), kuris auga proporcingu jo vertei. Jie sako, kad toks augimas paklūsta eksponentiniam dėsniui. Tai... ... Vikipedija - [iš algoritmo!; algorismus, iš pradžių lat. vardo transliteraciją plg. Azijos. IX amžiaus mokslininkas Khorezmi (Muhammad bin Musa al Khorezmi)], programa, kuri nustato elgesio (skaičiavimo) metodą; taisyklių (receptų) sistema veiksmingai... ...

Filosofinė enciklopedija Judesiai arba procesai, kurių pakartojamumo lygis bėgant laikui skiriasi. K. būdingi visiems gamtos reiškiniams: žvaigždžių spinduliavimas pulsuoja, o jose vyksta cikliniai įvykiai. aš. reakcijos; Planetos sukasi dideliu periodiškumu...

Fizinė enciklopedija Algoritmo, leidžiančio pagal bet kurią Diofanto lygtį atpažinti, ar ji turi sprendimą, suradimo problema. Keliant problemą esminis dalykas yra reikalavimas rasti universalų metodą, kuris tiktų bet kuriai lygčiai (visi žinomi... ...

Loginė perceptrono grandinė su trimis išėjimais Perceptron arba perceptron (anglų k. perceptron iš ... Wikipedia

Knygos

• Didieji pasaulio ežerai, V.A. Rumjancevas, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. Eksponentinis gyventojų skaičiaus augimas ir vėlesnis pramonės bei žemės ūkio augimas lemia ne tik katastrofišką gėlo vandens atsargų trūkumą, bet ir jų blogėjimą...