Iš pradžių norėjau įtraukti bendro vardiklio metodus į trupmenų pridėjimo ir atėmimo skyrių. Tačiau pasirodė tiek daug informacijos, o jos svarba tokia didelė (juk ne tik skaitinės trupmenos turi bendrus vardiklius), kad geriau šį klausimą panagrinėti atskirai.
Taigi, tarkime, kad turime dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Ir mes norime užtikrinti, kad vardikliai taptų vienodi. Į pagalbą ateina pagrindinė trupmenos savybė, kuri, priminsiu, skamba taip:
Trupmena nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus padauginti iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.
Taigi, teisingai pasirinkus veiksnius, trupmenų vardikliai taps vienodi – šis procesas vadinamas redukcija iki bendro vardiklio. O reikalingi skaičiai, „išlyginantys“ vardiklius, vadinami papildomais veiksniais.
Kodėl turime sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio? Štai tik kelios priežastys:
- Sudėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais. Nėra kito būdo atlikti šią operaciją;
- Palyginti trupmenas. Kartais sumažinimas iki bendro vardiklio šią užduotį labai supaprastina;
- Užduočių, susijusių su trupmenomis ir procentais, sprendimas. Procentai iš esmės yra įprasti išraiškos, kuriose yra trupmenų.
Yra daug būdų, kaip rasti skaičius, kuriuos padauginus iš jų trupmenų vardikliai bus lygūs. Mes apsvarstysime tik tris iš jų - didėjančio sudėtingumo ir tam tikra prasme efektyvumo tvarka.
Kryžminis dauginimas
Paprasčiausias ir patikimiausias būdas, kuris garantuotai išlygins vardiklius. Elgsimės „stačia galva“: pirmąją trupmeną padauginsime iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrąją – iš pirmosios. Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs pradinių vardiklių sandaugai. Pažiūrėkite:
Kaip papildomus veiksnius apsvarstykite gretimų trupmenų vardiklius. Mes gauname:
Taip, tai taip paprasta. Jei tik pradedate tirti trupmenas, geriau dirbti šiuo metodu – taip apsidrausite nuo daugybės klaidų ir garantuotai gausite rezultatą.
Vienintelis šio metodo trūkumas yra tas, kad reikia daug skaičiuoti, nes vardikliai dauginami „visai“, o rezultatas gali būti labai didelis. Tai kaina, kurią reikia mokėti už patikimumą.
Bendrojo daliklio metodas
Šis metodas padeda žymiai sumažinti skaičiavimus, tačiau, deja, jis naudojamas gana retai. Metodas yra toks:
- Prieš eidami tiesiai į priekį (t. y. naudodami kryžminį metodą), pažiūrėkite į vardiklius. Galbūt vienas iš jų (didesnis) yra padalintas į kitą.
- Skaičius, gautas iš šio padalijimo, bus papildomas trupmenos su mažesniu vardikliu veiksnys.
- Tokiu atveju trupmenos su dideliu vardikliu iš viso nereikia dauginti – čia ir slypi santaupos. Tuo pačiu metu smarkiai sumažėja klaidų tikimybė.
Užduotis. Raskite posakių reikšmes:
Atkreipkite dėmesį, kad 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kadangi abiem atvejais vienas vardiklis be liekanos dalijamas iš kito, naudojame bendrųjų faktorių metodą. Turime:
Atkreipkite dėmesį, kad antroji trupmena iš viso nebuvo padauginta iš nieko. Tiesą sakant, mes sumažinome skaičiavimo kiekį per pusę!
Beje, šiame pavyzdyje trupmenas paėmiau neatsitiktinai. Jei jus domina, pabandykite juos suskaičiuoti kryžminiu metodu. Po sumažinimo atsakymai bus tie patys, tačiau darbo bus daug daugiau.
Tai yra bendrųjų daliklių metodo galia, bet vėlgi, jis gali būti naudojamas tik tada, kai vienas iš vardklių yra padalintas iš kito be liekanos. Kas nutinka gana retai.
Mažiausiai paplitęs kelių metodas
Kai sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, iš esmės bandome rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Tada į šį skaičių įtraukiame abiejų trupmenų vardiklius.
Tokių skaičių yra daug, o mažiausias iš jų nebūtinai bus lygus pradinių trupmenų vardikų tiesioginei sandaugai, kaip manoma taikant „kryžminį“ metodą.
