15 eilučių sprendimą pristatė garsus britų mokslininkas seras Michaelas Francis Atiyah ( Michaelas Francis Atiyah), prestižinių matematikos premijų laureatas. Daugiausia dirba matematinės fizikos srityje. Mokslas praneša, kad Atiyah apie savo atradimą kalbėjo konferencijoje Heidelbergo laureatų forumas Pirmadienį Heidelbergo universitete.

Riemanno hipotezę suformulavo, kaip galima spėti, Bernhardas Riemannas 1859 m. Matematikas pristatė zeta funkcijos – sudėtingo kintamojo funkcijos – sąvoką ir panaudojo ją pirminių skaičių pasiskirstymui apibūdinti. Pirminė pirminių skaičių problema buvo ta, kad jie buvo tiesiog paskirstyti natūraliųjų skaičių serijoje be jokio matomo modelio. Riemannas pasiūlė savo skirstymo funkciją pirminiams skaičiams, neviršijantiems x, bet negalėjo paaiškinti, kodėl atsiranda priklausomybė. Mokslininkai šią problemą stengiasi išspręsti beveik 150 metų.

Riemanno hipotezė yra viena iš septynių tūkstantmečio premijų problemų, kurių kiekviena atneša milijono dolerių atlygį. Iš šių problemų buvo išspręsta tik viena – Poincaré spėjimas. Jo sprendimą dar 2002 m. savo darbų serijoje pasiūlė rusų matematikas Grigorijus Perelmanas. 2010 metais mokslininkas buvo apdovanotas premija, tačiau jos atsisakė.

Georgas Friedrichas Bernhardas Riemannas – vokiečių matematikas ir fizikas / ©Wikipedia

Michaelas Atiyahas teigia paaiškinęs Riemanno nustatytą modelį. Savo įrodyme matematikas remiasi pagrindine fizine konstanta – smulkiosios struktūros konstanta, kuri apibūdina įkrautų dalelių elektromagnetinės sąveikos stiprumą ir pobūdį. Aprašydamas šią konstantą naudodamas santykinai mažai žinomą Toddo funkciją, Atiyah rado Riemanno hipotezės sprendimą prieštaringai.

Mokslo bendruomenė neskuba priimti siūlomų įrodymų. Pavyzdžiui, ekonomistas iš Norvegijos mokslo ir technologijų universiteto Jorgenas Wisdalas ( Jorgenas Veisdalas), anksčiau tyrinėjęs Riemanno hipotezę, teigė, kad Atiyah sprendimas buvo „pernelyg neaiškus ir neaiškus“. Mokslininkas turi atidžiau išnagrinėti rašytinius įrodymus, kad padarytų išvadas. Susisiekė Atiyah kolegos Mokslas, taip pat pažymėjo, kad pateikto sprendimo jie nelaiko sėkmingu, nes jis pagrįstas netvirtomis asociacijomis. Kalifornijos universitetas, Riverside matematinis fizikas Johnas Baezas ( Jonas Baezas) ir netgi pareiškė, kad Atiyah įrodymas „tiesiog kelia vieną didžiulį reikalavimą kitam be jokių argumentų ar jokio realaus pateisinimo“.

Norėjau plačiau pakalbėti apie iš pažiūros neseniai pasitvirtintą Henrio Poincaré spėjimą, bet tada nusprendžiau „išplėsti problemą“ ir „viską“ papasakoti trumpai. Taigi, Molio matematikos institutas Bostone 2000 m. nustatė „septynių tūkstantmečių problemas“ ir už kiekvienos iš jų sprendimą skyrė milijono dolerių prizą. Štai jie:

1. Poincaré spėjimas
2. Riemano hipotezė
3. Navier-Stokes lygtis
4. Kuko spėjimas
5. Hodge spėjimas
6. Yang-Millis teorija
7. Birch-Swinnerton-Dyer hipotezė

Apie Poincaré spėjimą kalbėsime kitą kartą, dabar bendrais bruožais kalbėsime apie kitas problemas

Riemano hipotezė (1859 m.)

