Ribų teorija yra viena iš matematinės analizės šakų. Ribų sprendimo klausimas yra gana platus, nes yra daugybė būdų, kaip išspręsti įvairių tipų ribas. Yra dešimtys niuansų ir gudrybių, leidžiančių išspręsti tą ar kitą ribą. Nepaisant to, mes vis tiek stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje.

Pradėkime nuo pačios ribos sąvokos. Bet pirmiausia trumpas istorinis fonas. XIX amžiuje gyveno prancūzas Augustinas Louis Cauchy, kuris padėjo matematinės analizės pagrindus ir pateikė griežtus apibrėžimus, ypač ribos apibrėžimą. Reikia pasakyti, kad tas pats Koši buvo, yra ir bus visų fizikos ir matematikos katedrų studentų košmaruose, nes jis įrodė daugybę matematinės analizės teoremų ir kiekviena teorema yra šlykštesnė už kitą. Šiuo atžvilgiu mes nesvarstysime griežto ribos apibrėžimo, bet bandysime padaryti du dalykus:

1. Supraskite, kas yra riba.
2. Išmokite spręsti pagrindinius ribų tipus.

Atsiprašau už kai kuriuos nemoksliškus paaiškinimus, svarbu, kad medžiaga būtų suprantama net arbatinukui, o tai iš tikrųjų yra projekto užduotis.

Taigi kokia yra riba?

Ir tik pavyzdys, kodėl apšiurusią močiutę...

Bet kokia riba susideda iš trijų dalių:

1) Gerai žinoma ribos piktograma.
2) Įrašai po ribos piktograma, šiuo atveju . Įrašas yra „X linkęs į vieną“. Dažniausiai - tiksliai, nors vietoje „X“ praktikoje yra kiti kintamieji. Praktinėse užduotyse vieno vieta gali būti absoliučiai bet koks skaičius, taip pat begalybė ().
3) Funkcijos po ribiniu ženklu, šiuo atveju .

Pats įrašas skamba taip: „funkcijos riba kaip x linkusi į vienybę“.

Pažvelkime į kitą svarbų klausimą – ką reiškia posakis „x“? stengiasi vienam"? O ką išvis reiškia „stengtis“?
Ribos sąvoka yra sąvoka, taip sakant, dinamiškas. Sukurkime seką: pirmiausia , tada , , …, , ….
Tai reiškia, kad posakis „x stengiasiį vieną“ turėtų būti suprantama taip: „x“ nuosekliai perima vertybes kurios artėja prie vienybės be galo artimos ir praktiškai su ja sutampa.

Kaip išspręsti aukščiau pateiktą pavyzdį? Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, jums tereikia pakeisti vieną į funkciją po ribos ženklu:

Taigi, pirmoji taisyklė: Kai suteikiama kokia nors riba, pirmiausia mes tiesiog bandome prijungti skaičių prie funkcijos.

Mes svarstėme paprasčiausią ribą, tačiau jos pasitaiko ir praktikoje, ir ne taip jau retai!

Pavyzdys su begalybe:

Išsiaiškinkime, kas tai yra? Tai yra atvejis, kai jis didėja neribotai, tai yra: pirma, tada, tada, tada ir taip toliau iki begalybės.

Kas šiuo metu nutinka funkcijai?
, , , …

Taigi: jei , tada funkcija linkusi į minus begalybę:

Grubiai tariant, pagal pirmąją mūsų taisyklę vietoj „X“ į funkciją pakeičiame begalybę ir gauname atsakymą.

Kitas pavyzdys su begalybe:

Vėl pradedame didėti iki begalybės ir pažvelgti į funkcijos elgseną:

Išvada: kai funkcija be apribojimų didėja:

Ir dar viena pavyzdžių serija:

Pabandykite mintyse išanalizuoti šiuos dalykus ir prisiminti paprasčiausius ribų tipus:

, , , , , , , , ,
Jei turite kokių nors abejonių, galite pasiimti skaičiuotuvą ir šiek tiek pasitreniruoti.
Tuo atveju pabandykite sukurti seką , , . Jei , tada , , .

