Laipsniai yra kampo matas. Centrinis kampas – kampas tarp dviejų spindulių

Kampo laipsnio matas. Radianinis kampo matas. Laipsnius konvertuoti į radianus ir atvirkščiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ankstesnėje pamokoje išmokome išmatuoti kampus trigonometriniame apskritime. Išmoko skaičiuoti teigiamus ir neigiamus kampus. Išmokome nubrėžti didesnį nei 360 laipsnių kampą. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išmatuoti kampus. Ypač su skaičiumi „Pi“, kuris mus stengiasi suklaidinti atliekant keblias užduotis, taip...

Standartiniai trigonometrijos uždaviniai su skaičiumi „Pi“ išsprendžiami gerai. Vaizdinė atmintis padeda. Bet bet koks nukrypimas nuo šablono yra katastrofa! Kad nenukristų - suprasti būtina. Tai mes dabar sėkmingai darysime. Aš turiu galvoje, mes viską suprasime!

Taigi, ką ar skaičiuojami kampai? Mokyklos trigonometrijos kurse naudojami du matai: kampo laipsnis matas Ir radianinio kampo matas. Pažvelkime į šias priemones. Be to trigonometrijoje niekur nėra.

Kampo laipsnio matas.

Kažkaip pripratome prie laipsnių. Bent jau išlaikėme geometriją... O gyvenime dažnai sutinkame, pavyzdžiui, frazę „apsisuko 180 laipsnių“. Trumpai tariant, laipsnis yra paprastas dalykas...

Taip? Atsakykite man tada kas yra laipsnis? Ką, iš karto nepavyksta? tai tiek...

Laipsniai buvo išrasti Senovės Babilone. Tai buvo seniai... prieš 40 šimtmečių... Ir jie sugalvojo paprastą idėją. Jie paėmė ir padalijo apskritimą į 360 lygių dalių. 1 laipsnis yra 1/360 apskritimo. Tai viskas. Jie galėjo jį suskaidyti į 100 dalių. Arba 1000. Bet jie padalijo į 360. Beje, kodėl būtent 360? Kuo 360 geriau nei 100? 100 atrodo kažkaip sklandžiau... Pabandykite atsakyti į šį klausimą. Ar silpnas prieš Senovės Babiloną?

Kažkur tuo pačiu metu Senovės Egipte juos kankino kitas klausimas. Kiek kartų apskritimo ilgis didesnis už jo skersmens ilgį? Ir matavo tai taip, ir taip... Viskas pasirodė kiek daugiau nei trys. Bet kažkaip gavosi gauruotas, nelygus... Bet jie, egiptiečiai, nekalti. Po jų jie kentėjo dar 35 šimtmečius. Kol galiausiai įrodė, kad kad ir kaip smulkiai supjaustytum apskritimą į lygias dalis, iš tokių gabalėlių galima padaryti sklandžiai skersmens ilgis neįmanomas... Iš esmės tai neįmanoma. Na, žinoma, kiek kartų perimetras yra didesnis už skersmenį. Maždaug. 3,1415926... karto.

Tai yra skaičius „Pi“. Toks gauruotas, toks apšepęs. Po kablelio yra begalinis skaičius be jokios tvarkos... Tokie skaičiai vadinami iracionaliais. Tai, beje, reiškia, kad iš vienodų apskritimo gabalėlių skersmuo sklandžiai nesulankstykite. Niekada.

Praktiniam naudojimui įprasta atsiminti tik du skaitmenis po kablelio. Prisiminkite:

Kadangi suprantame, kad apskritimo perimetras yra didesnis už jo skersmenį „Pi“ kartų, prasminga prisiminti apskritimo apskritimo formulę:

Kur L- perimetras ir d- jo skersmuo.

Naudinga geometrijoje.

Dėl bendrojo lavinimo pridursiu, kad skaičius „Pi“ randamas ne tik geometrijoje... Įvairiose matematikos šakose, o ypač tikimybių teorijoje, šis skaičius atsiranda nuolat! Savaime. Už mūsų norų ribų. kaip tai.

Bet grįžkime prie laipsnių. Ar supratote, kodėl Senovės Babilone apskritimas buvo padalintas į 360 lygių dalių? Ir, pavyzdžiui, ne 100? Ne? Gerai. Aš jums pateiksiu versiją. Senovės babiloniečių negalima klausti... Statybai ar, tarkime, astronomijai, patogu apskritimą padalinti į lygias dalis. Dabar išsiaiškinkite, iš kokių skaičių jis dalijasi visiškai 100, o kurios - 360? Ir kokioje šių daliklių versijoje visiškai- daugiau? Šis skirstymas labai patogus žmonėms. Bet...

Kaip paaiškėjo daug vėliau nei Senovės Babilonas, ne visi mėgsta laipsnius. Aukštoji matematika jų nemėgsta... Aukštoji matematika – rimta dama, organizuota pagal gamtos dėsnius. Ir ši ponia pareiškia: „Šiandien suskaidėte ratą į 360 dalių, rytoj suskirsite į 100, poryt į 245... O ką man daryti Ne, tikrai...“ Teko klausytis. Tu negali apgauti gamtos...

