Masės centras yra geometrinis taškas, esantis kūno viduje, kuris lemia šio kūno masės pasiskirstymą. Bet kuris kūnas gali būti pavaizduotas kaip tam tikro materialių taškų skaičiaus suma. Šiuo atveju masės centro padėtis lemia spindulio vektorių.
1 formulė – masės vektoriaus centro spindulys.
mi yra šio taško masė.
ri yra taško spindulio vektorius.
Jei susumuojate visų materialių taškų mases, gausite viso kūno masę. Masės centro padėtį įtakoja masės pasiskirstymo tolygumas kūno tūryje. Masės centras gali būti tiek kūno viduje, tiek už jo ribų. Tarkime, kad žiedo masės centras yra apskritimo centre. Kur nėra medžiagos. Paprastai simetriškų kūnų, kurių masė yra vienoda, masės centras visada yra simetrijos centre arba ant jo ašies.
1 paveikslas – simetriškų kūnų masės centrai.
Jei kūnas bus veikiamas tam tikra jėga, jis pradės judėti. Įsivaizduokite žiedą, gulintį ant stalo paviršiaus. Jei pritaikysite jėgą ir tiesiog pradėsite stumti, jis slys išilgai stalo paviršiaus. Tačiau judėjimo kryptis priklausys nuo jėgos taikymo vietos.
Jei jėga nukreipta nuo išorinio krašto į centrą, statmenai išoriniam paviršiui, tada žiedas pradės judėti tiesiai išilgai stalo paviršiaus jėgos taikymo kryptimi. Jei jėga veikiama tangentiškai išoriniam žiedo spinduliui, tada jis pradės suktis savo masės centro atžvilgiu. Taigi galime daryti išvadą, kad kūno judėjimas susideda iš transliacinio ir sukamojo judesių sumos masės centro atžvilgiu. Tai yra, bet kurio kūno judėjimą galima apibūdinti materialaus taško, esančio masės centre ir turinčio viso kūno masę, judėjimu.
2 pav. Žiedo slenkantis ir sukamasis judėjimas.
Taip pat yra svorio centro sąvoka. Apskritai tai nėra tas pats, kas masės centras. Svorio centras yra taškas, kurio atžvilgiu bendras sunkio momentas yra lygus nuliui. Jei įsivaizduojate meškerę, tarkime, 1 metro ilgio, 1 cm skersmens ir vienodo skerspjūvio. Strypo galuose tvirtinami vienodos masės metaliniai rutuliai. Tada šio strypo masės centras bus viduryje. Jei šis strypas dedamas į nevienodą gravitacinį lauką, gravitacijos centras bus perkeltas į didesnį lauko stiprumą.
3 pav. Kūnas nevienodame ir vienodame gravitaciniame lauke.
Žemės paviršiuje, kur gravitacijos jėga yra vienoda, masės centras praktiškai sutampa su svorio centru. Bet kurio pastovaus vienodo gravitacinio lauko svorio centras visada sutaps su masės centru.
Šiame skyriuje išsamiai išnagrinėsime specialų faktiškai lygiagrečių jėgų sistemos atvejį. Būtent, bet koks materialus kūnas ar materialių taškų (diskrečiųjų dalelių) sistema, esanti Žemėje, yra veikiama gravitacijos. Todėl kiekviena tokių mechaninių sistemų dalelė yra veikiama jos gravitacijos jėgos. Griežtai tariant, visos šios jėgos nukreiptos į vieną tašką link Žemės centro. Bet kadangi žemiškų kūnų matmenys yra labai maži, palyginti su Žemės spinduliu (manome, kad tūriai, kuriuose yra atskirų dalelių, taip pat yra maži), tada su dideliu tikslumu šios jėgos gali būti laikomos lygiagrečiomis. Pastraipa skirta atsižvelgti į šią pajėgų sistemą.
Savitasis svoris
Parinkime elementariąją dalelę kūne, kurios tūris yra toks mažas, kad jos padėtį būtų galima nustatyti vienu spindulio vektoriumi. Tegul šios dalelės svoris yra Kiekis
vadinamas savituoju sunkiu ir kiekiu
Kūno tankis.
SI vienetų sistemoje specifinis svoris turi matmenis
ir tankis
Apskritai savitasis sunkumas ir tankis yra kūno taškų koordinačių funkcijos. Jei jie yra vienodi visuose taškuose, tada kūnas vadinamas vienalyčiu.
Visų elementariųjų gravitacijos jėgų rezultatas yra lygus jų sumai ir parodo kūno svorį. Šių lygiagrečių jėgų centras vadinamas kūno svorio centru.
