Prekybos centre du identiški aparatai parduoda kavą. Mašinos aptarnaujamos vakarais po centro uždarymo. Žinoma, kad įvykio „Iki vakaro pirmas aparatas baigsis kava“ tikimybė yra 0,25. Įvykio „Iki vakaro antrasis aparatas baigsis kava“ tikimybė tokia pati. Tikimybė, kad iki vakaro abiejuose aparatuose kavos pritrūks – 0,15. Raskite tikimybę, kad iki vakaro abiejuose aparatuose liks kavos.
Sprendimas.
Apsvarstykite įvykius
A = kava baigsis pirmajame aparate,
B = kava baigsis antrame aparate.
A B = kava baigsis abiejuose aparatuose,
A + B = kava baigsis bent viename aparate.
Pagal sąlygą P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
Įvykiai A ir B yra jungtiniai, dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, sumažintai jų sandaugos tikimybe:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 - 0,15 = 0,35.
Todėl priešingo įvykio tikimybė, kad kava liks abiejuose aparatuose, yra 1 − 0,35 = 0,65.
Atsakymas: 0,65.
Pateikime kitą sprendimą.
Tikimybė, kad kava liks pirmame aparate, yra 1–0,25 = 0,75. Tikimybė, kad kava liks antrame aparate, yra 1–0,25 = 0,75. Tikimybė, kad kava liks pirmame arba antrame aparate, yra 1–0,15 = 0,85. Kadangi P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), turime: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, iš kur atsiranda reikiama tikimybė? X = 0,65.
Pastaba.
Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai A ir B nėra nepriklausomi. Iš tiesų nepriklausomų įvykių atsiradimo tikimybė būtų lygi šių įvykių tikimybių sandaugai: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, tačiau pagal sąlygą ši tikimybė lygi 0,15.
Elena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Aš, docentė, pedagogikos mokslų kandidatė, laikau VISIŠKAI KLAIŠKA IR JUOKINGA ĮTRAUKTI UŽDUOTIS APIE PRIKLAUSOMIUS RENGINIUS MOKSLINIAMS. Mokytojai NEŽINO šios rubrikos – buvau pakviestas skaityti paskaitų per televiziją mokytojų rengimo kursuose. Šio skyriaus nėra ir negali būti programoje. NEREIKIA išradinėti metodų be pagrindimo. Tokio pobūdžio UŽDUOTYS gali būti tiesiog pašalinti. Apsiribokite KLASIKINIU TIKIMYBIŲ APIBRĖŽTIMU. Ir net tada pirmiausia perskaitykite mokyklinius vadovėlius ir pažiūrėkite, ką apie tai parašė autoriai. Pažiūrėkite į Zubarevos 5 klasę. Ji net nepažįsta simbolių ir pateikia tikimybę procentais. Pasimokę iš tokių vadovėlių, mokiniai vis dar tiki, kad tikimybė yra procentas. Yra daug įdomių klasikinio tikimybių nustatymo problemų. To turi klausti moksleiviai. Universiteto dėstytojų pasipiktinimas JŪSŲ kvailumu įvedant tokias užduotis neribojamas.
Įvykius, kurie vyksta tikrovėje arba mūsų vaizduotėje, galima suskirstyti į 3 grupes. Tai yra tam tikri įvykiai, kurie tikrai įvyks, neįmanomi įvykiai ir atsitiktiniai įvykiai. Tikimybių teorija tiria atsitiktinius įvykius, t.y. įvykių, kurie gali įvykti arba neįvykti. Šiame straipsnyje trumpai bus pristatyta tikimybių formulių teorija ir tikimybių teorijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, kurie bus Vieningo valstybinio matematikos egzamino 4 užduotyje (profilio lygis).
Kodėl mums reikia tikimybių teorijos?
Istoriškai poreikis tirti šias problemas iškilo XVII amžiuje, susijęs su azartinių lošimų plėtra ir profesionalėjimu bei kazino atsiradimu. Tai buvo tikras reiškinys, reikalaujantis savo studijų ir tyrimų.
Žaidžiant kortomis, kauliukais ir rulete susidarė situacijos, kai galėjo įvykti bet kuris iš riboto skaičiaus vienodai galimų įvykių. Reikėjo pateikti skaitinius konkretaus įvykio tikimybės įverčius.
XX amžiuje tapo aišku, kad šis, atrodytų, lengvabūdiškas mokslas vaidina svarbų vaidmenį suprantant pagrindinius mikrokosmose vykstančius procesus. Buvo sukurta šiuolaikinė tikimybių teorija.
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos
Tikimybių teorijos tyrimo objektas yra įvykiai ir jų tikimybės. Jei įvykis sudėtingas, jį galima suskirstyti į paprastus komponentus, kurių tikimybes nesunku rasti.
