Kaip lengvai išmokti mišrias trupmenas. Sudėtingi posakiai su trupmenomis

Eikime į kovą su matematikos namų darbais! Priešas yra nepaklusnios frakcijos. 5 klasės programa. Strategiškai svarbi užduotis – paaiškinti vaikui trupmenas. Pasikeiskime vaidmenimis su mokytoju ir stenkimės tai padaryti be pastangų, be nervų ir prieinama forma. Vieną karį išmokyti daug lengviau nei kuopą...

ria.ru

Kaip vaikui paaiškinti trupmenas

Nelaukite, kol jūsų vaikas mokysis 5 klasėje ir matematikos vadovėlio puslapiuose susidurs su trupmenomis. Atsakymo į klausimą „Kaip vaikui paaiškinti trupmenas“ rekomenduojame ieškoti virtuvėje! Ir padarykite tai dabar! Net jei jūsų vaikui dar tik 4-5 metai, jis sugeba suprasti sąvokos „trupmenos“ reikšmę ir gali išmokti net paprasčiausius veiksmus su trupmenomis.

Mes pasidalinome apelsinu.
Mūsų daug, bet jis vienas
Ši skiltelė skirta ežiukui, ši skiltelė – siskai...
O vilkui – žievelė.

Prisimeni eilėraštį? Štai ryškiausias pavyzdys ir veiksmingiausias veiksmų vadovas! Lengviausia vaikui trupmenas paaiškinti maisto pavyzdžiu: obuolio pjaustymas per pusę ir ketvirčiais, picos padalijimas tarp šeimos narių, duonos kepalo pjaustymas prieš pietus ir pan. Svarbiausia, kad prieš valgydami „vaizdinę priemonę“, nepamirškite pasakyti, kurią visumos dalį „sunaikinate“.

• Įveskite sąvoką „dalintis“.

Pabrėžkite, kad VISAS apelsinas (obuoliai, šokoladas, arbūzas ir kt.) yra 1 (žymimas skaičiumi 1).

• Pristatykite sąvoką „trupmena“.

Apelsiną ar šokoladinį plytelę daliname, galima sakyti ir „skilti“ į kelias dalis.

Parodykite vaikui pažįstamą daiktą – liniuotę. Paaiškinkite, kad tarp skaičių yra tarpinės reikšmės – dalys.

i.ytimg.com

• Paaiškinkite, kaip rašyti trupmenas: ką reiškia skaitiklis ir ką nurodo vardiklis.

Sąvokos „trupmenys“ reikšmę ir teisingą žymėjimą galima lengvai parodyti konstruktoriaus pavyzdžiu. Skaitiklyje VIRŠ eilutės rašome, kuri dalis, o vardiklyje PO eilutės – į kiek tokių dalių visuma buvo padalinta.

gladtolearn.ru

spacemath.xyz

Būtinai naudokite aiškų pavyzdį, kad parodytumėte skirtumą tarp trupmenų su tuo pačiu skaitikliu, bet skirtingais vardikliais.

gladtolearn.ru

Naudodamiesi 4 vienodo dydžio kvadratų pavyzdžiu, parodykite, kaip galite juos padalyti į tą patį / skirtingą skaičių dalių. Leiskite vaikui žirklėmis iškirpti popieriaus ruošinius ir surašykite rezultatus naudodami trupmenas.

gladtolearn.ru

• Paaiškinkite, kaip parašyti visumą kaip trupmeną.

Prisiminkite kvadratą ir kaip mes jį padalinome į 4 dalis. Kvadratas yra visuma, jį galime užrašyti kaip 1. Bet kaip parašyti kaip trupmeną: kas skaitiklyje, kas vardiklyje? Jei kvadratą padalintume į 4 dalis, tai visas kvadratas yra 4/4. Jei kvadratą padalintume į 8 dalis, tai visas kvadratas yra 8/8. Bet tai vis tiek yra kvadratas, t.y. 1. Ir 4/4, ir 8/8 yra viena, visuma!

Kaip vaikui paaiškinti trupmenas: užduokite TEISINGUS klausimus

Kad 5 klasės mokinys suprastų temą „Trupmenos“ ir išmoktų atlikti skaičiavimus su trupmenomis, pažvelkime į metodiką. Mums, tėvams, svarbu suprasti, kaip mokytojas mokykloje aiškina vaikams trupmenas, kitaip galime visiškai supainioti savo „karį“.

Trupmena yra skaičius, kuris yra viso objekto dalis. Jis visada yra mažesnis nei vienas.

