Rusijos Federacijos švietimo ministerija

Savivaldybės švietimo įstaiga

"Vidurinė mokykla Nr. 22"

Kvadratinės ir aukštesnės eilės lygtys

Užbaigta:

8 „B“ klasės mokiniai

Kuznecovas Jevgenijus ir Rudis Aleksejus

Prižiūrėtojas:

Zenina Alevtina Dmitrievna

matematikos mokytojas

Įvadas

1.1 Lygtys senovės Babilone

1.2 Arabų lygtys

1.3 Lygtys Indijoje

2 skyrius. Kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių teorija

2.1 Pagrindinės sąvokos

2.2 Lyginio koeficiento x formulės

2.3 Vietos teorema

2.4 Tam tikro pobūdžio kvadratinės lygtys

2.5 Vietos teorema aukštesniųjų laipsnių daugianariams (lygtims).

2.6 Lygtys, redukuojamos į kvadratinę (bikvadratinę)

2.7 Bikvadratinių lygčių tyrimas

2.8 Cordano formulės

2.9 Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys

2.10 Abipusės lygtys

2.11 Hornerio grandinė

Išvada

Naudotos literatūros sąrašas

1 priedas

2 priedas

3 priedas

Įvadas

Lygtys užima pirmaujančią vietą mokyklos algebros kurse. Jų studijoms skiriama daugiau laiko nei bet kuriai kitai temai. Iš tiesų lygtys turi ne tik svarbią teorinę reikšmę, bet ir tarnauja grynai praktiniams tikslams. Daugybė problemų, susijusių su erdvinėmis formomis ir kiekybiniais ryšiais realiame pasaulyje, kyla sprendžiant įvairių tipų lygtis. Įvaldydami jų sprendimo būdus, randame atsakymus į įvairius mokslo ir technologijų (transporto, žemės ūkio, pramonės, ryšių ir kt.) klausimus.

Šiame rašinyje norėčiau parodyti įvairių lygčių sprendimo formules ir metodus. Šiuo tikslu pateikiamos lygtys, kurios nėra studijuojamos mokyklos programoje. Tai daugiausia tam tikro pobūdžio lygtys ir aukštesnio laipsnio lygtys. Norėdami išplėsti šią temą, pateikiami šių formulių įrodymai.

Mūsų esė tikslai:

Tobulinkite lygčių sprendimo įgūdžius

Sukurti naujus lygčių sprendimo būdus

Išmokite naujų būdų ir formulių, kaip išspręsti šias lygtis.

Tyrimo objektas – elementarioji algebra. Tyrimo objektas – lygtys. Šią temą pasirinko tuo, kad lygtys įtraukiamos ir į pradinę programą, ir į kiekvieną tolesnę vidurinių mokyklų, licėjų, kolegijų klasę. Daugelis geometrinių, fizikos, chemijos ir biologijos uždavinių sprendžiami naudojant lygtis. Lygtys buvo išspręstos prieš dvidešimt penkis šimtmečius. Jie kuriami ir šiandien – tiek naudoti ugdymo procese, tiek konkursiniams egzaminams universitetuose, aukščiausio lygio olimpiadoms.

1 skyrius. Kvadratinių ir aukštesnės eilės lygčių istorija

1.1 Lygtys senovės Babilone

Algebra atsirado sprendžiant įvairias problemas naudojant lygtis. Paprastai problemoms spręsti reikia rasti vieną ar daugiau nežinomųjų, tuo pačiu žinant kai kurių veiksmų, atliktų su norimais ir duotais kiekiais, rezultatus. Tokios problemos kyla sprendžiant vieną ar kelių lygčių sistemą, naudojant algebrines operacijas su duotais dydžiais, surasti reikiamas. Algebra tiria bendrąsias operacijų su dydžiais savybes.

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone. Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės darbais, vystantis pačiai astronomijai ir matematikai. Kaip minėta anksčiau, kvadratines lygtis babiloniečiai sugebėjo išspręsti maždaug 2000 m. Naudojant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galime teigti, kad jų dantiraščio tekstuose pasitaiko ir nepilnų, ir pilnų kvadratinių lygčių.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikinėmis, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto Babilono algebros išsivystymo lygio, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinės lygties sprendimo metodų.

1.2 Arabų lygtys

Kai kuriuos kvadratinių ir aukštesnės eilės lygčių sprendimo būdus sukūrė arabai. Taigi garsus arabų matematikas Al-Khorezmi savo knygoje „Al-Jabar“ aprašė daugybę būdų, kaip išspręsti įvairias lygtis. Jų ypatumas buvo tas, kad Al-Khorezmi naudojo sudėtingus radikalus, kad surastų lygčių šaknis (sprendinius). Poreikis išspręsti tokias lygtis buvo reikalingas sprendžiant klausimus apie palikimo padalijimą.