Turėjome įvesti kampo matą, nepriklausantį nuo žmonių išradimų. Susipažinkite - radianas!

Radianinis kampo matas.

Kas yra radianas? Radiano apibrėžimas vis dar grindžiamas apskritimu. 1 radiano kampas yra kampas, nupjaunantis lanką iš apskritimo, kurio ilgis yra ( L) yra lygus spindulio ilgiui ( R). Pažiūrėkime į paveikslėlius.

Toks mažas kampas, beveik nėra... Perkeliame žymeklį ant nuotraukos (arba paliečiame paveikslėlį planšetėje) ir matome maždaug vieną radianas. L = R

Ar jaučiate skirtumą?

Vienas radianas yra daug daugiau nei vienas laipsnis. Kiek kartų?

Pažiūrėkime į kitą paveikslėlį. Ant kurio nupiešiau puslankį. Išskleistas kampas, žinoma, yra 180°.

Dabar aš supjaustysiu šį puslankį radianais! Užvedame žymeklį ant nuotraukos ir matome, kad 180° tinka 3 plius radianai.

Kas gali atspėti, kam prilygsta ši uodega!?

Taip! Ši uodega yra 0,1415926.... Labas, numeris "Pi", mes tavęs dar nepamiršome!

Iš tiesų, 180° laipsnių yra 3,1415926... radiano. Kaip pats supranti, visą laiką rašyti 3.1415926... nepatogu. Todėl vietoj šio begalinio skaičiaus jie visada rašo paprastai:

Bet internete numeris

Nepatogu rašyti... Todėl ir rašau jo vardą tekste - "Pi". Nesusipainiok, gerai?...

Dabar galime visiškai prasmingai užrašyti apytikslę lygybę:

Arba tiksli lygybė:

Nustatykime, kiek laipsnių yra viename radiane. Kaip? Lengvai! Jei 3,14 radiano yra 180° laipsnių, tai 1 radiano yra 3,14 karto mažiau! Tai yra, padalijame pirmąją lygtį (formulė taip pat yra lygtis!) iš 3,14:

Šį santykį naudinga atsiminti. Vienas radianas yra maždaug 60°. Trigonometrijoje dažnai tenka įvertinti ir įvertinti situaciją. Čia šios žinios labai padeda.

Tačiau pagrindinis šios temos įgūdis yra laipsnius konvertuojant į radianus ir atvirkščiai.

Jei kampas pateikiamas radianais su skaičiumi „Pi“, viskas labai paprasta. Mes žinome, kad "Pi" radianai = 180°. Taigi "Pi" pakeičiame radianais - 180°. Mes gauname kampą laipsniais. Sumažiname, kas sumažinta, ir atsakymas paruoštas. Pavyzdžiui, turime išsiaiškinti, kiek laipsnių kampu "Pi"/2 radianas? Taigi rašome:

Arba egzotiškesnė išraiška:

Lengva, tiesa?

Atvirkštinis vertimas yra šiek tiek sudėtingesnis. Bet nelabai. Jei kampas nurodytas laipsniais, turime išsiaiškinti, koks vienas laipsnis yra lygus radianais, ir padauginti šį skaičių iš laipsnių. Kas yra 1° radianais?

Mes žiūrime į formulę ir suprantame, kad jei 180° = "Pi" radianai, tai 1° yra 180 kartų mažesnis. Arba, kitaip tariant, lygtį padalijame (formulė taip pat yra lygtis!) iš 180. Nereikia „Pi“ pavaizduoti kaip 3,14, bet kokiu atveju ji rašoma raide. Mes nustatome, kad vienas laipsnis yra lygus:

tiek. Mes padauginame laipsnių skaičių iš šios vertės ir gauname kampą radianais. Pavyzdžiui:

Arba panašiai:

Kaip matote, neskubiame pokalbyje su lyrinėmis nukrypimais paaiškėjo, kad radianai yra labai paprasti. O vertimas ne bėda... O “Pi” – visiškai pakenčiamas dalykas... Tai iš kur ta painiava!?

Aš atskleisiu paslaptį. Faktas yra tas, kad trigonometrinėse funkcijose rašomas laipsnių simbolis. Visada. Pavyzdžiui, sin35°. Tai sinusas 35 laipsnių . Ir radiano piktograma ( džiaugiuosi) – neparašyta! Tai numanoma. Arba matematikus apėmė tinginystė, arba dar kažkas... Bet jie nusprendė nerašyti. Jei sinuso kotangento viduje nėra simbolių, kampas yra radianais ! Pavyzdžiui, cos3 yra trijų kosinusas radianų .

Tai sukelia painiavą... Žmogus pamato „Pi“ ir tiki, kad jis yra 180°. Visada ir visur. Beje, tai veikia. Kol kas pavyzdžiai yra standartiniai. Bet „Pi“ yra skaičius! Skaičius yra 3,14, bet ne laipsniai! Tai yra "Pi" radianai = 180°!