Visi žino, kas yra pirminiai skaičiai – tai skaičiai, kurie dalijasi iš 1 ir savęs. Tie. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ir kt. Tačiau įdomu tai, kad iki šiol nebuvo įmanoma nustatyti jokio jų išdėstymo modelio.
Taigi, manoma, kad sveikojo skaičiaus x kaimynystėje vidutinis atstumas tarp einančių pirminių skaičių yra proporcingas x logaritmui. Tačiau vadinamieji suporuoti pirminiai skaičiai (pirminiai skaičiai dvyniai, kurių skirtumas yra 2, pavyzdžiui, 11 ir 13, 29 ir 31, 59 ir 61) kartais sudaro ištisas grupes, pavyzdžiui, 101. 103, 107, 109 ir 113. Jei tokių grupių randama labai didelių pirminių skaičių srityje, staiga gali kilti abejonių dėl šiuo metu naudojamų kriptografinių raktų stiprumo.
Riemannas pasiūlė savo versiją, patogią identifikuoti didelius pirminius skaičius. Anot jo, pirminių skaičių skirstinio pobūdis gali gerokai skirtis nuo to, kas šiuo metu manoma. Riemannas atrado, kad pirminių skaičių P(x), neviršijančių x, išreiškiamas netrivialių Riemann zeta funkcijos Z(s) nulių skirstiniu. Riemannas iškėlė hipotezę, kuri dar neįrodyta ar paneigta, kad visi netrivialūs zeta funkcijos nuliai yra tiesėje R(z) = (1/2). (Atsiprašome, bet nežinau, kaip pakeisti kodavimą, kad būtų rodomos graikiškos raidės).
Apskritai, įrodžius Riemann hipotezę (jei tik įmanoma) ir pasirinkus tinkamą algoritmą, bus galima sulaužyti daugybę slaptažodžių ir slaptų kodų.

Navier-Stokso lygtis. (1830 m.)

Netiesinis difuras, apibūdinantis skysčių ir oro srautų šiluminę konvekciją. Tai viena iš pagrindinių meteorologijos lygčių.

p – slėgis
F – išorinė jėga
r (rho) – tankis
n (nu) – klampumas
v - kompleksinis greitis

Tikriausiai jo tikslus analitinis sprendimas yra įdomus grynai matematiniu požiūriu, tačiau apytiksliai sprendimo metodai egzistuoja jau seniai. Kaip įprasta tokiais atvejais, netiesinis difuras yra padalintas į keletą tiesinių, kitas dalykas yra tai, kad tiesinių difurų sistemos sprendimas pasirodė neįprastai jautrus pradinėms sąlygoms. Tai tapo akivaizdu, kai, atsiradus kompiuteriams, atsirado galimybė apdoroti didelius duomenų kiekius. Taigi 1963 metais amerikietis meteorologas iš Masačusetso technologijos instituto Edwardas Lorenzas uždavė klausimą: kodėl spartus kompiuterių tobulėjimas nepadėjo įgyvendinti meteorologų svajonės – patikimos vidutinės trukmės (2-3 sav. išankstinė) orų prognozė? Edwardas Lorenzas pasiūlė paprasčiausią modelį, susidedantį iš trijų įprastų diferencialinių lygčių, apibūdinančių oro konvekciją, apskaičiavo jį kompiuteriu ir gavo nuostabų rezultatą. Šis rezultatas – dinaminis chaosas – yra sudėtingas neperiodinis judėjimas, turintis ribotą prognozavimo horizontą deterministinėse sistemose (ty tose, kuriose ateitį vienareikšmiškai lemia praeitis). Taip buvo atrastas keistasis pritraukėjas. Šios ir kitų panašių sistemų elgesio nenuspėjamumo priežastis yra ne ta, kad matematinė teorema apie sprendimo egzistavimą ir unikalumą tam tikromis pradinėmis sąlygomis yra neteisinga, o tai, kad sprendimas yra nepaprastas jautrumas šioms pradinėms sąlygoms. Artimos pradinės sąlygos laikui bėgant lemia visiškai kitokią galutinę sistemos būseną. Be to, skirtumas dažnai laikui bėgant didėja eksponentiškai, ty labai greitai.