1.3 Lygtys Indijoje

Kvadratinės lygtys taip pat buvo išspręstos Indijoje. Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (7 a.) nustatė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kūginės formos, sprendimo taisyklę:

aх² + bx= c, kur a > 0

Šioje lygtyje koeficientai, išskyrus a, gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsilavinęs žmogus viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas, pranoks kitų šlovę“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Įvairias lygtis – tiek kvadratines, tiek aukštesnio laipsnio lygtis – sprendė mūsų tolimi protėviai. Šios lygtys buvo išspręstos labai skirtingose ​​ir tolimose šalyse. Lygčių poreikis buvo didelis. Lygtys buvo naudojamos statybose, kariniuose reikaluose ir kasdienėse situacijose.

2 skyrius. Kvadratinės lygtys ir aukštesnės eilės lygtys

2.1 Pagrindinės sąvokos

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis

kur koeficientai a, b, c yra bet kokie realieji skaičiai, o a ≠ 0.

Kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei jos pagrindinis koeficientas yra 1.

Pavyzdys :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Kvadratinė lygtis vadinama neredukuota, jei pagrindinis koeficientas skiriasi nuo 1.

Pavyzdys :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai, kitaip tariant, tai yra lygtis, kurioje koeficientai b ir c nėra lygūs nuliui.

Pavyzdys :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje bent vienas koeficientas b, c yra lygus nuliui.

Taigi, yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

1) ax² = 0 (turi dvi sutampančius šaknis x = 0).

2) ax² + bx = 0 (turi dvi šaknis x 1 = 0 ir x 2 = -)

Pavyzdys :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Atsakymas: x 1 = 0, x 2 = -5.

Jei -<0 - уравнение не имеет корней.

Pavyzdys :

Atsakymas: lygtis neturi šaknų.

Jei –> 0, tai x 1,2 = ±

Pavyzdys :

Atsakymas: x 1,2 =±

Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą (b² - 4ac). Paprastai išraiška b² - 4ac žymima raide D ir vadinama kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 diskriminantu (arba kvadratinio trijų dėmenų ax² + bx + c diskriminantu).

Pavyzdys :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Atsakymas: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Priklausomai nuo diskriminanto, lygtis gali turėti arba neturėti sprendimo.

1) Jei D< 0, то не имеет решения.

2) Jei D = 0, tai lygtis turi du sutampančius sprendinius x 1,2 =

3) Jei D > 0, tada jis turi du sprendinius, rastus pagal formulę:

x 1,2 =

2.2 Lyginio koeficiento x formulės

Esame pripratę prie to, kad kvadratinės lygties šaknys

ax² + bx + c = 0 randami pagal formulę

x 1,2 =

Tačiau matematikai niekada nepraleis progos palengvinti skaičiavimus. Jie nustatė, kad šią formulę galima supaprastinti tuo atveju, kai koeficientas b yra b = 2k, ypač jei b yra lyginis skaičius.

Tiesą sakant, tegul kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 koeficientas b yra b = 2k. Į formulę pakeitę skaičių 2k vietoj b, gauname:

Taigi kvadratinės lygties ax² + 2kx + c = 0 šaknis galima apskaičiuoti naudojant formulę:

x 1,2 =

Pavyzdys :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Šios formulės pranašumas yra tas, kad iš šio kvadrato atimamas ne skaičius b, o jo pusė, o tiesiog ac, ir galiausiai, kad vardiklyje yra ne 2a, o tiesiog a; .

Jei duota kvadratinė lygtis, mūsų formulė atrodys taip:

Pavyzdys :

x 2 – 4x + 3 = 0

Atsakymas: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vietos teorema

Labai įdomią kvadratinės lygties šaknų savybę atrado prancūzų matematikas Francois Viète. Ši savybė buvo vadinama Vietos teorema:

Taigi, kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų lygties šaknys:

ax² + bx + c = 0

būtina ir pakanka lygybei įvykdyti

x 1 + x 2 = -b/a ir x 1 x 2 = c/a

Vietos teorema leidžia spręsti apie kvadratinės lygties ženklus ir absoliučią vertę

x² + bx + c = 0

1. Jei b>0, c>0, tada abi šaknys yra neigiamos.

2. Jei b<0, c>0, tada abi šaknys yra teigiamos.

3. Jei b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Jei b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Tam tikro pobūdžio kvadratinės lygtys

1) Jei a + b + c = 0 lygtyje ax² + bx + c = 0, tada

x 1 = 1 ir x 2 = .

Įrodymas :

Lygtyje ax² + bx + c = 0, jos šaknys

x 1,2 = (1).