Įvykių A ir B suma vadinama įvykiu C, kuris susideda iš to, kad arba įvykis A, arba įvykis B, arba įvykiai A ir B įvyko vienu metu.
Įvykių A ir B sandauga yra įvykis C, o tai reiškia, kad įvyko ir įvykis A, ir įvykis B.
Įvykiai A ir B vadinami nesuderinamais, jei negali vykti vienu metu.
Įvykis A vadinamas neįmanomu, jei jis negali įvykti. Toks įvykis žymimas simboliu.
Įvykis A vadinamas tikru, jei jis tikrai įvyks. Toks įvykis žymimas simboliu.
Tegul kiekvienas įvykis A susietas su skaičiumi P(A). Šis skaičius P(A) vadinamas įvykio A tikimybe, jei atitinka šias sąlygas.
Svarbus ypatingas atvejis yra situacija, kai yra vienodai tikėtinų elementarių baigčių, o atsitiktiniai iš šių baigčių sudaro įvykius A. Tokiu atveju tikimybę galima įvesti naudojant formulę. Tokiu būdu įvesta tikimybė vadinama klasikine tikimybe. Galima įrodyti, kad šiuo atveju tenkinamos 1-4 savybės.
Tikimybių teorijos problemos, atsirandančios vieningame valstybiniame matematikos egzamine, daugiausia susijusios su klasikine tikimybe. Tokios užduotys gali būti labai paprastos. Tikimybių teorijos problemos demonstracinėse versijose yra ypač paprastos. Nesunku apskaičiuoti palankių rezultatų skaičių, visų rezultatų skaičius parašytas tiesiai sąlygoje.
Atsakymą gauname naudodami formulę.
Vieningo valstybinio matematikos egzamino dėl tikimybės nustatymo problemos pavyzdys
Ant stalo yra 20 pyragėlių – 5 su kopūstais, 7 su obuoliais ir 8 su ryžiais. Marina nori paimti pyragą. Kokia tikimybė, kad ji paims ryžių pyragą?
Sprendimas.
Yra 20 vienodai tikėtinų elementarių rezultatų, tai yra, Marina gali paimti bet kurį iš 20 pyragėlių. Tačiau turime įvertinti tikimybę, kad Marina paims ryžių pyragą, tai yra, kur A yra ryžių pyrago pasirinkimas. Tai reiškia, kad turime tik 8 palankius rezultatus (renkantis ryžių pyragus, tada tikimybė bus nustatyta pagal formulę:
Nepriklausomi, priešingi ir savavališki įvykiai
Tačiau atvirame užduočių banke buvo pradėtos rasti sudėtingesnės užduotys. Todėl atkreipkime skaitytojo dėmesį į kitus tikimybių teorijos klausimus.
Teigiama, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyksta kitas įvykis.
Įvykis B yra tai, kad įvykis A neįvyko, t.y. įvykis B yra priešingas įvykiui A. Priešingo įvykio tikimybė lygi vienetui atėmus tiesioginio įvykio tikimybę, t.y. .
Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos, formulės
Savavališkų įvykių A ir B atveju šių įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai be jų bendro įvykio tikimybės, t.y. .
Nepriklausomiems įvykiams A ir B šių įvykių atsiradimo tikimybė lygi jų tikimybių sandaugai, t.y. šiuo atveju.
Paskutiniai 2 teiginiai vadinami tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis.
Suskaičiuoti rezultatų skaičių ne visada taip paprasta. Kai kuriais atvejais būtina naudoti kombinatorikos formules. Svarbiausia suskaičiuoti įvykių, kurie tenkina tam tikras sąlygas, skaičių. Kartais tokie skaičiavimai gali tapti savarankiškomis užduotimis.
Kiek būdų 6 mokiniai gali būti susodinti 6 tuščiose vietose? Pirmasis mokinys užims bet kurią iš 6 vietų. Kiekvienas iš šių variantų atitinka 5 būdus, kaip antrasis studentas gali užimti vietą. Trečiam mokiniui liko 4 laisvos vietos, ketvirtam – 3, penktam – 2, o šeštokas užims vienintelę likusią vietą. Norėdami rasti visų variantų skaičių, turite rasti prekę, kuri pažymėta simboliu 6! ir parašyta „šeši faktoriai“.
Bendruoju atveju atsakymas į šį klausimą pateikiamas n elementų permutacijų skaičiaus formule.
Dabar panagrinėkime kitą atvejį su mūsų mokiniais. Kiek būdų 2 mokiniai gali būti susodinti į 6 tuščias vietas? Pirmasis mokinys užims bet kurią iš 6 vietų. Kiekvienas iš šių variantų atitinka 5 būdus, kaip antrasis studentas gali užimti vietą. Norėdami sužinoti visų parinkčių skaičių, turite rasti produktą.
