Puankarės hipotezė ir visatos kilmė. Kokia Puankarės teoremos esmė?

Žiulis Henri Puankarė (1854-1912) vadovavo Paryžiaus mokslų akademijai ir buvo išrinktas į 30 šalių mokslo akademijas. Jis turėjo Leonardo mastą: jo interesai apėmė fiziką, mechaniką, astronomiją, filosofiją. Viso pasaulio matematikai vis dar teigia, kad tik du žmonės istorijoje iš tikrųjų žinojo šį mokslą: vokietis Davidas Gilbertas (1862–1943) ir Puankarė.

Topologijos įkūrėjas

Matematikos genijus Puankarė įspūdingas mokslo šakų skaičiumi, kur jis sukūrė įvairių procesų ir reiškinių teorinius pagrindus. Tuo metu, kai mokslininkai darė proveržius į naujus kosmoso pasaulius ir į atomo gelmes, buvo neįmanoma apsieiti be vienintelio pagrindo bendrai visatos teorijai. Tokiu pagrindu tapo iki tol nežinomos matematikos šakos.

Poincaré ieškojo naujo žvilgsnio į dangaus mechaniką, jis sukūrė kokybinę diferencialinių lygčių teoriją ir automorfinių funkcijų teoriją. Mokslininko tyrimai tapo specialiosios Einšteino reliatyvumo teorijos pagrindu. Puankarės grįžimo teorema, be kita ko, teigė, kad globalių objektų ar reiškinių savybes galima suprasti tiriant juos sudarančias daleles ir elementus. Tai davė galingą impulsą moksliniams fizikos, chemijos, astronomijos ir kt.

Geometrija yra matematikos šaka, kurioje Poincaré tapo pripažintu novatoriumi ir pasaulio lyderiu. Lobačevskio teorijai, atvėrusiai naujas dimensijas ir erdves, vis tiek reikėjo aiškaus ir logiško modelio, o Puankarė suteikė didžiojo rusų mokslininko idėjoms taikomąjį pobūdį.

Neeuklido geometrijos raida buvo topologijos – matematikos šakos, vadinamos išdėstymo geometrija, atsiradimas. Ji tiria erdvinius taškų, tiesių, plokštumų, kūnų ir kt. neatsižvelgiant į jų metrines savybes. Puankarės teorema, tapusi sunkiausių mokslo problemų simboliu, iškilo būtent topologijos gelmėse.

Vienas iš septynių tūkstantmečio iššūkių

Pačioje XXI amžiaus pradžioje vienas iš Amerikos universiteto Kembridžo padalinių – verslininko Landono T. Clay įkurtas matematikos institutas – paskelbė Tūkstantmečio premijos problemų sąrašą. Jame buvo septyni klasikinių mokslinių problemų taškai, už kurių kiekvieno sprendimą buvo įsteigtas milijono dolerių prizas:

P ir NP klasių lygybė (dėl uždavinio sprendimo algoritmų ir jų teisingumo patikrinimo metodų atitikimo).
. Hodžo hipotezė (apie objektų ryšį ir jų panašumą, sudaryta jų tyrimui iš tam tikras savybes turinčių „plytų“).
. Poincaré spėjimas (kiekvienas tiesiog sujungtas kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis trimačiai sferai).
. Riemano hipotezė (apie pirminių skaičių išdėstymo modelį).
. Yang-Mills teorija (lygybės iš elementariųjų dalelių lauko, apibūdinančios įvairius sąveikos tipus).
. Navier-Stokes lygčių sprendinių egzistavimas ir sklandumas (apibūdinkite oro ir skysčio srautų turbulenciją).
. Birch-Swinnerton-Dyer spėjimas (apie lygtis, apibūdinančias elipsines kreives).

Kiekviena iš šių problemų turėjo labai ilgą istoriją, jų sprendimo paieškos lėmė visiškai naujų mokslo krypčių atsiradimą, tačiau vienintelių teisingų atsakymų į pateiktus klausimus nepavyko rasti. Supratę žmonės sakė, kad Molio fondo pinigai buvo saugūs, tačiau tai buvo tiesa tik iki 2002 metų – atsirado tas, kuris įrodė Puankaro teoremą. Tiesa, pinigų jis nepaėmė.

Klasikinė formulė

Hipotezė, kuriai randamas patvirtinimas, tampa teorema su teisingu įrodymu. Būtent taip atsitiko su Poincaré pasiūlymu apie trimačių sferų savybes. Bendresne forma šis postulatas kalbėjo apie bet kurio n dimensijos ir n dimensijos sferos homeomorfizmą kaip būtiną jų homotopijos lygiavertiškumo sąlygą. Dabar žinoma Puankaro teorema taikoma tuo atveju, kai n=3. Būtent trimatėje erdvėje matematikų laukė sunkumai kitiems atvejams, įrodymai buvo rasti greičiau.

Norint bent šiek tiek suprasti Puankarės teoremos prasmę, negalima apsieiti be susipažinimo su pagrindinėmis topologijos sąvokomis.

Homeomorfizmas

Topologija, kalbėdama apie homeomorfizmą, apibrėžia jį kaip vienas su vienu atitikimą tarp vienos ir kitos figūros taškų, tam tikra prasme – neatskiriamumą. Puankarės teorema yra sunki nepasiruošusiems. Manekenams galime pateikti populiariausią homeomorfinių figūrų pavyzdį – rutulys ir kubas irgi yra homeomorfiniai, bet ne puodelis ir kubas. Figūros yra homeomorfinės, jei vieną figūrą galima gauti savavališkai deformuojant iš kitos, o šią transformaciją riboja tam tikros figūros paviršiaus savybės: jos negalima suplėšyti, perverti ar išpjauti.

Jei pripučiate kubą, jis gali lengvai tapti kamuoliuku, jei paspausite kamuolį priešingais judesiais, galite gauti kubą. Skylė spurgoje ir skylė, suformuota iš rankenos puodelyje, daro juos homeomorfiškus, todėl puodelio neįmanoma paversti kamuoliuku ar kubu.

Ryšys

Skylė yra svarbi sąvoka, apibrėžianti objekto savybes, tačiau kategorija visiškai nėra matematinė. Buvo pristatyta ryšio sąvoka. Jis yra daugelyje topologinių postulatų, įskaitant Poincaré teoremą. Paprastais žodžiais galima pasakyti taip: jei rutulio paviršius bus apvyniotas gumos kilpa, jis susitrauks ir nuslys. Taip neatsitiks, jei yra skylė, pavyzdžiui, spurgos toras, per kurią galite perverti šią juostelę. Tokiu būdu nustatomas pagrindinis objektų panašumo ar skirtumo ženklas.

Kolektorius

Jei objektas ar erdvė yra suskirstyti į daug sudedamųjų dalių – tašką supančias apylinkes – tada jų bendruomenė vadinama įvairove. Būtent tokia sąvoka yra Puankarės teoremoje. Kompaktiškumas reiškia baigtinį elementų skaičių. Kiekviena atskira kaimynystė paklūsta tradicinės – euklido – geometrijos dėsniams, tačiau kartu jie sudaro kažką sudėtingesnio.

Tinkamiausia šių kategorijų analogija yra žemės paviršius. Jo paviršiaus vaizdą vaizduoja atskirų sričių žemėlapiai, surinkti atlase. Žemės rutulyje šie vaizdai įgauna rutulio pavidalą, kuris Visatos erdvės atžvilgiu virsta tašku.

3D sfera

Pagal apibrėžimą sfera yra taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo centro – tam tikro fiksuoto taško, rinkinys. Vienmatė sfera yra dvimatėje erdvėje apskritimo pavidalu plokštumoje. Dvimatė sfera yra rutulio paviršius, jo "pluta" yra taškų rinkinys trimatėje erdvėje ir atitinkamai trimatis rutulys - Puankarės teoremos esmė - yra keturių dimensijų paviršius. kamuolys. Labai sunku įsivaizduoti tokį objektą, bet, sakoma, mes esame tokio geometrinio kūno viduje.

Matematikai taip pat pateikia tokį trimatės sferos apibūdinimą: tarkime, kad į mūsų įprastą erdvę, kuri laikoma neribota ir apibrėžta trimis koordinatėmis (X, Y, Z), taškas (begalybėje) pridedamas taip, kad jūs visada gali į jį patekti judėdamas bet kuria kryptimi tiesia linija, t.y. bet kuri tiesi linija šioje erdvėje tampa apskritimu. Jie sako, kad yra žmonių, kurie gali tai įsivaizduoti ir ramiai naršyti tokiame pasaulyje.

Jiems trimatis toras yra įprastas dalykas. Tokį objektą galima gauti du kartus pakartojant dviejų veidų, esančių priešinguose (pavyzdžiui, dešinėje ir kairėje, viršuje ir apačioje) kubo paviršiuose, derinį į vieną tašką. Norėdami pabandyti įsivaizduoti trimatį torą iš mums įprastų pozicijų, turėtume atlikti absoliučiai nerealų eksperimentą: turime pasirinkti viena kitai statmenas kryptis – aukštyn, kairėn ir pirmyn – ir pradėti judėti bet kuria iš jų tiesia linija. Po tam tikro (ribinio) laiko iš priešingos krypties grįšime į pradinį tašką.

Toks geometrinis kūnas yra labai svarbus, jei norite suprasti, kas yra Puankarės teorema. Perelmano įrodymas susiveda į tai, kad trimatėje erdvėje pateisinamas tik vienas tiesiog sujungtas kompaktiškas kolektorius – 3 sferos, kitos, kaip ir 3-torusas, nėra tiesiog sujungtos.

Ilgas kelias į tiesą

Praėjo daugiau nei pusė amžiaus, kol atsirado Puankarės teoremos sprendimas didesniems nei 3 matmenims. Stephenas Smailas (g. 1930 m.), Johnas Robertas Stallingsas (1935–2008 m.), Ericas Christopheris Zimanas (g. 1925 m.) rado sprendinį, kai n lygus 5, 6 ir lygus arba didesnis už 7. Michaelas tik 1982 m. Friedmanas (g. 1951 m.) buvo apdovanotas aukščiausiu matematikos apdovanojimu – Fieldso medaliu – už Puankarės teoremos įrodymą sudėtingesniam atvejui: kai n=4.

