Linijinio tolygiai pagreitinto judėjimo formulė. Vektoriaus pridėjimo taisyklė

Mums svarbiausia mokėti apskaičiuoti kūno poslinkį, nes, žinodami poslinkį, galime rasti ir kūno koordinates, o tai yra pagrindinė mechanikos užduotis. Kaip apskaičiuoti poslinkį vienodai pagreitinto judėjimo metu?

Lengviausias būdas gauti poslinkio nustatymo formulę yra naudoti grafinį metodą.

9 dalyje matėme, kad esant tiesiam tolygiam judėjimui, kūno poslinkis yra skaitiniu būdu lygus figūros (stačiakampio), esančios po greičio grafiku, plotui. Ar tai tiesa tolygiai pagreitintam judėjimui?

Vienodai pagreitintam kūno judėjimui, vykstančiam išilgai koordinačių ašies X, greitis laikui bėgant nekinta pastovus, o kinta laikui bėgant pagal formules:

Todėl greičio grafikai turi tokią formą, kaip parodyta 40 paveiksle. 1 eilutė šiame paveiksle atitinka judėjimą su „teigiamu“ pagreičiu (greitis didėja), 2 linija – judėjimą su „neigiamu“ pagreičiu (greitis mažėja). Abu grafikai nurodo atvejį, kai tuo momentu kūnas turėjo greitį

Tolygiai pagreitinto judėjimo greičio grafike parinksime mažą atkarpą (41 pav.) ir nukrisime nuo taškų a ir statmenų ašiai greitis pasikeitė nuo reikšmės taške a iki reikšmės taške Žemiau atkarpos grafika pasirodė esanti siaura juostelė

Jei laiko tarpas, skaitiniu požiūriu lygus atkarpai, yra pakankamai mažas, tai per šį laiką greičio pokytis taip pat yra mažas. Judėjimas per šį laikotarpį gali būti laikomas vienodu, o tada juostelė mažai skirsis nuo stačiakampio. Todėl juostelės plotas skaitiniu požiūriu yra lygus kūno poslinkiui per segmentą atitinkantį laiką

Tačiau visą figūros plotą, esantį po greičio grafiku, galima suskirstyti į tokias siauras juosteles. Vadinasi, poslinkis per visą laiką yra lygus trapecijos plotui. Trapecijos plotas, kaip žinoma iš geometrijos, yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sandaugai. Mūsų atveju vieno iš trapecijos pagrindų ilgis yra lygus kito ilgiui - V. Jo aukštis yra skaitiniu požiūriu lygus poslinkiui:

Tada šioje formulėje pakeiskime išraišką (1a).

Padalinę skaitiklį iš vardiklio termino iš termino, gauname:

Pakeitę (16) išraišką į formulę (2), gauname (žr. 42 pav.):

Formulė (2a) naudojama tuo atveju, kai pagreičio vektorius nukreiptas taip pat, kaip ir koordinačių ašis, o formulė (26), kai pagreičio vektoriaus kryptis yra priešinga šios ašies krypčiai.

Jei pradinis greitis lygus nuliui (43 pav.) ir pagreičio vektorius nukreiptas išilgai koordinačių ašies, tai iš (2a) formulės išplaukia, kad

Jei pagreičio vektoriaus kryptis yra priešinga koordinačių ašies krypčiai, tai iš (26) formulės išplaukia, kad

("-" ženklas čia reiškia, kad poslinkio vektorius, kaip ir pagreičio vektorius, yra nukreipti priešingai pasirinktai koordinačių ašiai).

Prisiminkime, kad (2a) ir (26) formulėse dydžiai ir gali būti teigiami ir neigiami – tai vektorių ir

Dabar, kai gavome poslinkio skaičiavimo formules, nesunku gauti kūno koordinačių skaičiavimo formulę. Matėme (žr. § 8), kad norėdami rasti kūno koordinatę tam tikru momentu, prie pradinės koordinatės turime pridėti kūno poslinkio vektoriaus projekciją į koordinačių ašį:

(Už), jei pagreičio vektorius nukreiptas taip pat, kaip ir koordinačių ašis, ir

jeigu pagreičio vektoriaus kryptis priešinga koordinačių ašies krypčiai.

Tai yra formulės, leidžiančios nustatyti kūno padėtį bet kuriuo laiko momentu, atliekant tiesinį tolygiai pagreitintą judėjimą. Norėdami tai padaryti, turite žinoti pradinę kūno koordinates, jo pradinį greitį ir pagreitį a.

