Trikampis, kvadratas, šešiakampis – šias figūras žino beveik visi. Tačiau ne visi žino, kas yra taisyklingas daugiakampis. Bet tai yra vienodi Įprastas daugiakampis yra tas, kurio kampai ir kraštinės yra vienodi. Tokių figūrų yra labai daug, tačiau jos visos turi tas pačias savybes, joms taikomos tos pačios formulės.
Taisyklingųjų daugiakampių savybės
Bet koks taisyklingas daugiakampis, nesvarbu, ar tai būtų kvadratas, ar aštuonkampis, gali būti įrašytas į apskritimą. Ši pagrindinė savybė dažnai naudojama kuriant figūrą. Be to, į daugiakampį galima įrašyti apskritimą. Tokiu atveju sąlyčio taškų skaičius bus lygus jo pusių skaičiui. Svarbu, kad apskritimas, įrašytas į taisyklingą daugiakampį, turėtų su juo bendrą centrą. Šioms geometrinėms figūroms taikomos tos pačios teoremos. Bet kuri taisyklingo n kampo kraštinė yra susieta su ją supančio apskritimo spinduliu, todėl ją galima apskaičiuoti pagal šią formulę: a = 2R ∙ sin180°. Per jį galite rasti ne tik daugiakampio šonus, bet ir perimetrą.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių
Bet kuris susideda iš tam tikro skaičiaus segmentų, lygių vienas kitam, kurie, susijungę, sudaro uždarą liniją. Šiuo atveju visi gautos figūros kampai turi tą pačią reikšmę. Daugiakampiai skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Pirmąją grupę sudaro trikampis ir kvadratas. Sudėtingi daugiakampiai turi daugiau kraštinių. Tai taip pat yra žvaigždės formos figūros. Sudėtingų taisyklingų daugiakampių kraštinės randamos jas nubrėžus apskritimu. Pateikime įrodymą. Nubrėžkite taisyklingą daugiakampį su savavališku kraštinių skaičiumi n. Nubrėžkite aplink jį apskritimą. Nustatykite spindulį R. Dabar įsivaizduokite, kad jums suteiktas n-kampis. Jei jo kampų taškai yra ant apskritimo ir yra lygūs vienas kitam, tada kraštines galima rasti naudojant formulę: a = 2R ∙ sinα: 2.
Įbrėžto taisyklingojo trikampio kraštinių skaičiaus nustatymas
Lygiakraštis trikampis yra taisyklingas daugiakampis. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir kvadratui bei n kampui. Trikampis bus laikomas taisyklingu, jei jo kraštinės yra vienodos. Šiuo atveju kampai yra 60⁰. Sukonstruokime trikampį, kurio kraštinės ilgis yra a. Žinodami jo medianą ir aukštį, galite sužinoti jo kraštų vertę. Norėdami tai padaryti, naudosime radimo metodą pagal formulę a = x: cosα, kur x yra mediana arba aukštis. Kadangi visos trikampio kraštinės yra lygios, gauname a = b = c. Tada bus teisingas toks teiginys: a = b = c = x: cosα. Panašiai galite rasti lygiašonio trikampio kraštinių vertę, tačiau x bus nurodytas aukštis. Tokiu atveju jis turėtų būti projektuojamas griežtai ant figūros pagrindo. Taigi, žinodami aukštį x, lygiašonio trikampio kraštinę a randame pagal formulę a = b = x: cosα. Suradę a reikšmę, galite apskaičiuoti pagrindo c ilgį. Taikykime Pitagoro teoremą. Ieškosime pusės bazės c reikšmės: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Tada c = 2xtanα. Šiuo paprastu būdu galite rasti bet kurio įrašyto daugiakampio kraštinių skaičių.
Į apskritimą įbrėžto kvadrato kraštinių skaičiavimas
Kaip ir bet kuris kitas įbrėžtas taisyklingas daugiakampis, kvadratas turi vienodas kraštines ir kampus. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir trikampiui. Galite apskaičiuoti kvadrato kraštines naudodami įstrižainės reikšmę. Panagrinėkime šį metodą išsamiau. Yra žinoma, kad įstrižainė dalija kampą per pusę. Iš pradžių jo vertė buvo 90 laipsnių. Taigi, po padalijimo susidaro du. Jų kampai prie pagrindo bus lygūs 45 laipsniais. Atitinkamai, kiekviena kvadrato kraštinė bus lygi, tai yra: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kur e yra kvadrato įstrižainė arba stačiojo trikampio, sudaryto po padalinys. Tai ne vienintelis būdas rasti kvadrato kraštines. Įbrėžkime šią figūrą į apskritimą. Žinodami šio apskritimo spindulį R, randame kvadrato kraštinę. Ją apskaičiuosime taip: a4 = R√2. Taisyklingųjų daugiakampių spinduliai apskaičiuojami pagal formulę R = a: 2tg (360 o: 2n), kur a – kraštinės ilgis.