Pavyzdžiui, vardikliams 8 ir 12 skaičius 24 yra gana tinkamas, nes 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Šis skaičius yra daug mažesnis nei sandauga 8 · 12 = 96.
Mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, vadinamas jų mažiausiu bendruoju kartotiniu (LCM).
Pažymėjimas: Mažiausias bendrasis a ir b kartotinis žymimas LCM(a ; b) . Pavyzdžiui, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Jei pavyks rasti tokį skaičių, bendra skaičiavimų suma bus minimali. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakių reikšmes:
Atkreipkite dėmesį, kad 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2 ir 3 faktoriai yra bendras (neturi bendrų veiksnių, išskyrus 1), o faktorius 117 yra bendras. Todėl LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Taip pat 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ir 4 faktoriai yra bendras, o faktorius 5 yra įprastas. Todėl LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Dabar suveskime trupmenas į bendrus vardiklius:
Atkreipkite dėmesį, kaip naudinga buvo padalyti pradinius vardiklius:
- Atradę vienodus veiksnius, iš karto priėjome mažiausią bendrą kartotinį, kuris, paprastai kalbant, yra nereikšminga problema;
- Iš gauto išplėtimo galite sužinoti, kurių veiksnių „trūksta“ kiekvienoje frakcijoje. Pavyzdžiui, 234 · 3 = 702, todėl pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 3.
Kad suprastumėte, kokį skirtumą daro mažiausiai paplitęs kelių metodas, pabandykite tuos pačius pavyzdžius apskaičiuoti naudodami kryžminį metodą. Žinoma, be skaičiuoklės. Manau, kad po šito komentarai bus nereikalingi.
Nemanykite, kad tikruose pavyzdžiuose nebus tokių sudėtingų trupmenų. Jie susitinka visą laiką, o aukščiau pateiktos užduotys nėra riba!
Vienintelė problema yra tai, kaip rasti šį NOC. Kartais viską galima rasti per kelias sekundes, pažodžiui „iš akies“, tačiau apskritai tai yra sudėtinga skaičiavimo užduotis, kurią reikia apsvarstyti atskirai. Mes čia to neliesime.
Šis metodas yra prasmingas, jei daugianario laipsnis yra ne mažesnis kaip du. Šiuo atveju bendras veiksnys gali būti ne tik pirmojo laipsnio, bet ir aukštesnių laipsnių dvinaris.
Norėdami rasti bendrą veiksnys daugianario terminus, būtina atlikti daugybę transformacijų. Paprasčiausias dvejetainis ar mononomas, kurį galima išimti iš skliaustų, bus viena iš daugianario šaknų. Akivaizdu, kad tuo atveju, kai daugianomas neturi laisvo nario, pirmame laipsnyje bus nežinomasis - daugianomas, lygus 0.
Sunkiau rasti bendrą veiksnį yra tada, kai laisvasis terminas nėra lygus nuliui. Tada taikomi paprasto atrankos ar grupavimo metodai. Pavyzdžiui, tegul visos daugianario šaknys yra racionalios, o visi daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Užrašykite visus laisvojo termino sveikuosius daliklius. Jei daugianomas turi racionaliąsias šaknis, tada jos yra tarp jų. Dėl atrankos gaunamos šaknys 2 ir -3. Tai reiškia, kad bendri šio daugianario veiksniai bus dvinariai (y - 2) ir (y + 3).
Bendrasis faktoringo metodas yra vienas iš faktorizavimo komponentų. Aukščiau aprašytas metodas taikomas, jei aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1. Jei taip nėra, pirmiausia reikia atlikti transformacijų seriją. Pavyzdžiui: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Pakeiskite formą t = 2³·y³. Norėdami tai padaryti, padauginkite visus daugianario koeficientus iš 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Po pakeitimo: t³ + 19·t² + 82·t + 60. rasti bendrą veiksnį, taikome aukščiau pateiktą metodą .
Be to, efektyvus būdas rasti bendrą veiksnį yra daugianario elementai. Tai ypač naudinga, kai pirmasis būdas ne, t.y. Dauginamas neturi racionalių šaknų. Tačiau grupavimas ne visada yra akivaizdus. Pavyzdžiui: Dauginamas y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 neturi sveikųjų skaičių šaknų.