Uždavinys 1. 72 km/h greičiu važiavusio automobilio vairuotojas pamatė raudoną šviesoforo signalą ir nuspaudė stabdį. Po to automobilis pradėjo sulėtinti greitį, važiuodamas pagreičiu

Kiek toli automobilis nuvažiuos per sekundes po stabdymo pradžios? Kiek toli automobilis nuvažiuos prieš visiškai sustodamas?

Sprendimas. Koordinačių pradžiai pasirenkame tašką kelyje, kuriame automobilis pradėjo sulėtinti greitį. Koordinačių ašį nukreipsime automobilio judėjimo kryptimi (44 pav.), o laiko skaičiavimo pradžią kreipsimės į momentą, kai vairuotojas paspaudė stabdį. Automobilio greitis yra ta pačia kryptimi kaip ir X ašis, o automobilio pagreitis yra priešingas tos ašies krypčiai. Todėl greičio projekcija į X ašį yra teigiama, o pagreičio projekcija yra neigiama, o automobilio koordinatę reikia rasti naudojant (36) formulę:

Vertybių pakeitimas šia formule

Dabar išsiaiškinkime, kiek toli automobilis nuvažiuos, kol visiškai sustos. Norėdami tai padaryti, turime žinoti kelionės laiką. Tai galima sužinoti naudojant formulę

Kadangi tuo momentu, kai automobilis sustoja, jo greitis lygus nuliui, tada

Atstumas, kurį automobilis nuvažiuos prieš visiškai sustodamas, yra lygus automobilio koordinatėms laiko momentu

2 užduotis. Nustatykite kūno, kurio greičio grafikas parodytas 45 paveiksle, poslinkį. Kūno pagreitis lygus a.

Sprendimas. Kadangi iš pradžių kūno greičio modulis laikui bėgant mažėja, pagreičio vektorius nukreipiamas priešingai krypčiai. Norėdami apskaičiuoti poslinkį, galime naudoti formulę

Iš grafiko matyti, kad judėjimo laikas yra toks:

Gautas atsakymas rodo, kad 45 paveiksle parodytas grafikas atitinka kūno judėjimą iš pradžių viena kryptimi, o paskui tuo pačiu atstumu priešinga kryptimi, dėl ko kūnas atsiduria pradiniame taške. Toks grafikas galėtų, pavyzdžiui, būti susijęs su vertikaliai aukštyn išmesto kūno judėjimu.

3 uždavinys. Kūnas juda tiesia linija, tolygiai pagreitinta pagreičiu a. Raskite kūno nuvažiuotų atstumų skirtumą per du iš eilės vienodus laiko tarpus t.y.

Sprendimas. Paimkime tiesę, kuria kūnas juda kaip X ašį. Jei taške A (46 pav.) kūno greitis buvo lygus, tai jo poslinkis per laiką lygus:

Taške B kūnas turėjo greitį, o jo poslinkis per kitą laikotarpį yra lygus:

2. 47 paveiksle pavaizduoti trijų kūnų judėjimo greičio grafikai? Koks yra šių kūnų judėjimo pobūdis? Ką galima pasakyti apie kūnų judėjimo greičius laiko momentais, atitinkančiais taškus A ir B? Nustatykite šių kūnų pagreičius ir parašykite judėjimo lygtis (greičio ir poslinkio formules).

3. Naudodami trijų kūnų greičių grafikus, parodytus 48 paveiksle, atlikite šias užduotis: a) Nustatykite šių kūnų pagreičius; b) atsigriebti

kiekvieno kūno greičio priklausomybės nuo laiko formulė: c) kuo panašūs ir skirtingi 2 ir 3 grafikus atitinkantys judesiai?

4. 49 paveiksle pavaizduoti trijų kūnų judėjimo greičio grafikai. Naudodamiesi šiais grafikais: a) nustatykite, ką koordinačių ašyse atitinka atkarpos OA, OB ir OS; 6) raskite pagreičius, kuriais juda kūnai: c) parašykite kiekvieno kūno judėjimo lygtis.

5. Kildamas lėktuvas kilimo ir tūpimo taką įveikia per 15 sekundžių ir tuo momentu, kai kyla nuo žemės, jo greitis yra 100 m/sek. Kokiu greičiu judėjo lėktuvas ir koks buvo kilimo ir tūpimo tako ilgis?

6. Automobilis sustojo prie šviesoforo. Užsidegus žaliam signalui, jis pradeda judėti su pagreičiu ir juda tol, kol jo greitis tampa lygus 16 m/sek., po to toliau juda pastoviu greičiu. Kokiu atstumu nuo šviesoforo automobilis bus 15 sekundžių po to, kai pasirodys žalias signalas?

7. Sviedinys, kurio greitis yra 1000 m/sek, prasiskverbia pro iškaso sienelę ir po to 200 m/sek. Darant prielaidą, kad sviedinio judėjimas sienos storyje yra tolygiai pagreitintas, suraskite sienos storį.

