Biologijos matematinių problemų institutas. Matematiniai metodai biologijoje

Evoliucijos dėsniai, nors ir pagrįsti faktais, neturi griežto matematinio pagrindo. Būtent tai leidžia skirtingų krypčių mokslininkams jas interpretuoti skirtingai arba net iš viso jų neatpažinti. Bet visa tai tol, kol matematika priėjo prie šių dėsnių.

Pirmasis matematikos pritaikymas biologijoje yra susijęs su stebėjimo rezultatų apdorojimu. Taip buvo nustatyta dauguma eksperimentinių dėsnių... Tačiau šis itin naudingas matematikos pritaikymas biologijai yra ne tik ne vienintelis, bet net ne pats svarbiausias.

Eksperimentiniai dėsniai egzistuoja ne tik biologijoje. Jų yra daug fizikos, technologijų, ekonomikos ir kitose žmogaus žinių srityse. Bet nesvarbu, kokiam mokslui toks dėsnis priklauso, jis visada turi vieną rimtą trūkumą: nors ir atsako į klausimą „kaip“, tačiau neatsako į klausimą „kodėl“.

Alchemikai taip pat žinojo, kaip tirpsta medžiagos. Matuojant tirpalo koncentraciją, nesunku nubrėžti kreivę, kuri aiškiai parodo, kad iš pradžių medžiaga į tirpalą patenka didelėmis dozėmis, vėliau šios dozės palaipsniui mažėja, kol galiausiai medžiaga nustoja tirpti visai.

Panašių kreivių galima rasti ir knygose apie miškininkystę. Jie gaunami iš šimtų ir tūkstančių matavimų ir rodo, kad medis iš pradžių auga greitai, vėliau augimas sulėtėja ir visiškai sustoja.

Šie dėsniai yra eksperimentiniai. Jie gana tiksliai apibūdina reiškinį – visai pakankamai praktikai. Bet nuspėti, žinant tik juos, sunku: galime teigti, kad tam tikra medžiaga taip ir taip ištirps, jei pasikartos sąlygos, kuriomis ją tyrinėjome. Su medžiais tas pats. Nežinant, kodėl jie auga vienaip ar kitaip, neįmanoma nuspėti, kas atsitiks su jų augimu skirtingomis sąlygomis.

"Mokslai labai skiriasi tuo, kiek jų faktai yra nuspėjami, o kai kurie teigia, kad biologija nėra mokslas. Nes biologinius reiškinius ne visada galima numatyti." Ši liūdna mokslininko K. Willie pastaba pataiko į tikslą. Norint įgyti šiuolaikinio mokslo reitingą, biologijai nebepakanka išsamios informacijos apie daugybę ir išsibarsčiusių faktų. Mums reikia įstatymų, kurie atsakytų į klausimą „kodėl“. Ir čia slypi pati matematinės biologijos esmė.

Kaip ir fizikoje, tirdami biologinį reiškinį, bandoma nustatyti jo matematines charakteristikas. Pavyzdžiui, jei pacientas yra tiriamas, tada jo būklei analizuoti reikalingi skaitiniai duomenys – kūno temperatūra, kraujospūdis ir sudėtis, pulso dažnis ir kt.

Tačiau dažniausiai tiriamas tik vienas aspektas, kažkas yra pagrindinis dalykas, o kai ko galima nepaisyti. Pavyzdžiui, astronomijoje visas Žemės rutulys vaizduojamas kaip taškas be matmenų. Atrodytų, niekur šiurkščiau nėra. Nepaisant to, šie skaičiavimai buvo reguliariai naudojami daugiau nei 300 metų nustatant užtemimų laiką, o mūsų metais – paleidžiant palydovus.

