Kuri projekcijos plokštuma vadinama priekine plokštuma? Įvairios plokštumos padėtys erdvėje

Būdingas	Vizualus vaizdavimas	Diagrama
Priekinė plokštuma yra plokštuma, lygiagreti p 2 plokštumai. Ši plokštuma kerta plokštumą p 1, lygiagrečią OX ašiai, o plokštumą p 3 - išilgai tiesės, lygiagrečios OZ ašiai
Horizontalioji plokštuma yra plokštuma, lygiagreti projekcijos plokštumai p 1. Ši plokštuma kerta p 2 plokštumą, lygiagrečią OX ašiai, o p 3 plokštumą – lygiagrečią OU ašiai
Profilio plokštuma yra plokštuma, lygiagreti p 3 plokštumai. Ši plokštuma kerta projekcijos plokštumas p 1 ir p 2 išilgai tiesių, lygiagrečių Z ašiai

11. Nubraižykite jas pagrindines plokštumos linijas

12. Paaiškinkite, kokią santykinę padėtį gali užimti plokštuma ir tiesė, dvi plokštumos. Įvardykite santykinės padėties požymius. Apsvarstykite konstrukcijos pavyzdį sudėtingame brėžinyje.

Tiesi linija yra lygiagreti plokštumai, jei ji lygiagreti kuriai nors tiesei, esančiai šioje plokštumoje. Norint sukurti tokią tiesią liniją, reikia nurodyti bet kurią tiesę plokštumoje ir nubrėžti jai lygiagrečią reikiamą.

Ryžiai. 1.53 pav. 1.54 1.55 pav

Praleiskite tašką A(1.53 pav.) būtina nubrėžti tiesią liniją AB, lygiagrečiai plokštumai K, apibrėžtas trikampiu CDF. Norėdami tai padaryti, per priekinę taško projekciją A/ taškai A padarykime priekinę projekciją a/b/ norima tiesė, lygiagreti bet kurios plokštumoje esančios tiesės priekinei projekcijai R, pavyzdžiui, tiesus CD (a/b/!!s/d/). Per horizontalią projekciją A taškų A lygiagrečiai sd atlikti horizontalią projekciją oi norima tiesi linija AB (av11 sd). Tiesiai AB lygiagrečiai plokštumai R, duotas trikampiu CDF.

Iš visų galimų tiesės, kertančios plokštumą, padėčių pažymime atvejį, kai tiesė yra statmena plokštumai. Panagrinėkime tokios tiesės projekcijų savybes.

Ryžiai. 1.56 pav. 1.57

Tiesi linija yra statmena plokštumai(specialus linijos ir plokštumos susikirtimo atvejis) jei jis statmenas bet kuriai plokštumoje esančiai tiesei. Norint sukurti statmenos plokštumai bendroje padėtyje projekcijas, to neužtenka netransformavus projekcijų. Todėl įvedama papildoma sąlyga: tiesė yra statmena plokštumai, jei ji statmena dviem susikertančioms pagrindinėms tiesėms(statant projekcijas, naudojama stačiojo kampo projekcijos sąlyga). Šiuo atveju: statmens horizontalioji ir frontalioji projekcija yra statmenos atitinkamai horizontaliai horizontaliai projekcijai horizontaliai ir frontalinei duotosios bendrosios padėties plokštumos projekcijai (1.54 pav.). Nurodant plokštumą pėdsakais, statmens projekcijos yra statmenos, atitinkamai, frontalios priekiniam pėdsakui, horizontalios horizontaliam plokštumos pėdsakui (1.55 pav.).

Apsvarstykite tiesės susikirtimą su išsikišusia plokštuma tiesė, kertanti plokštumą, kai lėktuvas yra tam tikroje padėtyje.

Ant jos kaip tiesi projektuojama projekcijos plokštumai statmena plokštuma (projekcijos plokštuma). Šioje tiesėje (plokštumos projekcijoje) turi būti atitinkama projekcija taško, kuriame tam tikra tiesė kerta šią plokštumą (1.56 pav.).

1.56 paveiksle taško frontalioji projekcija KAM tiesios linijos sankirta AB su trikampiu СDE nustatomas jų priekinių projekcijų susikirtimo vietoje, nes trikampis СDEį priekinę plokštumą projektuojamas tiesios linijos pavidalu. Randame horizontalią tiesės susikirtimo su plokštuma taško projekciją (ji guli ant horizontalios tiesės projekcijos). Naudodamiesi konkuruojančių taškų metodu, nustatome linijos matomumą AB trikampio plokštumos atžvilgiu СDE horizontalioje projekcijos plokštumoje.

1.59 paveiksle pavaizduota horizontali projekcijos plokštuma P ir tiesi linija bendroje padėtyje AB. Nes lėktuvas R yra statmena horizontaliai projekcijų plokštumai, tada viskas, kas joje yra, projektuojama į horizontalią projekcijų plokštumą ant jo pėdsako, įskaitant jo susikirtimo su linija tašką AB. Vadinasi, kompleksiniame brėžinyje turime horizontalią tiesės ir plokštumos susikirtimo taško projekciją. R. Pagal tai, ar taškas priklauso tiesei, randame tiesės susikirtimo taško frontalią projekciją AB c plokštuma R. Nustatome linijos matomumą priekinėje projekcijų plokštumoje.

Ryžiai. 1.58 pav. 1.59

1.58 paveiksle parodytas išsamus tiesės susikirtimo taško projekcijų konstrukcijos brėžinys AB su horizontalia lygia plokštuma G.Priekiniai lėktuvo pėdsakai G yra jo priekinė projekcija. Plokštumos susikirtimo taško frontalioji projekcija G su tiesia linija AB bus nustatytas tiesės frontaliosios projekcijos ir plokštumos frontalinio pėdsako sankirtoje. Turėdami priekinę susikirtimo taško projekciją, randame linijos susikirtimo taško horizontaliąją projekciją AB su lėktuvu G.

1.57 paveiksle pavaizduota bendroji plokštuma, apibrėžta trikampiu CDE ir priekinė išsikišimo linija AB? susikertanti plokštuma taške K. Priekinė taško projekcija – k/ sutampa su taškais a/ Ir b/ . Norėdami sukurti horizontalią sankirtos taško projekciją, nubrėžkite per tašką K lėktuve CDE tiesioginis (pvz. 1-2 ). Sukonstruokime jos priekinę projekciją, o tada – horizontalią. Taškas K yra linijų susikirtimo taškas AB Ir 1-2. Tai yra esmė K kartu priklauso linijai AB o trikampio plokštuma ir todėl yra jų susikirtimo taškas.

Dviejų plokštumų susikirtimas dviejų plokštumų susikirtimo liniją lemia du taškai, kurių kiekvienas priklauso abiem plokštumoms, arba vienas taškas, priklausantis dviem plokštumoms, ir žinoma tiesės kryptis. Abiem atvejais užduotis yra rasti tašką, bendrą abiem plokštumoms.

Projektuojančių plokštumų sankirta. Dvi plokštumos gali būti lygiagrečios viena kitai arba susikirsti. Panagrinėkime plokštumų tarpusavio susikirtimo atvejus.

Tiesė, gauta susikirtus dviem plokštumoms, yra visiškai nulemta dviejų taškų, kurių kiekvienas priklauso abiem plokštumoms, todėl būtina ir pakanka rasti šiuos du taškus, priklausančius dviejų duotųjų plokštumų susikirtimo linijai.

Todėl bendruoju atveju, norint sukurti dviejų plokštumų susikirtimo liniją, reikia rasti bet kuriuos du taškus, kurių kiekvienas priklauso abiem plokštumoms. Šie taškai nustato plokštumų susikirtimo liniją. Norėdami rasti kiekvieną iš šių dviejų taškų, paprastai turite atlikti specialias konstrukcijas. Bet jei bent viena iš susikertančių plokštumų yra statmena (arba lygiagreti) bet kuriai projekcijos plokštumai, tada jų susikirtimo linijos projekcijos konstravimas yra supaprastintas.

