Supratę, kas yra matavimo vienetai ir matmenys, dabar galime pereiti prie tikrųjų matavimų. Mokyklinėje matematikoje naudojami du matavimo prietaisai - (1) liniuotė atstumams matuoti ir (2) kampų matuoklis.
Taškas
Atstumas visada matuojamas tarp bet kurių dviejų taškų. Praktiškai taškas yra maža dėmė, kuri lieka ant popieriaus, kai baksnoja pieštuku ar rašikliu. Kitas, labiau pageidautinas būdas apibrėžti tašką yra nubrėžti kryžių dviem plonomis linijomis, dėl kurių apibrėžiamas taškas jų sankirtos. Piešiniuose knygose taškas dažnai vaizduojamas kaip mažas juodas apskritimas. Bet visa tai tik apytiksliai vaizdiniai vaizdai ir griežta matematine prasme, taškas - tai įsivaizduojamas objektas, kurio dydis visomis kryptimis lygus nuliui. Matematikams visas pasaulis susideda iš taškų. Taškai yra visur. Kai kišame rašiklį į popierių ar piešiame kryžiuką, nekuriame naujo taško, o tik pažymime esamą, kad atkreiptume į jį kažkieno dėmesį. Jei nenurodyta kitaip, daroma prielaida, kad taškai yra nejudantys ir nekeičia savo santykinės padėties. Tačiau nesunku įsivaizduoti judantį tašką, kuris juda iš vietos į vietą, tarsi susiliedamas su vienu fiksuotu tašku, paskui su kitu.
Tiesiai
Padėję liniuotę ant dviejų taškų, per juos galime nubrėžti tiesią liniją, be to vienintelis būdas. Įsivaizduojama matematika tiesiai, nupieštas išilgai įsivaizduojamos idealios liniuotės, turi nulinį storį ir tęsiasi abiem kryptimis iki begalybės. Tikrame piešinyje ši įsivaizduojama struktūra yra tokia:
Tiesą sakant, viskas šiame piešinyje yra neteisinga. Linijos storis čia yra aiškiai didesnis nei nulis, ir negalima sakyti, kad linija tęsiasi iki begalybės. Nepaisant to, tokie netaisyklingi piešiniai labai praverčia kaip atrama vaizduotei, ir mes nuolat juos naudosime. Kad būtų patogiau atskirti vieną tašką nuo kito, dažniausiai jie žymimi didžiosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis. Pavyzdžiui, šiame paveikslėlyje taškai pažymėti raidėmis A Ir B. Linija, einanti per taškus A Ir B, automatiškai gauna pavadinimą „tiesiai AB“ Trumpumo dėlei žymimas ( AB), kur žodis „tiesus“ praleidžiamas ir pridedami skliaustai. Tiesios linijos taip pat gali būti žymimos mažosiomis raidėmis. Viršuje esančiame paveikslėlyje tiesi linija AB nurodyta laiške n.
Už taškų A Ir B tiesioje linijoje n yra daugybė kitų taškų, kurių kiekvienas gali būti pavaizduotas kaip sankirta su kita linija. Per tą patį tašką galima nubrėžti daug skirtingų tiesių linijų.
Jei žinome, kad tiesėje yra nesutampančių taškų A, B, C Ir D, tada jis teisėtai gali būti žymimas ne tik kaip ( AB), bet ir kaip ( A.C.), (BD), (CD) ir kt.
Segmentas. Segmento ilgis. Atstumas tarp taškų
Dviejų taškų apribota tiesės dalis vadinama segmentas. Šie ribiniai taškai taip pat priklauso segmentui ir vadinami jo baigiasi. Atkarpa, kurios galai patenka į taškus A Ir B, žymimas kaip „segmentas AB"arba, kiek trumpiau, [ AB].
Kiekvienas segmentas yra apibūdintas ilgio- „žingsnių“, kuriuos reikia žengti išilgai atkarpos, skaičius (galbūt trupmeninis), norint patekti iš vieno galo į kitą. Šiuo atveju pats „žingsnio“ ilgis yra griežtai fiksuota vertė, kuri laikoma matavimo vienetu. Patogiausia išmatuoti ant popieriaus lapo nubrėžtų segmentų ilgį centimetrų. Jei atkarpos galai patenka į taškus A Ir B, tada jo ilgis žymimas | AB|.
Pagal atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Tačiau iš tikrųjų nereikia nubrėžti atkarpos atstumui išmatuoti - pakanka pritvirtinti liniuotę prie abiejų taškų (ant kurių iš anksto pažymėti „žingsnių“ pėdsakai). Kadangi matematikoje taškas yra išgalvotas objektas, niekas netrukdo mūsų vaizduotėje naudoti idealią liniuotę, kuri absoliučiai tiksliai matuoja atstumą. Tačiau nereikėtų pamiršti, kad tikra liniuotė, uždedama ant kryžių dėmių ar centrų popieriuje, leidžia nustatyti atstumą tik apytiksliai – vieno milimetro tikslumu. Atstumas visada yra neneigiamas.