Naudokite grupavimą: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² – 2)*(y² + 4 y + 1) Bendras šio daugianario elementų koeficientas yra (y² – 2).
Daugyba ir dalyba, kaip ir sudėjimas ir atimtis, yra pagrindinės aritmetinės operacijos. Neišmokęs spręsti daugybos ir dalybos pavyzdžių, žmogus susidurs su daugybe sunkumų ne tik studijuodamas sudėtingesnes matematikos šakas, bet net ir paprasčiausiuose kasdieniuose reikaluose. Daugyba ir dalyba yra glaudžiai susiję, o nežinomi pavyzdžių ir problemų komponentai, susiję su viena iš šių operacijų, apskaičiuojami naudojant kitą operaciją. Kartu būtina aiškiai suprasti, kad sprendžiant pavyzdžius visiškai nėra skirtumo, kokius objektus dalijate ar dauginate.
Jums reikės
- - daugybos lentelė;
- - skaičiuotuvas arba popieriaus lapas ir pieštukas.
Instrukcijos
Užsirašykite jums reikalingą pavyzdį. Pažymėkite nežinomą veiksnys kaip x. Pavyzdys gali atrodyti taip: a*x=b. Vietoj koeficiento a ir sandaugos b pavyzdyje gali būti bet koks arba skaičiai. Prisiminkite pagrindinį daugybos principą: pakeitus faktorių vietas sandauga nekeičiama. Toks nežinomas veiksnys x gali būti dedamas absoliučiai bet kur.
Norėdami rasti nežinomybę veiksnys pavyzdyje, kuriame yra tik du veiksniai, tereikia padalyti produktą iš žinomo veiksnys. Tai yra, tai daroma taip: x=b/a. Jei jums sunku operuoti su abstrakčiais dydžiais, pabandykite įsivaizduoti šią problemą konkrečių objektų pavidalu. Tu, tu turi tik obuolius ir kiek jų suvalgysi, bet nežinai, kiek obuolių visi gaus. Pavyzdžiui, turite 5 šeimos narius ir yra 15 obuolių. Nurodykite kiekvienam skirtų obuolių skaičių kaip x. Tada lygtis atrodys taip: 5(obuoliai)*x=15(obuoliai). Nežinoma veiksnys randamas taip pat, kaip lygtyje su raidėmis, tai yra, padalinkite 15 obuolių penkiems šeimos nariams, galų gale paaiškėja, kad kiekvienas iš jų suvalgė po 3 obuolius.
Nežinomybė randama taip pat veiksnys su veiksnių skaičiumi. Pavyzdžiui, pavyzdys atrodo taip: a*b*c*x*=d. Teoriškai raskite su veiksnys galima taip pat kaip ir vėlesniame pavyzdyje: x=d/a*b*c. Bet jūs galite paversti lygtį paprastesne forma, žymėdami žinomų veiksnių sandaugą kita raide - pavyzdžiui, m. Raskite, kam lygus m, padauginę skaičius a, b ir c: m=a*b*c. Tada visas pavyzdys gali būti pavaizduotas kaip m*x=d, o nežinomas dydis bus lygus x=d/m.
Jei žinoma veiksnys o sandauga yra trupmenos, pavyzdys sprendžiamas lygiai taip pat, kaip ir su . Tačiau šiuo atveju reikia atsiminti veiksmus. Dauginant trupmenas, dauginami jų skaitikliai ir vardikliai. Dalinant trupmenas, dividendo skaitiklis dauginamas iš daliklio vardiklio, o dividendo vardiklis – iš daliklio skaitiklio. Tai yra, šiuo atveju pavyzdys atrodys taip: a/b*x=c/d. Norint rasti nežinomą kiekį, produktą reikia padalyti iš žinomo veiksnys. Tai yra, x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video tema
Atkreipkite dėmesį
Sprendžiant pavyzdžius su trupmenomis, žinomo koeficiento trupmeną galima tiesiog apversti ir veiksmą atlikti kaip trupmenų dauginimą.
Dauginamas yra vienanarių suma. Monomialas yra kelių veiksnių, kurie yra skaičius arba raidė, sandauga. Laipsnis nežinomas yra skaičius, kiek kartų jis padauginamas iš savęs.