1 pavyzdys. Obuolys yra visa, o pusė yra pusė. Ar ne mažesnis už visą obuolį? Dar kartą padalinkite puseles per pusę. Kiekviena skiltelė sudaro ketvirtadalį viso obuolio ir yra mažesnė nei pusė.

Trupmena yra visumos dalių skaičius.

2 pavyzdys. Pavyzdžiui, į drabužių parduotuvę buvo pristatyta nauja prekė: 30 marškinių. Pardavėjai sugebėjo išdėlioti ir pakabinti vos trečdalį visų naujosios kolekcijos marškinių. Kiek marškinių jie pakabino?
Vaikas gali nesunkiai žodžiu suskaičiuoti, kad trečdalis (trečdalis) yra 10 marškinių, t.y. 10 buvo pakabinti ir nunešti į prekybos salę, o dar 20 liko sandėlyje.

IŠVADA: Trupmenomis galima matuoti bet ką, ne tik picos gabaliukus, bet ir litrus statinėse, laukinių žvėrių skaičių miške, plotą ir t.t.

Pateikite įvairių pavyzdžių iš gyvenimo, kad 5 klasės vaikas suprastų trupmenų ESMĘ: tai padės ateityje sprendžiant uždavinius ir atliekant skaičiavimus su taisyklingomis ir netinkamomis trupmenomis, o mokymasis 5 klasėje bus ne našta, o džiaugsmas.

Kaip užtikrinti, kad jūsų vaikas, rašydamas trupmenas, suprastų, ką reiškia skaitiklio ir vardiklio skaičiai?

3 pavyzdys. Paklauskite, ką 5 reiškia trupmenoje 4/5?

– Štai į kiek dalių jie jį padalino.
- Ką reiškia 4?
– Tiek jie paėmė.

Turbūt sunkiausia tema yra trupmenų lyginimas.

4 pavyzdys. Pakvieskite vaiką pasakyti, kuri trupmena didesnė: 3/10 ar 3/20? Atrodo, kad kadangi 10 yra mažiau nei 20, atsakymas yra akivaizdus, ​​bet taip nėra! Prisiminkite apie kvadratus, kuriuos supjaustėme į gabalus. Jei iškirpti du vienodo dydžio kvadratai – vienas į 10, antrasis į 20 dalių – ar atsakymas akivaizdus? Taigi kuri dalis yra didesnė?

Operacijos su trupmenomis

Jei matote, kad vaikas gerai suprato rašymo trupmenos pavidalu prasmę, galite pereiti prie paprastų aritmetinių operacijų su trupmenomis. Naudodamiesi konstruktoriaus pavyzdžiu, galite tai padaryti labai aiškiai.

5 pavyzdys.

edinstvennaya.ua

6 pavyzdys. Matematinė loterija tema „Trupmenos“.

www.kakprosto.ru

Mieli skaitytojai, jei žinote kitų veiksmingų trupmenų paaiškinimo vaikui metodų, pasidalykite jais komentaruose. Mielai papildysime naudingų mokyklinių patarimų kolekciją.

Sutikime, kad „veiksmai su trupmenomis“ mūsų pamokoje reikš operacijas su paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena yra trupmena, turinti tokius požymius kaip skaitiklis, trupmenos eilutė ir vardiklis. Tai atskiria paprastąją trupmeną nuo dešimtainės, kuri gaunama iš paprastosios trupmenos sumažinus vardiklį iki 10 kartotinio. Dešimtainė trupmena rašoma kableliu, atskiriant visą dalį nuo trupmeninės dalies. Kalbėsime apie operacijas su paprastosiomis trupmenomis, nes būtent jos sukelia daugiausiai sunkumų mokiniams, pamiršusiems šios temos pagrindus, apžvelgtus pirmoje mokyklinio matematikos kurso pusėje. Tuo pačiu metu transformuojant išraiškas aukštojoje matematikoje daugiausia naudojamos operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Vien trupmenos santrumpos to vertos! Dešimtainės trupmenos nesukelia ypatingų sunkumų. Taigi pirmyn!

Sakoma, kad dvi trupmenos yra lygios, jei .

Pavyzdžiui, nuo

Trupmenos ir (nuo), ir (nuo) taip pat yra lygios.

Akivaizdu, kad tiek trupmenos, tiek yra lygios. Tai reiškia, kad duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gausite trupmeną, lygią duotajam: .

Ši savybė vadinama pagrindine trupmenos savybe.