8. Raketa juda su pagreičiu ir tam tikru momentu pasiekia 900 m/sek greitį. Kokiu keliu ji eis toliau?

9. Kokiu atstumu nuo Žemės erdvėlaivis būtų po 30 minučių po paleidimo, jei jis nuolat judėtų tiesia linija su pagreičiu?

Vienodas judėjimas– tai judėjimas pastoviu greičiu, tai yra, kai greitis nekinta (v = const) ir nevyksta pagreitis arba lėtėjimas (a = 0).

Tiesios linijos judėjimas- tai judėjimas tiesia linija, tai yra, tiesinio judėjimo trajektorija yra tiesi linija.

- tai judėjimas, kai kūnas atlieka vienodus judesius per bet kokį vienodą laiko tarpą. Pavyzdžiui, jei tam tikrą laiko intervalą padalinsime į vienos sekundės intervalus, tada vienodu judesiu kūnas judės tuo pačiu atstumu kiekvienam iš šių laiko intervalų.

Tolygaus tiesinio judėjimo greitis nepriklauso nuo laiko ir kiekviename trajektorijos taške yra nukreiptas taip pat, kaip ir kūno judėjimas. Tai yra, poslinkio vektorius sutampa su greičio vektoriumi. Šiuo atveju vidutinis greitis bet kuriuo laikotarpiu yra lygus momentiniam greičiui:

Vienodo tiesinio judėjimo greitis yra fizikinis vektorinis dydis, lygus kūno judėjimo per bet kurį laiką santykiui su šio intervalo t reikšme:

V(vektorius) = s(vektorius) / t

Taigi tolygaus tiesinio judėjimo greitis parodo, kiek judesių per laiko vienetą atlieka materialus taškas.

Judėjimas su vienodu linijiniu judesiu nustatoma pagal formulę:

s(vektorius) = V(vektorius) t

Nuvažiuotas atstumas tiesiniu judesiu yra lygus poslinkio moduliui. Jei teigiama OX ašies kryptis sutampa su judėjimo kryptimi, tada greičio projekcija į OX ašį yra lygi greičio dydžiui ir yra teigiama:

v x = v, tai yra v > 0

Poslinkio projekcija į OX ašį yra lygi:

s = vt = x – x 0

kur x 0 yra pradinė kūno koordinatė, x yra galutinė kūno koordinatė (arba kūno koordinatė bet kuriuo metu)

Judėjimo lygtis, tai yra, kūno koordinačių priklausomybė nuo laiko x = x(t), yra tokia:

Jei teigiama OX ašies kryptis yra priešinga kūno judėjimo krypčiai, tai kūno greičio projekcija į OX ašį yra neigiama, greitis mažesnis už nulį (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

4. Vienodai kintamasis judesys.

Vienodas linijinis judėjimas– Tai ypatingas netolygaus judėjimo atvejis.

Netolygus judėjimas- tai judėjimas, kurio metu kūnas (materialus taškas) atlieka nevienodus judesius per vienodą laiką. Pavyzdžiui, miesto autobusas juda netolygiai, nes jo judėjimą daugiausia sudaro pagreitis ir lėtėjimas.

Vienodai kintamieji judesiai- tai judėjimas, kurio metu kūno (materialaus taško) greitis kinta vienodai per bet kokį vienodą laiko tarpą.

Kūno pagreitis vienodai judant išlieka pastovus pagal dydį ir kryptį (a = const).

Vienodas judėjimas gali būti tolygiai pagreitintas arba tolygiai sulėtinas.

Tolygiai pagreitintas judesys- tai kūno (materialaus taško) judėjimas su teigiamu pagreičiu, tai yra, tokiu judesiu kūnas greitėja nuolatiniu pagreičiu. Esant tolygiai pagreitėjusiam judėjimui, kūno greičio modulis laikui bėgant didėja, o pagreičio kryptis sutampa su judėjimo greičio kryptimi.

Vienodas sulėtintas judesys- tai kūno (materialaus taško) judėjimas su neigiamu pagreičiu, tai yra, tokiu judesiu kūnas tolygiai sulėtėja. Esant vienodai lėtam judėjimui, greičio ir pagreičio vektoriai yra priešingi, o greičio modulis laikui bėgant mažėja.

Mechanikoje bet koks tiesus judėjimas yra pagreitintas, todėl lėtas judėjimas nuo pagreitinto skiriasi tik pagreičio vektoriaus projekcijos į pasirinktą koordinačių sistemos ašį ženklu.

