Lagranžo interpoliacijos formulė. Funkcijos interpoliacija Lagrando polinomais Raskite Lagranžo interpoliacijos polinomą

Kreivių ir paviršių pritaikymas prie duomenų naudojant regresiją, interpoliaciją ir išlyginimą

Curve Fitting Toolbox™ suteikia kreivių ir paviršių pritaikymo prie duomenų taikomąją programą ir funkcionalumą. Įrankių rinkinys leidžia atlikti tiriamąją duomenų analizę, apdoroti duomenis iš anksto ir po apdorojimo, palyginti kandidatų modelius ir pašalinti iškrypimus. Galite atlikti regresijos analizę naudodami pateiktą linijinių ir netiesinių modelių biblioteką arba apibrėžti savo lygtis. Biblioteka pateikia optimizuotus sprendiklio parametrus ir pradžios sąlygas, kad pagerintų jūsų tinkamumo kokybę. Įrankių rinkinys taip pat palaiko neparametrinio modeliavimo metodus, tokius kaip splainai, interpoliacija ir išlyginimas.

Sukūrus pritaikymą, galima taikyti įvairius papildomo apdorojimo būdus braižant, interpoliuojant ir ekstrapoliuojant; pasikliautinųjų intervalų įvertinimas; ir integralų bei išvestinių skaičiavimas.

Darbo pradžia

Išmokite „Curve Fitting Toolbox“ pagrindus

Tiesinė ir netiesinė regresija

Pritaikykite kreives arba paviršius naudodami linijinius ir netiesinius bibliotekos modelius ir pasirinktinius modelius

Interpoliacija

Pritaikykite interpoliacijos kreives arba paviršius, įvertinkite reikšmes tarp žinomų duomenų taškų

Išlyginimas

Tinkamas išlyginimas naudoja tarpą ir lokalizuotą regresiją, išlygintus duomenis su slenkamuoju vidurkiu ir kitus filtrus

Tinkamas tolesnis apdorojimas

Grafinis išvestis, nuokrypiai, likučiai, pasikliautinieji intervalai, patvirtinimo duomenys, integralai ir išvestinės, generuoja MATLAB ® kodą

Splainai

Sukurti splainus su duomenimis arba be jų; ppform, B-form, tensor sandauga, racionalus ir stform plonos plokštelės splainai

Lagranžo daugianario

Lagranžo interpoliacijos polinomas- minimalaus laipsnio daugianario, kuris tam tikrame taškų rinkinyje įgauna tam tikras vertes. Už n+ 1 poros skaičių, kur viskas x i yra skirtingi, yra unikalus daugianario L(x) laipsnių nebėra n, kuriam L(x i) = y i .

Paprasčiausiu atveju ( n= 1) yra tiesinis daugianomas, kurio grafikas yra tiesė, einanti per du nurodytus taškus.

Apibrėžimas

Šiame pavyzdyje parodytas Lagranžo interpoliacijos polinomas keturiems taškams (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) ir (7,9) , taip pat polinomai y j l j (x), kurių kiekvienas eina per vieną iš pasirinktų taškų, o likusiuose įgauna nulinę reikšmę x i

Leiskite už funkciją f(x) reikšmės žinomos y j = f(x j) kai kuriuose taškuose. Tada šią funkciją galime interpoliuoti kaip

Visų pirma,

Integralų reikšmės iš l j nepriklauso nuo f(x) ir juos galima apskaičiuoti iš anksto, žinant seką x i .

Vienodo interpoliacijos mazgų pasiskirstymo segmente atveju

Šiuo atveju galime išreikšti x i per atstumą tarp interpoliacijos mazgų h ir pradžios taško x 0 :

ir todėl

Pakeitę šias išraiškas į pagrindinio daugianario formulę ir išėmę h iš daugybos ženklų skaitiklyje ir vardiklyje, gauname

Dabar galite įvesti kintamąjį pakeitimą

ir gaukite daugianarį iš y, kuris sudarytas naudojant tik sveikųjų skaičių aritmetiką. Šio metodo trūkumas yra faktorinis skaitiklio ir vardiklio sudėtingumas, todėl reikia naudoti algoritmus su kelių baitų skaičių vaizdu.