Taško padėtis tiesėje
Leiskite mums pateikti tam tikrą tiesią liniją. Pažymėkime jame savavališką tašką ir pažymėkime jį raide O. Šalia padėkime skaičių 0. Vieną iš dviejų galimų tiesės krypčių pavadinkime „teigiama“, o priešingą – „neigiama“. Paprastai teigiama kryptis imama iš kairės į dešinę arba iš apačios į viršų, tačiau tai nėra būtina. Pažymėkime teigiamą kryptį rodykle, kaip parodyta paveikslėlyje:
Dabar galime nustatyti bet kurį tašką, esantį tiesėje padėtis. Taško padėtis A pateikiama reikšme, kuri gali būti neigiama, nulis arba teigiama. Jo absoliuti vertė yra lygi atstumui tarp taškų O Ir A(tai yra segmento ilgis OA), o ženklas nustatomas pagal kryptį nuo taško O turite judėti, kad patektumėte į esmę A. Jei reikia judėti teigiama kryptimi, tada ženklas yra teigiamas. Jei jis yra neigiamas, tada ženklas yra neigiamas. Vietoj žodžio „pozicija“ žodis „dažnai vartojamas“ koordinuoti».
Iracionalūs ir realūs skaičiai
Kai dirbame su tikru piešiniu ir naudodamiesi mokyklos liniuote nustatome tikrojo taško padėtį tikroje angoje, gauname vertę, suapvalintą iki artimiausio milimetro. Kitaip tariant, rezultatas yra vertė, paimta iš šios serijos:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm ir tt
Rezultatas negali būti lygus, pavyzdžiui, 1/3 cm, nes, kaip žinome, trečdalį centimetro galima pavaizduoti kaip begalinę periodinę trupmeną
0,333333333... cm,
kuris po apvalinimo turėtų tapti lygus 0,3 cm.
Visai kas kita, kai vaizduotėje manipuliuojame idealiais matematiniais objektais.
Pirma, šiuo atveju galite lengvai išmesti matavimo vienetus ir dirbti tik su bematiais kiekiais. Tada pereiname prie geometrinės konstrukcijos, su kuria susipažinome eidami per racionalius skaičius ir kurią vadinome skaičių eilutė:
Kadangi žodis "tiesus" geometrijoje jau yra labai "apkrautas", ta pati konstrukcija dažnai vadinama skaičių ašis arba tiesiog ašį.
Antra, galime gerai įsivaizduoti, kad taško koordinatę suteikia tam tikra periodinė dešimtainė trupmena, pvz
Be to, galime įsivaizduoti begalybę neperiodinis trupmena – pvz.,
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Tokie įsivaizduojami skaičiai, vaizduojami kaip begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos, vadinami neracionalus. Iracionalieji skaičiai kartu su mums jau pažįstamais racionaliais skaičiais sudaro vadinamuosius galioja numeriai. Vietoj žodžio „tikras“ taip pat naudosime žodį „ tikras“ Bet kuri įsivaizduojama taško padėtis tiesėje gali būti išreikšta realiuoju skaičiumi. Ir atvirkščiai, jei mums duotas tikrasis skaičius x, visada galime įsivaizduoti tašką X, kurio padėtis nurodoma skaičiumi x.
Šališkumas
Leiskite a- taško koordinatė A, A b- taško koordinatė B. Tada vertė
v = b − a
yra poslinkis, kuris išverčia esmę A iki taško B. Tai ypač akivaizdu, jei ankstesnė lygybė perrašoma į formą
b = a + v.
Kartais vietoj žodžio „perkėlimas“ vartojamas žodis „ vektorius“ Nesunku pastebėti, kad situacija x savavališkas taškas X- tai ne kas kita, kaip poslinkis, kuris išverčia esmę O(kai koordinatė lygi nuliui) į tašką X:
x= 0 + x.
Poslinkius galima pridėti vienas prie kito ir atimti vienas nuo kito. Taigi, jei poslinkis ( b − a) išverčia esmę A iki taško B, ir poslinkis ( c − b) tašką B iki taško C, tada kompensacija
(b − a) + (c − b) = c − a
verčia tašką A iki taško C.
Pastaba. Logiškai mąstant, reikėtų paaiškinti, kaip pridėti ir atimti neracionalius skaičius, nes poslinkis gali pasirodyti neracionalus. Žinoma, matematikai pasirūpino tinkamų formalių procedūrų kūrimu, tačiau praktiškai mes to nedarysime, nes praktiniams uždaviniams išspręsti visada pakanka apytikslių skaičiavimų su apvaliomis reikšmėmis. Kol kas mes tiesiog laikysimės tikėjimo, kad sąvokos „sudėtis“ ir „atimtis“ – taip pat „daugyba“ ir „dalyba“ – yra teisingai apibrėžtos bet kuriems dviem realiesiems skaičiams (tačiau su įspėjimu, kad jūs negalima dalyti iš nulio).
