Jei dviejų tiesių susikirtimo vietoje trečioji. Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

1. Pirmasis paralelizmo požymis.

Jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, vidiniai kampai, esantys skersai, yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios.

Tegul tieses AB ir CD kerta tiesė EF ir ∠1 = ∠2. Paimkime tašką O – sekanto EF atkarpos KL vidurį (pav.).

Nuleiskime statmeną OM iš taško O ant tiesės AB ir tęskime tol, kol susikirs su tiese CD, AB ⊥ MN. Įrodykime, kad CD ⊥ MN.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite du trikampius: MOE ir NOK. Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam. Išties: ∠1 = ∠2 pagal teoremą; ОK = ОL - pagal konstrukciją;

∠MOL = ∠NOK, kaip ir vertikalūs kampai. Taigi vieno trikampio kraštinis ir du gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem gretiems kampams; todėl ΔMOL = ΔNOK, taigi ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO yra tiesus, o tai reiškia, kad ∠KNO taip pat yra tiesus. Taigi tiesės AB ir CD yra statmenos tai pačiai tiesei MN, todėl lygiagrečios, ką ir reikėjo įrodyti.

Pastaba. Tiesių MO ir CD sankirta gali būti nustatyta pasukus trikampį MOL aplink tašką O 180°.

2. Antrasis paralelizmo požymis.

Pažiūrėkime, ar tiesės AB ir CD lygiagrečios, jei joms susikertant su trečiąja tiese EF atitinkami kampai yra lygūs.

Tegul kai kurie atitinkami kampai yra lygūs, pavyzdžiui, ∠ 3 = ∠2 (pav.);

∠3 = ∠1, kaip vertikalūs kampai; tai reiškia, kad ∠2 bus lygus ∠1. Tačiau kampai 2 ir 1 yra susikertantys vidiniai kampai, ir mes jau žinome, kad jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, susikertantys vidiniai kampai yra lygūs, tai šios linijos yra lygiagrečios. Todėl AB || CD.

Jei, kai dvi tiesės kerta trečią, atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Šia savybe pagrįsta lygiagrečių linijų konstravimas naudojant liniuotę ir piešimo trikampį. Tai daroma taip.

Trikampį pritvirtinkime prie liniuotės, kaip parodyta pav. Trikampį perkelsime taip, kad viena jo kraštinė slystų liniuote, o išilgai kitos trikampio kraštinės nubrėžsime kelias tiesias linijas. Šios linijos bus lygiagrečios.

3. Trečiasis paralelizmo požymis.

Žinokime, kad kai dvi tiesės AB ir CD susikerta su trečiąja tiese, bet kurių vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d(arba 180°). Ar tiesės AB ir CD šiuo atveju bus lygiagrečios (pav.).

Tegul ∠1 ir ∠2 yra vidiniai vienpusiai kampai ir pridedame iki 2 d.

Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kaip gretimi kampai. Todėl ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Taigi ∠1 = ∠3, ir šie vidiniai kampai yra kryžminiai. Todėl AB || CD.

Jei dvi tiesės susikerta su trečiąja, vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d (arba 180°), tada šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Lygiagrečių linijų ženklai:

1. Jei dviem tiesėms susikertant su trečiąja, vidiniai kampai, esantys skersai, yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios.

2. Jei dviem tiesėms susikertant su trečiąja, atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

3. Jei dvi tieses kerta trečdalį, vidinių vienpusių kampų suma yra 180°, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

4. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios viena kitai.

5. Jei dvi tiesės yra statmenos trečiajai tiesei, tai jos yra lygiagrečios viena kitai.

Euklido paralelizmo aksioma

Užduotis. Per tašką M, paimtą už tiesės AB, nubrėžkite tiesę, lygiagrečią tiesei AB.

Naudojant įrodytas teoremas apie tiesių lygiagretumo ženklus, šią problemą galima išspręsti įvairiais būdais,

Sprendimas. 1 žingsnis (199 brėžinys).

Nubrėžiame MN⊥AB ir per tašką M nubrėžiame CD⊥MN;

gauname CD⊥MN ir AB⊥MN.

Remdamiesi teorema („Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai tiesei, tai jos lygiagrečios.“) darome išvadą, kad CD || AB.

2-as metodas (200 brėžinys).

Nubrėžiame MK, kertančią AB bet kuriuo kampu α, o per tašką M nubrėžiame tiesę EF, sudarydami kampą EMK su tiese MK, lygiu kampui α. Remdamiesi teorema (), darome išvadą, kad EF || AB.

Išsprendę šią problemą, galime laikyti įrodytu, kad per bet kurį tašką M, paimtą už tiesės AB, galima nubrėžti jam lygiagrečią tiesę. Kyla klausimas: kiek gali egzistuoti tiesių, lygiagrečių nurodytai tiesei ir einančių per nurodytą tašką?