2006 metais šis apdovanojimas – Fieldso medalis – įteiktas rusų matematikui iš Sankt Peterburgo. Grigorijus Jakovlevičius Perelmanas įrodė Puankarės teoremą trimačiam kolektyvui ir trimačiai sferai. Jis atsisakė gauti apdovanojimą.

Eilinis genijus

Grigorijus Jakovlevičius gimė birželio 13 d. Leningrade, protingoje šeimoje. Mano tėvas, elektros inžinierius, 90-ųjų pradžioje išvyko nuolat gyventi į Izraelį, o mama dėstė matematiką profesinėje mokykloje. Be meilės gerai muzikai, ji įskiepijo sūnui aistrą spręsti problemas ir galvosūkius. 9 klasėje Grigorijus perėjo į fizikos ir matematikos mokyklą Nr.239, bet nuo 5 klasės lankė matematikos centrą Pionierių rūmuose. Pergalės visos Sąjungos ir tarptautinėse olimpiadose leido Perelmanui įstoti į Leningrado universitetą be egzaminų.

Daugelis ekspertų, ypač rusų, pažymi, kad Grigorijų Jakovlevičius buvo paruoštas precedento neturinčiam pakilimui Leningrado geometrų mokyklos aukštojoje klasėje, kurią jis baigė Leningrado valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakultete ir matematikos magistrantūros mokykloje. institutas. V.A. Steklova. Tapęs mokslų kandidatu, pradėjo ten dirbti.

Sunkūs 90-ųjų laikai privertė jauną mokslininką išvykti dirbti į JAV. Tuomet jį pažinojusieji pažymėjo jo asketiškumą kasdieniame gyvenime, aistrą darbui, puikų pasirengimą ir aukštą erudiciją, o tai tapo raktu į tai, kad Perelmanas įrodė Puankarės teoremą. 1996 m. grįžęs į Sankt Peterburgą jis atidžiai ėmėsi šios problemos, tačiau apie tai pradėjo galvoti dar JAV.

Teisinga kryptis

Grigorijus Jakovlevičius pažymi, kad jį visada žavėjo sudėtingos problemos, tokios kaip Puankarės teorema. Perelmanas ėmė ieškoti įrodymų ta linkme, kurią nuvedė pokalbis su Kolumbijos universiteto profesoriumi Richardu Hamiltonu (g. 1943 m.). Viešnagės JAV metu jis specialiai keliavo iš kito miesto dalyvauti šio nepaprasto mokslininko paskaitose. Perelmanas pažymi puikų, draugišką profesoriaus požiūrį į jauną matematiką iš Rusijos. Savo pokalbyje Hamiltonas paminėjo Ricci srautus – diferencialinių lygčių sistemą – kaip būdą išspręsti geometrizavimo teoremas.

Vėliau Perelmanas bandė susisiekti su Hamiltonu, kad aptartų užduoties eigą, tačiau atsakymo negavo. Ilgą laiką grįžęs namo Grigorijus Jakovlevičius praleido vienas su sunkiausia problema, kuri buvo Puankarės teorema. Perelmano įrodymas yra didžiulių pastangų ir savęs neigimo rezultatas.

Hamiltonas atsidūrė aklavietėje, kai pamatė, kad transformuojant kreives, veikiant Ricci srautams, susidaro vienaskaitos (virstančios į begalybę) zonos, kurių Puankarė teorema nenumatė. Paprastais žodžiais tariant, Perelmanui pavyko neutralizuoti tokių zonų susidarymą, o įvairovė sėkmingai virto sfera.

Ricci teka

Paprasčiausiai prijungtas 3 dimensijos kolektorius yra aprūpintas geometrija, o metriniai elementai su atstumu ir kampais. Tai lengviau suprasti vienmačiuose kolektoriuose. Sklandžiai uždara kreivė Euklido plokštumoje kiekviename taške turi vienetinio ilgio liestinės vektorių. Eidamas kreive vektorius sukasi tam tikru kampiniu greičiu, kuris ir nulemia kreivumą. Ten, kur linija labiau išlenkta, kreivumas didesnis. Kreivumas yra teigiamas, jei greičio vektorius pasukamas link plokštumos, kurią dalija mūsų linija, vidinės pusės, ir neigiamas, jei jis pasuktas į išorę. Infleksijos vietose kreivumas yra 0.

Dabar kiekvienam kreivės taškui priskiriamas vektorius, statmenas kampinio greičio vektoriui, o ilgis lygus kreivės dydžiui. Jo kryptis yra į vidų, jei kreivė yra teigiama, ir į išorę, jei ji yra neigiama. Kiekvieną tašką priverčiame judėti atitinkamo vektoriaus nustatyta kryptimi ir greičiu. Dėl šios raidos uždara kreivė, nubrėžta bet kurioje plokštumos vietoje, virsta apskritimu. Tai pasakytina apie 3 dimensiją, kurią reikėjo įrodyti.

Nėra pranašo...

Jis įkopė į savo Everestą, nes Puankarės teoremą pripažįsta matematikai. Perelmanas paskelbė įrodymą internete trijų nedidelių straipsnių pavidalu. Jie iš karto sukėlė ažiotažą, nors rusų matematikas nenuėjo laukto kelio – publikacijos specializuotame žurnale, lydimos profesionalių atsiliepimų. Grigorijus Jakovlevičius mėnesį praleido JAV universitetuose aiškindamas savo atradimo esmę, tačiau tų, kurie visiškai suprato jo mintis, daugėjo labai lėtai.

Tik po ketverių metų pasirodė didžiausių autoritetų išvada: rusų matematiko įrodymai buvo teisingi, pirmoji iš tūkstantmečio problemų buvo išspręsta.

Socialinių tinklų amžius

Jam teko iškęsti ažiotažą ir nemandagumą socialiniuose tinkluose, tų, kuriuos gerbė, tylą ir kitų, mokančių jį apie gyvenimą, verksmus. Energingi kinai pirmiausia įvertino savo indėlį sprendžiant problemą 25%, skaičiuodami 80% sau ir kitiems! Tada atrodė, kad pasaulio pripažinimas atėjo, bet ne visi gali tai atlaikyti.

Noriu tikėti, kad jis išgyveno, o jo gyvenime – troškimų ir galimybių harmonija.

Henri Poincaré yra vienas garsiausių visų laikų prancūzų mokslininkų. Per savo gyvenimą jam pavyko daug pasiekti. Be daugybės atradimų įvairiose žinių srityse, jis daug metų dėstė Sorbonoje ir buvo Prancūzijos mokslų akademijos narys, o nuo 1906 m. iki mirties 1912 m. buvo jos prezidentas.

Šiuolaikiniame pasaulyje garsiausiu jo pasiekimu laikomas Puankarės teorema, kurią įrodė Grigorijus Perelmanas.

Bandymai įrodyti

Daugelis mokslininkų daugelį metų nagrinėjo teoremą, tačiau tik nedaugelis pasiekė sėkmės. Vieną pagrindinių proveržių padarė amerikiečių mokslininkas Thurstonas. Jo darbo esmė ta, kad jis sugebėjo vaizdžiai iliustruoti trimatės plokštumos elementų įvairovę. Thurstono darbas buvo vadinamas geometrizavimo hipoteze, ir už tai jis buvo apdovanotas Fieldso medaliu.

Keletas Kinijos mokslininkų taip pat domėjosi, kaip įrodyta Puankarės teorema. Tarp jų išsiskiria Shin Tun Yau, kuris netgi pareiškė, kad jam ir jo mokiniams tai pavyko.

Perelmano darbas

Grigorijus Perelmanas įrodė Puankarės teoremą po daugelio metų sunkaus darbo. Savo tyrimus jis pradėjo būdamas Amerikoje, kur ilgą laiką skaitė paskaitas įvairiuose universitetuose. Po pažinties su amerikiečių mokslininku Hamiltonu, kuris padėjo jam išsiaiškinti kai kuriuos dalykus, jis pradėjo galvoti apie teoremos įrodymą. Po kurio laiko jis nusprendė grįžti į gimtąjį Sankt Peterburgą, kur uoliai kibo į darbus.

2002 m. Perelmanas paskelbė pirmąją savo darbo dalį ir nusiuntė jos kopiją Shin Tun Yau, kad šis galėtų objektyviai įvertinti. Jau tada mokslo pasaulis sužinojo, kad Puankarės teorema buvo įrodyta. Per keletą mėnesių Perelmanas paskelbė dar dvi straipsnio dalis, kuriose jo darbas buvo pristatytas labai trumpai.

Mokslo pasaulyje įprasta, kad prieš oficialiai pareiškiant apie atradimą, jį turi patvirtinti keli skirtingi mokslininkai ir tik tada darbas gali būti oficialiai paskelbtas. Prieš paskelbiant įrodymą, Poincaré-Perelman teorema buvo daug kartų išbandyta, o darbą dar labiau apsunkino tai, kad joje buvo daug santrumpų ir mažai paaiškinimų tokiam rimtam darbui.

Nepaisant to, po kurio laiko buvo pripažinta, kad Perelmanui pavyko išspręsti problemą, su kuria kovojo daugybė mokslininkų kartų.

Fieldso medalis

Ši premija tik kartą per ketverius metus įteikiama ne daugiau kaip keturiems mokslininkams, reikšmingai prisidėjusiems prie matematikos studijų. Perelmanas taip pat buvo apdovanotas 2006 metais už įrodymą, tačiau, kaip bebūtų keista, tokio garbės apdovanojimo atsisakė ir įteikime nedalyvavo. Pasak paties mokslininko, garbės vardai jam nėra svarbūs, jį nudžiugino tai, kad hipotezė pasitvirtino.

Puankarės teorema buvo mįslė daugeliui mokslininkų, tačiau ekscentriškajam rusų matematikui pavyko rasti jos sprendimą ir rasti atsakymus į klausimus, kurie jau seniai nerimavo visam mokslo pasauliui.

N. Četverikovos nuotr. Paskutiniu dideliu grynosios matematikos pasiekimu vadinamas Sankt Peterburgo gyventojo Grigorijaus Perelmano 2002–2003 m. Puankarės spėlionės, pateiktos 1904 m., įrodymas: „kiekvienas sujungtas, tiesiog sujungtas, kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis sferai S 3.

Šioje frazėje yra keletas terminų, kuriuos pabandysiu paaiškinti, kad bendra jų reikšmė būtų aiški ir ne matematikams (manau, kad skaitytojas baigė vidurinę mokyklą ir vis dar prisimena dalį savo mokyklinės matematikos).