Čia, ko gero, derėtų atkreipti dėmesį į subtilų „poslinkio“ ir „atstumo“ sąvokų skirtumą. Atstumas visada yra neneigiamas. Iš tikrųjų tai reiškia poslinkį, paimtą absoliučia verte. Taigi, jei užskaita
v = b − a
verčia tašką A iki taško B, tada atstumas s tarp taškų A Ir B lygus
s = |v| = |b − a|.
Ši lygybė galioja nepriklausomai nuo to, kuris iš dviejų skaičių yra didesnis - a arba b.
Lėktuvas
Praktine prasme plokštuma yra popieriaus lapas, ant kurio piešiame savo geometrinius piešinius. Įsivaizduojamas matematinė plokštuma skiriasi nuo popieriaus lapo tuo, kad turi nulinį storį ir neribotą paviršių, besitęsiantį įvairiomis kryptimis iki begalybės. Be to, skirtingai nei popieriaus lapas, matematinė plokštuma yra absoliučiai standi: ji niekada nesilanksto ir nesiglamžo – net ir nuplėšta nuo rašomojo stalo ir bet kokiu būdu patalpinta erdvėje.
Plokštumos vietą erdvėje vienareikšmiškai lemia trys taškai (nebent jie būtų vienoje tiesėje). Norėdami tai įsivaizduoti aiškiau, nubrėžkime tris savavališkus taškus, O, A Ir B, ir per juos nubrėžkite dvi tiesias linijas O.A. Ir O.B. kaip parodyta paveikslėlyje:
Vaizduotėje „ištempti“ plokštumą ant dviejų susikertančių tiesių yra šiek tiek lengviau, nei „palaikyti“ ją trijuose taškuose. Tačiau dėl dar didesnio aiškumo atlikime keletą papildomų konstrukcijų. Atsitiktinai paimkime keletą taškų: vieną bet kurioje linijos vietoje O.A., o kita – bet kurioje tiesiojoje linijoje O.B.. Per šią taškų porą nubrėžkime naują liniją. Tada tokiu pat būdu pasirinkite kitą taškų porą ir per juos nubrėžkite kitą tiesią liniją. Kartodami šią procedūrą daug kartų, gauname kažką panašaus į žiniatinklį:
Tokiai konstrukcijai primesti plokštumą jau gana paprasta – juolab, kad šį įsivaizduojamą tinklelį galima padaryti tokį storą, kad jis be tarpų padengtų visą plokštumą.
Atkreipkite dėmesį, kad jei paimsime porą skirtingų taškų plokštumoje ir per juos nubrėžsime tiesią liniją, tada ši tiesi būtinai bus toje pačioje plokštumoje.
Abstraktus
Taškas (A, B ir kt.): įsivaizduojamas objektas, kurio dydis visomis kryptimis lygus nuliui.
Tiesiai (n, m arba ( AB)): be galo plona linija; nubrėžta per du taškus ( A Ir B) išilgai linijos vienareikšmiškai; tęsiasi abiem kryptimis iki begalybės.
Segmentas ([AB]): linijos, apribotos dviem taškais ( A Ir B) – atkarpos galai, kurie taip pat laikomi priklausančiais segmentui.
Skyriaus ilgis(|AB|): (dalinis) centimetrų (arba kito matavimo vieneto), kuris telpa tarp galų ( A Ir B).
Atstumas tarp dviejų taškų: atkarpos ilgis su galais šiuose taškuose.
Taško padėtis tiesėje (koordinuoti): atstumas nuo taško iki tam tikro iš anksto pasirinkto centro (taip pat gulinčio tiesioje linijoje) su priskirtu pliuso arba minuso ženklu, priklausomai nuo to, kurioje centro pusėje yra taškas.
Nurodoma taško padėtis tiesėje galioja(tikras)numerį, būtent dešimtainė trupmena, kuri gali būti (1) baigtinė arba begalinė periodinė ( racionalūs skaičiai), arba (2) begalinis neperiodinis ( neracionalūs skaičiai).
Šališkumas, kuris išverčia esmę A(su koordinatėmis a) iki esmės B(su koordinatėmis b): v = b − a.
Atstumas lygus poslinkiui, paimtam absoliučia verte: | AB| = |b − a|.
Lėktuvas: be galo plonas popieriaus lapas, besitęsiantis iš skirtingų pusių iki begalybės; yra vienareikšmiškai apibrėžta trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje.
Taip pat žiūrėkite: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Matematika du su puse tūkstantmečio naudojo bedimensinio taško abstrakciją, kuri prieštarauja ne tik sveikam protui, bet ir žinioms apie mus supantį pasaulį, gautoms tokių mokslų kaip fizika, chemija, kvantinė mechanika ir informatika.