Pagrindinė trupmenos savybė gali būti naudojama trupmenos skaitiklio ir vardiklio ženklams pakeisti. Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš -1, gauname . Tai reiškia, kad tuo pačiu metu keičiant skaitiklio ir vardiklio ženklus, trupmenos reikšmė nepasikeis. Jei pakeisite tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą, trupmena pakeis savo ženklą:

Mažinančios frakcijos

Naudodami pagrindinę trupmenos savybę, nurodytą trupmeną galite pakeisti kita trupmena, lygia duotajai, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu. Šis pakeitimas vadinamas frakcijos mažinimu.

Pavyzdžiui, duokime trupmeną. Skaičiai 36 ir 48 turi didžiausią bendrą daliklį 12. Tada

.

Apskritai, trupmenos sumažinimas visada įmanomas, jei skaitiklis ir vardiklis nėra pirminiai skaičiai. Jei skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai, tada trupmena vadinama neredukuojama.

Taigi, sumažinti trupmeną reiškia padalyti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš bendro koeficiento. Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma trupmeninėms išraiškoms, kuriose yra kintamųjų.

1 pavyzdys. Sumažinkite dalį

Sprendimas. Norėdami koeficientuoti skaitiklį, pirmiausia pateikdami monomiją - 5 xy kaip suma - 2 xy - 3xy, gauname

Vardiklio faktorinavimui naudojame kvadratų skirtumo formulę:

Dėl to

.

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Tegul dvi trupmenos ir . Jie turi skirtingus vardiklius: 5 ir 7. Naudodami pagrindinę trupmenų savybę, šias trupmenas galite pakeisti kitomis, joms lygiomis, ir tokias, kad gautos trupmenos turėtų tuos pačius vardiklius. Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gauname

Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 5, gauname

Taigi trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio:

.

Tačiau tai nėra vienintelis problemos sprendimas: pavyzdžiui, šias trupmenas taip pat galima sumažinti iki bendro vardiklio 70:

,

ir apskritai į bet kurį vardiklį, kuris dalijasi iš 5 ir 7.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: suveskime trupmenas ir į bendrą vardiklį. Ginčiuodami, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, gauname

,

.

Bet šiuo atveju trupmenas galima sumažinti iki bendro vardiklio, kuris yra mažesnis už šių trupmenų vardikų sandaugą. Raskime mažiausiąjį skaičių 24 ir 30 bendrąjį kartotinį: LCM(24, 30) = 120.

Kadangi 120:4 = 5, norint parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 120, reikia ir skaitiklį, ir vardiklį padauginti iš 5, šis skaičius vadinamas papildomu koeficientu. Reiškia .

Toliau gauname 120:30=4. Padauginę trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento 4, gauname .

Taigi šios trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio.

Mažiausias šių trupmenų vardklių bendras kartotinis yra mažiausias galimas bendras vardiklis.

Trupmeninėms išraiškoms, kurios apima kintamuosius, bendras vardiklis yra polinomas, padalytas iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

2 pavyzdys. Raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir.

Sprendimas. Bendras šių trupmenų vardiklis yra daugianario, nes jis dalijasi iš abiejų ir. Tačiau šis daugianaris nėra vienintelis, kuris gali būti bendras šių trupmenų vardiklis. Tai taip pat gali būti daugianomas , ir daugianario , ir daugianario ir tt Paprastai jie ima tokį bendrą vardiklį, kad bet koks kitas bendras vardiklis dalijamas iš pasirinkto be liekanos. Šis vardiklis vadinamas mažiausiu bendruoju vardikliu.

Mūsų pavyzdyje mažiausias bendras vardiklis yra . Gauta:

;

.

Mums pavyko sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio. Tai atsitiko padauginus pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš , o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš . Pirmosios ir antrosios trupmenos polinomai vadinami papildomais veiksniais.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Frakcijų pridėjimas apibrėžiamas taip:

.

Pavyzdžiui,

.

Jeigu b = d, Tai

.

Tai reiškia, kad norint pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, pakanka pridėti skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį. Pavyzdžiui,

.

Jei pridedate trupmenas su skirtingais vardikliais, paprastai jas sumažinate iki mažiausio bendro vardiklio, o tada pridedate skaitiklius. Pavyzdžiui,

.

Dabar pažiūrėkime į trupmeninių išraiškų su kintamaisiais pridėjimo pavyzdį.

3 pavyzdys. Konvertuoti išraišką į vieną trupmeną

.

Sprendimas. Raskime mažiausią bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia suskaidome vardiklius.

Aš pati susidūriau su tuo, kad trupmenos mano vaikams pasirodė gana sunki tema.