Dar kartą: „Pi“ yra skaičius! 3.14. Neracionalu, bet skaičius. Tas pats kaip 5 arba 8. Pavyzdžiui, galite atlikti „Pi“ veiksmus. Trys žingsniai ir dar šiek tiek. Arba nusipirkti „Pi“ kilogramų saldainių. Jeigu susidurs išsilavinęs pardavėjas...

„Pi“ yra skaičius! Ką, suerzinau tave šia fraze? Ar jau seniai viską supratai? Gerai. Patikrinkim. Pasakyk man, kuris skaičius didesnis?

Arba kas yra mažiau?

Tai vienas iš šiek tiek nestandartinių klausimų, kurie gali jus įvaryti į stuporą...

Jei ir jūs patekote į stuporą, atsiminkite burtą: „Pi“ yra skaičius! 3.14. Pačiame pirmajame sinuse aiškiai nurodyta, kad kampas yra laipsniais! Todėl „Pi“ pakeisti 180° neįmanoma! "Pi" laipsniai yra maždaug 3,14°. Todėl galime rašyti:

Antrajame sinuso užrašų nėra. Taigi, ten - radianų! Čia „Pi“ pakeitimas 180° veiks puikiai. Konvertuodami radianus į laipsnius, kaip parašyta aukščiau, gauname:

Belieka palyginti šiuos du sinusus. Ką. pamiršai kaip? Žinoma, naudojant trigonometrinį apskritimą! Nubrėžkite apskritimą, nubrėžkite apytikslius 60° ir 1,05° kampus. Pažiūrėkime, kokius sinusus turi šie kampai. Trumpai tariant, viskas aprašyta kaip temos apie trigonometrinį apskritimą pabaigoje. Ant apskritimo (net ir kreivo!) tai bus aiškiai matoma sin60°žymiai daugiau nei sin1,05°.

Lygiai tą patį darysime su kosinusais. Ant apskritimo nubrėžsime maždaug 4 kampus laipsnių ir 4 radianas(Ar pamiršote, kam apytiksliai lygus 1 radianas?). Ratas pasakys viską! Žinoma, cos4 yra mažesnis nei cos4°.

Praktikuokime kampo matavimus.

Konvertuokite šiuos kampus iš laipsnių į radianus:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Šias vertes turėtumėte gauti radianais (kita tvarka!)

Beje, atsakymus specialiai paryškinau dviem eilutėmis. Na, išsiaiškinkime, kokie kampai yra pirmoje eilutėje? Bent laipsniais, bent jau radianais?

Taip! Tai yra koordinačių sistemos ašys! Jei pažvelgsite į trigonometrinį apskritimą, tada judančią kampo pusę su šiomis reikšmėmis tiksliai tinka ant ašių. Šias vertybes reikia žinoti. Ir aš pažymėjau 0 laipsnių kampą (0 radianų) dėl geros priežasties. Ir tada kai kurie žmonės tiesiog neranda šio kampo ant apskritimo... Ir, atitinkamai, jie susipainioja trigonometrinėse nulio funkcijose... Kitas dalykas, kad judančios pusės padėtis nuliui laipsnių sutampa su padėtimi 360° kampu, todėl šalia esančio apskritimo yra visiškai sutapimų.

Antroje eilutėje taip pat yra specialūs kampai... Tai 30°, 45° ir 60°. Ir kuo jie ypatingi? Nieko ypatingo. Vienintelis skirtumas tarp šių kampų ir visų kitų yra tas, kad turėtumėte žinoti apie šiuos kampus Visi. Ir kur jie yra ir kokias trigonometrines funkcijas turi šie kampai. Tarkime, vertė sin100° jūs neprivalote žinoti. A sin45°- Prašau būk toks malonus! Tai yra privalomos žinios, be kurių trigonometrijoje nėra ką veikti... Bet apie tai plačiau kitoje pamokoje.

Tuo tarpu tęskime treniruotes. Konvertuokite šiuos kampus iš radiano į laipsnį:

Turėtumėte gauti tokius rezultatus (netvarkingai):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Ar pavyko? Tada galime manyti laipsnius konvertuojant į radianus ir atgal– nebėra jūsų problema.) Tačiau kampų vertimas yra pirmas žingsnis norint suprasti trigonometriją. Ten taip pat reikia dirbti su sinusais ir kosinusais. Ir su liestinėmis ir kotangentais...

Antrasis galingas žingsnis yra galimybė nustatyti bet kurio kampo padėtį trigonometriniame apskritime. Ir laipsniais, ir radianais. Aš duosiu jums nuobodžių užuominų apie šį trigonometrijos įgūdžius, taip...) Jei žinote viską (arba manote, kad žinote viską) apie trigonometrinį apskritimą ir kampų matavimą trigonometriniame apskritime, galite tai patikrinti. Išspręskite šias paprastas užduotis:

1. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Lengvai? Tęskime:

2. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Taip pat nėra problemų? Na, žiūrėk...)