Konstravimo praktika leidžia daryti prielaidą, kad tokia tiesi yra tik viena, nes kruopščiai atlikus brėžinį per tą patį tašką, lygiagrečią tai pačiai tiesei, skirtingais būdais nubrėžtos tiesės susilieja.

Teoriškai atsakymą į užduotą klausimą duoda vadinamoji Euklido paralelizmo aksioma; jis suformuluotas taip:

Per tašką, paimtą už nurodytos linijos, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią šiai linijai.

201 brėžinyje per tašką O nubrėžta tiesė SC, lygiagreti tiesei AB.

Bet kuri kita tiesė, einanti per tašką O, nebebus lygiagreti tiesei AB, o ją susikirs.

Euklido savo elementuose priimta aksioma, teigianti, kad plokštumoje per tašką, paimtą už tam tikros tiesės, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią šiai tiesei, vadinama Euklido paralelizmo aksioma.

Praėjus daugiau nei dviem tūkstančiams metų po Euklido, daugelis matematikų bandė įrodyti šį matematinį teiginį, tačiau jų bandymai visada buvo nesėkmingi. Tik 1826 m. didysis rusų mokslininkas, Kazanės universiteto profesorius Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis įrodė, kad naudojant visas kitas Euklido aksiomas, šis matematinis teiginys negali būti įrodytas, kad jį tikrai reikia priimti kaip aksiomą. N.I. Lobačevskis sukūrė naują geometriją, kuri, priešingai nei Euklido geometrija, vadinama Lobačiovskio geometrija.

Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Aplinkoje matome lygiagrečių linijų segmentus – tai dvi stačiakampio stalo briaunos, dvi knygos viršelio briaunos, dvi troleibuso juostos ir t.t.. Lygiagrečios linijos vaidina labai svarbų vaidmenį geometrijoje. Šiame skyriuje sužinosite apie tai, kas yra geometrijos aksiomos ir kas yra lygiagrečių tiesių aksioma, viena žinomiausių geometrijos aksiomų.

1 dalyje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.

Apibrėžimas

Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.

98 paveiksle pavaizduotos tiesės a ir b, statmenos tiesei c. 12 punkte nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, ty yra lygiagrečios.

Ryžiai. 98

Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai, jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), bet atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių lygiagretumas (99 pav., c).

Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

Tiesi linija su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jei kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesėms a ir b susikertant su skersine c, susidaro aštuoni kampai, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:

skersiniai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.

Ryžiai. 100

Panagrinėkime tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.

Teorema

Įrodymas

Tegul susikertančios tiesės a ir b, kertančios kampus AB, yra lygios: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).

Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra statūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB ir todėl lygiagrečios.

Ryžiai. 101

Panagrinėkime atvejį, kai 1 ir 2 kampai nėra teisingi.

Iš atkarpos AB vidurio O brėžiame statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B nubrėžsime atkarpą ВН 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžsime atkarpą OH 1. Trikampiai OHA ir OH 1 B yra lygūs abiejose pusėse ir kampas tarp jų (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 išplaukia, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra tiesus kampas). Taigi, tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi jos yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegu atitinkami kampai lygūs, kai tiesės a ir b susikerta su skersine c, pvz., ∠1 =∠2 (102 pav.).

Ryžiai. 102

Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b susikirtimas su skersine c susumuoja vienpusius kampus, lygius 180°, pavyzdžiui, ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).

Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Praktiniai lygiagrečių linijų konstravimo būdai

Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų konstravimo metodas naudojant skersinį. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.

Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai trinkelėmis (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.) pažymimos lygiagrečios linijos.

Ryžiai. 105

Užduotys

186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b, jei:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.

Ryžiai. 106

187. Remdamiesi 107 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad AB || D.E.

Ryžiai. 107

188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame vidurio taške. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || A.D.

Ryžiai. 108

190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AC.

Ryžiai. 109

191. Atkarpa BK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, taške M kertanti kraštinę BC taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.

192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius yra lygiagretus tiesei AB.

193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Per viršūnę B nubrėžta tiesė BD taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.

195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.

atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7;

vidiniai skersiniai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;

išoriniai skersiniai kampai: 1 ir 7, 2 ir 8;

vidiniai vienpusiai kampai: 3 ir 6, 4 ir 5;

išoriniai vienpusiai kampai: 1 ir 8, 2 ir 7.

Taigi, ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 8 = ∠ 6, bet pagal tai, kas buvo įrodyta, ∠ 4 = ∠ 6.

Todėl ∠ 2 = ∠ 8.

3. Atitinkami kampai 2 ir 6 yra vienodi, nes ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 4 = ∠ 6. Taip pat įsitikinkime, kad kiti atitinkami kampai yra lygūs.

4. Suma vidiniai vienpusiai kampai 3 ir 6 bus 2d, nes suma gretimų kampų 3 ir 4 yra lygūs 2d = 180 0, o ∠ 4 galima pakeisti identišku ∠ 6. Taip pat įsitikiname, kad kampų suma 4 ir 5 yra lygūs 2d.

