Kaip sudaryti kampus naudojant kompasą. Kaip sukurti kampą, lygų duotam

Konstravimo užduotyse apsvarstysime geometrinės figūros konstravimą, kurį galima atlikti naudojant liniuotę ir kompasą.

Naudodami liniuotę galite:

savavališka tiesi linija;

savavališka tiesė, einanti per nurodytą tašką;

tiesi linija, einanti per du duotus taškus.

Naudodami kompasą galite apibūdinti tam tikro spindulio apskritimą nuo nurodyto centro.

Naudodami kompasą galite nubrėžti atkarpą tam tikroje tiesėje nuo nurodyto taško.

Apsvarstykite pagrindines statybos užduotis.

1 užduotis. Sukurkite trikampį, kurio kraštinės yra a, b, c (1 pav.).

Sprendimas. Naudodami liniuotę nubrėžkite savavališką tiesią liniją ir paimkite ant jos savavališką tašką B Naudodami kompaso angą, lygią a, aprašome apskritimą, kurio centras B ir spindulys a. Tegul C yra jo susikirtimo su tiese taškas. Kai kompaso anga lygi c, aprašome apskritimą nuo centro B, o kai kompaso anga lygi b – apskritimą nuo centro C. Tegul A yra šių apskritimų susikirtimo taškas. Trikampio ABC kraštinės yra lygios a, b, c.

komentuoti. Kad trys tiesios atkarpos būtų trikampio kraštinės, būtina, kad didžiausia iš jų būtų mažesnė už kitų dviejų sumą (ir< b + с).

2 užduotis.

Sprendimas. Šis kampas su viršūne A ir spinduliu OM parodytas 2 paveiksle.

Nubrėžkime savavališką apskritimą, kurio centras yra nurodyto kampo viršūnėje A. Tegu B ir C yra apskritimo susikirtimo su kampo kraštinėmis taškai (3 pav., a). Spinduliu AB nubrėžiame apskritimą, kurio centras yra taške O - šio spindulio pradžios taškas (3 pav., b). Šio apskritimo susikirtimo su šiuo spinduliu tašką pažymėkime C 1 . Apibūdinkime apskritimą, kurio centras C 1 ir spindulys BC. Dviejų apskritimų susikirtimo taškas B 1 yra norimo kampo pusėje. Tai išplaukia iš lygybės Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (trečiasis trikampių lygybės ženklas).

3 užduotis. Sukurkite šio kampo pusiausvyrą (4 pav.).

Sprendimas. Iš tam tikro kampo viršūnės A, kaip ir iš centro, nubrėžiame savavališko spindulio apskritimą. Tegul B ir C yra jo susikirtimo su kampo kraštinėmis taškai. Iš taškų B ir C aprašome vienodo spindulio apskritimus. Tegul D yra jų susikirtimo taškas, kuris skiriasi nuo A. Spindulys AD dalija kampą A. Tai išplaukia iš lygybės Δ ABD = Δ ACD (trečiasis trikampių lygybės kriterijus).

4 užduotis. Nubrėžkite šiai atkarpai statmeną pusiausvyrą (5 pav.).

Sprendimas. Naudodami savavališką, bet identišką kompaso angą (didesnę nei 1/2 AB), aprašome du lankus su centrais taškuose A ir B, kurie susikirs kai kuriuose taškuose C ir D. Tiesi linija CD bus norima statmena. Iš tiesų, kaip matyti iš konstrukcijos, kiekvienas taškas C ir D yra vienodai nutolęs nuo A ir B; todėl šie taškai turi būti statmenoje atkarpai AB.

5 užduotis. Padalinkite šį segmentą per pusę. Jis sprendžiamas taip pat, kaip ir 4 uždavinys (žr. 5 pav.).

6 užduotis. Per nurodytą tašką nubrėžkite tiesę, statmeną nurodytai linijai.

Sprendimas. Galimi du atvejai:

1) duotas taškas O yra tam tikroje tiesėje a (6 pav.).

Iš taško O nubrėžiame savavališko spindulio apskritimą, kertantį tiesę a taškuose A ir B. Iš taškų A ir B nubrėžiame vienodo spindulio apskritimus. Tegul O 1 yra jų susikirtimo taškas, kuris skiriasi nuo O. Gauname OO 1 ⊥ AB. Tiesą sakant, taškai O ir O 1 yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų ir todėl yra ant šios atkarpos statmenos pusės.

Statant ar rengiant namų projektavimo projektus dažnai tenka pastatyti kampą, lygų esamam. Į pagalbą ateina šablonai ir mokyklos žinios apie geometriją.