Kaip apskaičiuoti n kampo perimetrą
N kampo perimetras yra visų jo kraštinių suma. Tai lengva apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti visų pusių reikšmes. Kai kuriems daugiakampių tipams yra specialios formulės. Jie leidžia daug greičiau rasti perimetrą. Yra žinoma, kad bet kuris taisyklingas daugiakampis turi lygias kraštines. Todėl, norint apskaičiuoti jo perimetrą, pakanka žinoti bent vieną iš jų. Formulė priklausys nuo figūros kraštinių skaičiaus. Apskritai tai atrodo taip: P = an, kur a yra šoninė vertė, o n yra kampų skaičius. Pavyzdžiui, norėdami rasti įprasto aštuonkampio, kurio kraštinė yra 3 cm, perimetrą, turite jį padauginti iš 8, tai yra, P = 3 ∙ 8 = 24 cm, apskaičiuojame šešiakampį, kurio kraštinė yra 5 cm taip: P = 5 ∙ 6 = 30 cm ir taip kiekvienam daugiakampiui.
Lygiagretainio, kvadrato ir rombo perimetro radimas
Atsižvelgiant į tai, kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, apskaičiuojamas jo perimetras. Tai labai palengvina užduotį. Iš tiesų, skirtingai nuo kitų figūrų, šiuo atveju nereikia ieškoti visų jos pusių, užtenka vienos. Tuo pačiu principu randame keturkampių perimetrą, tai yra kvadratą ir rombą. Nepaisant to, kad tai yra skirtingi skaičiai, jų formulė yra ta pati: P = 4a, kur a yra pusė. Pateikime pavyzdį. Jei rombo ar kvadrato kraštinė yra 6 cm, tai perimetrą randame taip: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Lygiagretainio lygiagretainio tik priešingos kraštinės. Todėl jo perimetras randamas naudojant kitą metodą. Taigi, turime žinoti figūros ilgį a ir plotį b. Tada taikome formulę P = (a + b) ∙ 2. Lygiagretainis, kurio visos kraštinės ir kampai tarp jų yra lygūs, vadinamas rombu.
Lygiakraščio ir stačiakampio trikampio perimetro radimas
Teisingo perimetrą galima rasti naudojant formulę P = 3a, kur a yra kraštinės ilgis. Jei jis nežinomas, jį galima rasti per medianą. Stačiakampiame trikampyje tik dvi kraštinės turi vienodą vertę. Pagrindą galima rasti per Pitagoro teoremą. Kai žinomos visų trijų pusių vertės, apskaičiuojame perimetrą. Jį galima rasti taikant formulę P = a + b + c, kur a ir b yra lygios kraštinės, o c yra pagrindas. Prisiminkite, kad lygiašoniame trikampyje a = b = a, o tai reiškia, kad a + b = 2a, tada P = 2a + c. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio kraštinė yra 4 cm, raskime jo pagrindą ir perimetrą. Apskaičiuojame hipotenuzos reikšmę pagal Pitagoro teoremą, kai = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Dabar apskaičiuokite perimetrą P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kampus
Taisyklingas daugiakampis mūsų gyvenime pasitaiko kiekvieną dieną, pavyzdžiui, taisyklingas kvadratas, trikampis, aštuonkampis. Atrodytų, kad nėra nieko lengviau, kaip susikurti šią figūrą patiems. Tačiau tai paprasta tik iš pirmo žvilgsnio. Norint sukurti bet kurį n kampą, reikia žinoti jo kampų reikšmę. Bet kaip juos rasti? Net senovės mokslininkai bandė konstruoti taisyklingus daugiakampius. Jie sugalvojo, kaip juos sutalpinti į ratus. Tada ant jo buvo pažymėti reikalingi taškai ir sujungti tiesiomis linijomis. Dėl paprastų figūrų statybos problema buvo išspręsta. Gautos formulės ir teoremos. Pavyzdžiui, Euklidas savo garsiajame darbe „Pradžia“ nagrinėjo 3, 4, 5, 6 ir 15 gonų uždavinių sprendimą. Jis rado būdų, kaip juos sukonstruoti ir rasti kampus. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti 15 gon. Pirmiausia reikia apskaičiuoti jo vidinių kampų sumą. Būtina naudoti formulę S = 180⁰(n-2). Taigi, mums suteikiamas 15 kampų, o tai reiškia, kad skaičius n yra 15. Mes pakeičiame mums žinomus duomenis į formulę ir gauname S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mes nustatėme visų 15 kampų vidinių kampų sumą. Dabar reikia nustatyti kiekvieno iš jų vertę. Iš viso yra 15 kampų. Skaičiuojame 2340⁰: 15 = 156⁰. Tai reiškia, kad kiekvienas vidinis kampas yra lygus 156⁰, dabar naudodami liniuotę ir kompasą galite sukonstruoti įprastą 15 kampų. Bet kaip su sudėtingesniais n-gonais? Daugelį amžių mokslininkai stengėsi išspręsti šią problemą. Jį tik XVIII amžiuje rado Carlas Friedrichas Gaussas. Jis sugebėjo sukonstruoti 65537-gon. Nuo tada problema oficialiai laikoma visiškai išspręsta.