Kuko hipotezė (1971)

Kaip greitai galite patikrinti konkretų atsakymą, yra neišspręsta logikos ir kompiuterinių skaičiavimų problema! Stephenas Cookas jį suformulavo taip: „ar problemos sprendimo teisingumo patikrinimas gali užtrukti ilgiau nei paties sprendimo gavimas, nepaisant patikrinimo algoritmo? Šios problemos sprendimas galėtų pakeisti duomenų perdavimo ir saugojimo kriptografijos pagrindus ir paskatinti vadinamojo algoritmo kūrimą. „kvantiniai kompiuteriai“, kurie vėlgi padės pagreitinti problemų, susijusių su brutalios jėgos kodais, sprendimo algoritmą (pavyzdžiui, tas pats slaptažodžio įlaužimas).
Tegu pateikiama 10 000 kintamųjų funkcija: f (x 1 ... x 10 000), dėl paprastumo darome prielaidą, kad kintamieji gali turėti reikšmes 0 arba 1, funkcijos rezultatas taip pat yra 0 arba 1. algoritmas, apskaičiuojantis šią funkciją bet kuriam argumentų rinkiniui per gana trumpą laiką (tarkime, t=0,1 sek.).
Turime išsiaiškinti, ar yra aibė argumentų, kurių funkcijos reikšmė lygi 1. Šiuo atveju argumentų rinkinys, kuriame funkcija lygi 1, mūsų nedomina. Mums tereikia žinoti, ar jis ten, ar ne. Ką mes galime padaryti? Paprasčiausias dalykas yra imtis ir kvailai pereiti visą seką nuo 1 iki 10000 visuose deriniuose, apskaičiuojant funkcijos reikšmę skirtinguose rinkiniuose. Blogiausiu atveju tam skirsime 2 tN arba 2 1000 sekundžių, o tai daug kartų viršija Visatos amžių.
Bet jei žinome funkcijos f prigimtį, tada
Galite sumažinti paiešką, atmesdami argumentų rinkinius, kurių funkcija akivaizdžiai lygi 0. Daugeliui realių problemų tai leis jas išspręsti per priimtiną laiką. Kartu atsiranda problemų (vadinamosios NP-complete problemos), kurioms net ir sumažinus paiešką, bendras sprendimo laikas lieka nepriimtinas.

Dabar apie fizinę pusę. Yra žinoma, kad kvantinis
su tam tikra tikimybe gali būti 0 arba 1 būsenoje. Įdomu tai, kad galite sužinoti, kurioje būsenoje jis yra:

A: 0 su 1 tikimybe
B: 1 su 1 tikimybe
C: 0 su tikimybe p, 1 su tikimybe 1-p

Skaičiavimų kvantiniame kompiuteryje esmė – paimti 1000 kvantų būsenoje C ir įvesti juos į funkcijos f įvestį. Jei išvestyje gaunamas kvantas A būsenoje, tai reiškia, kad f = 0 visose galimose aibėse. Na, jei išvestis sukuria kvantą būsenoje
B arba C, tai reiškia, kad yra aibė, kurioje f=1.
Akivaizdu. kad „kvantinis kompiuteris“ žymiai pagreitins užduotis, susijusias su duomenų rūšiavimu, tačiau bus neefektyvus duomenų rašymo ar skaitymo pagreitinimo požiūriu.

