Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių skaliarinė sandauga, reikia vis daugiau. Tai yra vektorinė priklausomybė. Gali atrodyti, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai neteisinga. Šioje aukštosios matematikos dalyje paprastai yra mažai medienos, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta - vargu ar sudėtingesnė nei ta pati taškinis produktas, bus dar mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis įsitikins arba jau įsitikino, yra NEDARYTI SKAIČIAVIMO KLAIDŲ. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai. Stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių, dažnai sutinkamų praktiniame darbe, rinkinį

Kas jus iškart pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ir net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar jums visai nereikės žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdviniai vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Tai jau lengviau!

Ši operacija, kaip ir skaliarinis sandauga, apima du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstantys laiškai.

Pats veiksmas žymimas taip: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryželiu.

Ir tuoj pat klausimas: jei įeina vektorių skaliarinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Akivaizdus skirtumas visų pirma yra REZULTATAS:

Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:

Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VECTOR: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilęs operacijos pavadinimas. Skirtingoje mokomojoje literatūroje pavadinimai taip pat gali skirtis.

Kryžminio produkto apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: Vektorinis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, sukurta remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Išskaidykime apibrėžimą, čia yra daug įdomių dalykų!

Taigi, galima išskirti šiuos svarbius dalykus:

1) Pradiniai vektoriai, pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.

2) Imami vektoriai griežtai nustatyta tvarka: – "a" padauginamas iš "būti", o ne „būk“ su „a“. Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR, kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai dauginami atvirkštine tvarka, gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (avietinės spalvos). Tai yra, lygybė yra tiesa .

3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus punktas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sudaryto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.

Pastaba : brėžinys yra schematiškas ir, žinoma, vardinis vektorinės sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.

Prisiminkime vieną iš geometrinių formulių: Lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:

Pabrėžiu, kad formulė yra apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė ta, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinės sandaugos sąvoką:

Gaukime antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti naudojant formulę:

4) Ne mažiau svarbus faktas yra tas, kad vektorius yra statmenas vektoriams, tai yra . Žinoma, priešingos krypties vektorius (avietės rodyklė) taip pat yra statmenas pirminiams vektoriams.

5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Kalbėjau pakankamai išsamiai plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kas yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešinę ranką. Psichiškai derinkite rodomasis pirštas su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite jį į delną. Dėl to nykščiu– vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (paveikslėlyje yra šis). Dabar pakeiskite vektorius ( rodomieji ir viduriniai pirštai) kai kuriose vietose, todėl nykštys apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Jums gali kilti klausimas: kuris pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tiems patiems pirštams kaire ranka vektorius ir gaukite kairįjį pagrindą bei kairę erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir šios sąvokos nereikėtų laikyti kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, erdvės orientaciją keičia įprasčiausias veidrodis, o jei „ištrauki atspindėtą objektą iš žiūrinčiojo stiklo“, tai apskritai nebus įmanoma derinti su „originalu“. Beje, pakelkite tris pirštus prie veidrodžio ir analizuokite atspindį ;-)

...kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuota į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą gąsdina =)

Kolinearinių vektorių kryžminė sandauga

Apibrėžimas buvo išsamiai aptartas, belieka pamatyti, kas atsitiks, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „prideda“ į vieną tiesę. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui

Taigi, jei , tada . Griežtai tariant, pats vektorinis sandauga yra lygus nuliniam vektoriui, tačiau praktikoje to dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis tiesiog lygus nuliui.

Ypatingas atvejis yra vektoriaus sandauga su savimi:

Naudodami vektorinį sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.

Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.

Na, užkurkime ugnį:

1 pavyzdys

a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei

b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pat pradinius duomenis. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!

a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (kryžminis produktas). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Jei jūsų paklausė apie ilgį, tada atsakyme nurodome matmenį - vienetus.

b) Pagal sąlygą reikia rasti kvadratas lygiagretainis, pastatytas ant vektorių. Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus vektorinės sandaugos ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme visai nekalbama apie vektorinį sandaugą figūros plotas, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.