5. Suma išoriniai vienpusiai kampai bus 2d, nes šie kampai yra atitinkamai lygūs vidiniai vienpusiai kampai kaip kampai vertikaliai.

Iš aukščiau pateikto įrodyto pagrindimo gauname konversinės teoremos.

Kai dviejų linijų sankirtoje su savavališka trečiąja eilute gauname, kad:

1. Vidiniai skersiniai kampai yra vienodi;

arba 2. Išoriniai skersiniai kampai yra identiški;

arba 3. Atitinkami kampai yra lygūs;

arba 4. Vidinių vienpusių kampų suma lygi 2d = 180 0;

arba 5. Išorinių vienpusių suma lygi 2d = 180 0 ,

tada pirmosios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Aplinkoje matome lygiagrečių linijų segmentus – tai dvi stačiakampio stalo briaunos, dvi knygos viršelio briaunos, dvi troleibuso juostos ir t.t.. Lygiagrečios linijos vaidina labai svarbų vaidmenį geometrijoje. Šiame skyriuje sužinosite apie tai, kas yra geometrijos aksiomos ir kas yra lygiagrečių tiesių aksioma, viena žinomiausių geometrijos aksiomų.

1 dalyje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.

Apibrėžimas

Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.

98 paveiksle pavaizduotos tiesės a ir b, statmenos tiesei c. 12 punkte nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, ty yra lygiagrečios.

Ryžiai. 98

Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai, jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), bet atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių lygiagretumas (99 pav., c).

Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

Tiesi linija su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jei kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesėms a ir b susikertant su skersine c, susidaro aštuoni kampai, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:

skersiniai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.

Ryžiai. 100

Panagrinėkime tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.

Teorema

Įrodymas

Tegul susikertančios tiesės a ir b, kertančios kampus AB, yra lygios: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).

Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra statūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB ir todėl lygiagrečios.

Ryžiai. 101

Panagrinėkime atvejį, kai 1 ir 2 kampai nėra teisingi.

Iš atkarpos AB vidurio O brėžiame statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B nubrėžsime atkarpą ВН 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžsime atkarpą OH 1. Trikampiai OHA ir OH 1 B yra lygūs abiejose pusėse ir kampas tarp jų (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 išplaukia, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra tiesus kampas). Taigi, tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi jos yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegu atitinkami kampai lygūs, kai tiesės a ir b susikerta su skersine c, pvz., ∠1 =∠2 (102 pav.).

Ryžiai. 102

Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b susikirtimas su skersine c susumuoja vienpusius kampus, lygius 180°, pavyzdžiui, ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).

Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Praktiniai lygiagrečių linijų konstravimo būdai

Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų konstravimo metodas naudojant skersinį. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.

Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai trinkelėmis (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.) pažymimos lygiagrečios linijos.

Ryžiai. 105

Užduotys

186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b, jei:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.

Ryžiai. 106

187. Remdamiesi 107 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad AB || D.E.

Ryžiai. 107

188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame vidurio taške. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || A.D.

Ryžiai. 108

190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AC.

Ryžiai. 109

191. Atkarpa BK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, taške M kertanti kraštinę BC taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.

192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius yra lygiagretus tiesei AB.

193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Per viršūnę B nubrėžta tiesė BD taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.

195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.

Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

1 teorema. Jei, kai dvi tiesės susikerta su sekantu:

sukryžiuoti kampai yra lygūs arba

atitinkami kampai yra lygūs arba

vienpusių kampų suma yra 180°, tada

linijos lygiagrečios(1 pav.).

Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.

Tegul susikertančios tiesės a ir b yra skersinės, o kampai AB lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.

Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir todėl vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumui ∠ 4 yra trikampio ABM išorinis kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš teoremos apie išorinį trikampio kampą išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, o tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.

1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).

komentuoti. Tai, kaip ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes argumento pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikia įrodyti. Jis vadinamas vedimu į absurdą dėl to, kad, samprotaudami remiantis padaryta prielaida, prieiname prie absurdiškos išvados (prie absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.

1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.

Sprendimas. Per tašką M brėžiame tiesę p, statmeną tiesei a (3 pav.).

Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.

Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotajai.

Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.

Lygiagrečių tiesių aksioma. Per duotą tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotajai.

Panagrinėkime kai kurias lygiagrečių tiesių savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.

1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą (4 pav.).

2) Jei dvi skirtingos tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).

Ši teorema taip pat teisinga.

2 teorema. Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, tai:

skersiniai kampai yra lygūs;

atitinkami kampai yra lygūs;

vienpusių kampų suma yra 180°.

2 išvada. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, ji taip pat yra statmena ir kitai(žr. 2 pav.).

komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, tai yra, jei duotoji teorema yra tiesa, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.

Paaiškinkime tai naudodami vertikalių kampų teoremos pavyzdį. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai nebūtinai turi būti vertikalūs.

1 pavyzdys. Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite šiuos kampus.

Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.