Išorinės nuorodos

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Lagranžo daugianomas“ kituose žodynuose: N laipsnio polinomo (Lagranžo interpoliacijos polinomo), interpoliuojančio duotą funkciją f(x) mazguose x 0, x1,..., x n, žymėjimo forma: Tuo atveju, kai x i reikšmės yra vienodai nutolusios, t.y. naudojant žymėjimą (x x0)/h=t (1)…

Matematinė enciklopedija

Matematikoje vieno kintamojo daugianariai arba daugianariai yra tokios formos funkcijos, kur ci yra fiksuoti koeficientai, o x yra kintamasis. Polinomai yra viena iš svarbiausių elementariųjų funkcijų klasių. Polinominių lygčių ir jų sprendinių tyrimas... ... Vikipedija

Skaičiavimo matematikoje Bernsteino daugianariai yra algebriniai daugianariai, kurie yra linijinis pagrindinių Bernsteino polinomų derinys. Stabilus Bernsteino formos polinomų skaičiavimo algoritmas yra... ... Vikipedija

Mažiausio laipsnio polinomas, kuris tam tikrame taškų rinkinyje įgauna tam tikras vertes. Skaičių poroms, kuriose visi skirtingi, yra unikalus daugiausiai laipsnio polinomas. Paprasčiausiu atveju (... Vikipedija

Mažiausio laipsnio polinomas, kuris tam tikrame taškų rinkinyje įgauna tam tikras vertes. Skaičių poroms, kuriose visi skirtingi, yra unikalus daugiausiai laipsnio polinomas. Paprasčiausiu atveju (... Vikipedija

Apie funkciją žr.: Interpolant. Interpoliacija skaičiavimo matematikoje yra būdas rasti tarpines dydžio reikšmes iš esamos atskiros žinomų reikšmių rinkinio. Daugelis tų, kurie dažnai užsiima moksliniais ir inžineriniais skaičiavimais... Vikipedija

Apie funkciją žr.: Interpolant. Interpoliacija, interpoliacija skaičiavimo matematikoje yra būdas rasti tarpines dydžio reikšmes iš esamos atskiros žinomų reikšmių rinkinio. Daugelis tų, kurie susiduria su moksline ir... ... Vikipedija

Sukonstruosime interpoliacijos daugianarį formoje

kur yra daugianariai, kurių laipsnis ne didesnis kaip p, turintis šią savybę:

Iš tiesų, šiuo atveju daugianomas (4.9) kiekviename mazge x j, j=0,1,…n, yra lygi atitinkamos funkcijos reikšmei y j, t.y. yra interpoliacinis.

Sukurkime tokius daugianarius. Kadangi esant x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , galime koeficientuoti taip

kur c yra konstanta. Iš sąlygos mes tai gauname

Interpoliacijos polinomas (4.1), parašytas forma

vadinamas Lagranžo interpoliacijos polinomu.

Apytikslė funkcijos reikšmė taške x*, apskaičiuotas naudojant Lagranžo daugianarį, turės likutinę paklaidą (4.8). Jei funkcijos reikšmės y i interpoliacijos mazguose x i pateikiami apytiksliai su ta pačia absoliučia paklaida, tada vietoj tikslios vertės bus apskaičiuojama apytikslė vertė ir

kur yra Lagranžo interpoliacijos daugianario skaičiavimo absoliuti paklaida. Galiausiai turime tokį bendrą apytikslės vertės paklaidos įvertinimą.

Visų pirma, Lagranžo pirmojo ir antrojo laipsnio daugianariai turės formą

ir jų bendros paklaidos taške x *

Yra ir kitų to paties interpoliacijos polinomo (4.1) rašymo formų, pavyzdžiui, Niutono interpoliacijos formulė su padalintais skirtumais ir jos variantai, aptariami toliau. Tiksliai apskaičiuojant vertę Pn(x*), gautas iš skirtingų interpoliacijos formulių, sudarytų naudojant tuos pačius mazgus, sutampa. Skaičiavimo klaidos buvimas lemia iš šių formulių gautų verčių skirtumus. Rašant daugianarį Lagrange forma, paprastai atsiranda mažesnė skaičiavimo klaida.

Interpoliacijos metu atsirandančių klaidų įvertinimo formulių naudojimas priklauso nuo problemos formulavimo. Pavyzdžiui, jei žinomas mazgų skaičius, o funkcija pateikta su pakankamai dideliu teisingų ženklų skaičiumi, tada galime kelti skaičiavimo problemą. f(x*) didžiausiu įmanomu tikslumu. Jei, priešingai, teisingų ženklų skaičius yra mažas, o mazgų skaičius yra didelis, tada galime kelti skaičiavimo problemą f(x*) tokiu tikslumu, kokį leidžia funkcijos lentelės reikšmė, ir norint išspręsti šią problemą, gali prireikti tiek retinimo, tiek sutankinimo lentelę.