Visada žiūrime, KĄ turime rasti pagal būklę, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Gali atrodyti, kad tai yra pažodiškumas, tačiau tarp mokytojų yra daug literatų, ir yra didelė tikimybė, kad užduotis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai ir nėra itin toli užkliuvęs pokštas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba nesuprato užduoties esmės. Šis taškas visada turi būti kontroliuojamas sprendžiant bet kokią aukštosios matematikos ir kitų dalykų problemą.

Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo jį buvo galima papildomai prisegti prie sprendimo, bet norėdamas sutrumpinti įrašą to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį.

Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis yra labai dažna, trikampiai gali jus kankinti.

Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikės:

Vektorių vektorinės sandaugos savybės

Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.

Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:

1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra paryškinamas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.

2) – turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.

3) – asociatyvinis arba asociatyvus vektorinės sandaugos dėsniai. Konstantos gali būti lengvai perkeltos už vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten turėtų daryti?

4) – paskirstymas arba paskirstymo vektorinės sandaugos dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant laikiklius.

Norėdami parodyti, pažvelkime į trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys

Rasti, jei

Sprendimas: Sąlyga vėlgi reikalauja rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą:

(1) Pagal asociatyvinius dėsnius konstantas laikome už vektorinės sandaugos ribų.

(2) Konstantą perkeliame už modulio ribų, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) Likusi dalis aišku.

Atsakymas:

Atėjo laikas į ugnį įpilti daugiau malkų:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei

Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę . Svarbiausia, kad vektoriai „tse“ ir „de“ pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius Taškinė vektorių sandauga. Aiškumo dėlei sprendimą padalinsime į tris etapus:

1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, vektorių išreikškime vektoriumi. Apie ilgį dar nėra žodžio!

(1) Pakeiskite vektorių išraiškas.

(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, skliaustus atveriame pagal daugianario daugybos taisyklę.

(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, visas konstantas perkeliame už vektorinių sandaugų. Turint šiek tiek patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis nariai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl gražios savybės. Antrajame termine mes naudojame vektorinio sandaugos antikomutatyvumo savybę:

(5) Pateikiame panašias sąlygas.

Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, o tai ir reikėjo pasiekti:

2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį:

3) Raskite reikiamo trikampio plotą:

2-3 sprendimo etapai galėjo būti parašyti vienoje eilutėje.

Atsakymas:

Nagrinėjama problema yra gana dažna bandymuose, čia yra pavyzdys, kaip ją išspręsti patiems:

5 pavyzdys

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)

Vektorių koordinatėse sandauga

Formulė tikrai paprasta: viršutinėje determinanto eilutėje rašome koordinačių vektorius, antroje ir trečioje eilutėse „įdedame“ ​​vektorių koordinates ir dedame griežta tvarka– pirmiausia „ve“ vektoriaus koordinatės, tada „dvigubo ve“ vektoriaus koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, tada eilutes reikia sukeisti:

10 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
A)
b)

Sprendimas: Patikrinimas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų vektorinė sandauga yra lygi nuliui (nulis vektorius): .

a) Raskite vektorinę sandaugą:

Taigi vektoriai nėra kolineariniai.

b) Raskite vektorinę sandaugą:

Atsakymas a) ne kolinearinis, b)

Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.

Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir poros darbo formulių.

Mišrus vektorių sandauga yra trijų vektorių sandauga:

Taigi jie išsirikiavo kaip traukinys ir nekantrauja, kol bus identifikuoti.

Pirma, vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus darbas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, paskambino gretasienio tūrio, pastatytas ant šių vektorių, turintis „+“ ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir „–“ ženklą, jei pagrindas yra kairysis.

Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrinėmis linijomis:

Pasinerkime į apibrėžimą:

2) Imami vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių persirikiavimas sandaugoje, kaip galima spėti, neįvyksta be pasekmių.