n kampų radianais apskaičiavimas
Žinoma, yra keletas būdų, kaip rasti daugiakampių kampus. Dažniausiai jie skaičiuojami laipsniais. Bet jie taip pat gali būti išreikšti radianais. Kaip tai padaryti? Turite elgtis taip. Pirmiausia išsiaiškiname įprasto daugiakampio kraštinių skaičių, tada iš jo atimame 2 Tai reiškia, kad gauname reikšmę: n - 2. Rastą skirtumą padauginkite iš skaičiaus n ("pi" = 3,14). Dabar belieka gautą sandaugą padalyti iš kampų skaičiaus n kampe. Panagrinėkime šiuos skaičiavimus, kaip pavyzdį naudodami tą patį dešimtkampį. Taigi, skaičius n yra 15. Taikykime formulę S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Žinoma, tai nėra vienintelis būdas apskaičiuoti kampą radianais. Galite tiesiog padalyti kampą laipsniais iš 57,3. Juk tiek laipsnių yra lygi vienam radianui.
Kampų skaičiavimas laipsniais
Be laipsnių ir radianų, galite pabandyti rasti įprasto daugiakampio kampus laipsniais. Tai daroma taip. Iš viso kampų skaičiaus atimkite 2 ir gautą skirtumą padalinkite iš taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiaus. Rastą rezultatą padauginame iš 200. Beje, toks kampų matavimo vienetas kaip laipsniai praktiškai nenaudojamas.
n kampų išorinių kampų skaičiavimas
Bet kuriam įprastam daugiakampiui, be vidinio, galite apskaičiuoti ir išorinį kampą. Jo vertė nustatoma taip pat, kaip ir kitų figūrų. Taigi, norėdami rasti taisyklingo daugiakampio išorinį kampą, turite žinoti vidinio kampo reikšmę. Be to, mes žinome, kad šių dviejų kampų suma visada yra lygi 180 laipsnių. Todėl skaičiavimus atliekame taip: 180⁰ atėmus vidinio kampo vertę. Mes randame skirtumą. Jis bus lygus kampo, esančio šalia jo, vertei. Pavyzdžiui, vidinis kvadrato kampas yra 90 laipsnių, o tai reiškia, kad išorinis kampas bus 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kaip matome, tai nėra sunku rasti. Išorinis kampas gali būti atitinkamai nuo +180⁰ iki -180⁰.
Šioje pamokoje pradėsime naują temą ir pristatysime mums naują sąvoką „daugiakampis“. Išnagrinėsime pagrindines sąvokas, susijusias su daugiakampiais: kraštinės, viršūnių kampai, išgaubtumas ir neišgaubtumas. Tada įrodysime svarbiausius faktus, tokius kaip daugiakampio vidinių kampų sumos teorema, daugiakampio išorinių kampų sumos teorema. Dėl to mes priartėsime prie specialių daugiakampių atvejų, kurie bus nagrinėjami tolesnėse pamokose.
Tema: Keturkampiai
Pamoka: Daugiakampiai
Geometrijos kurse tiriame geometrinių figūrų savybes ir jau išnagrinėjome paprasčiausias iš jų: trikampius ir apskritimus. Tuo pačiu metu aptarėme konkrečius specialius šių figūrų atvejus, tokius kaip dešinieji, lygiašoniai ir taisyklingi trikampiai. Dabar atėjo laikas kalbėti apie bendresnius ir sudėtingesnius skaičius - daugiakampiai.
Su specialiu dėklu daugiakampiai mes jau pažįstami – tai trikampis (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1. Trikampis
Jau pats pavadinimas pabrėžia, kad tai yra trijų kampų figūra. Todėl į daugiakampis jų gali būti daug, t.y. daugiau nei trys. Pavyzdžiui, nubrėžkime penkiakampį (žr. 2 pav.), t.y. figūra su penkiais kampais.