Ryžiai. 1.60 pav. 1.61

Jei plokštumos apibrėžiamos pėdsakais, tai natūralu ieškoti taškų, nusakančių plokštumų susikirtimo liniją tų pačių plokštumų pėdsakų susikirtimo taškuose poromis: tiesė, einanti per šiuos taškus, yra bendra abiem plokštumoms, t.y. jų susikirtimo linija.

Panagrinėkime ypatingus vienos (arba abiejų) susikertančių plokštumų išsidėstymo atvejus.

Kompleksiniame brėžinyje (1.60 pav.) pavaizduotos horizontaliai projektuojančios plokštumos P Ir K. Tada jų susikirtimo linijos horizontalioji projekcija išsigimsta į tašką, o frontalioji – į tiesę, statmeną ašiai oi.

Kompleksiniame brėžinyje (1.61 pav.) pavaizduotos tam tikros padėties plokštumos: plokštuma R statmenai horizontaliai projekcijos plokštumai (horizontaliajai projekcijos plokštumai) ir plokštumai K- horizontali lygio plokštuma. Šiuo atveju jų susikirtimo linijos horizontali projekcija sutaps su horizontaliu plokštumos pėdsaku R, o frontalinis – su priekiniu plokštumos pėdsaku K.

Nurodant plokštumas su pėdsakais, nesunku nustatyti, kad šios plokštumos susikerta: jei susikerta bent viena to paties pavadinimo pėdsakų pora, tai plokštumos susikerta viena su kita.

Tai, kas išdėstyta pirmiau, taikoma plokštumoms, apibrėžtoms susikertančiais pėdsakais. Jei abi plokštumos turi pėdsakus horizontalioje ir priekinėje plokštumose, kurios yra lygiagrečios viena kitai, tada šios plokštumos gali būti lygiagrečios arba susikerta. Tokių plokštumų santykinę padėtį galima spręsti sukonstruojant trečiąją projekciją (trečią pėdsaką). Jei abiejų plokštumų pėdsakai trečiojoje projekcijoje taip pat lygiagretūs, tai plokštumos lygiagrečios viena kitai. Jei pėdsakai trečioje plokštumoje susikerta, tada erdvėje nurodytos plokštumos susikerta.

Kompleksiniame brėžinyje (1.62 pav.) pavaizduotos priekyje projektuojančios plokštumos, apibrėžtos trikampiu ABC Ir DEF. Susikirtimo tiesės projekcija frontalinėje projekcijų plokštumoje yra taškas, t.y. kadangi trikampiai yra statmeni frontalinei projekcijų plokštumai, tai jų susikirtimo linija taip pat statmena frontalinei projekcijų plokštumai. Todėl trikampių susikirtimo linijos horizontalioji projekcija ( 12 ) statmenai ašiai oi. Trikampio elementų matomumas horizontalioje projekcijos plokštumoje nustatomas naudojant konkuruojančius taškus (3,4).

Kompleksiniame brėžinyje (1.63 pav.) nurodytos dvi plokštumos: viena iš kurių yra trikampis ABC bendra padėtis, kita - trikampis DEF statmena frontalinei projekcijų plokštumai, t.y. esantis privačioje padėtyje (iš priekio išsikišęs). Trikampių susikirtimo linijos priekinė projekcija ( 1 / 2 / ) randamas remiantis bendraisiais taškais, vienu metu priklausančiais abiem trikampiams (viskas, kas yra priekiniame trikampyje DEF priekinėje projekcijoje atsiras tiesė - jos projekcija į priekinę plokštumą, įskaitant jos susikirtimo su trikampiu liniją ABC. Pagal susikirtimo taškų priklausymą trikampio kraštinėms ABC, randame trikampių susikirtimo linijos horizontaliąją projekciją. Naudodami konkuruojančių taškų metodą nustatome trikampio elementų matomumą horizontalioje projekcijos plokštumoje.

Ryžiai. 1.63 pav. 1.64

1.64 paveiksle parodytas dviejų plokštumų, apibrėžtų bendruoju trikampiu, kompleksinis brėžinys ABC ir horizontalios projekcijos plokštuma R, duotas pėdsakais. Nuo lėktuvo R– horizontaliai projektuojantis, tada viskas, kas jame yra, įskaitant jo susikirtimo su trikampio plokštuma liniją ABC, horizontalioje projekcijoje sutaps su jos

horizontalus takas. Šių plokštumų susikirtimo linijos frontalinę projekciją randame iš sąlygos, kad elemento taškai priklauso (šoninėms) plokštumai bendrojoje padėtyje.

Jei bendrosios padėties plokštumos nurodomos ne pėdsakais, tada, norint gauti plokštumų susikirtimo liniją, paeiliui randamas vieno trikampio kraštinės ir kito trikampio plokštumos susitikimo taškas. Jei bendroje padėtyje esančios plokštumos nėra apibrėžtos trikampiais, tai tokių plokštumų susikirtimo liniją galima rasti pakaitomis įvedant dvi pagalbines pjovimo plokštumas - projektuojančią (plokštoms apibrėžti trikampiais) arba lygiu visais kitais atvejais.

Bendrosios tiesės susikirtimas su bendrine plokštuma.Anksčiau buvo svarstomi plokštumų susikirtimo atvejai, kai viena iš jų išsikiša. Remdamiesi tuo, galime rasti bendrosios tiesės ir bendrosios plokštumos susikirtimo tašką, įvedę papildomą projektuojančią tarpinę plokštumą.

Prieš svarstydami bendrųjų plokštumų sankirtą, apsvarstykite bendrosios linijos susikirtimą su bendrine plokštuma.

Norėdami rasti tiesės ir plokštumos bendroje padėtyje susitikimo tašką, turite:

1) apjuoskite tiesę pagalbinėje projekcijos plokštumoje,

2) rasti duotosios ir pagalbinės plokštumos susikirtimo liniją,

Nustatykite bendrą tašką, kuris vienu metu priklauso dviem plokštumoms (tai yra jų susikirtimo linija) ir tiesei.

Ryžiai. 1.65 pav. 1.66

Ryžiai. 1.67 pav. 1.68

Kompleksiniame brėžinyje (1.65 pav.) pavaizduotas trikampis СDE bendra padėtis ir tiesi AB bendra pozicija. Norėdami rasti linijos susikirtimo su plokštuma tašką, sudarome tiesę AB K. Raskime sankirtos liniją ( 12 ) tarpininkavimo plokštuma K ir duota plokštuma СDE. Statant horizontalią sankirtos linijos projekciją, yra bendras taškas KAM, vienu metu priklausantis dviem plokštumoms ir duotai linijai AB. Iš taško priklausymo tiesei randame tiesės susikirtimo su duota plokštuma taško frontalią projekciją. Linijų elementų matomumas projekcijų plokštumose nustatomas naudojant konkuruojančius taškus.

1.66 paveiksle parodytas tiesės susikirtimo taško radimo pavyzdys AB, kuri yra horizontali linija (tiesė, lygiagreti horizontaliai projekcijų plokštumai) ir plokštuma R, bendra padėtis, pateikta pėdsakais. Norėdami rasti jų susikirtimo tašką, tiesią liniją AB yra horizontaliai išsikišusioje plokštumoje Q. Tada elkitės taip, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje.