Pavaizduokime b iš lygybės a + b + c = 0

Pakeiskime šią išraišką į formulę (1):

=

Jei nagrinėsime dvi lygties šaknis atskirai, gausime:

1) x 1 =

2) x 2 =

Iš to seka: x 1 = 1 ir x 2 =.

1. Pavyzdys :

2x² – 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, todėl

2. Pavyzdys :

418x² – 1254x + 836 = 0

Šį pavyzdį labai sunku išspręsti naudojant diskriminantą, tačiau žinant aukščiau pateiktą formulę, jį galima lengvai išspręsti.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Jei a - b + c = 0, lygtyje ax² + bx + c = 0, tada:

x 1 =-1 ir x 2 =-.

Įrodymas :

Apsvarstykite lygtį ax² + bx + c = 0, iš to išplaukia, kad:

x 1,2 = (2).

Pavaizduokime b iš lygybės a - b + c = 0

b = a + c, pakeiskite formulę (2):

=

Gauname dvi išraiškas:

1) x 1 =

2) x 2 =

Ši formulė yra panaši į ankstesnę, tačiau ji taip pat svarbi, nes... Šio tipo pavyzdžiai yra dažni.

1) Pavyzdys :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, todėl

2)Pavyzdys :

Atsakymas: x 1 = -1; x 2 = -

3) metodas “ pervedimai ”

Kvadratinių lygčių y² + by + ac = 0 ir ax² + bx + c = 0 šaknys yra susietos šiais ryšiais:

x 1 = ir x 2 =

Įrodymas :

a) Apsvarstykite lygtį ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Apsvarstykite lygtį y² + x + ac = 0

y 1,2 =

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų sprendinių diskriminantai yra lygūs, palyginkime šių dviejų lygčių šaknis. Jie skiriasi vienas nuo kito pagrindiniu veiksniu, pirmosios lygties šaknys yra mažesnės nei antrosios šaknys a. Naudojant Vietos teoremą ir minėtą taisyklę, nesunku išspręsti įvairias lygtis.

Pavyzdys :

Turime savavališką kvadratinę lygtį

10x² – 11x + 3 = 0

Transformuokime šią lygtį pagal pateiktą taisyklę

y² – 11m + 30 = 0

Gauname redukuotą kvadratinę lygtį, kurią gana nesunkiai galima išspręsti naudojant Vietos teoremą.

Tegul y 1 ir y 2 yra lygties y² - 11y + 30 = 0 šaknys

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Žinant, kad šių lygčių šaknys viena nuo kitos skiriasi a, tada

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Kai kuriais atvejais patogu pirmiausia išspręsti ne pateiktą lygtį ax² + bx + c = 0, o redukuotą y² + + ac = 0, kuri gaunama iš duoto „perkėlimo“ koeficiento a, o tada rastą padalinti. šaknis iš a, kad rastumėte pradinę lygtį.

2.5 Vietos formulė aukštesniųjų laipsnių polinomams (lygtims).

Viète'o išvestos kvadratinių lygčių formulės galioja ir aukštesnio laipsnio daugianariams.

Tegul daugianario

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Turi n skirtingų šaknų x 1, x 2..., x n.

Šiuo atveju jis turi formos faktorizaciją:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)

Abi šios lygybės puses padalinkime iš 0 ≠ 0 ir atidarykime skliaustus pirmoje dalyje. Gauname lygybę:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Bet du daugianariai yra identiški tada ir tik tada, kai tų pačių laipsnių koeficientai yra lygūs. Iš to išplaukia, kad lygybė

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Pavyzdžiui, trečiojo laipsnio daugianariams

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Mes turime tapatybes

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Kalbant apie kvadratines lygtis, ši formulė vadinama Vietos formulėmis. Šių formulių kairiosios pusės yra simetriški daugianariai iš šios lygties šaknų x 1, x 2 ..., x n, o dešinės pusės išreiškiamos daugianario koeficientu.

2.6 Lygtys, redukuojamos į kvadratinę (bikvadratinę)

Ketvirtojo laipsnio lygtys redukuojamos į kvadratines lygtis:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

vadinamas bikvadratiniu, o a ≠ 0.

Pakanka į šią lygtį įdėti x 2 = y, todėl

ay² + by + c = 0

suraskime gautos kvadratinės lygties šaknis

y 1,2 =

Norėdami iš karto rasti šaknis x 1, x 2, x 3, x 4, pakeiskite y į x ir gaukite

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jei ketvirtojo laipsnio lygtis turi x 1, tada ji taip pat turi šaknį x 2 = -x 1,

Jei turi x 3, tai x 4 = - x 3. Tokios lygties šaknų suma lygi nuliui.