3. Kampus galite sudėti į ketvirčius:

Ar galėtum? Na, tu duodi..)

4. Ant kurių ašių kris kampas:

ir kampas:

Ar irgi lengva? Hm...)

5. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

Ir pavyko!? Na, tada aš tikrai nežinau...)

6. Nustatykite, į kurį ketvirtį patenka kampai:

1, 2, 3 ir 20 radianų.

Atsakysiu tik į paskutinį paskutinės užduoties klausimą (jis šiek tiek sudėtingas). Į pirmąjį ketvirtį pateks 20 radianų kampas.

Kitų atsakymų nepateiksiu, ne iš godumo.) Tiesiog, jei tu neapsisprendė kažkas tu abejoji dėl to, arba išleista užduočiai Nr daugiau nei 10 sekundžių, blogai orientuojatės rate. Tai bus jūsų problema visoje trigonometrijoje. Geriau iš karto atsikratyti (problemos, o ne trigonometrijos!). Tai galima padaryti temoje: Praktinis darbas su trigonometriniu apskritimu 555 skyriuje.

Jame pasakojama, kaip paprastai ir teisingai išspręsti tokias užduotis. Na, šios užduotys, žinoma, buvo išspręstos. O ketvirtoji užduotis buvo išspręsta per 10 sekundžių. Taip, nuspręsta, kad tai gali padaryti bet kas!

Jei esate visiškai įsitikinęs savo atsakymais ir jūsų nedomina paprasti ir nesudėtingi darbo su radianais būdai, jums nereikia lankytis 555. Aš neprimygtinai reikalauju.)

Geras supratimas yra pakankamai gera priežastis judėti toliau!)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Instrukcijos

Lankas yra apskritimo dalis, uždaryta tarp dviejų taškų, esančių šiame apskritime. Bet koks lankas gali būti išreikštas skaitinėmis reikšmėmis. Pagrindinė jo charakteristika, kartu su ilgiu, yra laipsnio matavimo reikšmė.

Bet kai vienas lankas yra izoliuotas ant apskritimo, susidaro kitas. Todėl norėdami vienareikšmiškai suprasti, apie kurį lanką kalbame, pažymėkite kitą tašką pasirinktame lanke, pavyzdžiui, C. Tada jis įgaus formą ABC.

Atkarpa, kurią sudaro du lanką ribojantys taškai, yra styga.

Lanko laipsnio matą galima rasti per įbrėžto kampo reikšmę, kuris, turėdamas viršūnės tašką pačiame apskritime, remiasi į nurodytą lanką. Toks kampas vadinamas įbrėžtuoju kampu, o jo laipsnio matas yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi.

Taip pat apskritime yra centrinis kampas. Jis taip pat remiasi į norimą lanką, o jo viršus yra nebe ant apskritimo, o centre. Ir jo skaitinė reikšmė jau lygi ne pusei lanko laipsnio mato, o visai jo vertei.

Suprasdami, kaip apskaičiuojamas lankas per kampą, esantį ant jo, galite pritaikyti šį dėsnį priešinga kryptimi ir išvesti taisyklę, kad įbrėžtas kampas, kuris remiasi į skersmenį, yra teisingas. Kadangi skersmuo padalija apskritimą į dvi lygias dalis, tai reiškia, kad bet kurio lanko vertė yra 180 laipsnių. Todėl įrašytas kampas yra 90 laipsnių.

Be to, remiantis lanko laipsnio reikšmės paieškos metodu, galioja taisyklė, kad kampai, pagrįsti vienu lanku, turi vienodą reikšmę.

Lanko laipsnio matas dažnai naudojamas apskritimo ilgiui arba pačiam lankui apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę L= π*R*α/180.

Žodis "" turi skirtingas interpretacijas. Geometrijoje kampas yra plokštumos dalis, kurią riboja du spinduliai, sklindantys iš vieno taško – viršūnės. Kai kalbame apie dešinįjį, smailųjį ir neišskleistą kampą, turime omenyje geometrinius kampus.

Kaip ir bet kurios geometrijos figūros, kampus galima palyginti. Kampų lygybė nustatoma naudojant judesį. Kampą lengva padalyti į dvi lygias dalis. Padalinti į tris dalis yra šiek tiek sunkiau, tačiau tai vis tiek galima padaryti naudojant liniuotę ir kompasą. Beje, ši užduotis atrodė gana sunki. Geometriškai paprasta apibūdinti, kad vienas kampas yra didesnis arba mažesnis už kitą.

Kampų matavimo vienetas yra 1/180 suformuoto kampo. Kampo dydis yra skaičius, rodantis, kiek matavimo vienetu pasirinktas kampas telpa į atitinkamą figūrą.

Kiekvienas kampas turi laipsnio matą, didesnį už nulį. Tiesus kampas yra 180 laipsnių. Kampo laipsnio matas laikomas lygiu kampų, į kuriuos jis yra padalintas iš bet kurio spindulio plokštumoje, kurią riboja jo kraštinės, laipsnio matų sumai.