Yang-Mills teorija

Tai turbūt vienintelis iš septynių nustatytų klausimų, kuris yra tikrai esminis. Ją išsprendus gerokai paspartinsime „vieningos lauko teorijos“ sukūrimą, t.y. nustatantis deterministinį ryšį tarp keturių žinomų sąveikų tipų

1. Gravitacinė
2. Elektromagnetinis
3. Stiprus
4. Silpnas

1954 m. Yang Zhenning (geltonųjų šaknų rasės narys) ir Robertas Millsas pasiūlė teoriją, suvienijančią elektromagnetines ir silpnąsias jėgas (Glashow, Weinberg, Salam – Nob. Prize 1979). Be to, jis vis dar yra kvantinio lauko teorijos pagrindas. Bet čia matematinis aparatas jau pradėjo gesti. Faktas yra tas, kad "kvantinės dalelės" elgiasi visiškai kitaip nei "didieji kūnai" Niutono fizikoje. Ir nors yra bendrų taškų, pavyzdžiui, įkrauta dalelė sukuria elektromagnetinį lauką, o dalelė, kurios masė ne didesnė kaip nulis – gravitacinį lauką; arba, pavyzdžiui, dalelė yra lygiavertė jos kuriamų laukų rinkiniui, nes per šiuos laukus vyksta bet kokia sąveika su kitomis dalelėmis; Fizikos požiūriu, atsižvelgti į dalelės generuojamus laukus yra tas pats, kas žiūrėti į pačią dalelę.
Bet tai, taip sakant, yra „pirmasis apytikslis“.
Taikant kvantinį metodą, tą pačią dalelę galima apibūdinti dviem skirtingais būdais: kaip tam tikros masės dalelę ir kaip tam tikro ilgio bangą. Vienos dalelės banga apibūdinama ne jos padėtimi erdvėje, o bangos funkcija (dažniausiai žymima Y), o jos vieta yra tikimybinio pobūdžio – tikimybė rasti dalelę duotame taške x tam tikru laiku t. yra Y = P(x,t)^2 . Atrodytų nieko neįprasto, tačiau mikrodalelių lygyje atsiranda toks „nemalonus“ efektas – jei dalelę vienu metu veikia keli laukai, jų bendras poveikis nebegali būti išskaidytas į kiekvienos iš jų veikimą atskirai, klasikinis principas. superpozicija neveikia. Taip nutinka todėl, kad pagal šią teoriją viena kitą traukia ne tik medžiagos dalelės, bet ir pačios lauko linijos. Dėl šios priežasties lygtys tampa netiesinės ir joms negali būti pritaikytas visas tiesinių lygčių sprendimo matematinių metodų arsenalas. Ieškoti sprendimų ir net įrodyti jų egzistavimą tampa nepalyginamai sunkesnė užduotis.
Štai kodėl jo išspręsti „priekaištų“ bet kokiu atveju neįmanoma, teoretikai pasirinko kitą kelią. Taigi, remdamasis Youngo ir Millso išvadomis, Murray Gell-Mann sukūrė stiprios sąveikos teoriją (Nob. premija).
Pagrindinis teorijos bruožas – dalelių su daliniu elektros krūviu – kvarkų – įvedimas.

Tačiau norint matematiškai „susieti“ elektromagnetinę, stiprią ir silpną sąveiką viena su kita, turi būti įvykdytos trys sąlygos:

1. Masių spektro „tarpo“ buvimas, angliškai - masės tarpas
2. Kvarkų uždarymas: kvarkai yra užrakinti hadronų viduje ir iš esmės negali būti laisvos formos
3. Simetrijos pažeidimai

Eksperimentai parodė, kad šios sąlygos yra įvykdytos realiame gyvenime, tačiau griežto matematinio įrodymo nėra. Tie. Tiesą sakant, I-M teoriją būtina pritaikyti 4 matmenų erdvei, kuri turi tris nurodytas savybes. Man ši užduotis kainuoja gerokai daugiau nei milijoną. Ir nors ne vienas padorus fizikas abejoja kvarkų egzistavimu, eksperimentiškai jų aptikti nepavyko. Daroma prielaida, kad skalėje nuo 10 iki 30 tarp elektromagnetinės, stipriosios ir silpnosios sąveikos prarandamas bet koks skirtumas (vadinamasis „Didysis susivienijimas“), kitas dalykas – tokiems eksperimentams reikalinga energija (daugiau nei 10 16). GeV) negalima gauti naudojant greitintuvus. Tačiau nesijaudinkite – Didžiojo susivienijimo išbandymas vyks per ateinančius kelerius metus, nebent, žinoma, žmonijai iškils nereikalingų problemų. Fizikai jau sukūrė bandomąjį eksperimentą, susijusį su protonų nestabilumu (YM teorijos pasekmė). Tačiau ši tema nepatenka į mūsų pranešimo sritį.