Instrukcijos
Pateikite, jei tai dar nepadaryta. Panašūs monomai yra to paties tipo monomai, tai yra monomijos su tais pačiais to paties laipsnio nežinomaisiais.
Paimkite, pavyzdžiui, daugianarį 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Šis daugianomas turi du nežinomuosius – x ir y.
Prijunkite panašius monomus. Monomaliai su antrąja y laipsniu ir trečiąja x laipsniu įeis į formą y²*x³, o mononomai su ketvirtąja y laipsniu atšauks. Pasirodo, y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Paimkite y kaip pagrindinę nežinomą raidę. Raskite didžiausią nežinomo y laipsnį. Tai yra monomis y²*x³ ir atitinkamai 2 laipsnis.
Padarykite išvadą. Laipsnis daugianario 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² x yra lygus trims, o y yra du.
Raskite laipsnį daugianario√x+5*y po y. Jis lygus didžiausiam y laipsniui, tai yra vienetui.
Raskite laipsnį daugianario√x+5*y x. Nežinomas x yra, o tai reiškia, kad jo laipsnis bus trupmena. Kadangi šaknis yra kvadratinė šaknis, x galia yra 1/2.
Padarykite išvadą. Už daugianario√x+5*y x galia yra 1/2, o y galia yra 1.
Video tema
Supaprastinti algebrines išraiškas reikia daugelyje matematikos sričių, įskaitant aukštesnės eilės lygčių sprendimą, diferencijavimą ir integravimą. Naudojami keli metodai, įskaitant faktorizaciją. Norėdami taikyti šį metodą, turite rasti ir padaryti bendrą veiksnys už skliausteliuose.
Daugeliui operacijų su algebrinėmis trupmenomis, pvz., Sudėti ir atimti, pirmiausia reikia šias trupmenas sumažinti iki tų pačių vardklių. Tokie vardikliai taip pat dažnai vadinami „bendruoju vardikliu“. Šioje temoje apžvelgsime sąvokų „bendras algebrinių trupmenų vardiklis“ ir „mažiausias bendras algebrinių trupmenų vardiklis (LCD)“ apibrėžimą, apsvarstysime algoritmą, kaip rasti bendrą vardiklį taškas po taško ir išspręsime keletą problemų. tema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bendras algebrinių trupmenų vardiklis
Jei kalbame apie paprastas trupmenas, tai bendras vardiklis yra skaičius, kuris dalijasi iš bet kurio pradinių trupmenų vardiklio. Paprastosioms trupmenoms 1 2 Ir 5 9 skaičius 36 gali būti bendras vardiklis, nes jis dalijasi iš 2 ir 9 be liekanos.
Bendras algebrinių trupmenų vardiklis nustatomas panašiai, tik vietoj skaičių naudojami daugianariai, nes jie yra algebrinės trupmenos skaitikliai ir vardikliai.
1 apibrėžimas
Bendrasis algebrinės trupmenos vardiklis yra daugianario, kuris dalijasi iš bet kurios trupmenos vardiklio.
Dėl algebrinių trupmenų ypatumų, kurie bus aptarti toliau, dažnai nagrinėsime bendruosius vardiklius, vaizduojamus kaip sandaugą, o ne kaip standartinį daugianarį.
1 pavyzdys
Polinomas parašytas kaip produktas 3 x 2 (x + 1), atitinka standartinės formos daugianarį 3 x 3 + 3 x 2. Šis daugianomas gali būti bendras algebrinių trupmenų 2 x, - 3 x y x 2 ir y + 3 x + 1 vardiklis dėl to, kad jis dalijasi iš x, įjungta x 2 ir toliau x+1. Informacija apie daugianario dalijimąsi pateikiama atitinkamoje mūsų šaltinio temoje.
Mažiausias bendras vardiklis (LCD)
Pateiktoms algebrinėms trupmenoms bendrųjų vardiklių skaičius gali būti begalinis.
2 pavyzdys
Paimkime kaip pavyzdį trupmenas 1 2 x ir x + 1 x 2 + 3. Jų bendras vardiklis yra 2 x (x 2 + 3), taip pat – 2 x (x 2 + 3), taip pat x (x 2 + 3), taip pat 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), taip pat – 31 x 5 (x 2 + 3) 3 ir kt.