3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali būti šiek tiek kitoks, aš įpratęs mišrų gaminį žymėti , o skaičiavimų rezultatą – raide „pe“.

Pagal apibrėžimą sumaišytas produktas yra lygiagretaus vamzdžio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius lygus tam tikro gretasienio tūriui.

Pastaba : Brėžinys schematiškas.

4) Vėl nesijaudinkime dėl pagrindo ir erdvės orientacijos sampratos. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais tariant, mišrus produktas gali būti neigiamas: .

Tiesiogiai iš apibrėžimo seka gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūrio apskaičiavimo formulė.

Norint išsamiai apsvarstyti tokią temą, būtina apžvelgti dar keletą skyrių. Tema yra tiesiogiai susijusi su tokiais terminais kaip taškinis produktas ir vektorinis produktas. Šiame straipsnyje mes bandėme pateikti tikslų apibrėžimą, nurodyti formulę, kuri padės nustatyti sandaugą naudojant vektorių koordinates. Be to, straipsnyje yra skirsnių, kuriose išvardijamos gaminio savybės ir pateikiama išsami tipinių lygybių ir problemų analizė.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Terminas

Norint nustatyti, kas yra šis terminas, reikia paimti tris vektorius.

1 apibrėžimas

Mišrus darbas a → , b → ir d → yra reikšmė, lygi a → × b → ir d → skaliarinei sandaugai, kur a → × b → yra a → ir b → daugyba. Daugybos operacija a →, b → ir d → dažnai žymima a → · b → · d →. Formulę galite paversti taip: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Daugyba koordinačių sistemoje

Vektorius galime padauginti, jei jie nurodyti koordinačių plokštumoje.

Paimkime i → , j → , k →

Šiuo konkrečiu atveju vektorių sandauga bus tokia: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

2 apibrėžimas

Norėdami padaryti taškinį produktą koordinačių sistemoje reikia pridėti rezultatus, gautus koordinačių dauginimo metu.

Iš to išplaukia:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a · y b x b x

Taip pat galime apibrėžti mišrų vektorių sandaugą, jei tam tikra koordinačių sistema nurodo vektorių, kurie yra dauginami, koordinates.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y - b z y b x y d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Taigi galime daryti išvadą, kad:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

3 apibrėžimas

Mišrus produktas gali būti tapatinamasį determinantą matricos, kurios eilutės yra vektorinės koordinatės. Vizualiai tai atrodo taip: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Veiksmų vektoriais savybės Iš skaliarinėje arba vektorinėje sandaugoje išsiskiriančių ypatybių galime išvesti požymius, apibūdinančius mišrų sandaugą. Žemiau pateikiame pagrindines savybes.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Be minėtų savybių, reikėtų paaiškinti, kad jei daugiklis lygus nuliui, tada daugybos rezultatas taip pat bus lygus nuliui.

Daugybos rezultatas taip pat bus lygus nuliui, jei du ar daugiau koeficientų yra lygūs.

Iš tiesų, jei a → = b →, tai pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , todėl mišrus sandauga yra lygus nuliui, nes ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Jei a → = b → arba b → = d →, tada kampas tarp vektorių [a → × b →] ir d → yra lygus π 2. Pagal vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimą ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Daugybos operacijos savybės dažniausiai reikalingos sprendžiant uždavinius.
Norėdami išsamiai išanalizuoti šią temą, paimkime keletą pavyzdžių ir juos išsamiai apibūdinkite.

1 pavyzdys

Įrodykite lygybę ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), kur λ yra tikrasis skaičius.

Norint rasti šios lygybės sprendimą, jos kairioji pusė turi būti transformuota. Norėdami tai padaryti, turite naudoti trečiąją mišraus produkto savybę, kuri sako:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Matėme, kad (([ a → × b → ] , b →) = 0. Iš to išplaukia, kad
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Pagal pirmąją savybę ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = λ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) ir ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Taigi, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Štai kodėl,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Lygybė įrodyta.