Norėdami rasti horizontaliai išsikišančios linijos susitikimo tašką AB su plokštuma bendroje padėtyje (1.67 pav.), per tiesės susikirtimo su plokštuma tašką (jos horizontalioji projekcija sutampa su pačios tiesės horizontalia projekcija) nubrėžiame horizontalią liniją (t.y. surišame tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas su plokštuma R). Radę plokštumoje nubrėžtos horizontalios linijos frontalinę projekciją R, pažymėkite tiesės susikirtimo taško priekinę projekciją AB su lėktuvu R.

Norint rasti pėdsakais apibrėžtų bendrųjų plokštumų susikirtimo liniją, pakanka pažymėti du bendrus taškus, kurie vienu metu priklauso abiem plokštumoms. Tokie taškai yra jų pėdsakų susikirtimo taškai (1.68 pav.).

Norėdami rasti dviejų trikampių apibrėžtų bendrųjų plokštumų susikirtimo liniją (1.69 pav.), iš eilės randame tašką

vieno trikampio kraštinės susitikimas su kito trikampio plokštuma. Iš bet kurio trikampio paėmus bet kokias dvi kraštines, įtraukiant jas į tarpinių projektavimo plokštumas, randami du taškai, kurie vienu metu priklauso abiem trikampiams – jų susikirtimo linija.

1.69 paveiksle parodytas išsamus trikampių brėžinys ABC Ir DEF bendra pozicija. Norėdami rasti šių plokštumų susikirtimo liniją:

1. Sudarome vakarėlį Saulė trikampis ABCį priekinę plokštumą S(plokštumų pasirinkimas yra visiškai savavališkas).

2. Raskite plokštumos susikirtimo liniją S ir lėktuvai DEF – 12 .

3. Pažymėkite horizontalią susitikimo taško projekciją (dviejų trikampių bendrą tašką) KAM nuo sankryžos 12 ir Saulė ir raskite jos priekinę projekciją tiesės priekinėje projekcijoje Saulė.

4. Nubraižykite antrą pagalbinę projekcijos plokštumą K per šoną DF trikampis DEF.

5. Raskite plokštumos susikirtimo liniją K ir trikampis ABC – 3 4.

6. Pažymėkite taško horizontalią projekciją L, kuri yra vakarėlio susitikimo vieta DF su trikampio plokštuma ABC ir raskite jo priekinę projekciją.

7. To paties pavadinimo taškų jungiamosios projekcijos KAM Ir L. Prie L– trikampiais apibrėžtų bendrųjų plokštumų susikirtimo linija ABC Ir DEF.

8. Naudodamiesi konkuruojančių taškų metodu, nustatome trikampio elementų matomumą projekcijų plokštumose.

Kadangi tai galioja ir pagrindinėms lygiagrečių plokštumų tiesėms, tai galime teigti plokštumos lygiagrečios, jei jų to paties pavadinimo pėdsakai lygiagrečios(1.71 pav.).

1.72 paveiksle parodyta plokštumos, lygiagrečios duotajai ir einančios per tašką, konstrukcija A. Pirmuoju atveju per tašką A lygiagreti duotai plokštumai nubrėžiama tiesė (priekis). G. Taigi nubrėžiama plokštuma R kurioje yra tiesė, lygiagreti duotai plokštumai G ir lygiagrečiai jam. Antruoju atveju per tašką A plokštuma nubrėžiama pagrindinėmis tiesėmis, jei šios tiesės yra lygiagrečios duotai plokštumai G.

Viena kitai statmenos plokštumos. Jeigu vienoje plokštumoje yra

bent viena tiesė, statmena kitai plokštumai, tada tokia

plokštumos yra statmenos. 1.73 paveiksle pavaizduotos viena kitai statmenos plokštumos. 1.74 paveiksle parodyta plokštumos, statmenos nurodytai per tašką, konstrukcija A, naudojant statmenumo plokštumos tiesei (šiuo atveju pagrindinėms tiesėms) sąlygą.

Pirmuoju atveju per tašką A plokštumai statmena nubrėžiama frontalinė linija R, sukonstruotas jo horizontalus pėdsakas ir per jį nubrėžtas horizontalus plokštumos pėdsakas Q, statmenai horizontaliam plokštumos pėdsakui R. Per susidariusį išnykimo tašką Q X nubraižytas priekinis plokštumos pėdsakas K statmenai priekiniam plokštumos pėdsakui R.

Antruoju atveju trikampio plokštumoje brėžiamos horizontalios linijos BE ir priekyje B.F. ir per tam tikrą tašką A plokštumą apibrėžiame kertant tieses (pagrindines linijas), statmenas trikampio plokštumai. Norėdami tai padaryti, nubrėžiame tašką A horizontalus ir priekinis. Horizontali norimos plokštumos horizontalės projekcija ( N) braižome statmenai trikampio horizontalės horizontaliai projekcijai, naujos plokštumos priekinės dalies priekinę projekciją ( M) – statmena trikampio frontalo frontalinei projekcijai.

PLOKŠTUMO VAIZDAS KOMPLEKSINGAME BRĖŽINIAME

Plokštuma – tai paviršius, suformuotas judant tiesia linija, kuri juda lygiagrečiai sau išilgai fiksuotos krypties tiesės.

Plokštumos projekcijos sudėtingame brėžinyje skirsis priklausomai nuo to, kuo ji apibrėžta. Kaip žinoma iš geometrijos, plokštumą galima apibrėžti: a) trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje; b) tiesi linija ir taškas, esantis už šios tiesės; c) dvi susikertančios tiesės; d) dvi lygiagrečios tiesės.

Kompleksiniame brėžinyje (99 pav.) plokštumos projekcijos taip pat nurodytos šių elementų projekcijomis, pvz., 99 pav., a - trijų taškų A ir C projekcijomis, kurios nėra ant stulpelio. ta pati tiesi linija; pav. 99, b - tiesės BC ir taško A projekcijos, esančios ne šioje tiesėje; pav. 99, c - dviejų susikertančių linijų projekcijos; pav. 99, d dviejų lygiagrečių tiesių AB ir CD projekcijomis.

Fig. 100 plokštuma apibrėžiama tiesėmis, išilgai kurių ši plokštuma kerta projekcijos plokštumas. Tokios linijos vadinamos lėktuvo pėdsakų.
Duotos plokštumos P susikirtimo su horizontalia projekcijų plokštuma H linija vadinama plokštumos P horizontaliuoju pėdsaku ir žymima P n.
Plokštumos P susikirtimo su priekine projekcijų V plokštuma linija vadinama šios plokštumos frontaliu pėdsaku ir žymima P v.

Plokštumos P susikirtimo su projekcijų W profilio plokštuma linija vadinama šios plokštumos profilio pėdsaku ir žymima P w.

Plokštumos pėdsakai susikerta ant projekcijų ašių. Plokštumos pėdsakų susikirtimo su projekcinėmis ašimis taškai vadinami pėdsakų nykimo taškais. Šie taškai žymimi P x , P y ir P z .

Plokštumos P pėdsakų vieta kompleksiniame brėžinyje projekcijų ašių atžvilgiu lemia pačios plokštumos padėtį projekcinių plokštumų atžvilgiu. Pavyzdžiui, jei plokštuma P turi frontalinius ir profilinius pėdsakus P v ir P w lygiagrečiai Ox ir Oy ašims, tai tokia plokštuma lygiagreti plokštumai H ir vadinama horizontalia (101 pav., i). Plokštuma P su pėdsakais P n ir P w lygiagrečiai projekcijų Ox ir Oz ašims (101 pav.) vadinama frontalia, o plokštuma P su pėdsakais P v ir P n lygiagrečiomis projekcijų Oy ir Oz ašims. profilis (101 pav., c) .