Tačiau dažnai biologai apskritai atsisako daryti bet kokius supaprastinimus. Viename labai reprezentatyviame biologiniame seminare buvo aptartas medžių augimo modelis. Pranešėjas, žinomas savo srities specialistas, publikos buvo sutiktas palankiai. Viskas klostėsi gerai, kol jis pasakė frazę: „Kadangi fotosintezės energija yra proporcinga lapo plotui, dėl paprastumo manysime, kad lapas yra plokščias ir neturi storio“. Iškart pasipylė suglumę klausimai: „Kaip tai įmanoma, net ir ploniausias lapas turi storį! Taip pat prisiminėme apie spygliuočius, kurių storį nuo pločio paprastai sunku atskirti. Vis dėlto su tam tikrais sunkumais buvo galima paaiškinti, kad kalbančiojo sprendžiamoje problemoje lakšto storis nevaidina jokio vaidmens ir gali būti ignoruojamas. Tačiau vietoj gyvo lapo su visais begaliniais sudėtingumais galime ištirti paprastą modelį.

Matematinis modelis tiriamas naudojant matematines priemones. Todėl galite kurį laiką atitraukti save nuo modelio biologinio turinio ir sutelkti dėmesį į jo matematinę esmę.

Žinoma, visą šį sudėtingą, specialių žinių reikalaujantį darbą biologas atlieka glaudžiai bendradarbiaudamas su matematiku, o kai kurie aspektai visiškai patikėti specialistui matematikui. Tokio bendro darbo rezultate gaunamas biologinis dėsnis, parašytas matematiškai.

Skirtingai nei eksperimentinis, jis atsako į klausimą „kodėl“ ir atskleidžia vidinį tiriamo proceso mechanizmą. Šį mechanizmą apibūdina į modelį įtraukti matematiniai ryšiai. Pavyzdžiui, medžio augimo modelyje toks mechanizmas yra diferencialinė lygtis, išreiškianti energijos tvermės dėsnį. Išsprendę lygtį, gauname teorinę augimo kreivę – ji nuostabiai tiksliai sutampa su eksperimentine.

Dar 1931 metais Paryžiuje buvo išleista žymaus matematiko V. Volterra knyga „Matematinė kovos už būvį teorija“. Jame visų pirma buvo svarstoma „plėšrūno-grobio“ problema. Matematikas samprotavo taip: „Didės grobio skaičius, kuo daugiau bus tėvų, tai yra, tuo didesnis grobio skaičius, bet, kita vertus, tuo didesnis grobio skaičius , tuo dažniau jį sutiks ir sunaikins plėšrūnai, o grobio mažėjimas yra proporcingas jo skaičiui.

Kodėl keičiasi plėšrūnų skaičius? Jo mažėjimas vyksta tik dėl natūralaus mirtingumo, todėl yra proporcingas suaugusių individų skaičiui. O jo pelną galima laikyti proporcingu mitybai, tai yra proporcingu plėšrūnų sunaikintam grobio kiekiui“.

Paskutinė iš šių problemų yra labai įdomi. Jo esmė ta, kad cheminiai kovos su kenksmingomis rūšimis metodai dažnai netenkina biologų. Kai kurios cheminės medžiagos yra tokios stiprios, kad kartu su kenksmingais gyvūnais sunaikina daug naudingų. Būna ir atvirkščiai: slopinama rūšis labai greitai prisitaiko prie cheminių nuodų ir tampa nepažeidžiama. Specialistai tikina, kad, pavyzdžiui, DDT miltelius, kurių kvapas 1930-aisiais naikino blakės, šiandien sėkmingai vartoja blakės.

Štai dar vienas mažas pavyzdys, kaip matematinis požiūris išaiškino painią biologinę situaciją. Viename iš eksperimentų buvo pastebėtas nuostabus dalykas: kai tik į paprasčiausių vandenyje gyvenančių mikroorganizmų koloniją buvo įlašinamas lašelis cukraus sirupo, visi kolonijos gyventojai, net ir patys tolimiausi, pradėjo judėti link. lašelis. Nustebę eksperimentatoriai buvo pasirengę teigti, kad mikroorganizmai turi specialų organą, kuris jaučia masalą dideliu atstumu ir padeda judėti link jo. Dar šiek tiek ir jie būtų puolę ieškoti šių nežinomų vargonų.