Akivaizdu, kad svorio centro padėtis kūne nepriklauso nuo kūno orientacijos erdvėje. Šis teiginys išplaukia iš ankstesnės pastabos, kad lygiagrečių jėgų centras nekeičia savo padėties, kai visos jėgos sukasi tuo pačiu kampu aplink savo taikymo taškus.
Formulės, nustatančios kūno svorio centrus ir diskrečiųjų dalelių sistemą
Norėdami nustatyti kūno svorio centrą, padalijame jį į gana mažas daleles, kurių tūris yra . Kiekvienam iš jų taikome gravitacijos jėgą, lygią
Šių lygiagrečių jėgų rezultatas yra lygus kūno svoriui, kurį žymime
Kūno svorio centro spindulio vektorius, kurį žymime , nustatomas pagal ankstesnės pastraipos formules kaip lygiagrečių jėgų centras. Taigi, mes turėsime
Jei nustatomas diskrečiųjų dalelių sistemos svorio centras, tai dalelės savitasis svoris V yra jos tūris – spindulio vektorius, lemiantis dalelės padėtį. Paskutinė formulė šiuo atveju nustato diskrečiųjų dalelių sistemos masės centrą.
Jei mechaninė sistema yra kūnas, sudarytas iš nuolatinio dalelių rinkinio, tada paskutinių formulių sumos riboje jos virsta integralais ir kūno svorio centro spindulio vektorius gali būti apskaičiuotas naudojant formulę:
kur integralai tęsiasi per visą kūno tūrį.
Jei kūnas yra vienalytis, paskutinė formulė turi tokią formą:
kur V yra viso kūno tūris.
Taigi, kai kūnas yra vienalytis, jo svorio centro nustatymas sumažinamas iki grynai geometrinės problemos. Šiuo atveju kalbame apie tūrio svorio centrą.
Kūno masės centras
Įvesta svorio centro samprata prasminga tik kūnams (mažiems, palyginti su Žemės dydžiu), esančiais netoli Žemės paviršiaus. Tuo pačiu metu svorio centro koordinačių skaičiavimo metodas leidžia jį naudoti apskaičiuojant taško, apibūdinančio medžiagos pasiskirstymą kūne, koordinates. Norėdami tai padaryti, turėtume atsižvelgti ne į dalelių svorį, o į jų masę. Kiekviena kūno dalelė, turinti tūrį, turi masę
ir pakeisdami anksčiau gautą formulę gauname lygybę:
kuri apibrėžia tašką, vadinamą kūno masės arba inercijos centru.
Jei sistemą sudaro materialūs taškai, kurių masės, tada sistemos masės centras randamas pagal formulę:
kur yra visos sistemos masė. Kūno masės centro spindulio vektorius priklauso nuo koordinačių pradžios pasirinkimo O. Jei koordinačių pradžia pasirenkamas pats inercijos centras, jis bus lygus nuliui:
Masės centro sąvoką galima įvesti nepriklausomai nuo svorio centro sąvokos. Dėl to jis taikomas bet kokioms mechaninėms sistemoms.
Statiškos akimirkos
Išraiškos vadinamos atitinkamai statiniais kūno svorio, tūrio ir masės momentais taško O atžvilgiu. Jei tašku pasirinksime kūno masės centrą (koordinačių kilmę), tai statinius kūno momentus. masės centro atžvilgiu bus lygus nuliui, kuris bus naudojamas pakartotinai ateityje.
Masės centro skaičiavimo metodai
Sudėtingos formos kūno masės centro koordinačių nustatymas naudojant aukščiau pateiktas bendrąsias formules paprastai reikalauja kruopštaus skaičiavimo. Kai kuriais atvejais juos galima žymiai supaprastinti, jei naudosite šiuos metodus.
1) Simetrijos metodas. Tegul kūnas turi medžiagos simetrijos centrą. Tai reiškia, kad kiekviena dalelė su masės ir spindulio vektoriumi, nubrėžta iš šio centro, atitinka dalelę, kurios masės ir spindulio vektorius yra toks pat. Tokiu atveju statinis kūno masės momentas išnyks ir
Vadinasi, masės centras šiuo atveju sutaps su kūno medžiagos simetrijos centru. Vienalyčių kūnų atveju tai reiškia, kad masės centras sutampa su kūno tūrio geometriniu centru. Jei kūnas turi medžiagos simetrijos plokštumą, tai masės centras yra šioje plokštumoje. Jei kūnas yra simetriškas ašies atžvilgiu, tada masės centras yra šioje ašyje.
2) Skaldymo į dalis būdas. Jei kūną galima padalyti į baigtinį skaičių dalių, kurių masės ir masės centrų padėtis yra žinomos, tai viso kūno masės centrą rasime taip: įsivaizduokite, kad šių dalių masės yra susitelkę jų masės centruose, tada kūnas redukuojamas iki baigtinio materialių taškų skaičiaus. Materialių taškų sistemos masės centras tiesiog apskaičiuojamas naudojant pateiktas formules.