Vadinamos horizontaliosios, frontalinės ir profilinės plokštumos, statmenos dviem projekcijų plokštumoms lygio plokštumos. Jeigu kompleksiniame brėžinyje niveliacinė plokštuma nurodoma ne pėdsakais, o kokia nors plokščia figūra, pavyzdžiui, trikampiu arba lygiagretainiu (101 pav., d, e, f), tai ši figūra projektuojama į vieną iš projekcinių plokštumų. be iškraipymų, o ant kitų dviejų projekcinių plokštumų – tiesių atkarpų pavidalu.

PROJEKTAVIMO PLOKŠTUMAI IR BENDROJI PLOKTUMA

Plokštumai H statmena plokštuma (102 pav., a) vadinama horizontaliai projektuojanti plokštuma.Šios plokštumos priekinis pėdsakas P v yra statmenas Ox ašiai, o horizontalus pėdsakas P n yra kampu Ox ašiai (sudėtinis brėžinys 102 pav., a)

Jei horizontaliai projektuojanti plokštuma apibrėžiama ne pėdsakais, o kokia nors figūra, pavyzdžiui, trikampiu ABC (102 pav., 6), tai šios plokštumos horizontalioji projekcija yra tiesi, o frontalinė ir profilinė projekcija – iškreipta. trikampio ABC vaizdas.

Priekinės projekcijos plokštuma vadinama plokštuma, statmena frontalinei projekcijų plokštumai (102 pav., c).

Horizontalus šios plokštumos pėdsakas yra statmenas Ox ašiai, o frontalinis – tam tikru kampu Ox ašiai (sudėtinis brėžinys 102 pav., c).

Nurodant frontalinės projekcijos plokštumą ne pėdsakais, o, pavyzdžiui, lygiagretainiu ABCD, tokios plokštumos frontalioji projekcija yra tiesi (102 pav., d), o lygiagretainis su iškraipymu projektuojamas į horizontalią ir profilio projekcinės plokštumos.

Profilio projektavimo plokštuma vadinama plokštuma, statmena plokštumai W (102 pav., d). Šios plokštumos pėdsakai P v ir P yra lygiagrečios Ox ašiai.

Nurodant profilio projektavimo plokštumą ne pėdsakais, o, pavyzdžiui, trikampiu ABC (102 pav., e), tokios plokštumos profilio projekcija yra tiesė. Plokštumos, statmenos dviem projekcinėms plokštumoms, kaip minėta, vadinamos lygiomis plokštumomis.

Jeigu plokštuma P nėra statmena nė vienai iš projekcijų plokštumų (102 pav., g), tai tokia plokštuma vadinama bendroji plokštuma. Visi trys

plokštumos P pėdsakai P v , P n ir P w yra pasvirę į projekcijų ašis.

Jeigu bendrosios padėties plokštuma apibrėžiama ne pėdsakais, o, pavyzdžiui, trikampiu ABC (102 pav., h), tai šis trikampis iškreiptai projektuojamas į plokštumas H, V ir W.

TAŠKO IR LINIJAS, ESANČIŲ PLOKŠTUME, PROJEKCIJOS

Jei tiesi linija yra plokštumoje, ji turi eiti per bet kuriuos du šiai plokštumai priklausančius taškus. Tokius du taškus galima paimti ant plokštumos pėdsakų – vieną horizontalioje, o kitą priekinėje pusėje. Kadangi tiesės ir plokštumos pėdsakai yra projekcijų plokštumose, tai plokštumai priklausantys tiesės pėdsakai turi būti ant šios plokštumos to paties pavadinimo pėdsakų (103 pav., a); , horizontalusis H tiesės pėdsakas yra ant horizontalaus plokštumos pėdsako, priekinis V tiesės - Pv plokštumos frontaliniame pėdsake (103 pav., b).

Norint nubrėžti bet kurią tiesią bendroje padėtyje sudėtingame plokštumos P brėžinyje, kurį suteikia pėdsakai, plokštumos pėdsakuose reikia pažymėti taškus v" arba laikyti juos norimos tiesės pėdsakais ( tiksliau, v“ – tiesės horizontalaus pėdsako frontalioji projekcija).

Numetę statmenus iš v" ir ant projekcijų x ašies, joje randame antrąsias tiesės pėdsakų projekcijas: v - horizontalioji tiesės priekinės linijos projekcija ir h" - priekinė projekcija. tiesios linijos horizontalaus pėdsako. Sujungę to paties pavadinimo pėdsakų, t.y. v"c h ir v c h, projekcijas tiesėmis, gauname dvi tiesės projekcijas, esančias bendrojoje plokštumoje P.

Labai dažnai plokštumoje reikia nubrėžti horizontalias ir priekines linijas, kurios vadinamos pagrindinėmis plokštumos arba lygio linijomis. Pagrindinės linijos padeda išspręsti daugelį projekcijos piešimo problemų.

Horizontalioji ir frontalioji turi tik po vieną pėdsaką dviejų plokštumų V ir H sistemoje (pavyzdžiui, horizontalė turi tik priekinį pėdsaką). Todėl, žinant vieną pagrindinės linijos pėdsaką, pagrindinės linijos projekcija atliekama anksčiau žinoma kryptimi. Šią horizontalės kryptį galima matyti iš Fig. 104, a, kur pavaizduota bendroji plokštuma ir ant jos esanti horizontali linija. Iš paveikslo matyti, kad horizontalioji horizontalės projekcija yra lygiagreti horizontaliam plokštumos pėdsakui.

Taigi, norint nubrėžti bet kurią horizontalią šioje plokštumoje kompleksiniame plokštumos P brėžinyje, reikia pažymėti tašką v" plokštumos pėdsake P v (104 pav., b) ir laikyti jį priekine plokštumos projekcija. priekinė horizontalės pėdsakas Tada per tašką v" lygiagrečiai X ašis nubrėžia tiesią liniją, kuri bus priekinė horizontalės projekcija.

Nuleidę statmeną nuo taško v" iki x ašies, gauname tašką v, kuris bus horizontali priekinio horizontalės pėdsako projekcija. Tiesi linija, nubrėžta iš taško v, lygiagreti P H plokštumos pėdsakui, yra horizontali norimos horizontalės projekcija Frontalinės projekcijos konstrukcija parodyta 104 pav., c ir p.

11 s retai kada reikia brėžti horizontalias ir priekines linijas išsikišusiose plokštumose. Panagrinėkime, pavyzdžiui, horizontalios linijos konstravimą frontaliai išsikišusioje plokštumoje (105 pav.). Plokštumos P v pėdsake pažymime horizontalės frontalinio pėdsako frontalinę projekciją ir ašyje randame jos horizontaliąją projekciją v (105 pav., a). Tada per tašką nubrėžiame horizontaliosios linijos, lygiagrečios Pn, projekciją; priekinė horizontalės projekcija sutampa su tašku v".

Jei plokštuma apibrėžiama ne pėdsakais, o susikertančiomis arba lygiagrečiomis linijomis, tada šioje plokštumoje esančių horizontalių arba priekinių projekcijų konstravimas atliekamas taip.

Plokštumą apibrėžia dvi lygiagrečios tiesės AB ir CD (105, 6 pav.). Norėdami sukurti horizontalią liniją, esančią šioje plokštumoje, nubrėžiame priekinę horizontalės projekciją lygiagrečiai x ašiai ir pažymime horizontalės priekinės projekcijos sankirtos su lygiagrečių tiesių priekinėmis projekcijomis taškus e" ir f" kurie apibrėžia plokštumą. Per taškus e" ir f" brėžiame vertikalias ryšio linijas, kol jos susikerta su ab ir cd taškuose e ir f. Taškus e ir f sujungiame tiesia linija, kuri bus horizontali horizontaliosios linijos projekcija.

Jei reikia rasti plokštumos, apibrėžtos susikertančiomis arba lygiagrečiomis tiesėmis, pėdsakus, reikia rasti šių tiesių pėdsakus ir per gautus taškus nubrėžti norimus plokštumos pėdsakus.