Ryžiai. 2. Pentagonas. Išgaubtas daugiakampis
Apibrėžimas.Daugiakampis- figūra, susidedanti iš kelių taškų (daugiau nei dviejų) ir atitinkamo skaičiaus juos nuosekliai jungiančių segmentų. Šie taškai vadinami viršūnės daugiakampis, o atkarpos yra vakarėliams. Šiuo atveju nėra dviejų gretimų kraštų toje pačioje tiesėje ir nėra dviejų negretimų kraštinių susikerta.
Apibrėžimas.Taisyklingas daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs.
Bet koks daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę. Vidinė sritis taip pat vadinama daugiakampis.
Kitaip tariant, pavyzdžiui, kai jie kalba apie penkiakampį, jie turi omenyje ir visą jo vidinį regioną, ir jo sieną. O vidinė sritis apima visus taškus, kurie yra daugiakampio viduje, t.y. taškas taip pat nurodo penkiakampį (žr. 2 pav.).
Daugiakampiai taip pat kartais vadinami n-kampiais, siekiant pabrėžti, kad nagrinėjamas bendras kai kurių nežinomų kampų skaičiaus (n gabalų) atvejis.
Apibrėžimas. Daugiakampio perimetras- daugiakampio kraštinių ilgių suma.
Dabar turime susipažinti su daugiakampių tipais. Jie skirstomi į išgaubtas Ir neišgaubtas. Pavyzdžiui, daugiakampis, parodytas Fig. 2 yra išgaubtas, o fig. 3 neišgaubtas.
Ryžiai. 3. Neišgaubtas daugiakampis
1 apibrėžimas. Daugiakampis paskambino išgaubtas, jei brėžiant tiesią liniją per bet kurią jos pusę, visa daugiakampis yra tik vienoje šios tiesios linijos pusėje. Neišgaubtas yra visi kiti daugiakampiai.
Nesunku įsivaizduoti, kad išplečiant bet kurią penkiakampio pusę Fig. 2 visa tai bus vienoje šios tiesės pusėje, t.y. jis yra išgaubtas. Bet brėžiant tiesią liniją per keturkampį Fig. 3 jau matome, kad ji dalija į dvi dalis, t.y. jis nėra išgaubtas.
Tačiau yra ir kitas daugiakampio išgaubimo apibrėžimas.
2 apibrėžimas. Daugiakampis paskambino išgaubtas, jei pasirenkant bet kuriuos du vidinius jos taškus ir sujungiant juos su atkarpa, visi atkarpos taškai kartu yra ir daugiakampio vidiniai taškai.
Šio apibrėžimo naudojimo pavyzdį galima pamatyti segmentų konstravimo pavyzdyje Fig. 2 ir 3.
Apibrėžimas. Įstrižainė Daugiakampio atkarpa yra bet kuri atkarpa, jungianti dvi negretimas viršūnes.
Norint apibūdinti daugiakampių savybes, yra dvi svarbiausios teoremos apie jų kampus: teorema apie išgaubto daugiakampio vidinių kampų sumą Ir teorema apie išgaubto daugiakampio išorinių kampų sumą. Pažiūrėkime į juos.
Teorema. Dėl išgaubto daugiakampio vidinių kampų sumos (n-gon).
Kur yra jo kampų (kraštinių) skaičius.
Įrodymas 1. Pavaizduokime pav. 4 išgaubtas n-kampis.
Ryžiai. 4. Išgaubtas n-kampis
Iš viršūnės brėžiame visas įmanomas įstrižaines. Jie padalija n kampą į trikampius, nes kiekviena daugiakampio kraštinė sudaro trikampį, išskyrus kraštines, esančias greta viršūnės. Iš paveikslo nesunku suprasti, kad visų šių trikampių kampų suma bus lygiai lygi n kampo vidinių kampų sumai. Kadangi bet kurio trikampio kampų suma yra , n-kampio vidinių kampų suma yra:
Q.E.D.
Įrodymas 2. Galimas ir kitas šios teoremos įrodymas. Panašų n-kampį nubrėžkime pav. 5 ir sujunkite bet kurį iš jo vidinių taškų su visomis viršūnėmis.
Ryžiai. 5.
Gavome n kampo skaidinį į n trikampių (kiek kraštinių yra trikampių). Visų jų kampų suma lygi daugiakampio vidinių kampų ir vidinio taško kampų sumai, ir tai yra kampas. Turime:
Q.E.D.
Įrodyta.
Pagal įrodytą teoremą aišku, kad n kampo kampų suma priklauso nuo jo kraštinių skaičiaus (ant n). Pavyzdžiui, trikampyje, o kampų suma yra . Keturkampyje, o kampų suma yra ir kt.