Pradėkime nuo homeomorfizmo sampratos, kuri yra topologijos pagrindas. Apskritai topologija dažnai apibrėžiama kaip „guminė geometrija“, t. y. kaip mokslas apie geometrinių vaizdų savybes, kurios nesikeičia sklandžiomis deformacijomis be lūžių ir klijavimo, o tiksliau, jei įmanoma nustatyti vienodą. -vienas ir nenutrūkstamas dviejų objektų atitikimas.

Pagrindinę idėją lengviausia paaiškinti klasikiniu puodelio ir spurgos pavyzdžiu. Pirmąjį galima paversti antruoju dėl nuolatinės deformacijos: šie skaičiai aiškiai rodo, kad puodelis yra homeomorfinis spurgai, ir tai galioja tiek jų paviršiams (dvimačiai kolektoriams, vadinamiems toru), tiek užpildytiems kūnams (trys). -matmenų kolektoriai su briauna).

Pateiksime likusių terminų, kurie atsiranda formuluojant hipotezę, interpretaciją.

1. Trimatis kolektorius be briaunos. Tai geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai apima, pirma, visą trimatę erdvę, pažymėtą R 3 , taip pat bet kokius atvirus taškų rinkinius R 3 , pavyzdžiui, kietojo toro (spurgos) vidų. Jei laikysime uždarą pilną torą, t. y. pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tada gausime kolektorių su briauna - briaunos taškai neturi apylinkių rutulio pavidalu, o tik formos. pusrutulio.

2. Prisijungta. Ryšio sąvoka čia pati paprasčiausia. Kolektorius yra sujungtas, jei jis susideda iš vieno gabalo arba, kažkas to paties, bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine linija, kuri neišeina už jo ribų.

3. Tiesiog prijungtas. Tiesiog ryšio sąvoka yra sudėtingesnė. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, paprastas dvimatis rutulys R 3 yra tiesiog sujungtas (guminė juosta, bet kokiu būdu uždėta ant obuolio paviršiaus, gali būti sklandžiai ištraukta į vieną tašką tolygiai deformuojant, nenuplėšiant guminės juostos nuo obuolio) . Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.

4. Kompaktiškas. Veislė yra kompaktiška, jei bet kuris jos homeomorfinis vaizdas turi ribotus matmenis. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) yra nekompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.

Matmenys kolektoriaus yra taško, kuris „gyvena“ jame, laisvės laipsnių skaičius. Kiekvienas taškas turi kaimynystę atitinkamo matmens disko pavidalu, t. y. linijos intervalas vienmačiu atveju, apskritimas plokštumoje dviem matmenimis, rutulys trijų matmenų ir tt Iš taško Topologijos požiūriu yra tik du vienmačiai sujungti kolektorius be briaunos: linija ir apskritimas. Iš jų tik ratas yra kompaktiškas.

Erdvės, kuri nėra kolektorius, pavyzdys yra, pavyzdžiui, susikertančių linijų pora – juk dviejų tiesių susikirtimo taške bet kuri kaimynystė turi kryžiaus formą, ji neturi kaimynystės, kuri būtų pats savaime yra tiesiog intervalas (ir visi kiti taškai turi tokias apylinkes). Tokiais atvejais matematikai sako, kad turime reikalą su ypatinga įvairove, kuri turi vieną ypatingą tašką.

Dviejų dimensijų kompaktiški kolektoriai yra gerai žinomi. Jei tik atsižvelgsime orientuotis 1 kolektoriai be ribos, tada topologiniu požiūriu jie sudaro paprastą, nors ir begalinį sąrašą: ir pan. Kiekvienas toks kolektorius gaunamas iš sferos, suklijuojant keletą rankenų, kurių skaičius vadinamas paviršiaus genu.

1 Dėl vietos stokos nekalbėsiu apie neorientuojamus kolektorius, kurių pavyzdys yra garsusis Kleino butelis – paviršius, kurio negalima įterpti erdvėje be savikirtimų.

Paveikslėlyje pavaizduoti 0, 1, 2 ir 3 genčių paviršiai. Kuo sfera išsiskiria iš visų šiame sąraše esančių paviršių? Pasirodo, tai tiesiog sujungta: sferoje bet kokia uždara kreivė gali būti sutraukta iki taško, bet ant bet kurio kito paviršiaus visada galima nurodyti kreivę, kurios negalima sutraukti į tašką išilgai paviršiaus.

Įdomu tai, kad trimačius kompaktiškus kolektorius be ribos galima tam tikra prasme klasifikuoti, tai yra, išdėstyti tam tikrame sąraše, nors ir ne taip paprastai, kaip dvimačiu atveju, tačiau turintys gana sudėtingą struktūrą. Tačiau 3D sfera S 3 šiame sąraše išsiskiria kaip ir 2D sfera aukščiau esančiame sąraše. Tai, kad bet kuri S 3 kreivė susitraukia į tašką, įrodoma taip pat paprastai, kaip ir dvimačiu atveju. Tačiau priešingas teiginys, būtent, kad ši savybė yra unikali būtent šiai sferai, t. y. kad bet kuriame kitame trimačiame kolektorius turi nesusitraukiančias kreives, yra labai sunkus ir tiksliai sudaro Puankarės spėlionės, apie kurią mes kalbame, turinį. .

Svarbu suprasti, kad įvairovė gali egzistuoti kaip savarankiškas objektas, niekur neįdėtas. (Įsivaizduokite, kad gyvenate kaip dvimačiai tvariniai paprastos sferos paviršiuje, nežinodami apie trečiosios dimensijos egzistavimą.) Laimei, visus aukščiau esančiame sąraše pateiktus dvimačius paviršius galima sudėti įprastoje R3 erdvėje, todėl juos lengviau padaryti. vizualizuoti. Trimačiai sferai S 3 (ir apskritai bet kokiam kompaktiškam trimačiam kolektoriui be ribos) tai nebėra, todėl reikia šiek tiek pastangų suprasti jo struktūrą.

Matyt, paprasčiausias būdas paaiškinti trimatės sferos S 3 topologinę struktūrą yra vieno taško sutankinimas. Būtent trimatė sfera S 3 yra įprastos trimatės (neribotos) erdvės R 3 vienataškis sutankinimas.

Pirmiausia paaiškinkime šią konstrukciją paprastais pavyzdžiais. Paimkime įprastą begalinę tiesę (vienmatį erdvės analogą) ir pridėkime prie jos vieną „be galo tolimą“ tašką, darydami prielaidą, kad judėdami tiesia linija į dešinę arba į kairę, galiausiai pasiekiame šį tašką. Topologiniu požiūriu nėra skirtumo tarp begalinės linijos ir apribotos atviros linijos atkarpos (be galinių taškų). Tokį segmentą galima nuolat lenkti lanko pavidalu, priartinti galus ir klijuoti trūkstamą tašką sankryžoje. Akivaizdu, kad gausime apskritimą – vienmatį sferos analogą.

Lygiai taip pat, jei paimsiu begalinę plokštumą ir pridedu vieną tašką prie begalybės, į kurį linksta visos pradinės plokštumos tiesės, einančios bet kuria kryptimi, tada gauname dvimatę (paprastąją) sferą S 2. Šią procedūrą galima stebėti naudojant stereografinę projekciją, kuri kiekvienam rutulio taškui P, išskyrus šiaurinį ašigalį N, priskiria tam tikrą tašką plokštumoje P":

Taigi sfera be vieno taško topologiškai yra tokia pati kaip plokštuma, o pridėjus tašką plokštuma paverčiama sfera.

Iš principo lygiai ta pati konstrukcija yra taikoma trimačiai sferai ir erdvei, tik jai įgyvendinti reikia įeiti į ketvirtą dimensiją, o tai ne taip paprasta pavaizduoti brėžinyje. Todėl apsiribosiu žodiniu erdvės R 3 sutankinimo vienataškiu aprašymu.

Įsivaizduokime, kad į mūsų fizinę erdvę (kurią, sekdami Niutonu, laikome neribota Euklido erdve su trimis koordinatėmis x, y, z) vienas taškas „begalybėje“ pridedamas taip, kad judant tiesia linija bet kurioje kryptimi, į kurią pateksite (t. y. kiekviena erdvinė linija užsidaro į apskritimą). Tada gauname kompaktišką trimatį kolektorius, kuris pagal apibrėžimą yra sfera S 3 .

Nesunku suprasti, kad sfera S 3 yra tiesiog sujungta. Tiesą sakant, bet kuri uždara šios sferos kreivė gali būti šiek tiek paslinkta, kad ji nepraeitų per pridėtą tašką. Tada įprastoje erdvėje R 3 gauname kreivę, kuri lengvai susitraukia į tašką per homotetes, t.y. nuolatinį suspaudimą visomis trimis kryptimis.

Norint suprasti, kaip yra S 3 veislės struktūra, labai naudinga apsvarstyti jos padalijimą į du kietus tori. Jei išimsime kietąjį torą iš erdvės R 3, tai liks kažkas nelabai aiškaus. Ir jei erdvė sutankinama į sferą, tai šis papildymas taip pat virsta kietu toru. Tai yra, sfera S 3 yra padalinta į du kietus tori, kurie turi bendrą ribą - torą.

Štai kaip galite tai suprasti. Įterpkime torą į R 3, kaip įprasta, apvalios spurgos pavidalu ir nubrėžkime vertikalią liniją - šios spurgos sukimosi ašį. Per ašį nubrėžiame savavališką plokštumą, kuri susikirs su mūsų kietuoju toru išilgai dviejų apskritimų, pavaizduotų paveikslėlyje, o papildoma plokštumos dalis yra padalinta į ištisinę raudonų apskritimų šeimą. Tai apima centrinę ašį, paryškintą drąsiau, nes sferoje S 3 tiesė užsidaro į apskritimą. Sukant aplink ašį iš šio dvimačio vaizdo gaunamas trimatis vaizdas. Visas pasuktų apskritimų rinkinys užpildys trimatį kūną, homeomorfinį iki vientiso toro, tik atrodys neįprastai.

Tiesą sakant, centrinė ašis joje bus ašinis apskritimas, o likusi dalis atliks paralelių vaidmenį - apskritimus, kurie sudaro įprastą kietą torą.