2 pavyzdys

Būtina įrodyti, kad trijų vektorių mišriosios sandaugos modulis nėra didesnis už jų ilgių sandaugą.

Sprendimas

Remdamiesi sąlyga, pavyzdį galime pateikti nelygybės a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → forma.

Pagal apibrėžimą nelygybę a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Naudodami elementariąsias funkcijas galime daryti išvadą, kad 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Iš to galime daryti išvadą
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Nelygybė įrodyta.

Tipinių užduočių analizė

Norint nustatyti, kokia yra vektorių sandauga, reikia žinoti dauginamų vektorių koordinates. Operacijai galite naudoti šią formulę a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

3 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje yra 3 vektoriai, kurių koordinatės yra: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Reikia nustatyti, kam lygi nurodytų vektorių sandauga a → · b → · d →.

Remdamiesi aukščiau pateikta teorija, galime naudoti taisyklę, kad mišrus produktas gali būti apskaičiuojamas naudojant matricos determinantą. Tai atrodys taip: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

4 pavyzdys

Reikia rasti vektorių i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → sandaugą, kur i → , j → , k → yra vienetiniai vektoriai stačiakampė Dekarto koordinačių sistema.

Remiantis sąlyga, kuri teigia, kad vektoriai yra tam tikroje koordinačių sistemoje, jų koordinatės gali būti išvestos: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Mes naudojame formulę, kuri buvo naudojama aukščiau
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Taip pat galima nustatyti mišrų sandaugą naudojant jau žinomą vektoriaus ilgį ir kampą tarp jų. Pažvelkime į šią tezę su pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje yra trys vektoriai a →, b → ir d →, kurie yra statmeni vienas kitam. Jie yra dešiniarankiai trigubai ir jų ilgiai yra 4, 2 ir 3. Būtina padauginti vektorius.

Pažymėkime c → = a → × b → .

Pagal taisyklę skaliarinių vektorių dauginimo rezultatas yra skaičius, lygus rezultatui, padauginus naudojamų vektorių ilgius iš kampo tarp jų kosinuso. Darome išvadą, kad a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Naudojame pavyzdinėje sąlygoje nurodytą vektoriaus d → ilgį: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Būtina nustatyti c → ir c → , d → ^ . Pagal sąlygą a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vektorius c → randamas naudojant formulę: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Galime daryti išvadą, kad c → yra statmenas a → ir b → . Vektoriai a → , b → , c → bus dešinysis trigubas, todėl naudojama Dekarto koordinačių sistema. Vektoriai c → ir d → bus vienakrypčiai, tai yra c → , d → ^ = 0 . Naudodamiesi išvestiniais rezultatais, išsprendžiame pavyzdį a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Naudojame veiksnius a → , b → ir d → .

Vektoriai a → , b → ir d → kilę iš to paties taško. Mes naudojame juos kaip šonus, kad sukurtume figūrą.

Pažymėkime, kad c → = [ a → × b → ] . Šiuo atveju vektorių sandaugą galime apibrėžti kaip a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , kur n p c → d → yra vektoriaus d → skaitinė projekcija vektoriaus c → = [ a → × b → ] kryptimi.

Absoliuti reikšmė n p c → d → lygi skaičiui, kuris taip pat lygus figūros aukščiui, kurio kraštinėmis naudojami vektoriai a → , b → ir d →. Remiantis tuo, reikia paaiškinti, kad c → = [ a → × b → ] yra statmenas a → ir vektorius, ir vektorius pagal vektorių daugybos apibrėžimą. Reikšmė c → = a → x b → lygi gretasienio, pastatyto ant vektorių a → ir b → plotui.

Darome išvadą, kad sandaugos modulis a → · b → · d → = c → · n p c → d → yra lygus rezultatui, padauginus pagrindo plotą iš figūros aukščio, kuris yra pastatytas ant vektoriai a → , b → ir d → .