Teorema. Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma (n-gon).
Kur yra jo kampų (kraštinių) skaičius ir , ... yra išoriniai kampai.
Įrodymas. Pavaizduokime išgaubtą n-kampį Fig. 6 ir nurodykite jo vidinius ir išorinius kampus.
Ryžiai. 6. Išgaubtas n-kampis su nustatytais išoriniais kampais
Nes Tada išorinis kampas sujungiamas su vidiniu kaip gretimas 
ir panašiai likusiems išoriniams kampams. Tada:
Transformacijų metu naudojome jau įrodytą teoremą apie n kampo vidinių kampų sumą.
Įrodyta.
Įdomus faktas išplaukia iš įrodytos teoremos, kad išgaubto n kampo išorinių kampų suma yra lygi 
ant jo kampų (kraštinių) skaičiaus. Beje, priešingai nei vidinių kampų suma.
Nuorodos
- Aleksandrovas A.D. ir kt., Geometrija, 8 kl. - M.: Švietimas, 2006 m.
- Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolovas V.V. Geometrija, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2011 m.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8 klasė. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 m.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Namų darbai
Tema: „Daugiakampių tipai“.
9 klasė
SHL Nr. 20
Mokytojas: Kharitonovičius T.I. Pamokos tikslas: tirti daugiakampių tipus.
Mokymosi užduotis: atnaujinti, plėsti ir apibendrinti mokinių žinias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „sudedamųjų dalių“ idėją; atlikti taisyklingųjų daugiakampių (nuo trikampio iki n kampo) sudedamųjų elementų skaičiaus tyrimą;
Vystymosi užduotis: ugdyti gebėjimus analizuoti, lyginti, daryti išvadas, ugdyti skaičiavimo įgūdžius, matematinę kalbą žodžiu ir raštu, atmintį, taip pat mąstymo ir mokymosi veiklos savarankiškumą, gebėjimą dirbti poromis ir grupėmis; plėtoti mokslinę ir edukacinę veiklą;
Mokomoji užduotis: ugdyti savarankiškumą, aktyvumą, atsakomybę už pavestą darbą, atkaklumą siekiant tikslo.
Įranga: interaktyvi lenta (pristatymas)
Pamokos eiga
Pristatymas, rodantis: „Daugiakampiai“
„Gamta kalba matematikos kalba, šios kalbos raidėmis... matematinėmis figūromis. G.Galliley
Pamokos pradžioje klasė suskirstoma į darbo grupes (mūsų atveju – į 3 grupes)
1. Skambinimo etapas-
a) atnaujinti studentų žinias šia tema;
b) žadinti susidomėjimą nagrinėjama tema, motyvuoti kiekvieną mokinį edukacinei veiklai.
Technika: Žaidimas „Ar tiki, kad...“, darbo su tekstu organizavimas.
Darbo formos: frontalinė, grupinė.
"Ar tikite, kad..."
1. ... žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“?
2. ... ar trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai iš įvairių geometrinių formų plokštumoje?
3. ... ar kvadratas yra taisyklingas aštuonkampis (keturios kraštinės + keturi kampai)?
Šiandien pamokoje kalbėsime apie daugiakampius. Sužinome, kad šią figūrą riboja uždara laužyta linija, kuri savo ruožtu gali būti paprasta, uždara. Pakalbėkime apie tai, kad daugiakampiai gali būti plokšti, taisyklingi arba išgaubti. Vienas iš plokščių daugiakampių yra trikampis, su kuriuo jau seniai susipažinote (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojančius daugiakampius, laužtą liniją, parodyti skirtingus jų tipus, taip pat galite naudoti PSO).
2. pastojimo stadija
Tikslas: gauti naujos informacijos, ją suprasti, atrinkti.
Technika: zigzagas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Kiekvienam grupės nariui pateikiamas tekstas pamokos tema, o tekstas sudaromas taip, kad jame būtų ir mokiniams jau žinoma, ir visiškai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, į kuriuos atsakymus reikia rasti šiame tekste.
Daugiakampiai. Daugiakampių tipai.
Kas negirdėjo apie paslaptingą Bermudų trikampį, kuriame be žinios dingsta laivai ir lėktuvai? Tačiau nuo vaikystės mums pažįstamas trikampis kupinas daug įdomių ir paslaptingų dalykų.
Be mums jau žinomų trikampių tipų, suskirstytų iš kraštinių (skalės, lygiašonių, lygiašonių) ir kampų (smailus, bukas, stačiakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančia iš daugybės skirtingų geometrinių formų. lėktuvas.
Žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“. Tačiau to nepakanka figūrai apibūdinti.
Nutrūkusi linija A1A2...An – tai figūra, susidedanti iš taškų A1,A2,...An ir juos jungiančių atkarpų A1A2, A2A3,.... Taškai vadinami polilinijos viršūnėmis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)
Nutrūksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaiminių susikirtimų (2, 3 pav.).
Polilinija vadinama uždara, jei jos galai sutampa. Nutrauktos linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma (4 pav.)
Paprasta uždara laužyta linija vadinama daugiakampiu, jei jos gretimos grandys nėra toje pačioje tiesėje (5 pav.).
Žodyje „daugiakampis“ pakeiskite konkretų skaičių, pavyzdžiui, 3. Gausite trikampį. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite dėmesį, kad tiek kampų, kiek yra, tiek ir kraštinių, todėl šias figūras galima vadinti daugiašalėmis.
Nutrūkusios linijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o trūkinės linijos grandys – daugiakampio kraštinėmis.
Daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę (6 pav.).
Plokštumos daugiakampis arba daugiakampis plotas yra baigtinė plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampis.
Dvi daugiakampio viršūnės, kurios yra vienos kraštinės galai, vadinamos gretimomis. Viršūnės, kurios nėra vienos pusės galai, yra negretimos.
Daugiakampis, turintis n viršūnių, taigi ir n kraštinių, vadinamas n kampu.
Nors mažiausias daugiakampio kraštinių skaičius yra 3. Tačiau trikampiai, susijungę vienas su kitu, gali sudaryti kitas figūras, kurios savo ruožtu taip pat yra daugiakampiai.
Atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra toje pačioje pusplokštumoje bet kurios tiesės, kurioje yra jo kraštinė, atžvilgiu. Šiuo atveju laikoma, kad pati tiesė priklauso PUSPLOKŠTUMAI
Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios šioje viršūnėje.
Įrodykime teoremą (apie išgaubto n-kampio kampų sumą): Išgaubto n-kampio kampų suma lygi 1800*(n - 2).
Įrodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema galioja. Tegu A1A2...A n yra duotasis išgaubtasis daugiakampis ir n>3. Jame nubrėžkime įstrižaines (iš vienos viršūnės). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į n – 2 trikampius. Daugiakampio kampų suma yra visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 1800, o šių trikampių skaičius n lygus 2. Todėl išgaubto n trikampio A1A2...A n kampų suma lygi 1800* (n - 2). Teorema įrodyta.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo šioje viršūnėje.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos jo kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.
Taigi kvadratą galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakraščiai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios figūros jau seniai domino pastatus puošiančius meistrus. Jie padarė gražius raštus, pavyzdžiui, ant parketo. Tačiau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali būti naudojami parketui gaminti. Parketas negali būti pagamintas iš įprastų aštuonkampių. Faktas yra tas, kad kiekvienas kampas yra lygus 1350. Ir jei kuris nors taškas yra dviejų tokių aštuonkampių viršūnė, tada jų dalis bus 2700, o trečiam aštuonkampiui ten nėra vietos: 3600 - 2700 = 900. kvadratui to pakanka. Todėl parketą galite gaminti iš įprastų aštuonkampių ir kvadratų.
Žvaigždės taip pat teisingos. Mūsų penkiakampė žvaigždė yra įprasta penkiakampė žvaigždė. Ir jei pasuksite kvadratą 450 aplink centrą, gausite įprastą aštuonkampę žvaigždę.
Kas yra nutrūkusi linija? Paaiškinkite, kas yra polilinijos viršūnės ir saitai.
Kuri nutrūkusi linija vadinama paprasta?
Kuri nutrūkusi linija vadinama uždara?
Kaip vadinamas daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio viršūnės? Kaip vadinamos daugiakampio kraštinės?
Kuris daugiakampis vadinamas plokščiu? Pateikite daugiakampių pavyzdžių.
Kas yra n – kvadratas?
Paaiškinkite, kurios daugiakampio viršūnės yra gretimos, o kurios ne.
Kas yra daugiakampio įstrižainė?
Kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu?
Paaiškinkite, kurie daugiakampio kampai yra išoriniai, o kurie vidiniai?
Kuris daugiakampis vadinamas taisyklingu? Pateikite taisyklingų daugiakampių pavyzdžių.
Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? Įrodyk.
Mokiniai dirba su tekstu, ieško atsakymų į užduodamus klausimus, po to sudaromos ekspertų grupės, kuriose dirbama tais pačiais klausimais: studentai išryškina pagrindinius dalykus, parengia pagrindinę santrauką ir pateikia informaciją viename iš grafines formas. Baigę darbą studentai grįžta į savo darbo grupes.