Pavyzdys :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Pakeiskime lygtį į bikvadratinių lygčių šaknų formulę:

x 1,2,3,4 = ,

žinant, kad x 1 = -x 2 ir x 3 = -x 4, tada:

x 3,4 =

Atsakymas: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Bikvadratinių lygčių tyrimas

Paimkime bikvadratinę lygtį

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kur a, b, c yra tikrieji skaičiai, o a > 0. Įvesdami pagalbinį nežinomąjį y = x², išnagrinėjame šios lygties šaknis ir rezultatus suvedame į lentelę (žr. priedą Nr. 1)

2.8 Cardano formulė

Jei naudosime šiuolaikinę simboliką, Cardano formulės išvedimas gali atrodyti taip:

x =

Ši formulė nustato bendrosios trečiojo laipsnio lygties šaknis:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ši formulė yra labai sudėtinga ir sudėtinga (joje yra keletas sudėtingų radikalų). Tai bus taikoma ne visada, nes... labai sunku užpildyti.

2.9 Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys

Trečiojo laipsnio simetrinės lygtys yra formos lygtys

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx - a = 0 ( 2 )

kur a ir b yra pateikti skaičiai, o a¹0.

Parodykime, kaip lygtis ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Mes nustatome, kad lygtis ( 1 ) yra lygiavertis lygčiai

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Tai reiškia, kad jo šaknys bus lygties šaknys

ax² +(b – a)x + a = 0

ir skaičius x = -1

lygtis ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Pavyzdys :

2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

Aišku, kad x 1 = 1, ir

x 2 ir x 3 lygties 2x² + 5x + 2 = 0 šaknys,

Raskime juos per diskriminantą:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Pavyzdys :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Akivaizdu, kad x 1 = -1, ir

x 2 ir x 3 lygties 5x² + 26x + 5 = 0 šaknys,

Raskime juos per diskriminantą:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Abipusės lygtys

Reciprokinė lygtis – algebrinė lygtis

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

kurioje a k = a n – k, kur k = 0, 1, 2 …n ir a ≠ 0.

Abipusės lygties šaknų radimo problema redukuojama iki žemesnio laipsnio algebrinės lygties sprendimų paieškos. Reciprokinių lygčių terminą įvedė L. Euleris.

Formos ketvirtojo laipsnio lygtis:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Sumažinant šią lygtį iki formos

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, o y = x + m/x ir y² - 2m = x² + m²/x²,

iš kur lygtis redukuojama į kvadratinę

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 - 14x 2 - 10x + 12 = 0

Padalijus jį iš x 2, gaunama lygiavertė lygtis

3x 2 + 5x – 14 – 5 × arba

Kur ir

3(y 2 – 4) + 5y – 14 = 0, iš kur

y 1 = y 2 = -2, todėl

Ir iš kur

Atsakymas: x 1,2 = x 3,4 = .

Ypatingas abipusių lygčių atvejis yra simetrinės lygtys. Apie simetriškas trečiojo laipsnio lygtis kalbėjome anksčiau, tačiau yra ir ketvirto laipsnio simetrinių lygčių.

Simetrinės ketvirtojo laipsnio lygtys.

1) Jei m = 1, tai yra pirmos rūšies simetrinė lygtis, turinti formą

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ir išspręsta nauju pakeitimu

2) Jei m = -1, tai yra antrojo tipo simetrinė lygtis, turinti formą

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ir išspręsta nauju pakeitimu

2.11 Hornerio grandinė

Norint padalyti daugianarius, naudojama „dalybos pagal kampą“ taisyklė arba Hornerio schema . Šiuo tikslu daugianariai išdėstomi mažėjančiais laipsniais X ir rasti dalinio Q(x) priekinį narį iš sąlygos, kad padauginus iš daliklio D(x) pirminio nario, gaunamas dividendo P(x) pagrindinis narys. Rastas koeficiento narys padauginamas, tada iš daliklio ir atimamas iš dividendo. Pirminis koeficiento narys nustatomas pagal sąlygą, kad, padauginus iš daliklio pirmaujančio nario, gaunamas skirtumo daugianario pagrindinis narys ir kt. Procesas tęsiamas tol, kol skirtumo laipsnis yra mažesnis už daliklio laipsnį (žr. priedą Nr. 2).

Esant lygtims R = 0, šis algoritmas pakeičiamas Hornerio schema.

Pavyzdys :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Raskite laisvojo nario daliklius ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Kairiąją lygties pusę pažymėkime f(x). Akivaizdu, kad f(1) = 0, x1 = 1. Padalinkite f(x) iš x – 1. (žr. priedą Nr. 3)

x 3 + 4x 2 + x - 6 = (x - 1) (x 2 + 5x + 6)

Paskutinį veiksnį žymime Q(x). Išsprendžiame lygtį Q(x) = 0.

x 2,3 =

Atsakymas : 1; -2; -3.