Pastaba: griežtai kalbant, toks kelių skaičių sekų kūrimo būdas yra neteisingas, tačiau norint suprasti paprasčiausius pavyzdžius, jis yra gana tinkamas.

Taip pat atkreipkite dėmesį į toliau pateiktą dalyką. Net jei limitas pateikiamas su dideliu skaičiumi viršuje ar net su milijonu: , tada viskas vienoda , nes anksčiau ar vėliau „X“ įgaus tokias milžiniškas vertes, kad milijonas, palyginti su jais, bus tikras mikrobas.

Ką reikia atsiminti ir suprasti iš aukščiau pateiktų dalykų?

1) Kai suteikiama bet kokia riba, pirmiausia mes tiesiog bandome pakeisti skaičių į funkciją.

2) Turite suprasti ir nedelsiant išspręsti pačias paprasčiausias ribas, pvz .

Dabar apsvarstysime ribų grupę, kai , o funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario

Pavyzdys:

Apskaičiuokite limitą

Pagal mūsų taisyklę bandysime į funkciją pakeisti begalybę. Ką mes gauname viršuje? Begalybė. O kas vyksta žemiau? Taip pat begalybė. Taigi mes turime tai, kas vadinama rūšies neapibrėžtumu. Galima manyti, kad , ir atsakymas yra paruoštas, tačiau apskritai taip nėra, ir būtina taikyti tam tikrą sprendimo techniką, kurią mes dabar apsvarstysime.

Kaip išspręsti tokio tipo ribas?

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir randame didžiausią galią:

Pirmaujanti galia skaitiklyje yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir randame jį iki didžiausios galios:

Didžiausias vardiklio laipsnis yra du.

Tada pasirenkame didžiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį: šiame pavyzdyje jie yra vienodi ir lygūs dviem.

Taigi, sprendimo būdas yra toks: norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš didžiausios laipsnio.

Štai atsakymas ir visai ne begalybė.

Kas iš esmės svarbu priimant sprendimą?

Pirmiausia nurodome neapibrėžtumą, jei toks yra.

Antra, patartina pertraukti sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų. Dažniausiai naudoju ženklą, jis neturi jokios matematinės reikšmės, o reiškia, kad sprendimas pertraukiamas tarpiniam paaiškinimui.

Trečia, limite patartina pažymėti, kas kur vyksta. Kai darbas braižomas ranka, patogiau tai padaryti taip:

Užrašams geriau naudoti paprastą pieštuką.

Žinoma, jūs neprivalote to daryti, bet galbūt tada mokytojas nurodys sprendimo trūkumus arba pradės užduoti papildomų klausimų apie užduotį. Ar tau to reikia?

2 pavyzdys

Raskite ribą
Vėlgi skaitiklyje ir vardiklyje randame aukščiausią laipsnį:

Maksimalus skaitiklio laipsnis: 3
Didžiausias vardiklio laipsnis: 4
Pasirinkite didžiausias vertės, šiuo atveju keturios.
Pagal mūsų algoritmą, kad atskleistume neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalijame iš .
Visa užduotis gali atrodyti taip:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

3 pavyzdys

Raskite ribą
Didžiausias „X“ laipsnis skaitiklyje: 2
Didžiausias „X“ laipsnis vardiklyje: 1 (gali būti parašytas kaip)
Norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš . Galutinis sprendimas gali atrodyti taip:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

Žymėjimas reiškia ne padalijimą iš nulio (negalite dalyti iš nulio), o dalijimą iš begalinio skaičiaus.

Taigi, atskleidę rūšių neapibrėžtumą, mes galime tai padaryti galutinis skaičius, nulis arba begalybė.

Ribos su tipo neapibrėžtumu ir jų sprendimo būdu

Kita ribų grupė yra šiek tiek panaši į ką tik nagrinėtas ribas: skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, bet „x“ nebelinksta į begalybę, o baigtinis skaičius.

4 pavyzdys

Išspręskite ribą
Pirmiausia pabandykime trupmeną pakeisti -1:

Tokiu atveju gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas.