Kitaip nei kitos abstrakcijos, bedimensinio matematinio taško abstrakcija ne idealizuoja tikrovę, supaprastindama jos žinias, o sąmoningai ją iškraipo, suteikdama jai visiškai priešingą prasmę, dėl kurios iš esmės neįmanoma suprasti ir tyrinėti aukštesnės dimensijos erdves!
Bedimensinės taško abstrakcijos panaudojimą matematikoje galima palyginti su bazinės valiutos vieneto su nuline verte naudojimu ekonominiuose skaičiavimuose. Laimei, ekonomika apie tai negalvojo.
Įrodykime bedimensinio taško abstrakcijos absurdiškumą.
Teorema. Matematinis taškas yra tūrinis.
Įrodymas.
Visai kaip matematikoje
taško_dydis = 0,
Turime baigtinio (ne nulinio) ilgio segmentą
Segmento_dydis = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Gautas nulinis atkarpos dydis, kaip jį sudarančių taškų seka, prieštarauja sąlygai, kad atkarpos ilgis yra baigtinis. Be to, nulinio taško dydis yra absurdiškas, nes nulių suma nepriklauso nuo terminų skaičiaus, tai yra, „nulinių“ taškų skaičius segmente neturi įtakos atkarpos dydžiui.
Todėl pradinė prielaida apie matematinio taško nulinį dydį yra NETEISINGA.
Taigi galima teigti, kad matematinis taškas turi ne nulinį (baigtinį) dydį. Kadangi taškas priklauso ne tik atkarpai, bet ir erdvei, kurioje yra atkarpa, jis turi erdvės matmenį, tai yra, matematinis taškas yra tūrinis. Q.E.D.
Pasekmė.
Aukščiau pateiktas įrodymas, atliktas vaikų darželio jaunesniosios grupės matematiniu aparatu, įkvepia didžiuotis beribe „visų mokslų karalienės“ kunigų ir adeptų išmintimi, kurie sugebėjo išgyventi tūkstantmečius ir išsaugoti palikuonims. originali forma, senovės žmonijos kliedesys.
Atsiliepimai
Gerbiamas Aleksandrai! Matematika man nesiseka, bet gal TU gali pasakyti kur ir kieno parašyta, kad taškas lygus nuliui? Kitas dalykas yra tai, kad jis turi be galo mažą vertę, net iki susitarimo taško, bet visai ne nulį. Taigi, bet kuris segmentas gali būti laikomas nuliu, nes yra dar vienas segmentas, kuriame, grubiai tariant, yra begalinis skaičius pradinių segmentų. Gal nereikia painioti matematikos ir fizikos. Matematika yra egzistencijos mokslas, fizika yra egzistencijos mokslas. Pagarbiai.
Achilą paminėjau du kartus išsamiai ir daug kartų pro šalį:
"Kodėl Achilas nepasiveja vėžlio"
„Achilas ir vėžlys – paradoksas su kubeliais“
Galbūt vienas iš Zenono paradokso sprendimų yra tas, kad erdvė yra diskreti, o laikas yra tęstinis. Jis tikėjo, kaip ir jūs, kad abu yra atskiri. Kūnas tam tikrame erdvės taške gali išbūti kurį laiką. Tačiau jis negali būti skirtingose vietose tuo pačiu metu. Visa tai, žinoma, yra mėgėjiškumas, kaip ir visas mūsų dialogas. Pagarbiai.
Beje, jei taškas yra trimatis, kokie jo matmenys?
Laiko diskretiškumas išplaukia, pavyzdžiui, iš „Strėlės“ aporijos. Fizikams, kurie iš principo nesupranta ir nepriima nei eterio sandaros, nei 4-matės erdvės struktūros, gali „būti skirtingose vietose vienu metu“ tik elektronas. Kitų šio reiškinio pavyzdžių nežinau. Mūsų pokalbyje nematau jokio „mėgėjiškumo“. Priešingai, viskas labai paprasta: taškas yra arba bematis, arba turi dydį; tęstinumas ir begalybė arba egzistuoja, arba ne. Trečio pasirinkimo nėra – arba TEISINGA, arba NETIESA! Deja, pagrindiniai matematikos principai yra paremti klaidingomis dogmomis, priimtomis iš nežinojimo prieš 2500 metų.
Taško dydis priklauso nuo sprendžiamos problemos sąlygų ir nuo reikiamo tikslumo. Pavyzdžiui, jei kuriate rankinio laikrodžio pavarą, tikslumą gali apriboti atomo dydis, tai yra aštuonių skaičių po kablelio. Pats atomas čia bus fizinis matematinio taško analogas. Galbūt kažkur reikės iki 16 skaitmenų tikslumo; tada taško vaidmenį atliks eterio dalelė. Atkreipkite dėmesį, kad kalbos apie neva „begalinį“ tikslumą praktikoje virsta laukine nesąmone arba, švelniai tariant, absurdu.