Spręsdami problemas, galite palengvinti savo darbą naudodami bendrą vardiklį, kuris yra paprasčiausias iš viso vardiklio rinkinio. Šis vardiklis dažnai vadinamas mažiausiu bendru vardikliu.
2 apibrėžimas
Mažiausias bendras algebrinių trupmenų vardiklis yra bendras algebrinių trupmenų vardiklis, kuris turi paprasčiausią formą.
Beje, sąvoka „mažiausias bendras vardiklis“ nėra visuotinai priimtas, todėl geriau apsiriboti terminu „bendras vardiklis“. Ir štai kodėl.
Anksčiau atkreipėme jūsų dėmesį į frazę „paprasčiausios rūšies vardiklis“. Pagrindinė šios frazės reikšmė yra tokia: paprasčiausios formos vardiklis be liekanos turi būti padalintas iš bet kurio kito duomenų bendrojo vardiklio algebrinių trupmenų uždavinio sąlygoje. Šiuo atveju sandaugoje, kuri yra bendras trupmenų vardiklis, gali būti naudojami įvairūs skaitiniai koeficientai.
3 pavyzdys
Paimkime trupmenas 1 2 · x ir x + 1 x 2 + 3 . Jau išsiaiškinome, kad mums bus lengviausia dirbti su 2 x x (x 2 + 3) formos bendruoju vardikliu. Be to, bendras šių dviejų trupmenų vardiklis gali būti x (x 2 + 3), kuriame nėra skaitmeninio koeficiento. Kyla klausimas, kuris iš šių dviejų bendrų vardklių laikomas mažiausiu bendru trupmenų vardikliu. Aiškaus atsakymo nėra, todėl teisingiau tiesiog kalbėti apie bendrą vardiklį ir pasirinkti tą variantą, su kuriuo bus patogiausia dirbti. Taigi, galime naudoti tokius bendrus vardiklius kaip x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) arba – 15 x 5 (x 2 + 3) 3, kurios atrodo sudėtingesnės, tačiau su jais gali būti sunkiau atlikti veiksmus.
Algebrinių trupmenų bendro vardiklio radimas: veiksmų algoritmas
Tarkime, kad turime keletą algebrinių trupmenų, kurioms reikia rasti bendrą vardiklį. Norėdami išspręsti šią problemą, galime naudoti šį veiksmų algoritmą. Pirmiausia turime apskaičiuoti pradinių trupmenų vardiklius. Tada sukuriame kūrinį, į kurį paeiliui įtraukiame:
- visi veiksniai iš pirmosios trupmenos vardiklio kartu su laipsniais;
- visi veiksniai, esantys antrosios trupmenos vardiklyje, bet kurių nėra rašomoje sandaugoje arba jų laipsnis yra nepakankamas;
- visi trūkstami veiksniai iš trečiosios trupmenos vardiklio ir pan.
Gauta sandauga bus bendras algebrinių trupmenų vardiklis.
Kaip sandaugos veiksnius galime imti visus uždavinio teiginyje pateiktų trupmenų vardiklius. Tačiau daugiklis, kurį galiausiai gausime, savo prasme bus toli nuo NCD ir jo naudojimas bus neracionalus.
4 pavyzdys
Nustatykite bendrąjį trupmenų 1 x 2 y, 5 x + 1 ir y - 3 x 5 y vardiklį.
Sprendimas
Šiuo atveju mums nereikia atsižvelgti į pradinių trupmenų vardiklius. Todėl pradėsime taikyti algoritmą kurdami darbą.
Iš pirmosios trupmenos vardiklio imame daugiklį x 2 m, nuo antrosios trupmenos vardiklio daugiklis x+1. Gauname prekę x 2 y (x + 1).
Trečiosios trupmenos vardiklis gali mums duoti daugiklį x 5 m, tačiau mūsų anksčiau sudarytas produktas jau turi veiksnių x 2 Ir y. Todėl pridedame daugiau x 5 − 2 = x 3. Gauname prekę x 2 y (x + 1) x 3, kuris gali būti sumažintas iki formos x 5 m (x + 1). Tai bus mūsų algebrinių trupmenų NOZ.
Atsakymas: x 5 · y · (x + 1) .