Yra labai geras žaidimas Nikitino trupmenos, jis skirtas ikimokyklinukams, bet ir mokykloje puikiai padės vaikui suprasti, kas tai yra – trupmenos, jų santykis vienas su kitu..., ir visa tai prieinama, vizualiai ir jaudinanti forma.

Jį sudaro dvylika įvairiaspalvių apskritimų. Vienas apskritimas yra visas, o visi kiti padalinti į lygias dalis – dvi, tris.... (iki dvylikos).

Vaiko prašoma atlikti paprastas žaidimo užduotis, pavyzdžiui:

Kaip vadinamos apskritimų dalys? arba

Kuri dalis didesnė? (Mažesnįjį uždėkite ant didesnio.)

Ši technika man padėjo. Apskritai, labai apgailestauju, kad visi šie Nikitino pokyčiai nepatraukė į akis, kai vaikai dar buvo kūdikiai.

Galite sukurti žaidimą patys arba nusipirkti paruoštą ir sužinoti daugiau apie viską.

Trupmenų sprendimas taip pat gali būti paaiškintas naudojant „Lego“ kaladėles. Jis lavina ne tik vaizduotę, bet ir kūrybinį bei loginį mąstymą, todėl gali būti naudojamas ir kaip mokymo priemonė.

Alicia Zimmerman sugalvojo panaudoti garsaus dizainerio kaladėles mokydama vaikus matematikos pagrindų.

Štai kaip paaiškinti trupmenas naudojant „Lego“.





Praktika rodo, kad daugiausia sunkumų kyla sudėjus (atimant) trupmenas su skirtingais vardikliais ir dalijant trupmenas.

Sunkumai kyla dėl neteisingų nurodymų vadovėlyje, pavyzdžiui, trupmenos padalijimo iš trupmenos.

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį - iš pirmosios trupmenos vardiklio.

Ar gali vaikas 4 klasėje tai suprasti ir nesusipainioti? NE!

O mokytoja mums elementariai paaiškino: reikia antrą trupmeną apversti ir tada padauginti!

Tas pats ir su papildymu.

Norėdami pridėti dvi trupmenas, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį padauginti iš pirmosios trupmenos vardiklio, pridėti gautus skaičius ir įrašyti juos į skaitiklį. O vardiklyje reikia įrašyti trupmenų vardiklių sandaugą. Po to gautą frakciją galima (arba turėtų) sumažinti.

Ir tai paprasčiau: sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio, kuris yra lygus vardiklių LCM, tada pridėkite skaitiklius.

Parodykite juos aiškiu pavyzdžiu. Pavyzdžiui, obuolį supjaustykite į 4 dalis, sudėkite į 8 dalis, sudėkite 12 dalių į visumą, pridėkite kelias dalis, atimkite. Tuo pačiu metu paaiškinkite popieriuje naudodami taisykles. Sudėjimo ir atimties taisyklės. trupmenų padalijimas, taip pat kaip atskirti visumą nuo netinkamos trupmenos – visa tai išmokite manipuliuodami obuoliu. Neskubinkite vaikų, leiskite jiems su jūsų pagalba kruopščiai išrūšiuoti griežinėlius.

Vaikų mokymas spręsti trupmenas yra gana įprastas ir nesukels daug problemų. Paprasčiausias dalykas, kurį galite padaryti, tai paimti ką nors sveiko, pavyzdžiui, mandariną ar bet kurį kitą vaisių, padalyti į dalis ir naudoti pavyzdį parodyti atimties, sudėjimo ir kitas operacijas su šio vaisiaus gabalėliais, kurie bus trupmenos iš vaisiaus. visa. Viską reikia paaiškinti ir parodyti, o galutinis veiksnys bus kartu aiškintis ir spręsti uždavinius, naudojant matematinius pavyzdžius, kol vaikas pats išmoks atlikti šias užduotis.

Paveiksle aiškiai parodyta, kas ką atitinka ir kaip trupmena atrodo ant realaus objekto, būtent taip ir reikia paaiškinti.



Į šią problemą reikia žiūrėti nuodugniai, nes trupmenų sprendimas pravers gyvenime. Šiuo klausimu, kaip sakoma, reikia būti lygiaverčiais su vaikais ir aiškinti teoriją jiems suprantama kalba, pavyzdžiui, pyrago ar mandarino kalba. Tortą reikia padalyti į daryti ir duoti draugams, po to vaikas pradės suprasti trupmenų sprendimo esmę. Nepradėkite nuo sunkiųjų trupmenų, pradėkite nuo sąvokų 1/2, 1/3, 1/10. Pirmiausia atimkite ir pridėkite, o tada pereikite prie sudėtingesnių sąvokų, tokių kaip daugyba ir dalyba.