Instrukcijos

• Kampą sudaro dvi tiesios linijos, kylančios iš vieno taško. Šis taškas bus vadinamas kampo viršūne, o linijos bus kampo kraštinės.
• Kampams pavaizduoti naudokite tris raides: vieną viršuje, dvi šonuose. Kampas įvardijamas pradedant raide, kuri stovi vienoje pusėje, tada raidė, kuri stovi viršūnėje, ir raidė kitoje pusėje. Jei norite kitaip, naudokite kitus kampų žymėjimo būdus. Kartais įvardijama tik viena raidė, kuri yra viršuje. Ir kampus galite žymėti graikiškomis raidėmis, pavyzdžiui, α, β, γ.
• Būna situacijų, kai reikia nubrėžti kampą, kad jis būtų lygus jau duotam kampui. Jei konstruojant piešinį nėra galimybės panaudoti transporterį, apsieiti galima tik su liniuote ir kompasu. Tarkime, tiesėje, brėžinyje pažymėtoje raidėmis MN, taške K reikia nubrėžti kampą, kad jis būtų lygus kampui B. Tai yra, nuo taško K reikia nubrėžti tiesią liniją, kuri sudaro kampas su tiese MN, kuris bus lygus kampui B.
• Pirmiausia pažymėkite tašką kiekvienoje nurodyto kampo pusėje, pavyzdžiui, taškus A ir C, tada sujunkite taškus C ir A tiesia linija. Gaukite trikampį ABC.
• Dabar tiesėje MN pastatykite tą patį trikampį taip, kad jo viršūnė B būtų tiesėje, esančiame taške K. Naudokite taisyklę trikampiui iš trijų kraštinių sudaryti. Atidėkite atkarpą KL nuo taško K. Jis turi būti lygus atkarpai BC. Gaukite L tašką.
• Iš taško K nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys lygus atkarpai BA. Iš L nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys CA. Sujunkite gautą dviejų apskritimų susikirtimo tašką (P) su K. Gaukite trikampį KPL, kuris bus lygus trikampiui ABC. Taip gausite kampą K. Jis bus lygus kampui B. Kad ši konstrukcija būtų patogesnė ir greitesnė, iš viršūnės B užveskite lygias atkarpas, naudodamiesi viena kompaso anga, nejudindami kojų, apibūdinkite apskritimą tokiu pačiu spinduliu. nuo taško K.

Neretai reikia nubrėžti („konstruoti“) kampą, kuris būtų lygus duotam kampui, o konstravimas turi būti atliktas be transporterio pagalbos, o naudojant tik kompasą ir liniuotę. Žinodami, kaip sukurti trikampį iš trijų pusių, galime išspręsti šią problemą. Tegul tai yra tiesia linija MN(60 ir 61 pav.) reikalaujama statyti taške K kampas lygus kampui B. Tai reiškia, kad tai būtina iš esmės K nubrėžkite tiesią liniją su komponentu MN kampas lygus B.

Norėdami tai padaryti, pažymėkite tašką, pavyzdžiui, kiekvienoje nurodyto kampo pusėje A Ir SU, ir prisijunkite A Ir SU tiesi linija. Gauname trikampį ABC. Dabar statykime tiesioje linijoje MNšis trikampis taip, kad jo viršūnė IN buvo taške KAM: tada šioje vietoje kampas bus lygus kampui IN. Sukurkite trikampį naudodami tris kraštines V. S., VA Ir ACžinome kaip: atidedame (62 pav.) iš taško KAM segmentas KL, lygus Saulė; gauname tašką L; aplinkui K, kaip arti centro, aprašome apskritimą su spinduliu VA, ir aplinkui L – spindulys SA. Visiškas sustojimas R apskritimų sankirtas sujungiame su KAM ir Z, gauname trikampį KPL, lygus trikampiui ABC; jame yra kampas KAM= ug. IN.

Ši konstrukcija atliekama greičiau ir patogiau, jei iš viršaus IN padėkite vienodus segmentus (vienu kompaso ištirpimu) ir, nejudindami jo kojų, apibūdinkite apskritimą aplink tašką tokiu pačiu spinduliu Į, kaip netoli centro.

Kaip padalinti kampą per pusę

Tarkime, kad turime padalinti kampą A(63 pav.) į dvi lygias dalis naudojant kompasą ir liniuotę, nenaudojant transporterio. Parodysime, kaip tai padaryti.