Na, prisiminkime, kad tai dar ne viskas. Lieka paskutinis bastionas – gravitacija. Mes tikrai nieko apie tai nežinome, išskyrus tai, kad „viskas traukia“ ir „erdvė-laikas yra išlenktas“. Akivaizdu, kad visos pasaulio jėgos susiveda į vieną supervalstybę arba, kaip sakoma, „super susivienijimą“. Bet koks yra supervienijimo principas? Alikas Einšteinas manė, kad šis principas yra geometrinis, kaip ir bendrosios reliatyvumo teorijos principas. Gali buti. Tie. fizika pačiame pagrindiniame lygmenyje yra tik geometrija.

Birch ir Swinnerton-Dyer spėjimas

Prisimeni Paskutinę Ferma teoremą, kurią, atrodo, įrodė koks nors anglas 1994 m.? Prireikė 350 metų! Taigi dabar problema tęsėsi – reikia visus sprendinius aprašyti sveikaisiais skaičiais
x, y, z algebrinės lygtys, tai yra kelių kintamųjų lygtys
su sveikaisiais koeficientais. Algebrinės lygties pavyzdys yra lygtis
x 2 + y 2 = z 2 . Euklidas pateikė išsamų aprašymą
šios lygties sprendiniai, bet sudėtingesnėms lygtims gauti sprendimą
tampa labai sunku (pavyzdžiui, įrodyti, kad nėra sveikųjų skaičių
lygties x n + y n = z n sprendiniai).
Birchas ir Swinnertonas-Dyeris pasiūlė, kad sprendinių skaičius nustatomas pagal zeta funkcijos ζ reikšmę, susietą su lygtimi taške 1: jei zeta funkcijos ζ(s) reikšmė taške 1 yra 0, tada sprendinių yra begalinis skaičius, ir atvirkščiai, jei ne lygus 0, tai tokių sprendinių yra tik baigtinis skaičius. Čia problema, beje, turi kažką bendro su Riemann hipoteze, tik ten buvo ištirtas netrivialių zeta funkcijos ζ(s) nulių pasiskirstymas

Hodžo spėjimas
Turbūt pati abstraktiausia tema.
Kaip žinoma, norint apibūdinti sudėtingų geometrinių objektų savybes, jų savybės yra apytikslės. Na, pavyzdžiui, kamuoliuką (nors jis visai nesudėtingas) galima įsivaizduoti kaip paviršių, susidedantį iš mažų kvadratėlių. Bet jei yra sudėtingesnių paviršių, tada kyla klausimas, kiek galime apytiksliai nustatyti tam tikro objekto formą, suklijuodami paprastus didėjančio matmens kūnus? Šis metodas pasirodė veiksmingas aprašant įvairius objektus, su kuriais susiduriama matematikoje, tačiau kai kuriais atvejais reikėjo pridėti dalių, kurios neturėjo geometrinės interpretacijos.
Peržiūrėjau abstrakčią Gelfand-Manin knygą šia tema, joje aprašoma Hodge'o teorija dėl lygių nekompaktiškų darinių, bet tiesą pasakius, aš nelabai supratau, nelabai suprantu analitinės geometrijos apskritai. Esmė ta, kad kai kurių ciklų integralus galima apskaičiuoti naudojant liekanas, o šiuolaikiniai kompiuteriai tai puikiai tinka.
Pats Hodžo spėjimas yra tas, kad tam tikrų tipų erdvėms, vadinamoms projekcinėmis algebrinėmis atmainomis, vadinamasis. Hodge ciklai yra objektų deriniai, kurie turi geometrinę interpretaciją – algebrinius ciklus.

