Kaip rasti krypties vektorių koordinates. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai apibrėžtas lygtimis:

Pagal kampu tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba . Štai kodėl . Nes Ir , Tai

.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra lygiagrečios, todėl .

Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .

Taigi,.

Pavyzdžiai.

TIESIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖ LYGTIS LINIJAI.

PARAMETRINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vedliaišios linijos vektorius.

Taigi tegul tiesi linija l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), guli ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .

Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo aišku, kad .

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. veiksnys t vadinamas parametru. Nurodę taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M, gulėti ant tiesios linijos.

Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Atkreipkite dėmesį, ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir laikotarpis M juda tiesia linija.

KANONINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Leiskite M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir yra jo krypties vektorius. Vėl paimkime savavališką linijos tašką M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .

Akivaizdu, kad vektoriai taip pat yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos, todėl

– kanoninis tiesės lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių, pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Užrašykite linijos lygtį parametrine forma.

Pažymėkime , iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2 pastaba. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Todėl linijos parametrinės lygtys įgis tokią formą

Iš lygčių neįtraukiant parametro t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje . Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad tiesė yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Panašus į kanonines lygtis atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS TIESĖS LYGTYBĖS KAIP DVIEJŲ PLOKŠTUMŲ SANTRAUKOS LINĖS

Per kiekvieną tiesią erdvę erdvėje yra daugybė plokštumų. Bet kurie du iš jų, susikertantys, apibrėžia jį erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

nustatyti jų susikirtimo tiesę. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesioginis.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, kurią pateikia lygtys

Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės ir koordinačių plokštumų susikirtimo taškus. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:

Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Nuo bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 tiesėje ir tiesės krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams Ir . Todėl už tiesės krypties vektoriaus l galite paimti normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą:

.

Pavyzdys. Pateikite bendrąsias linijos lygtis į kanoninę formą.

Raskime tašką, esantį ant linijos. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl krypties vektorius bus tiesus

. Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TIESIŲ

Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudodamiesi kampo tarp vektorių kosinuso formule, gauname

Pagrindiniai plokštumų lygčių tipai.

1) -bendrosios plokštumos lygtis ;

2) - plokštumos, einančios per tašką, lygtis M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) statmenai normaliajam vektoriui
;

3)
-plokštumos lygtis atkarpomis , Kur A, b, Su- plokštumos nupjautų atkarpų vertės koordinačių ašyse Oi ,APIEy, APIEz atitinkamai;

4)
-plokštumos lygtis , einantis per tris taškus M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ).

Pagrindiniai tiesių lygčių tipai.

1)
-bendroji tiesės lygtis , kaip dviejų plokštumų sankirta, kur tiesės krypties vektorius randamas iš plokštumų normaliųjų vektorių vektorinės sandaugos

;

2)
-kanoninė tiesės lygtis arba tiesės, einančios per tašką, lygtis M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) lygiagrečiai vektoriui;.

3)
- einančios tiesės lygtis du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) Ir M 2 (x 2 , y 2 , z 2 );

4)
-vektorinė linijos lygtis , Kur
- taško, esančio tiesioje linijoje, spindulio vektorius,
- tiesioginis vektorius arba parametrine forma
.

Atstumas nuo taško
į lėktuvą nustatoma pagal formulę
.

Kampas tarp dviejų tiesių , pateiktas kanonine forma, apibrėžiamas kaip kampas tarp jų krypties vektorių

.

Kampas tarp tiesios linijos
ir lėktuvas apibrėžiamas taip:

.

Užduotis. A(1,2,3) lygiagrečiai linijai
.

Sprendimas. Kadangi tiesės yra lygiagrečios, tai reiškia, kad krypties vektorius norimai tiesei bus toks pat kaip ir duotosios, t.y.
. Todėl taikome kanoninę tiesės, einančios per tašką, lygtį A (1,2,3) lygiagrečiai vektoriui
, t.y.
.

Užduotis. Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(2,-3,5) lygiagrečiai tiesiai linijai, apibrėžtai kaip dviejų plokštumų sankirta:
.

Sprendimas. Raskime duotosios tiesės krypties vektorių per plokštumų normaliųjų vektorių sandaugą

.

Tada kanoninė tiesės, einančios per tašką, lygtis A(2,-3,5) lygiagrečiai vektoriui
valios
.

Užduotis. Duota piramidė ABCD su viršūnėmis A(1,5,7), B(-1,0,1), SU (3,-2,4), D (0,1,-1 ). Raskite kampą tarp kraštų AD ir kraštas ABC.

Sprendimas. Raskime veido lygtį ABC, t.y. plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis A, IN Ir SU .

