Egzamino sprendinių analizės neracionalios nelygybės. Iracionalios nelygybės

Šioje pamokoje pažvelgsime į neracionalių nelygybių sprendimą ir pateiksime įvairių pavyzdžių.

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Neracionalios nelygybės

Sprendžiant neracionalias nelygybes, dažnai reikia kiek pakelti abi nelygybės puses, tai gana atsakinga operacija. Prisiminkime savybes.

Abi nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu, jei abi jos yra neneigiamos, tik tada gauname tikrą nelygybę iš tikrosios nelygybės.

Abi nelygybės puses bet kuriuo atveju gali būti suskirstytos į kubą, jei pradinė nelygybė buvo teisinga, tada kubu gausime tikrąją nelygybę.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Radikali išraiška turi būti neneigiama. Funkcija gali turėti bet kokias reikšmes, reikia atsižvelgti į du atvejus.

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės į kvadratą. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra didesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė visada tenkinama.

Taigi, turime tokią sprendimo schemą:

Pirmojoje sistemoje radikaliosios išraiškos atskirai neapsaugome, nes tenkinus antrąją sistemos nelygybę, radikalioji išraiška automatiškai turi būti teigiama.

1 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Pagal diagramą pereiname prie lygiavertės dviejų nelygybių sistemų rinkinio:

Iliustruojame:

Ryžiai. 1 – 1 pavyzdžio sprendimo iliustracija

Kaip matome, atsikratę iracionalumo, pavyzdžiui, kvadratuodami, gauname sistemų aibę. Kartais šis sudėtingas dizainas gali būti supaprastintas. Gautame rinkinyje turime teisę supaprastinti pirmąją sistemą ir gauti lygiavertį rinkinį:

Kaip savarankiškas pratimas, būtina įrodyti šių rinkinių lygiavertiškumą.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Panašiai kaip ir ankstesnėje nelygybėje, nagrinėjame du atvejus:

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės į kvadratą. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra mažesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė yra prieštaringa. Nereikia galvoti apie antrąją sistemą.

Mes turime lygiavertę sistemą:

Kartais neracionalias nelygybes galima išspręsti grafiškai. Šis metodas taikomas, kai galima gana nesunkiai sudaryti atitinkamus grafikus ir rasti jų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys – išspręskite nelygybes grafiškai:

A)

b)

Pirmąją nelygybę jau išsprendėme ir žinome atsakymą.

Norint grafiškai išspręsti nelygybes, reikia sukonstruoti funkcijos grafiką kairėje ir funkcijos grafiką dešinėje.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikai ir

Norint nubraižyti funkcijos grafiką, reikia paversti parabolę į parabolę (veidrodiuoti ją y ašies atžvilgiu), o gautą kreivę perkelti 7 vienetais į dešinę. Grafikas patvirtina, kad ši funkcija monotoniškai mažėja savo apibrėžimo srityje.

Funkcijos grafikas yra tiesi linija ir ją lengva sudaryti. Susikirtimo taškas su y ašimi yra (0;-1).

Pirmoji funkcija monotoniškai mažėja, antroji monotoniškai didėja. Jei lygtis turi šaknį, tai ji yra vienintelė, kurią lengva atspėti iš grafiko: .

Kai argumento reikšmė mažesnė už šaknį, parabolė yra virš tiesės. Kai argumento reikšmė yra nuo trijų iki septynių, tiesė eina virš parabolės.

Turime atsakymą:

Veiksmingas iracionaliųjų nelygybių sprendimo būdas yra intervalų metodas.

3 pavyzdys – išspręskite nelygybes intervalų metodu:

A)

b)

Pagal intervalų metodą reikia laikinai nutolti nuo nelygybės. Norėdami tai padaryti, perkelkite viską nurodytoje nelygybėje į kairę pusę (dešinėje gaukite nulį) ir įveskite funkciją, lygią kairei pusei:

Dabar turime ištirti gautą funkciją.

ODZ:

Šią lygtį jau išsprendėme grafiškai, todėl neapsiribojame šaknies nustatymu.

Dabar reikia pasirinkti pastovaus ženklo intervalus ir kiekvienam intervalui nustatyti funkcijos ženklą:

Ryžiai. 3. Ženklo pastovumo intervalai pvz 3

Prisiminkime, kad norint nustatyti intervalo ženklus, reikia paimti bandomąjį tašką ir pakeisti jį į funkciją, gautą ženklą funkcija išsaugos per visą intervalą.

Patikrinkime vertę ribiniame taške:

Atsakymas akivaizdus:

Apsvarstykite šiuos nelygybės tipus:

Pirmiausia užsirašykime ODZ:

Šaknys egzistuoja, jos neneigiamos, galime kvadratuoti abi puses. Mes gauname:

Gavome lygiavertę sistemą:

Gautą sistemą galima supaprastinti. Patenkinus antrąją ir trečiąją nelygybes, pirmoji yra teisinga automatiškai. Turime::

4 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Veikiame pagal schemą – gauname lygiavertę sistemą.

Bet kokia nelygybė, kurios šaknyje yra funkcija, vadinama neracionalus. Yra dviejų tipų tokios nelygybės:

Pirmuoju atveju šaknis mažesnė už funkciją g(x), antruoju – didesnė. Jei g(x) – pastovus, nelygybė labai supaprastinta. Atkreipkite dėmesį: išoriškai šios nelygybės yra labai panašios, tačiau jų sprendimo schemos iš esmės skiriasi.

Šiandien mes išmoksime išspręsti neracionalias pirmojo tipo nelygybes - jos yra paprasčiausios ir suprantamiausios. Nelygybės ženklas gali būti griežtas arba negriežtas. Jiems tinka šis teiginys:

Teorema. Bet kokia neracionali formos nelygybė

Atitinka nelygybių sistemą:

Ar ne silpna? Pažiūrėkime, iš kur atsirado ši sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) – čia viskas aišku. Tai yra pradinė nelygybė kvadratu;
2. f (x) ≥ 0 yra šaknies ODZ. Leiskite jums priminti: aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičiai;
3. g(x) ≥ 0 yra šaknies diapazonas. Padalindami nelygybę kvadratu, sudeginame neigiamus dalykus. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų. Nelygybė g(x) ≥ 0 juos atkerta.

Daugelis studentų „užsikabina“ ant pirmosios sistemos nelygybės: f (x) ≤ g 2 (x) – ir visiškai pamiršta kitas dvi. Rezultatas nuspėjamas: neteisingas sprendimas, prarasti taškai.

Kadangi neracionalios nelygybės yra gana sudėtinga tema, pažvelkime į 4 pavyzdžius iš karto. Nuo pagrindinio iki tikrai sudėtingo. Visos problemos paimtos iš Maskvos valstybinio universiteto stojamųjų egzaminų. M. V. Lomonosovas.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Prieš mus yra klasika neracionali nelygybė: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 – konstanta. Turime:

Iš trijų nelygybių sprendimo pabaigoje liko tik dvi. Kadangi visada galioja nelygybė 2 ≥ 0. Perbraukime likusias nelygybes:

Taigi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi taškai užtamsinti, nes nelygybės nėra griežtos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Taikome teoremą:

Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Turime:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)