3) Neigiamos masės metodas. Tegul vienalytis masės kūnas turi skylutes, o jo masės centras nustatomas pagal spindulio vektorių. Šių užpildytų skylių masės bus lygios, o jų masės centrų spindulių vektoriai Tada kūno su užpildytomis skylėmis masės centras bus nustatytas spindulio vektoriumi
čia M yra kūno masė su užpildytomis skylėmis. Iš čia
Bet todėl
Gautoje formulėje nurodytas toks kūno su skylėmis masės centro nustatymo metodas. Protiškai užpildykite skyles medžiaga, kuri sudaro kūną. Tada suraskite tokiu būdu gautą kūno masę ir masės centrą, taip pat skylutes užpildančios medžiagos masę ir masės centrą ir šioms masėms priskirkite minuso ženklą. Po to atitinkamo kūno masės centras gali būti apskaičiuotas naudojant padalijimo metodą.
Bet kuri mechaninė sistema, kaip ir bet kuris kūnas, turi tokį nuostabų tašką kaip masės centras. Jį turi žmogus, automobilis, Žemė, Visata, t.y., bet koks objektas. Labai dažnai šis taškas painiojamas su svorio centru. Nors jie dažnai vienas su kitu sutampa, tačiau turi tam tikrų skirtumų. Galima sakyti, kad mechaninės sistemos masės centras yra platesnė sąvoka, palyginti su jos svorio centru. Kas tai yra ir kaip rasti jo vietą sistemoje ar atskirame objekte? Būtent tai ir bus aptarta mūsų straipsnyje.
Apibrėžimo samprata ir formulė
Masės centras yra tam tikras tiesių susikirtimo taškas, lygiagrečiai su kuriuo veikia išorinės jėgos, sukeliančios tam tikro objekto transliacinį judėjimą. Šis teiginys galioja tiek atskiram kūnui, tiek elementų grupei, turinčiai tam tikrą ryšį vienas su kitu. Masės centras visada sutampa su svorio centru ir yra viena iš svarbiausių geometrinių visų masių pasiskirstymo tiriamoje sistemoje charakteristikų. M i pažymėkime kiekvieno sistemos taško masę (i = 1,…,n). Bet kurio iš jų padėtis gali būti apibūdinta trimis koordinatėmis: x i, y i, z i. Tada akivaizdu, kad kūno (visos sistemos) masė bus lygi jo dalelių masių sumai: M=∑m i. O patį masės centrą (O) galima nustatyti šiais santykiais:
X o = ∑m i *x i /M;
Y o = ∑m i *y i /M;
Z o = ∑m i *z i /M.
Kodėl šis punktas įdomus? Vienas iš pagrindinių jo privalumų yra tai, kad jis apibūdina viso objekto judėjimą. Ši savybė leidžia naudoti masės centrą tais atvejais, kai kūnas turi didelius matmenis arba netaisyklingą geometrinę formą.
Ką reikia žinoti norint rasti šį tašką
Praktinis pritaikymas
Nagrinėjama koncepcija plačiai naudojama įvairiose mechanikos srityse. Paprastai masės centras naudojamas kaip svorio centras. Pastarasis vaizduoja tokį tašką, kabantį objektą, nuo kurio bus galima stebėti jo padėties nekintamumą. Sistemos masės centras dažnai skaičiuojamas projektuojant įvairias mechanikos inžinerijos dalis. Ji taip pat atlieka didelį vaidmenį užtikrinant pusiausvyrą, kurią galima pritaikyti, pavyzdžiui, kuriant alternatyvius baldų, transporto priemonių, statybos, sandėliavimo ir tt variantus. Nežinant pagrindinių principų, kuriais remiantis nustatomas svorio centras, būtų sunku organizuoti darbų saugą su didelėmis apkrovomis ir bet kokiais dideliais objektais. Tikimės, kad mūsų straipsnis buvo naudingas ir atsakė į visus klausimus šia tema.
Nubraižykite sistemos schemą ir pažymėkite joje svorio centrą. Jei rastas svorio centras yra už objektų sistemos ribų, gavote neteisingą atsakymą. Galbūt išmatavote atstumus nuo skirtingų atskaitos taškų. Pakartokite matavimus.
- Pavyzdžiui, jei vaikai sėdi ant sūpynių, svorio centras bus kažkur tarp vaikų, o ne sūpynių dešinėje ar kairėje. Be to, svorio centras niekada nesutaps su ta vieta, kurioje vaikas sėdi.
- Šie argumentai galioja dvimatėje erdvėje. Nubraižykite kvadratą, kuriame bus visi sistemos objektai. Svorio centras turi būti šios aikštės viduje.