Kampas, kurio tam tikro laipsnio matas neviršija 180, gali būti nubraižytas iš bet kurio spindulio į tam tikrą plokštumą. Be to, toks kampas bus tik vienas. Plokštumos kampo matas, kuris yra pusės plokštumos dalis, yra kampo su panašiomis kraštinėmis laipsnio matas. Kampo, kuriame yra pusplokštuma, plokštumos matas yra 360–α, kur α yra papildomos plokštumos kampo laipsnio matas.

Kampo laipsnio matas leidžia pereiti nuo geometrinio aprašymo prie skaitmeninio. Taigi, stačias kampas yra kampas, lygus 90 laipsnių, bukas kampas yra mažesnis nei 180 laipsnių, bet didesnis nei 90, smailusis kampas neviršija 90 laipsnių.

Be laipsnių, yra radianinis kampo matas. Planimetrijoje ilgis yra L, spindulys yra r, o atitinkamas centrinis kampas yra α. Be to, šie parametrai yra susiję ryšiu α = L/r. Tai yra kampų radianinio matavimo pagrindas. Jei L=r, tai kampas α bus lygus vienam radianui. Taigi, radianinis kampo matas yra lanko, nubrėžto savavališku spinduliu ir uždaryto tarp šio kampo kraštinių, ilgio ir lanko spindulio santykis. Visiškas apsisukimas laipsniais (360 laipsnių) atitinka 2π radianais. Vienas yra 57,2958 laipsnių.

Video tema

Šaltiniai:

• kampų laipsnio matavimo formulė

Plokščių dydžių matavimas laipsniais buvo išrastas senovės Babilone dar gerokai prieš mūsų eros pradžią. Šios valstijos gyventojai pirmenybę teikė šešiasdešimties ženklų sistemai, todėl dalyti kampus į 180 ar 360 vienetų šiandien atrodo kiek keistai. Tačiau ne mažiau keisti ir šiuolaikinėje SI sistemoje siūlomi matavimo vienetai, Pi kartotiniai. Šios dvi parinktys neapsiriboja šiandien naudojamais kampų žymėjimais, todėl gana dažnai kyla užduotis konvertuoti jų vertes į laipsnius.

Instrukcijos

Jei reikia konvertuoti kampo dydį radianais į laipsnio matą, vadovaukitės tuo, kad vienas laipsnis atitinka radianų skaičių, lygų 1/180 skaičiaus Pi. Ši matematinė konstanta turi begalinį skaičių po kablelio, todėl perskaičiavimo koeficientas taip pat yra begalinė dešimtainė trupmena. Tai reiškia, kad neįmanoma gauti absoliučiai tikslios vertės dešimtainiu formatu, todėl perskaičiavimo koeficientas turi būti suapvalintas. Pavyzdžiui, vienos milijardinės vieneto dalies tikslumu apskaičiuotas koeficientas bus lygus 0,017453293. Suapvalinus iki reikiamo skaitmenų skaičiaus, pradinį radianų skaičių padalinkite iš šio koeficiento ir gausite kampo laipsnį.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Pagrindiniai terminai.

Kaip gerai prisimeni visus su ratu susijusius vardus? Tik tuo atveju, priminsime – pažiūrėkite į paveikslėlius – atnaujinkite žinias.

Na, visų pirma - Apskritimo centras yra taškas, nuo kurio atstumai nuo visų apskritimo taškų yra vienodi.

Antra - spindulys - linijos atkarpa, jungianti centrą ir apskritimo tašką.

Yra daug spindulių (tiek, kiek apskritime yra taškų), bet Visi spinduliai yra vienodo ilgio.

Kartais trumpai spindulys jie tai vadina tiksliai segmento ilgis„Centras yra apskritimo taškas“, o ne pati atkarpa.

Ir štai kas atsitinka jei sujungsite du apskritimo taškus? Taip pat segmentas?

Taigi šis segmentas vadinamas "akordas".

Kaip ir spindulio atveju, skersmuo dažnai yra atkarpos, jungiančios du apskritimo taškus ir einančios per centrą, ilgis. Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai pažiūrėk. Žinoma spindulys lygus pusei skersmens.

Be akordų, taip pat yra sekantai.

Prisimeni paprasčiausią dalyką?

Centrinis kampas yra kampas tarp dviejų spindulių.

O dabar – įrašytas kampas

Įrašytas kampas – kampas tarp dviejų stygų, susikertančių apskritimo taške.

Šiuo atveju jie sako, kad įrašytas kampas remiasi lanku (arba styga).

Pažiūrėkite į paveikslėlį:

Lankų ir kampų matavimai.

Apimtis. Lankai ir kampai matuojami laipsniais ir radianais. Pirma, apie laipsnius. Dėl kampų problemų nėra – reikia išmokti matuoti lanką laipsniais.

Laipsnio matas (lanko dydis) yra atitinkamo centrinio kampo vertė (laipsniais).