Apskritai, atsakymas į šį klausimą pateikiamas formule, pagal kurią nustatomas n elementų išdėstymas virš k elementų
Mūsų atveju.
Ir paskutinis atvejis šioje serijoje. Keliais būdais galite pasirinkti tris mokinius iš 6? Pirmasis mokinys gali būti atrenkamas 6 būdais, antrasis – 5, trečiasis – keturiais būdais. Tačiau tarp šių variantų tie patys trys mokiniai pasirodo 6 kartus. Norėdami rasti visų parinkčių skaičių, turite apskaičiuoti vertę: . Apskritai atsakymas į šį klausimą pateikiamas pagal elementų derinių skaičiaus pagal elementą formulę:
Mūsų atveju.
Vieningo valstybinio matematikos egzamino, skirto tikimybei nustatyti, sprendimo pavyzdžiai
Užduotis 1. Iš rinkinio redagavo. Jaščenka.
Lėkštėje yra 30 pyragėlių: 3 su mėsa, 18 su kopūstais ir 9 su vyšniomis. Sasha atsitiktinai pasirenka vieną pyragą. Raskite tikimybę, kad jis baigsis su vyšnia.
.
Atsakymas: 0.3.
Užduotis 2. Iš rinkinio redagavo. Jaščenka.
Kiekvienoje 1000 lempučių partijoje vidutiniškai 20 yra sugedusių. Raskite tikimybę, kad lemputė, paimta atsitiktinai iš partijos, veiks.
Sprendimas: Veikiančių lempučių skaičius 1000-20=980. Tada tikimybė, kad atsitiktinai iš partijos paimta lemputė veiks:
Atsakymas: 0,98.
Tikimybė, kad mokinys U per matematikos testą teisingai išspręs daugiau nei 9 uždavinius, yra 0,67. Tikimybė, kad U teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius, yra 0,73. Raskite tikimybę, kad U teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius.
Jei įsivaizduosime skaičių tiesę ir pažymėsime joje taškus 8 ir 9, pamatysime, kad sąlyga „U. teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius“ įtraukta į sąlygą „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius“, tačiau netaikoma sąlygai „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“.
Tačiau sąlyga „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“ yra sąlygoje „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 problemas“. Taigi, jei įvardysime įvykius: „U. teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius“ – per A, „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius“ – per B, „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“ iki C. Tas sprendimas atrodys taip:
Atsakymas: 0,06.
Geometrijos egzamine mokinys atsako į vieną klausimą iš egzamino klausimų sąrašo. Tikimybė, kad tai yra trigonometrijos klausimas, yra 0,2. Tikimybė, kad tai yra išorinių kampų klausimas, yra 0,15. Nėra klausimų, kurie vienu metu būtų susiję su šiomis dviem temomis. Raskite tikimybę, kad studentas egzamino metu gaus klausimą viena iš šių dviejų temų.
Pagalvokime, kokių renginių turime. Mums pateikiami du nesuderinami įvykiai. Tai yra, klausimas bus susijęs su tema „Trigonometrija“ arba su tema „Išoriniai kampai“. Pagal tikimybių teoremą nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sumai, turime rasti šių įvykių tikimybių sumą, tai yra:
Atsakymas: 0,35.
Kambarį apšviečia žibintas su trimis lempomis. Tikimybė, kad per metus sudegs viena lempa, yra 0,29. Raskite tikimybę, kad per metus neišdegs bent viena lempa.
Panagrinėkime galimus įvykius. Turime tris lemputes, kurių kiekviena gali perdegti arba nedegti nepriklausomai nuo bet kurios kitos lemputės. Tai nepriklausomi renginiai.
Tada nurodysime tokių renginių galimybes. Vartokime tokius užrašus: - lemputė įjungta, - lemputė perdegusi. O visai šalia skaičiuosime įvykio tikimybę. Pavyzdžiui, įvykio, kai įvyko trys nepriklausomi įvykiai „perdegė lemputė“, „dega lemputė“, „dega lemputė“, tikimybė: , kur įvykio „lemputė“ tikimybė. dega“ apskaičiuojama kaip įvykio, priešingo įvykiui „nedega lemputė“, tikimybė, būtent: .
Iki šiol pateikta atvirame vieningo valstybinio egzamino matematikos uždavinių banke (mathege.ru), kurio sprendimas pagrįstas tik viena formule, kuri yra klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Lengviausias būdas suprasti formulę yra pavyzdžiai.