Laimei, vienas iš matematiką išmanančių biologų pasiūlė kitą šio reiškinio paaiškinimą. Jo versija buvo tokia, kad toli nuo masalo mikroorganizmų judėjimas nedaug skiriasi nuo įprastos negyvoms dalelėms būdingos difuzijos. Biologinės gyvų organizmų savybės išryškėja tik visai šalia masalo, kai jie užsibūna šalia jo. Dėl šio vėlavimo sluoksnis šalia lašo tampa mažiau prisotintas gyventojų nei įprastai, o mikroorganizmai iš gretimo sluoksnio skuba ten pagal difuzijos dėsnius. Pagal tuos pačius dėsnius į šį sluoksnį veržiasi kito, dar tolimesnio sluoksnio gyventojai ir t.t. ir t.t. Rezultatas – mikroorganizmų srautas į lašą, kurį stebėjo eksperimentuotojai.

Šią hipotezę buvo lengva patikrinti matematiškai ir nereikėjo ieškoti paslaptingo organo.

Matematiniai metodai leido pateikti atsakymus į daugelį specifinių biologijos klausimų. Ir šie atsakymai kartais stebina savo gyliu ir grakštumu. Tačiau dar anksti kalbėti apie matematinę biologiją kaip apie nusistovėjusį mokslą.

Matematinio modeliavimo pagrindai

Šioje paskaitų kurso dalyje „Matematiniai modeliai biologijoje“ aptariamos pagrindinės matematinio modeliavimo sąvokos. Paprasčiausių sistemų pavyzdžiu analizuojami pagrindiniai jų elgesio modeliai. Dėmesys sutelkiamas ne į pačią biologinę sistemą, o į metodus, naudojamus kuriant jos modelį.

Taip pat žiūrėkite:

1 tema: duomenų ir žinių integravimas. Modeliavimo tikslai. Pagrindinės sąvokos

2 tema: modeliai, aprašyti autonomine diferencialine lygtimi

3 tema: Modeliai, aprašyti dviejų autonominių diferencialinių lygčių sistemomis

4 tema: laikų hierarchija biologinėse sistemose. Greiti ir lėti kintamieji

5 tema: Daugiastačios sistemos

6 tema: Virpesių procesai

7 tema: kvazistochastiniai procesai. Dinamiškas chaosas

8 tema: Gyvosios sistemos ir aktyvios kinetinės terpės

9 tema: Dissipacinės struktūros

Matematinė biologija yra biologinių procesų ir reiškinių matematinių modelių teorija. Matematinė biologija gali būti priskiriama taikomajai matematikai ir aktyviai naudoja jos metodus. Tiesos kriterijus jame yra matematinis įrodymas. Jame svarbiausią vaidmenį atlieka matematinis modeliavimas naudojant kompiuterius. Skirtingai nuo grynai matematinių mokslų, matematinėje biologijoje grynai biologinės problemos ir problemos nagrinėjamos šiuolaikinės matematikos metodais, o rezultatai turi biologinę interpretaciją. Matematinės biologijos uždaviniai – gamtos dėsnių aprašymas biologijos lygmenyje ir pagrindinis uždavinys – tyrimo metu gautų rezultatų interpretavimas, pavyzdys – Hardy-Weinbergo dėsnis, kuris pateikiamas priemonėmis, kurių nėra. dėl tam tikrų priežasčių, tačiau tai įrodo, kad remiantis šiuo įstatymu galima ir prognozuoti gyventojų sistemą. Remdamiesi šiuo dėsniu, galime teigti, kad populiacija yra savaime išsilaikančių alelių grupė, kurios pagrindą sudaro natūrali atranka. Tada pati natūralioji atranka matematikos požiūriu yra nepriklausomas kintamasis, o populiacija yra priklausomas kintamasis, o populiacija laikoma daugybe kintamųjų, turinčių įtakos vienas kitam. Tai yra individų skaičius, alelių skaičius, alelių tankis, dominuojančių alelių tankio ir recesyvinių alelių tankio santykis ir tt ir t.t. Natūrali atranka taip pat neatsilieka nuošalyje, ir pirmas dalykas, Čia išsiskiria natūralios atrankos galia, kuriai esant įtaka aplinkos sąlygų, turinčių įtakos populiacijos individų savybėms, susiformavusioms rūšies, kuriai priklauso populiacija, filogenezės metu.