Dabar pažvelkime į uždavinių pavyzdžius, kai algebrinių trupmenų vardikliuose yra sveikųjų skaičių skaitiniai veiksniai. Tokiais atvejais taip pat vadovaujamės algoritmu, prieš tai išskaidę sveikuosius skaitinius veiksnius į paprastus veiksnius.
5 pavyzdys
Raskite bendrąjį trupmenų 1 12 x ir 1 90 x 2 vardiklį.
Sprendimas
Padalinę trupmenų vardikliuose esančius skaičius į pirminius koeficientus, gauname 1 2 2 3 x ir 1 2 3 2 5 x 2. Dabar galime pereiti prie bendro vardiklio sudarymo. Norėdami tai padaryti, iš pirmosios trupmenos vardiklio paimame produktą 2 2 3 x ir pridėti prie jo koeficientus 3, 5 ir x nuo antrosios trupmenos vardiklio. Mes gauname 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Tai mūsų bendras vardiklis.
Atsakymas: 180 x 2.
Jei atidžiai pažvelgsite į dviejų analizuotų pavyzdžių rezultatus, pastebėsite, kad bendruose trupmenų vardikliuose yra visi veiksniai, esantys vardiklių plėtiniuose, o jei tam tikras veiksnys yra keliuose vardikliuose, tada jis imamas su didžiausiu turimu eksponentu. Ir jei vardikliai turi sveikųjų skaičių koeficientus, tai bendrame vardiklyje yra skaitinis koeficientas, lygus mažiausiam bendrajam šių skaitinių koeficientų kartotiniams.
6 pavyzdys
Abiejų algebrinių trupmenų 1 12 x ir 1 90 x 2 vardikliai turi koeficientą x. Antruoju atveju koeficientas x yra kvadratas. Norėdami sukurti bendrą vardiklį, šį veiksnį turime paimti didžiausiu mastu, t.y. x 2. Kitų daugiklių su kintamaisiais nėra. Pradinių trupmenų sveikieji skaitiniai koeficientai 12 Ir 90 , o jų mažiausias bendras kartotinis yra 180 . Pasirodo, norimas bendras vardiklis turi formą 180 x 2.
Dabar galime užrašyti kitą algoritmą, kaip rasti bendrą algebrinių trupmenų koeficientą. Tam mes:
- suskaičiuoti visų trupmenų vardiklius;
- sudarome visų raidžių koeficientų sandaugą (jei veiksnys yra keliuose plėtiniuose, pasirenkame variantą su didžiausiu eksponentu);
- prie gautos sandaugos pridedame plėtinių skaitinių koeficientų LCM.
Pateikti algoritmai yra lygiaverčiai, todėl bet kuris iš jų gali būti naudojamas uždaviniams spręsti. Svarbu atkreipti dėmesį į detales.
Pasitaiko atvejų, kai už skaitinių koeficientų trupmenų vardikliuose bendri veiksniai gali būti nematomi. Čia pirmiausia patartina pateikti skaitinius koeficientus su didesniais kintamųjų laipsniais iš skliaustų kiekviename iš vardiklyje esančių veiksnių.
7 pavyzdys
Kokį bendrą vardiklį turi trupmenos 3 5 - x ir 5 - x · y 2 2 · x - 10?
Sprendimas
Pirmuoju atveju minus vienas turi būti pašalintas iš skliaustų. Gauname 3-x-5. Skaitiklį ir vardiklį padauginame iš - 1, kad atsikratytume vardiklyje esančio minuso: - 3 x - 5.
Antruoju atveju mes dedame du iš skliaustų. Tai leidžia mums gauti trupmeną 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Akivaizdu, kad šių algebrinių trupmenų - 3 x - 5 ir 5 - x · y 2 2 · x - 5 bendras vardiklis yra 2 (x – 5).
Atsakymas:2 (x – 5).
Trupmenų problemos sąlygos duomenys gali turėti trupmeninius koeficientus. Tokiais atvejais pirmiausia turite atsikratyti trupmeninių koeficientų, padauginę skaitiklį ir vardiklį iš tam tikro skaičiaus.
8 pavyzdys
Supaprastinkite algebrines trupmenas 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 ir - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 ir tada nustatykite jų bendrą vardiklį.
Sprendimas
Atsikratykime trupmeninių koeficientų, padaugindami skaitiklį ir vardiklį pirmuoju atveju iš 14, antruoju atveju iš 3. Mes gauname:
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ir - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Po transformacijų tampa aišku, kad bendras vardiklis yra 2 (x 2 + 2).