Panagrinėkime kompleksinį lygiagretainio ABCD brėžinį (106 pav., a), kuris apibrėžia tam tikrą plokštumą X. Atkarpa DC yra plokštumoje H, todėl jos horizontalioji projekcija dc yra horizontalioji plokštumos pėdsakas (tiksliau. , plokštumos horizontaliojo pėdsako horizontalioji projekcija).

Norint rasti šios plokštumos frontalinį pėdsaką, reikia tęsti horizontalią tiesės DC projekciją dc, kol ji susikirs su x ašimi taške P x, per kurį turi praeiti norimas frontalinis plokštumos pėdsakas.

Antrasis taškas v", per kurį praeis norimas frontalinis plokštumos pėdsakas, yra tiesės AB frontalinis pėdsakas (frontalinė projekcija). Tiesės AB frontalinę projekciją randame tęsdami horizontalią tiesės AB projekcija ab, kol ji susikirs su x ašimi taške v, o tai bus norimos tiesės AB frontalinės pėdsako horizontalioji projekcija į x ašį, jos susikirtimo taške v" su priekinės projekcijos tęsiniu a" tiese AB. Sujungę taškus P x su v", randame plokštumos frontalinį pėdsaką P v.

Tokios problemos sprendimo pavyzdys parodytas 106 pav., b.

Dažnai sudėtinguose brėžiniuose reikia išspręsti šią problemą: naudojant vieną iš nurodytų taško, esančio tam tikroje plokštumoje, projekcijų, nustatyti dvi kitas taško projekcijas. Problemos sprendimo procesas yra toks.

Per nurodytą taško projekciją, pavyzdžiui, taško N priekinę projekciją n", esančios trikampio ABC plokštumoje (107 pav.), nubrėžiame tą pačią bet kurios krypties pagalbinės tiesės projekciją, pvz., m. "к".

Horizontali plokštuma vadinama tiese, priklausančia šiai plokštumai ir lygiagrečia horizontaliai projekcijų H plokštumai.

Sukonstruojame dar vieną projekciją m iki pagalbinės tiesės. Norėdami tai padaryti, per taškus m" ir k" nubrėžiame vertikalias ryšio linijas, kol jos susikerta su linijomis ac ir saulė. Iš taško n" brėžiame jungties liniją, kol ji susikerta su projekcija mк norimame taške n.

Profilio projekciją n" randame pagal bendrąsias projekcijos taisykles.

Siekiant supaprastinti konstrukciją, horizontalios arba priekinės linijos dažnai naudojamos kaip pagalbinė tiesi linija.

Norint rasti bet kurį plokštumos P tašką, pavyzdžiui, tašką A (108 pav., a ir b), reikia rasti jo projekcijas a" ir a, kurios yra tose pačiose per šį tašką einančios horizontalios linijos projekcijose. Horizontali linija Av" nubrėžta per tašką A. .

Nubrėžiame horizontalias projekcijas: priekinę - per v" lygiagrečiai x ašiai, horizontalią - per v lygiagrečiai pėdsakui P ir plokštumai P. Ant priekinės horizontalės projekcijos nubrėžiame norimo taško frontalinę projekciją a" ir, nubrėždami vertikalią jungties liniją, nustatykite taško A horizontaliąją projekciją a.

Jei taškas yra išsikišimo plokštumoje, tada jo projekcijų konstrukcija supaprastinama. Šiuo atveju viena iš taško projekcijų visada yra ant plokštumos pėdsako (tiksliau, jos projekcijoje). Pavyzdžiui, taško A horizontalioji projekcija a, esanti horizontaliai išsikišusioje plokštumoje P, yra horizontalioje plokštumos horizontaliojo pėdsako projekcijoje (108 pav., c ir d)

Atsižvelgiant į horizontaliai projektuojančioje plokštumoje esančią taško A frontalią projekciją a", antrąją šio taško projekciją (horizontalią) galima rasti be pagalbinės tiesės, nubrėžus jungties liniją per a" tol, kol ji susikerta su pėdsaku PH.

Jei taškas yra priekinėje projektavimo plokštumoje P (108 pav., e ir f), tai jo frontalioji projekcija a" yra plokštumos P frontalinėje trajektorijoje X v.

PLOKŠČIŲJŲ FIGŪRŲ PROJEKCIJOS

Žinodami tiesių linijų ir taškų, esančių plokštumoje, projekcijų konstrukciją, galite sudaryti bet kokios plokščios figūros, pavyzdžiui, stačiakampio, trikampio, apskritimo, projekcijas.

Kaip žinote, kiekviena plokščia figūra yra apribota tiesių arba lenktų linijų segmentais, kuriuos galima sudaryti iš taškų.

Tiesių linijų (trikampio ir daugiakampio) apribotos figūros projekcijos sudaromos taškais (viršūnėmis). Tada to paties pavadinimo viršūnių projekcijos sujungiamos tiesiomis linijomis ir gaunamos figūrų projekcijos.

Apskritimo ar kitos kreivinės figūros projekcijos sudaromos naudojant kelis taškus, kurie paimami tolygiai išilgai figūros kontūro. To paties pavadinimo taškų projekcijos yra sujungtos lygia kreive išilgai modelio.

Plokščios figūros projekcijos konstruojamos įvairiai, priklausomai nuo figūros padėties projekcijų plokštumų atžvilgiu ir Lengviausia konstruoti figūros, esančios lygiagrečiai H ir V plokštumoms, projekcijas. sunkiau - kai figūra yra išsikišimo plokštumoje arba bendrosios padėties plokštumoje.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Jeigu trikampis ABC yra plokštumoje, lygiagrečioje plokštumai H (109 pav., a), tai šio trikampio horizontalioji projekcija bus tikrasis jo vaizdas, o frontalioji projekcija – tiesi atkarpa, lygiagreti x ašiai. Sudėtinis trikampio ABC brėžinys parodytas Fig. 109, 6. Tokį trikampį galima pamatyti srieginės frezos vaizde (109 pav., c), kurios priekinis kraštas yra trikampis.

Trapecija ABCD yra priekinėje plokštumoje (110 pav., a). Priekinė trapecijos projekcija yra tiesi atkarpa, o horizontalioji – trapecija (110 pav., b)

Pjovimo frezos (110 pav., c) galinis kraštas yra trapecijos formos.

Žvelgiant į plokštumą, lygiagrečią horizontaliai, frontalinei arba profilinei projekcijų plokštumai (lygioji plokštuma), galima pastebėti, kad bet kuri šioje plokštumoje esanti figūra turi vieną iš projekcijų, kuri atspindi tikrąją šios figūros išvaizdą; antroji ir trečioji figūros projekcijos sutampa su šios plokštumos pėdsakais.

Atsižvelgdami į projektavimo plokštumą, pastebime, kad bet kuris taškas, tiesios ar kreivinės linijos atkarpa, taip pat figūros, esančios projektavimo plokštumoje, turi vieną projekciją, esančią šios plokštumos pėdsakuose. Pavyzdžiui, jei apskritimas guli ant frontaliai projektuojančios plokštumos P (111 pav.), tai priekinė apskritimo projekcija sutampa su plokštumos P frontaliu pėdsaku Pv. Kitos dvi apskritimo projekcijos yra iškraipytos ir vaizduoja elipses. Elipsių didžiosios ašys lygios apskritimo skersmens projekcijoms 37. Mažosios elipsių ašys lygios apskritimo 15 skersmens projekcijoms, statmenoms skersmeniui 37.

Fig. 111.6 parodyta vamzdžio alkūnė su dviem flanšais. Horizontali apatinio flanšo, esančio horizontalioje plokštumoje, kontūro projekcija bus tikroji apskritimo išvaizda. Horizontali viršutinio flanšo kontūro projekcija bus pavaizduota kaip elipsė.