• Aleksejevas V.V., Kryshevas I.I., Sazykina T.G. Fizinis ir matematinis ekosistemų modeliavimas; Com. hidrometeorologijos ir aplinkos monitoringo iš Ekologijos ir gamtos ministerijos. ištekliai Ros. Federacija. - Sankt Peterburgas: Gidrometeoizdatas, 1992 m.

• Bazykinas A.D. Netiesinė sąveikaujančių populiacijų dinamika.

• Bailey N.T.J. Matematika biologijoje ir medicinoje: Vert. iš anglų kalbos - M.: Mir, 1970. - 326 p.

• Belintsevas B. N. Fiziniai biologinės morfogenezės pagrindai.

• Bratus A.S. Biologijos dinaminės sistemos ir modeliai / Bratus A. S., Novozhilov A. S., Platonov A. P. - M.: Fizmatlit, 2010. - 400 p. - ISBN 978-5-9221-1192-8.

• Deščerevskis V.I. Matematiniai raumenų susitraukimo modeliai.

• Žabotinskis A. M. Koncentracijos savaiminiai svyravimai.

• Ivanitskis G. R., Krinskis V. I., Selkovas E. E. Matematinė ląstelių biofizika.

• Malashonok G. I. Efektyvi matematika: modeliavimas biologijoje ir medicinoje: Proc. pašalpa; Švietimo ministerija Ros. Federacija, Tamb. valstybė Universitetas pavadintas G. R. Deržavinas. - Tambovas: TSU leidykla, 2001 - 45 p.

• Marie J. Netiesinės diferencialinės lygtys biologijoje. Paskaitos apie modelius.

• Molčanovas A. M.(mokslinis redaktorius) Matematinis modeliavimas biologijoje.

• Matematinis gyvybės procesų modeliavimas. Šešt. Art., M., 1968 m.

• Menšutkinas V.V. Vandens gyvūnų populiacijų ir bendrijų matematinis modeliavimas.

• Nakhuševas A. M. Matematinės biologijos lygtys: vadovėlis. instrukcija mat ir biol. specialistas. univ. - M.: Aukštoji mokykla, 1995. - 301 p. - ISBN 5-06-002670-1

• Įvadas į matematinę ekologiją. L. Leningrado universiteto leidykla, 1986, - 224 p.

• Petrosianas L. A., Zacharovas V. V. Matematiniai modeliai ekologijoje. - Sankt Peterburgas: Sankt Peterburgo universiteto leidykla, 1997, - 256 p. - ISBN 5-288-01527-9

• Petrosjanas L.A. ir Zacharovas V.V. Aplinkos politikos analizės matematiniai modeliai – Nova Science Publishers, 1997 – ISBN 1-56072-515-X.

• Poluektova R. A.(mokslinis redaktorius) Dinaminė biologinių populiacijų teorija.

• Raševskis N. Kai kurie medicininiai matematinės biologijos aspektai. - M.: Medicina, 1966. - 243 p.

• Riznichenko G. Yu. Paskaitos apie matematinius modelius biologijoje: Proc. vadovas biologijos studentams. universitetinės specialybės. - M., Iževskas: R&C Dynamics (PXD), 2002 m.

• Riznichenko G. Yu. Matematiniai modeliai biofizikoje ir ekologijoje. - M.: IKI, 2003. - 184 p. - ISBN 5-93972-245-8

• Riznichenko G. Yu., Rubin A. B. Biologinių gamybos procesų matematiniai modeliai: Vadovėlis. vadovas universitetams „Applications“ srityse. matematika ir informatika“, „Biologija“ ir specialybės. "Mat. modeliavimas“. - M.: Maskvos valstybinio universiteto leidykla, 1993. - 299 p. - ISBN 5-211-01755-2

• Matematinis modeliavimas biofizikoje. Įvadas į teorinę biofiziką. - M.: RHD, 2004. - 472 p. - ISBN 5-93972-359-4

• Romanovskis J. M., Stepanova N. V., Černavskis D. S. Matematinė biofizika.