Krašto lygtis AD - tiesės, einančios per du taškus, lygtis A Ir D :

Tada mes rasime kampą tarp krašto ir paviršiaus, naudodami kampo tarp tiesės ir plokštumos formulę:

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per tašką, lygtį A(1,2,3) o per tiesę, nurodytą kaip dviejų plokštumų sankirta

.

Sprendimas. Panaudokime plokštumų, einančių per nurodytą tiesę, pieštuko lygtį. A Kadangi plokštuma turi praeiti per tašką λ :

.

, tada pakeitę jo koordinates į pluošto lygtį, randame λ Dabar pakeičiant

Užduotis.į pluošto lygtį gauname norimą plokštumą:
Raskite tiesės susikirtimo tašką
.

Sprendimas. ir lėktuvai t :
.

Parametriškai linijos lygtys bus parašytos forma . Toliau, pakeisdami plokštumas į lygtį, randame t Pagal tai

raskite susikirtimo taško koordinates

4.1 užduotis. ABCD Pateikiamos piramidės viršūnių koordinatės

. Rasti: ABC;

1) Veido lygtis 2) Aukščio lygtis, DM D praleistas iš taško iki slenksčio

ABC; 3) Aukštis ilgis;

DM 4) Krašto lygtis;

DC 4) Krašto lygtis 5) peleko kampas ABC.

į lėktuvą1. A(-3;-2;-4),(-4;2;-7), B(5;0;3), D(-1;3;0)

C

2. A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3. A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4. A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5. A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7. A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10. A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11. A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12. A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13. A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;-9;-2)

14. A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15. A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16. A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17. A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18. A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19. A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20. A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21. A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22. A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23. A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24. A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25. A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

4.2 užduotis. Pateikiamos taškų koordinatės A, B, C

. Reikalinga: 1) sudaryti kanoninę tiesės lygtį;

AB SU 2) sudaryti tiesės, einančios per tašką, lygtį 1) sudaryti kanoninę tiesės lygtį;

lygiagrečiai linijai SU 3) sudaryti plokštumos, einančios per tašką, lygtį statmena tiesei linijai

AB;

4) rasti šios plokštumos pėdsakus koordinačių plokštumose.

1. A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1), C(0;1;-1).

3. A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2), C(1;-3;2).

7. A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).

9. A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0), C(6;4;0).

11. A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2), C(-1;2;1).

13. A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1), C(2;0;2).

15. A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2), C(-7;13;-3).

17. A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4).

19. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4).

21. A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4), C(3;1;-4).

23. A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1), C(7;-1;-8).

25. A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

4.3 užduotis.

Tiesės lygtis pateikiama dviejų plokštumų susikirtimo ir taško koordinačių pavidalu A. Reikalinga:

1) sudaryti plokštumos, einančios per nurodytą tiesę ir tašką, lygtį A;

2) sudaryti kanoninę tiesės, einančios per tašką, lygtį A ir lygiagrečiai ašiai APIEX;

Tiesiai lėktuve.

Bendroji tiesės lygtis.

Prieš įvesdami bendrąją tiesės plokštumoje lygtį, supažindinkime su bendruoju tiesės apibrėžimu.

Apibrėžimas. Formos lygtis

F (x,y )=0 (1)

vadinama tiesine lygtimi L tam tikroje koordinačių sistemoje, jei koordinatės tai atitinka X Ir adresu bet kuris taškas, esantis ant linijos L, ir netenkina jokio taško, esančio ne šioje tiesėje, koordinačių.

(1) lygties laipsnis nustato eilučių tvarka. Sakysime, kad (1) lygtis apibrėžia (nurodo) tiesę L.

Apibrėžimas. Formos lygtis

Ah+Bu+C=0 (2)

savavališkiems koeficientams A, IN, SU (A Ir IN tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui) apibrėžti tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje. Ši lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis.

(2) lygtis yra pirmojo laipsnio lygtis, taigi kiekviena tiesė yra pirmos eilės linija ir, atvirkščiai, kiekviena pirmosios eilės linija yra tiesė.

Panagrinėkime tris specialiuosius atvejus, kai (2) lygtis yra nepilna, t.y. kai kurie koeficientai lygūs nuliui.

1) Jei С=0, tada lygtis turi formą Ah+Wu=0 ir apibrėžia tiesę, einančią per koordinačių pradžią, nes koordinates (0,0) patenkinti šią lygtį.

2) Jei B=0 (A≠0), tada lygtis turi formą Ax+C=0 ir apibrėžia ordinačių ašiai lygiagrečią tiesę. Šios kintamojo lygties sprendimas X gauname formos lygtį x=a, Kur a=-C/A, A- segmento, kurį nupjauna tiesi linija ant abscisių ašies, dydis. Jeigu a=0 (С=0 Oi(1a pav.). Taigi, tiesiai x=0 apibrėžia ordinačių ašį.