Iš viršaus A kampo šonuose uždėkite vienodus segmentus AB Ir AC(64 diagrama; tai daroma tiesiog ištirpinant kompasą). Tada mes dedame kompaso galiuką į taškus IN Ir SU ir apibūdinkite vienodo spindulio lankus, susikertančius taške D. Tiesus sujungimas A o D dalija kampą A per pusę.

Paaiškinkime, kodėl taip yra. Jei taškas D susieti su IN ir C (65 pav.), tada gausite du trikampius ADC Ir ADB, y kurios turi bendrą pusę AD; pusėje AB lygus šonui AC, A ВD lygus CD. Trikampiai yra lygūs iš trijų kraštinių, o tai reiškia, kad kampai yra lygūs. BLOGAI Ir DAC, gulinčios priešingose ​​lygiose pusėse ВD Ir CD. Todėl tiesiai AD padalija kampą TU per pusę.

Programos

12. Sukurkite 45° kampą be transporterio. 22°30’. 67°30'.

Sprendimas: Padalinę stačią kampą per pusę, gauname 45° kampą. Padalinę 45° kampą per pusę, gauname 22°30’ kampą. Sudarę kampų sumą 45° + 22°30’, gauname 67°30’ kampą.

Kaip sukurti trikampį naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų

Tarkime, kad jums reikia ant žemės sužinoti atstumą tarp dviejų etapų A Ir IN(Velnias 66), atskirtas nepraeinamos pelkės.

Kaip tai padaryti?

Galime taip: pasirinkti tašką toliau nuo pelkės SU, iš kur matomi abu etapai ir galima išmatuoti atstumus AC Ir Saulė. Kampas SU matuojame naudodami specialų goniometrinį prietaisą (vadinamą str o l b i e). Pagal šiuos duomenis, t.y., pagal išmatuotas puses A.C. Ir Saulė ir kampe SU tarp jų pastatykime trikampį ABC kur nors patogioje vietovėje taip. Pavyzdžiui, išmatavus vieną žinomą pusę tiesia linija (67 pav.). AC, statykite su juo taške SU kampe SU; kitoje šio kampo pusėje matuojama žinoma pusė Saulė.Žinomų kraštinių galai, t.y. taškai A Ir IN sujungta tiesia linija. Rezultatas yra trikampis, kurio dvi kraštinės ir kampas tarp jų turi iš anksto nurodytus matmenis.

Iš konstravimo būdo aišku, kad naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų galima sukonstruoti tik vieną trikampį. todėl jei vieno trikampio dvi kraštinės lygios dviem kito trikampio kraštinėms ir kampai tarp šių kraštinių yra vienodi, tai tokius trikampius vienas ant kito gali uždėti visi taškai, t.y. jų trečiosios kraštinės ir kiti kampai taip pat turi būti lygūs. Tai reiškia, kad dviejų trikampių kraštinių lygybė ir kampas tarp jų gali būti visiškos šių trikampių lygybės ženklas. Trumpai tariant:

Trikampiai yra vienodi iš abiejų pusių ir kampai tarp jų.

Pamokos tikslai:

• Gebėjimo analizuoti studijuojamą medžiagą formavimas ir jos taikymo sprendžiant problemas įgūdžiai;
• Parodykite tiriamų sąvokų reikšmę;
• Pažintinės veiklos ir savarankiškumo įgyjant žinias ugdymas;
• Ugdykite susidomėjimą šia tema ir grožio jausmą.

Pamokos tikslai:

• Ugdykite įgūdžius konstruoti kampą, lygų duotam, naudojant mastelio liniuotę, kompasą, transporterį ir piešimo trikampį.
• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.

Pamokos planas:

1. Kartojimas.
2. Kampo, lygaus duotajam, konstravimas.
3. Analizė.
4. Pirmiausia statybos pavyzdys.
5. Antras statybos pavyzdys.

Kartojimas.

Kampas.

Plokščias kampas- neribota geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų spindulių (kampo kraštinių), kylančių iš vieno taško (kampo viršūnės).

Kampu taip pat vadinama figūra, kurią sudaro visi tarp šių spindulių esantys plokštumos taškai (paprastai kalbant, du tokie spinduliai atitinka du kampus, nes padalija plokštumą į dvi dalis. Vienas iš šių kampų sutartinai vadinamas vidiniu, o kita – išorinė.
Kartais, siekiant trumpumo, kampas vadinamas kampiniu matu.