4 apibrėžimas

Absoliuti kryžminės sandaugos vertė yra gretasienio tūris: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Ši formulė yra geometrinė reikšmė.

5 apibrėžimas

Tetraedro tūris, kuri pastatyta ant a →, b → ir d →, lygi 1/6 gretasienio tūrio Gauname, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Siekdami įtvirtinti žinias, pažvelkime į keletą tipiškų pavyzdžių.

6 pavyzdys

Reikia rasti gretasienio tūrį, kurio kraštinės yra A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , nurodyta stačiakampėje koordinačių sistemoje . Lygiagretainio tūrį galima rasti naudojant absoliučios vertės formulę. Iš to išplaukia: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Tada V par l e l e p i p e d a = - 18 = 18 .

V p a r l l e l e p i p i d a = 18

7 pavyzdys

Koordinačių sistemoje yra taškai A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Būtina nustatyti šiuose taškuose esančio tetraedro tūrį.

Naudokime formulę V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Vektorių koordinates galime nustatyti iš taškų koordinačių: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Toliau pagal vektorių koordinates nustatome mišrų sandaugą A B → A C → A D →: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 tomas V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šis internetinis skaičiuotuvas apskaičiuoja mišrų vektorių sandaugą. Pateikiamas išsamus sprendimas. Norėdami apskaičiuoti mišrų vektorių sandaugą, pasirinkite vektorių vaizdavimo būdą (koordinatėmis arba dviem taškais), įveskite duomenis į langelius ir spustelėkite mygtuką „Apskaičiuoti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Mišrus vektorių sandauga (teorija)

Mišrus darbas trys vektoriai yra skaičius, gaunamas iš pirmųjų dviejų vektorių ir trečiojo vektoriaus vektorinės sandaugos skaliarinės sandaugos. Kitaip tariant, jei pateikiami trys vektoriai a, b Ir c, tada norint gauti mišrią šių vektorių sandaugą, pirmiausia padauginami pirmieji du vektoriai ir gautas vektorius [ ab] skaliariai padauginamas iš vektoriaus c.

Mišrus trijų vektorių sandauga a, b Ir cžymimas taip: abc arba taip ( a,b,c). Tada galime rašyti:

Prieš suformuluodami teoremą, vaizduojančią mišraus sandaugos geometrinę reikšmę, susipažinkite su dešiniosios trigubos, kairiosios trigubos, dešiniosios koordinačių sistemos, kairiosios koordinačių sistemos sąvokomis (2, 2" ir 3 apibrėžimai pateikiami vektorinių vektorių sandaugoje internete).

Tikslumui toliau nagrinėsime tik dešiniarankes koordinačių sistemas.

1 teorema. Mišrus vektorių sandauga ([ab],c) yra lygus gretasienio, sudaryto iš vektorių, sumažintų iki bendros pradžios, tūriui a, b, c, paimtas su pliuso ženklu, jei trys a, b, c dešinėje, o su minuso ženklu, jei trys a, b, c paliko Jei vektoriai a, b, c yra plokštumos, tada ([ ab],c) yra lygus nuliui.

Išvada 1. Galioja ši lygybė:

Todėl mums užtenka tai įrodyti

Iš (3) išraiškos aišku, kad kairioji ir dešinioji dalys yra lygios gretasienio tūriui. Tačiau dešinės ir kairės pusės ženklai sutampa, nes vektorių trigubai abc Ir bca turi tą pačią orientaciją.

Įrodyta lygybė (1) leidžia parašyti trijų vektorių mišrų sandaugą a, b, c tik formoje abc, nenurodant, kurie du vektoriai vektoriniu būdu padauginami iš pirmųjų dviejų ar paskutinių dviejų.

Išvada 2. Būtina ir pakankama trijų vektorių koplanarumo sąlyga yra ta, kad jų mišrus sandauga yra lygus nuliui.