Šiame skyriuje pateikėme keletą formulių įvairioms lygtims spręsti. Dauguma šių formulių dalinėms lygtims spręsti. Šios savybės yra labai patogios, nes lygtis yra daug lengviau išspręsti naudojant atskirą šios lygties formulę, o ne naudojant bendrąjį principą. Pateikėme įrodymą ir kelis kiekvieno metodo pavyzdžius.

Išvada

Pirmame skyriuje buvo nagrinėjama kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių atsiradimo istorija. Įvairios lygtys buvo išspręstos daugiau nei prieš 25 šimtmečius. Babilone, Indijoje, buvo sukurta daug tokių lygčių sprendimo būdų. Lygčių poreikis buvo ir bus.

Antrame skyriuje pateikiami įvairūs kvadratinių lygčių ir aukštesnės eilės lygčių sprendimo (rasti šaknų) būdai. Iš esmės tai yra tam tikro pobūdžio lygčių sprendimo metodai, tai yra, kiekvienai lygčių grupei, kurią vienija tam tikros bendros savybės ar tipas, pateikiama speciali taisyklė, taikoma tik šiai lygčių grupei. Šis metodas (kiekvienai lygčiai pasirenkant savo formulę) yra daug lengvesnis nei rasti šaknis naudojant diskriminantą.

Šioje santraukoje visi tikslai pasiekti ir pagrindinės užduotys įvykdytos, įrodytos ir išmoktos naujos, anksčiau nežinomos formulės. Prieš įtraukdami juos į abstrakčius pavyzdžius, išnagrinėjome daugybę pavyzdžių, todėl jau turime idėją, kaip išspręsti kai kurias lygtis. Kiekvienas sprendimas mums bus naudingas tolesniuose tyrimuose. Šis rašinys padėjo klasifikuoti senas žinias ir išmokti naujų.

Nuorodos

1. Vilenkin N.Ya. „Algebra 8 klasei“, M., 1995 m.

2. Galitsky M.L. „Uždavinių rinkinys algebroje“, M. 2002 m.

3. Daan-Dalmedico D. „Keliai ir labirintai“, M., 1986 m.

4. Zvavich L.I. „Algebra 8 klasė“, M., 2002 m.

5. Kushnir I.A. „Lygtys“, Kijevas 1996 m.

6. Savin Yu.P. „Jaunojo matematiko enciklopedinis žodynas“, M., 1985 m.

7. Mordkovich A.G. „Algebra 8 klasė“, M., 2003 m.

8. Khudobin A.I. „Algebros uždavinių rinkinys“, M., 1973 m.

9. Šaryginas I.F. „Pasirenkamasis algebros kursas“, M., 1989 m.

1 priedas

Bikvadratinių lygčių tyrimas

2 priedas

Polinomo padalijimas į daugianarį naudojant kampą

3 priedas

Hornerio schema

Įvairių civilizacijų: Senovės Egipto, Senovės Babilono, Senovės Graikijos, Senovės Indijos, Senovės Kinijos, Viduramžių Rytų, Europos atstovai įvaldė kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Senovės Egipto matematikai pirmą kartą sugebėjo išspręsti kvadratinę lygtį. Viename iš matematinių papirusų yra tokia problema:

„Raskite stačiakampio formos lauko kraštines, jei jo plotas yra 12, o ilgis lygus jo pločiui“. „Lauko ilgis yra 4“, - teigiama papiruse.

Praėjo tūkstantmečiai, ir neigiami skaičiai pateko į algebrą. Išsprendę lygtį x²= 16, gauname du skaičius: 4, –4.

Žinoma, Egipto uždavinyje imtume X = 4, nes lauko ilgis gali būti tik teigiamas dydis.

Mus pasiekę šaltiniai rodo, kad senovės mokslininkai turėjo keletą bendrų metodų, kaip spręsti problemas su nežinomais kiekiais. Kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės yra tokia pati kaip ir šiuolaikinė, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai „pateko taip toli“. Tačiau beveik visuose rastuose papirusuose ir dantiraščio tekstuose pateikiamos tik problemos su sprendimais. Autoriai tik retkarčiais pateikdavo savo skaitinius skaičiavimus su šykščiais komentarais, tokiais kaip: „Žiūrėk!“, „Padaryk tai!“, „Radai tinkamą!“

Graikų matematikas Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis. Jo aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, bet joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų konstruojant įvairaus laipsnio lygtis.

Kvadratinių lygčių sudarymo problemos aptinkamos jau astronominiame traktate „Aria-bhatiam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta.

Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, kurių forma yra ax² + bx = c, sprendimo taisyklę.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsilavinęs žmogus viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas, pranoks kitų šlovę“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai:

Švelnių beždžionių pulkas

Pavalgęs iki pasitenkinimo smagiai praleidau laiką.

Aštunta jų dalis žaidė aikštėje esančioje proskynoje.