Ar Riemann hipotezė buvo įrodyta?

Šią savaitę Purdue mokslų mokyklos matematikos profesorius ir Edvardo Elioto premijos laureatas Louisas de Brangesas paskelbė 23 puslapių darbas su savo įrodymu. Matematikai apie tokius pasiekimus paprastai skelbia konferencijose arba mokslo žurnaluose. Tačiau už Riemanno hipotezės įrodymą buvo skirta 1 milijono dolerių premija, todėl jis nusprendė paskubėti publikuoti. "Kviečiu kitus matematikus patikrinti mano skaičiavimus", - sakė de Branges parengtame pareiškime. „Atėjus laikui pateiksiu savo įrodymą oficialiai paskelbti, bet dėl ​​susiklosčiusių aplinkybių jaučiu poreikį nedelsiant paskelbti savo darbą internete.

Hipotezė susijusi su pirminių skaičių pasiskirstymu. Pirminiai skaičiai dalijasi tik iš savęs ir vieneto. Be kitų užduočių, pirminiai skaičiai naudojami šifravimui. Anksčiau šį mėnesį buvo patvirtinta, kad buvo aptiktas didžiausias iki šiol žinomas pirminis skaičius, kuris išreiškiamas dviem laipsniais 24036583 atėmus vienetą ir parašytas 7235733 dešimtainiais skaitmenimis.

Kaip ir daugelio kitų matematinių problemų sprendimai, Riemanno hipotezės įrodymas greičiausiai nebus nedelsiant panaudotas komerciniais tikslais, tačiau per dešimtmetį jis greičiausiai bus panaudotas.

Hipotezės ištakos siekia 1859 m., kai matematikas Bernhardas Riemanas pasiūlė teoriją apie pirminių skaičių pasiskirstymą, tačiau jis mirė 1866 m., negalėdamas užbaigti jos įrodymo. Nuo to laiko daugelis ėmėsi užduoties. Visų pirma, jį bandė išspręsti matematikas ir Nobelio ekonomikos premijos laureatas Johnas Nashas, ​​kurio gyvenimo istorija yra knygos ir filmo siužeto pagrindas. Gražus protas(„Proto žaidimai“) 2001 m. Clay matematikos institutas Kembridže, Masačusetso valstijoje, paskelbė 1 milijono dolerių premiją už hipotezės įrodymą.

De Brangesas bene geriausiai žinomas kaip kitos techninės matematikos problemos sprendimas: prieš 20 metų jis įrodė Bieberbacho teoremą. Nuo tada mokslininkas beveik visiškai atsidavė Riemanno hipotezės patikrinimui.

Ankstesnės publikacijos:

Garsus britų matematikas Michaelas Atiyahas, Oksfordo, Kembridžo ir Edinburgo institutų profesorius ir beveik keliolikos prestižinių matematikos premijų laureatas, pateikė spėlionės, vienos iš „tūkstantmečio problemų“, įrodymą. Įrodymas trunka tik 15 eilučių, o kartu su įvadu ir bibliografija užima penkis puslapius. Tekstas Atiyah paskelbta„Drive“ paslaugoje.

Hipotezę apie Riemano zeta funkcijos nulių skirstinį suformulavo matematikas Bernhardas Riemannas 1859 m.

Jame aprašoma, kaip pirminiai skaičiai yra skaičių eilutėje.

Nors nebuvo rasta modelio, apibūdinančio pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių, Riemannas išsiaiškino, kad pirminių skaičių skaičius, neviršijantis x – pirminių skaičių pasiskirstymo funkcija, žymima π(x) – išreiškiamas vadinamųjų skaičių pasiskirstymu. „netrivialūs nuliai“ » zeta funkcijos.

Riemano hipotezė teigia, kad visi netrivialūs zeta funkcijos nuliai yra kompleksinės plokštumos vertikalioje tiesėje Re=0,5. Riemanno hipotezė svarbi ne tik grynai matematikai – zeta funkcija nuolat iškyla sprendžiant praktines problemas, susijusias su pirminiais skaičiais, pavyzdžiui, kriptografija.