Ką čia reiškia žodis „tinkamas“? Pažiūrėkime atidžiai:

Ar matote du lankus ir du centrinius kampus? Na, didesnis lankas atitinka didesnį kampą (ir gerai, kad jis didesnis), o mažesnis lankas – mažesnį kampą.

Taigi, sutarėme: lankas turi tiek pat laipsnių, kiek ir atitinkamas centrinis kampas.

O dabar apie baisų dalyką – apie radianus!

Koks žvėris yra šis „radianas“?

Įsivaizduokite: Radianai yra kampų matavimo būdas... spinduliais!

Radianų kampas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui.

Tada kyla klausimas – kiek radianų yra tiesiame kampe?

Kitaip tariant: kiek spindulių „telpa“ į pusę apskritimo? Arba kitaip: kiek kartų pusės apskritimo ilgis didesnis už spindulį?

Senovės Graikijoje mokslininkai uždavė šį klausimą.

Ir taip po ilgų paieškų jie išsiaiškino, kad apskritimo ir spindulio santykis nenori būti išreikštas „žmogaus“ skaičiais, kaip ir pan.

Ir net neįmanoma išreikšti šio požiūrio per šaknis. Tai yra, paaiškėja, kad neįmanoma pasakyti, kad pusė apskritimo yra kartų ar kartų didesnis už spindulį! Ar galite įsivaizduoti, kaip nuostabu buvo žmonėms tai atrasti pirmą kartą?! Pusės apskritimo ilgio ir spindulio santykiui „įprastų“ skaičių nepakako. Turėjau įvesti laišką.

Taigi, - tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir spindulio santykį.

Dabar galime atsakyti į klausimą: kiek radianų yra tiesiame kampe? Jame yra radianų. Būtent todėl, kad pusė apskritimo yra kartų didesnė už spindulį.

Senovės (ir ne tokie senovės) žmonės per šimtmečius (!) bandė tiksliau apskaičiuoti šį paslaptingą skaičių, geriau jį (bent apytiksliai) išreikšti „paprastais“ skaičiais. O dabar esame nepaprastai tingūs – mums užtenka dviejų ženklų po įtemptos dienos, esame įpratę

Pagalvokite apie tai, pavyzdžiui, tai reiškia, kad apskritimo, kurio spindulys yra vienas, ilgis yra maždaug lygus, tačiau tokio tikslaus ilgio tiesiog neįmanoma užrašyti naudojant „žmogišką“ skaičių - jums reikia raidės. Ir tada ši apimtis bus lygi. Ir, žinoma, spindulio perimetras yra lygus.

Grįžkime prie radianų.

Jau išsiaiškinome, kad tiesiame kampe yra radianų.

Ką mes turime:

Taigi, malonu, tai yra, malonu. Tokiu pat būdu gaunama plokštelė su populiariausiais kampais.

Ryšys tarp įrašyto ir centrinio kampo verčių.

Yra nuostabus faktas:

Įrašytas kampas yra perpus mažesnis už atitinkamą centrinį kampą.

Pažiūrėkite, kaip šis teiginys atrodo paveikslėlyje. "Atitinkamas" centrinis kampas yra tas, kurio galai sutampa su įbrėžto kampo galais, o viršūnė yra centre. Ir tuo pačiu metu „atitinkamas“ centrinis kampas turi „žiūrėti“ į tą patį stygą () kaip ir įrašytas kampas.

Kodėl taip yra? Pirmiausia pažvelkime į paprastą atvejį. Tegul vienas iš akordų praeina per centrą. Kartais taip nutinka, tiesa?

Kas čia vyksta? Pasvarstykime. Tai lygiašonis – juk ir – spinduliai. Taigi, (juos pažymėjo).

Dabar pažiūrėkime. Tai išorinis kampas! Primename, kad išorinis kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, kurie nėra šalia jo, sumai, ir parašykite:

Tai yra! Netikėtas efektas. Tačiau taip pat yra centrinis užrašo kampas.

Tai reiškia, kad šiuo atveju jie įrodė, kad centrinis kampas yra du kartus didesnis už įrašytą kampą. Bet tai skausmingai ypatingas atvejis: ar ne tiesa, kad akordas ne visada eina tiesiai per centrą? Bet viskas gerai, dabar šis konkretus atvejis mums labai padės. Pažiūrėkite: antrasis atvejis: tegul centras guli viduje.

Padarykime taip: nubrėžkite skersmenį. Ir tada... matome dvi nuotraukas, kurios jau buvo analizuotos pirmuoju atveju. Todėl mes tai jau turime

Tai reiškia (brėžinyje a)

Na, lieka paskutinis atvejis: centras yra už kampo.

Mes darome tą patį: nubrėžkite skersmenį per tašką. Viskas tas pats, bet vietoj sumos yra skirtumas.

tai viskas!

Dabar iš teiginio, kad įbrėžtasis kampas yra pusė centrinio kampo, suformuokime dvi pagrindines ir labai svarbias pasekmes.