Yra visuotinai priimtas simbolis, nurodantis kampą: , kurį 1634 m. pasiūlė prancūzų matematikas Pierre'as Erigonas.

Kampas yra geometrinė figūra (1 pav.), sudaryta iš dviejų spindulių OA ir OB (kampo kraštinės), išeinančių iš vieno taško O (kampo viršūnės).

Kampas žymimas simboliu ir trimis raidėmis, nurodančiomis spindulių galus ir kampo viršūnę: AOB (o viršūnės raidė yra vidurinė). Kampai matuojami spindulio OA sukimosi aplink viršūnę O dydžiu, kol spindulys OA pasislenka į padėtį OB. Yra du plačiai naudojami kampų matavimo vienetai: radianai ir laipsniai. Kampų radianinį matavimą žr. pastraipoje „Lanko ilgis“, taip pat skyriuje „Trigonometrija“.

Kampų matavimo laipsnių sistema.

Čia matavimo vienetas yra laipsnis (jo žymėjimas yra °) - tai spindulio pasukimas 1/360 viso apsisukimo. Taigi pilnas sijos apsisukimas yra 360 o. Vienas laipsnis padalintas į 60 minučių (simbolis ‘); vieną minutę – atitinkamai 60 sekundžių (pavadinimas “). 90° kampas (2 pav.) vadinamas dešiniuoju; kampas, mažesnis nei 90° (3 pav.), vadinamas ūminiu; didesnis nei 90° kampas (4 pav.) vadinamas buku.

Tiesios linijos, sudarančios stačią kampą, vadinamos viena kitai statmenomis. Jei tiesės AB ir MK yra statmenos, tai žymima: AB MK.

Kampo, lygaus duotajam, konstravimas.

Prieš pradėdami statyti ar spręsdami bet kokią problemą, nepriklausomai nuo temos, turite atlikti analizė. Supraskite, kas sakoma užduotyje, perskaitykite ją apgalvotai ir lėtai. Jei po pirmo karto kyla abejonių arba kažkas buvo neaišku ar aišku, bet ne iki galo, rekomenduojama perskaityti dar kartą. Jei atliekate užduotį klasėje, galite paklausti mokytojo. Priešingu atveju jūsų neteisingai suprastas uždavinys gali būti išspręstas neteisingai arba galite rasti tai, ko iš jūsų buvo reikalaujama, ir tai bus laikoma neteisinga ir turėsite ją atlikti iš naujo. Kalbant apie mane - Geriau skirti šiek tiek daugiau laiko užduočiai studijuoti, nei kartoti užduotį iš naujo.

Analizė.

Tegu a yra duotas spindulys su viršūne A, o kampas (ab) – norimas. A ir b spinduliuose atitinkamai parinksime taškus B ir C. Sujungę taškus B ir C, gauname trikampį ABC. Sutampančių trikampių atitinkami kampai yra lygūs, ir čia seka konstravimo metodas. Jei tam tikro kampo kraštinėse kokiu nors patogiu būdu pasirenkame taškus C ir B ir iš duoto spindulio į tam tikrą pusplokštumą sukonstruosime trikampį AB 1 C 1, lygų ABC (ir tai galima padaryti, jei žinome visos trikampio kraštinės), tada problema bus išspręsta.

Atliekant bet kokius konstrukcijos Būkite itin atidūs ir stenkitės kruopščiai atlikti visas konstrukcijas. Kadangi dėl bet kokių neatitikimų gali atsirasti tam tikrų klaidų, nukrypimų, dėl kurių atsakymas gali būti neteisingas. Ir jei tokio tipo užduotis bus atlikta pirmą kartą, klaidą bus labai sunku rasti ir ištaisyti.

Pirmiausia statybos pavyzdys.

Nubrėžkime apskritimą, kurio centras yra šio kampo viršūnėje. Tegul B ir C yra apskritimo ir kampo kraštinių susikirtimo taškai. Spinduliu AB nubrėžiame apskritimą, kurio centras yra taške A 1 – šio spindulio pradžios taške. Šio apskritimo susikirtimo su šiuo spinduliu tašką pažymėkime B 1 . Apibūdinkime apskritimą, kurio centras yra B 1 ir spindulys BC. Sukonstruotų apskritimų susikirtimo taškas C 1 nurodytoje pusplokštumoje yra norimo kampo pusėje.

Trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra lygūs iš trijų kraštinių. Kampai A ir A 1 yra atitinkami šių trikampių kampai. Todėl ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Siekiant didesnio aiškumo, galite išsamiau apsvarstyti tas pačias konstrukcijas.