Bendra taisyklė: jei skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario ir yra formos neapibrėžtumas , tada jį atskleisti reikia apskaičiuoti skaitiklį ir vardiklį.

Norėdami tai padaryti, dažniausiai reikia išspręsti kvadratinę lygtį ir (arba) naudoti sutrumpintas daugybos formules. Jei šie dalykai buvo pamiršti, apsilankykite puslapyje Matematinės formulės ir lentelės ir perskaitykite mokymo medžiagą Karštos formulės mokykliniam matematikos kursui. Beje, geriausia jį spausdinti labai dažnai, o informacija geriau įsisavinama iš popieriaus.

Taigi, išspręskime savo limitą

Suskaičiuokite skaitiklį ir vardiklį

Norėdami apskaičiuoti skaitiklį, turite išspręsti kvadratinę lygtį:

Pirmiausia randame diskriminantą:

Ir jo kvadratinė šaknis: .

Jei diskriminantas yra didelis, pavyzdžiui, 361, mes naudojame skaičiuotuvą, kurio kvadratinės šaknies ištraukimas yra paprasčiausias skaičiuotuvas.

! Jei šaknis išgaunama ne visa (gaunamas trupmeninis skaičius su kableliu), labai tikėtina, kad diskriminantas buvo apskaičiuotas neteisingai arba užduotyje buvo rašybos klaida.

Toliau randame šaknis:

Taigi:

Visi. Skaitiklis suskaidytas į koeficientus.

Vardiklis. Vardiklis jau yra pats paprasčiausias veiksnys, ir jo niekaip negalima supaprastinti.

Akivaizdu, kad jis gali būti sutrumpintas iki:

Dabar mes pakeičiame -1 į išraišką, kuri lieka po ribos ženklu:

Natūralu, kad atliekant testą, testą ar egzaminą sprendimas niekada nėra aprašytas taip išsamiai. Galutinėje versijoje dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Suskaičiuokime skaitiklį faktoriais.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą

Pirma, sprendimo „baigti“ versija

Suskaičiuokime skaitiklį ir vardiklį.

Skaitiklis:
Vardiklis:



,

Kas svarbu šiame pavyzdyje?
Pirma, jūs turite gerai suprasti, kaip atskleidžiamas skaitiklis, pirmiausia iš skliaustų paėmėme 2, o tada panaudojome kvadratų skirtumo formulę. Tai formulė, kurią reikia žinoti ir pamatyti.

Sekų ir funkcijų ribų sampratos. Kai reikia rasti sekos ribą, ji rašoma taip: lim xn=a. Tokioje sekų sekoje xn linksta į a, o n – į begalybę. Seka paprastai vaizduojama kaip serija, pavyzdžiui:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekos skirstomos į didėjančias ir mažėjančias. Pavyzdžiui:
xn=n^2 – didėjanti seka
yn=1/n – seka
Taigi, pavyzdžiui, sekos xn=1/n^ riba:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ši riba lygi nuliui, nes n→∞, o seka 1/n^2 linkusi į nulį.

Paprastai kintamasis dydis x yra linkęs į baigtinę ribą a, o x nuolat artėja prie a, o dydis a yra pastovus. Tai parašyta taip: limx =a, o n taip pat gali būti linkęs arba į nulį, arba į begalybę. Yra begalės funkcijų, kurių riba linkusi į begalybę. Kitais atvejais, kai, pavyzdžiui, funkcija sulėtina traukinį, gali būti, kad riba gali siekti nulį.
Limitai turi keletą savybių. Paprastai bet kuri funkcija turi tik vieną ribą. Tai yra pagrindinė ribos savybė. Kiti išvardyti žemiau:
* Sumos limitas yra lygus limitų sumai:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produkto limitas yra lygus limitų sandaugai:
lim(xy)=lim x*lim y
* Dalinio riba yra lygi ribų daliniui:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Pastovus koeficientas imamas už ribinio ženklo ribų:
lim(Cx)=C lim x
Duota funkcija 1 /x, kurioje x →∞, jos riba lygi nuliui. Jei x→0, tokios funkcijos riba yra ∞.
Trigonometrinėms funkcijoms yra keletas šių taisyklių. Kadangi funkcija sin x visada linkusi į vienybę, kai artėja prie nulio, jai galioja tapatybė:
lim sin x/x=1