Vidutinis kintamasis greitis nustatomas kūno judėjimą padalijus iš laiko, per kurį šis judėjimas buvo atliktas. Vidutinio greičio vienetas yra m/s.

Momentinis greitis yra kūno (medžiagos taško) greitis tam tikru laiko momentu arba tam tikrame trajektorijos taške, ty riba, iki kurios linksta vidutinis greitis be galo mažėjant laiko intervalui Δt:

V=lim(^t-0) ^s/^t

Momentinio greičio vektorius tolygiai kintamą judesį galima rasti kaip pirmąją poslinkio vektoriaus išvestinę laiko atžvilgiu:

V(vektorius) = s'(vektorius)

Greičio vektoriaus projekcija ant OX ašies:

tai koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu (panašiai gaunamos greičio vektoriaus projekcijos į kitas koordinačių ašis).

Pagreitis yra dydis, nustatantis kūno greičio kitimo greitį, ty ribą, iki kurios greičio pokytis linksta be galo mažėjant per laikotarpį Δt:

a(vektorius) = lim(t-0) ^v(vektorius)/^t

Tolygiai kintančio judėjimo pagreičio vektorius galima rasti kaip pirmąją greičio vektoriaus išvestinę laiko atžvilgiu arba kaip antrąją poslinkio vektoriaus išvestinę laiko atžvilgiu:

a(vektorius) = v(vektorius)" = s(vektorius)"

Atsižvelgiant į tai, kad 0 yra kūno greitis pradiniu laiko momentu (pradinis greitis), yra kūno greitis tam tikru laiko momentu (galutinis greitis), t yra laiko tarpas, per kurį įvyko greičio pokytis , pagreičio formulė bus taip:

a(vektorius) = v(vektorius)-v0(vektorius)/t

Iš čia vienodos greičio formulė bet kuriuo metu:

v(vektorius) = v 0 (vektorius) + a(vektorius)t

Jei kūnas juda tiesia linija išilgai tiesinės Dekarto koordinačių sistemos OX ašies, kurios kryptis sutampa su kūno trajektorija, tada greičio vektoriaus projekcija į šią ašį nustatoma pagal formulę:

v x = v 0x ± a x t

„-“ (minuso) ženklas prieš pagreičio vektoriaus projekciją reiškia vienodai lėtą judėjimą. Greičio vektoriaus projekcijų į kitas koordinačių ašis lygtys parašytos panašiai.

Kadangi tolygiai judant pagreitis yra pastovus (a = const), pagreičio grafikas yra lygiagreti 0t ašiai (laiko ašis, 1.15 pav.).

Ryžiai. 1.15. Kūno pagreičio priklausomybė nuo laiko.

Greičio priklausomybė nuo laiko yra tiesinė funkcija, kurios grafikas yra tiesė (1.16 pav.).

Ryžiai. 1.16. Kūno greičio priklausomybė nuo laiko.

Greičio ir laiko grafikas(1.16 pav.) rodo, kad

Šiuo atveju poslinkis yra skaitiniu būdu lygus figūros 0abc plotui (1.16 pav.).

Trapecijos plotas lygus pusės jos pagrindų ilgių ir aukščio sandaugai. Trapecijos 0abc pagrindai yra lygūs:

Trapecijos aukštis t. Taigi trapecijos plotas, taigi ir poslinkio projekcija į OX ašį, yra lygi:

Esant tolygiai lėtam judėjimui, pagreičio projekcija yra neigiama, o poslinkio projekcijos formulėje prieš pagreitį dedamas ženklas „–“ (minusas).

Bendra poslinkio projekcijos nustatymo formulė:

Kūno greičio ir laiko grafikas esant įvairiems pagreičiams parodytas Fig. 1.17. Poslinkio ir laiko grafikas, kai v0 = 0, parodyta Fig. 1.18.

Ryžiai. 1.17. Kūno greičio priklausomybė nuo laiko esant skirtingoms pagreičio reikšmėms.

Ryžiai. 1.18. Kūno judėjimo priklausomybė nuo laiko.

Kūno greitis tam tikru laiku t 1 yra lygus polinkio kampo tarp grafiko liestinės ir laiko ašies liestinei v = tg α, o poslinkis nustatomas pagal formulę:

Jei kūno judėjimo laikas nežinomas, galite naudoti kitą poslinkio formulę, išspręsdami dviejų lygčių sistemą:

Sutrumpinto kvadratinio skirtumo daugybos formulė padės mums išvesti poslinkio projekcijos formulę:

Kadangi kūno koordinatę bet kuriuo laiko momentu lemia pradinės koordinatės ir poslinkio projekcijos suma, tada kūno judėjimo lygtis atrodys taip:

Koordinatės x(t) grafikas taip pat yra parabolė (kaip ir poslinkio grafikas), tačiau parabolės viršūnė bendruoju atveju nesutampa su koordinačių pradžia. Kai x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Trajektorija(iš vėlyvųjų lotynų trajektorijų – susijusi su judėjimu) yra linija, kuria juda kūnas (medžiaginis taškas). Judėjimo trajektorija gali būti tiesi (kūnas juda viena kryptimi) ir lenktas, tai yra, mechaninis judėjimas gali būti tiesus ir kreivinis.