Kad būtų su kuo palyginti 3 sferą, pateiksiu dar vieną kompaktiško 3 kolektoriaus pavyzdį, būtent trimatį torą. Trimatis toras gali būti sukonstruotas taip. Paimkime įprastą trimatį kubą kaip pradinę medžiagą:

Jis turi tris poras kraštų: kairėje ir dešinėje, viršuje ir apačioje, priekyje ir gale. Kiekvienoje lygiagrečių veidų poroje mes nustatome taškus, gautus vienas nuo kito perkeliant išilgai kubo krašto. Tai yra, darysime prielaidą (grynai abstrakčiai, nenaudodami fizinių deformacijų), kad, pavyzdžiui, A ir A" yra tas pats taškas, o B ir B" taip pat yra vienas taškas, bet skiriasi nuo taško A. Visi vidiniai taškai kubo Laikysime kaip įprasta. Pats kubas yra kolektorius su briauna, tačiau po klijavimo kraštas užsidaro pats ir išnyksta. Tiesą sakant, kubo taškų A ir A apylinkės (jie yra kairėje ir dešinėje tamsintose pusėse) yra rutuliukų pusės, kurios, suklijavus paviršius, susilieja į visą rutulį, kuris tarnauja kaip atitinkamas trimačio toro taškas.

Norint pajusti 3 vamzdžių struktūrą, pagrįstą kasdienėmis idėjomis apie fizinę erdvę, reikia pasirinkti tris viena kitai statmenas kryptis: pirmyn, kairėn ir aukštyn – ir mintyse pagalvoti, kaip mokslinės fantastikos istorijose, judant bet kuria iš šių krypčių. gana ilgas, bet baigtinis laikas , grįšime į pradinį tašką, bet iš priešingos krypties. Tai irgi „erdvės sutankinimas“, bet ne taškas, kuris anksčiau buvo naudojamas sferai statyti, o sudėtingesnis.

Ant trimačio toro yra nesutraukiami keliai; pavyzdžiui, tai paveiksle atkarpa AA" (ant toro jis reiškia uždarą kelią). Jo negalima susitraukti, nes esant bet kokiai nuolatinei deformacijai taškai A ir A" turi judėti išilgai jų paviršių, likdami griežtai vienas priešais kitą ( kitaip kreivė atsivers).

Taigi, matome, kad yra tiesiog sujungti ir ne paprasčiausiai sujungti kompaktiški 3 kolektoriai. Perelmanas įrodė, kad tiesiog sujungtas kolektorius yra būtent vienas.

Pradinė įrodymo idėja yra naudoti vadinamąjį „Ricci srautą“: paimame paprasčiausiai sujungtą kompaktišką 3 kolektorių, suteikiame jam savavališką geometriją (t. y. įvedame tam tikrą metriką su atstumais ir kampais) ir tada svarstome. jo raida palei Ricci srautą. Richardas Hamiltonas, kuris pasiūlė šią idėją 1981 m., tikėjosi, kad ši evoliucija pavers mūsų įvairovę sfera. Paaiškėjo, kad tai netiesa - trimačiu atveju Ricci srautas gali sugadinti kolektorių, t. Perelmanas, įveikęs neįtikėtinus techninius sunkumus, naudodamas sunkų dalinių diferencialinių lygčių aparatą, sugebėjo įvesti Ricci srauto pataisymus šalia vienaskaitos taškų taip, kad evoliucijos metu kolektoriaus topologija nesikeičia, neatsiranda singuliarių taškų ir pabaigoje virsta apvalia sfera . Bet pagaliau turime paaiškinti, kas yra šis Ricci srautas. Hamiltono ir Perelmano naudojami srautai nurodo vidinės metrikos pokyčius abstrakčiame kolektoriuje, ir tai gana sunku paaiškinti, todėl apsiribosiu „išorinio“ Ricci srauto apibūdinimu vienmačiuose kolektoriuose, įterptuose į plokštumą.

Įsivaizduokime sklandžią uždarą kreivę Euklido plokštumoje, pasirinkite joje kryptį ir kiekviename taške apsvarstykite vienetinio ilgio liestinės vektorių. Tada, apvažiuojant kreivę pasirinkta kryptimi, šis vektorius suksis tam tikru kampiniu greičiu, kuris vadinamas kreivumu. Tose vietose, kur kreivė išlenkta stačiau, kreivumas (absoliučia verte) bus didesnis, o kur lygesnis – mažesnis.

Kreivumą laikysime teigiamu, jei greičio vektorius pasisuks link vidinės plokštumos dalies, padalintos mūsų kreivės į dvi dalis, ir neigiamu, jei pasisuks į išorę. Šis susitarimas nepriklauso nuo krypties, kuria važiuojama kreivė. Posūkio taškuose, kur sukimosi kryptis keičiasi, kreivumas bus lygus 0. Pavyzdžiui, apskritimo, kurio spindulys 1, pastovus teigiamas kreivumas yra 1 (jei matuojama radianais).

Dabar pamirškime liestinės vektorius ir, priešingai, prie kiekvieno kreivės taško pritvirtinkime jam statmeną vektorių, vienodo ilgio kreivumui tam tikrame taške ir nukreiptą į vidų, jei kreivumas yra teigiamas, ir į išorę, jei jis yra neigiamas. , tada kiekvienas taškas judės atitinkamo vektoriaus kryptimi greičiu, proporcingu jo ilgiui. Štai pavyzdys:

Pasirodo, bet kuri uždara kreivė plokštumoje tokios evoliucijos metu elgiasi panašiai, t.y., galiausiai virsta apskritimu. Tai vienmačio Puankarės spėjimo analogo, naudojant Ricci srautą, įrodymas (tačiau pats teiginys šiuo atveju jau akivaizdus, ​​tiesiog įrodinėjimo metodas iliustruoja tai, kas vyksta 3 dimensijoje).

Pabaigoje pažymėkime, kad Perelmano samprotavimai įrodo ne tik Puankaro spėjimą, bet ir daug bendresnį Thurston geometrizavimo spėjimą, kuris tam tikra prasme apibūdina visų paprastai kompaktiškų trimačių kolektorių struktūrą. Tačiau ši tema nepatenka į šio elementaraus straipsnio taikymo sritį.

Sergejus Dužinas,
Fizikos ir matematikos mokslų daktaras mokslai,
vyresnioji mokslo darbuotoja
Sankt Peterburgo filialas
Rusijos mokslų akademijos matematikos institutas

– Kam man reikia milijono?

Visas pasaulis žino istoriją apie puikų matematiką Grigorijų Perelmaną, kuris įrodė Puankarės spėjimą ir atsisakė milijono dolerių. Neseniai atsiskyrėlis mokslininkas pagaliau paaiškino, kodėl neatsiėmė pelnytos premijos.

Viskas prasidėjo nuo to, kad žurnalistas ir kino kompanijos „President Film“ prodiuseris Aleksandras Zabrovskis spėjo susisiekti su Grigorijaus Jakovlevičiaus motina per Sankt Peterburgo žydų bendruomenę. Galų gale, prieš tai visi žurnalistai nesėkmingai sėdėjo ant didžiojo matematiko namo laiptų, norėdami apklausti jį. Motina kalbėjosi su sūnumi, gerai apibūdindama žurnalistą, ir tik po to Perelmanas sutiko susitikti.

Anot Zabrovskio, Grigorijus Jakovlevičius yra visiškai sveiko proto ir adekvatus žmogus, ir viskas, kas apie jį buvo pasakyta anksčiau, yra nesąmonė. Jis mato konkretų tikslą prieš save ir žino, kaip jį pasiekti.

Kino kompanija „President Film“, sutikus Perelmanui, planuoja apie jį sukurti vaidybinį filmą „Visatos formulė“. Matematikas užmezgė kontaktą vardan šio filmo, kuris bus ne apie jį, o apie trijų pagrindinių pasaulio matematikos mokyklų: rusų, kinų ir amerikiečių, pažangiausių Visatos studijų ir valdymo kelyje, bendradarbiavimą ir konfrontaciją. . Į klausimą apie milijoną, kuris taip jaudino visus nustebusius ir smalsuolius, Perelmanas atsakė: „Aš žinau, kaip valdyti Visatą. Ir pasakyk man, kodėl turėčiau bėgti už milijoną?

Mokslininkas kalbėjo ir apie tai, kodėl nebendrauja su žurnalistais. Priežastis ta, kad jiems rūpi ne mokslai, o asmeninis gyvenimas – nagų kirpimas ir milijonas. Jis įsižeidžia, kai spauda jį vadina Griša, matematikas tokį pažinimą laiko nepagarba sau.

Nuo mokyklos laikų Grigorijus Perelmanas buvo įpratęs „treniruoti savo smegenis“, tai yra, spręsti problemas, privertusias jį mąstyti abstrakčiai. O norint rasti tinkamą sprendimą, reikėjo įsivaizduoti „gabalėlį pasaulio“. Pavyzdžiui, matematiko buvo paprašyta apskaičiuoti, kokiu greičiu Jėzus Kristus turi eiti vandeniu, kad neiškristų. Iš čia ir kilo Perelmano noras ištirti trimatės Visatos erdvės savybes.

Kodėl reikėjo tiek metų kovoti, norint įrodyti Puankarės spėjimą? Jo esmė yra tokia: jei trimatis paviršius yra šiek tiek panašus į sferą, tada jis gali būti ištiesintas į sferą. Puankarės teiginys vadinamas „Visatos formule“ dėl jo svarbos tiriant sudėtingus fizikinius procesus Visatos teorijoje ir dėl to, kad jis atsako į klausimą apie Visatos formą.

Grigorijus Jakovlevičius įgijo tokių puikių žinių, kurios padeda suprasti visatą. O dabar matematiką nuolat stebi Rusijos ir užsienio žvalgybos tarnybos: o jei Perelmanas kelia grėsmę žmonijai? Juk jei jo žinių pagalba galima Visatą sugriauti į tašką, o paskui ją išplėsti, tai mes galime mirti ar atgimti kitokiu pajėgumu? Ir tada tai būsime mes? Ir ar mums apskritai reikia valdyti Visatą?