Daugelyje funkcijų yra funkcijų, kurių ribas skaičiuojant atsiranda neapibrėžtumas – situacija, kai ribos negalima apskaičiuoti. Vienintelė išeitis iš šios situacijos yra „L'Hopital“. Yra dviejų tipų neapibrėžtumas:
* formos neapibrėžtis 0/0
* formos ∞/∞ neapibrėžtis
Pavyzdžiui, pateikiama tokios formos riba: lim f(x)/l(x), ir f(x0)=l(x0)=0. Šiuo atveju iškyla 0/0 formos neapibrėžtis. Norint išspręsti tokią problemą, abi funkcijos yra diferencijuojamos, po to randama rezultato riba. 0/0 tipo neapibrėžčių riba yra:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (esant x → 0)
Ta pati taisyklė galioja ir ∞/∞ tipo neapibrėžčiai. Bet šiuo atveju teisinga tokia lygybė: f(x)=l(x)=∞
Naudodami L'Hopital taisyklę galite rasti bet kokių ribų, kuriose atsiranda neapibrėžčių, reikšmes. Būtina sąlyga

apimtis – jokių klaidų ieškant išvestinių. Taigi, pavyzdžiui, funkcijos (x^2)" išvestinė yra lygi 2x. Iš čia galime daryti išvadą, kad:
f"(x)=nx^(n-1)

Ribos visiems matematikos mokiniams kelia daug rūpesčių. Norint išspręsti ribą, kartais tenka panaudoti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimo būdų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.

Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo galimybių ribų ar suvokti valdymo ribas, bet pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl tuo pačiu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.

Ribos samprata matematikoje

Pirmas klausimas: kas yra ši riba ir kokia riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su ja dažniausiai susiduria studentai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:

Tarkime, kad yra tam tikra kintamoji reikšmė. Jei ši vertė kaitos procese neribotai artėja prie tam tikro skaičiaus a , Tai a – šios vertės riba.

Tam tikrame intervale apibrėžtai funkcijai f(x)=y toks skaičius vadinamas limitu A , kurią funkcija linkusi kada X , linkę į tam tikrą tašką A . Taškas A priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.

Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:

Lim- iš anglų kalbos riba- riba.

Taip pat yra geometrinis ribos nustatymo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė, o ne teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į tam tikrą reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.

Pateiksime konkretų pavyzdį. Užduotis – rasti ribą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:

Beje, jei jus domina, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.

Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:

Intuityviai suprantama, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo mažesnė reikšmė bus funkcija. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.

Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Pasinaudokite gudrybėmis!

Neaiškumai viduje

Formos begalybė/begalybė neapibrėžtumas

Tegul yra riba:

Jei bandysime į funkciją pakeisti begalybę, gausime begalybę ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip galite pakeisti funkciją taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas atsitiks?

Iš jau aptarto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra toks:

Norėdami išspręsti tipo neapibrėžtumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida

Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0

Kaip visada, pakeičiant reikšmes į funkciją x=-1 duoda 0 skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:

Sumažinkime ir gaukime:

Taigi, jei susiduriate su tipo netikrumu 0/0 – koeficientas skaitiklis ir vardiklis.

Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:

L'Hopital taisyklė viduje

Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumą. Kokia metodo esmė?

Jei riboje yra neapibrėžtumo, imkite skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.

L'Hopital taisyklė atrodo taip:

Svarbus punktas : riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio turi būti skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.

O dabar – tikras pavyzdys:

Yra tipiškas neapibrėžtumas 0/0 . Paimkime skaitiklio ir vardiklio išvestinius:

Voila, netikrumas išsprendžiamas greitai ir elegantiškai.

Tikimės, kad šią informaciją galėsite naudingai pritaikyti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei jums reikia apskaičiuoti sekos ribą ar funkcijos ribą taške, tačiau šiam darbui visiškai nėra laiko, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo.