3. Apmąstymų stadija –
a) savo žinių įvertinimas, iššūkis kitam žinių žingsniui;
b) gautos informacijos supratimas ir pritaikymas.
Priėmimas: tiriamasis darbas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Darbo grupėse dalyvauja specialistai, atsakantys į kiekvieną siūlomų klausimų skyrių.
Grįžęs prie darbo grupės, ekspertas su atsakymais į savo klausimus pristato kitus grupės narius. Grupė keičiasi informacija tarp visų darbo grupės narių. Taigi kiekvienoje darbo grupėje ekspertų darbo dėka susidaro bendras supratimas apie nagrinėjamą temą.
Studentų tiriamasis darbas– lentelės pildymas.
Taisyklingi daugiakampiai Brėžinys Kraštinių skaičius Viršūnių skaičius Visų vidinių kampų suma Laipsnio matas vidinis. kampas Išorinio kampo laipsnio matas Įstrižainių skaičius
A) trikampis
B) keturkampis
B) penkių skylių
D) šešiakampis
D) n-gon
Įdomių uždavinių sprendimas pamokos tema.
1) Kiek kraštinių turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 1350?
2) Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lygūs vienas kitam. Ar šio daugiakampio vidinių kampų suma gali būti: 3600, 3800?
3) Ar galima pastatyti penkiakampį, kurio kampai yra 100,103,110,110,116 laipsnių?
Apibendrinant pamoką.
Namų darbų įrašymas: 66-72 PUSL. Nr. 15,17 IR UŽDUOTIS: KETVURIAME NUBRĖŽKITE TIESIĄ LINJĄ, KAD JĄ DALYKITE Į TRIJAS TRIKAMPIUS.
Refleksija testų pavidalu (interaktyvioje lentoje)
Plokštumos dalis, kurią riboja uždara trūkinė linija, vadinama daugiakampiu.
Šios trūkinės linijos atkarpos vadinamos vakarėliams daugiakampis. AB, BC, CD, DE, EA (1 pav.) yra daugiakampio ABCDE kraštinės. Visų daugiakampio kraštinių suma vadinama jo perimetras.
Daugiakampis vadinamas išgaubtas, jei jis yra vienoje iš bet kurios jo pusių pusės, neribotai ištęstas už abiejų viršūnių.
MNPKO daugiakampis (1 pav.) nebus išgaubtas, nes yra daugiau nei vienoje tiesės KR pusėje.
Nagrinėsime tik išgaubtus daugiakampius.
Kampai, sudaryti iš dviejų gretimų daugiakampio kraštinių, vadinami jo vidinis kampai, o jų viršūnės yra daugiakampio viršūnės.
Tiesios linijos atkarpa, jungianti dvi negretimas daugiakampio viršūnes, vadinama daugiakampio įstriža.
AC, AD - daugiakampio įstrižainės (2 pav.).
Kampai, esantys greta daugiakampio vidinių kampų, vadinami išoriniais daugiakampio kampais (3 pav.).
Priklausomai nuo kampų (kraštinių) skaičiaus, daugiakampis vadinamas trikampiu, keturkampiu, penkiakampiu ir kt.
Sakoma, kad du daugiakampiai sutampa, jei juos galima sujungti perdengiant.
Įbrėžti ir apibrėžti daugiakampiai
Jei visos daugiakampio viršūnės yra apskritime, tada daugiakampis vadinamas įrašytasį ratą, o apskritimas - aprašytašalia daugiakampio (pav.).
Jei visos daugiakampio kraštinės liečia apskritimą, tai daugiakampis vadinamas aprašyta apie apskritimą, ir apskritimas vadinamas įrašytasį daugiakampį (pav.).
Daugiakampių panašumas
Du to paties pavadinimo daugiakampiai vadinami panašiais, jei vieno iš jų kampai atitinkamai lygūs kito kampams, o panašios daugiakampių kraštinės yra proporcingos.
Daugiakampiai, turintys tą patį kraštinių (kampų) skaičių, vadinami to paties pavadinimo daugiakampiais.
Panašių daugiakampių kraštinės, jungiančios atitinkamai vienodų kampų viršūnes, vadinamos panašiomis (pav.).
Taigi, pavyzdžiui, kad daugiakampis ABCDE būtų panašus į daugiakampį A'B'C'D'E', būtina, kad: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' ir, be to, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Panašių daugiakampių perimetrų santykis
Pirma, apsvarstykite vienodų santykių serijos savybę. Pavyzdžiui, turėkime tokius santykius: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.