Vis dar nesuprantu: ar esmė egzistuoja? Jei ji egzistuoja objektyviai, vadinasi, ji turi tam tikrą fizinę vertę, jei egzistuoja subjektyviai, mūsų proto abstrakcijos pavidalu, tai ji turi matematinę vertę. Nulis NIEKO neturi, jo neegzistuoja, tai yra abstraktus neegzistavimo matematikoje arba tuštumos fizikoje apibrėžimas. Taškas pats savaime neegzistuoja už santykių ribų. Kai tik atsiranda antrasis taškas, pasirodo segmentas – Kažkas ir t.t. Šią temą galima plėtoti be galo. Su uv.
Man atrodė, kad pateikiau aiškų pavyzdį, bet tikriausiai nepakankamai išsamų. Objektyviai žiūrint, yra Pasaulis, kurį mokslas pažįsta, o šiuo metu jis pažįsta pirmiausia naudodamas matematinius metodus. Matematika supranta pasaulį kurdama matematinius modelius. Norint sukurti šiuos modelius, visų pirma naudojamos pagrindinės matematinės abstrakcijos, tokios kaip: taškas, linija, tęstinumas, begalybė. Šios abstrakcijos yra pagrindinės, nes nebeįmanoma jų dar labiau suskaidyti ir supaprastinti. Kiekviena iš pagrindinių abstrakcijų gali būti adekvati objektyviai tikrovei (tiesa) arba ne (klaidinga). Visos aukščiau pateiktos abstrakcijos iš prigimties yra klaidingos, nes prieštarauja naujausioms žinioms apie realų pasaulį. Tai reiškia, kad šios abstrakcijos trukdo teisingai suprasti realų pasaulį. Tai galėtų būti kažkaip toleruojama, kol mokslas tyrinėjo trimatį pasaulį. Tačiau bedimensinio taško ir tęstinumo abstrakcijos daro visus aukštesnės dimensijos pasaulius iš principo nepažintus!
Visatos plyta – taškas – negali būti tuščia. Visi žino, kad iš tuštumos nieko neatsiranda. Fizikai, paskelbę eterį neegzistuojantį, užpildė pasaulį tuštuma. Manau, kad matematika su savo tuščiu tašku pastūmėjo juos į šią kvailystę. Aš net nekalbu apie atomus – aukštesnių nei 4D dimensijų pasaulių taškus. Taigi kiekvienam matmeniui nedalomo (sąlygiškai) matematinio taško vaidmenį atlieka (sąlygiškai) nedalomas šio pasaulio (erdvės, materijos) atomas. 3D - fizinis atomas, 4D - eterio dalelė, 5D - astralinis atomas, 6D - mentalinis atomas ir pan. Pagarbiai
Taigi, ar visatos plyta turi kokią nors absoliučią vertę? O kaip tai atrodo, jūsų nuomone, eteriniame arba mentaliniame pasaulyje. Bijau net paklausti apie pačius pasaulius. Su susidomėjimu...
Eterio dalelės (tai ne atomai!) yra elektronų-pozitronų poros, kuriose pačios dalelės viena kitos atžvilgiu sukasi šviesos greičiu. Tai visiškai paaiškina visų nukleonų sandarą, elektromagnetinių virpesių sklidimą ir visus vadinamojo fizinio vakuumo padarinius. Minties atomo sandara niekam nežinoma. Yra tik įrodymų, kad VISI aukščiausi pasauliai yra materialūs, tai yra, jie turi savo atomus. Iki absoliuto reikalo. Tačiau veltui ironizuojate. Ar kirmgraužos ir dideli sprogimai jums atrodo labiau tikėtini?
Kokia čia ironija, tik po tokios informacijos lavinos šiek tiek nustebau. Aš, skirtingai nei jūs, nesu profesionalas ir man sunku ką nors pasakyti apie erdvių penkiamatiškumą ar šešiamatiškumą. Aš kalbu apie mūsų ilgai kentėjusį tašką... Kiek suprantu, jūs esate prieš materialų tęstinumą, o taškas, jūs turite tikrai egzistuojantį „demokratų“ atomą. „Visatos plyta“. Gal buvau nedėmesingas, bet vis tiek būtų sunku atkartoti, kokia jo struktūra, fiziniai parametrai, matmenys ir pan.
Taip pat atsakykite, ar vienetas egzistuoja savaime, kaip toks, už bet kokių santykių ribų? ačiū.
Kritinio taško sąvoką galima apibendrinti diferencijuojamo atvaizdavimo atveju ir savavališkų kolektorių diferencijuojamo atvaizdavimo atveju. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Šiuo atveju kritinio taško apibrėžimas yra atvaizdavimo Jakobijos matricos rangas f (\displaystyle f) jame yra mažesnė nei didžiausia galima reikšmė lygi .