4.6 tema Limitų skaičiavimas

Funkcijos riba nepriklauso nuo to, ar ji apibrėžta ribiniame taške, ar ne. Tačiau praktikoje skaičiuojant elementariųjų funkcijų ribas ši aplinkybė turi didelę reikšmę.

1. Jei funkcija yra elementari ir jei argumento ribinė reikšmė priklauso jos apibrėžimo sričiai, tai funkcijos ribos apskaičiavimas redukuojamas į paprastą argumento ribinės reikšmės pakeitimą, nes elementariosios funkcijos f (x) riba at x siekiaA , kuris įtrauktas į apibrėžimo sritį, yra lygus funkcijos dalinei reikšmei, kai x = A, t.y. lim f(x)=f( a) .

2. Jeigu x linkęs į begalybę arba argumentas linksta į skaičių, kuris nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai kiekvienu tokiu atveju funkcijos ribos radimas reikalauja specialaus tyrimo.

Žemiau pateikiamos paprasčiausios ribos, pagrįstos ribų savybėmis, kurios gali būti naudojamos kaip formulės:

Sudėtingesni funkcijos ribos radimo atvejai:

kiekvienas svarstomas atskirai.

Šiame skyriuje bus aprašyti pagrindiniai neapibrėžtumo atskleidimo būdai.

1. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia dviejų be galo mažų dydžių santykį

a) Pirmiausia reikia įsitikinti, kad funkcijos ribos negalima rasti tiesioginiu pakeitimu ir, esant nurodytam argumento pakeitimui, ji parodo dviejų be galo mažų dydžių santykį. Transformacijos atliekamos siekiant sumažinti trupmeną koeficientu, linkusiu į 0. Pagal funkcijos ribos apibrėžimą, argumentas x linksta į savo ribinę reikšmę, niekada su ja nesutampa.

Apskritai, jei ieškote funkcijos ribos ties x siekiaA , tuomet turite atsiminti, kad x neįgyja reikšmės A, t.y. x nėra lygus a.

b) Taikoma Bezout teorema. Jei ieškote trupmenos ribos, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, kurie išnyksta ribiniame taške x = A, tada pagal aukščiau pateiktą teoremą abu daugianariai dalijasi iš x- A.

c) Iracionalumas skaitiklyje arba vardiklyje naikinamas skaitiklį ar vardiklį padauginus iš konjugato su iracionaliąja išraiška, tada supaprastinus trupmeną sumažinama.

d) Naudojama 1-oji žymioji riba (4.1).

e) Naudojama teorema apie begalinių mažų skaičių ekvivalentiškumą ir šie principai:

2. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia dviejų be galo didelių dydžių santykį

a) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš didžiausios nežinomybės laipsnio.

b) Apskritai galite naudoti taisyklę

3. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f (x) reiškia be galo mažo ir be galo didelio kiekio sandaugą

Trupmena paverčiama forma, kurios skaitiklis ir vardiklis vienu metu linkę į 0 arba į begalybę, t.y. 3 atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 atvejo.

4. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f (x) reiškia dviejų teigiamų be galo didelių dydžių skirtumą

Šis atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 tipo vienu iš šių būdų:

a) trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį;

b) funkcijos pavertimas trupmena;

c) atsikratyti neracionalumo.

5. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia laipsnį, kurio bazė linkusi į 1, o eksponentas – į begalybę.

Funkcija transformuojama taip, kad būtų panaudota 2-oji žymioji riba (4.2).

Pavyzdys. Rasti .