Įrodymas išplaukia iš 1 teoremos. Iš tiesų, jei vektoriai yra vienodi, tada šių vektorių mišri sandauga yra lygi nuliui. Ir atvirkščiai, jei mišrus sandauga lygus nuliui, tai šių vektorių koplanarumas išplaukia iš 1 teoremos (kadangi gretasienio, pastatyto ant vektorių, redukuoto į bendrą pradžią, tūris yra lygus nuliui).

Išvada 3. Trijų vektorių, iš kurių du sutampa, mišri sandauga yra lygi nuliui.

Tikrai. Jei du iš trijų vektorių sutampa, tada jie yra vienodi. Todėl mišri šių vektorių sandauga yra lygi nuliui.

Mišri vektorių sandauga Dekarto koordinatėmis

2 teorema. Tegu trys vektoriai a, b Ir c apibrėžtos jų Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis

Įrodymas. Mišrus darbas abc lygi vektorių skaliarinei sandaugai [ ab] Ir c. Kryžminė vektorių sandauga [ ab] Dekarto koordinatėmis apskaičiuojamas pagal formulę ():

Paskutinę išraišką galima parašyti naudojant antros eilės determinantus:

būtina ir pakanka, kad determinantas būtų lygus nuliui, kurio eilutės užpildytos šių vektorių koordinatėmis, t.y.:

.

(7)

Norint įrodyti išvadą, pakanka atsižvelgti į formulę (4) ir išvadą 2.

Mišrus vektorių sandauga su pavyzdžiais

1 pavyzdys. Raskite vektorių mišriąją sandaugą abс, Kur

Mišrus vektorių sandauga a, b, c lygus matricos determinantui L. Apskaičiuokime matricos determinantą L, išplečiant determinantą išilgai 1 linijos:

Vektoriaus pabaigos taškas a.

Tikslas. Internetinis skaičiuotuvas skirtas mišriai vektorių sandaugai apskaičiuoti. Gautas sprendimas išsaugomas Word faile. Be to, „Excel“ sukuriamas sprendimo šablonas.

Vektorių koplanarumo požymiai

Bendraplaniškumo ženklas. Jei sistema a, b, c yra dešinioji, tai abc>0 ; jei paliekama, tai abc Geometrinė mišraus produkto reikšmė. Trijų nevienaplanių vektorių a, b, c mišrus sandauga abc yra lygus gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūris a, b, c, paimti su pliuso ženklu, jei sistema a, b, c yra dešiniarankė, ir su minuso ženklu, jei ši sistema yra kairiarankė.

Mišraus produkto savybės

1. Kai faktoriai pertvarkomi apskrita forma, mišrus produktas nesikeičia, kai pertvarkomi du veiksniai, ženklas yra atvirkštinis: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Tai išplaukia iš geometrinės reikšmės.
2. (a+b)cd=acd+bcd (paskirstymo savybė). Išplečiama iki bet kokio terminų skaičiaus.
   Išplaukia iš mišraus produkto apibrėžimo.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinacinė savybė skaliarinio koeficiento atžvilgiu).
   Išplaukia iš mišraus produkto apibrėžimo. Šios savybės leidžia pritaikyti transformacijas mišrioms sandaugoms, kurios skiriasi nuo įprastų algebrinių tik tuo, kad faktorių eiliškumą galima keisti tik atsižvelgiant į sandaugos ženklą.
4. Mišrus produktas, turintis bent du vienodus veiksnius, yra lygus nuliui: aab=0.

1 pavyzdys. Raskite mišrų produktą.

ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

2 pavyzdys. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +nematoma kopija+nematoma kopija. Visi terminai, išskyrus du kraštutinius, yra lygūs nuliui. Be to, bca=abc . Todėl (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Sprendimas. Norint apskaičiuoti mišrią vektorių sandaugą, reikia rasti sistemos, sudarytos iš vektorių koordinačių, determinantą. Parašykime sistemą formoje.