Yra įvairių problemų, susijusių su trupmenomis. Vienas vaikas negali suprasti, kad viena sekundė ir penkios dešimtosios yra tas pats, kitus glumina skirtingų trupmenų suvedimas į tą patį vardiklį, o dar kitus glumina trupmenų skirstymas. Todėl nėra vienos taisyklės visoms progoms.

Pagrindinis dalykas problemose, susijusiose su trupmenomis, yra nepraleisti akimirkos, kai tai, kas suprantama, nustoja taip būti. Grįžkite prie viryklės ir pakartokite viską iš naujo, net jei tai atrodo apgailėtinai primityvu. Pavyzdžiui, grįžkite į kas yra viena sekundė.

Vaikas turi suprasti, kad matematinės sąvokos yra abstrakčios, kad tą patį reiškinį galima apibūdinti skirtingais žodžiais ir išreikšti skirtingais skaičiais.

Man patinka Mefody66 pateiktas atsakymas. Pridursiu iš ilgametės asmeninės praktikos: išmokyti spręsti uždavinius trupmenomis (o ne spręsti trupmenas; trupmenų išspręsti neįmanoma, kaip ir skaičių neįmanoma išspręsti) yra gana paprasta, tik reikia būti šalia vaiko kai jis pirmą kartą pradeda spręsti tokias problemas, ir laiku pataisykite savo sprendimą, kad klaidos, kurios yra neišvengiamos bet kuriame mokyme, nespėtų įsitvirtinti vaiko mintyse. Mokytis iš naujo yra sunkiau nei išmokti ką nors naujo. Ir spręskite tokias problemas kiek įmanoma. Būtų gerai, kad tokių užduočių sprendimas būtų automatizuotas. Mokėjimas spręsti uždavinius su paprastosiomis trupmenomis yra toks pat svarbus mokykliniame matematikos kurse, kaip ir daugybos lentelės išmanymas. Taigi jūs turite skirti laiko ir stebėti, kaip jūsų vaikas sprendžia tokias problemas.

Ir per daug nepasikliaukite vadovėliu: mokytojai mokyklose aiškina tiksliai taip, kaip savo atsakyme rašė Mefody66. Geriau pasikalbėkite su mokytoju, sužinokite, kokiais žodžiais mokytojas paaiškino šią temą. Ir jei įmanoma, naudokite tuos pačius žodžius ir frazes (kad per daug nesupainiotumėte vaiko)

Taip pat: vaizdinius pavyzdžius patariu naudoti tik pradiniame paaiškinimo etape, tada greitai abstrahuokite ir pereikite prie sprendimo algoritmo. Priešingu atveju aiškumas gali pakenkti sprendžiant sudėtingesnes problemas. Pavyzdžiui, jei reikia pridėti trupmenas su vardikliais 29 ir 121, kokia vaizdinė pagalba padės? Tai tik suklaidins.

Trupmenos yra viena iš tų palaimintų matematinių temų, kuriose nėra abstrakcijų, kurios nebūtų taikomos konkrečiam atvejui. Reikėtų naudoti produktus (ant tortų, kaip Juanita Solis filme Desperate Housewives – tikrai šaunus paaiškinimo būdas). Visi šie skaitikliai-vardikliai pateikiami vėliau. Tada reikia, kad vaikas suprastų, kad dalinimas iš trupmenos jau visai nėra mažėjimas, o daugyba – ne padidėjimas. Čia geriau parodyti, kaip padalyti iš trupmenos daugybos iš inversijos forma. Sutrumpinimą pateikite žaismingai, jei jie yra padalinti iš vieno skaičiaus, tada padalinkite, tai beveik pasirodo sudoku, jei jus domina. Svarbiausia – laiku pastebėti nesusipratimus, nes toliau bus įdomesnių, nelengvai suprantamų temų. Todėl daugiau praktikuokite sprendžiant trupmenas ir viskas greitai pagerės. Man, gryniausiam humanistui, toli gražu ne menkiausio abstrakcijos laipsnio, trupmenos visada buvo aiškesnės nei kitos temos.

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

1. Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
2. Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygūs vienas:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:

Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. Švietimo įstaigose taip smulkiai rašyti nėra įprasta. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:

Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

1. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
2. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
3. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
4. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
5. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį

Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:

Gavome atsakymą

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime taip:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
2. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Gavome atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia reikia jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Raskime šių trupmenų vardklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10

Gavome atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš to skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas pasirodo esąs netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip pica atrodo padalinta į tris dalis:

Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos vertė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendro daliklio (GCD).