Tiesios linijos trajektorijašioje koordinačių sistemoje tai tiesi linija. Pavyzdžiui, galime manyti, kad automobilio trajektorija lygiame kelyje be posūkių yra tiesi.

Kreivinis judėjimas yra kūnų judėjimas apskritimu, elipse, parabole arba hiperbole. Kreivinio judėjimo pavyzdys yra taško judėjimas ant važiuojančio automobilio vairo arba automobilio judėjimas posūkyje.

Judėjimas gali būti sunkus. Pavyzdžiui, kūno trajektorija jo kelionės pradžioje gali būti tiesi, vėliau išlenkta. Pavyzdžiui, kelionės pradžioje automobilis juda tiesiu keliu, o tada kelias pradeda „vėti“ ir automobilis pradeda judėti lenkta kryptimi.

Kelias

Kelias yra trajektorijos ilgis. Kelias yra skaliarinis dydis ir matuojamas metrais (m) SI sistemoje. Kelio skaičiavimas atliekamas daugelyje fizikos uždavinių. Kai kurie pavyzdžiai bus aptarti vėliau šioje mokymo programoje.

Perkelti vektorių

Perkelti vektorių(arba tiesiog juda) yra nukreipta tiesi atkarpa, jungianti pradinę kūno padėtį su vėlesne padėtimi (1.1 pav.). Poslinkis yra vektorinis dydis. Poslinkio vektorius nukreipiamas iš judėjimo pradžios taško į pabaigos tašką.

Judėjimo vektoriaus modulis(tai yra atkarpos, jungiančios judėjimo pradžios ir pabaigos taškus, ilgis) gali būti lygus nuvažiuotam atstumui arba mažesnis už nuvažiuotą atstumą. Tačiau poslinkio vektoriaus dydis niekada negali būti didesnis už nuvažiuotą atstumą.

Poslinkio vektoriaus dydis lygus nuvažiuotam atstumui, kai kelias sutampa su trajektorija (žr. skyrius ir ), pavyzdžiui, jei automobilis iš taško A į tašką B juda tiesiu keliu. Poslinkio vektoriaus dydis yra mažesnis už nuvažiuotą atstumą, kai materialus taškas juda lenktu keliu (1.1 pav.).

Ryžiai. 1.1. Poslinkio vektorius ir nuvažiuotas atstumas.

Fig. 1.1:

Kitas pavyzdys. Jei automobilis vieną kartą važiuoja ratu, paaiškėja, kad taškas, kuriame prasideda judėjimas, sutaps su tašku, kuriame judėjimas baigiasi, tada poslinkio vektorius bus lygus nuliui, o nuvažiuotas atstumas bus lygus apskritimo ilgis. Taigi kelias ir judėjimas yra dvi skirtingos sąvokos.

Vektoriaus pridėjimo taisyklė

Poslinkio vektoriai sumuojami geometriškai pagal vektorių sudėjimo taisyklę (trikampio taisyklę arba lygiagretainio taisyklę, žr. 1.2 pav.).

Ryžiai. 1.2. Poslinkio vektorių pridėjimas.

1.2 paveiksle parodytos vektorių S1 ir S2 pridėjimo taisyklės:

a) Sudėjimas pagal trikampio taisyklę
b) Sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę

Judėjimo vektorių projekcijos

Sprendžiant fizikos uždavinius, dažnai naudojamos poslinkio vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Poslinkio vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis gali būti išreikštos jo pabaigos ir pradžios koordinačių skirtumais. Pavyzdžiui, jei materialus taškas juda iš taško A į tašką B, tai poslinkio vektorius (žr. 1.3 pav.).