3) Jei A=0 (B≠0), tada lygtis turi formą Wu+C=0 ir apibrėžia tiesę, lygiagrečią x ašiai. Šios kintamojo lygties sprendimas adresu gauname formos lygtį y=b, Kur b = -С/В, b- atkarpos, kuri nupjauna tiesią liniją ordinačių ašyje, dydis. Jeigu b =0 (С=0), tada tiesi linija sutampa su ašimi Oi(1b pav.). Taigi, tiesiai y=0 apibrėžia x ašį.

A) b)

Atkarpų tiesės lygtis.

Tegu lygtis duota Ah+Bu+C=0 su sąlyga, kad nė vienas iš koeficientų nėra lygus nuliui. Perkelkime koeficientą SUį dešinę pusę ir padalinkite iš - SU abi dalys.

Naudodami pirmoje pastraipoje pateiktą žymėjimą gauname tiesės lygtį " segmentais»:

Jis turi tokį pavadinimą dėl skaičių A Ir b yra atkarpų, kurias tiesi linija nukerta koordinačių ašyse, reikšmės.

Pavyzdys 2x-3m+6=0. Sudarykite šios linijos lygtį „segmentais“ ir sukonstruokite šią tiesę.

Sprendimas

Norėdami sukurti šią tiesią liniją, nubrėžkime ašį Oi segmentas a=-3, ir ašyje Oi segmentas b =2. Per gautus taškus brėžiame tiesią liniją (2 pav.).

Tiesios linijos su kampiniu koeficientu lygtis.

Tegu lygtis duota Ah+Bu+C=0 su sąlyga, kad koeficientas IN nelygu nuliui. Atlikime tokias transformacijas

(4) lygtis, kur k =-A/B, vadinama tiesės su nuolydžiu lygtimi k.

Apibrėžimas. Pasvirimo kampas duota tiesioginis prie ašies Oi pavadinkime kampu α , į kurią reikia pasukti ašį Oi kad jos teigiama kryptis sutaptų su viena iš tiesės krypčių.

Tiesios linijos polinkio kampo liestinė su ašimi Oi lygus nuolydžiui, t.y. k =tgα. Įrodykime tai – A/B tikrai lygus k. Iš stačiojo trikampio ΔOAV(3 pav.) išreiškiame tgα, Atlikime reikiamas transformacijas ir gaukime:

Q.E.D.

Jeigu k = 0, tada tiesi linija yra lygiagreti ašiai Oi, o jos lygtis turi formą y=b.

Pavyzdys. Tiesi linija nurodoma pagal bendrąją lygtį 4x+2y-2=0. Parašykite šios tiesės lygtį su nuolydžiu.

Sprendimas. Atlikime transformacijas, panašias į aprašytas aukščiau, gausime:

Kur k = -2, b = 1.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikru nuolydžiu, lygtis.

Tebūnie duotas taškas M 0 (x 0,y 0) tiesi linija ir jos nuolydis k. Parašykime tiesės lygtį formoje (4), kur b– dar nežinomas numeris. Nuo taško M 0 priklauso duotai linijai, tada jos koordinatės tenkina (4) lygtį: . Pakeičiant išraišką b(4) gauname reikiamą tiesės lygtį:

Pavyzdys. Užrašykite tiesės, einančios per tašką M(1,2) ir pasvirusios į ašį, lygtį Oi 45 0 kampu.

Sprendimas. k =tgα =tg 45 0 =1. Iš čia:.

Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis.

Tegu yra du taškai M 1 (x 1,y 1) Ir M 2 (x 2, y 2). Parašykime tiesės lygtį formoje (5), kur k dar nežinomas koeficientas:

Nuo taško M 2 priklauso duotai linijai, tada jos koordinatės tenkina (5) lygtį: . Išreikšdami iš čia ir pakeisdami ją į (5) lygtį, gauname reikiamą lygtį:

Jei šią lygtį galima perrašyti tokia forma, kuri patogesnė įsiminti:

Pavyzdys. Užrašykite tiesės, einančios per taškus M 1 (1,2) ir M 2 (-2,3), lygtį.

Sprendimas. . Naudodami proporcijos savybę ir atlikdami reikiamas transformacijas, gauname bendrąją tiesės lygtį:

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Apsvarstykite dvi tiesias linijas l 1 Ir l 2:

l 1: , , Ir

l 2: , ,

φ yra kampas tarp jų (). Iš 4 pav. aišku: .

Iš čia arba

Jei tiesiai l 1 Ir l 2 tada yra statmenos φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Taigi dviejų tiesių statmenumo sąlyga yra ta, kad jų kampiniai koeficientai yra atvirkštiniai pagal dydį ir priešingi pagal ženklą.