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:

Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15

Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:

Abipusiai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:

Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.

Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenos dalijimas iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?

Matyti, kad padalinus pusę picos buvo gauti du vienodi gabalai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.

Pagal šią taisyklę užrašysime savo pusės picos padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Šiame straipsnyje apžvelgiamas darbas su trupmenomis. Čia suformuluosime ir pagrįsime bendrosios formos A/B trupmenų, kur A ir B yra kai kurie skaičiai, skaitinės išraiškos ar reiškiniai su kintamaisiais, sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos taisykles. Kaip įprasta, medžiagą pateiksime su aiškinamaisiais pavyzdžiais su išsamiais sprendimų aprašymais.

Puslapio naršymas.

Veiksmų su bendromis skaitinėmis trupmenomis atlikimo taisyklės

Sutikime, kad bendromis skaitinėmis trupmenomis turime omenyje trupmenas, kuriose skaitiklį ir/ar vardiklį galima pavaizduoti ne tik natūraliaisiais skaičiais, bet ir kitais skaičiais ar skaitinėmis išraiškomis. Aiškumo dėlei pateikiame keletą tokių trupmenų pavyzdžių: , .

Mes žinome taisykles, pagal kurias jie vykdomi. Naudodami tas pačias taisykles galite atlikti operacijas su bendromis trupmenomis:

Taisyklių pagrindimas

Norėdami pagrįsti operacijų su bendromis skaitinėmis trupmenomis taisyklių galiojimą, galite pradėti nuo šių punktų:

• Pasvirasis brūkšnys iš esmės yra padalijimo ženklas,
• Padalijimas iš kažkokio ne nulio skaičiaus gali būti laikomas daugyba iš daliklio atvirkštinės vertės (tai iš karto paaiškina trupmenų padalijimo taisyklę),
• operacijų su realiaisiais skaičiais savybės,
• ir jos bendras supratimas,

Jie leidžia atlikti šias transformacijas, kurios pateisina trupmenų su panašiais ir nepanašiais vardikliais sudėties, atėmimo taisykles, taip pat trupmenų dauginimo taisyklę:

Pavyzdžiai

Pateiksime pavyzdžius, kaip atlikti operacijas su bendromis trupmenomis pagal ankstesnėje pastraipoje išmoktas taisykles. Iš karto pasakykime, kad dažniausiai atlikus veiksmus su trupmenomis, gautą trupmeną reikia supaprastinti, o trupmenos supaprastinimo procesas dažnai yra sudėtingesnis nei ankstesnių veiksmų atlikimas. Mes nesigilinsime į trupmenų supaprastinimą (atitinkamos transformacijos aptariamos straipsnyje Trupmenų transformacija), kad nenukryptume nuo mus dominančios temos.

Pradėkime nuo trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo pavyzdžių. Pirmiausia sudėkime trupmenas ir . Akivaizdu, kad vardikliai yra lygūs. Pagal atitinkamą taisyklę užrašome trupmeną, kurios skaitiklis lygus pradinių trupmenų skaitiklių sumai, o vardiklį paliekame tą patį, turime. Papildymas atliktas, belieka supaprastinti gautą trupmeną: . Taigi, .

Sprendimas galėjo būti sprendžiamas kitaip: pirmiausia pereikite prie įprastų trupmenų, o tada atlikite pridėjimą. Su šiuo požiūriu mes turime .

Dabar atimkime iš trupmenos trupmena . Trupmenų vardikliai yra lygūs, todėl vadovaujamės taisykle, kaip atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais:

Pereikime prie trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo pavyzdžių. Pagrindinis sunkumas čia yra suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Kalbant apie bendrąsias trupmenas, tai yra gana plati tema, kurią mes išsamiai išnagrinėsime atskirame straipsnyje. suvedus trupmenas į bendrą vardiklį. Kol kas apsiribosime keliomis bendromis rekomendacijomis, nes šiuo metu mus labiau domina operacijų su trupmenomis atlikimo technika.

Apskritai procesas panašus į paprastųjų trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio. Tai yra, vardikliai pateikiami sandaugų pavidalu, tada paimami visi faktoriai iš pirmosios trupmenos vardiklio ir prie jų pridedami trūkstami antrosios trupmenos vardiklio veiksniai.

Kai pridedamų ar atimamų trupmenų vardikliai neturi bendrų veiksnių, logiška jų sandaugą laikyti bendru vardikliu. Pateikime pavyzdį.