Patikrinkite savo matematinius skaičiavimus, jei gaunate nedidelį rezultatą. Jei atskaitos taškas yra viename sistemos gale, mažas rezultatas nukelia svorio centrą netoli sistemos galo. Tai gali būti teisingas atsakymas, tačiau daugeliu atvejų šis rezultatas rodo klaidą. Ar skaičiuodami momentus padauginote atitinkamus svorius ir atstumus? Jei vietoj to, kad daugintumėte svorius ir atstumus, gautumėte daug mažesnį rezultatą.
Ištaisykite klaidą, jei radote kelis svorio centrus. Kiekviena sistema turi tik vieną svorio centrą. Jei radote kelis svorio centrus, greičiausiai nesudėjote visų momentų. Svorio centras yra lygus „bendro“ momento ir „bendro“ svorio santykiui. Nereikia dalinti „kiekvieno“ momento iš „kiekvieno“ svorio: taip rasite kiekvieno objekto padėtį.
Patikrinkite atskaitos tašką, jei atsakymas skiriasi kokia nors sveikojo skaičiaus reikšme. Mūsų pavyzdyje atsakymas yra 3,4 m. Tarkime, kad gavote atsakymą 0,4 m arba 1,4 m arba kitą skaičių, kuris baigiasi „.4“. Taip yra todėl, kad pradiniu tašku pasirinkote ne kairįjį lentos galą, o tašką, kuris yra visa dalimi dešinėje. Tiesą sakant, jūsų atsakymas yra teisingas, nesvarbu, kokį atskaitos tašką pasirinksite! Tiesiog atminkite: atskaitos taškas visada yra padėtyje x = 0. Štai pavyzdys:
- Mūsų pavyzdyje atskaitos taškas buvo kairiajame lentos gale ir mes nustatėme, kad svorio centras buvo 3,4 m atstumu nuo šio atskaitos taško.
- Jei kaip atskaitos tašką pasirinksite tašką, esantį 1 m į dešinę nuo kairiojo lentos galo, gausite atsakymą 2,4 m, tai yra, svorio centras yra 2,4 m nuo naujo atskaitos taško , savo ruožtu, yra 1 m atstumu nuo kairiojo lentos galo. Taigi svorio centras yra 2,4 + 1 = 3,4 m atstumu nuo kairiojo lentos galo. Paaiškėjo, kad tai senas atsakymas!
- Pastaba: matuodami atstumus atminkite, kad atstumai iki „kairiojo“ atskaitos taško yra neigiami, o iki „dešinio“ – teigiami.
Išmatuokite atstumus tiesiomis linijomis. Tarkime, ant sūpynių yra du vaikai, bet vienas vaikas yra daug aukštesnis už kitą arba vienas vaikas kabo po lenta, o ne sėdi ant jos. Nepaisykite šio skirtumo ir išmatuokite atstumus išilgai lentos tiesios linijos. Matuojant atstumus kampais, gaunami artimi, bet ne visiškai tikslūs rezultatai.
- Dėl sūdymo lentos problemos atminkite, kad svorio centras yra tarp dešiniojo ir kairiojo lentos galų. Vėliau išmoksite apskaičiuoti sudėtingesnių dvimačių sistemų svorio centrą.
Sąvoka „masės centras“ vartojama ne tik mechanikoje ir judesio skaičiavimuose, bet ir kasdieniame gyvenime. Tiesiog žmonės ne visada galvoja apie tai, kokie gamtos dėsniai pasireiškia tam tikroje situacijoje. Pavyzdžiui, dailiojo čiuožimo čiuožėjai, čiuoždami poroje, sukdamiesi susikibę rankomis, aktyviai naudojasi sistemos masės centru.
Masės centro sąvoka taip pat naudojama projektuojant laivus. Būtina atsižvelgti ne tik į du kūnus, bet ir į didžiulį jų skaičių ir viską suvesti į vieną vardiklį. Skaičiavimų klaidos reiškia laivo stabilumo stoką: vienu atveju jis bus per daug paniręs į vandenį, rizikuodamas nuskęsti su menkiausiomis bangomis; o kitoje jie yra per aukšti virš jūros lygio, todėl kyla pavojus apvirsti ant šono. Beje, todėl kiekvienas daiktas laive turi būti savo vietoje, kaip nurodo skaičiavimai: masyviausi yra pačiame apačioje.
Masės centras naudojamas ne tik dangaus kūnų atžvilgiu ir mechanizmų projektavimui, bet ir mikropasaulio dalelių „elgesiui“ tirti. Pavyzdžiui, daugelis jų gimsta poromis (elektronas-pozitronas). Turėdami pradinį sukimąsi ir paklusdami traukos/atstūmimo dėsniams, jie gali būti laikomi sistema, turinčia bendrą masės centrą.