Raskime ankstesnių šių santykių narių sumą, tada vėlesnių jų narių sumą ir raskime gautų sumų santykį, gausime:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Tą patį gausime, jei paimsime keletą kitų santykių, pavyzdžiui: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Raskime ankstesnių terminų sumą. šiuos ryšius ir vėlesnių sumas, o tada raskite šių sumų santykį, gauname:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Abiem atvejais ankstesnių lygių santykių serijos narių suma yra susijusi su vėlesnių tos pačios serijos narių suma, kaip ir ankstesnis bet kurio iš šių santykių narys yra susijęs su vėlesniu.
Šią savybę išvedėme atsižvelgdami į daugybę skaitinių pavyzdžių. Jis gali būti išvestas griežtai ir bendra forma.
Dabar apsvarstykite panašių daugiakampių perimetrų santykį.
Tegul daugiakampis ABCDE yra panašus į daugiakampį A'B'C'D'E' (pav.).
Iš šių daugiakampių panašumo matyti, kad
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Remdamiesi savybe, kurią išvedėme lygių santykių serijai, galime parašyti:
Ankstesnių mūsų paimtų santykių dalių suma reiškia pirmojo daugiakampio (P) perimetrą, o vėlesnių šių santykių sąlygų suma – antrojo daugiakampio (P'), o tai reiškia P / P perimetrą. ' = AB / A'B'.
Vadinasi, Panašių daugiakampių perimetrai yra susiję su panašiomis jų kraštinėmis.
Panašių daugiakampių plotų santykis
Tegul ABCDE ir A’B’C’D’E’ yra panašūs daugiakampiai (pav.).
Yra žinoma, kad ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' ir ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Be to,
;
Kadangi antrieji šių proporcijų santykiai yra lygūs, o tai išplaukia iš daugiakampių panašumo, tada
Naudodamiesi lygių santykių serijos savybe, gauname:
Arba 
kur S ir S’ yra šių panašių daugiakampių plotai.
Vadinasi, Panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai.
Gautą formulę galima konvertuoti į šią formą: S / S’ = (AB / A’B’) 2
Savavališko daugiakampio plotas
Tegul reikia apskaičiuoti savavališko keturkampio ABC plotą (pav.).
Nubrėžkime jame įstrižainę, pavyzdžiui AD. Gauname du trikampius ABD ir ACD, kurių plotus galime apskaičiuoti. Tada randame šių trikampių plotų sumą. Gauta suma išreikš šio keturkampio plotą.
Jei reikia apskaičiuoti penkiakampio plotą, mes darome tą patį: iš vienos viršūnės nubrėžiame įstrižaines. Gauname tris trikampius, kurių plotus galime apskaičiuoti. Tai reiškia, kad galime rasti šio penkiakampio plotą. Tą patį darome apskaičiuodami bet kurio daugiakampio plotą.
Projektuojamas daugiakampio plotas
Prisiminkime, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp nurodytos tiesės ir jos projekcijos į plokštumą (pav.).
Teorema. Daugiakampio stačiakampės projekcijos į plokštumą plotas yra lygus projektuojamo daugiakampio plotui, padaugintam iš kampo, kurį sudaro daugiakampio plokštuma ir projekcijos plokštuma, kosinuso.
Kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į trikampius, kurių plotų suma yra lygi daugiakampio plotui. Todėl pakanka įrodyti trikampio teoremą.
Tegu ΔАВС projektuojamas į plokštumą r. Panagrinėkime du atvejus:
a) viena iš kraštinių ΔABC lygiagreti plokštumai r;
b) nė viena iš kraštinių ΔABC nėra lygiagreti r.
Pasvarstykime pirmas atvejis: tegul [AB] || r.
Nubrėžkime plokštumą per (AB) r 1 || r ir projektuoti statmenai ΔАВС į r 1 ir toliau r(ryžiai.); gauname ΔАВС 1 ir ΔА'В'С'.
Pagal projekcijos savybę turime ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', todėl
S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’
Nubraižykime ⊥ ir atkarpą D 1 C 1 . Tada ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ yra kampo tarp plokštumos ΔABC ir plokštumos reikšmė r 1. Štai kodėl
S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
ir todėl S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Pereikime prie svarstymo antrasis atvejis. Nubraižykime plokštumą r 1 || r per tą viršūnę ΔАВС, atstumą, nuo kurio iki plokštumos r mažiausias (tebūnie tai viršūnė A).
Projektuokime ΔАВС lėktuve r 1 ir r(ryžiai.); tegul jo projekcijos yra atitinkamai ΔАВ 1 С 1 ir ΔА'В'С'.
Tegu (BC) ∩ p 1 = D. Tada
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 – S ΔADB1 = (S ΔADC – S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Kitos medžiagosMums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