Įrodymas, kuris trunka šimtmetį

Grigorijus Perelmanas pagaliau ir neatšaukiamai įėjo į istoriją

Molio matematikos institutas skyrė Grigorijui Perelmanui Tūkstantmečio premiją, tokiu būdu oficialiai pripažindamas rusų matematiko Puankarės spėjimo įrodymą kaip teisingą. Pastebėtina, kad tuo pat metu institutas turėjo pažeisti savo taisykles – pagal jas maždaug milijoną dolerių gali pretenduoti tik autorius, publikavęs savo darbus recenzuojamuose žurnaluose. apdovanojimą. Grigorijaus Perelmano darbas oficialiai niekada neišvydo dienos šviesos – jis liko kelių išankstinių atspaudų rinkiniu arXiv.org svetainėje (vienas, du ir trys). Tačiau ne taip svarbu, kas lėmė instituto sprendimą – Tūkstantmečio premijos įteikimas nutraukia daugiau nei 100 metų trunkančią istoriją.

Puodelis, spurga ir tam tikra topologija

Prieš išsiaiškinant, kas yra Puankarės spėjimas, būtina suprasti, kokia tai matematikos šaka – topologija – kuriai priklauso būtent ši hipotezė. Kolektoriaus topologija nagrinėja paviršių savybes, kurios nekinta esant tam tikroms deformacijoms. Paaiškinkime klasikiniu pavyzdžiu. Tarkime, kad skaitytojas turi spurgą priešais save ir tuščią puodelį. Geometrijos ir sveiko proto požiūriu tai skirtingi objektai, jau vien todėl, kad kavos iš spurgos išgerti nepavyks net ir norėdama.

Tačiau topologas pasakys, kad puodelis ir spurga yra tas pats dalykas. Ir jis paaiškins taip: įsivaizduokite, kad puodelis ir spurgos yra tuščiaviduriai paviršiai, pagaminti iš labai elastingos medžiagos (matematikas pasakytų, kad yra pora kompaktiškų dvimačių kolektorių). Atlikime spekuliacinį eksperimentą: pirmiausia išpučiame puodelio dugną, o tada jo rankenėlę, po kurios jis pavirs toru (tai matematinis spurgos formos pavadinimas). Galite pamatyti, kaip atrodo šis procesas.

Žinoma, smalsiam skaitytojui kyla klausimas: kadangi paviršiai gali būti susiraukšlėję, kaip juos atskirti? Juk, pavyzdžiui, intuityviai aišku – kad ir kokio dydžio būtų toras, be pertraukų ir klijavimo iš jo sferos neišgausi. Čia atsiranda vadinamieji invariantai – deformacijos metu nekintančios paviršiaus charakteristikos – sąvoka, būtina Puankarės hipotezės formulavimui.

Sveikas protas mums sako, kad skirtumas tarp toro ir sferos yra skylė. Tačiau skylė toli gražu nėra matematinė sąvoka, todėl ją reikia formalizuoti. Tai daroma taip: įsivaizduokite, kad paviršiuje turime labai ploną elastingą siūlą, sudarantį kilpą (šiame spekuliaciniame eksperimente, skirtingai nei ankstesniame, patį paviršių laikome kietu). Kilpą judinsime nepakeldami nuo paviršiaus ir nenuplėšdami. Jei siūlą galima ištraukti iki labai mažo apskritimo (beveik taško), tada sakoma, kad kilpa susitraukia. Priešingu atveju kilpa vadinama nesutraukiama.

Taigi, nesunku pastebėti, kad sferoje bet kuri kilpa yra susitraukianti (matote, kaip ji maždaug atrodo), tačiau torui tai jau netiesa: ant spurgos yra dvi ištisos kilpos - viena įverta į skylę , o kita eina aplink skylę „aplink perimetrą“ - kurios negalima ištraukti.

Šiame paveikslėlyje netempiamų kilpų pavyzdžiai parodyti atitinkamai raudona ir violetine spalva. Kai paviršiuje yra kilpų, matematikai sako, kad „pagrindinė veislės grupė yra nereikšminga“, o jei tokių kilpų nėra, tada ji yra triviali.

Pagrindinė toro grupė žymima n1 (T2). Kadangi tai nėra trivialus, pelės rankos sudaro nesutraukiamą kilpą. Liūdesys gyvūno veide yra šio fakto suvokimo rezultatas.

Taigi, nesunku pastebėti, kad sferoje bet kuri kilpa yra susitraukianti, tačiau toro atveju tai nebėra: ant spurgos yra dvi ištisos kilpos - viena yra įsriegta į skylę, o kita - aplink skylę. aplink perimetrą“ – kurio negalima sugriežtinti. Šiame paveikslėlyje netempiamų kilpų pavyzdžiai parodyti atitinkamai raudona ir violetine spalva.

Dabar, norėdamas sąžiningai suformuluoti Puankarės spėjimą, smalsus skaitytojas turi dar šiek tiek apsišarvuoti kantrybe: turime išsiaiškinti, kas apskritai yra trimatis kolektorius ir konkrečiai – trimatė sfera.

Dar sekundei grįžkime prie paviršių, apie kuriuos kalbėjome aukščiau. Kiekvieną iš jų galima supjaustyti tokiais smulkiais gabalėliais, kad kiekvienas beveik primins plokštumos gabalėlį. Kadangi plokštuma turi tik du matmenis, jie sako, kad kolektorius yra dvimatis. Trimatis kolektorius yra paviršius, kurį galima supjaustyti į mažus gabalėlius, kurių kiekvienas yra labai panašus į įprastos trimatės erdvės gabalėlį.

Pagrindinis hipotezės „simbolis“ yra trimatė sfera. Vis dar turbūt neįmanoma neprarandant proto įsivaizduoti trimatės sferos kaip įprastos sferos analogo keturmatėje erdvėje. Tačiau šį objektą gana lengva apibūdinti, taip sakant, „dalimis“. Kas matė Žemės rutulį, žino, kad iš šiaurinio ir pietinio pusrutulių išilgai pusiaujo galima suklijuoti paprastą rutulį. Taigi trimatis rutulys yra suklijuotas iš dviejų rutulių (šiaurės ir pietų) išilgai sferos, kuri yra pusiaujo analogas.

Ant trimačių kolektorių galime laikyti tas pačias kilpas, kurias paėmėme ant įprastų paviršių. Taigi, Poincaré spėjimas teigia: „Jei pagrindinė trimačio kolektoriaus grupė yra triviali, tada ji yra homeomorfinė sferai“. Nesuprantama frazė „homeomorfinis sferai“, išvertus į neformalią kalbą, reiškia, kad paviršius gali deformuotis į sferą.

Šiek tiek istorijos

1887 m. Puankarė pateikė darbą matematikos konkursui, skirtam Švedijos karaliaus Oskaro II 60-mečiui. Jame buvo aptikta klaida, dėl kurios atsirado chaoso teorija.

Paprastai tariant, matematikoje galima suformuluoti daug sudėtingų teiginių. Tačiau kuo ši ar kita hipotezė yra puiki, išskiria ją iš kitų? Kaip bebūtų keista, didžioji hipotezė išsiskiria daugybe neteisingų įrodymų, kurių kiekviename yra didelė klaida – netikslumas, dėl kurio dažnai atsiranda visiškai nauja matematikos šaka.

Taigi iš pradžių Henri Poincaré, kuris, be kita ko, pasižymėjo gebėjimu daryti puikias klaidas, suformulavo hipotezę kiek kitokia forma, nei rašėme aukščiau. Po kurio laiko jis pateikė priešingą pavyzdį savo teiginiui, kuris tapo žinomas kaip homologinė Puankarė 3 sfera, o 1904 m. suformulavo hipotezę šiuolaikine forma. Sferą, beje, neseniai panaudojo astrofizikos mokslininkai – paaiškėjo, kad Visata gali pasirodyti homologiška Puankarė 3 sfera.

Reikia pasakyti, kad hipotezė nesukėlė didelio jaudulio tarp kolegų geometrų. Taip buvo iki 1934 m., kai britų matematikas Johnas Henry Whiteheadas pateikė savo hipotezės įrodymo versiją. Tačiau labai greitai jis pats rado savo samprotavimo klaidą, dėl kurios vėliau atsirado visa Whitehead veislių teorija.

Po to hipotezė pamažu įgijo itin sunkios užduoties reputaciją. Daugelis puikių matematikų bandė tai įveikti. Pavyzdžiui, amerikietis Eras Bingas (R.H. Bing), matematikas, kurio dokumentuose (absoliučiai oficialiai) vietoj vardo buvo užrašyti inicialai. Jis kelis kartus nesėkmingai bandė įrodyti hipotezę, šio proceso metu suformuluodamas savo teiginį - vadinamąjį „savybės P spėjimą“ (savybės P spėjimą). Pastebėtina, kad šis teiginys, kurį Bingas laikė tarpiniu, pasirodė esąs beveik sunkesnis nei paties Puankarės spėlionės įrodymas.

Tarp mokslininkų taip pat buvo žmonių, kurie paaukojo savo gyvybes, kad įrodytų šį matematinį faktą. Pavyzdžiui, garsus graikų kilmės matematikas Christos Papakiriakopoulos. Pastebėtina, kad daugiau nei dešimt metų Poincaré spėlionių apibendrinimas didesnių nei trijų matmenų kolektoriams pasirodė esąs pastebimai paprastesnis nei originalas – papildomi matmenys leido lengviau manipuliuoti kolektoriais. Taigi, n matmenų kolektorių atveju (n mažiausiai 5) spėjimą įrodė Stephenas Smale'as 1961 m. Jei n = 4, spėjimas buvo įrodytas visiškai kitokiu metodu nei Smail 1982 m. Michael Friedman. Už savo įrodymą pastarasis gavo Fieldso medalį – aukščiausią matematikų apdovanojimą. Dirbdamas Prinstone jis nesėkmingai bandė įrodyti hipotezę. Jis mirė nuo vėžio 1976 m. Pastebėtina, kad Poincaré spėlionių apibendrinimas didesnių nei trys matmenų kolektoriams pasirodė esąs pastebimai paprastesnis nei originalas – papildomi matmenys palengvino manipuliavimą kolektoriais. Taigi, n matmenų kolektorių (n mažiausiai 5) atveju spėjimą įrodė Stephenas Smale'as 1961 m. Jei n = 4, spėjimas buvo įrodytas visiškai kitokiu metodu nei Smail 1982 m. Michael Friedman.
Aprašyti darbai nėra pilnas bandymų išspręsti daugiau nei šimtmečio senumo hipotezę sąrašas. Ir nors kiekvienas iš darbų paskatino ištisos matematikos krypties atsiradimą ir gali būti laikomas sėkmingu bei reikšmingu šia prasme, tik rusas Grigorijus Perelmanas sugebėjo galutinai įrodyti Puankarės spėjimą.