Nes x linkęs į 3, tada trupmenos skaitiklis linksta į skaičių 3 2 +3 *3+4=22, o vardiklis į skaičių 3+8=11. Vadinasi,

Pavyzdys

Čia yra trupmenos skaitiklis ir vardiklis x linkęs į 2 linkę į 0 (tipo neapibrėžtis), skaitiklį ir vardiklį išskaidome faktoriais, gauname lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Pavyzdys

Padauginę skaitiklį ir vardiklį iš išraiškos, susietos su skaitikliu, gauname

Atidarę skliaustus skaitiklyje, gauname

Pavyzdys

2 lygis. Pavyzdys. Pateiksime funkcijos ribos sąvokos taikymo ekonominiuose skaičiavimuose pavyzdį. Panagrinėkime įprastą finansinę operaciją: sumos paskolinimą S 0 su sąlyga, kad praėjus tam tikram laikotarpiui T suma bus grąžinta S T. Nustatykime vertę r santykinis augimas formulę

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Santykinis augimas gali būti išreikštas procentais, padauginus gautą reikšmę r iki 100.

Iš (1) formulės nesunku nustatyti reikšmę S T:

S T= S 0 (1 + r)

Skaičiuojant ilgalaikes paskolas keliems metams, naudojama sudėtinių palūkanų schema. Jį sudaro tai, kad jei už 1 metus suma S 0 padidina iki (1 + r) kartų, tada antrus metus (1 + r) kartų suma padidėja S 1 = S 0 (1 + r), tai yra S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Pasirodo panašiai S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galite gauti bendrą formulę, skirtą sumos augimui apskaičiuoti n metai, skaičiuojant pagal sudėtinių palūkanų schemą:

S n= S 0 (1 + r) n.

Finansiniuose skaičiavimuose naudojamos schemos, kai sudėtinės palūkanos skaičiuojamos kelis kartus per metus. Šiuo atveju tai numatyta metinė norma r Ir kaupimų skaičius per metus k. Paprastai kaupimai daromi vienodais intervalais, ty kiekvieno intervalo ilgiu Tk sudaro metų dalį. Tada laikotarpiui m T metų (čia T nebūtinai sveikasis skaičius) suma S T apskaičiuojamas pagal formulę

(2)

kur yra sveikoji skaičiaus dalis, kuri sutampa su pačiu skaičiumi, jei pvz. T? sveikasis skaičius.

Tegul metinė norma būna r ir yra gaminamas n sukauptos sumos per metus reguliariais intervalais. Tada už metus suma S 0 padidinamas iki vertės, nustatytos pagal formulę

(3)

Teorinėje analizėje ir finansinės veiklos praktikoje dažnai susiduriama su „nuolat kaupiamų palūkanų“ sąvoka. Norėdami pereiti prie nuolat kaupiamų palūkanų, turite neribotą laiką didinti atitinkamai (2) ir (3) formulėse skaičius k Ir n(tai yra režisuoti k Ir n iki begalybės) ir apskaičiuokite, iki kokios ribos bus linkusios funkcijos S T Ir S 1. Taikykime šią procedūrą (3) formulei:

Atkreipkite dėmesį, kad riba garbanotuose skliaustuose sutampa su antrąja reikšminga riba. Iš to išplaukia, kad metine norma r su nuolat kaupiamomis palūkanomis, suma S 0 per 1 metus padidėja iki vertės S 1 *, kuris nustatomas pagal formulę

S 1 * = S 0 e r (4)

Tegu dabar suma S 0 suteikiama kaip paskola su priskaičiuotomis palūkanomis n kartą per metus reguliariais intervalais. Pažymėkime r e metinė norma, pagal kurią metų pabaigoje suma S 0 padidinamas iki vertės S 1 * iš (4) formulės. Šiuo atveju mes tai pasakysime r e- Tai metinė palūkanų norma n kartą per metus, lygių metinėms palūkanoms r su nuolatiniu kaupimu. Iš (3) formulės gauname

S*1 =S 0 (1+r e/n) n

Paskutinės formulės ir (4) formulės dešiniųjų pusių prilyginimas, darant prielaidą, kad pastarojoje T= 1, galime išvesti ryšius tarp dydžių r Ir r e:

Šios formulės plačiai naudojamos finansiniuose skaičiavimuose.