Atsakymas: 2 (x 2 + 2).
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Norėdami išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, turite mokėti rasti mažiausią bendrą vardiklį. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.
Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį – sąvoką
Mažiausias bendras vardiklis (LCD), paprastais žodžiais tariant, yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš visų duotame pavyzdyje esančių trupmenų vardikų. Kitaip tariant, jis vadinamas Mažiausiu bendru keliu (LCM). NOS naudojamas tik tuo atveju, jei trupmenų vardikliai skiriasi.
Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį – pavyzdžiai
Pažvelkime į NOC paieškos pavyzdžius.
Apskaičiuokite: 3/5 + 2/15.
Sprendimas (veiksmų seka):
- Žiūrime į trupmenų vardiklius, įsitikiname, kad jie skiriasi, o posakiai būtų kuo trumpesni.
- Randame mažiausią skaičių, kuris dalijasi ir iš 5, ir iš 15. Šis skaičius bus 15. Taigi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Mes išsiaiškinome vardiklį. Kas bus skaitiklyje? Papildomas daugiklis padės mums tai išsiaiškinti. Papildomas koeficientas yra skaičius, gautas padalijus NZ iš tam tikros trupmenos vardiklio. 3/5 papildomas koeficientas yra 3, nes 15/5 = 3. Antrajai trupmenai papildomas koeficientas yra 1, nes 15/15 = 1.
- Išsiaiškinę papildomą koeficientą, padauginame jį iš trupmenų skaitiklių ir sudedame gautas reikšmes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Atsakymas: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Jei pavyzdyje pridedamos ar atimamos ne 2, o 3 ar daugiau trupmenų, tai NCD reikia ieškoti tiek trupmenų, kiek duota.
Apskaičiuokite: 1/2 – 5/12 + 3/6
Sprendimas (veiksmų seka):
- Mažiausio bendro vardiklio radimas. Mažiausias skaičius, dalinamas iš 2, 12 ir 6, yra 12.
- Gauname: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Ieškome papildomų multiplikatorių. Už 1/2 – 6; už 5/12 – 1; už 3/6 – 2.
- Padauginame iš skaitiklių ir priskiriame atitinkamus ženklus: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Atsakymas: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Norint sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, reikia: 1) rasti mažiausią bendrąjį duotųjų trupmenų vardklių kartotinį, jis bus mažiausias bendras vardiklis. 2) kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą, padalydami naują vardiklį iš kiekvienos trupmenos vardiklio. 3) padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.
Pavyzdžiai. Sumažinkite šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio.
Randame mažiausią bendrąjį vardiklių kartotinį: LCM(5; 4) = 20, nes 20 yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 5, ir iš 4. Raskite 1-ajai trupmenai papildomą koeficientą 4 (20). : 5=4). 2-ajai trupmenai papildomas koeficientas yra 5 (20 : 4=5). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 4, o 2-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 5. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 20 ).
Mažiausias bendras šių trupmenų vardiklis yra skaičius 8, nes 8 dalijasi iš 4 ir savęs. 1-ajai trupmenai papildomo koeficiento nebus (arba galima sakyti, kad jis lygus vienetui), 2-ajai trupmenai papildomas koeficientas yra 2 (8 : 4=2). 2-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 2. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 8 ).
Šios trupmenos nėra nesumažinamos.
1-ąją trupmeną sumažinkime 4, o 2-ąją – 2. ( žr. paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžius: Svetainės schema → 5.4.2. Paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžiai). Raskite LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Papildomas 1-osios trupmenos daugiklis yra 5 (80 : 16=5). Papildomas 2-osios trupmenos koeficientas yra 4 (80 : 20=4). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 5, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 4. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 80 ).
Randame mažiausią bendrą vardiklį NCD(5 ; 6 ir 15)=NOK(5 ; 6 ir 15) = 30. Papildomas 1-osios trupmenos koeficientas yra 6 (30 : 5=6), 2-osios trupmenos papildomas koeficientas yra 5 (30 : 6=5), 3-osios trupmenos papildomas koeficientas yra 2 (30 : 15=2). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 6, 2-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 5, 3-iosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 2. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 30 ).
1 puslapis iš 1 1