1 išvada

Visi įrašyti kampai, pagrįsti vienu lanku, yra lygūs vienas kitam.

Mes iliustruojame:

Yra nesuskaičiuojama daugybė įbrėžtų kampų, pagrįstų tuo pačiu lanku (turime šį lanką), jie gali atrodyti visiškai skirtingai, tačiau visi turi tą patį centrinį kampą (), o tai reiškia, kad visi šie įbrėžti kampai yra lygūs.

2 išvada

Kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu.

Pažiūrėkite: koks kampas yra centrinis?

Be abejo,. Bet jis lygus! Na, todėl (taip pat ir daug daugiau įbrėžtų kampų remiasi) ir yra lygus.

Kampas tarp dviejų stygų ir sekantų

O kas, jei mus dominantis kampas NE įrašytas ir NE centrinis, o, pavyzdžiui, toks:

ar taip?

Ar įmanoma tai kažkaip išreikšti per kai kuriuos centrinius kampus? Pasirodo, tai įmanoma. Žiūrėk: mus domina.

a) (kaip išorinis kampas). Bet - įrašyta, remiasi į lanką -. - įrašytas, remiasi į lanką - .

Dėl grožio jie sako:

Kampas tarp stygų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių sumos.

Jie tai rašo dėl trumpumo, tačiau, žinoma, naudojant šią formulę reikia nepamiršti centrinių kampų

b) O dabar - „lauke“! Kaip tai gali būti? Taip, beveik tas pats! Tik dabar (vėl taikome išorinio kampo savybę). Tai yra dabar.

O tai reiškia... Suteikime pastaboms ir formuluotėms grožio ir trumpumo:

Kampas tarp sekantų yra lygus pusei šiame kampe esančių lankų kampinių verčių skirtumo.

Na, dabar jūs turite visas pagrindines žinias apie kampus, susijusius su apskritimu. Pirmyn, priimk iššūkius!

APRATUMAS IR IŠDALINTAS KAMPAS. VIDURIO LYGIS

Net penkerių metų vaikas žino, kas yra ratas, tiesa? Matematikai, kaip visada, šiuo klausimu turi abstraktų apibrėžimą, tačiau mes jo nepateiksime (žr.), o prisiminkime, kaip vadinami taškai, linijos ir kampai, susiję su apskritimu.

Svarbios sąlygos

Na, visų pirma:

Antra:

Yra dar vienas priimtas posakis: „styga susitraukia lanką“. Pavyzdžiui, paveikslėlyje styga sulenkia lanką. Ir jei akordas staiga praeina per centrą, tada jis turi specialų pavadinimą: „skersmuo“.

Beje, kaip yra susiję skersmuo ir spindulys? Atidžiai pažiūrėk. Žinoma

O dabar – kampų pavadinimai.

Natūralu, ar ne? Kampo šonai tęsiasi nuo centro – tai reiškia, kad kampas yra centrinis.

Čia kartais iškyla sunkumų. Atkreipkite dėmesį - NĖRA įrašytas joks kampas apskritimo viduje, bet tik tas, kurio viršūnė „sėdi“ ant paties apskritimo.

Pažiūrėkime, kuo skiriasi nuotraukos:

Kitaip jie sako:

Čia yra vienas sudėtingas dalykas. Kas yra „atitinkantis“ arba „savas“ centrinis kampas? Tik kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o galai yra lanko galuose? Tikrai ne. Pažiūrėkite į piešinį.

Tačiau vienas iš jų net neatrodo kaip kampas – jis didesnis. Tačiau trikampis negali turėti daugiau kampų, bet apskritimas gali būti geras! Taigi: mažesnis lankas AB atitinka mažesnį kampą (oranžinį), o didesnis lankas – didesnį. Tiesiog taip, ar ne?

Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų dydžių

Prisiminkite šį labai svarbų teiginį:

Vadovėliuose jie mėgsta tą patį faktą rašyti taip:

Ar ne tiesa, kad formuluotė yra paprastesnė su centriniu kampu?

Bet vis tiek suraskime atitiktį tarp dviejų formuluočių ir tuo pačiu išmokime brėžiniuose rasti „atitinkantį“ centrinį kampą ir lanką, ant kurio „remias“ įrašytas kampas.

Žiūrėkite: čia yra apskritimas ir įbrėžtas kampas:

Kur yra jo „atitinkamas“ centrinis kampas?

Pažiūrėkime dar kartą:

Kokia yra taisyklė?

Bet! Šiuo atveju svarbu, kad įrašytas ir centrinis kampai „žiūrėtų“ į lanką iš vienos pusės. Štai, pavyzdžiui:

Kaip bebūtų keista, mėlyna! Nes lankas ilgas, ilgesnis nei pusė apskritimo! Taigi niekada nesusipainiokite!

Kokią pasekmę galima padaryti iš įbrėžto kampo „pusės“?