Ribų teorija– viena iš matematinės analizės sekcijų, kurią vieni gali įvaldyti, o kiti sunkiai apskaičiuoja ribas. Ribų nustatymo klausimas yra gana bendras, nes yra daugybė metodų sprendimo ribosįvairių tipų. Tas pačias ribas galima rasti ir naudojant L'Hopital taisyklę, ir be jos. Taip atsitinka, kad be galo mažų funkcijų suplanavimas leidžia greitai gauti norimą rezultatą. Yra aibė metodų ir gudrybių, leidžiančių rasti bet kokio sudėtingumo funkcijos ribą. Šiame straipsnyje pabandysime suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje. Čia nepateiksime ribos teorijos ir apibrėžimo, internete yra daug šaltinių, kur tai aptariama. Todėl pereikime prie praktinių skaičiavimų, čia yra jūsų „Nežinau, mes nemokome!

Ribų skaičiavimas taikant pakeitimo metodą

1 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Sprendimas: tokio tipo pavyzdžius galima teoriškai apskaičiuoti naudojant įprastą pakaitalą

Limitas yra 18/11.
Tokiose ribose nėra nieko sudėtingo ar išmintingo – mes pakeitėme reikšmę, apskaičiavome ir užrašėme ribą kaip atsakymą. Tačiau remiantis tokiomis ribomis, visi mokomi, kad pirmiausia reikia pakeisti reikšmę į funkciją. Be to, ribos tampa sudėtingesnės, įvedamos begalybės, neapibrėžtumo ir panašiai sąvokos.

Riba su neapibrėžtumu, pavyzdžiui, begalybė, padalinta iš begalybės. Neapibrėžtumo atskleidimo būdai

2 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=begalybė).
Sprendimas: Formos daugianario, padalyto iš daugianario, riba, o kintamasis linkęs į begalybę

Paprasčiausiai pakeitus reikšmę, į kurią turi būti rastas kintamasis, nepadės rasti ribų, gausime formos begalybės neapibrėžtį, padalytą iš begalybės.
Remiantis ribų teorija, ribos apskaičiavimo algoritmas yra rasti didžiausią „x“ laipsnį skaitiklyje arba vardiklyje. Toliau iki jo supaprastinamas skaitiklis ir vardiklis ir randama funkcijos riba

Kadangi reikšmė linkusi į nulį, kai kintamasis artėja prie begalybės, jie yra nepaisomi arba įrašomi į galutinę išraišką nulių pavidalu

Iš karto iš praktikos galite padaryti dvi išvadas, kurios yra užuomina atliekant skaičiavimus. Jei kintamasis linkęs į begalybę, o skaitiklio laipsnis yra didesnis už vardiklio laipsnį, tada riba yra lygi begalybei. Priešingu atveju, jei vardiklyje polinomas yra aukštesnės eilės nei skaitiklyje, riba lygi nuliui.
Ribą galima parašyti tokiomis formulėmis:

Jei turime įprasto lauko be trupmenų formos funkciją, tai jos riba lygi begalybei

Kitas apribojimų tipas yra susijęs su nuliui artimų funkcijų elgesiu.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Sprendimas: Čia nereikia pašalinti pagrindinio daugianario koeficiento. Tiksliai priešingai, reikia rasti mažiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį ir apskaičiuoti ribą

x^2 reikšmė; x linkę į nulį, kai kintamasis linkęs į nulį. Todėl jie yra nepaisomi, todėl gauname

kad riba yra 2.5.

Dabar tu žinai kaip rasti funkcijos ribą formos, padalinkite daugianarį iš daugianario, jei kintamasis linkęs į begalybę arba 0. Tačiau tai tik nedidelė ir lengva pavyzdžių dalis. Iš šios medžiagos sužinosite kaip atskleisti funkcijos ribų neapibrėžtumus.

Riba su 0/0 tipo neapibrėžtimi ir jos apskaičiavimo metodai

Visi iš karto prisimena taisyklę, kad negalima dalyti iš nulio. Tačiau ribų teorija šiame kontekste reiškia be galo mažas funkcijas.
Aiškumo dėlei pažvelkime į kelis pavyzdžius.