SANTYKINĖ PLOKŠTUMŲ PADĖTIS

Abi plokštumos gali būti lygiagrečios arba susikertančios.

Iš stereometrijos žinoma, kad jei dvi lygiagrečios plokštumos kerta bet kurią trečiąją plokštumą, tai šių plokštumų susikirtimo linijos yra lygiagrečios viena kitai. Remiantis šia padėtimi, galime daryti išvadą, kad dviejų lygiagrečių plokštumų P ir Q to paties pavadinimo pėdsakai taip pat yra lygiagrečiai vienas kitam.

Jei pateiktos dvi profilio projektavimo plokštumos P ir K (112 pav., a), tai jų priekinių ir horizontalių pėdsakų lygiagretumas kompleksiniame brėžinyje V ir H sistemoje nėra pakankamas, kad būtų galima nustatyti, ar šios plokštumos lygiagrečios, ar ne. . Tam reikia sukonstruoti jų profilio pėdsakus sistemoje V, H ir W (112 pav., b). Plokštumos P ir K bus lygiagrečios tik tuo atveju, jei jų profilio pėdsakai P w ir K w lygiagrečios.

Susikertančių plokštumų P ir Q to paties pavadinimo pėdsakai (112 pav., c) susikerta taškuose V ir H, kurie priklauso abiem plokštumoms, t.y., jų susikirtimo tiese. Kadangi šie taškai yra projekcinėse plokštumose, jie taip pat yra plokštumų susikirtimo linijos pėdsakai. Norint kompleksiniame brėžinyje sukonstruoti dviejų plokštumų P ir Q susikirtimo linijos projekcijas, nurodytas pėdsakais P v, P n ir Q v, Q h, reikia pažymėti plokštumų susikirtimo taškus. to paties pavadinimo plokštumos, t.y. taškai v" ir h (112 pav., d); taškas v" – norimos plokštumų P ir Q susikirtimo linijos frontalinio pėdsako frontalioji projekcija, h – horizontalioji projekcija. tos pačios linijos horizontalaus pėdsako. Numetę statmenis iš taškų v" ir h į x ašį, randame taškus v ir h". Sujungę to paties pavadinimo pėdsakų projekcijas su tiesėmis, t.y. taškais v" ir h", v ir h" gauname plokštumų P ir Q susikirtimo linijos projekcijas.

LĖKTUMUI PRIKLAUSIANTI TIESĖ

Norėdami tai padaryti, tęsiame atkarpos m"n" frontalinę projekciją, kol ji susikerta su atkarpomis a"b" ir c"d" (trikampio ABC kraštinių projekcijos), gauname taškus (113 pav., b). ).

Iš taškų e"k" brėžiame jungties linijas ant horizontalios projekcijos, kol jos susikerta su atkarpomis ab ir ca, gauname taškus ek. Tęskime tiesės atkarpos MN horizontalią projekciją mn, kol ji susikerta su kraštinių bа ir са projekcijomis, jei susikirtimo taškai sutampa su anksčiau gautais taškais e ir k, tai tiesė MN priklauso atkarpos plokštumai; trikampis.

TIESIOJO SANKRAIŠKA SU PLOKTUMU

Jei tiesė AB kertasi su plokštuma P, tai kompleksiniame brėžinyje jų susikirtimo taškas nustatomas taip.

Bet kuri pagalbinė plokštuma Q brėžiama per tiesę A B. Konstrukcijoms supaprastinti plokštuma Q paprastai laikoma projektuojančia (114 pav., a). Šiuo atveju per horizontalią tiesės AB projekciją ab nubrėžiama pagalbinė horizontaliai projektuojanti plokštuma Q, kuri tęsiasi tol, kol susikerta su x ašimi taške Q x. Nuo taško Q x iki ašies x statomas statmenas Q x Q y, kuris bus pagalbinės plokštumos Q priekinis pėdsakas Q v.

Pagalbinė plokštuma Q kerta duotąją plokštumą P išilgai tiesės VH, kurios pėdsakai yra plokštumų P ir Q pėdsakų sankirtoje. Pastebėję pėdsakų P v ir Q v susikirtimo taškus - tašką v" o pėdsakai Q n ir P H - taškas h, žemiau nuo šių taškų iki x ašis yra statmena, kurios pagrindai yra taškai v" ir h" - bus antrosios tiesės VH pėdsakų projekcijos taškus v" ir h", v ir h, gauname plokštumų susikirtimo linijos frontalinę ir horizontaliąją projekcijas.

Duotos tiesės AB ir rastos tiesės VH susikirtimo taškas M bus norimas tiesės AB susikirtimo taškas su plokštuma P. Šio taško frontalioji projekcija m" yra projekcijų a" sankirtoje. b" ir v"h". Taško M horizontalioji projekcija m randama nubrėžus vertikalią ryšio liniją nuo taško m" iki sankirtos su ab.

Jeigu plokštuma nurodoma ne pėdsakais, o plokščia figūra, pavyzdžiui, trikampiu (114 pav., 6), tai tiesės MN susikirtimo taškas su trikampio ABC plokštuma randamas taip.

Per tiesę MN nubrėžta pagalbinė frontalioji projekcijos plokštuma. Tam per taškus m" ir n" nubrėžiamas priekinis plokštumos P y pėdsakas, jis pratęsiamas iki x ašies, o nuo plokštumos P y pėdsako susikirtimo su x ašimi taško. , nuleistas statmenas P n, kuris bus horizontalus plokštumos P pėdsakas.

Tada raskite plokštumos P susikirtimo tiesę ED su nurodyto trikampio ABC plokštuma. Priekinė ED linijos projekcija e"d" sutampa su m"n". Horizontalioji projekcija ed randama brėžiant vertikalias jungties linijas iš taškų e" ir d", kol jos susitinka su trikampio ABC kraštinių ab ir ac projekcijomis. Taškai e ir d yra sujungti tiesia linija. Tiesės ED horizontalios projekcijos ed sankirtoje su horizontalia tiesės MN projekcija randama norimo taško K horizontalioji projekcija Nubrėžus vertikalią jungties liniją iš taško k, randama frontalioji projekcija k. Taškas K – norimas tiesės MK susikirtimo taškas su trikampio ABC plokštuma.

Konkrečiu atveju tiesė gali būti statmena plokštumai P. Iš sąlygos, kad tiesė yra statmena plokštumai, išplaukia, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem susikertančioms tiesioms, esančioms šioje plokštumoje (ypač šios tiesios linijos gali būti plokštumos pėdsakai). Tada tiesės AB projekcijos bus statmenos šios plokštumos to paties pavadinimo pėdsakams (115 pav., a) Frontalioji projekcija a "b" yra statmena frontaliniam pėdsakui P y, o horizontalioji projekcija ab - statmena iki horizontalaus pėdsako P n plokštumos P.

Jei plokštuma apibrėžiama lygiagrečiomis arba susikertančiomis tiesėmis, tai tiesės, statmenos šiai plokštumai, projekcijos bus statmenos horizontaliajai horizontaliajai projekcijai, o plokštumoje gulinčios frontalios frontalinei projekcijai.

Taigi, jei, pavyzdžiui, reikia nuleisti statmeną ant trikampio ABC apibrėžtos plokštumos, tada konstrukcija atliekama taip (115 pav., b).

Plokštumoje nubrėžta horizontali plokštuma CE ir frontalioji linija FA. Tada iš nurodytų taško D projekcijų d ir d" statmenai nuleidžiami atitinkamai į ce ir f"a Tiesi linija, nubrėžta iš taško D, bus statmena trikampio ABC plokštumai.