OX ašį pasirinkime taip, kad vektorius būtų toje pačioje plokštumoje su šia ašimi. Nuleiskime statmenis iš taškų A ir B (nuo poslinkio vektoriaus pradžios ir pabaigos taškų), kol jie susikirs su OX ašimi. Taigi taškų A ir B projekcijas į X ašį pažymėkime atitinkamai kaip A x ir B x. Atkarpos A x B x ilgis OX ašyje yra poslinkio vektoriaus projekcija OX ašyje, tai yra

S x = A x B x

SVARBU!
Nelabai išmanantiems matematikos primenu: nepainiokite vektoriaus su vektoriaus projekcija į bet kurią ašį (pavyzdžiui, S x). Vektorius visada žymimas raide arba keliomis raidėmis, virš kurių yra rodyklė. Kai kuriuose elektroniniuose dokumentuose rodyklė nededama, nes tai gali sukelti sunkumų kuriant elektroninį dokumentą. Tokiais atvejais vadovaukitės straipsnio turiniu, kur šalia raidės gali būti parašytas žodis „vektorius“ arba kaip nors kitaip jums nurodoma, kad tai vektorius, o ne tik atkarpa.

Ryžiai. 1.3. Poslinkio vektoriaus projekcija.

Poslinkio vektoriaus projekcija į OX ašį yra lygi skirtumui tarp vektoriaus pabaigos ir pradžios koordinačių, tai yra

S x = x – x 0

Poslinkio vektoriaus projekcijos ant OY ir OZ ašių nustatomos ir užrašomos panašiai:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Čia x 0 , y 0 , z 0 yra pradinės koordinatės, arba kūno (materialaus taško) pradinės padėties koordinatės; x, y, z – galutinės koordinatės arba tolesnės kūno padėties (materialaus taško) koordinatės.

Poslinkio vektoriaus projekcija laikoma teigiama, jei vektoriaus kryptis ir koordinačių ašies kryptis sutampa (kaip 1.3 pav.). Jei vektoriaus kryptis ir koordinačių ašies kryptis nesutampa (priešinga), tai vektoriaus projekcija yra neigiama (1.4 pav.).

Jei poslinkio vektorius yra lygiagretus ašiai, tai jo projekcijos modulis yra lygus paties Vektoriaus moduliui. Jei poslinkio vektorius yra statmenas ašiai, tai jo projekcijos modulis lygus nuliui (1.4 pav.).

Ryžiai. 1.4. Judėjimo vektorių projekcijos moduliai.

Skirtumas tarp vėlesnių ir pradinių tam tikro dydžio verčių vadinamas šio kiekio pokyčiu. Tai yra, poslinkio vektoriaus projekcija į koordinačių ašį yra lygi atitinkamos koordinatės pokyčiui. Pavyzdžiui, tuo atveju, kai kūnas juda statmenai X ašiai (1.4 pav.), paaiškėja, kad kūnas NEJUDA X ašies atžvilgiu. Tai yra, kūno judėjimas išilgai X ašies yra lygus nuliui.

Panagrinėkime kūno judėjimo plokštumoje pavyzdį. Pradinė kūno padėtis yra taškas A, kurio koordinatės x 0 ir y 0, tai yra A(x 0, y 0). Galutinė kūno padėtis yra taškas B su koordinatėmis x ir y, tai yra B(x, y). Raskime kūno poslinkio modulį.

Iš taškų A ir B nuleidžiame statmenis į koordinačių ašis OX ir OY (1.5 pav.).

Ryžiai. 1.5. Kūno judėjimas plokštumoje.

Nustatykime poslinkio vektoriaus projekcijas ant OX ir OY ašių:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

Fig. 1.5 aišku, kad trikampis ABC yra stačiakampis. Iš to išplaukia, kad sprendžiant problemą galima naudoti Pitagoro teorema, su kuriuo galite rasti poslinkio vektoriaus modulį, nes

AC = s x CB = s y

Pagal Pitagoro teoremą

S 2 = S x 2 + S y 2

Kur galima rasti poslinkio vektoriaus modulį, tai yra kūno kelio nuo taško A iki taško B ilgį:

Ir pabaigai siūlau įtvirtinti žinias ir savo nuožiūra paskaičiuoti kelis pavyzdžius. Norėdami tai padaryti, įveskite keletą skaičių į koordinačių laukelius ir spustelėkite mygtuką APSKAIČIUOTI. Jūsų naršyklė turi palaikyti JavaScript scenarijų vykdymą, o scenarijaus vykdymas turi būti įjungtas naršyklės nustatymuose, kitaip skaičiavimas nebus atliktas. Realiuose skaičiuose sveikosios ir trupmeninės dalys turi būti atskirtos tašku, pavyzdžiui, 10,5.

Kaip, žinant stabdymo kelią, nustatyti pradinį automobilio greitį ir kaip, žinant judėjimo charakteristikas, tokias kaip pradinis greitis, pagreitis, laikas, nustatyti automobilio judėjimą? Atsakymus gausime susipažinę su šios dienos pamokos tema: „Judėjimas judant tolygiai greitėjant, koordinačių priklausomybė nuo laiko tolygiai pagreitintam judėjimui“

Esant tolygiai pagreitėjusiam judėjimui, grafikas atrodo kaip tiesi linija, einanti aukštyn, nes jos pagreičio projekcija yra didesnė už nulį.