Funkcijų ir žemėlapių kritiniai taškai atlieka svarbų vaidmenį tokiose matematikos srityse kaip diferencialinės lygtys, variacijų skaičiavimas, stabilumo teorija, taip pat mechanika ir fizika. Sklandaus atvaizdavimo kritinių taškų tyrimas yra vienas pagrindinių katastrofų teorijos klausimų. Kritinio taško sąvoka taip pat apibendrinta funkcionalumui, apibrėžtam begalinių dimensijų funkcijų erdvėse. Tokių funkcinių funkcijų kritinių taškų radimas yra svarbi variacijų skaičiavimo dalis. Kritiniai funkcinių taškai (kurie savo ruožtu yra funkcijos) vadinami ekstremalus sportas.
Formalus apibrėžimas
Kritinis(arba ypatingas arba stacionarus) nuolat diferencijuojamo atvaizdavimo taškas f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) taškas, kuriame iškviečiamas šio atvaizdavimo diferencialas f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) yra išsigimęs atitinkamų liestinių erdvių tiesinė transformacija T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) Ir T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), tai yra transformacijos vaizdo matmuo f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) mažiau min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Koordinačių žymėjimu kada n = m (\displaystyle n = m) tai reiškia, kad Jakobijos yra atvaizdavimo Jakobijos matricos determinantas f (\displaystyle f), sudarytas iš visų dalinių darinių ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- tam tikru momentu tampa nuliu. Erdvės ir R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))šiame apibrėžime gali būti pakeistas atmainomis N n (\displaystyle N^(n)) Ir M m (\displaystyle M^(m)) tie patys matmenys.
Sardo teorema
Atvaizdavimo reikšmė kritiniame taške vadinama jo kritinė vertė. Pagal Sardo teoremą, bet kokio pakankamai sklandaus atvaizdavimo kritinių verčių rinkinys f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) turi nulinį Lebesgue matą (nors gali būti bet koks kritinių taškų skaičius; pavyzdžiui, tapatybės atvaizdavimui bet kuris taškas yra svarbus).
Rodomas pastovus rangas
Jei netoli taško x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) nuolat diferencijuojamo kartografavimo rangas f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) lygus tam pačiam skaičiui r (\displaystyle r), tada netoli šio taško x 0 (\displaystyle x_(0)) yra vietinės koordinatės, kurių centras yra x 0 (\displaystyle x_(0)), o jo atvaizdo kaimynystėje – taškai y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- yra vietinės koordinatės (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) centre ties f (\displaystyle f) pateikiami santykiais:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ltaškai ,\ y_(m)=0.)
Visų pirma, jei r = n = m (\rodymo stilius r = n = m), tada yra vietinės koordinatės (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) centre ties x 0 (\displaystyle x_(0)) ir vietines koordinates (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) centre ties y 0 (\displaystyle y_(0)), toks, kad juose atvaizdavimas f (\displaystyle f) yra identiškas.
Vyksta m = 1
Šiuo atveju šis apibrėžimas reiškia, kad gradientas ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))šiuo momentu išnyksta.
Tarkime, kad funkcija f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) turi ne žemesnę glotnumo klasę C 3 (\displaystyle C^(3)). Kritinis funkcijos taškas f paskambino neišsigimęs, jei jame yra Heseno |∂ 2 f ∂ x 2 | f(\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))
skiriasi nuo nulio. Neišsigimusio kritinio taško kaimynystėje yra koordinatės, kuriose funkcija turi kvadratinę normaliąją formą (Morzės lema). Natūralus Morzės lemos apibendrinimas išsigimusiems kritiniams taškams yra f Tujrono teorema: μ (\displaystyle \mu ) yra koordinačių sistema, kurioje lygioji funkcija turi laipsnio daugianario formą μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(kaip P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1) (x)) galime paimti funkcijos Taylor daugianarį f (x) (\displaystyle f(x)) pradinių koordinačių taške).
At m = 1 (\displaystyle m = 1) Tikslinga paklausti apie funkcijos maksimumą ir minimumą. Pagal gerai žinomą matematinės analizės teiginį, nuolat diferencijuojama funkcija f (\displaystyle f), apibrėžtas visoje erdvėje R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) arba savo atvirame poaibyje gali pasiekti vietinį maksimumą (minimumą) tik kritiniuose taškuose, o jei taškas yra neišsigimęs, tada matrica (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))) \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) jis turi būti neigiamas (teigiamas) apibrėžtas. Pastaroji taip pat yra pakankama sąlyga vietiniam maksimumui (atitinkamai minimumui).