PLĖKTUMŲ SANKRAIŠKA

Uždavinius, susijusius su plokštumų, apibrėžtų susikertančiomis tiesėmis, susikirtimo linijos konstravimu, galima išspręsti panašiai kaip plokštumos susikirtimo su tiesėmis problemą. Fig. 116 parodyta trikampiais ABC ir DEF apibrėžtų plokštumų susikirtimo linijos konstrukcija. Tiesė MN sudaroma iš rastų trikampio DEF kraštinių DE ir EF susikirtimo taškų su trikampio ABC plokštuma.

Pavyzdžiui, norint rasti tašką M, per tiesę DF nubrėžiama frontaliai išsikišusi plokštuma P, kuri kertasi su trikampio ABC plokštuma išilgai tiesės 12. Per gautus taškus 1" ir 2" brėžiamos vertikalios sujungimo linijos, kol jos susikerta. su trikampio ABC kraštinių horizontaliomis projekcijomis ab ir ac taškuose 1 ir 2. Horizontaliųjų projekcijų df ir 12 sankirtoje gaunama norimo taško M horizontalioji projekcija m, kuri bus susikirtimo taškas. tiesė DF su plokštuma ABC. Tada randama taško M frontalioji projekcija m". Tiesės EF susikirtimo su plokštuma ABC taškas N randamas taip pat, kaip ir taškas M.

Poromis sujungus taškus m" ir n" bei m ir n, gaunamos ABC ir DEF plokštumų susikirtimo tiesių MN projekcijos.

Norėdami susidaryti idėją apie objektą, naudokite jo atvaizdą popieriuje ar ekrane. Paprastai objekto vaizdas iš vienos pusės nesuteikia viso supratimo apie jo formą, būtina gauti jo projekcijas į dvi ar tris plokštumas. Siekiant supaprastinti projekcijos procesą, plokštumos, kuriose vyksta projekcija, yra statmenos viena kitai. Pažiūrėkime, kokių tipų lėktuvai yra. Iš viso jų yra trys ir erdvėje jie sudaro trikampį stačią kampą.

Kiekviena projekcinė plokštuma turi savo pavadinimą ir raidžių žymėjimą. Priekinė plokštuma yra projekcinė plokštuma, esanti vertikaliai prieš mūsų akis. Aiškumo dėlei tai yra plokštuma, į kurią žiūrime, t.y. nagrinėjamo paveikslo plokštuma. Priekinė plokštuma žymima lotyniška raide V.

Horizontali plokštuma yra statmena priekinei. Vaizdžiai tariant, horizontali plokštuma yra plokštuma, kuri yra „po mūsų kojomis“. Paprastai jis žymimas raide H.

Trečioji iš pagrindinių projekcijos plokštumų vadinama profiliu. Kaip ir priekinė plokštuma, ji yra vertikaliai ir sudaro stačią kampą su dviem ankstesnėmis. Pažymėkite profilio plokštumą W.

Kai šios trys plokštumos susikerta poromis, susidaro projekcijų ašys x, y, z. statmeni spinduliai, turintys bendrą viršūnę visų trijų projekcijų plokštumų susikirtimo taške, žymimi O raide.

Norėdami gauti išsamų objekto vaizdą, turite sujungti jo atvaizdus, ​​gautus trijuose viena kitai statmenuose paviršiuose. Norėdami tai padaryti, du kampo kraštai pasukami ir sujungiami su trečiuoju. Priekinė plokštuma lieka vietoje, horizontalioji plokštuma pasisuka žemyn 90° išilgai x ašies, o profilio plokštuma pasisuka į dešinę 90° išilgai z ašies. Taigi paskutinės dvi plokštumos yra sujungtos su priekine (horizontalioji yra po ja, profilinė - dešinėje).

Aprašomojoje geometrijoje bet kuri savavališkai išsidėsčiusi plokštuma brėžinyje gali būti nurodyta įvairiais būdais: trijų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, projekcijomis, tiesės ir už jos ribų esančio taško projekcija, taip pat lygiagrečių arba susikertančių tiesių arba plokščios figūros projekcijomis.

Palyginti su pagrindinėmis projekcinėmis plokštumomis, nagrinėjama plokštuma gali užimti šias pozicijas:

1. Jis negali būti statmenas nė vienam iš jų. Tada tai yra vadinamasis bendroji plokštuma.

2. Gali būti statmena vienai iš trijų projekcinių plokštumų. Šiuo atveju, pagal plokštumą, kuriai jis yra statmenas, jis vadinamas horizontaliuoju projektavimu, profiliniu projektavimu arba priekiniu projektavimu.

3. Plokštuma gali būti statmena dviem iš jų ir lygiagreti trečiajai. Tada jis vadinamas atitinkamai priekine, horizontalia arba profiliu.

Tiesi linija plokštumos atžvilgiu gali užimti šias pozicijas:

1. Priklauso jai.

2. Būkite lygiagrečiai su juo.

3. Sankirkite plokštumą (ypatingu atveju - statmena)

Plokštuma turi pagrindines linijas, kurios vadinamos horizontalėmis ir frontais. Tai tiesios linijos, esančios plokštumoje ir lygiagrečios atitinkamoms projekcijų plokštumoms.

Bet koks lėktuvas gali būti pavaizduotas kaip vadinamasis. plokštumos pėdsakai, tai yra tiesės, išilgai kurių ji kertasi su projekcinėmis plokštumomis. Plokštumos pėdsakai taip pat vadinami horizontaliais, priekiniais ir profiliais. Tose vietose, kur projekcinės ašys susikerta su plokštuma, ant ašių atsiranda tam tikros plokštumos pėdsakų tarpusavio susikirtimo taškai, kurie dažniausiai vadinami plokštumos pėdsakų nykstančiaisiais taškais.

Horizontalūs ir priekiniai plokštumos pėdsakai projekcijų plokštumose sutampa su jų to paties pavadinimo projekcijomis. Taip pat reikėtų paminėti, kad bet kurios tos pačios plokštumos horizontalės yra lygiagrečios ir lygiagrečios jos horizontaliajam pėdsakui, o bet kurios jos priekinės dalys taip pat yra lygiagrečios ir lygiagrečios jos priekiniam pėdsakui.

Lėktuvas

Plokštumą apibrėžiantys elementai

Plokštuma erdvėje nustatoma pagal:

1) trys taškai (schemoje kiekvieną tašką lemia bent dvi jo projekcijos (48 pav.));

2) tiesė ir taškas už jos ribų (49 pav.). Savo ruožtu tiesią erdvę erdvėje apibrėžia du taškai. Taigi galimybė pereiti nuo 2 užduoties prie 1 užduoties);

Ryžiai. 48 pav. 49

3) dvi susikertančios tiesės (50 pav.). Palyginkite su 1) ir 2 užduotimis);

Ryžiai. 50 pav. 51

4) dvi lygiagrečios tiesės (51 pav.). Palyginkite su 1), 2), 3);

5) bet kokia plokščia figūra (52 pav.).

Ryžiai. 52

Įvairios plokštumos padėtys erdvėje

Lygiosios plokštumos

1. Horizontali plokštuma arba horizontali lygio plokštuma– tai w plokštuma lygiagreti horizontaliajai projekcijos plokštumai P 1 (53 pav.). Plokštumoje P 1 bet kurios plokštumos w figūros projektuojamos visu dydžiu, o P 2 ir P 3 plokštuma projektuojama į tieses w 2 ir w 3, kurios vadinamos išsigimusiomis plokštumos projekcijomis. Norėdami diagramoje nurodyti plokštumą w, pakanka vienos iš išsigimusių jos projekcijų, pavyzdžiui, w 2.