§4.3. Išskirti skirtumai ir jų savybės.

Padalinto skirtumo sąvoka yra apibendrinta darinio samprata. Tegu funkcijų reikšmės pateikiamos taškuose x 0 , x 1 ,…x n f(x 0), f(x 1),…, f(x n). Pirmosios eilės padalyti skirtumai apibrėžiami lygybėmis

antros eilės skirtumus atskirti lygybėmis,

ir padalintus skirtumus k eilės tvarka nustatoma pagal šią pasikartojančią formulę:

Padalinti skirtumai paprastai pateikiami tokioje lentelėje:

Apsvarstykite šias padalintų skirtumų savybes.

1. Visų eilių dalyti skirtumai yra tiesinės reikšmių kombinacijos f(x i), t.y. galioja ši formulė:

Įrodykime šios formulės pagrįstumą indukcija skirtumų tvarka. Dėl pirmosios eilės skirtumų

Formulė (4.12) yra teisinga. Tarkime, kad jis galioja visiems eilės skirtumams.

Tada pagal (4.11) ir (4.12) eilės skirtumai k=n+1 mes turime

Sąlygos, kuriose yra f(x 0) Ir f(x n +1), turi reikiamą formą. Panagrinėkime terminus, kuriuose yra f(x i), i=1, 2, …,n. Yra du tokie terminai - nuo pirmosios ir antrosios sumų:

tie. eilės skirtumui galioja formulė (4.12). k=n+1, įrodymas baigtas.

2. Padalintas skirtumas yra simetriška jo argumentų x 0 , x 1 ,…x n funkcija (ty jis nekinta jokiu pertvarkymu):

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš lygybės (4.12).

3. Paprastas padalinto skirtumo santykis f ir išvestinė f(n)(x) pateikia tokią teoremą.

Tegul mazgai x 0 , x 1 ,…x n priklauso segmentui ir funkcija f(x) turi šiame intervale ištisinę eilės išvestinę n. Tada yra toks punktas xÎ, Ką

Pirmiausia įrodykime ryšio pagrįstumą

Pagal (4.12) išraiška laužtiniuose skliaustuose yra

f.

Iš palyginimo (4.14) su išraiška (4.7) likusiam terminui R n (x) = f (x) - L n (x) gauname (4.13), teorema įrodyta.

Iš šios teoremos išplaukia paprastas rezultatas. Dėl daugianario n laipsnis

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

užsakymo išvestinė n, aišku, kad yra

o santykis (4.13) suteikia padalinto skirtumo reikšmę

Taigi, kiekvienas daugianomas turi laipsnius n atskirtų užsakymų skirtumai n yra lygūs pastoviai reikšmei – daugianario aukščiausio laipsnio koeficientui. Atskirti aukštesnių užsakymų skirtumai
(daugiau n), akivaizdžiai yra lygūs nuliui. Tačiau ši išvada galioja tik tuo atveju, jei atskirtuose skirtumuose nėra skaičiavimo klaidų.

§4.4. Niutono padalinto skirtumo interpoliacijos polinomas

Parašykime Lagranžo interpoliacijos polinomą tokia forma:

Kur L 0 (x) = f (x 0) = y 0, A Lk(x)– Lagranžo interpoliacijos laipsnio polinomas k, pastatytas mazgų x 0, x 1, …,x k. Tada yra laipsnio daugianario k, kurio šaknys yra taškai x 0, x 1, …,x k -1. Todėl jis gali būti faktorizuojamas

kur A k yra konstanta.

Pagal (4.14) gauname

Palyginus (4.16) ir (4.17) matome, kad (4.15) taip pat įgauna formą

kuris vadinamas Niutono padalinto skirtumo interpoliacijos polinomu.

Šio tipo interpoliacijos polinomo įrašymas yra vizualesnis (vieno mazgo pridėjimas atitinka vieno termino atsiradimą) ir leidžia geriau atsekti atliekamų konstrukcijų analogiją su pagrindinėmis matematinės analizės konstrukcijomis.

Niutono interpoliacijos daugianario liekamoji paklaida išreiškiama (4.8) formule, tačiau, atsižvelgiant į (4.13), ji gali būti užrašoma ir kita forma

tie. liekamoji paklaida gali būti įvertinta pagal pirmojo daugianario atmesto nario modulį Nn(x*).