Vyksta n = m = 2
Tuo atveju n=m=2 turime ekraną f plokštuma su plokštuma (arba dvimatis kolektorius į kitą dvimatį kolektorių). Tarkime, kad žemėlapis f diferencijuojamas be galo daug kartų ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Šiuo atveju tipiški kritiniai žemėlapio taškai f yra tie, kuriuose Jakobijos matricos determinantas yra lygus nuliui, bet jo rangas yra lygus 1, taigi ir atvaizdavimo diferencialas f tokiuose taškuose turi vienmatį branduolį. Antroji tipiškumo sąlyga yra ta, kad šalia aptariamo taško prototipo plokštumoje kritinių taškų rinkinys sudaro taisyklingą kreivę S, ir beveik visuose kreivės taškuose Sšerdis ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) nerūpi S, o taškai, kuriuose taip nėra, yra atskirti, o jų liestis yra pirmos eilės. Pirmojo tipo kritiniai taškai vadinami lenkimo taškai, o antrasis tipas - surinkimo taškai. Sulenkimai ir sąrankos yra vieninteliai plokštumos ir plokštumos atvaizdavimo singuliarumo tipai, kurie yra stabilūs mažų trikdžių atžvilgiu: esant mažiems trikdžiams, lenkimo ir surinkimo taškai pasislenka tik šiek tiek kartu su kreivės deformacija. S, bet neišnyksta, neišsigimsta ir nesutrupėja į kitus bruožus.
MKOOUST SANATORIJA MOKYKLA - INTERNATAS
Taškas ir geometrinės figūros.
Matematikos tiriamasis darbas.
Baigė: Anatolijus Vasiljevas, 3 klasės mokinys
Darbo vadovas:
Dubovaja Natalija Leonidovna,
Pradinių klasių mokytoja.
Tommot, 2013 m
- Trumpa santrauka. .................................................. ...................................2
- Anotacija. .................................................. ......................................3
- Mokslinis straipsnis. .................................................. ......................................6
- Išvada................................................ ................................................7
Nuorodos.
Trumpa santrauka.
Darbe nagrinėjamas taškas ir geometrinės figūros: tiesė, spindulys, atkarpa, kampas, trikampis, keturkampis, apskritimas ir apskritimas, taip pat taško vaidmuo šių figūrų kompozicijoje ir konstrukcijoje.
Anotacija.
Tyrimo tikslas:išsiaiškinti, ką reiškia taško sąvokos ir iš ko sudarytos geometrinės figūros: tiesė, spindulys, kampas, keturkampis, trikampis, apskritimas.
Studijų objektas:taškas ir geometrinių figūrų apibrėžimai: tiesė, spindulys, kampas, keturkampis, trikampis, apskritimas.
Tyrimo objektas:taškinės ir geometrinės figūros: tiesė, spindulys, kampas, keturkampis, trikampis, apskritimas.
Tyrimo hipotezė:taškas yra vienintelė geometrinė figūra, o visos kitos susideda iš daugelio taškų.
Tyrimo tikslai:
- studijų medžiaga tema: „Taškas ir geometrinės figūros: tiesė, spindulys, kampas, keturkampis, trikampis, apskritimas.“;
- rasti taško, tiesės, keturkampio, trikampio, kampo, spindulio, apskritimo apibrėžimus;
- pateikti savo analizę ir apmąstymus šia tema;
- pateikti pristatymą remiantis šiuo tiriamuoju darbu.
Tyrimo metodai:literatūros studijavimas, darbas su žodynais, tyrimo analizė, išvados.
Mokslinis straipsnis.
Matematika atsirado senovėje iš praktinių žmonių poreikių. Niekas nesiginčys dėl matematikos senumo, tačiau yra kitokia nuomonė apie tai, kas paskatino žmones ją studijuoti. Anot jo, matematiką, kaip ir poeziją, tapybą, muziką, teatrą ir meną apskritai, į gyvenimą atnešė dvasiniai žmogaus poreikiai, jo, galbūt dar iki galo neįsisąmonintas, žinių ir grožio troškimas.
Ar kada susimąstėte, kas yra taškas ir iš kokių geometrinių figūrų sudaromos?
Iš pirmo žvilgsnio čia viskas aišku: taškas yra taškas, tiesė – tiesė, kas čia gali būti nesuprantamo? Na, bet vis tiek, kaip galima tai paaiškinti žmogui, kuris to visiškai nežino ir, be to, viską supranta labai pažodžiui? Ar tikrai taip paprasta? Pasirodo, visai ne!
Per darbo pamokas, kai mokėmės izothread techniką, turėjau prielaidą, kad visos geometrinės figūros susideda iš taškų. Būtent šiai temai nusprendžiau skirti savo tiriamąjį darbą.
„Žinau, kad nieko nežinau“, – sakė Sokratas ir per dialogą su pašnekovu bandė išsiaiškinti, ką tiksliai žino. Todėl nusprendžiau pirmiausia išsiaiškinti, ką žinau apie geometrines figūras.