Anot Atiyah, sprendimą jis rado eksperimentuodamas su smulkiosios struktūros konstanta, pagrindine fizine konstanta, apibūdinančia elektromagnetinės sąveikos stiprumą. Tai lemia labai mažo atomo energijos lygių dydžio (skilimo) pokyčio dydį ir, atitinkamai, smulkios struktūros – siaurų ir artimų dažnių rinkinio spektrinėse linijose – susidarymą.

Riemanno hipotezė yra viena iš septynių „Tūkstantmečio problemų“, už kurių kiekvienos išsprendimą Molio matematikos institutas JAV privalo sumokėti milijono JAV dolerių atlygį.

Jei įrodymas pasitvirtins, Atiyah gaus atlygį.

Molio matematikos institutas paskelbė apie savo sprendimą skirti premiją Perelmanui 2010 m. kovo 19 d. Darbus, už kuriuos matematikas gavo apdovanojimą, jis parašė 2002 m., jie buvo patalpinti elektroninių išankstinių spaudinių archyve, o ne publikuoti recenzuojamuose mokslo žurnaluose. Savo skaičiavimuose Perelmanas įrodė Thurstono geometrizavimo spėjimą, kuris yra tiesiogiai susijęs su Poincaré spėjimu.

2005 metais Perelmanas už šį darbą buvo apdovanotas Fieldso medaliu, dažnai vadinamu Nobelio matematikų premija. Šio apdovanojimo atsisakė ir rusų matematikas.

2014 m. matematikas iš Kazachstano Mukhtarbajus Otelbajevas išsprendė dar vieną iš „tūkstantmečio uždavinių“ - jis rado Navier-Stokes lygčių sistemos sąlygas, pagal kurias kiekvienam parametrų rinkiniui yra unikalus sprendimas. Navier-Stokes lygtys yra dalinių diferencialinių lygčių sistema, apibūdinanti klampaus Niutono skysčio judėjimą. Navier-Stokes lygtys yra vienos svarbiausių hidrodinamikos srityje ir yra naudojamos daugelio gamtos reiškinių ir techninių problemų matematiniam modeliavimui.

Kad Otelbajevo sprendimas būtų pripažintas teisingu, mokslo bendruomenė turi jį patikrinti. Kol kas testo rezultatai nežinomi.

2010 metais indų kilmės amerikiečių matematikas Vinay Deolalikar išsprendė dar vieną tūkstantmečio problemą – rado P ir NP sudėtingumo klasių nelygybės įrodymą.

Ši problema yra tokia: jei teigiamas atsakymas į kokį nors klausimą gali būti greitai patikrintas (polinominiu laiku), tai ar tiesa, kad atsakymą į šį klausimą galima rasti greitai (dauginamo laiku ir naudojant daugianario atmintį), t. ar problema tikrai tiesa ar lengviau patikrinti nei išspręsti?

Kol kas nėra įrodymų, kad mokslo bendruomenė pripažino įrodymus kaip teisingus.

Riemanno hipotezės įrodymas

• Matematika

Riemanno hipotezė yra matematinė hipotezė, kurią 1859 m. iškėlė Bernhardas Riemannas. Ir kuri dar nėra išspręsta.

Riemann hipotezė skamba taip:

Visi netrivialūs zeta funkcijos nuliai turi realiąją dalį, lygią 1/2.

Jei Riemanno hipotezė yra teisinga, tada

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

Riemanno hipotezė yra labai svarbi kvantinėje mechanikoje ir kriptografijoje.