Ir dvylika... pradėjo šokinėti ant vijoklių, kabėdami...​

Kiek beždžionių buvo?

Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, kad kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.

Seniausi kinų matematiniai tekstai, atkeliavę pas mus, datuojami I amžiaus pabaigoje. pr. Kr II amžiuje. pr. Kr Buvo parašyta matematika devyniose knygose. Vėliau, VII amžiuje, jis buvo įtrauktas į rinkinį „Dešimt klasikinių traktatų“, kuris buvo tyrinėtas daugelį amžių. Matematika devyniose knygose paaiškina, kaip rasti kvadratinę šaknį naudojant dviejų skaičių sumos kvadrato formulę.

Metodas buvo vadinamas „tian-yuan“ (pažodžiui „dangiškasis elementas“) - taip kinai įvardijo nežinomą kiekį.​

Pirmasis problemų sprendimo vadovas, kuris tapo plačiai žinomas, buvo IX amžiaus Bagdado mokslininko darbas. Muhamedas bin Musa al Khwarizmi. Žodis „al-jabr“ laikui bėgant virto gerai žinomu žodžiu „algebra“, o pats al-Khorezmi darbas tapo atspirties tašku plėtojant lygčių sprendimo mokslą. Al-Khwarizmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius suskaičiuoja šešių tipų lygtis, išreikšdamas jas taip:

-kvadratai lygiomis šaknimis, tai yra, ah ² = bх;

-kvadratų lygus skaičius, tai yra, ah ² = s;

-šaknys lygios skaičiui, tai yra, ax = c;

-kvadratai ir skaičiai yra lygūs šaknims, tai yra, ah ²+ с = bх;

-kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui, tai yra, ah ² + bх = с;

-šaknys ir skaičiai yra lygūs kvadratams, tai yra, bx + c = ax ²;

Al-Khwarizmi traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

Kvadratinių lygčių, sukurtų pagal al-Khwarizmi Europoje, sprendimo formulės pirmą kartą buvo pateiktos Abako knygoje, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių uždavinių sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje įvedė neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis „Abako knygos“ problemų buvo įtrauktos į beveik visus XVI–XVII a. Europos vadovėlius. ir iš dalies XVIII a.

Bendroji kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos x, sprendimo taisyklė ² + bх = с, visoms galimoms koeficientų b ir с ženklų kombinacijoms Europoje buvo suformuluotas tik 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimą, tačiau jis taip pat pripažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų ir neigiamų šaknų, į jas atsižvelgiama. Tik XVII amžiuje Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgavo šiuolaikinę formą.

​

​

1.1. Iš kvadratinių lygčių atsiradimo istorijos

Algebra atsirado sprendžiant įvairias problemas naudojant lygtis. Paprastai problemoms spręsti reikia rasti vieną ar daugiau nežinomųjų, tuo pačiu žinant kai kurių veiksmų, atliktų su norimais ir duotais kiekiais, rezultatus. Tokios problemos kyla sprendžiant vieną ar kelių lygčių sistemą, naudojant algebrines operacijas su duotais dydžiais, surasti reikiamas. Algebra tiria bendrąsias operacijų su dydžiais savybes.

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone.

Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir su karinio pobūdžio žemės darbais, taip pat vystantis pačiai astronomijai ir matematikai. Babiloniečiai sugebėjo išspręsti kvadratines lygtis apie 2000 m. Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, kuriuos lydi paaiškinimai ir išspręstos sudarant įvairaus laipsnio lygtis.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

2 užduotis. „Raskite du skaičius, žinodami, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“.

Diofantas motyvuoja taip: iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų lygi ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x. Kitas yra mažesnis, ty 10 - x. Skirtumas tarp jų yra 2x. Taigi lygtis:

(10+x)(10-x) =96,

Vadinasi, x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra 12, kitas – 8. Sprendimas x = - 2 Diofantui neegzistuoja, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsite pasirinkę vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, galite rasti lygties sprendimą:

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties sprendimo.

Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai taip pat gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsimokslinęs žmogus pranoksta savo šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

Bhaskaros sprendimas rodo, kad autorius žinojo, kad kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.

3 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

Bhaskara prisidengdamas rašo:

x 2 – 64 x = – 768

ir, norėdami užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, prie abiejų pusių pridėkite 32 2, tada gaukite:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmi kvadratinės lygtys

Al-Khwarizmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax 2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax 2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax 2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečioje praktikoje tai neturi reikšmės užduotyse. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Pateikime pavyzdį.

4 uždavinys. „Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Raskite šaknį“ (tai reiškia lygties šaknį x 2 + 21 = 10x).

Sprendimas: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, gausite 3, tai bus šaknis, kurios ieškote. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duoda 7, tai taip pat yra šaknis.