1 pavyzdys. Krepšelyje yra 9 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (nežiūrėdami) išimame vieną iš jų. Kokia tikimybė, kad tokiu būdu pasirinktas rutulys bus mėlynas?
komentuoti. Tikimybių teorijos uždaviniuose atsitinka kažkas (šiuo atveju mūsų veiksmas ištraukiant kamuolį), kas gali turėti kitokį rezultatą – rezultatą. Reikėtų pažymėti, kad į rezultatą galima žiūrėti įvairiai. „Mes ištraukėme kažkokį kamuolį“ taip pat yra rezultatas. „Mes ištraukėme mėlyną rutulį“ - rezultatas. „Iš visų įmanomų kamuoliukų ištraukėme būtent šį rutulį“ – toks mažiausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimybės apskaičiavimo formulėje reiškiami pagrindiniai rezultatai.
Sprendimas. Dabar apskaičiuokime tikimybę pasirinkti mėlyną rutulį.
Įvykis A: „pasirinktas rutulys pasirodė mėlynas“
Bendras visų galimų rezultatų skaičius: 9+3=12 (visų kamuoliukų, kuriuos galėtume ištraukti, skaičius)
A įvykiui palankių baigčių skaičius: 3 (tokių baigčių, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius, tai yra mėlynų kamuoliukų skaičius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25
Dėl tos pačios problemos apskaičiuokime tikimybę pasirinkti raudoną rutulį.
Bendras galimų baigčių skaičius išliks toks pat, 12. Palankių baigčių skaičius: 9. Ieškoma tikimybė: 9/12=3/4=0,75
Bet kurio įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais kasdienėje kalboje (bet ne tikimybių teorijoje!) įvykių tikimybė įvertinama procentais. Perėjimas tarp matematikos ir pokalbio balų pasiekiamas padauginus (arba padalijus) iš 100%.
Taigi,
Be to, įvykių, kurie negali įvykti, tikimybė yra lygi nuliui – neįtikėtina. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje tai būtų tikimybė ištraukti žalią kamuolį iš krepšio. (palankių rezultatų skaičius yra 0, P(A)=0/12=0, jei apskaičiuojama pagal formulę)
1 tikimybė turi įvykių, kurie tikrai įvyks, be parinkčių. Pavyzdžiui, tikimybė, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba mėlynas“, yra mūsų užduotis. (palankių rezultatų skaičius: 12, P(A) = 12/12 = 1)
Mes pažvelgėme į klasikinį pavyzdį, iliustruojantį tikimybės apibrėžimą. Visos panašios tikimybių teorijos vieningo valstybinio egzamino problemos sprendžiamos naudojant šią formulę.
Vietoj raudonų ir mėlynų kamuoliukų gali būti obuolių ir kriaušių, berniukų ir mergaičių, išmoktų ir neišmoktų bilietų, bilietų, kuriuose yra ir nėra klausimų tam tikra tema (prototipai,), brokuoti ir kokybiški krepšiai ar sodo siurbliai (prototipai). ,) – principas išlieka tas pats.
Jie šiek tiek skiriasi vieningo valstybinio egzamino tikimybių teorijos problemos formulavimu, kai reikia apskaičiuoti tam tikro įvykio tikimybę tam tikrą dieną. ( , ) Kaip ir ankstesnėse problemose, turite nustatyti, koks yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti tą pačią formulę.
2 pavyzdys. Konferencija trunka tris dienas. Pirmą ir antrą dieną kalbėtojų yra 15, trečią dieną - 20. Kokia tikimybė, kad profesoriaus M. pranešimas kris trečią dieną, jei pranešimų eilė nustatoma burtų keliu?
Koks čia elementarus rezultatas? – Profesoriaus pranešimui priskiriant vieną iš visų galimų kalbos eilės numerių. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 žmonių. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vieną iš 50 numerių. Tai reiškia, kad yra tik 50 pagrindinių rezultatų.
Kokie yra palankūs rezultatai? – Tos, kuriose paaiškėja, kad profesorius kalbės trečią dieną. Tai yra, paskutiniai 20 skaičių.
Pagal formulę tikimybė P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4
Burtų traukimas čia parodo atsitiktinio susirašinėjimo tarp žmonių ir užsakytų vietų užmezgimą. 2 pavyzdyje derinimas buvo svarstomas atsižvelgiant į tai, kurią iš vietų konkretus asmuo galėtų užimti. Tą pačią situaciją galite pažiūrėti iš kitos pusės: kuris iš žmonių su kokia tikimybe galėtų patekti į konkrečią vietą (prototipai , , , ):
3 pavyzdys. Burtai dalyvauja 5 vokiečiai, 8 prancūzai ir 3 estai. Kokia tikimybė, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus prancūzas.
Elementarių rezultatų skaičius yra visų galimų žmonių, kurie burtų keliu galėtų patekti į tam tikrą vietą, skaičius. 5+8+3=16 žmonių.
Palankūs rezultatai – prancūzų kalba. 8 žmonės.
Reikalinga tikimybė: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5
Prototipas šiek tiek skiriasi. Vis dar kyla problemų dėl monetų () ir kauliukų (), kurie yra šiek tiek kūrybiškesni. Šių problemų sprendimą galima rasti prototipų puslapiuose.