• Rubinas A. B., Pytyeva N. F., Rizničenko G. Yu. Biologinių procesų kinetika.

• Svirezhevas M. Netiesinės bangos, skleidžiančios struktūros ir nelaimės ekologijoje.

• Svirezhevas Yu M., Logofetas D. O. Biologinių bendrijų stabilumas.

• Svirezhevas Yu M., Pasekovas V. P. Matematinės genetikos pagrindai.

• Smithas J.M. Matematinės idėjos biologijoje. - M.: Mir, 1970. - 179 p.

• Teorinė ir matematinė biologija. Per. iš anglų kalbos - M.: Mir, 1968. - 447 p.

• Thornley J.G.M. Matematiniai augalų fiziologijos modeliai.

• Fominas S.V., Berkenblit M.B. Matematiniai uždaviniai biologijoje.

• Shnol E.E.(mokslinis redaktorius) Matematinės biologijos tyrimai.

• Eigenas M., Schusteris P. Hipercikliniai molekulių saviorganizacijos principai.

Matematika biologijoje Baigė 8b klasės mokinė Marina Goncharova 457 mokykla, Sankt Peterburgo mokslo metai

Biologai matematiką naudoja jau seniai. Šiuolaikinė biologija gyvų objektų struktūroms ir veikimo principams tirti aktyviai naudoja įvairias matematikos šakas: tikimybių teoriją ir statistiką, diferencialinių lygčių teoriją, žaidimų teoriją, diferencialinę geometriją ir aibių teoriją. Ilja Iljičius Mechnikovas Rusijos biologas, sukūrė imuniteto teoriją Aleksandras Flemingas Škotijos mokslininkas, atrado peniciliną Nikolajus Ivanovičius Pirogovas Rusijos mokslininkas ir chirurgas. Sukūrė gyvybės evoliucijos Žemėje teoriją. James Dewey Watson Francis Harry Compton anglų molekuliniai biologai. Buvo atrastos DNR molekulių struktūros

Genetinis kodas yra būdas koduoti baltymų aminorūgščių seką, naudojant nukleotidų seką, būdingą visiems gyviems organizmams. Statistiniai metodai atlieka svarbų vaidmenį iššifruojant genetinį kodą, taip pat sudarant chromosomų žemėlapius. Alfredas Sturtevantas Sudarė pirmąjį genetinį žemėlapį Genetinio žemėlapio pavyzdys

Biochemija Biochemija yra mokslas apie gyvų ląstelių ir organizmų cheminę sudėtį ir cheminius procesus, lemiančius jų gyvybinę veiklą. Šiame moksle plačiai naudojamos termodinaminės lygtys. Novickis Aleksejus Ivanovičius Sukūrė biologinių procesų termodinamikos doktriną. Ilja Prigožinas sukūrė vadinamąją neklasikinę termodinamiką Josiah Willard Gibbs Matematinės termodinamikos teorijos kūrėjas

Biologija ir analitinė geometrija Geometrijos žinios dažnai naudojamos biologijoje. Kiekvienas tyrinėtojas biologas turi suderinti savo rezultatus su statiniais kriterijais, o nustatyti ryšiai dažniausiai vaizduojami naudojant analitinės geometrijos kreives.

Biologinių pramonės šakų automatizavimas Tirdami ir tirdami biologinius reiškinius, mokslininkai turi mokėti valdyti sudėtingą įrangą, apdoroti jos rodmenis. Tam reikalingos matematikos žinios. MRT aparatas Naudojamas vidaus organų vaizdams gauti Elektrokardiografas Širdies ritmo ir reguliarumo nustatymas Dirbtinė širdis, biomedicinos inžinerijos pavyzdys.