Perelmanas ir įrodymas

1992 m. Grigorijus Perelmanas, tuometis pavadinto Matematikos instituto darbuotojas. Steklovas, dalyvavo Richardo Hamiltono paskaitoje. Amerikiečių matematikas kalbėjo apie Ricci srautus – naują įrankį, skirtą Thurstono geometrizavimo spėjimui tirti – faktą, iš kurio buvo kilęs Puankarės spėjimas kaip paprasta pasekmė. Dėl šių srautų, šiek tiek analogiškų šilumos perdavimo lygtims, paviršiai laikui bėgant deformavosi taip pat, kaip deformavome dvimačius paviršius šio straipsnio pradžioje. Paaiškėjo, kad kai kuriais atvejais tokios deformacijos rezultatas buvo objektas, kurio struktūra buvo lengvai suprantama. Pagrindinis sunkumas buvo tas, kad deformacijos metu atsirado begalinio kreivumo bruožai, tam tikra prasme analogiški juodosioms skylėms astrofizikoje.

Po paskaitos Perelmanas priėjo prie Hamiltono. Vėliau jis pasakojo, kad Ričardas jį maloniai nustebino: „Jis nusišypsojo ir buvo labai kantrus. Jis man net keletą metų buvo paskelbtas užtenka, kad taip elgiasi dauguma šiuolaikinių matematikų“.

Po kelionės į JAV Perelmanas grįžo į Rusiją, kur pradėjo spręsti Ricci srautų singuliarumo problemą ir slapta nuo visų įrodinėti geometrizavimo hipotezę (o ne Puankarės spėjimą). Nenuostabu, kad 2002 m. lapkričio 11 d. Perelmano pirmasis preprintas sukrėtė matematikų bendruomenę. Po kurio laiko pasirodė dar pora darbų.

Po to Perelmanas pasitraukė nuo įrodymų aptarimo ir netgi, pasak jų, nustojo užsiimti matematika. Savo nuošalaus gyvenimo būdo jis nenutraukė net 2006 m., kai buvo apdovanotas Fieldso medaliu – prestižiškiausiu matematikų apdovanojimu. Diskutuoti apie tokio autoriaus elgesio priežastis nėra prasmės – genijus turi teisę elgtis keistai (pavyzdžiui, Amerikoje Perelmanas nenusikirpo nagų, leisdamas jiems laisvai augti).

Kad ir kaip būtų, Perelmano įrodymas išgydomas
nuo jo atskirtas gyvenimas: trys išankstiniai atspaudai persekiojo šiuolaikinius matematikus. Pirmieji rusų matematiko idėjų patikrinimo rezultatai pasirodė 2006 m. – žymūs geometrai Bruce'as Kleineris ir Johnas Lottas iš Mičigano universiteto paskelbė savo darbo išankstinį spaudinį, labiau panašų į knygą – 213 puslapių. Šiame darbe mokslininkai atidžiai patikrino visus Perelmano skaičiavimus, išsamiai paaiškindami įvairius teiginius, kurie buvo tik trumpai išdėstyti Rusijos matematiko darbe. Tyrėjų verdiktas buvo aiškus: įrodymai yra visiškai teisingi.

Netikėtas posūkis šioje istorijoje įvyko tų pačių metų liepą. Asian Journal of Mathematics paskelbė Kinijos matematikų Xiping Zhu ir Huaidong Cao straipsnį „Visiškas Thurstono geometrizavimo spėlionių ir Puankarės spėlionių įrodymas“. Šiame darbe Perelmano rezultatai buvo laikomi svarbiais, naudingais, bet išskirtinai tarpiniais. Šis darbas nustebino specialistus Vakaruose, tačiau sulaukė itin palankių atsiliepimų Rytuose. Visų pirma, rezultatus palaikė Shintan Yau, vienas iš Calabi-Yau teorijos, padėjusios pamatus stygų teorijai, įkūrėjų, taip pat Cao ir Ju mokytojas. Laimingo atsitiktinumo dėka būtent Yau buvo žurnalo Asian Journal of Mathematics, kuriame darbas buvo publikuotas, vyriausiasis redaktorius.

Po to matematikas pradėjo keliauti po pasaulį skaitydamas populiarias paskaitas, kalbėdamas apie Kinijos matematikų pasiekimus. Dėl to kilo pavojus, kad labai greitai Perelmano ir net Hamiltono rezultatai bus nustumti į antrą planą. Taip yra nutikę ne kartą matematikos istorijoje – daugybę teoremų, turinčių konkrečių matematikų vardus, sugalvojo visiškai skirtingi žmonės.

Tačiau taip neįvyko ir tikriausiai nebus dabar. Clay Perelmano premijos įteikimas (net jei jis atsisakė) amžiams įtvirtino visuomenės sąmonėje faktą: rusų matematikas Grigorijus Perelmanas įrodė Puankarės spėjimą. Ir nesvarbu, kad iš tikrųjų jis įrodė bendresnį faktą, pakeliui išplėtodamas visiškai naują Ricci ypatumų teoriją. Bent jau tokiu būdu. Atlygis rado herojų.
Andrejus Koniajevas

Parengė: Sergejus Kovalis

Ch. 3 Poincaré spėjimas

„Matematika nėra tik žmogaus proto kūrinys, ją stipriai įtakoja kultūros, kuriose ji vystosi. Matematinės „tiesos“ nuo žmonių priklauso ne mažiau nei nuo spalvų suvokimo ar kalbos.

Liudvikas Vitenšteinas

Ryžiai. 18. Topologinis Poincaré kolektorius

Kiekvienas tiesiog sujungtas kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis trimačiai sferai.

„Nuo tada, kai Puankarės spėjimas buvo suformuluotas daugiau nei prieš šimtą metų, pranešimų apie jo įrodymą pasirodo beveik kasmet. Henri Poincaré, Raymondo pusbrolis

Poincaré, Prancūzijos prezidentas Pirmojo pasaulinio karo metais, taip pat buvo vienas talentingiausių XIX amžiaus matematikų. Lieknas, trumparegis ir žinomai abejingas Puankarė suformulavo savo garsiąją problemą likus aštuoneriems metams iki mirties, 1904 m. Problemos pareiškimas buvo įtrauktas į šešiasdešimt penkių puslapių straipsnio pabaigą kaip šalutinis klausimas.

Poincaré negalėjo padaryti jokios pastebimos pažangos sprendžiant šią problemą. Jis rašė: „Cette question nous entrainerait trop loin“ („Šis klausimas mus nuklysta“). Poincaré buvo topologijos, mokslo, dar vadinamo „gumos lakštų geometrija“, įkūrėjas, nes jis daugiausia dėmesio skiria skirtingų erdvių vidinių savybių tyrimui.

Didžiojo prancūzų mokslininko aistra kurti pamatinius matematikos mokslo pagrindus ir jo reliatyvizmas, atsispindėjęs jo paties filosofinio mokymo – konvencionalizmo – veidrodyje, galiausiai paskatino sukurti gana neįprastą Pasaulio sandaros hipotezę. Mokslo istorijoje ši abstrakti matematinė problema, vedanti prie svarbiausių kosmologinių išvadų, dažnai vadinama topologine Puankarės hipoteze (teorema, užduotimi, problema).

Padedamas jauno matematiko ir nepamainomo ekspertų klubo nario „Ką? Kur? Kada?" Sergejus Igorevičius Nikolenko, prisiminkime, kad viskas prasidėjo nuo tyrimų, kuriuos Puankarė atliko algebrinės geometrijos srityje. Jis dirbo ties vienu iš kertinių šio mokslo akmenų – homologijos teorijos, specialios topologinių invariantų klasės. 1900 m. jis paskelbė straipsnį, kuriame teigė, kad jei trimatis paviršius turi homologiją, kuri sutampa su rutulio homologija, tai pats paviršius yra rutulys; Tiesą sakant, šis teiginys yra net stipresnis nei Puankarės spėlionės.

Tačiau jo samprotavimuose įsivėlė klaida, kurią jis pats rado iki 1904 m., sukūręs svarbiausią pagrindinės grupės sampratą ir jos pagrindu pastatęs priešingą pavyzdį.

pagal savo teoremą. Tada jis pagaliau teisingai uždavė klausimą.

Ilgą laiką į hipotezę nebuvo kreipiamas dėmesys. Susidomėjimą ja pažadino John Henry Constantine Whitehead (1904–1960), puikus anglų matematikas, vienas iš homotopijos teorijos pradininkų. Jo nereikėtų painioti su savo dėde Alfredu Whiteheadu, taip pat matematiku, bet besispecializuojančiu logikos ir algebros srityje, kuris kartu su Bertrandu Russellu parašė garsiąją monografiją „Matematikos principai“, kuris praėjusio amžiaus 30-aisiais paskelbė radęs. Puankaro teoremos įrodymas . Deja, pateikti skaičiavimai galiausiai pasirodė neteisingi, tačiau ieškodamas ir bandydamas taisyti savo netikslumus, jis atrado įdomiausias trimačių paviršių klases ir gerokai patobulino teoriją, kuri vėliau tapo žinoma kaip topologija. maži (arba mažesni) matmenys. 1950-aisiais ir 1960-aisiais išaugus susidomėjimui šia problema vėl pasigirdo keli klaidingi teiginiai, kad teorema buvo įrodyta, tačiau po išsamių bandymų matematikai galiausiai suprato, kad Puankaro spėjimas, nepaisant akivaizdaus paprastumo, kaip ir garsioji Ferma teorema, yra daug spąstų.

Iki to laiko žemesnių matmenų topologija tapo atskira matematikos šaka, o Puankarės problemos analogai buvo įrodyti aukštesniems matmenims. Tam buvo nuostabi priežastis: paaiškėjo, kad neįsivaizduojamame daugelio matmenų pasaulyje ši geometrijos dalis yra daug paprastesnė! Tuo tarpu pažįstamas „Trimatis atvejis“ ir toliau buvo kliūtis.

Poincaré spėjimas yra viena iš labiausiai žinomų topologijos problemų. Tai sudaro pakankamą sąlygą, kad erdvė būtų trimatė sfera iki deformacijos.

Poincaré spėjime jis teigia, kad:

„Kiekvienas tiesiog sujungtas kompaktiškas trimatis kolektorius be ribų yra homeomorfinis trimačiai sferai.