Esant vienodam tiesiam judesiui, plotas skaitine prasme bus lygus kūno judėjimo projekcijos moduliui. Pasirodo, šis faktas gali būti apibendrintas ne tik tolygaus judėjimo atveju, bet ir bet kokiam judėjimui, tai yra, galima parodyti, kad plotas po grafiku yra skaitiniu būdu lygus poslinkio projekcijos moduliui. Tai daroma griežtai matematiškai, tačiau naudosime grafinį metodą.

Ryžiai. 2. Tolygiai pagreitinto judėjimo greičio ir laiko grafikas ()

Tolygiai pagreitinto judėjimo greičio ir laiko projekcijos grafiką padalinkime į mažus laiko intervalus Δt. Tarkime, kad jie yra tokie maži, kad greitis per jų ilgį praktiškai nepasikeitė, tai yra, tiesinės priklausomybės grafiką paveiksle sąlyginai paversime kopėčiomis. Kiekviename žingsnyje tikime, kad greitis praktiškai nepasikeitė. Įsivaizduokime, kad laiko intervalus Δt padarysime be galo mažus. Matematikoje sakoma: pereiname prie ribos. Tokiu atveju tokių kopėčių plotas neribotą laiką glaudžiai sutaps su trapecijos plotu, kurį riboja grafikas V x (t). Tai reiškia, kad tolygiai pagreitinto judėjimo atveju galime pasakyti, kad poslinkio projekcijos modulis yra skaitiniu būdu lygus plotui, kurį riboja grafikas V x (t): abscisių ir ordinačių ašys bei statmenas, nuleistas į abscisę, kad yra trapecijos OABC plotas, kurį matome 2 paveiksle.

Problema iš fizinės virsta matematine problema – trapecijos ploto paieška. Tai yra standartinė situacija, kai fizikai sukuria modelį, aprašantį tą ar kitą reiškinį, o tada įsijungia matematika, praturtindama šį modelį lygtimis, dėsniais – tuo, kas modelį paverčia teorija.

Randame trapecijos plotą: trapecija yra stačiakampė, kadangi kampas tarp ašių yra 90 0, trapeciją padalijame į dvi figūras - stačiakampį ir trikampį. Akivaizdu, kad bendras plotas bus lygus šių figūrų plotų sumai (3 pav.). Raskime jų plotus: stačiakampio plotas lygus kraštinių sandaugai, tai yra V 0x t, stačiojo trikampio plotas bus lygus pusei kojų sandaugos - 1/2AD BD, pakeisdami projekcijų reikšmes, gauname: 1/2t (V x - V 0x) ir, prisimindami greičio kitimo laikui bėgant vienodai pagreitinto judėjimo dėsnį: V x (t) = V 0x + a x t, visiškai akivaizdu, kad greičio projekcijų skirtumas lygus pagreičio projekcijos a x sandaugai pagal laiką t, tai yra, V x - V 0x = a x t.

Ryžiai. 3. Trapecijos ploto nustatymas ( Šaltinis)

Atsižvelgdami į tai, kad trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus poslinkio projekcijos moduliui, gauname:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

Gavome poslinkio projekcijos priklausomybės nuo laiko dėsnį tolygiai pagreitinto judėjimo metu vektorine forma, jis atrodys taip:

(t) = t + t 2/2

Išveskime kitą poslinkio projekcijos formulę, kuri neįtrauks laiko kaip kintamojo. Išspręskime lygčių sistemą, pašalindami iš jos laiką:

S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2

V x (t) = V 0 x + a x t

Įsivaizduokime, kad laikas mums nežinomas, tada laiką išreikšime iš antrosios lygties:

t = V x - V 0x / a x

Pakeiskime gautą reikšmę į pirmąją lygtį:

Paimkime šią sudėtingą išraišką, paverskime ją kvadratu ir pateiksime panašias:

Gavome labai patogią judėjimo projekcijos išraišką tuo atveju, kai nežinome judėjimo laiko.

Tegul mūsų pradinis automobilio greitis, kai prasidėjo stabdymas, bus V 0 = 72 km/h, galutinis greitis V = 0, pagreitis a = 4 m/s 2 . Išsiaiškinkite stabdymo kelio ilgį. Konvertuodami kilometrus į metrus ir pakeitę formulės reikšmes, nustatome, kad stabdymo kelias bus:

S x = 0–400 (m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m

Išanalizuokime šią formulę:

S x = (V 0 x + V x) / 2 t

Poslinkio projekcija yra pradinio ir galutinio greičio projekcijų pusė, padauginta iš judėjimo laiko. Prisiminkime vidutinio greičio poslinkio formulę

S x = V av · t

Esant tolygiai pagreitėjusiam judėjimui, vidutinis greitis bus:

V av = (V 0 + V k) / 2

Mes priartėjome prie pagrindinės tolygiai pagreitinto judėjimo mechanikos problemos sprendimo, tai yra, gavome dėsnį, pagal kurį koordinatė kinta laikui bėgant:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2

Norėdami išmokti naudotis šiuo įstatymu, išanalizuokime tipinę problemą.