Ryžiai. 53

2. Priekinė plokštuma arba priekinio lygio plokštuma, tai plokštuma υ lygiagreti priekinei projekcijų plokštumai (54 pav.). Plokštumoje P 2 jis projektuojamas natūraliu dydžiu, o P 1 ir P 3 išsigimsta į tieses υ 1 ir υ 3.

Ryžiai. 54

3. Profilio plokštuma arba profilio lygio plokštuma– tai plokštuma γ, lygiagreti projekcijų P 3 profilio plokštumai (55 pav.). Plokštumoje P 3 jis projektuojamas natūraliu dydžiu, o P 1 ir P 2 išsigimsta į tieses γ 1, γ 2.

Tai plokštuma, lygiagreti priekinei projekcijų plokštumai: F || P 2(2-10a, 2-10b pav.).

Erdvinis piešinys

Plokščias piešinys

Lėktuvas F duota DABC, F- priekinė lygio plokštuma.

Þ F || P2; Ф1 ^ А 2 А 1 ; DАВС М Ф Þ А 1 В 1 С 1 = Ф 1 ; | A 2 B 2 C 2 | -natūralaus dydžio DABC

Grafinis ženklas:

Horizontali projekcija F 1 priekinė lygio plokštuma – tiesi linija, statmena ryšio linijoms sistemoje P 1 – P 2. tai - namo projekcija.

Specialios lėktuvo linijos.

Jei tiesė priklauso plokštumai ir joje užima kokią nors ypatingą vietą, tada ji vadinama speciali lėktuvo linija. Tai apima plokštumos lygio linijas: horizontalią, priekinę ir profilio tiesias, taip pat didžiausio plokštumos pasvirimo linijas.

Horizontali plokštuma

Tai tiesi linija, priklausanti plokštumai ir lygiagreti horizontaliai projekcijų plokštumai

G (a || b) Sukurti: h М Г; h || P 1

1. Vykdome h 2

1. Nes h tada priklauso lėktuvui h 1 1О a, 2О b). h 1-natūralaus dydžio h.

Statyba horizontaliai plokštumoje pradėkite nuo priekinės projekcijos h 2 P 2 – P 1. h 1

Jei plokštuma išsikiša frontaliai, tai tokios plokštumos horizontalė yra priekinė išsikišanti linija(2-12 pav.).

Г(a || b) ^^ П 2 ; hÌ G; h || P 1

Nuo lėktuvo G- priekyje projektuojantis, tada vienintelė tiesė tokioje plokštumoje, lygiagreti projekcijų plokštumai P 1- priekyje išsikišusi tiesi linija Þ h ^^ P 2

Priekinė plokštuma

Tai tiesi linija, priklausanti plokštumai ir lygiagreti priekinei projekcijų plokštumai

S (m Ç n) Sukurti: f М S; f || P 2

1. Elgesys f 1 statmenai ryšio linijoms.

2. Nuo to laiko f tada priklauso lėktuvui f 2 rasti pagal du taškus plokštumoje ( 1О m, 2О n).

Statyba priekinis plokštumoje pradėkite nuo horizontalios projekcijos f 1: jis visada yra statmenas sistemos ryšio linijoms P 2 – P 1. f 2 rastas priklausantis lėktuvui.

Tai yra gyvenimo dydis f.

Jei plokštuma išsikiša horizontaliai, tai tokios plokštumos priekis - horizontaliai išsikišusi linija(2-14 pav.).

S(m Ç n) ^^ П 1 ; f М S; f || P 2

Nuo lėktuvo S- horizontaliai projektuojantis, tada vienintelė tiesi linija tokioje plokštumoje, lygiagreti projekcijų plokštumai P 2- horizontaliai išsikišusi linija Þ f ^^ P 1 .

Didžiausio plokštumos pasvirimo linija

Tai tiesi linija, priklausanti plokštumai ir statmena vienai iš plokštumos lygio linijų. Su jo pagalba nustatomas tam tikros plokštumos pasvirimo kampas į vieną iš projekcinių plokštumų. Susitarkime dėl didžiausio plokštumos polinkio į P 1 pažymėti raide g, Kam P 2- laiškas e.

Didžiausio plokštumos pasvirimo į horizontalią projekcijų plokštumą linija vadinama nuolydžio linija(2-15 pav.). Iš fizikos žinoma, kad rutulys, paleidžiamas iš rankos taške A, riedės lėktuve F palei šlaito liniją g, statmenai m- plokštumų susikirtimo linijos F Ir P 1.

Leiskite mums išsamiai apsvarstyti šios linijos konstrukciją naudodami konkretų pavyzdį.

Užduotis: Nustatykite plokštumos pasvirimo kampą Fį horizontalią projekcijos plokštumą

Erdvinis modelis.

Dvikampio kampo matas yra tiesinis kampas. Todėl turime nustatyti kampą tarp tiesės g, statmenai m(plokštumų susikirtimo linijos F Ir P 1) ir jo horizontaliąją projekciją g 1(2-17 pav.).

Tačiau plokščiuose brėžiniuose dažniausiai nėra nurodytų plokštumų susikirtimo su projekcinėmis plokštumomis linijų. Todėl nubrėžti liniją g lėktuve F paimkime horizontalią liniją šioje plokštumoje h(2-18 pav.).

Tai bus lygiagreti m, nes m = Ф Ç П 1, A h || P 1.

Nes g^m, A h || m, Tai g^h .

Projektuokime hįjungta P 1, gauname h 1(2-19 pav.). Nes h || m,mo h 1 || m 1.

Pagal stačiojo kampo projekcijos teoremą (stačiakampės projekcijos savybę 2), jei g^h, mo g 1 ^ h 1. Vykdome g 1(2-20 pav.).

Kampas a tarp g u g 1 FĮ P 1.

Taigi plokštumos pasvirimo kampas į horizontalią projekcijų plokštumą yra kampas tarp šios plokštumos nuolydžio linijos horizontalios projekcijos ir jos natūralaus dydžio.

Atlikime pirmiau nurodytų dalykų algoritminį įrašymą:

Ф Ù П 1 = g Ù g 1 ; g ^ h Þ g 1 ^ h 1 .

Plokščias piešinys.

Nustatykime lėktuvą F trikampis ABC(2-21 pav.).

Problemos sprendimo algoritmas:

1. Nubrėžkite plokštumoje F(ABC) horizontaliai h(h 1, h 2).

2. Vykdome g 1 (B 1 K 1) ^ h 1. Mes randame g 2 (B 2 K 2) pagal narystę lėktuve.

3. Raskite tikrąjį dydį g naudojant stačiojo trikampio metodą (2-21 pav.).

4. Kampas a tarp g 1 u g- yra plokštumos pasvirimo kampas F(ABC) Į P 1 .

Visas problemos sprendimas pateiktas fig. 2-23.

Panašiai galite išspręsti plokštumos pasvirimo kampo nustatymo problemą FĮ P 2. Norėdami tai padaryti lėktuve F reikia paimti priekinę, didžiausio plokštumos pasvirimo liniją P 2 - e pastatyti statmenai priekyje ( e 2 ^ f 2 ® e) ir raskite natūralų dydį eįjungta P 2.

Po to, kas išdėstyta aukščiau, apsvarstykime plokštumos apibrėžimą naudojant rampos liniją g(2-24a pav.) ir didžiausio plokštumos pasvirimo ties P 2 - e(2-25a pav.). Pirmuoju atveju, sprendžiant konkrečias problemas, prie nuolydžio linijos reikia pridėti horizontalią liniją ( h2^ ryšio linijos, h 1 ^ g 1) (2-24b pav.); antroje iki didžiausio polinkio linijos e pridėti priekinę dalį ( f 1^ ryšio linijos, f 2 ^ e 2)(2-25b pav.). Abiem atvejais plokštuma nustatoma susikertančiomis linijomis.