Puankarės spėjimas yra viena iš tų problemų, kuriose net klaidingi sprendimai veda prie naujų sričių atsiradimo.

matematika; tuo ji gali konkuruoti tik su paskutine Ferma teorema. Be visuotinai prieinamos formuluotės, Puankarės problema taip pat turi išorinių paralelių su Ferma teorema. Abi matematines problemas suformulavo puikūs matematikai, neatsižvelgdami į jų pirminius interesus, ir jas išsprendė pavieniai genijai po daugelio metų gilaus pasinėrimo į problemą.

Daugybė knygų apie pramoginę matematiką, kurią vaikystėje aplenkdavo nedaugelis, mėgsta kalbėti apie topologiją – keistą mokslą, kuriame du objektai lyginami tik pagal juose esančių skylių skaičių: arbatos puodelis niekuo nesiskiria nuo spurgos, o apelsinas. niekuo nesiskiria nuo Saulės. Tiesą sakant, topologija yra labai gilus mokslas, o jos tiriamų objektų ir savybių yra labai daug ir įvairių. Prieš išsiaiškinant, kas yra Poincaré spėjimas, būtina tiksliai suprasti topologiją, su kuria susijusi ši hipotezė.

Kolektoriaus topologija nagrinėja paviršių savybes, kurios nekinta esant tam tikroms deformacijoms. Pateiksime klasikinį pavyzdį. Tarkime, kad ant stalo yra beigelis ir tuščias puodelis. Geometrijos ir sveiko proto požiūriu tai skirtingi objektai, jau vien todėl, kad kavos iš riestainio neišgersi net ir norėdama.

Ryžiai. 19. Perelmano spėjimas dėl žemesnių matmenų topologijos

Jei įsivaizduotume aukšto matmens kontinuumo ląstelę ir palaipsniui atsikratytume „papildomų“ pokyčių,

tada tam tikrame etape „išlyginta“ erdvė „savaime“ pradės panašiai klostytis į idealią sferą.

Prancūzų matematiko Henri Poincaré 1904 m. suformuluotas spėjimas yra pagrindinė topologijos problema – mokslas apie geometrines kietųjų kūnų savybes, kurios nekinta, kai kūnas ištempiamas, sukamas ar suspaudžiamas. Topologiškai dvimatė sfera gali būti gana lengvai pavaizduota kaip planetos paviršius, pavyzdžiui, Mėnulis ar Žemė. Tačiau jau gana sunku įsivaizduoti trimatį rutulį keturmatėje erdvėje. Tuo tarpu Poincaré teigė, kad trimatė sfera yra vienintelė apribota trimatė erdvė be skylių. Jis padarė prielaidą apie panašias daugiamatės erdvės savybes 1904 m., kai tik pradėjo studijuoti topologiją.

Tačiau topologas pasakys, kad puodelis ir spurga yra tas pats dalykas. Ir jis tai paaiškins taip. Įsivaizduokite, kad puodelis ir spurga yra viduje tuščiaviduriai paviršiai, pagaminti iš labai elastingos medžiagos (matematikas pasakytų, kad yra pora kompaktiškų dvimačių kolektorių). Atlikime spekuliacinį eksperimentą: pirmiausia išpučiame puodelio dugną, o tada jo rankenėlę, po kurios jis pavirs toru (tai matematinis spurgos formos pavadinimas).

Žinoma, smalsiam skaitytojui kyla klausimas: kadangi paviršiai gali būti susiraukšlėję, kaip juos atskirti? Juk intuityviai aišku: kad ir kokio dydžio toras bebūtų, be pertraukų ir klijavimo iš jo nepavyks ištraukti rutulio. Čia atsiranda vadinamieji invariantai – deformacijos metu nekintančios paviršiaus charakteristikos – sąvoka, būtina Puankarės hipotezės formulavimui.

Sveikas protas nurodo, kad skirtumas tarp toro ir sferos yra skylė. Tačiau skylė toli gražu nėra matematinė sąvoka, todėl ją reikia formalizuoti. Tai daroma taip: įsivaizduokite, kad paviršiuje yra labai plonas elastingas siūlas, sudarantis kilpą (šiame spekuliaciniame eksperimente, priešingai nei ankstesniame, patį paviršių laikome kietu).

Kilpą judinsime nepakeldami nuo paviršiaus ir nenuplėšdami. Jei siūlą galima ištraukti iki labai mažo apskritimo (beveik taško), tada sakoma, kad kilpa susitraukia. Priešingu atveju kilpa vadinama nesutraukiama.

Galite nesunkiai pastebėti, kad ant sferos galima susitraukti bet kurią kilpą, tačiau torui tai nebėra: ant spurgos yra dvi kilpos - viena įverta per skylę, o kita apeina skylę aplink perimetrą. , kurios negalima sudaryti. Fig. 19 paveiksle pateikti netempiamų kilpų pavyzdžiai. Kai paviršiuje yra kilpų, matematikai sako, kad „pagrindinė veislės grupė yra nereikšminga“, o jei tokių kilpų nėra, tada ji yra triviali.

Dabar, norint teisingai suformuluoti Puankarės spėjimą, tereikia dar šiek tiek palaukti: turime suprasti, kas apskritai yra trimatis kolektorius ir konkrečiai – trimatė sfera.

Dar sekundei grįžkime prie paviršių, apie kuriuos kalbėjome aukščiau. Bet kurį iš jų galima supjaustyti labai mažais gabalėliais, kurių kiekvienas bus panašus į plokštumos gabalą. Kadangi plokštuma turi tik du matmenis, jie sako, kad kolektorius yra dvimatis. Trimatis kolektorius yra paviršius, kurį galima supjaustyti į mažus gabalėlius, kurių kiekvienas yra labai panašus į įprastos trimatės erdvės gabalėlį.

Pagrindinis hipotezės „simbolis“ yra trimatė sfera. Vis dar turbūt neįmanoma neprarandant proto įsivaizduoti trimatės sferos kaip įprastos sferos analogo keturmatėje erdvėje. Tačiau šį objektą gana lengva apibūdinti, taip sakant, „dalimis“. Kas matė Žemės rutulį, žino, kad iš šiaurinio ir pietinio pusrutulių išilgai pusiaujo galima suklijuoti paprastą rutulį. Taigi trimatis rutulys yra suklijuotas iš dviejų rutulių (šiaurės ir pietų) išilgai sferos, kuri yra pusiaujo analogas.

Ant trimačių kolektorių galime laikyti tas pačias kilpas, kurias paėmėme ant įprastų paviršių. Taigi, Puankarės hipotezė teigia: „Jei pagrindinis

Jei trimačio kolektoriaus talių grupė yra triviali, tada ji yra homeomorfinė sferai. Neaiški frazė „homeomorfinė sferai“, išversta į neoficialią kalbą, reiškia, kad paviršių galima paversti sfera.

Būkime šiek tiek formalesni. Jie sako, kad paviršius k-prijungtas, jei galima ant jo piešti k-1 uždara kreivė, kuri nedalija jos į dvi dalis. Sfera (oranžinės spalvos paviršius) yra tiesiog sujungta: kad ir kaip ant jos nubrėžtumėte uždarą kreivę, gabalas bus iškirptas; bet spurgos paviršius sujungtas dvigubai - galima, pavyzdžiui, perpjauti skersai, paverčiant cilindru, bet išlaikant vientisumą (tačiau cilindro vėl nupjauti nepavyks). Paviršiams trimatėje erdvėje ši savybė tiksliai reiškia, kad yra k-1"skylė". Bendruoju atveju paviršius yra tiesiog sujungtas, jei bet kurią uždarą jo kreivę galima sutraukti į tašką nuolatinės deformacijos būdu, tačiau spurgos paviršius neturi šios savybės (dienovidinis ar lygiagretė negali būti sutraukta į tašką).

Dar viena svarbi sąvoka – homeomorfizmas – taip pat jau buvo susidurta diskusijose apie puodelio ir spurgos neatskiriamumą. Būtent šis neatskiriamumas yra esmė: homeomorfizmas yra nuolatinė transformacija, deformacija, kurią galima paveikti aibėje, išsaugant jos topologines savybes (pvz., k- ryšys). Puodelį nesunku nuolat transformuojant paversti spurgu, o apelsiną – Saule. Ši transformacija išsaugo svarbiausius topologinius invariantus, tokius kaip skaičius k. Dvi aibės, kurios gali būti paverstos viena į kitą homeomorfizmo būdu, laikomos lygiavertėmis topologiniu požiūriu.

Poincaré spėjimas teigia, kad kiekvienas paprasčiausiai sujungtas trimatis paviršius yra homeomorfinis trimatei sferai. Atkreipkite ypatingą dėmesį į tai, kad „trimatis paviršius“ gali būti patalpintas erdvėje, kurios matmenys yra ne mažesni kaip 4! Trimatė sfera yra keturmačio rutulio paviršius (mums pažįstama dvimatė sfera yra trimačio rutulio paviršius).

Ryžiai. 20. Diskretus trimačio Thurston paviršiaus kodas

Pavaizduotos vadinamosios Thurston ląstelės sudaro savotišką geometrinį galvosūkį. Jei pasirinksite tam tikrus Thurston kodus: 6-8-7, 1-17-9 arba 3-20-21, tai kiekvienas iš jų pasakys, kokią geometrinę figūrą suformuos trimatis paviršius.

„Aštuntojo dešimtmečio pabaigoje Prinstono matematikas Williamas Thurstonas, mėgęs savo idėjas iliustruoti žirklėmis ir popieriumi, pasiūlė susisteminti visus trimačius kolektorius. Jis teigė, kad nors kolektoriai gali įgauti bet kokią formą, jie iš tikrųjų traukia link tam tikros „pageidaujamos“ geometrijos (panašiai kaip šilko gabalas, apvyniotas aplink manekeną, įgauna savo formą). Thurstonas pasiūlė, kad bet koks trimatis kolektorius galėtų būti suskaidytas į vieną ar daugiau komponentų, kurių kiekvienas galėtų būti klasifikuojamas į vieną iš aštuonių tipų, įskaitant sferinius.