Tarkime, kad turime atlikti trupmenų ir 1/2 pridėjimą. Čia kaip bendrą vardiklį logiška imti pradinių trupmenų vardklių sandaugą, tai yra, . Tokiu atveju papildomas pirmosios trupmenos koeficientas bus 2. Iš jo padauginus skaitiklį ir vardiklį, trupmena įgis formą . O antrajai trupmenai papildomas veiksnys yra išraiška. Su jo pagalba frakcija 1/2 sumažinama iki formos . Belieka sudėti gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais. Štai viso sprendimo santrauka:

Kalbant apie bendrąsias trupmenas, jau nekalbame apie mažiausią bendrąjį vardiklį, iki kurio dažniausiai redukuojamos paprastosios trupmenos. Nors šiuo klausimu vis tiek patartina siekti minimalizmo. Tuo norime pasakyti, kad neturėtumėte iš karto imti pradinių trupmenų vardklių sandaugos kaip bendrąjį vardiklį. Pavyzdžiui, visai nebūtina imti bendro trupmenų ir sandaugos vardiklio . Čia mes galime paimti.

Pereikime prie bendrųjų trupmenų dauginimo pavyzdžių. Padauginkime trupmenas ir . Šio veiksmo atlikimo taisyklė nurodo užsirašyti trupmeną, kurios skaitiklis yra pradinių trupmenų skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardiklių sandauga. Turime . Čia, kaip ir daugeliu kitų atvejų dauginant trupmenas, trupmeną galite sumažinti: .

Trupmenų padalijimo taisyklė leidžia pereiti nuo dalybos prie daugybos iš atvirkštinės trupmenos. Čia reikia atsiminti, kad norint gauti atvirkštinę tam tikros trupmenos vertę, reikia sukeisti duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Štai perėjimo nuo bendrųjų skaičių dalybos prie daugybos pavyzdys: . Belieka atlikti dauginimą ir supaprastinti gautą trupmeną (jei reikia, žr. neracionalių išraiškų transformaciją):

Baigdami šioje pastraipoje pateiktą informaciją, atminkite, kad bet koks skaičius ar skaitinė išraiška gali būti pavaizduota trupmena, kurios vardiklis yra 1, todėl skaičių ir trupmenų sudėjimas, atėmimas, daugyba ir dalyba gali būti laikoma atitinkamos operacijos su trupmenomis atlikimu, vienas kurių vardiklyje yra vienas . Pavyzdžiui, pakeitimas išraiškoje šaknis iš trijų iš trupmenos, pereiname nuo trupmenos dauginimo iš skaičiaus prie dviejų trupmenų dauginimo: .

Darbas su trupmenomis, kuriose yra kintamųjų

Pirmoje šio straipsnio dalyje pateiktos taisyklės taip pat taikomos atliekant operacijas su trupmenomis, kuriose yra kintamųjų. Pagrįskime pirmąjį iš jų – taisyklę dėl trupmenų su vienodais vardikliais pridėjimo ir atėmimo, likusieji įrodomi visiškai vienodai.

Įrodykime, kad bet kurioms išraiškoms A, C ir D (D nėra identiškai lygi nuliui) galioja lygybė apie jo leistinų kintamųjų verčių diapazoną.

Paimkime tam tikrą kintamųjų rinkinį iš ODZ. Tegul išraiškos A, C ir D turi šių kintamųjų reikšmes a 0, c 0 ir d 0. Tada pakeitus kintamųjų reikšmes iš pasirinktos aibės į išraišką, ji paverčiama skaitinių trupmenų suma (skirtumu) su panašiais formos vardikliais, kuri pagal skaitinių trupmenų sudėjimo (atėmimo) su panašiais vardikliais taisyklę. , yra lygus . Tačiau pakeitus kintamųjų reikšmes iš pasirinkto rinkinio į išraišką, ji paverčiama ta pačia trupmena. Tai reiškia, kad pasirinktam kintamųjų reikšmių rinkiniui iš ODZ išraiškų ir reikšmės yra lygios. Akivaizdu, kad nurodytų išraiškų reikšmės bus lygios bet kuriam kitam kintamųjų reikšmių rinkiniui iš ODZ, o tai reiškia, kad ir išraiškos yra identiškos, tai yra, įrodyta lygybė yra teisinga. .

Trupmenų su kintamaisiais pridėjimo ir atėmimo pavyzdžiai

Kai pridedamų ar atimamų trupmenų vardikliai yra vienodi, tada viskas yra gana paprasta – skaitikliai pridedami arba atimami, tačiau vardiklis lieka toks pat. Akivaizdu, kad po to gauta dalis, jei reikia ir įmanoma, supaprastinama.