Skaičiavimo klaida Nn(x*) bus nulemtas atskirtų skirtumų paklaidos. Interpoliacijos mazgai, esantys arčiausiai interpoliuotos vertės x*, turės didesnę įtaką interpoliacijos polinomui, o esantys toliau – mažesnę. Todėl, jei įmanoma, patartina x 0 Ir x 1 paimkite arčiausiai esančius x* interpoliacijos mazgus ir pirmiausia atlikite tiesinę interpoliaciją išilgai šių mazgų. Tada palaipsniui pritraukite šiuos mazgus, kad jie būtų kuo simetriškesni x*, kol kitas narys absoliučia verte bus mažesnis už į jį įtraukto dalinio skirtumo absoliučią paklaidą.

Skaičiavimo praktikoje dažnai tenka susidurti su funkcijomis, nurodytomis jų reikšmių lentelėse tam tikram baigtiniam reikšmių rinkiniui. X : .

Sprendžiant problemą, būtina naudoti vertybes
tarpinėms argumentų reikšmėms. Šiuo atveju sukurkite funkciją Ф(x), pakankamai paprastą skaičiavimams, kuri duotuose taškuose x 0 , x 1 ,...,x n , vadinami interpoliacijos mazgais, paima reikšmes ir likusiuose atkarpos taškuose (x 0 ,x n), priklausančiuose apibrėžimo sričiai
, apytiksliai reiškia funkciją
su skirtingu tikslumo laipsniu.

Sprendžiant problemą šiuo atveju vietoj funkcijos
veikia su funkcija Ф(x). Tokios funkcijos Ф(x) konstravimo uždavinys vadinamas interpoliacijos uždaviniu. Dažniausiai interpoliavimo funkcija Ф(x) randama algebrinio daugianario pavidalu.

1. Interpoliacijos polinomas

Kiekvienai funkcijai
, apibrėžta [ a, b] ir bet koks mazgų rinkinys x 0 , x 1 ,.....,x n (x i
[a, b], x i x j ties i j) tarp algebrinių daugianarių, kurių laipsnis ne didesnis kaip n, yra unikalus interpoliacijos polinomas Ф(x), kurį galima parašyti tokia forma:

, (3.1)

Kur
- n-ojo laipsnio daugianario, turinčio tokią savybę:

Interpoliacijos daugianario atveju daugianario
turi formą:

Šis daugianomas (3.1) išsprendžia interpoliacijos uždavinį ir vadinamas Lagranžo interpoliacijos polinomu.

Kaip pavyzdį apsvarstykite formos funkciją
ant intervalo
nurodyta lentelės būdu.

Būtina nustatyti funkcijos reikšmę taške x-2.5. Tam panaudokime Lagranžo daugianarį. Remdamiesi formulėmis (3.1 ir 3.3), šį daugianarį rašome aiškia forma:

(3.4).

Tada, pakeisdami pradines reikšmes iš mūsų lentelės į formulę (3.4), gauname

Gautas rezultatas atitinka teoriją t.y. .

1. Lagranžo interpoliacijos formulė

Lagranžo interpoliacijos polinomas gali būti parašytas kita forma:

(3.5)

Programavimui patogiau parašyti daugianarį forma (3.5).

Sprendžiant interpoliacijos uždavinį, kiekis n vadinama interpoliuojančio daugianario tvarka. Šiuo atveju, kaip matyti iš (3.1) ir (3.5) formulių, interpoliacijos mazgų skaičius visada bus lygus n+1 ir prasmė x, kurio vertė nustatoma
, turi būti interpoliacijos mazgų apibrėžimo srityje tie.

. (3.6)

Kai kuriais praktiniais atvejais bendras žinomas interpoliacijos mazgų skaičius m gali būti didesnis nei interpoliuojančio daugianario eilė n.

Tokiu atveju, prieš įgyvendinant interpoliacijos procedūrą pagal (3.5) formulę, būtina nustatyti tuos interpoliacijos mazgus, kuriems galioja sąlyga (3.6). Reikia atsiminti, kad mažiausia paklaida pasiekiama ieškant vertės x interpoliacijos srities centre. Norėdami tai užtikrinti, rekomenduojama atlikti šią procedūrą:

Pagrindinis interpoliacijos tikslas yra apskaičiuoti lentelės funkcijos reikšmes ne mazginėms (tarpinėms) argumentų reikšmėms, todėl interpoliacija dažnai vadinama „lentelių skaitymo tarp eilučių menu“.