Štai keli monetos ar kauliuko metimo pavyzdžiai.
4 pavyzdys. Kai mes metame monetą, kokia tikimybė nusileisti ant galvų?
Yra 2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant jos krašto) Palankus rezultatas yra uodegos, 1.
Tikimybė 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.
5 pavyzdys. O jei mes du kartus monetą? Kokia tikimybė gauti galvą abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, į kokius elementarius rezultatus atsižvelgsime mesdami dvi monetas. Išmetus dvi monetas gali atsirasti vienas iš šių rezultatų:
1) PP – abu kartus iškilo galvos
2) PO – pirmą kartą vadovai, antrą kartą vadovai
3) OP – pirmą kartą galva, antrą kartą – uodega
4) OO – abu kartus iškilo galvos
Kitų variantų nėra. Tai reiškia, kad yra 4 pagrindiniai rezultatai. Tik pirmasis, 1, yra palankus.
Tikimybė: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25
Kokia tikimybė, kad du monetos metimai baigsis uodega?
Elementarių baigčių skaičius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir trečia, 2.
Tikimybė gauti vieną uodegą: 2/4=0,5
Esant tokioms problemoms, gali būti naudinga kita formulė.
Jei vienu monetos metimu turime 2 galimus rezultato variantus, tai dviejų metimų rezultatai bus 2 2 = 2 2 = 4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2 = 2 3 = 8, keturiais : 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16, ... už N ridenimo galimi rezultatai bus 2 · 2 ·... · 2 = 2 N .
Taigi, galite rasti tikimybę gauti 5 galvas iš 5 monetų išmetimo.
Bendras elementarių rezultatų skaičius: 2 5 =32.
Palankūs rezultatai: 1. (RRRRRR – galvos visi 5 kartus)
Tikimybė: 1/32=0,03125
Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi 6 rezultatai: 6 6 = 36, trims 6 6 6 = 216 ir tt.
6 pavyzdys. Metame kauliukus. Kokia tikimybė, kad bus išmestas lyginis skaičius?
Iš viso rezultatų: 6, atsižvelgiant į pusių skaičių.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimybė: 3/6=0,5
7 pavyzdys. Metame du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iš viso bus 10? (apvalinama iki artimiausios šimtosios dalies)
Vienam mirti yra 6 galimi rezultatai. Tai reiškia, kad dviem, pagal aukščiau pateiktą taisyklę, 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palankūs, kad bendras metimas būtų 10?
10 reikia išskaidyti į dviejų skaičių nuo 1 iki 6 sumą. Tai galima padaryti dviem būdais: 10=6+4 ir 10=5+5. Tai reiškia, kad kubeliams galimos šios parinktys:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
Viso, 3 variantai. Reikalinga tikimybė: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08
Kiti B6 problemų tipai bus aptariami būsimame straipsnyje Kaip išspręsti.
Dėmesys pretendentams!Čia aptariamos kelios USE užduotys. Likusieji, įdomesni, yra mūsų nemokamame vaizdo įraše. Žiūrėk ir daryk!
Pradėsime nuo paprastų problemų ir pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų.
Atsitiktinis Vadinamas įvykis, kurio negalima tiksliai numatyti iš anksto. Tai gali atsitikti arba ne.
Jūs laimėjote loterijoje – atsitiktinis įvykis. Pasikvietėte draugus švęsti savo laimėjimo, o pakeliui pas jus jie įstrigo lifte – taip pat atsitiktinis įvykis. Tiesa, meistras pasirodė esąs šalia ir per dešimt minučių išlaisvino visą kompaniją – ir tai galima laikyti laiminga avarija...
Mūsų gyvenimas pilnas atsitiktinių įvykių. Apie kiekvieną iš jų galime pasakyti, kad su kai kuriais taip nutiks tikimybė. Greičiausiai jūs intuityviai susipažinote su šia sąvoka. Dabar pateiksime matematinį tikimybės apibrėžimą.
Pradėkime nuo paprasčiausio pavyzdžio. Išverčiate monetą. Galvos ar uodegos?
Toks veiksmas, galintis sukelti vieną iš kelių rezultatų, vadinamas tikimybių teorija bandymas.
Galvos ir uodegos – galimos dvi rezultatas bandymai.
Galvos iškris vienu atveju iš dviejų galimų. Jie taip sako tikimybė kad moneta nusileis ant galvų yra .
Meskime kauliuką. Kauliukas turi šešias puses, taigi taip pat yra šeši galimi rezultatai.
Pavyzdžiui, norėjote, kad būtų rodomi trys taškai. Tai vienas iš šešių galimų rezultatų. Tikimybių teorijoje jis bus vadinamas palankus rezultatas.
Tikimybė gauti trejetą yra lygi (vienas palankus rezultatas iš šešių galimų).