Bet, pavyzdžiui:

Kampas, nulemtas skersmens

Ar jau pastebėjote, kad matematikai apie tą patį mėgsta kalbėti skirtingais žodžiais? Kodėl jiems to reikia? Matote, matematikos kalba, nors ir formali, bet gyva, todėl, kaip ir įprasta kalba, kiekvieną kartą norisi pasakyti taip, kaip patogiau. Na, mes jau matėme, ką reiškia „kampas remiasi lanku“. Ir įsivaizduokite, tas pats paveikslas vadinamas „kampas remiasi styga“. Kurią? Taip, žinoma, tam, kuris sugriežtina šį lanką!

Kada patogiau pasikliauti styga nei lanku?

Na, ypač, kai ši styga yra skersmens.

Yra stebėtinai paprastas, gražus ir naudingas teiginys tokiai situacijai!

Pažiūrėkite: čia yra apskritimas, skersmuo ir kampas, kuris remiasi į jį.

APRATUMAS IR IŠDALINTAS KAMPAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

1. Pagrindinės sąvokos.

3. Lankų ir kampų matavimai.

Radianų kampas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui.

Tai skaičius, išreiškiantis puslankio ilgio ir jo spindulio santykį.

Spindulio perimetras lygus.

4. Ryšys tarp įbrėžtųjų ir centrinių kampų verčių.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Kampas – tai figūra, susidedanti iš taško – kampo viršūnės ir dviejų skirtingų pustiesių, išeinančių iš šio taško – kampo kraštinių (14 pav.). Jei kampo kraštinės yra viena kitą papildančios pustiesės, tai kampas vadinamas išvystytų kampu.

Kampas žymimas arba nurodant jo viršūnę, arba nurodant jo kraštines, arba nurodant tris taškus: viršūnę ir du taškus kampo šonuose. Kartais pakeičiamas žodis „kampas“.

Kampo simbolis 14 paveiksle gali būti žymimas trimis būdais:

Sakoma, kad spindulys c eina tarp kampo kraštinių, jei jis ateina iš jo viršūnės ir kerta tam tikrą atkarpą su kampo šonuose esančiais galiniais taškais.

15 paveiksle spindulys c praeina tarp kampo kraštinių, kai jis kerta atkarpą

Tiesiojo kampo atveju bet koks spindulys, sklindantis iš jo viršūnės ir besiskiriantis nuo jo kraštinių, praeina tarp kampo kraštinių.

Kampai matuojami laipsniais. Jei imsite tiesų kampą ir padalinsite jį į 180 vienodų kampų, kiekvieno iš šių kampų laipsnio matas vadinamas laipsniu.

Pagrindinės kampo matavimo savybės išreiškiamos tokia aksioma:

Kiekvienas kampas turi tam tikrą laipsnio matą, didesnį už nulį. Pasukimo kampas yra 180°. Kampo laipsnio matas yra lygus kampų, į kuriuos jis yra padalintas iš bet kurio spindulio, einančio tarp jo kraštų, laipsnio matų sumai.

Tai reiškia, kad jei spindulys c eina tarp kampo kraštinių, tada kampas yra lygus kampų sumai

Kampo laipsnio matas randamas naudojant transporterį.

Kampas, lygus 90°, vadinamas stačiu kampu. Kampas, mažesnis nei 90°, vadinamas smailiu kampu. Didesnis nei 90° ir mažesnis nei 180° kampas vadinamas buku.

Suformuluokime pagrindinę kampų atidėjimo savybę.

Iš bet kurios pusės linijos į nurodytą pusplokštumą galite įdėti kampą, kurio tam tikras laipsnio matas yra mažesnis nei 180°, ir tik vieną.

Apsvarstykite pusę tiesės a. Išplėskime ją už pradinio taško A. Gauta tiesė padalija plokštumą į dvi pusplokštumas. 16 paveiksle parodyta, kaip, naudojant transporterį, nubrėžti kampą su tam tikru 60° laipsniu nuo pusės linijos iki viršutinės pusplokštumos.

T. 1. 2. Jei du kampai iš duotosios pustiesės įvedami į vieną pusplokštumą, tai mažesniojo kampo kraštinė, kuri skiriasi nuo duotosios pustiesės, eina tarp didesnio kampo kraštinių.

Leisti būti kampai, atitraukti nuo nurodytos pusės linijos a į vieną pusę plokštumos, ir tegul kampas yra mažesnis nei kampas . 1. 2 teorema teigia, kad spindulys eina tarp kampo kraštinių (17 pav.).

Kampo bisektorius yra spindulys, sklindantis iš jo viršūnės, einantis tarp kraštinių ir dalijantis kampą pusiau. 18 paveiksle spindulys yra kampo pusiausvyra

Geometrijoje yra plokštumos kampo sąvoka. Plokštumos kampas yra plokštumos dalis, kurią riboja du skirtingi spinduliai, sklindantys iš vieno taško. Šie spinduliai vadinami kampo kraštinėmis. Yra du plokštumos kampai su nurodytomis kraštinėmis. Jie vadinami papildomais. 19 paveiksle vienas iš plokštumos kampų su kraštinėmis a ir yra užtamsintas.