Sylvia Nasser, David Gruber. Įvairus likimas. Legendinė problema ir kova ją išspręsti

Puankarės prielaidos įrodymas prasideda savavališka Riemanno metrika ant tiesiog sujungto trimačio kolektoriaus M ir taikykite Ricci srautą operuodami. Svarbus žingsnis – įrodyti, kad šis procesas „išmeta“ viską. Tai reiškia, kad originali veislė M gali būti pavaizduotas kaip sferinių erdvinių formų, sujungtų viena su kita vamzdeliais, rinkinys. Fundamentalus grupės skaičiavimas rodo, kad M difeomorfinis su susijusia erdvinių formų aibės suma. Taigi, M yra sujungta sferų aibės suma, tai yra sfera.

Poincaré hipotezės tema yra susijusi su svarbia kibernetikos matematikos sritimi – skaičiavimo topologija. Pasirodo, šiame abstrakčiame moksle egzistuoja ir skaičiavimo bei atpažinimo užduotys. Viena iš šių problemų yra susijusi su labai įdomiu bandymu 1974 m. išspręsti Puankarės problemą jos algoritmine versija.

Kiekvienas trimatis paviršius yra nurodytas kažkokiu (smulkiau nesileisime) diskrečiu kodu – baigtiniu simbolių rinkiniu. Tas pats paviršius turi begalę skirtingų kodų. Natūralus klausimas: ar yra algoritmas, nulemtas duoto kodo žodžio, ar šis žodis apibrėžia trimatę sferą naujoje algoritminėje Puankarės užduotyje? Būtent šią problemą 1974 m. ištyrė daugelis žinomų Rusijos matematikų, teigdami, kad tam tikra kodo savybė (ji buvo vadinama „banga“) yra „sferiškumo“ kriterijus. Tačiau jiems pavyko tik įrodyti, kad „bangos“ buvimas garantuoja, kad prieš mus yra sfera. Neįmanoma įrodyti, kad bet kuriame sferą apibrėžiančiame kode yra „banga“. Tada autoriai padarė labai originalų tiems laikams žingsnį: atliko didelio masto kompiuterinį eksperimentą. Buvo parašyta programa BESM-6 mašinai, kuri atsitiktinai sugeneravo kodus, apibrėžiančius trimatę sferą ir patikrino, ar juose nėra „bangos“. Eksperimente, kuriam reikėjo labai ilgo skaičiavimo, milijonas tokių atsitiktinių

sferos atvaizdai - ir visose buvo aptikta „banga“! Tai buvo gana įtikinamas argumentas siūlomo algoritmo teisingumo naudai. Tačiau autoriai, būdami rimti matematikai, susilaikė nuo skubotų teiginių. Ir ne veltui: po poros metų buvo atrastas priešingas pavyzdys...

Po 20 metų pagaliau buvo sukurtas 3 sferų atpažinimo algoritmas (eksponentiniu laiku). Tačiau bendra 3 dimensijos paviršių algoritminio atpažinimo problema yra atvira, šiandien ji aktyviai tiriama, o aukštesniems matmenims jos neįveikiamumas buvo žinomas seniai, o matmeniui-2 buvo išspręstas dar anksčiau.

Pasak šiuolaikinio filosofo A. V. Dakhino, ypač svarbu pažymėti, kad Poincaré-Perelman teorema apima dviejų kosminių struktūrų egzistavimo idėją pasaulinėje Visatoje.

Profesorius Dakhinas mano, kad prasminga spręsti šiuos logiškus klausimus: kodėl gali būti erdvė su skyle ir kodėl gali būti erdvė be skylės? Kaip egzistuoja erdvė su skyle ir kaip erdvė be skylės? Ir gilesnis klausimas: kas yra skylės viduje ir kur yra tas „kažkas“, kai skylės trūksta?

Šiuos klausimus galima iliustruoti kalbant apie visatos pradžios problemą. Tikslinga pasiūlyti du paveikslėlius: vienas iš jų rodo, kad pradžia yra taškinis objektas (medžiagos dalelė), o kitas atspindės, kad Visatos pradžia yra ne materija, o skylė (nieko arba dvasia), kur nėra laiko ir erdvės.

„Thurstponto teorija, vadinama geometrizavimo hipoteze, aprašo visus įmanomus trimačius kolektorius ir todėl yra labai svarbus Puankarės spėlionių apibendrinimas. Thurstono spėlionių įrodymas reiškė Puankarės problemos įrodymą. Thurstono ir Poincaré teorijų įrodinėjimas „atvėrė didžiulį pažadą“, pripažino Harvardo universiteto matematikas Barry Mazuras.

universitetas. Šių įrodymų reikšmė kitoms mokslo sritims dar ilgai nebuvo akivaizdi, tačiau neabejotina, kad matematikams šios problemos buvo esminės. „Šios problemos yra panašios į XX amžiaus Pitagoro teoremą“, – pridūrė Mazuras. „Jos turi didžiulį poveikį matematikai.

Sylvia Nasser, David Gruber. Įvairus likimas. Legendinė problema ir kova ją išspręsti

Dialektinis požiūris reikalauja rasti koncepciją, kuri apibendrintų abu erdvės modelius. Pagrindinę idėją čia iškėlė Puankarė, pagrindęs skirtumą (ir tarpusavio ryšį) tarp Dekarto erdvės modelio (trimatė sistema) ir paties Puankarės darbuose pateikto „gyvosios“ erdvės modelio (sferinė sistema). Visų pirma, jis pateikė savo sąvokos „taškas erdvėje“ apibrėžimą „gyvai“ erdvinei sistemai. Jis parodė tašką erdvėje kaip sąveikos su kitais aplinkiniais objektais agentą. Atitinkamai, kaip sąveikos agentas, kiekvienas erdvės taškas taip pat yra laiko taškas, todėl turi turėti savo atmintį.

Taigi, būtų pagrįsta daryti išvadą: erdvėlaikio taškas – kadangi jis yra savo sąveikos veiksnys – veikia veikiamas savo atminties ir todėl yra laikomas Visatos „neapibrėžtumo centru“. Kartu ši atmintis yra savotiška ankstesnės agento istorijos apraiška, kurios nėra visose dabarties sąveikose. Vadinasi, atmintis kiekvienam agentui suteikia tam tikrą nepriklausomybę nuo dabarties objektų ir sąveikos. Atsižvelgdami į situaciją, galime pastebėti, kad be dabarties priežasčių ir sąveikos agentas turi ir kitų savo veiklos šaltinių. Kitaip tariant, ji turi savo veiklos šaltinius, kurie iš išorės atrodo kaip skylės.

Apibendrindami tai, kas pasakyta, darykime prielaidą, kad erdvėlaikio taškas turi dvi ontologines savo veiklos dimensijas.

Viena dimensija (būties sfera) yra susijusi su savo ankstesnės istorijos įtaka; tai atminties dimensija, kuri atrodo kaip skylė ir yra nematomas „neapibrėžtumo centro“ veiklos fiksatorius.

Antroji dimensija (egzistencijos sfera) susijusi su jo sąveikomis dabartyje; tai yra sąveikų matmuo, ir jis pasireiškia per materialių dalelių, kurios yra bet kokios determinacijos centro veiklos matoma įranga, veiklą.

Ryžiai. 21. Modelio perėjimai į Puankarės visatos neapibrėžtumo centrą

Taigi, atsižvelgiant į egzistencinę dimensiją, Visatos erdvė atrodys kaip su skylėmis, nes bet koks objektas ar veiksnys bus pasuktas į savo atminties pusę. Egzistencijos aspektu Visatos erdvė atrodys kaip turinti materialių dalelių, nes bet koks objektas ar veiksnys bus išryškintas iš sąveikos pusės. Atsižvelgiant į dialektiką, ypač svarbu pabrėžti abiejų dimensijų skirtumą ir ryšį. Baigdamas savo logines konstrukcijas, profesorius Dakhinas apibendrina, kad globalumo teorija

Naujoji Visatos evoliucija negali būti adekvati, jei ji ir toliau bus aprūpinta tik vienu konceptualiu matmeniu.

Taigi, mūsų akivaizdoje yra abstrakti geometrinė arba, tiksliau, topologinė problema, kuri neabejotinai labai paveikė didžiojo prancūzų metafiziko mentalitetą (taip nuo Aristotelio laikų buvo vadinami mokslininkai, susiję su mokslo filosofija). Tai buvo tam tikra ypatinga įtaka, privertusi Puankarę surišti konvencionalizmą, reliatyvizmą ir kitų dimensijų topologiją į vieną tvirtą loginių konstrukcijų mazgą. Kas pasirodė prieš nustebusį mokslininko žvilgsnį, kai jam pavyko išnarplioti šią mokslinę problemą?

Tai buvo kažkokia nauja pasaulėžiūra, tokia neįprasta, kad tapo garsiosios „Puankarės tylos“ priežastimi...

Tačiau Puankarės problema su visa savo paslaptimi taip pat reiškė sprendimą, be to, ji atskleidė kai ką iš esmės naujo mūsų Pasaulio išvaizdoje...

Morrisas Kline'as kartą rašė, kad nors matematika yra grynai žmogaus kūrinys, ji atvėrė prieigą prie kai kurių gamtos paslapčių ir taip leido mums pasiekti sėkmių, viršijančių visus lūkesčius. Kad ir kaip būtų paradoksalu, būtent matematinės abstrakcijos taip nutolusios nuo tikrovės suteikė žmogui galimybę daug pasiekti. Kad ir koks dirbtinis ir kartais pasakiškas būtų matematinis aprašymas, jis turi savo moralę. Mąstančiam mokslininkui matematinis aprašymas visada buvo neišsenkantis stebuklų šaltinis, kilęs iš to, kad gamta pasižymi tokiu aukštu matematinių formulių atitikimo laipsniu. Ar fizikiniais dėsniais išreikšti reguliarūs santykiai yra būdingi pačiai gamtai ir mes juos tik atrandame, ar mokslininko protas juos sugalvoja ir pritaiko gamtai – bet kuriuo atveju mokslininkai turėtų tikėtis, kad jų nenuilstamas darbas prisidės prie gilesnės skverbtis į gamtos paslaptis.

Čia susilieja pirmieji trys mūsų istorinio fizinio ir matematinio galvosūkio galvosūkiai: fizikinis reliatyvizmas, algebrinė topologija ir konvencionalizmo filosofija. Visa tai kartu turėjo sukelti tam tikrą proveržį mokslininko pasaulėžiūroje. Proveržis yra toks įspūdingas ir atveria tokius pažinimo horizontus, kad Puankarė ilgam pasinėrė į gilią tylą, svarstydama apie naujas perspektyvas suvokti supančią tikrovę.