Keturių tikimybė taip pat yra
Tačiau tikimybė, kad atsiras septynetas, yra lygi nuliui. Juk kube nėra krašto su septyniais taškais.
Įvykio tikimybė yra lygi palankių baigčių skaičiaus ir bendro baigčių skaičiaus santykiui.
Akivaizdu, kad tikimybė negali būti didesnė už vieną.
Štai dar vienas pavyzdys. Maišelyje yra obuolių, vieni raudoni, kiti žali. Obuoliai nesiskiria nei forma, nei dydžiu. Įkišate ranką į maišelį ir atsitiktinai išimate obuolį. Tikimybė nupiešti raudoną obuolį yra lygi , o tikimybė nupiešti žalią obuolį lygi .
Tikimybė gauti raudoną arba žalią obuolį yra lygi.
Panagrinėkime tikimybių teorijos problemas, įtrauktas į pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui rinkinius.
. Taksi įmonė šiuo metu turi nemokamų automobilių: raudonų, geltonų ir žalių. Į iškvietimą atsiliepė vienas iš arčiausiai kliento pasitaikiusių automobilių. Raskite tikimybę, kad pas ją atvažiuos geltonas taksi.
Automobilių yra iš viso, tai yra, vienas iš penkiolikos atvažiuos pas klientą. Geltonos yra devynios, o tai reiškia, kad tikimybė, kad atvažiuos geltonas automobilis, yra lygi , tai yra.
. (Demo versija) Visų bilietų biologijos bilietų kolekcijoje dviejuose iš jų yra klausimas apie grybus. Egzamino metu studentas gauna vieną atsitiktinai parinktą bilietą. Raskite tikimybę, kad šiame biliete nebus klausimo apie grybus.
Akivaizdu, kad tikimybė ištraukti bilietą nepaklausus apie grybus yra lygi , tai yra.
. Tėvelių komitetas nupirko dėlionių, skirtų dovanoms vaikams mokslo metų pabaigoje, tarp kurių buvo žinomų menininkų paveikslai ir gyvūnų atvaizdai. Dovanos dalijamos atsitiktine tvarka. Raskite tikimybę, kad Vovochka gaus galvosūkį su gyvūnu.
Problema išspręsta panašiai.
Atsakymas:.
. Gimnastikos čempionate dalyvauja sportininkai iš Rusijos, JAV, likusieji iš Kinijos. Gimnastų pasirodymo tvarka nustatoma burtų keliu. Raskite tikimybę, kad paskutinis sportininkas varžysis iš Kinijos.
Įsivaizduokime, kad visi sportininkai vienu metu priėjo prie kepurės ir ištraukė iš jos lapelius su skaičiais. Kai kurie iš jų gaus dvidešimties numerį. Tikimybė, kad Kinijos sportininkas jį ištrauks, yra lygi (nes sportininkai yra iš Kinijos). Atsakymas:.
. Mokinio buvo paprašyta įvardyti numerį nuo iki. Kokia tikimybė, kad jis įvardins skaičių, kuris yra penkių kartotinis?
Kas penktas skaičius iš šios aibės dalijasi iš . Tai reiškia, kad tikimybė yra lygi .
Metamas kauliukas. Raskite tikimybę gauti nelyginį taškų skaičių.
Nelyginiai skaičiai; - net. Nelyginio taškų skaičiaus tikimybė yra .
Atsakymas:.
. Moneta metama tris kartus. Kokia yra dviejų galvų ir vienos uodegos tikimybė?
Atkreipkite dėmesį, kad problemą galima suformuluoti skirtingai: vienu metu buvo išmestos trys monetos. Tai neturės įtakos sprendimui.
Kiek, jūsų manymu, yra galimų rezultatų?
Metame monetą. Šis veiksmas turi du galimus rezultatus: galvos ir uodegos.
Dvi monetos – jau keturi rezultatai:
Trys monetos? Teisingai, rezultatai, nuo .
Dvi galvos ir viena uodega pasirodo tris kartus iš aštuonių.
Atsakymas:.
. Atsitiktinio eksperimento metu metami du kauliukai. Raskite tikimybę, kad bendra suma bus taškai. Rezultatą suapvalinkite iki šimtųjų dalių.
Mes metame pirmąjį kauliuką – šeši rezultatai. Ir kiekvienam iš jų galimi dar šeši – kai metame antrą kauliuką.
Pastebime, kad šis veiksmas – dviejų kauliukų metimas – turi iš viso galimų rezultatų, nes .
O dabar – palankūs rezultatai:
Tikimybė gauti aštuonis taškus yra .
>. Šaulys į taikinį pataiko su tikimybe. Raskite tikimybę, kad jis pataikys į taikinį keturis kartus iš eilės.