Taigi, pažvelkime į geometrinių figūrų apibrėžimus, nurodytus mano tiriamojo darbo tema.
- Taškas - tai žymė, žymė nuo prisilietimo, injekcija kažkuo aštriu; maža apvali dėmė, dėmė; kažkas labai mažo, vos matomo. Taškas yra pagrindinė geometrinė figūra
- Linija- tai yra taškų rinkinys. Jei geometrijos konstravimo pagrindas yra atstumo tarp taškų erdvėje samprata, tai tiesią liniją galima apibrėžti kaip tiesę, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesiogiai - yra linija, kuri yra vienodai išdėstyta visų jos taškų atžvilgiu. Terminas "linija" kilęs iš lotyniško linum - "linas, lininis siūlas".
_________________________________________________
- Spindulys yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys vienoje nurodyto taško pusėje.
- Segmentas yra dalis linijos, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys tarp dviejų nurodytų taškų.
- Kampas- Tai figūra, kurią sudaro kampo viršūnės taškas ir dvi skirtingos pusės tiesės, besileidžiančios iš šio taško, kampo kraštinės.
- Keturkampisyra figūra, kurią sudaro keturi taškai ir keturios iš eilės juos jungiančios atkarpos.
- Trikampis - figūra, sudaryta iš trijų taškų, kurie nėra vienoje tiesėje, sujungti atkarpomis.
- Apskritimas -
Apskritimas yra figūra, kurią sudaro visi plokštumos taškai, esantys vienodu atstumu nuo nurodyto taško. Uždara linija aplink apskritimą.
IŠVADA.
Taško ir tiesės sąvokos yra visur mūsų gyvenime. Pavyzdžiui, jei žiūrite į rusų kalbą, taškas yra skyrybos ženklas (.), skiriantis visą sakinį. Taip pat rusų kalboje yra tokie skyrybos ženklai kaip kabliataškis, dvitaškis, elipsė.
Fizikoje taškas yra konkreti dydžio reikšmė.
Geografijoje taškas laikomas tam tikra vieta erdvėje.
Biologijoje tai yra augalų augimo taškas.
Chemijoje – užšalimo, virimo, lydymosi temperatūra.
Muzikoje taškas yra ženklas, kuris yra vienas pagrindinių muzikinės notacijos elementų.
Matematikoje taškas yra pagrindinė geometrinė figūra; dviejų tiesių susikirtimo, atkarpos ribos, spindulio pradžios ir kt.
Norėdami sukurti bet kokią figūrą, mums reikia taško. Remiantis tiesios linijos apibrėžimu,LINIJA YRA DAUG TAŠKŲ, o iš apibrėžimų žinome, kad bet kuri figūra sudaryta naudojant tašką ir tiesę, todėl visos figūros susideda iš taškų.
Mūsų gyvenime taškas yra injekcijos piktograma, maža dėmelė.
Mano tiriamasis darbas leidžia daryti išvadą, kad taškas yra vienintelė geometrinė figūra. Viskas prasideda tašku ir juo baigiasi, ir dar nežinia, kokiam atradimui tai pasitarnaus kaip pradžia.
Literatūra:
1 .Aksenova M.D. Enciklopedija vaikams. T.11. - Matematika, M.: Avanta+, 1999. 575 psl.
2 .Atanasyan L.S., geometrija, 7-9: vadovėlis švietimo įstaigoms / 12-as leidimas. - M.: Švietimas, 2002. Pp. 5, 146, 177,178.
3. Atanasyan L.S., geometrija, 10-11: vadovėlis švietimo įstaigoms / 15 leid., papildoma. - M.: Švietimas, 2006. 5-7 p.
4 .Vinogradovas I.M., matematinė enciklopedija/M.: Tarybinė enciklopedija. 410, 722 psl.
5 .Jevgenieva A.P. Rusų kalbos žodynas. - M.: Išsilavinimas, 1984 m.
6 .Kabardinas O.F. Fizika: etaloninės medžiagos. - M.: Išsilavinimas, 1991 m.
7 .Kramer G. Matematiniai statistikos metodai, vertimas iš anglų kalbos, 2 leid., M., 1975 m.
8 .Lapatukhin M.S. Mokyklinis rusų kalbos aiškinamasis žodynas. - M.: Išsilavinimas, 1981 m.
9 .Prochorovas A.M. Didelis enciklopedinis žodynas. - M.: Išsilavinimas, 1998m.
10. Prokhorovas Yu.V. Matematinis enciklopedinis žodynas. - M.: Išsilavinimas, 1998m.
11 .Savin A.P. Enciklopedinis jauno matematiko žodynas. - M.: Pedagogika, 1985, 69 p.
12 Sharygin I.F. Vizualinė geometrija. - M.: Išsilavinimas, 1995 m.