Al-Khorezmi traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

Kvadratinės lygtys Europoje XII-XVII a.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII amžiaus Europos vadovėliuose. Bendrą kvadratinių lygčių, redukuotų iki vienos kanoninės formos x 2 + bх = с, sprendimo taisyklę visoms galimoms ženklų ir koeficientų b, c kombinacijoms 1544 m. Europoje suformulavo M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Viète, tačiau Viète atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Algebrinių praktinių problemų sprendimo metodų ištakos siejamos su senovės pasaulio mokslu. Kaip žinoma iš matematikos istorijos, nemaža dalis matematinio pobūdžio problemų, kurias sprendė Egipto, Šumerų, Babilono raštininkai-skaičiuotuvai (XX-VI a. pr. Kr.), buvo skaičiavimo pobūdžio. Tačiau net ir tada retkarčiais iškildavo problemų, kai norima dydžio reikšmė buvo patikslinta tam tikromis netiesioginėmis sąlygomis, kurios, mūsų šiuolaikiniu požiūriu, reikalavo sudaryti lygtį ar lygčių sistemą. Iš pradžių tokiems uždaviniams spręsti buvo naudojami aritmetiniai metodai. Vėliau pradėjo formuotis algebrinių sąvokų užuomazgos. Pavyzdžiui, Babilono skaičiuotuvai sugebėjo išspręsti problemas, kurias šiuolaikinės klasifikacijos požiūriu galima redukuoti iki antrojo laipsnio lygčių. Sukurtas tekstinių uždavinių sprendimo metodas, vėliau pasitarnavęs kaip algebrinio komponento išskyrimo ir savarankiško tyrimo pagrindas.

Šis tyrimas buvo atliktas kitoje epochoje, pirmiausia arabų matematikų (VI-X a. po Kr.), kurie nustatė būdingus veiksmus, kuriais lygtys buvo įvestos į standartinę formą: panašių terminų perkėlimas, terminų perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą. ženklo pakeitimas. Ir tada Europos Renesanso matematikai, kurie dėl ilgų ieškojimų sukūrė šiuolaikinės algebros kalbą, raidžių vartojimą, simbolių įvedimą aritmetinėms operacijoms, skliaustus ir kt. XVI a. sandūroje XVII a. jau susiformavo algebra kaip specifinė matematikos dalis, turinti savo dalyką, metodą ir taikymo sritis. Tolimesnė jo plėtra iki pat mūsų laikų buvo tobulinama metodų, plečiamų taikymo sritis, išaiškinant sąvokas ir jų sąsajas su kitų matematikos šakų sąvokomis.

Taigi, atsižvelgiant į medžiagos, susijusios su lygties samprata, svarbą ir platumą, jos tyrimas šiuolaikiniais matematikos metodais siejamas su trimis pagrindinėmis jos atsiradimo ir veikimo sritimis.

Kovalčukas Kirilas

Projektas „Kvadratinės lygtys per šimtmečius ir šalis“ supažindina studentus su matematikais, kurių atradimai yra mokslo ir technologijų pažangos pagrindas, ugdo domėjimąsi matematika kaip dalyku, paremtu istorinės medžiagos pažinimu, plečia mokinių akiratį, skatina pažintinę veiklą, kūrybiškumas.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Savivaldybės švietimo įstaigos 17-osios vidurinės mokyklos Borisovkos kaime 8 klasės mokinio projektinis darbas Kirilas Kovalčiukas Vadovė G.V.Mulyukova

Kvadratinės lygtys per šimtmečius ir šalis

Projekto tikslas: Supažindinti mokinius su matematikos mokslininkais, kurių atradimai yra mokslo ir technologijų pažangos pagrindas. Parodykite mokslininkų darbų reikšmę geometrijos ir fizikos raidai.??????????? Vizualiai demonstruokite mokslo atradimų pritaikymą gyvenime. Ugdyti susidomėjimą matematika kaip dalyku, remiantis istorinės medžiagos pažinimu. Plėsti mokinių akiratį, skatinti pažintinę veiklą ir kūrybiškumą

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška, su pačios astronomijos ir matematikos raida. Kvadratinės lygtys galėjo būti išspręstos maždaug 2000 m. e. babiloniečiai. Babiloniečių tekstuose išdėstytos šių lygčių sprendimo taisyklės iš esmės nesiskiria nuo šiuolaikinių, tačiau šiuose tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

. (apie 365 – 300 m. pr. Kr.) – senovės graikų matematikas, pirmųjų iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autorius. Euklidas arba Euklidas

Euklido pradžia Ten, kur Nilas susilieja su jūra, Senovės karštoje piramidžių žemėje gyveno graikų matematikas – Žinantis, Išmintingas Euklidas. Jis studijavo geometriją, dėstė geometriją. Jis parašė puikų kūrinį. Šios knygos pavadinimas yra „Pradžia“.