Formoje ieškosime interpoliacijos daugianario

VANDERMONDAS ALEKSANDRIS TEOFILAS (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796) – prancūzų matematikas, kurio pagrindiniai darbai susiję su algebra. V. padėjo pagrindus ir logiškai pristatė determinantų teoriją (Vandermonde determinant), taip pat išskyrė ją nuo tiesinių lygčių teorijos. Jis įvedė determinantų išplėtimo taisyklę naudojant antros eilės nepilnamečius.

Čia 1.(x)- n laipsnio daugianariai, vadinamieji LAGRANŽO ĮTAKOS POLINOMAI, tenkinantys sąlygą

Paskutinė sąlyga reiškia, kad bet kuris daugianario l t (x) lygus nuliui kiekvienam x-y išskyrus X. adresu t.y. x 0 y x v ...» x (_ v x i + v ...» x n yra šio daugianario šaknys. Todėl Lagranžo daugianariai Ifjx) atrodo kaip

Kadangi pagal sąlygą 1.(x.) = 1, tada

Taigi Lagranžo įtakos daugianariai bus parašyti forma

o interpoliacijos polinomas (2.5) bus parašytas forma

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (Lagrange Joseph Louis; 1736-1813) - puikus prancūzų matematikas ir mechanikas, kurio svarbiausi darbai susiję su variacijų skaičiavimu, analitine ir teorine mechanika. L. statika rėmėsi galimų (virtualių) judesių principu. Jis pristatė apibendrintas koordinates ir suteikė mechaninės sistemos judėjimo lygtims jo vardu pavadintą formą. L. gavo daug svarbių rezultatų analizės srityje (Taylor eilučių likusios dalies formulė, baigtinių prieaugių formulė, sąlyginių ekstremalių teorija); teoriškai numeriai(Lagranžo teorema); algebroje (tęstinių trupmenų teorija, kvadratinę formą redukuojant į kvadratų sumą); diferencialinių lygčių teorijoje (randant koeficientą sprendimusįprastos pirmos eilės diferencialinės lygties, tiesinės norimos funkcijos ir nepriklausomo kintamojo atžvilgiu, su kintamaisiais koeficientais, priklausančiais nuo norimos funkcijos išvestinės, tyrimas); interpoliacijos teorijoje (Lagrange interpoliacijos formulė).

Interpoliacijos polinomas formoje (2.6) vadinamas LAGRANŽO INTERPOLIACIJOS POLINOMIU. Išvardinkime pagrindinius šios interpoliacijos daugianario rašymo formos privalumus.

• Aritmetinių operacijų, reikalingų Lagranžo daugianariui sukurti, skaičius yra proporcingas n 2 ir yra mažiausias visoms žymėjimo formoms.
• Formulėje (2.6) yra aiškiai pateiktos funkcijų reikšmės interpoliacijos mazguose, o tai patogu atliekant kai kuriuos skaičiavimus, ypač kuriant skaitmeninės integracijos formules.
• Formulė (2.6) taikoma tiek vienodai, tiek nevienodu atstumu išdėstytiems mazgams.
• Lagranžo interpoliacijos polinomas yra ypač naudingas, kai keičiasi funkcijos reikšmės, bet interpoliacijos mazgai lieka nepakitę, kaip yra daugelyje eksperimentinių tyrimų.

Šios įrašymo formos trūkumai yra tai, kad pasikeitus mazgų skaičiui, visi skaičiavimai turi būti atlikti dar kartą. Dėl to sunku atlikti a posteriori tikslumo įvertinimus (įverčius, gautus skaičiavimo proceso metu).

Įveskime funkciją ω l f , = (x - x 0)(x - Xj)...(x - x p)=fl(*“*;)

Atkreipkite dėmesį, kad w n + : (x) yra laipsnio daugianario n + 1. Tada formulę (2.6) galima parašyti formoje

Čia yra tiesinės ir kvadratinės interpoliacijos formulės pagal Lagrange:

Lagranžo daugianario yra 1-ojo laipsnio daugianario formulėje (2.8) ir 2-ojo laipsnio daugianario formulėje (2.9).

Šios formulės dažniausiai naudojamos praktikoje. Tegul duota (n + 1) interpoliacijos vienetas. Šiuose mazguose galima sukurti vieną interpoliacijos polinomą n laipsnis, (p - 1) pirmojo laipsnio daugianario ir daug mažesnio laipsnio daugianario p, remiantis kai kuriais iš šių mazgų. Teoriškai didžiausią tikslumą užtikrina aukštesnio laipsnio daugianario. Tačiau praktikoje dažniausiai naudojami žemų laipsnių daugianariai, kad būtų išvengta klaidų skaičiuojant koeficientus dideliems daugianario laipsniams.