Jei pataikymo tikimybė yra lygi, tada nepataikymo tikimybė yra . Mes samprotaujame taip pat, kaip ir ankstesnėje užduotyje. Dviejų smūgių iš eilės tikimybė yra lygi. Ir keturių smūgių iš eilės tikimybė yra lygi.
Tikimybė: brutalios jėgos logika.
Čia yra diagnostikos darbo problema, kuri daugeliui žmonių buvo sudėtinga.
Petya kišenėje turėjo monetų, kurių vertė buvo rubliai, ir monetų, kurių vertė buvo rubliai. Petja, nežiūrėdama, perdėjo keletą monetų į kitą kišenę. Raskite tikimybę, kad penkių rublių monetos dabar yra skirtingose kišenėse.
Žinome, kad įvykio tikimybė yra lygi palankių rezultatų skaičiaus ir bendro baigčių skaičiaus santykiui. Bet kaip apskaičiuoti visus šiuos rezultatus?
Žinoma, galite pažymėti penkių rublių monetas su skaičiais ir dešimties rublių monetas su skaičiais - tada suskaičiuokite, kiek būdų galite pasirinkti tris elementus iš rinkinio.
Tačiau yra paprastesnis sprendimas:
Monetas koduojame skaičiais: , (tai penkių rublių monetos), (tai dešimties rublių monetos). Dabar problemos sąlyga gali būti suformuluota taip:
Yra šeši lustai su skaičiais nuo iki . Keliais būdais juos galima vienodai paskirstyti į dvi kišenes, kad lustai su skaičiais neatsidurtų kartu?
Užsirašykime, ką turime pirmoje kišenėje.
Norėdami tai padaryti, iš rinkinio sudarysime visus galimus derinius. Trijų lustų rinkinys bus triženklis skaičius. Akivaizdu, kad mūsų sąlygomis ir yra tas pats lustų rinkinys. Kad nieko nepraleistumėte ar nepasikartotume, atitinkamus triženklius skaičius išdėstome didėjančia tvarka:
Viskas! Peržiūrėjome visas įmanomas kombinacijas, pradedant nuo . Tęskime:
Visi galimi rezultatai.
Turime sąlygą – lustai su skaičiais neturi būti kartu. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, derinys mums netinka – tai reiškia, kad abu žetonai atsidūrė ne pirmoje, o antroje kišenėje. Mums palankūs rezultatai yra tie, kur yra arba tik, arba tik. Štai jie:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – visi palankūs rezultatai.
Tada reikalinga tikimybė yra lygi .
Kokios užduotys jūsų laukia vieningame valstybiniame matematikos egzamine?
Panagrinėkime vieną iš sudėtingų tikimybių teorijos problemų.
Norėdamas stoti į institutą „Kalbotyros“ specialybės studijoms, stojantysis Z. turi surinkti ne mažiau kaip 70 balų iš kiekvieno iš trijų dalykų – matematikos, rusų kalbos ir užsienio kalbos – vieningo valstybinio egzamino. Norint stoti į Komercijos specialybę, reikia surinkti bent 70 balų iš kiekvieno iš trijų dalykų – matematikos, rusų kalbos ir socialinių mokslų.
Tikimybė, kad pretendentas Z. gaus ne mažiau kaip 70 balų iš matematikos yra 0,6, iš rusų kalbos - 0,8, iš užsienio kalbos - 0,7 ir iš socialinių mokslų - 0,5.
Raskite tikimybę, kad Z. pavyks įstoti į bent vieną iš dviejų paminėtų specialybių.
Atkreipkite dėmesį, kad problema neklausia, ar stojantysis, vardu Z., vienu metu studijuos ir kalbotyrą, ir komerciją ir gaus du diplomus. Čia reikia rasti tikimybę, kad Z. pavyks įstoti bent į vieną iš šių dviejų specialybių – tai yra surinks reikiamą balų skaičių.
Norėdamas įstoti bent į vieną iš dviejų specialybių, Z. turi surinkti ne mažiau kaip 70 matematikos balų. Ir rusiškai. O taip pat – socialinių mokslų ar užsienio.
Tikimybė jam iš matematikos surinkti 70 balų yra 0,6.
Matematikos ir rusų kalbos balų surinkimo tikimybė yra 0,6 0,8.
Užsiimkime užsienio ir socialinėmis studijomis. Mums tinka tokie variantai, kai stojantysis yra surinkęs balų iš socialinių studijų, užsienio studijų ar abiejų. Variantas netinka, kai jis negavo balų nei kalboje, nei „visuomenėje“. Tai reiškia, kad tikimybė, kad socialinius mokslus ar užsienio kalbą išlaikys ne mažiau kaip 70 balų, lygi
1 – 0,5 0,3.
Dėl to tikimybė išlaikyti matematiką, rusų kalbą ir socialinius mokslus ar užsienio studijas yra vienoda
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Tai yra atsakymas.