Antras statybos pavyzdys.

Belieka užduotis taip pat nustatyti kampą nuo nurodytos pusės tiesės į tam tikrą pusę plokštumą, lygią tam tikram kampui.

Statyba.

1 veiksmas. Nubrėžkime apskritimą, kurio spindulys yra savavališkas ir kurio centrai yra nurodyto kampo viršūnėje A. Tegul B ir C yra apskritimo ir kampo kraštinių susikirtimo taškai. Ir nubrėžkime atkarpą BC.

2 veiksmas. Nubrėžkime AB spindulio apskritimą, kurio centras yra taške O – šios pustiesės pradžios taške. Apskritimo ir spindulio susikirtimo tašką pažymėkime B 1 .

3 veiksmas. Dabar aprašome apskritimą, kurio centras B 1 ir spindulys BC. Tegul taškas C 1 yra sudarytų apskritimų susikirtimas nurodytoje pusplokštumoje.

4 veiksmas. Nubrėžkime spindulį iš taško O per tašką C 1. Kampas C 1 OB 1 bus norimas.

Įrodymas.

Trikampiai ABC ir OB 1 C 1 yra lygiaverčiai trikampiai su atitinkamomis kraštinėmis. Ir todėl kampai CAB ir C 1 OB 1 yra lygūs.

Įdomus faktas:

Skaičiais.

Aplinkinio pasaulio objektuose visų pirma pastebite individualias jų savybes, kurios išskiria vieną objektą nuo kito.

Konkrečių, individualių savybių gausa užgožia bendras savybes, būdingas absoliučiai visiems objektams, todėl tokias savybes aptikti visada yra sunkiau.

Viena iš svarbiausių bendrųjų objektų savybių yra ta, kad visus objektus galima suskaičiuoti ir išmatuoti. Šią bendrąją objektų savybę atspindime skaičiaus sąvokoje.

Žmonės skaičiavimo procesą, tai yra skaičiaus sampratą, įsisavino labai lėtai, per šimtmečius, atkakliai kovodami už savo egzistavimą.

Norint skaičiuoti, reikia turėti ne tik objektus, kuriuos būtų galima suskaičiuoti, bet ir jau turėti galimybę abstrahuotis vertinant šiuos objektus nuo visų kitų jų savybių, išskyrus skaičių, ir šis gebėjimas yra ilgos istorinės raidos, pagrįstos patirtimi, rezultatas. .

Skaičiuoti skaičių pagalba kiekvienas žmogus dabar išmoksta nepastebimai vaikystėje, beveik tuo pačiu metu, kai pradeda kalbėti, tačiau šis mums pažįstamas skaičiavimas praėjo ilgą vystymosi kelią ir įgavo įvairias formas.

Buvo laikas, kai daiktams skaičiuoti buvo naudojami tik du skaitmenys: vienas ir du. Toliau plečiant skaičių sistemą, buvo įtrauktos žmogaus kūno dalys, pirmiausia pirštai, o jei tokių „skaičių“ neužteko, tai ir pagaliukai, akmenukai ir kiti dalykai.

N. N. Miklouho-Maclay savo knygoje "Kelionės" kalba apie juokingą skaičiavimo metodą, kurį naudoja Naujosios Gvinėjos vietiniai gyventojai:

Klausimai:

1. Apibrėžti kampą?
2. Kokie yra kampų tipai?
3. Kuo skiriasi skersmuo ir spindulys?

Naudotų šaltinių sąrašas:

1. Mazur K. I. „M. I. Skanavi redaguoto rinkinio pagrindinių matematikos varžybų uždavinių sprendimas“
2. Matematikos išprusimas. B.A. Kordemskis. Maskva.
3. L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas, E. G. Poznyakas, I. I. Yudina „Geometrija, 7 – 9: vadovėlis švietimo įstaigoms“

Pamokoje dirbo:

Levčenko V.S.

Poturnak S.A.

Galite iškelti klausimą apie šiuolaikinį švietimą, išsakyti idėją ar išspręsti aktualią problemą adresu Edukacinis forumas, kur tarptautiniu mastu susitinka šviežių minčių ir veiksmų švietimo taryba. Sukūrę dienoraštis, Jūs ne tik pagerinsite savo, kaip kompetentingo mokytojo, statusą, bet ir svariai prisidėsite prie ateities mokyklos kūrimo. Švietimo lyderių gildija atveria duris aukščiausio rango specialistams ir kviečia juos bendradarbiauti kuriant geriausias pasaulio mokyklas.