Formulė π(x) ir Li(x)

Funkcija π(x) parodo, kiek pirminių skaičių yra duotame skaičiuje x. Pirminiai skaičiai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš savęs ir vieneto. Pavyzdžiui: 2 3 5 7…

Funkcijos π(x) formulė:

(1.1)
Įrodymas:

Pagal Eratosteno sieto taisykles ši formulė neįtraukia į pateiktą skaičių x visus ne pirminius skaičius. Eretosteno sietas yra Eratosteno iš Kirėno išrastas metodas pirminių skaičių sekai nustatyti. Algoritmas yra toks, jei imame natūraliųjų skaičių seką be vieno

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…

Ir iš jo išbraukti visus lyginius skaičius, išskyrus mažiausius iš jų, t.y. dviese, pasirodo:

2 3 5 7 9 11 13 15 17…

Ir tada iš šios gautos sekos išskirkite visus skaičius, kurie dalijasi iš kito pirminio skaičiaus po 2, tai yra skaičius 3, neskaičiuojant savęs. Tai paaiškės:

2 3 5 7 11 13 17…

Jei tai padarysite be galo, liks tik pirminiai skaičiai. Mano formulė veikia šiuo principu. Pirma, formulė iš duoto skaičiaus x išskiria vieną, o tada visų lyginių skaičių, išskyrus 2. Tada skaičius, kuris dalijasi iš 3, išskyrus tris, ir iš šio kiekio lyginiai skaičiai, kurie dalijasi iš 3 neįtraukti ir kt.
fn(x) reiškia mažiausią skaičių, kurį reikia išskirti iš x, kad gautume skaičių, kuris dalijasi iš n be liekanos.

Funkcijos fn(x) grafikas:

(1.1) pav. Funkcijos fn(x) grafikas

Funkcijos domenas

Vertės diapazonas

Kiekvienoje skliausteliuose pateiktoje išraiškoje yra tam tikrų nepirminių skaičių, neviršijančių x.

Anksčiau ar vėliau formulės π(x) išraiška skliausteliuose bus lygi nuliui (1.1). Todėl ši suma nėra begalinė.

Negaliu įrodyti (1.1) formulės matematiškai, bet galima suprasti, kad formulė teisinga remiantis tuo, kad jos funkcija primena Eretosteno sietą. Galima sakyti, kad ši formulė yra analitinė Eretosteno sieto versija.

Funkcijos Li(x) formulė:

(1.2)
Įrodymas:

Visi šios sumos nariai yra stačiakampio plotas po funkcijos 1/ln(x) grafiku, begalinis skaičius stačiakampių plotų susilieja su plotu po funkcijos 1/ln(x) grafiku, pradedant argumentu 2. O kadangi funkcija Li(x) yra grafiko funkcijos 1/ln(x) integralas, tai formulė (1.2) lygi Li(x).

(1.2) pav. Stačiakampiai po funkcijos 1/ln(x) grafiku

Viršutinis dešinysis visų stačiakampių kampas yra tam tikrame grafiko taške, o kadangi stačiakampių yra be galo daug, stačiakampių kampai apima visus grafiko taškus nuo 1/ln(2) iki 1/ln(x).

Įrodymas

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

Ir jei pertvarkysite šią išraišką, paaiškės, kad taip

Tai yra, jei įrodysite šią nelygybę, paaiškės, kad Riemanno hipotezė yra teisinga.
Išvestines formules pakeisdami į nelygybę, gauname:

(1.3) Likęs terminas

Su sąlyga, kad x>2 Paverskime šią išraišką supaprastinimui.

Iš to galime daryti išvadą, kad jei nelygybė

(1.5)

Jei tai tiesa, tada Riemanno hipotezė yra teisinga. Pažiūrėkime. Jei visus nelygybės narius (1.5) perkelsime į dešinę nelygybės pusę, gausime

(1.6)

Pirmasis šios išraiškos skirtumas, kai x>2, visada yra neigiamas. Ir antras skirtumas yra neigiamas apytiksliai tik x>10, bet tai nėra baisu, nes mus domina tik dideli argumentai, išraiška (1.6) vis tiek bus teisinga.

Nelygybė (1.6) yra teisinga, o tai reiškia nelygybę

Taip pat tiesa.

Riemann hipotezė buvo įrodyta.

Žymos: Tūkstantmečio iššūkiai, pirminiai skaičiai