Įvykio $A$ tikimybė yra $A$ palankių baigčių skaičiaus ir visų vienodai galimų baigčių skaičiaus santykis
$P(A)=(m)/(n)$, kur $n$ – bendras galimų baigčių skaičius, o $m$ – įvykiui $A$ palankių rezultatų skaičius.
Įvykio tikimybė yra skaičius iš segmento $$
Taksi įmonė turi 50 USD automobilių sandėlyje. $35 $ iš jų yra juodos spalvos, likusi dalis yra geltonos spalvos.
Raskite tikimybę, kad geltonas automobilis atsilieps į atsitiktinį skambutį.
Raskime geltonų automobilių skaičių:
Iš viso yra 50 USD automobilių, tai yra, vienas iš penkiasdešimties atsilieps į skambutį. Geltonos spalvos automobiliai kainuoja 15 USD, todėl tikimybė, kad atvažiuos geltonas automobilis, yra $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3 USD
Atsakymas: 0,3 USD
Priešingi įvykiai
Du įvykiai vadinami priešingais, jei tam tikrame teste jie yra nesuderinami ir vienas iš jų būtinai įvyksta. Priešingų įvykių tikimybės sudaro 1. Įvykis, priešingas įvykiui $A$, rašomas $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Nepriklausomi renginiai
Du įvykiai $A$ ir $B$ vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Kitu atveju įvykiai vadinami priklausomais.
Dviejų nepriklausomų įvykių $A$ ir $B$ sandaugos tikimybė yra lygi šių tikimybių sandaugai:
Ivanas Ivanovičius nusipirko du skirtingus loterijos bilietus. Tikimybė laimėti pirmąjį loterijos bilietą yra 0,15 USD. Tikimybė, kad laimės antrasis loterijos bilietas, yra 0,12 USD. Ivanas Ivanovičius dalyvauja abiejuose burtuose. Darant prielaidą, kad lygiosios vyksta nepriklausomai vienas nuo kito, suraskite tikimybę, kad Ivanas Ivanovičius laimės abiejose lygiosiose.
Tikimybė $P(A)$ – laimės pirmasis bilietas.
Tikimybė $P(B)$ – laimės antrasis bilietas.
Renginiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi įvykiai. Tai yra, norėdami rasti tikimybę, kad įvyks abu įvykiai, turite rasti tikimybių sandaugą
Dviejų nepriklausomų įvykių $A$ ir $B$ sandaugos tikimybė yra lygi šių tikimybių sandaugai:
$Р=0,15·0,12=0,018 $
Atsakymas: 0,018 USD
Nesuderinami įvykiai
Du įvykiai $A$ ir $B$ vadinami nesuderinamais, jei nėra įvykiams $A$ ir $B$ palankių rezultatų. (Įvykiai, kurie negali vykti vienu metu)
Dviejų nesuderinamų įvykių $A$ ir $B$ sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
Algebros egzamino metu studentas gauna vieną klausimą iš visų egzamino klausimų. Tikimybė, kad tai yra kvadratinių lygčių klausimas, yra 0,3 USD. Tikimybė, kad tai yra neracionalių lygčių klausimas, yra 0,18 USD. Nėra klausimų, kurie vienu metu būtų susiję su šiomis dviem temomis. Raskite tikimybę, kad studentas egzamino metu gaus klausimą viena iš šių dviejų temų.
Šie įvykiai vadinami nesuderinamais, nes studentas gaus klausimą ARBA tema „Kvadratinės lygtys“, ARBA tema „Iracionalios lygtys“. Temų negalima rasti vienu metu. Dviejų nesuderinamų įvykių $A$ ir $B$ sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3 + 0,18 = 0,48 $
Atsakymas: 0,48 USD
Bendri renginiai
Du įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta galimybės įvykti kito tame pačiame tyrime. Priešingu atveju įvykiai vadinami nesuderinamais.
Dviejų bendrų įvykių $A$ ir $B$ sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, atėmus jų sandaugos tikimybę:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
Kino salėje du identiški aparatai parduoda kavą. Tikimybė, kad kavos aparate baigsis iki dienos pabaigos, yra 0,6 USD. Tikimybė, kad abiejuose aparatuose pritrūks kavos, yra 0,32 USD. Raskite tikimybę, kad iki dienos pabaigos bent viename iš aparatų pritrūks kavos.
Pažymėkime įvykius:
$A$ = kava baigsis pirmajame aparate,
$B$ = kava baigsis antrame aparate.
$A·B =$ kava baigsis abiejuose aparatuose,
$A + B =$ kava baigsis bent viename aparate.
Pagal sąlygą $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 USD.
Įvykiai $A$ ir $B$ yra jungtiniai, dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, sumažintai jų sandaugos tikimybe:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 - 0,32 = 0,88 $