Automobilis, judėdamas iš ramybės, įgyja 2 m/s 2 pagreitį. Raskite automobilio nuvažiuotą atstumą per 3 sekundes ir per trečią sekundę.

Duota: V 0 x = 0

Užrašykime dėsnį, pagal kurį poslinkis kinta laikui bėgant

tolygiai pagreitintas judėjimas: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s< Δt 2 < 3.

Į pirmąjį problemos klausimą galime atsakyti įjungę duomenis:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) – tai nuvažiuotas kelias

c automobilį per 3 sekundes.

Sužinokime, kiek toli jis nukeliavo per 2 sekundes:

S x (2 s) = a x t 2 / 2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Taigi, jūs ir aš žinome, kad per dvi sekundes automobilis nuvažiavo 4 metrus.

Dabar, žinodami šiuos du atstumus, galime rasti kelią, kurį jis nuėjo trečią sekundę:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Vadovėliuose ir mokymo priemonėse (pavyzdžiui) formulė išvesta tiesia linija vienodai pagreitinto judėjimo (RUM) projekcijai naudojant konkretų greičio grafiko pavyzdį, kai pradinio greičio projekcija. v x> 0 ir pagreitis a x> 0, o X ašies kryptis sutampa su judėjimo kryptimi. Šiuo atveju poslinkio projekcijos dydis laikomas lygiu trapecijos plotui. Tačiau neatsižvelgiama į tai, kad, pavyzdžiui, kada v x> 0 ir a x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.

Formulės, gautos poslinkio projekcijai PRUD metu, nėra transformuojamos į vektorinę formą. Matyt, autoriai supranta, kad tai lems formules, kurios galioja bet kokiai (nebūtinai tiesiajai) traukos svirties. Poslinkio formulės išvedimo susiejimas su varikliu lemia tai, kad analizuojant variklį, kurio pradinis greitis nėra kolinijinis su pagreičiu, kiekvieną kartą reikia išskaidyti judesį į vienodą ir tiesinį tolygiai pagreitintą (pvz. analizuojant kūno kreivinį judėjimą, veikiant gravitacijai, kreivinį krūvio judėjimą vienalyčiame elektriniame lauke).

Straipsnis parengtas remiant Rodnye Berega gyvenamųjų namų kompleksą. Jei nuspręsite įsigyti kokybišką ir patikimą butą, geriausias sprendimas yra apsilankyti „Rodnye Bereg“ gyvenamojo komplekso svetainėje. Paspaudę nuorodą: „gyvenamasis kompleksas Sankt Peterburge“ galite, nepalikdami monitoriaus ekrano, išsirinkti savo svajonių butą už palankią kainą. Išsamesnę informaciją apie kainas ir šiuo metu galiojančias akcijas rasite svetainėje www.berega.spb.ru.

Norėdami to išvengti, siūlome išvesti vektorinę formulę, kuri galioja judėjimui esant bet kokiam (ne tik tiesiam) droseliui. Leiskite kūnui atlikti tolygiai pagreitintą judesį pradiniu greičiu υ 0 ir pagreitis a . Galima laikyti, kad šis judėjimas susideda iš vienodo judėjimo su greičiu υ 0 ir tolygiai pagreitintas judėjimas pradiniu greičiu υ 0 = 0 ir pagreitis a .

Judėjimas s su vienodu judesiu laikui bėgant t lygus υ 0 t. Judėjimas droselio valdikliu su nuliniu pradiniu greičiu akivaizdžiai gali priklausyti tik nuo pagreičio a ir laikas t, t.y. yra tam tikra funkcija f( a,t). Todėl šių dviejų judesių sumai galime parašyti:

s = υ 0 t + f( a,t). (1)

Per tą laiką t kūnas pasieks greitį υ = υ 0 + a t.

Norėdami apibrėžti funkciją f( a,t), tarkime, kad judėjimas užfiksuotas filme ir rodomas atvirkštine tvarka. Šiuo atveju kūno vaizdas tą patį laiką t ir tuo pačiu pagreičiu a padarys žingsnį s arr = – s su pradiniu greičiu υ arr = – υ = –(υ 0 + a t).