Euklidas III amžiuje prieš Kristų Euklidas kvadratines lygtis išsprendė geometriniu metodu. Štai viena iš senovės graikų traktato problemų: „Yra miestas su kvadrato formos riba, kurios kraštinė nežinoma, kiekvienos pusės centre yra vartai. 20bu (1bu=1,6m) atstumu nuo šiaurinių vartų yra stulpas. Jei eisite tiesiai nuo pietinių vartų 14bu, tada pasukite į vakarus ir eikite dar 1775bu, pamatysite stulpą. Kyla klausimas: kurioje miesto sienos pusėje? »

Norėdami nustatyti nežinomą kvadrato kraštinę, gauname kvadratinę lygtį x ² +(k+l)x-2kd =0. Šiuo atveju lygtis atrodo taip x ² +34x-71000=0, iš kur x=250bu l x d k

Kvadratinės lygtys Indijoje Kvadratinių lygčių problemos taip pat randamos astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą, sprendimo taisyklę: ax ² +bx=c , a>0 Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsilavinęs žmogus viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas, pranoks kitų šlovę“.

Viena iš garsaus XII amžiaus indų matematiko Bhaskaros problemų. Smagių beždžionių pulkas, prisivalgęs iki soties, linksminosi. Aštunta jų dalis aikštėje linksminosi proskynoje. O ant vynmedžių dvylika... Jie kabėdami pradėjo šokinėti... Kiek beždžionių buvo, sakyk, šiame pulke?

Sprendimas. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, tada D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Atsakymas: buvo 16 arba 48 beždžionės.

Kvadratinės lygties šaknų formulė buvo keletą kartų „atrasta“ iš naujo. Vienas pirmųjų šios formulės darinių, išlikusių iki šių dienų, priklauso indų matematikui Brahmaguptai. Centrinės Azijos mokslininkas al-Khwarizmi savo traktate „Kitab al-jerb wal-mukabala“ gavo šią formulę išskirdamas visą kvadratą.

Kaip al-Khorezmi išsprendė šią lygtį? Jis rašė: „Taisyklė yra tokia: padvigubinkite šaknų skaičių, x = 2x · 5 šioje užduotyje gausite penkis, padauginkite 5 iš šio lygio, tai bus dvidešimt penki, 5 · 5 = 25 pridėkite tai prie trisdešimties. -devyni, 25 + 39 tampa šešiasdešimt keturiais, 64 paimkite šaknį iš šio, tai bus aštuoni, 8 ir iš šios pusės atimkite šaknų skaičių, t. y. penki, 8-5 liks trys - tai ir 3 bus aikštės, kurios ieškojote, šaknis“. O kaip antroji šaknis? Antroji šaknis nerasta, nes neigiami skaičiai nebuvo žinomi. x 2 + 10 x = 39

Kvadratinės lygtys Europoje 13-17 a. Kvadratinių lygčių, sukurtų pagal al-Khwarizmi Europoje, sprendimo formulės pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek Senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria tiek išbaigtumu, tiek pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimų ir pirmasis Europoje įvedė neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis „Abako knygos“ problemų buvo panaudotos beveik visuose XVI–XVII amžiaus Europos vadovėliuose. ir iš dalies 18.

Francois Viète – didžiausias XVI amžiaus matematikas

Iki F. Vietos kvadratinės lygties sprendimas buvo vykdomas pagal savas taisykles labai ilgais žodiniais argumentais ir aprašymais, gana gremėzdiškais veiksmais. Jie net negalėjo užrašyti pačios lygties, tam reikėjo gana ilgo ir sudėtingo žodinio aprašymo. Jis sukūrė terminą „koeficientas“. Jis pasiūlė reikiamus kiekius žymėti balsėmis, o duomenis – priebalsiais. Vietos simbolikos dėka kvadratinę lygtį galime užrašyti tokia forma: ax 2 + bx + c =0. Teorema: duotosios kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui. Nepaisant to, kad ši teorema vadinama „Vietos teorema“, ji buvo žinoma prieš jį, o jis tik pavertė ją šiuolaikine forma. Vieta vadinamas „algebros tėvu“

Žmonija nuėjo ilgą kelią nuo nežinojimo iki žinojimo, nuolat keisdama neišsamias ir netobulas žinias vis išsamesnėmis ir tobulesnėmis žiniomis. Galutinis žodis

Mus, gyvenančius XXI amžiaus pradžioje, traukia senovė. Savo protėviuose mes pirmiausia pastebime, ko jiems trūksta šiuolaikiniu požiūriu, ir dažniausiai nepastebime, ko mums patiems, palyginti su jais, trūksta.

Nepamirškime jų...

Dėkojame už dėmesį!