Atkreipkite dėmesį, kad kartais trupmenų vardikliai skiriasi tik iš pirmo žvilgsnio, tačiau iš tikrųjų tai yra identiškos išraiškos, kaip pvz. ir , arba ir . Ir kartais pakanka supaprastinti pradines trupmenas, kad „atsirodytų“ jų identiški vardikliai.

Pavyzdys.

, b) , V) .

Sprendimas.

a) Turime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Pagal atitinkamą taisyklę vardiklį paliekame tą patį, o skaitiklius atimame, turime . Veiksmas baigtas. Tačiau taip pat galite atidaryti skliaustus skaitiklyje ir pateikti panašius terminus: .

b) Akivaizdu, kad pridedamų trupmenų vardikliai yra vienodi. Todėl skaitiklius sumuojame ir vardiklį paliekame tą patį: . Papildymas baigtas. Tačiau nesunku pastebėti, kad gautą frakciją galima sumažinti. Iš tiesų, gautos trupmenos skaitiklis gali būti sutrauktas naudojant sumos kvadrato formulę kaip (lgx+2) 2 (žr. sutrumpintos daugybos formules), taigi vyksta šios transformacijos: .

c) Trupmenų sumoje turi skirtingus vardiklius. Tačiau pakeitę vieną iš trupmenų, galite pereiti prie trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Parodysime du sprendimus.

Pirmas būdas. Pirmosios trupmenos vardiklį galima koeficientuoti naudojant kvadratų skirtumo formulę, o tada šią trupmeną sumažinti: . Taigi,. Vis tiek nepakenks išsivaduoti nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje: .

Antras būdas. Padauginus antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (ši išraiška neišnyksta jokiai kintamojo x reikšmei iš pradinės išraiškos ODZ) leidžia vienu metu pasiekti du tikslus: išsivaduoti nuo neracionalumo ir pereiti prie trupmenų pridėjimo. su tais pačiais vardikliais. Turime

Atsakymas:

A) , b) , V) .

Paskutinis pavyzdys atvedė mus prie trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio klausimo. Ten mes beveik netyčia pasiekėme tuos pačius vardiklius, supaprastinę vieną iš pridėtų trupmenų. Tačiau dažniausiai pridedant ir atimant trupmenas su skirtingais vardikliais, jūs turite tikslingai suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Tam paprastai trupmenų vardikliai pateikiami sandaugų pavidalu, paimami visi faktoriai iš pirmosios trupmenos vardiklio ir prie jų pridedami trūkstami antrosios trupmenos vardiklio koeficientai.

Pavyzdys.

Atlikite veiksmus su trupmenomis: a) , b) , c) .

Sprendimas.

a) Su trupmenų vardikliais nieko daryti nereikia. Kaip bendrą vardiklį imame produktą . Šiuo atveju papildomas pirmosios trupmenos koeficientas yra išraiška, o antrosios trupmenos - skaičius 3. Šie papildomi veiksniai sujungia trupmenas į bendrą vardiklį, o tai leidžia mums atlikti reikalingą veiksmą.

b) Šiame pavyzdyje vardikliai jau pateikiami kaip produktai ir jiems nereikia jokių papildomų transformacijų. Akivaizdu, kad vardikliuose esantys veiksniai skiriasi tik rodikliais, todėl kaip bendrą vardiklį imame didžiausių rodiklių veiksnių sandaugą, t. . Tada pirmosios trupmenos papildomas koeficientas bus x 4, o antrosios - ln(x+1) . Dabar esame pasirengę atimti trupmenas:

c) Ir šiuo atveju pirmiausia dirbsime su trupmenų vardikliais. Kvadratų ir sumos kvadratų skirtumo formulės leidžia pereiti nuo pradinės sumos prie išraiškos . Dabar aišku, kad šias trupmenas galima sumažinti iki bendro vardiklio . Taikant šį metodą, sprendimas atrodys taip:

Atsakymas:

A)

b)

V)

Trupmenų dauginimo su kintamaisiais pavyzdžiai

Padauginus trupmenas, gaunama trupmena, kurios skaitiklis yra pradinių trupmenų skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardiklių sandauga. Čia, kaip matote, viskas yra pažįstama ir paprasta, ir galime tik pridurti, kad dėl šio veiksmo gauta dalis dažnai yra sumažinama. Tokiais atvejais ji sumažinama, nebent, žinoma, tai būtina ir pagrįsta.