4 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Sprendimas: Kai vardikliu pakeičiame kintamojo x = -1 reikšmę, gauname nulį, o skaitiklyje gauname tą patį. Taigi mes turime formos neapibrėžtis 0/0.
Su tokiu neapibrėžtumu susidoroti paprasta: reikia apskaičiuoti daugianarį, tiksliau, pasirinkti koeficientą, kuris funkciją paverčia nuliu.

Po išplėtimo funkcijos ribą galima parašyti kaip

Tai yra visas funkcijos ribos skaičiavimo metodas. Tą patį darome, jei yra formos daugianario riba, padalyta iš daugianario.

5 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Sprendimas: rodomas tiesioginis pakeitimas
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ką mes turime 0/0 tipo neapibrėžtis.
Padalinkime daugianarius iš koeficiento, kuris įveda singuliarumą


Yra mokytojų, kurie moko, kad 2 eilės daugianariai, tai yra „kvadratinių lygčių“ tipas, turi būti sprendžiami per diskriminantą. Tačiau reali praktika rodo, kad tai ilgiau ir painiau, todėl atsikratykite funkcijų nurodyto algoritmo ribose. Taigi funkciją užrašome paprastų faktorių forma ir apskaičiuojame riboje

Kaip matote, apskaičiuojant tokias ribas nėra nieko sudėtingo. Studijuodamas ribas jau žinai, kaip skirstyti daugianarias, bent jau pagal programą turėtum būti ją įveikęs.
Tarp užduočių 0/0 tipo neapibrėžtis Yra keletas, kuriuose reikia naudoti sutrumpintas daugybos formules. Bet jei jūs jų nežinote, tada padaliję daugianarį iš monomio galite gauti norimą formulę.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Sprendimas: turime 0/0 tipo neapibrėžtį. Skaitiklyje naudojame sutrumpintą daugybos formulę

ir apskaičiuoti reikiamą ribą

Neapibrėžtumo atskleidimo būdas padauginant iš jo konjugato

Metodas taikomas riboms, kuriose neapibrėžtumą sukuria iracionalios funkcijos. Skaičiavimo taške skaitiklis arba vardiklis virsta nuliu ir nežinoma, kaip rasti ribą.

7 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Sprendimas: Pavaizduokime kintamąjį ribinės formulėje

Keisdami gauname 0/0 tipo neapibrėžtį.
Remiantis ribų teorija, būdas apeiti šią savybę yra neracionalią išraišką padauginti iš jos konjugato. Kad išraiška nepasikeistų, vardiklis turi būti padalintas iš tos pačios reikšmės

Naudodamiesi kvadratų skirtumo taisykle, supaprastiname skaitiklį ir apskaičiuojame funkcijos ribą

Supaprastiname terminus, sukuriančius ribos singuliarumą, ir atliekame pakeitimą

8 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Sprendimas: Tiesioginis pakeitimas rodo, kad riba turi 0/0 formos singuliarumą.

Norėdami išplėsti, padauginame ir padalijame iš skaitiklio konjugato

Užrašome kvadratų skirtumą

Supaprastiname terminus, įvedančius singuliarumą ir randame funkcijos ribą

9 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Sprendimas: formulėje pakeiskite du

Mes gauname neapibrėžtumas 0/0.
Vardiklis turi būti padaugintas iš konjuguotos išraiškos, o skaitiklyje kvadratinė lygtis turi būti išspręsta arba suskaičiuota, atsižvelgiant į singuliarumą. Kadangi žinoma, kad 2 yra šaknis, antrąją šaknį randame naudodami Vietos teoremą

Taigi skaitiklį įrašome formoje

ir pakeiskite jį į ribą

Sumažinus kvadratų skirtumą, atsikratome skaitiklio ir vardiklio singuliarumo

Tokiu būdu daugelyje pavyzdžių galite atsikratyti singuliarumo, o taikymas turėtų būti įsidėmėtas visur, kur duotas šaknų skirtumas pakeitimo metu virsta nuliu. Kitų tipų ribos yra susijusios su eksponentinėmis funkcijomis, be galo mažomis funkcijomis, logaritmais, specialiosiomis ribomis ir kitais būdais. Tačiau apie tai galite perskaityti toliau pateiktuose straipsniuose apie ribas.